Oversigt [LA] 11, 12, 13

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt [LA] 11, 12, 13"

Transkript

1 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus Uge

2 Prikprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i i=1 Calculus Uge

3 Prikprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i og lœngden, normen i=1 a = a a og afstanden mellem vektorer a og b a b Calculus Uge

4 Vinkelret [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition b a Vinkerette vektorer To vektorer a,b i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis a b = 0. Calculus Uge

5 Vinkelret [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition b a Vinkerette vektorer To vektorer a,b i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis a b = 0. Det skrives også a b a b = 0 Calculus Uge

6 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For en delmængde af vektorer X V = R n er det ortogonale komplement underrummet X = {v v u = 0, u X} Calculus Uge

7 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For en delmængde af vektorer X V = R n er det ortogonale komplement underrummet X = {v v u = 0, u X} Der gælder 0 = V, V = 0 Calculus Uge

8 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For u = (3, 1) R 2 er det ortogonale komplement {v v u = 0} bestemt ved ligningen, v = (v 1,v 2 ), 3v 1 + v 2 = 0 Calculus Uge

9 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For u = (3, 1) R 2 er det ortogonale komplement {v v u = 0} bestemt ved ligningen, v = (v 1,v 2 ), 3v 1 + v 2 = 0 Løsning ( ) ( ) = v 2 ( ) v 1 v 2 = 1 3 v 2 v Calculus Uge

10 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - figur span(u) y ( 1 3,1) u = (3,1) 1 x Calculus Uge

11 Tømrersvend [LA] 11 Skalarprodukt i R n Sætning (tømrerprincippet) For en delmængde af vektorer X V = R n som udspænder et underrum U V er det ortogonale komplement X = U Calculus Uge

12 Tømrersvend [LA] 11 Skalarprodukt i R n Sætning (tømrerprincippet) For en delmængde af vektorer X V = R n som udspænder et underrum U V er det ortogonale komplement X = U Altså gælder w U w x, x X Calculus Uge

13 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For U = span((1, 1, 1), (2, 3, 4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u = 0, u U} bestemt ved ligningssystemet, v = (v 1,v 2,v 3 ), v 1 + v 2 + v 3 = 0 2v 1 + 3v 2 + 4v 3 = 0 Calculus Uge

14 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For U = span((1, 1, 1), (2, 3, 4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u = 0, u U} bestemt ved ligningssystemet, v = (v 1,v 2,v 3 ), v 1 + v 2 + v 3 = 0 2v 1 + 3v 2 + 4v 3 = 0 Løsning v 1 v 2 v 3 = v 3 2v 3 = v 3 v Calculus Uge

15 Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - figur (1, 2,1) z U=span((1,1,1),(2,3,4)) x y Calculus Uge

16 Nedfæld vinkelret [LA] 12 Ortogonal projektion Projektion - figur v w = v u U u Ortogonal projektion på underrum U Calculus Uge

17 Projektion [LA] 12 Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder v u = w U Calculus Uge

18 Projektion [LA] 12 Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder v u = w U Der gælder v = u + w, u U, w U Calculus Uge

19 Projektion [LA] 12 Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder Der gælder v = u + w, v u = w U Den ortogonale projektion betegnes u U, w U proj U (v) = u Calculus Uge

20 Projektion på koordinatplan [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For underrumet U = span(e 1,e 2 ) R n er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1,v 2,...,v n ) på U givet ved proj U (v) = u = (v 1,v 2, 0,...,0) Calculus Uge

21 Projektion på koordinatplan [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For underrumet U = span(e 1,e 2 ) R n er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1,v 2,...,v n ) på U givet ved proj U (v) = u = (v 1,v 2, 0,...,0) Ses let da v u = (0, 0,v 3,...,v n ) U Calculus Uge

22 Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R n udspændt af netop én vektor a 0 er den ortogonale projektion af en vektor v på U givet ved u = v a a a a Calculus Uge

23 Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R n udspændt af netop én vektor a 0 er den ortogonale projektion af en vektor v på U givet ved u = v a a a a Det skrives proj a (v) = v a a a a Calculus Uge

24 Projektion på vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel - figur v w = v u U u = λa U = span(a) Ortogonal projektion u = proj a (v) på span(a) λ = v a a a Calculus Uge

25 Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel - argument For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved u = proj a (v) = v a a a a Calculus Uge

26 Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel - argument For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved u = proj a (v) = v a a a a Eftervis altså (v v a a a a) a (v v a a a a) a = v a v a a a a a = 0 Calculus Uge

27 Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) på U givet ved proj a (v) = v a a a a = v 1 + v 2 + v 3 3 (1, 1, 1) Calculus Uge

28 Projektion på vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 1 - figur y v = (1,18) proj a (v) = (9,12) a = (3,4) 1 x Ortogonal projektion proj a (v) på span(a) Calculus Uge

29 Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 1 For et underrum U = span(a) R 2 udspændt af vektoren a = (3, 4) er den ortogonale projektion af en vektor v = (1, 18) på U givet ved proj a (v) = v a a a a = (3, 4) = 3(3, 4) = (9, 12) Calculus Uge

30 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 17 Lad u 1,...,u k R n vœre inbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet U. Så gœlder proj U (v) = k j=1 proj uj (v) er den ortogonale projektion af en vektor v på U. Calculus Uge

31 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 17 Lad u 1,...,u k R n vœre inbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet U. Så gœlder proj U (v) = k j=1 proj uj (v) er den ortogonale projektion af en vektor v på U. Bevis Eftervis ved tømrerprincippet, at v k j=1 proj u j (v) U Calculus Uge

32 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel Lad u 1 = (1, 1, 1),u 2 = (1, 2, 1) R 3 være inbyrdes ortogonale vektorer der udspænder underrummet U. Så er den ortogonale projektion proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 2 u 2 = v 1 v 2 + v 3 3 = ( v 1 + v 3 2 (1, 1, 1) + v 1 + 2v 2 + v 3 6,v 2, v 1 + v 3 2 ) (1, 2, 1) Calculus Uge

33 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). Calculus Uge

34 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). 1. Vektorerne u 1 og u 2 er ortogonale: u 1 u 2 = = 0 Calculus Uge

35 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 - fortsat Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). Calculus Uge

36 Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 - fortsat Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). 2. Lad v = (2, 2, 8, 6) og beregn proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 2 u 2 = 9 9 (1, 1 18, 0, 1) = (2, 0, 1, 7) (2, 2, 1, 3) Calculus Uge

37 Pythagoras [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a b, så er a 2 + b 2 = a + b 2 Calculus Uge

38 Pythagoras [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a b, så er a 2 + b 2 = a + b 2 Bevis a + b 2 = (a + b) (a + b) = a a + 2a b + b b = a 2 + b 2 Calculus Uge

39 Pythagoras [LA] 12 Ortogonal projektion Pythagoras - figur a + b b Pythagoras som du kender den a a 2 + b 2 = a + b 2 Calculus Uge

40 Afstand til underrum [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 19 Lad U V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v. Calculus Uge

41 Afstand til underrum [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 19 Lad U V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v. Bevis For en vektor u u U gælder v (u u ) 2 = (v u) + u 2 = v u 2 + u 2 i følge Pythagoras, Sætning 18, da (v u) u. Calculus Uge

42 Mindste afstand [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 19 - figur v v u v (u u ) u u Mindste afstand til underrum U Calculus Uge

43 Afstand til linje [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For en linje U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) givet ved proj a (v) = v a a a a = v 1 + v 2 + v 3 3 (1, 1, 1) Calculus Uge

44 Afstand til linje [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For en linje U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) givet ved proj a (v) = v a a a a = v 1 + v 2 + v 3 3 (1, 1, 1) Kvadratafstanden er v proj a (v) 2 = (v 1 m) 2 + (v 2 m) 2 + (v 3 m) 2 hvor m = v 1+v 2 +v 3 3. Calculus Uge

45 Middelværdi [LA] 12.1 Mindste kvadraters metode Eksempel 4 For y 1,...,y n vil middelværdien minimerer kvadratsummen m = y y n n (y 1 m) (y n m) 2 Calculus Uge

46 Middelværdi [LA] 12.1 Mindste kvadraters metode Eksempel 4 For y 1,...,y n vil middelværdien minimerer kvadratsummen m = y y n n (y 1 m) (y n m) 2 Løsning Sæt y = (y 1,...,y n ) og a = (1,...,1). Så er m bestemt ved ma = proj a (y) = y a a a a = y y n n Calculus Uge a

47 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Calculus Uge

48 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Løsning I følge Sætning 19 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Calculus Uge

49 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - fortsat Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0) har u 1 u 2 = ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Calculus Uge

50 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - fortsat Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0) har u 1 u 2 = ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Fra Sætning 17 fås projektionen af v = (1, 2, 3, 4) u = proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 = 4 4 (1, 1, 1, 1) + 5 (0, 1, 1, 0) 2 = ( 1, 3, 7, 1) 2 2 Calculus Uge

51 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (1, 2, 3, 4) ( 1, 3 2, 7 2, 1) = (2, 1 2, 1 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (2, 1 2, 1 2, 3) = 27 2 = Calculus Uge

52 Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Tømrermester - figur w = v proj u (v) v proj u (v) u To vektorer rettet op Calculus Uge

53 Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Bemærkning Lad u,v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u,w ortogonale og udspænder U. Calculus Uge

54 Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Bemærkning Lad u,v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u,w ortogonale og udspænder U. Den ortogonale projektion af vektoren x på U er da proj U (x) = proj u (x) + proj w (x) = x u u u u + x w w w w Calculus Uge

55 Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Eksempel (delvis 7 side 84) Lad u = (1, 1, 1),v = (1, 2, 3) være vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u = (1, 2, 3) 2(1, 1, 1) = ( 1, 0, 1) Den ortogonale projektion af vektoren y = (3, 3.6, 6) på U er da proj U (y) = proj u (y) + proj w (y) = y u u u u + y w w w w Calculus Uge

56 Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Eksempel - fortsat For u = (1, 1, 1),w = ( 1, 0, 1),y = (3, 3.6, 6) er projektion af vektoren y på U = span(u, w) proj U (y) = proj u (y) + proj w (y) = y u u u u + y w w w w = (1, 1, 1) = (2.7, 4.2, 5.7) ( 1, 0, 1) Calculus Uge

57 Cauchy-Schwarz ulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 20 (Cauchy-Schwarz ulighed) For vektorer u,v gœlder u v u v Calculus Uge

58 Cauchy-Schwarz ulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 20 (Cauchy-Schwarz ulighed) For vektorer u,v gœlder u v u v Bevis Fra Pythagoras, Sætning 18, på de ortogonale vektorer v proj u (v),proj u (v) fås v 2 proj u (v) 2 = ( v u ) 2 u 2 u u Forlæng med u 2 og uddrag kvadratroden. Calculus Uge

59 Trekantsuligheden [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 21 (Trekantsuligheden) For vektorer u,v gœlder u + v u + v Calculus Uge

60 Trekantsuligheden [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 21 (Trekantsuligheden) For vektorer u,v gœlder u + v u + v Bevis Fra Cauchy-Schwarz ulighed Uddrag kvadratroden. u + v 2 u 2 + v u v = ( u + v ) 2 Calculus Uge

61 Trekantsulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Trekantsulighed - figur u + v v u Indlysende trekantsulighed u + v u + v Calculus Uge

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oersigt [LA],, Prikprodkt Nøgleord og begreber Ortogonlitet Ortogonlt komplement Tømrerprincippet Ortogonl projektion Pthgors formel Kortest fstnd Agst 00, opge 6 Cch-Schwrz lighed For ektorer =,..., n,

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang

LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 9. februar, 4. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Lineær algebra 4. kursusgang

Lineær algebra 4. kursusgang Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Carl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen

Carl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester efterår 2013-forår 2014 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Analytisk Geometri og Vektorer

Analytisk Geometri og Vektorer Matematikprojekt om Analytisk Geometri og Vektorer Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 19 November 2010 Indhold I Analytisk plan og rum-geometri................. 3 I

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt

Læs mere

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

5 opgaver er korrekt besvarede.

5 opgaver er korrekt besvarede. KØbenhavns universitet N a turvidenskab e lig embeqsek~a!,!len vfnteren,1963-64... ----- MATEMATIK 1. Skriftlig prøve 2, (algebra og geometri).. Alle hjælpemidler er tilladt. En besvarelse betragtes som

Læs mere

MA TEMA TIK 1 LA, GAMMEL T PENSUM

MA TEMA TIK 1 LA, GAMMEL T PENSUM Københavns Universitet Det naturvidenskabelige Fakultet Eksamensterminen vinteren 1994-95 MA TEMA TIK 1 LA, GAMMEL T PENSUM Opgaver til besvarelse i 3 timer. Ingen hjælpemidler (ud over skriveredskaber)

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Lineær algebra Kursusgang 6

Lineær algebra Kursusgang 6 Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Anvendt Lineær Algebra

Anvendt Lineær Algebra Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)

Læs mere