Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Transkript

1 Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Definition For vektorer a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i og lœngden, normen i=1 a = a a og afstanden mellem vektorer a og b a b Calculus Uge Calculus Uge Vinkelret Komplement Definition b a Vinkerette vektorer Definition For en delmængde af vektorer X V = R n er det ortogonale komplement underrummet X = {v v u = 0, u X} To vektorer a, b i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis a b = 0. Det skrives også a b a b = 0 Der gælder 0 = V, V = 0 Calculus Uge Calculus Uge

2 Komplement Komplement Komplement - eksempel For u = (3, 1) R er det ortogonale komplement {v v u = 0} bestemt ved ligningen, v = (v 1, v ), 3v 1 + v = 0 Komplement - figur span(u) y Løsning ( v 1 v ) = ( 1 3 v v ) = v ( ) ( 1 3, 1) 1 u = (3, 1) x Calculus Uge Calculus Uge Tømrersvend Komplement Sætning (tømrerprincippet) For en delmængde af vektorer X V = R n som udspænder et underrum U V er det ortogonale komplement Altså gælder X = U w U w x, x X Komplement - eksempel For U = span((1, 1, 1), (, 3, 4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u = 0, u U} bestemt ved ligningssystemet, v = (v 1, v, v 3 ), v 1 + v + v 3 = 0 v 1 + 3v + 4v 3 = 0 Løsning v 1 v v 3 v 3 1 = v 3 = v 3 1 v 3 Calculus Uge Calculus Uge

3 Komplement Nedfæld vinkelret Komplement - figur Projektion - figur z U=span((1,1,1),(,3,4)) (1,,1) v w = v u U x y u U Ortogonal projektion på underrum Calculus Uge Calculus Uge Projektion Projektion på koordinatplan Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder v u = w U Eksempel For underrumet U = span(e 1, e ) R n er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1, v,..., v n ) på U givet ved proj U (v) = u = (v 1, v, 0,..., 0) Der gælder v = u + w, u U, w U Den ortogonale projektion betegnes proj U (v) = u Ses let da v u = (0, 0, v 3,..., v n ) U Calculus Uge Calculus Uge

4 Projektion på en vektor Projektion på vektor Eksempel For et underrum U = span(a) R n udspændt af netop én vektor a 0 er den ortogonale projektion af en vektor v på U givet ved u = v a Eksempel - figur v w = v u U Det skrives proj a (v) = v a u = λa U = span(a) Ortogonal projektion u = proj a (v) på span(a) λ = v a a a Calculus Uge Calculus Uge Projektion på en vektor Projektion på en vektor Eksempel - argument For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved u = proj a (v) = v a Eftervis altså (v v a ) a (v v a ) a = v a v a a = 0 Eksempel For et underrum U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1, v, v 3 ) på U givet ved proj a (v) = v a = v 1 + v + v 3 3 (1, 1, 1) Calculus Uge Calculus Uge

5 Projektion på vektor Projektion på en vektor Eksempel 1 - figur y v = (1, 18) proj a (v) = (9, 1) a = (3, 4) Eksempel 1 For et underrum U = span(a) R udspændt af vektoren a = (3, 4) er den ortogonale projektion af en vektor v = (1, 18) på U givet ved proj a (v) = v a = (3, 4) = 3(3, 4) = (9, 1) 1 x Ortogonal projektion proj a (v) på span(a) Calculus Uge Calculus Uge Projektion på basis Projektion på basis Sætning 17 Lad u 1,..., u k R n vœre inbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet U. Så gœlder proj U (v) = k proj uj (v) j=1 er den ortogonale projektion af en vektor v på U. Bevis Eftervis ved tømrerprincippet, at v k j=1 proj u j (v) U Eksempel Lad u 1 = (1, 1, 1), u = (1,, 1) R 3 være inbyrdes ortogonale vektorer der udspænder underrummet U. Så er den ortogonale projektion proj U (v) = proj u1 (v) + proj u (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u u u u = v 1 v + v 3 3 = ( v 1 + v 3 (1, 1, 1) + v 1 + v + v 3 6, v, v 1 + v 3 ) (1,, 1) Calculus Uge Calculus Uge

6 Projektion på basis Projektion på basis Eksempel 3 Betragt u 1 = (1, 1, 0, 1), u = (,, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1, u ). 1. Vektorerne u 1 og u er ortogonale: u 1 u = = 0 Eksempel 3 - fortsat Betragt u 1 = (1, 1, 0, 1), u = (,, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1, u ).. Lad v = (,, 8, 6) og beregn proj U (v) = proj u1 (v) + proj u (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u u u u = 9 9 (1, 1 18, 0, 1) + (,, 1, 3) 18 4 = (, 0, 1, 7) Calculus Uge Calculus Uge Pythagoras Pythagoras Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a b, så er Pythagoras - figur a + b = a + b Bevis a + b b a + b = (a + b) (a + b) = a a + a b + b b = a + b a Pythagoras som du kender den a + b = a + b Calculus Uge Calculus Uge

7 Afstand til underrum Mindste afstand Sætning 19 Lad U V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v. Sætning 19 - figur Bevis For en vektor u u U gælder v (u u ) = (v u) + u v v u v (u u ) = v u + u i følge Pythagoras, Sætning 18, da (v u) u. u u Mindste afstand til underrum U Calculus Uge Calculus Uge Afstand til linje Middelværdi [LA] 1.1 Mindste kvadraters metode Eksempel For en linje U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor v = (v 1, v, v 3 ) givet ved Kvadratafstanden er proj a (v) = v a = v 1 + v + v 3 3 (1, 1, 1) v proj a (v) = (v 1 m) + (v m) + (v 3 m) hvor m = v 1+v +v 3 3. Calculus Uge Eksempel 4 For y 1,..., y n vil middelværdien minimerer kvadratsummen m = y y n n (y 1 m) + + (y n m) Løsning Sæt y = (y 1,..., y n ) og a = (1,..., 1). Så er m bestemt ved ma = proj a (y) = y a = y y n n Calculus Uge a

8 Opgave Matematik Alfa 1, August 00 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1,, 3, 4). Løsning I følge Sætning 19 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Opgave Matematik Alfa 1, August 00 Opgave 6 - fortsat Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u = (0, 1, 1, 0) har u 1 u = ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Fra Sætning 17 fås projektionen af v = (1,, 3, 4) u = proj U (v) = proj u1 (v) + proj u (v) = v u 1 u 1 + v u u u 1 u 1 u u = 4 4 (1, 1, 1, 1) + 5 (0, 1, 1, 0) = ( 1, 3, 7, 1) Calculus Uge Calculus Uge Opgave Matematik Alfa 1, August 00 Tømrermester [LA] 1. Projektion på -dim. underrum Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (1,, 3, 4) ( 1, 3, 7, 1) = (, 1, 1, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U Tømrermester - figur w = v proj u (v) v v u = (, 1, 1, 3) 7 = = 3 6 proj u (v) To vektorer rettet op u Calculus Uge Calculus Uge

9 Tømrermester [LA] 1. Projektion på -dim. underrum Tømrermester [LA] 1. Projektion på -dim. underrum Bemærkning Lad u, v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u, w ortogonale og udspænder U. Den ortogonale projektion af vektoren x på U er da proj U (x) = proj u (x) + proj w (x) = x u u u u + x w w w w Eksempel (delvis 7 side 84) Lad u = (1, 1, 1), v = (1,, 3) være vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u = (1,, 3) (1, 1, 1) = ( 1, 0, 1) Den ortogonale projektion af vektoren y = (3, 3.6, 6) på U er da proj U (y) = proj u (y) + proj w (y) = y u u u u + y w w w w Calculus Uge Calculus Uge Tømrermester [LA] 1. Projektion på -dim. underrum Cauchy-Schwarz ulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Eksempel - fortsat For u = (1, 1, 1), w = ( 1, 0, 1), y = (3, 3.6, 6) er projektion af vektoren y på U = span(u, w) proj U (y) = proj u (y) + proj w (y) = y u u u u + y w w w w = (1, 1, 1) + 3 ( 1, 0, 1) = (.7, 4., 5.7) Sætning 0 (Cauchy-Schwarz ulighed) For vektorer u, v gœlder u v u v Bevis Fra Pythagoras, Sætning 18, på de ortogonale vektorer v proj u (v), proj u (v) fås v proj u (v) = ( v u ) u u u Forlæng med u og uddrag kvadratroden. Calculus Uge Calculus Uge

10 Trekantsuligheden [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Trekantsulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 1 (Trekantsuligheden) For vektorer u, v gœlder Bevis Fra Cauchy-Schwarz ulighed Uddrag kvadratroden. u + v u + v u + v u + v + u v = ( u + v ) Trekantsulighed - figur v u + v u Indlysende trekantsulighed u + v u + v Calculus Uge Calculus Uge