Lineær Algebra, kursusgang
|
|
- Dagmar Graversen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lineær Algebra, kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2018
2 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Skjernvej 4A, fajstrup@math.aau.dk Hjemmeside: fajstrup Blog (ikke aktiv mere) Ny blog:
3 Struktur og praktiske bemærkninger Idag: Forelæsning kl. 8:15 10:00 i Auditorium 6. Opgaveregning: kl. 10:10 12:00 i grupperummene.
4 Overordnet struktur 22 kursusgange a 4 timer Heraf 4 selvstudiegange- I arbejder i grupperne med en større opgave. Støttet af hjælpelærerne. 18 sædvanlige kursusgange - ialt 2 timers forelæsning, 2 timers øvelser=opgaveregning. Kursusmaterialer I Moodle (kursusplan, links til spisesedler, slides, før, efter og "midt") På min kursushjemmeside fajstrup/undervisning/basis/linalg/ På first - den fælles side for alle holdene.
5 Forelæsning???
6 Forelæsning??? Hvordan kan man få udbytte af en forelæsning? Hold dig i gang - vær aktiv! Selvom du sidder ned...hvordan man gør det, er individuelt! Skriv noter. Tænk med. Skriv til i bogen. Læs hjemmefra og overvej, hvad du ikke forstår. Skriv spørgsmål ned under forelæsningen. Stil spørgsmål... HVIS du har computeren åben, så sluk for advisering om mail, FB,... En skærm med FB, YouTube,... åben distraherer (også) dine medstuderende. Jeg bruger slides, som jeg skriver i. De ligger på hjemmesiden før forelæsningen.
7 Opgaveregning I grupperummene. Hjælpelærere - Jonas Have, Achmad Choiruddin, Kasper Studsgaard Sørensen, Malika Kuhlman Hansen. Vi kommer rundt til grupperummene. -Kan hidkaldes af en skraldespand... Det kræver disciplin at lave opgaver i grupper.
8 Gruppens opgave: Samarbejd om, at alle får lært at lave opgaverne. Det er ikke det samme som at alle opgaver bliver lavet og alle får en kopi af løsningerne... Hver enkelt har selv ansvar for at få det lært. Tal sammen. Spørg hinanden.
9 Proces: 1 Læs til forelæsning og husk at undre dig. 2 Kom til forelæsning og tænk med - skriv til i mine slides (eller lad være) 3 Lav opgaver - meningen med opgaver er, at du forstår matematikken bedre - og mere operativt. 4 TAL om matematikken. Spørg. 5 Arbejd videre hjemme - husk: du skal selv lære det. Fælde: Jamen kan jeg ikke bare regne eksamensopgaver? Fem fejl ved den metode: 1 Du lærer ikke ret meget matematik. 2 Du udnytter ikke muligheden for at se bredere perspektiver - eksamensopgaver er "nemme". 3 Du bliver en af dem, der ikke vil høre om anvendelser - og du skal jo bruge matematikken. 4 Du lærer matematik uden struktur - så du kan ikke se matematikken i det, du møder senere. 5 Du kan kun regne opgaver, der ligner dem fra sidste år. (Og dumperisikoen er stor.)
10 Hvad nu, hvis jeg har en rigtig god ide til at forbedre LinAlg? Styringsgruppemøder for studieretningerne - om al aktivitet på semesteret. Styringsgruppemøder for Hold 1.
11 Studieretninger på Hold 1. Elektronik og IT Produkt og DesignPsykologi Internetteknologier og Computersystemer Landinspektør Sundhedsteknologi Mangler jeg nogen?
12 Litteratur Spence, Insel, Friedberg Elementary Linear Algebra. A Matrix Approach, 2nd ed., Pearson Education, 2008 (SIF). OBS: Den hedder også Compiled by Olav Geil, "Elementary Linear Algebra," Pearson, Supplerende: H.V. Christensen, B. Rosbjerg: Kompendium i lineær algebra - Definitioner, formler og eksempler. Bogen er på engelsk. Det vænner I jer meget hurtigt til. Ordliste findes på fælles hjemmeside.
13 Andre ressourcer Spisesedler - på kursushjemmesiden og i Moodle. Screencasts og Pencasts. Diverse applets. Se kursushjemmesiden eller den fælles side. MASSER af materiale på nettet. Lineær algebra er et emne på rigtig mange uddannelser. Eksempler på anvendelser - kursushjemmesiden.
14 Pensum og eksamen - se link på min hjemmeside Kurset evalueres ved en fire timers skriftlig eksamen uden brug af elektroniske hjælpemidler. Du må medbringe alle former for noter og bøger.
15 Lad os komme igang Lineær algebra: Vektorregning og meget, meget mere. Godt råd: Intuition fra plan og rum er god at have, men holder ikke altid.
16 Funktioner og ligninger - mange variable
17 Matricer Definition En matrix er et rektangulært skema af tal (skalarer). a 11 a 12 a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m n matrix. Indgange/elementer: a ij er tallet i den i te række, j te søjle.
18 Matricer A = A er en 3 4 matrix. 3 rækker, 4 søjler. A er et rektangulært skema af tal, en matrix. Søjlerne i A Rækkerne i A [ ] [ ] [ ]
19 Matricer eksempler
20 Matricer og vektorer Vektorer: En 1 n matrix kaldes en (række)-vektor. En m 1 matrix kaldes en (søjle)vektor. Eller bare en vektor. Mængden af alle m 1 vektorer kaldes R m. Eksempler 1 2 π [ 1 2 ] sin(227) 2056 e 5 ln(5) [ ] [ ] [ ] OBS: OK med mere end 3 koordinater.
21 Skalarprodukt, længder, Pythagoras, vinkelret, projektion
22
23 Delmatricer Matricen B er en delmatrix af A, hvis B kan fås ved at fjerne nogle rækker og søjler i A.
24 Addition af matricer A og B begge m n. A + B er m n matricen med (i, j) te indgang (A + B) ij = a ij + b ij Eksempel:
25 Addition af matricer
26 Multiplikation med en skalar A m n matrix, c et reelt tal. (En skalar). ca er en m n matrix med (i, j) te indgang (ca) ij = ca ij Notation: ( 1)A skrives A
27 Multiplikation med en skalar
28 Subtraktion A og B begge m n. A B er matricen A + ( B)
29 Subtraktion
30 Regneregler For m n matricer A og B og reelle tal, s, t gælder 1 A + B = B + A (kommutativitet) 2 (A + B) + C = A + (B + C) (associativitet) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = 0 5 (st)a = s(ta) 6 s(a + B) = sa + sb 7 (s + t)a = sa + ta
31 Transponeret matrix Den transponerede matrix A T har indgang (i, j) (A T ) ij = a ji. Bemærk: i og j i omvendt rækkefølge! Søjlerne i A T er rækkerne i A og omvendt. Hvis A er m n, så er A T n m
32 Transponeret matrix
33 Regneregler for transponering For m n matricer A og B og s en skalar gælder 1 (A + B) T = A T + B T 2 (sa) T = sa T 3 (A T ) T = A
34 Vektorer Addition af vektorer i plan og rum har en geometrisk fortolkning (velkendt fra gymnasiet.)
35 Hvorfor vektorer med flere end 3 koordinater? Et billede er en vektor. Gråtone koordinater mellem 0 og 256. Et digitalt signal er en vektor. Data er vektorer: (højde, vægt, blodtryk, skatteprocent,...) Punkter på Jorden - placering og en vektor, som indikerer kontinentaldrift (ITRF)
36 Linearkombination Definition En linearkombination af vektorerne u 1,, u k, som alle ligger i R n, er en vektor c 1 u 1 + c 2 u c k u k hvor c 1, c 2,..., c k er skalarer. M.a.o. v er en linearkombination af u 1,, u k, hvis der findes skalarer c 1 c 2,..., c k, så v = c 1 u 1 + c 2 u c k u k
37
38 Linearkombination - eksempler Den naturlige basis: e 1, e 2,..., e n i R n. e 1 = e 2 = e j er en n 1 søjlevektor, hvor alle elementer er 0, undtagen element (j, 1) th, som er 1.
39 Linearkombination 1/2 +1/2 =
40 Linearkombinationer - spørgsmål Kan v skrives som en linearkombination af u 1,, u k? Hvilke vektorer i R n kan skrives som linearkombinationer af u 1,, u k? Specielt: Kan alle vektorer i R n skrives som linearkombinationer af u 1,, u k?
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereFagets IT Introduktion til MATLAB
Fagets IT Introduktion til MATLAB Mads G. Christensen mgc@kom.auc.dk Afdeling for Kommunikationsteknologi, Aalborg Universitet. MATLAB 2002 p.1/28 Kursusoversigt 1. Introduktion, matrix-indeksering, -operationer
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereProgram for de næste 3 1/4 dobbeltlektion
Matricer Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Tirsdag 3. september 11.00 12.00: Afsnit 8.1, 8.2, 8.3 og 8.5 Torsdag 5. september 12.30 16.15 12.30 14.15: Opgaveregning lokale 261/409 14.30: Vi mødes
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereM2CAL2 Calculus og Indledende Lineær algebra
M2CAL2 Calculus og Indledende Lineær algebra Agenda Velkommen Præsentation mig Præsentation af M2CAL2 Kursusbeskrivelse, herunder læringsmål Eksamen Lærebøger Skema/Blackboard Kalender Fildeling En typisk
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereMATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2017-forår 2018 Institution Videndjurs, Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15
Læs mereMatrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 HTX
Læs mereVektorregning. Vektorer som lister
10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. februar, 3. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereGeometriske grundbegreber 1. lektion
1 / 12 Geometriske grundbegreber 1. lektion Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark 7.2.08 2 / 12 Materialer Software Prædiken Præsentation Mål med forelæsningen konkret
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Bo Løvschall
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereIntroduktion Indtastning Funktioner Scripts Optimering. Matlab
- robert@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ robert/teaching/2010/matlab 9. august 2010 1/39 Disposition 1. Lidt om. 2. Basiskursus. 3. Opgaver. 4. Mere til basiskursus. 5. Opgaver. 2/39 MATLAB = MATrix
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereSandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereHåndbog for net-studerende ved IT-Universitetet i København
Håndbog for net-studerende ved IT-Universitetet i København Jane Andersen IT-Universitetet i København, Rued Langgaards Vej 7, 2300 København S, jane@itu.dk 31. januar 2005 1. Indledning IT-Universitetets
Læs mereComputerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Oktober 2017 juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Rybners htx Matematik B Jørn Uldall
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereKlasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige
STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Kruses Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela N.
Læs mereVektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!
Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse
Læs mere