BETONKONSTRUKTIONER III

Transkript

1

2 ( - ( C ')-.0 TROELS BRØNDUM-NELSEN BETONKONSTRUKTONER AFDELNGEN FOR BÆRENDE KONSTRUKTONER DANMARKS TEKNSKE HØJSKOLE 1970

3 FORORD Denne Bog udgør et Supplement til mine Lærebøger "Betonkonstruktioner ", 1969 (BK), "Betonkonstruktioner ", 1970 (BK), "Spændbeton", 1969 (SB) og til Lektor E. Skettrups og min Eksempelsmling "Spændbeton-Beregninger", 1970 (SBB). Kpitler, Afsnit, Ligninger, Figurer og Tleksempler er nummereret i Fortsættelse f BK - BK. Formlet med Bogen hr først og fremmest været t belyse de Problemer, der knytter sig til delvis forspændte Betonkonstruktioner og Betonkonstruktioner med kombineret Armering, d. v. s. en Kombintion f forspændt og ikke-forspændt Armering. Sdnne Konstruktioner kn forventes t komme til t finde større Anvendelse i Fremtiden. De væsentligste Problemer vedrører s d nne Konstruktioners Forhold med Hensyn til R evnelst, Revnevidder, Deformtioner og Udmttelsespvirkning. Bogstvsymbolfortegnelse, Emne fortegnel se over Littertur, Forftterindex og lfbetisk Emneliste dækker bde BK, BK og nærværende Bog (BK), sledes t Opsøgning vi e n sdn ndex er begrænset til BK. D,. techn. H. Krenchel, Lektorerne P. Lnge-Hnsen og E. Skettrup og Civilingeniørerne H. C. Sørensen og S. R o stm hr gennemlæst Mnuskriptet eller Dele derf og bidrget med mnge Forslg til Forbedringer. Figurerne er tegne t f ngeniørssistent B. Leisten og Mnuskriptet renskrevet f Frk. Ebb Bengrd. Københvn, September ø Troels Brøndum-Nielsen 1970 Troels Brøndum-Nielsen POL VTEKN1 SK TRYKKER'

4 ~ NDHOLDS FOR TEGNELSE Forord Bogstvsymboler 17. Delvis Forspænding ndledning Kombineret Armering For spændings snitkræfter og Egenspændinger For spændingsgrd Dekompressionstilstnd Kls sifiktion f Betonkonstruktioner Sttisk ubestemte Konstruktioner Brugsstdiet Brudstdiet Lineær Trnsformtion Nominel Brudlst Tleksempel Nr Revnelst Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnelsten Tleksempel Nr Revnevidder Tleksempel Nr Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden Tleksempel Nr T - og -Profiler Deformtioner 61 Deformtioner før Revnednnelsen Deformtioner efter Revnednnelsen 62 Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Deforrntionerne Tleksempel Nr Forskydning Forskydningsberegning

5 ii ndholdsfortegnelse Hi Optiml Bøj levinkel Udmttelsespvirkning Beregning f Spændingsvrition Udmttelses styrke for Armering og Fornkringer Tleksempel Nr Littertur.. 0 Emnefortegnelse over Littertur Forftterindex Alfbetisk Emneliste Appendiks Nr. 7 Appendiks Nr. 8 Appendiks Nr. 9., ".... "... ff..,... " BOGSTAVSYMBOLER Det er tilstræbt t bringe de nvendte Bogstvsymboler i størst mulig Overensstemmelse med det Forslg til interntionle Bogstvsymboler, som er udrbejdet f den europæiske Betonkomite CEB (Comite Europeen du Beton). Spændinger betegnet er regnes positive som Trykspændinger. Spændinger betegnet et regnes positive som Trækspændinger. Tøjninger betegnet E' regnes positive som Forkortelser. Tøjninger betegnet E regnes positive som Forlængelser. øvrigt nvendes hyppigt følgende ndices etc.: å betegner Armering b betegner Beton k som ndex til et betegner krkteristisk Brudspænding m betegner Middelværdi u betegner Brudværdi et betegner tilldelig Spænding et~' betegner nominel Brudspænding 6. som Præfiks betegner Tilvækst Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side A A' A p At A 1 Tværsnitsreler f Træk- og Trykrmering Tværsnitsrel f Spændrmering Tværsnitsrel f Forskydningsrmeringsstng b h b o o:~, et A 1 Tværsnitsrel f ikkeforspændt Armering

6 iv Bogstvsymboler Bogstvsymboler v Symbol Betydning Fig. Ligning Side Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Nr. B Tvær snitsrel f Beton Trnsformeret Betonrel B o Det største Betontværsnit, hvis Tyngdepunkt flder smmen med Trækrmeringens Tyngdepunkt F F Arel i Lseglidningsdigrm Arelet f Normlsnit i hult, lukket Tvær snit inden for Midtlinien f Profilets Vægge F Tværsnitsrel f Rør da, db, db nfinitesimle Elementer t f A, B og df nfini te simlt Arelele- ment io Bi' Bz C Areler, der benyttes ved Beregning f Fundmenter Cementmængde pr. m Beton E Stls Elsti:dtetskoeffi E' eient for Træk og Tryk H Krft ved Pldehjørner nertimoment om hen- 7,34, g holdsvis Tyngdepunkts kse, g -Akse og 11-Akse t nertimoment om vndret x Tyngdepunktskse (x-akse) E p E 1 E' b Spændrmeringens Els ticitetskoefficient 28 Den ikke-forspændte Armerings Elsticitetskoef- 28 ficient Betonens Elstieitetskoefficient for Tryk Det trnsformerede Be tontværsnits nertimo- n ment henholdsvis før og efter Revnednnelsen Det urevnede Betontværsnits trnsformerede nertimoment, idet der tges Hensyn til Betonens Krybning E' bo Ebt Elsticitetskoefficient svrende til Arbejdsliniens Tngent i Begyndelsespunktet Formel Elstieitetskoefficient ved Beregning f totle Tøjninger (ine!. Krybning) K Kmstl 29 K Krumning f udbøjet Søjle M Moment 75

7 vi Bogstvsymboler Bogstvsymboler vii Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. M Armeringskrftens (N r 77 eller N~ Moment M med Hensyn til Under- r 80 sidermering ~ M c Tillægsmoment ved Søjleberegning hidrørende fr U dbøjningen r 175 Ml M - M r N Træk- og Tryknorml r 55 N kræfter r 50 Betonnormlkrftens (Ni) Moment med Hensyn til Undersiderme- ring r 80 N Kritisk Søjletryk r 170 Ni N pon + N N,N~,Nb Normlkræfter i Arme- r 80 ring og Beton Mt Vridning s bær eevne f rmeret Tværsnit N p Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen ~ M tb Vridnings bæreevne f Armeringsnettet med Udnytteise f Betonlmellerne som TrykdigQnler Vridningsbæreevne f Betonen N pc N po Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen Fiktiv Krft, som pst Tvær snittet bringer dette i Dekompressionstilstnden M Den til to T == O svrende Værdi f Mt N pon Normlkomposnten f N po M~ M n M mx M r Moment om s- og 11- Akse Foreskrevet Mksimlmoment r r r Trækkrft i Spændrme- ring ved Fornkring hen holdsvis før og efter Lseglidning N o N 1 N 1 Den Værdi f Bøjnings- momentet, ved hvilken der fremkldes Revner i Bjælkens Trækside Resultnten f Spændingerne i den ikke-forspænd te Armering N 2 Værdien f N i Punktet s = s o M r Revnemoment N Armeringskrftens Reduktion ved Lseglidning

8 viii Bogstvsymboler Bogstvsymboler ix Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. N Tryknormlkrft i Beton b V Bøjlevolumen pr. Længdeenhed f Bjælke N Resultnt f Betontrykbo spændinger N* Nominel Brudlst (centrlt Tryk) ~, q, For skydning skræfter pr. Længdeenhed W t W tf Tvær snittets trnsformere de Modstndsmoment, idet der tges Hensyn til Belstningens Vrighed Tværsnittets trnsformerede Modstndsmoment, idet der tges Hensyn til Betonens Krybning R Rundjern 28 y For skydning skrf t hidrøp rende fr Forspændingen Betontvær snittets sttiske S Moment om Bjælkeover knt Konstnt Sttisk Moment om x-akse f den Del f Tværsnittet, sp der ligger under en vndx ret Linie gennem det betr gtede Punkt Momentcentrums Afstnd fr Trækrmering Rektngulært Tvær snits stør ste Sidelinie T Middeltempertur T Tentor stl 33 '\ Nødvendigt Armeringstværsnitsrel pr. Længdeenhed T Forskydningskrft T For skydning skrft-andel optget f henholdsvis 153 Tb Armering og Beton Armering s bøjle s største Sidelængde, mlt mel- 1 lem Bøjlermeringens Tyngdepunktslinier b Bredde f Betontværsnit To V Den til M = O svrende Værdi f ~orskydnings b Ri b befstnd krft b Trykflngebredde Vndmængde pr. m 3 Be ton b Rektngulært Tvær snits mindste Sidelinie

9 ~ x Bogstvsymboler Bogstvsymboler xi Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. b Kropbredde e Normlkrfts Excentricio tet i Forhold til Tvær b Ribbebredde o b 1 Armeringsbøjles mindste Sidelængde, mlt mellem BØjlermeringens Tyngdepunktslinier snittets Midte e 1 e - h p p Resulterende Betontrykspændings Momentrm i ~ Forhold til Under sideb, b Flngebredde i T-Bjælke rmering 80 b Effektiv Trykflngebredde e c c, 1 "2' c 3 Konstnter c Betondæklg c 1 J:<b t Tykkelse f Betondæklg Armeringens Excentricic teter i Forhold til det e (e cp & ed) trnsformerede Tvær snits Øvre Kernepunkt ecn ' e cn e p Normlkrftens Excentricitet i Forhold til det trnsformerede Tvær snits øvre Kernepunkt For spænding skrftens Excentricitet i Forhold til det trnsformerede Betonrels Tyngdepunkt d Træk- og Trykrmerings Forspændingskrftens Exe centricitet i Forhold til d' Afstnde fr Tværsnittets 7. 3;! Knter pc det trnsformerede Tværsnits Øvre Kernepunkt d Fiktiv Tykkelse f Betonm tværsnit,m Cl.e N p Normlkrfts Excentrici- e tet i Forhold til Under side rmering f Reltiv Fugtighed N ormlkr fts Excentrici- f Nedbøjning l 23 e tet i Forhold til Tyngde punktsksen Hvilende, ensformigt g fordelt Belstning pr. 206 Arelenhed

10 xii Bogstvsymboler Bogstvsymbolel' xiii Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. h Armeringens Nyttehøjde h' Afstnden mellem Overog Under sidermering ~O Bøjlelængde for Normlbøjler h m Den smlede Armerings Nyttehøjde h Flngetykkelse i T-Bjælke o 117 Flytning f Spændrme- 661 ringen ved Fornkringen (Lseglidning) h o Mindste Vægtykkelse for lukket, hult Tvær snit d Stødlængde Revnefstnd Spændrmeringens Nytte- h øjde h p x' l Y Rektngulært Pldefelts Spændvidder \ Totlhøjde f Betontværsnit mx' m Pldes Bøjningsmomen Y ter pl'. Længdeenhed h 1 Den ikke-forspændte Armering s Nyttehøj de m xy ' m yx P l d es Vl'idn i ngsmomenter pr. L ængd eenh ed h hi - h P m 45 mxo ' m yo mi' Dz Enhedsmoment-Konstn ter Det trnsformerede Be- ~, m 4 i tontvær snits mindste nertirdius k Friktionskonstnt E n 2E 45 p E' b k k + f-l! s s 44 l Spændvidde 56 ndex, der l ngiver fr opbøjet Bidrg Længde rme- ring 157 l Fri Søjlelængde E 1 ni 45 E- m b Trykspænding i Forbinp delse med krum Arme- 194 ring p Trækkrft pr. Længdeenhed i T - Bjælke - Flnge l L æ ngden f Armeringsstng, der nvende s pr. Bøjle

11 xiv Bogstvsymboler Bogstvsymboler xv Symbol Betydning Fig. Ligning Side Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Nr. p Belstning pr. Arel enh e d t Bøjlefstnd Pn D en nominelle Brudværdi for Pldes Bæreevne 23 t Forskydningskrft pr. L ængdeenhed Pi Mksiml og Minimlværdi t o Given Værdi f t n P2 f P t, o ti Bøjlefstnde Bevægelig, ensformigt q fordelt Belstning pr Arelenhed 1{ Tiden i Døgn siden Bel s tningens P fø rels e r Krumningsrdius r Afs tnd fr Punkt O til Kurveelement ds ri 1'2 Rektione r p r. L æ n gd e- 1'3 1'4 enhed f Plder nd s Afstnden mellem Bjælke- v' overknt og den vndrette Tyngdepunktskse s ndex, der ngi ver Bidrg fr Bøjler 157 Kurvelængde mlt lngs Spændrmeringen ds Kurveelement s O Kur vel ængden f den D e l f Spændrmeringen, som pvirke s f Lseglidningen t r 6 t Betonens A lder (Døgn) p Belstning s tidspunk '1 tet Ant l Døgn m e d Midde l- temp e r tur T Z w Revnevidde w Revn evidden for \) = O 55 o x x Nulliniens Afstnd fr Bjælkeoverknt Afs tnd fr Bjælkeunderstøtning t Betonens Alder i Døgn Højde f Betontrykspæny dingszonen ved ensformig g 67 t Afstnd mellem Forskydningsr merings stænger Spænding sforde ling 134 t Afstnd mellem Tværr meringsstænger y Afs tnd fr vndret T yngd epunktskse

12 - xvi Bogstvsymboler Bogstvsymboler xvii Symbol Betydning Fig. Ligning Side Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Nr. YN For spændingskrftens 46 Excentricitet Ll."N Ændring f Y N 46 z Afstnd mellem N og Nb Udtryk for Krybnings og o.f Svinds Afhængighed f Betontvær snittets Dimeno.r sioner Fktol', der krkterise- 42. rer Spændrmeringens p Overfldeform z p z1 Momentrm (ved Brud) Fktor, der krkterisefor Spændrmering rer den ikke-for spændte Armerings Overfldeform Momentrm (ved Brud) for ikke~forspændt Ar~ x mering f3 li ø Jerndimeter ø Tværrmering ens Dim e~ 188 t e r ø Spændrmeringens nomi.. p n elle Dimeter ø 1 Den ikke~forspændte Ar~ merings nominelle Di ~ meter Betonens Vrmeudvidel- s e skoefficient o.. Reduktionsfktor for Betontrykspænding Vinkel mellem Forskyd. ningsrmering og Tyng depunkts ks e Fktor, der krkterise. rer Armeringens Over- l 68 fldeform Udtryk for Krybnings og f3 f Svinds Afhængighed f V nd ~ C enent- For holde t f3 r 13 o 'i 'i 'i n~cp(jnicp ) rr cr b Prtilkoefficient 39 p rtilko efficient for Ar~ mering Prtilkoefficient for Be~ 'ib ton svrende til dynmisk Belstning Prtilkoefficient for Be~ 'ibd ton svrende til dynmisk Belstning 'ig Prtilkoefficient for hvi lende Belstning

13 xviii Bogs t vsymbol e r Bogstvsymboler ixx Symbol Betydni ng Fig. Ligning Side Nr. Y q Prtilkoefficient for bevægelig Belstning 5. 2 l 39 Yi Supplerende Prti lkoef l 44 Yo ficienter l 42 6 Vr itionskoefficient 5.3 l 40 6 d' Symbol Betydning F i g. Ligning Side Nr. E' b Betonens Tøjning regnet positiv som Forkortelse l 12 E' Krybningstøjning regnet l 19 f positiv som Forkortelse E' Svindtøjning regnet posi l 14 r tiv Forkortelse som Resterende Svindtøjning E' rr r egnet positi v som For l 17 kortelse E Tøjning E' Svindtøjning for urmeret ro Beton Armeringens Tøjning reg net positiv som Forlæn l 27 gel se E E' ro Uhindret, totl Svindtøjning 27 efter Betonens Afbinding Arm eringen s T øjning r eg - net po sitiv s om For kor - l 80 telse E E Mksiml Armeringstøj -, mx n ing E (T >~ 1 o E E Tøjning i Spændrmering, p nr den omgivende Be- ton er spændingsløs l 7'l 21 Uhindret, r e sterende E' Svindtøjning efter Etble - 27 rp ring f For bindel s e mellem Spændrmering og Beton E' bu Tvær snittet s mksi ml e Værdi f Eh l 68 Armeringens T øjningstilvækst ud over den Tøj ning, der svrer til, t &; Betonspændingen e r lig med Nul E Q" ~~ po 2E E E 1 Den ikke-forspændte Armerings Tøjning regnet posi tiv som For længelse 23 6.E E - E p p t;, Krybni ngens Afhængi gh ed f Betonen s Al der t;, Fornkringsfktoren l 19 l 185

14 xx Bogstvsymboler Bogstvsymboler xxi Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr.!; 1') 1') Symbol Betydni ng Fig. Ligning Side Nr t f31') Empirisk Konstnt i De- fl formtions-formel Friktionskoefficien t fl Tlfktor, der fhænger f Betonstyrken ~z (3 - ~) 6 (1 - f Ordint i ;-1') Koordint system v poisson' s Forhold ') A 0-* (il ~ b z 1') At (T~( Ol ~ Fktor, der benytte s ved b e Beregning f Fundmen ter Armering sforholdet Ol o 1; For spænding sgrd At Ol to b t sin o Det fuldstændigt for spænd- {ti te Tværsnits Forspændings- 40 grds nedre Grænse 11 Den normerede Vrible for Guss' Fordelingslov ') (1 - (3) Fktor, som benytte s ved Bestemmelse f t Abscisse i ;-1') Koordint ; system P Forholdet mellem Mo- ; mentet fr Lngtidslst og Totlmomentet l 176 f Udtryk for Tidsforløb Svind og Krybning Konstnt i Formel for do b beltspændte P l der h o p ~O Spændrmeringens Krum P ningsrdius A Forkortelses symbol

15 xxii Bogstvsymboler Bogstvsymboler xxiii Symbol Betydning F ig. Ligning Side Symbol Betydning F ig. Ligni ng Side Nr. Nr. P (T:':~ Konstnt vedrørende Plders Nedbøjni ng Nominel Brudspændi ng 11. i9 23 r 40 Den til o-bp ~g \p sv - rende Spændmg l Spænd- rmeringen o- pp i ft Armeringsspænding (regne t positiv som T ræk) 3. i.1 r 27 o- ppo Spændingen i Spænd~me- ringen i DekompresslOns- tilstnden i ft ft, mx,min (T1.~ Øvre og nedre Værdi for ft i r 36 Nominel T ræk- og Tryk brudspænding r for 4 0 Arme- ring 5. 6 r 40 o-ip er ~~ Nominel Spænding (ved o-~1 Brudmomentet) i ikke - forspændt Armering Spænding i Armeringen ;,. (io) svrende til E = i O 0/ (evt. r ndre T 'lværdier) 86 Spændingen i den ikke - ft -1po for s pæ ndte Arme ring i D ekompre s s ions tils t nde n -ft Tilldelig Armerings _ spænding r ft - (J' pp ppo pp Den til ft bp ~g T?p sv.- rende Spændmg l den lkke for spændte Armering 17. ' ;,.k Krkteristisk Træk- og 5. 5 r 40 ft' k Tryksty r ke fo r Armeri ng 5. 6 r o- i p ft 1po - ft 1p ft Middelvær di f Træk- og Trykstyrke for Armeri ng m ft' ft m o N o p: r 34 i ft" o U d sving s styrken for Ar - mering r 36 0-* Nominel Spænding (ved p Brudmoment) i Spændr i 6 mering <T'b Betontrykspænding r 9 <T'b,mx Mksiml og miniml Betontrykspænding ved Ud- 0-' b, min m ttelse spvirkning r 10 <T'b2 Betontrykspænding svrende til P r 165 ft'i;, cr'b:' Nominel T r æk- og Trykbrudspænding for Beton 5. 7 r 41 - Tilldelig Betontrykspæn - ft' b ding r 62

16 - - ~-~ xxiv Bogstvsymboler Bogstvsymboler xxv Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side Acr'b Spring i Betonspændingen (Tbk Krkteristisk Træk- og 5. 8 "'bk Trykstyrke for Beton 5. 7 (Tbm (Tbp Middelværdi f Betonens T r æk brudspænding Normlspænding i Betonen hidrørende fr For spænding en og Betonens eventuelle Svind U- x ' (Ty cr' * o CTo,2 N ormlspændinger i to p hinnden vinkelrette Snit Betonens Middeltrykspænding i Normlsnittet fremkldt f Forspændingen Armeringsspænding svrende til o, 2 % blivende Forlængelse Hovedspændinger (Tbr cr'br Betontrækstyrke ( Bøjningstrækstyrke) Betontrykstyrke (Cylinderstyrke) cr'br, 28 Cylinderstyrken efter Døgn T For skydning s spænding For skydnings spænding i Beton Forskydningsspænding i Betonen hidrørende fr Forspændingen og Betonens eventuelle Svind (Tb1 (Ti Hoved spænding i Beton For skydnings spændinger 19 CT b2 -(T2 Hovedspænding i Beton Forskydningsspænding optget f Betonen cr'. Jm Middelcylinderstyrke efter j Døgn Forskydningsspænding i fste Punkter CT m Middelværdi f Styrke (TR Krkteristisk Styrke Vinklen mellem Hovedsnittene og Snittene med Spændingerne CT og (Ty X );( t N ominel Spænding i skydningsrmering For A bh <p' A! bh

17 xxvi Bogstvsymboler ndledning 17. DELVS FORSPÆNDNG Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side BK, Kpitel 14 er gjort Rede for nogle Forhold vedrørende delvis Forspænding. nærværende Kpitel gives en supplerende Rede Summen f de (numeriske) Vinkler, som Spændrme- 'P ringen er krummet m e l- len1 Opspændingspunktet og det betrgtede Punkt gørelse for de væsentligste Problemer, der knytter sig til delvis forspændte Betonkonstruktioner. 'Po Udtryk for Krybnings Afhængighed f den reltiv e Fugtighed NDLEDNNG Urmerede Betonkonstruktioner, rmerede Betonkonstruktioner U dtryk for Svindets Af- hængighed f d e n reltiv e Fugtighed X ljj 2h N --2l'. 3M (r eltiv For spænding) uden Forspænding ("Jernbeton"), delvis forspændte Betonkonstruktioner og fuldstændigt forspændte Betonkonstruktioner ("Spændbeton") er en Række mere eller mindre specielle Typer f Betonkonstruktioner. Der er jævne Overgnge mellem disse forskellige Konstruktionsformer, og de bør betrgtes som Dele f en Helhe d under Fællesbetegnelsen Betonkonstruktioner. Forholdet mellem nø dven- d i g Bøjlermering smængde med Bøjlevinkel og Bøjlevinkel 90 ljj t For delvis forspændte Betonkonstruktioner m Revner ntg es t optræd e under Bru gsl st. D e tte medfører, t Superpositionsloven ikke kn nvendes ved Spændingsberegning i Brugsstdi et (som f. Eks. for fuldstændigt forspændte Konstruktioner), fordi Nulliniedybden x og dermed det effektive Tværsnit vrierer med Belstningen. denne Henseende dskiller delvis for spændt Beton sig ikke principielt fr rmeret, ikke-forspændt Beton. Fordele og Ulemper ved Anvendelse f delvis Forspænding er omtlt i BK, Afsnit Her skl endnu nævnes et Pr Forhold, som kn være f Betydning. Ved Lngtidsbelstning f delvis forspændte Betonkonstruktioner er Trykspændingerne i den Beton, som omgiver Spændrmeringen, ofte mindre end ved fuldstændigt forspændte Betonkonstruktionel'. Dette medfører, t Krybningen mindskes, og derved opns en fordelgtig Reduktion f Spændingstbet i Spændrmeringen. Betontrykspændinger fremkldt f For spændingen kn være dimensionsbeste mmende for Betontværsnittet. Opspændingssitutionen er her lmindeligvis fgørende, idet denne normlt svrer til bde minimlt Spændingstb og Minimum f det Bøjningsmoment, som Tværsnittet forspændes mod. Ved delvis Forspænding kn i s Fld

18 ndledning Forspændingssnitkræfter og Egenspændinger 3 opns en Reduktion f den Del f Betontværsnittet, som omgiver Spændrmeringen, f. Eks. for T - eller -Profiler for spændt til Optgelse f positivt Moment en Reduktion f Kropbredde, henholdsvis Underflnge. En sdn Reduktion opns dog kun p Bekostning f det ovennævnte reducerede Spændings tb hidrørende fr Krybning Kombineret Armering Ved Beregning f fuldstændigt for spændte Betonkonstruktioner ses lmindeligvis bort fr den ikke-forspændte Armerings Bidrg. For rmerede, ikke-forspændte Tværsnit forudsættes Hovedrmeringen lmindeligvis ogs kun t best f en Armeringstype. Delvis forspændte Konstruktioner med en Kombintion f forspændt og ikke - for spænd t Armering m - som nævnt i BK, Afsnit forventes t finde øget Anvendelse. De to Armeringstyper, som indgr i en sdn kombineret Armering, kn hve helt forskellige Arbejdslinier. Der m i Beregningerne tges H e nsyn til d e tte F orhold og til Spænd r mel'ingens Forh nds tøjning, hv ilke t kræver Beregningsmetoder, som fviger fr de for ikke-forspændte og fuldstændigt for spændte Konstruktioner ngivne For spændings snitkræfter og Egenspændinger Forspænding kn betrgtes som en Forhndsbelstning f Konstruktionen. Denne Belstning medfører Snitkræfter, som her vil blive betegnet Forspændingssnitkræfter. Den f Forspændingen fremkldte Forhndsbelstning omftter de Kræfter, hvormed Spændrmeringen pvirker Betonen dels ved Fornkringerne, dels lngs Spændrmeringen. Sidstnævnte Kræfter kn omftte dels Friktionskræfter i Retning f Armeringens Tngent (ved efterspændt Armering), dels Kræfter vinl<elret p Armeringen (ved krumliniet Armering) rettet mod Krumningscentret. Forspænding er en Belstning f lignende Krkter som hvilende Belotning. Mn hr Mulighed for t fpsse Forspændingsbe- lstningen sledes, t ønskede Virkninger opns - f. Eks. Forebyggelse f Revner, Reduktion f Revnevidder, Modrbejdelse f Deformtioner eller Forebyggelse f Udmttelsesbrud. Forspændingen hr derimod ret uvæsentlig ndflydelse p Konstruktionens nominelle Brudlst (se Afsnit 17. 2). Ved Opspændingen pføres Spændrmeringen en Forhndstøjning. Senere ntges etbleret Forbindelse mellem Spændrmering og omgivende Beton. For efterspændt Beton sker dette ved njektion f Spændrmeringsknlerne og for for-opspændt Beton ved Betonens Afbinding. D der sledes er Forskel mellem Spændrmeringens og den omgivende Betons Tøjning, hr Spændingsfordelingen i et vilkrligt Normlsnit Krkter f en Egenspændingstilstnd. Betonens Svind og Krybning og Armeringens Relkstion influerer p Egenspændingerne. Et vilkrligt Normlsnit er pvirket f Snitkræfter fremkldt f Belstningsbidrg ssom f. Eks. hvilende og bevægelig Lst, Forspænding, Svind og Temperturvritioner. For s t tis k best emte Konstruktione r e r F or s p æ ndingssnitkræf terne lig med Nul, d de Kræ fter, hvormed Spændrme ringen p virker Betonen, dnner et Krftsystem i Ligevægt (smmenlign SB, Afsnit 2.13). For sttisk ubestemte Konstruktioner omftter de fr Forspændingen hidrørende Spændinger to Bidrg, hvorf det ene svrer til Forspændingssnitkrften, og det ndet stmmer fr, t Normlsnittets Spændingsfordeling hr Krkter f en Egenspændingstilstnd. For sttisk bestemte Konstruktioner er den smlede Resultnt f Spændingerne i Beton og Armering i et vilkrligt Normlsnit lig med Nul, d. v. s. Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen og Resultnten f Spændingerne i Beton og ikke-forspændt Armering ngriber i smme Linie, er lige store og modst rettede. Kendes Størrelse og Retning f smt Angrebspunkt for Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen, kn Betonens Norml- og Forskydningsspændinger smt den ikke-forspændte Armerings Spændinger derfor beregnes som for et ikke-forspændt Betontværsnit pvirket f en Krft smmenfldende med og f Størrelse som denne Resultnt, men med

19 F ndledning Forspændingsgrd 5 modst Fortegn, Sttisk ubestemte Konstruktioner udgør et mere generelt Tilfælde, som kn betrgtes som omfttende de sttisk bestemte Konstruktioner som specielle Grænsetilfælde. sttisk ubestemte Spændbetonkonstruktioner optræder som o v enfor nævnt Forspændingssnitkræfter, som bidrger til Normlsnittets Bøjningsmome nt, Normlkrft og Forskydningskrft. Ofte er Bidrgene til Normlkrften og Forskydningskrften uvæsentlige. s Fld fr kun Bidrget til B øjningsmomentet Betydning for Normlsnittets Betonspændinger. D dette Momentbidrg kn ækvivleres med et Krftpr, for hvilket den ene Krft hr smme Størrelse, Angrebslinie og Retning som Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen, svrer Momentbidrget til en Prllelforskydning f denne Krft, d. v. s. til, t Forspændingskrftens Angrebspunkt ændres. Dette ændrede Angrebspunkt er smmenfldende med Angrebspunktet for Result nten f Spændingerne i Beton og ikke- forspændt Arme ring. De ove nfo r nførte Princippe r er illustre r e t Fig Armering. For Overskuelighedens Skyld ses her bort fr ikke-forspændt For en sttisk bestemt Konstruktion (Fig ) er Forspændingssnitkræfterne lig med Nul. Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen er N. Resultnten f de f Forspændingen fremp kldte Betonspændinger (Fig b) hr smme Størrelse og Angrebslinie, men modst Fortegn. Disse Betonspændinger kn beregnes ved t betrgte Betontvær snittet som pvirket f den i Fig b viste Krft Np' Hvis Forspændingssnitkrften i et Tværsnit i en sttisk ubeste mt Konstruktion svrer til et Bøjningsmoment M, kn dette ækvivleres med et Krftpr, for hvilket den ene Krft hr smme Størrelse, Angrebslinie og Retning som Resultnten N f Spændingerne i Spændp rmeringen (Fig c). Betonspændingerne il'emkldt f Forspændingen kn beregnes ved Superposition, d. v. s. ved t betrgte Betontværsnittet som pvirket f Summen f de i Fig b og c ngivne Kræfter. Dette svrer til, t Betontvær snittet er pvirket f den i Fig d viste Krft N p' hvis Afst nd fr Spæ nd rme - r i ngen e r 6 e M N p Q ~ Np ----F~b Forspændingsgrd Et forspændt Tværsnit kn krkteriseres ved dets Forspændingsgrd {l:, som her skl defineres som Forholdet mellem Spænd C, Np,:E= ~p i Np Fig _---4~ ' i~: rmeringens og den smlede Trækrmerings Bidrg til Optgelse f det nominelle Brudmoment. For spændingsgrden Henhold til denne D efinition bestemmes f følgende Udtryk: (17.1.1) z A <T':' + z A <T~' P P p 1 1 1

20 ndledning Dekompres sionstilstnd 7 Her betegner: Dekompressionstilstnd z Momentrm ved Brud for Spændrmering (z ) p og ikke-forspændt Armering (zi)' A O'~' Tværsnitsre l f Spændrmering (A) og ikkep forspændt Armering (Ai)' Nominel Spænding ved Brudmoment i Spændrmering (O"~ ) og i ikke-forspændt Armering (O'"'i)' p Henhold til den her indførte Definition f For spændings grden. er denne ufhængig f den Forhndsspænding, som Spændrmering er opspændt til. Almindeligvis vil Forspændingsgrden i Henhold til ovenstende Definition vriere med Retningen f Tvær snittets Momentvektor og derfor med Momentets Fortegn. Bøjningsmomentet under Brugslst for et givet forspændt Tværsnit kn vælges vilkrligt inden for visse Grænser, og Størrelsen f d e tte M ome nt er uden n dflyde l se p visse f Konstr uktio n e n s kr kteristiske Egenskber ssom n om ine l Brudlst og Revn e lst. Forspæ ndingsgr den er derimod ufhængig f Brugslsten og kun fhængig f Tværsnittets Dimensioner og Mterileegenskberne. Konstruktionens mekniske Egenskber - Revnelst, Revnevidde, Deformtioner, Udmttelses styrke etc. - vrierer med For spændingsgrden. Forspændingsgrden er derfor en Størrelse, som er egnet til t krkterisere et Tværsnits mekniske Egenskber. BK, Afsnit i4.1, er Konstruktioner med fuldstændig Forspænding krkteriseret ved, t Betonens Trækstyrke ikke overskrides under Brugslsten. Dette indebærer, t Kriteriet for fuldstændig Forspænding er knyttet til Størrelsen f Brugslsten. Mn kn derfor ikke uden Kendskb til Brugslsten fgøre, om et Tværsnit er fuldstændigt for spændt. For et delvis forspændt Betontværsnit betegnes de fr Forspændingen og Betonens eventuelle Svind hidrørende Norml- og Forskydning s spændinger i Betonen O'bp og 'bp og de tilsvrende Normlspændinger i Spændrmeringen og den ikke-forspændte Armering O'pp og O'ip' Tænkes Tværsnittet desuden pvirket f en fiktiv Krft N po f en sdn Størrelse og Retning og med et sdnt Angrebspunkt, t de resulterende Norml- og For skydnings spændinger i Betonen overlt bliver lig med Nul, vil Tværsnittet være ækvivlent med et tilsvrende svindfrit, ikke"-forspændt, rmeret Betontværsnit med visse Modifiktioner, som omtles nedenfor. Spændrmeringen og den ikke-forspændte Armering hr i denne fiktive Sitution - Dekompressionstilstnden - Forhndsspændingerne O' ppo O' ipo = O' pp +.c,.0' pp } = O' 1 p +.c,. 0' i p (17.i. 2) hvor.c,.o'pp og.c,.o'1p betegner d e Spændingsændringer, som den fik - tive Krft N fremklder i Spændrmeringen og i den ikke-forspændpo te Armering. Det delvis forspændte Tværsnits Forhold - d. v. s. Spændinger, Revnevidder, Deformtioner etc. - kn beregnes som for det tilsvrende ikke-for spændte Tvær snit, idet følgende Forhold tges i Betrgtning: Tværsnittet betrgtes som pvirket f en Snitkrft svrende til Summen f dets fktiske Snitkrft og en Krft med smme Størrelse, Retning og Angrebspunkt som den ovennævnte fiktive Krft N po ' Fortegn. men med modst Armeringen regnes t svre til den smlede Armering, d. v. s. Spændrmering og ikke-forspændt Armering. Ved Beregning f Tværsnittets Spændinger ses ved Opstilling f Ligevægtsligningerne bort fr Bidrg fr O'ppo og O'ipo' hvorinr mod der tges Hensyn til de tilsvrende Forhndstøjninger,

21 F ndledning Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brugsstdiet 9 Armeringernes Spændingstilvækster bestemmes f de r espektive Spændings - T Øjning sreltioner. N r T vær snittets Spændinger er be stemt p denne Mde, findes de fktiske Spændinger i Armeringerne ved Superposition, d. v. s. ved t ddere Forhndsspænding og Spændingstilvækst. Spændingsændringerne L:.er og L:.er 1 i Ligning (17 1 2) er pp p.. ofte s uvæsentlige, t mn tilnærmelsesvis kn regne: er - er ppo = pp } er - er 1po = 1p (17.1.3) spændinger optræder ikke for Lngtidslst. Klsse : Betonkonstruktioner med kombineret Armering. Krv med Hensyn til mksiml Revnevidde. For Lngtidslst kræves, t Betonens Trækstyrke ikke over skrides - eventuelt, t Betontrækspændinger ikke forekommer. Klsse V: Betonkonstruktioner uden For spænding. Krv med Hensyn til mksiml Revnevidde. For sttisk bestemte Konstruktioner svrer Størrelse, Retning og Angrebspunkt for den fiktive Krft N tilnærmelsesvis til Størpo relse, Retning og Angrebspunkt for Resultnten f Spændingerne er ppo i Spændrmeringen. For sttisk ubestemte Konstruktioner vil dette derimod i Reglen ikke være Tilfældet. At Reglen for sttisk bestemte Konstruktioner kun er tilnærmelsesvis opfyldt skyldes Spændingsomlejringer hidrørende fr Betonens Svind og Krybning Kls sifiktion f Betonkonstruktioner Det kn i visse Smmenhæng være formlstjenligt t gruppere Betonkonstruktioner efter deres Tilbøjelighed til Revnednnelse under Brugslst, Revnevidder etc. Herved opns en Mulighed for t kunne henvise til Konstruktioner med beslægtede krkteristiske Egenskber ved t referere til den pgældende Gruppe eller Klsse. CE B-FP' s Rekommndtioner, 197 O [70-1 J opdeler Betonkonstruktioner i fire Klsser, som kort kn krkteriseres sledes: Klsse : Klsse : Betontrækspændinger optræder ikke for nogen Belstningskombintion i Brugsstdiet. Betonens Trækstyrke overskrides ikke for nogen Belstningskombintion i Brugsstdiet, og Betontræk- Denne Klssifiktion skl ikke opfttes som en Kvlitets Klssifiktion. Det Milieu, som Konstruktionen vil komme ud for - tør, fugtig eller ggressiv Atmosfære (se BK, Kpitel 15) - kn dog være fgørende for Vlg f Klsse. Det smme gør sig gældende, hvis der stilles Krv om Sikkerhed mod Gennemsivning f Vædsker - f. Eks. for Beholdere og Tnke. Angende Revnevidder henvises til Afsnit Ogs H e nsyn til D eformtioner eller Udm ttelse kn motivere Anvendel se f Forspænding og sl edes blive bestemmende for, hvill<en Klsse Konstruktionen kommer til t tilhøre. Disse Spørgsml er behndlet i Afsnit 17.5 (Deformtioner) og Afsnit 17.7 (Udmttels e sp vir kning) Sttisk ubestemte Konstruktioner Brugsstdiet For delvis forspændte Konstruktioner m Revner ntges t optræde under Brugslst. Dette hr ndflydelse p Konstruktionens Stivhed og dermed p Snitkrftfordelingen i sttisk ubestemte Konstruktioner. Almindeligvis ses dog bort fr dette Forhold. Herved undgs en væsentlig Kompliktion f Beregningerne. Den Tilnærmelse, der begs ved t regne Konstruktionens Stivhedsforhold svrende til det ur evnede Stdium, nses for t give en for prktisk Dimensionering tilstl'ækkelig Nøjgtighed. En tilsvrende Tilnærmelse

22 """ ndledning nvendes ved rmerede Betonkonstruktioner uden For spænding. SB, Afsnit og 2.22, BK, Afsnit og SBB, Eksempel 16-18, er redegjort for Virkningen f Forspænding i sttisk ubestemte Betonkonstruktioner og for Begrebet lineær Trnsformtion f For spændingen. Ved delvis for spændte Konstruktioner hr For spændingen principielt smme ndflydelse p Konstruktionens mekniske Egenskber som ved fuldstændigt forspændte Konstruktioner bortset fr, t Revnednneise Brugsstdiet ikke er forebygget. Det, der er nført i BK, Afsnit , som gældende for det ur evnede Stdium, ses t kunne udvides til t gælde Brugsstdiet. De Konklusioner, der blev drget med Hensyn til Virkningen f Ændringerne t::.. y. f Spændrmeringens Tyngdepunktslinie ved en lip neær Trnsformtion f Forspændingen, kn i Forbindelse med det i Afsnit definerede Begreb Forspændingssnitkræfter udtrykkes sledes: St tisk ube stemte Konstruktioner. Brugsstdiet <t ru <t JlL <t ~ ~ <t <t W 11 For kontinuerlige Bjælker p fste Understøtninger og for Rmmer med fst Knudepunktsfigur og fste Understøtninger vil de Ændringer f Forspændings snitkræfterne, som opstr i Brugsstdiet ved en lineær Trnsformtion f Forspændingen, kompenseres f de tilsvrende Ændringer f Spændrmeringens Tyngdepunktslinie, forudst t Trnsformtionen ikke omftter sttisk bestemte Dele f Konstruktionen ellel' Fornkringer - bortset fr Fornkringer ved fste ndspændinger. Eksempler p Beregning f sttisk ubestemte Spændbetonkonstruktioner er nført i BK, Afsnit 14.3 og i SBB (Eksempel og 16-18). For symmetriske Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur (Fig ) vil en lineær Trnsformtion f den i BK, Afsnit definerede Art ligesom ved Rmmer med fst Knudepunktsfigur svre til, t der indføres Knæk i Spændrmeringens Tyngdepunktskurve ved nogle Knudepunkter, hvorved der her opstr Enkeltkræfter Hvis den lineære Trnsformtion opfylder Rmmens Symmetri, vil disse Kræfter kunne optges f Rmmens Knudepunktsfigur under Forudsætning f, t symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen forekommer, er indbyrdes direkte forbundne med Fig Symmetriretning. s Fld hr Trns Stænger (Bjælker) i Rmmens formtionen derfor ingen ndflydelse p Momentfordelingen, d. v. s. For symmetriske Rmmer med fste Under s tøtninger hr en lineær T r nsformtion f For spændingen f den i BK, Afsnit definerede Art, som opfylder Rmmens Symmetri og ikke omftter st tisk bestemte Dele f Konstruktionen e n.er Forn k rlnger. - bortset fr Fornkringer ved fste ndspændlnger _ ingen ndflydelse p Konstruktionens Momentfor.delin g i. Brugsstdiet, hvis symmetriske Knudepunkter, hvor VlllkeldreJninger f Spændrmeringen forekommer, er indbyrdes direkte forbundne med Stænger i Rmmens Symmetriretning.

23 forudsættes fornkret ved Chrnieret. s Fld kn R egl e rne vedps ndledning For de i Fig viste Rmmer, som ikke opfylder ovenstende Betingelse for en vilkrlig, symmetrisk, lineær Trnsformtion f For spændingen, s es en sdn t kunne f ndflydelse p Momentfordelingen. Dette hænger smmen med, t de tilsvrende Knudepunktsfigurer kn underg symmetriske Meknisme- Bevægelser (vist punkteret) Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brudstdiet l / / Fi g Fi g For Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur vil en vilkrlig, lineær Trnsformtion f Forspændingen lmindeligvis medføre en Ændri ng f Momentfordelingen i Brugsstdiet. Betrgtes eksempelvis den i Fig viste Rmme med retliniet Spændrmering i Søjler og Bjælke, vil en lineær Trnsformtion f den i Figuren med p unkteret Linie ntydede Art Svre til, t de Kræfter, hvormed Spændrmeringen pvirker Betonkonstruktionen, øges med de viste tre Enkeltkræfter. Krften i h øjre, øverste Hjørne ses t fremklde Bøjningsmomenter i Rmmen. Hvis der i en kontinuerlig Bjælke forekommer et Chrnier mellem to Under støtninger, m Spændrmeringen fr begge Sider rørende lineær Trnsformtion ikke nvend es, d disse forudsætter dels Lineritet f Trnsformtionen mellem to Nbounderstøtninger, dels Bibeholdelse f Fornkringernes P l cering, og disse to Krver her i indbyrdes Modstrid. Hvis der i en Rmme forekommel' et. Chrnier mellem to Knudepunkter, ses Reglerne vedrørende.lineær Trnsformtion f tilsvrende Arsg t være unvendelige Brudstdiet For et givet Tvær snl' t i e n Betonkonstruktion fhænger det nominelle Flydemoment f Spændrmeringens Tværsnitsrel, nominelle Flydespændi ng og Plcering (Momentrm). ndflydelsen f Armeringens Forhndsspæ nding p Flydemomentet er derimod kun f sekundæ r Be tydning. D e tte fremg r f d e i Afsnit 17.2 i Forbindelse med nominelt Brudmoment nførte Ræsonnementer. For kontinuerlige Bjælker og plne Rmmer f rmeret, ikke-forspændt Beton bestemmes d e n nominelle Flydelst i Reglen un-

24 ndledning Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brudstdiet 15 der den forenklende Forudsætning, t Tvær snittenes Moment-Krum_ nings-reltion svrer til stiv-ide lplstisk Opfø rsel. For forspændte Konstruktioner kn den smme Tilnærmelse benyttes. en Beregning f en kontinuerlig Bjælkes eller pln Rmmes nominelle Flydelst under proportionl Belstning indgr Størrelsen f de nominelle Flydernornenter; men Flydelsten er ufhængig f de Bøjningsmomenter, som tidligere hr optrdt i Konstruktionen (ufhængig f Konstruktionens B e lstningshistorie). Ekstrpvirkninger hidrørende fr Svind, Temperturvritioner, Understøtningsflytninger etc. hr derfor ingen ndvirkning p Flydelsten. De i Afsnit definerede Forspændingssnitkræfter hr smme Krkter som disse Ekstrpvirkninger, og Flydelsten er derfor ogs ufhængig f Forspændings snitkræfterne. Af ovenstende Redegø relse konkluderes: For kontinuerlige Bjælker og plne Rmmer er Flydelsten ved proportionl Belstning ufhængig f den Forh ndsspænding, m n h r g i vet Spænd rme r ingen. En lineær Trnsformtion f Forspændingen svrer til en Flytning f Spændrmeringen eller f en Del f Spændrmeringen. Dette medfører Ændringer i Tværsnittenes F Y d ernomenter. Ændringens Størrelse svrer til Produktet f Flytningen og den flyttede Armerings nominelle Flydekrft. For et givet Tværsnit er Ændringerne f de numeriske Værdier f det positive og det negtive Flydemoment numerisk lige store, og de hr modst Fortegn. Ændringerne i Flydemome nt mellem to NbOknudepunkter er en lineær Funktion f Afst ndene til disse Knudepunkter. En vilkrlig, lineær Trnsformtion kn opdeles i Elementer hvert omfttende to Nbobjælker, i hvis fælles Knudepunkt en Flytn ing f Spænd rmeringen forekommer, medens der ikke foregr nogen Flytning i Bjælkernes ndre Endepunkter. Den smlede Virkning f en vilkr lig Trnsformtion kn findes ved Superposition f sdnne Element r -Trnsformtioner. Virkningen f en Elementr-Trnsformtion p en kontinuerlig Bjælke p fste Understøtninger kn vurderes ved følgende Ræ- sonnement: MomentforlØbet i en kontinuerlig Bjælke med vilkrlig Belstning er illustreret i Fig Momenterne er ngivet som Ordintdifferencen mellem de krumme Momentkurver, der svrer til simpel Understøtning, og den knækkede, fuldt optrukne Slutlinie. Situtionen ntges t svre til, t Belstningen i Fg n-i, n netop hr net Flydelsten. Fig Foretges en lineær Elementr-Trnsformtion svrende til, t d e n nume ris k e V æ rdi f d e t negtive Flydemoment ved Knude punkt n øges med Størrel sen ~M, v il Bj æ lke fget kunne optge de med Skrvering ngivne negtive og positive Momenter. D dette slede s r e præsenterer et tilldeligt og sttisk muligt Momentfelt, hr Trnsformtionen ikke medført nogen Reduktion f Flydelsten. At den heller ikke hr medført nogen Øgning f Flydelsten, fremgr f, t Momenterne før Trnsformtionen svrede til Flydemomentet i tilstrækkeligt mnge Punkter til, t del' hr kunnet dnnes en Meknisme, og dette vil derfor ogs være Tilfældet i de smme Punkter efter Trnsformtionen. D en vilkrlig, lineær Trnsformtion kn dnnes ved Superposition f Elementr-Trnsformtioner, vil Flydelsten ikke ændres ved en vilkrlig, lineær Trnsformtion. For Rmmer med fst Knudepunktsfigur (Fig ) ses ovenstende Ræsonnement ogs t føre til, t Flydelsten ikke ændres ved en lineær Trnsformtion. Fol' symmetriske Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur (Fig ) ses ved et tilsvrende Ræsonnement, t en lineær Trnsformtion, som opfylder Rmmens Symmetri, ikke ændrer Flydelsten,

25 ndledning Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brudstdiet 17 Fig hvis symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen forekommer, e r indbyrdes direkte forbundne med Stænger i Symm e tr ir etning en. Hvis Betingelsen - symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen forekommer, er indbyrdes direkte forbundne med Stænger i Symmetriretningen - ikke e r opfyldt, kn en symmetrisk, lineær Trnsformtion medføre Ændring f Flydelsten. Dette fremgr f d et i Fig viste Eksempel. Denne Rmme ntges lene belstet med symmetrisk, lodret Lst p de to skr Bjælker, og Momentforløbet ved Flydelsten er ngivet med Skrvering. et Fig En lineær Trnsformtion f den med punkterede Linier ntydede Krkter giver ikke Mulighed for en tilsvl'ende Flytning f Slutlinien, d dette forudsætter en Øgning f Horisontltrykket H, hvilket vilde medføre en Ændring f Momentet ved Rmmens Symmetrilinie (ntydet med stiplede Linier i Fig ).Det til denne Slutlinie svr e nde Momentfelt er sttisk muligt. Derimod er det ikke Fig. 17.!.7 sikkert, t det er tilldeligt, d de tilsvrende Momenter repræsen ~ terer en Øgning f Bjælkernes negtive Momenter, der er større end den, som den lineære Trnsformtion betinger.

26 ndledning Hvis den lineære Trnsformtion ikke opfylder Rmmens Symmetri, kn den medføre Ændring f Flyde lsten. Dette fremgr f det i Fig viste Eksempel. Denne Rmme ntges lene belstet f en symmetrisk Enkeltkrft. En lineær Trnsformtion f den med punkterede Linier ntydede Art giver ikke Mulighed for en tilsvrende Flytning f Slutlinien, d dennes Ordinter m være proportionle med Afstnden fr Horisontlrektionen H. et Lineær Trnsformtion 19 tingeiser, der med Hensyn til Brugsstdiet m stilles. dels om fste Understøtninger, dels om fste ndspændinger, ved hvilke Flytning f Fornkringer forekommer. Disse Betingelser er overflødige for s vidt ngr Brud- eller Flydelsten, hvis Konstruktionen forudsættes idel-plstisk. De fundne Resultter kn herudover smmenfttes følgende Konklusion: For kontinuerlige Bjælker p fste Understøtninger og for Rmmer med fst Knudepunktsfigur og fste Understøtninger hr en lineær Trnsformtion f For spændingen, som ikke omftter sttisk bestemte Dele f Konstruktionen eller Fornkringer - bortset fr Fornkringer ved fste ndspændinger - ingen ndflydelse hverken p Spændingerne i Brugs stdiet eller p Bæreevnen (Flydelsten) ved proportionl Belstning. Det smme gælder for symmetriske Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur og fste Understøtninger, hvis symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen fore kommer, er ind byrd es direkte forbundne med S t ænger i Rmmen s Symme t r i retning. Fig Lineær Trnsformtion SB, Afsnit og 2.22, BK, Afsnit 14.3, SBB, Eksempe og ovenstende Afsnit e r gjort Rede for Virkningen f en lineær Trnsformtion f Spændrmeringen. Det hr især ntere s se t f stsl de Tilfælde, hvor en lineær Trnsformtion er uden ndflydelse i Brugs- og Brudstdiet. Det fremgr, t de Tilfælde, hvor Brugsstdiet er upvirket f Trnsformtionen, er næsten smmenfldende med de Tilfælde, hvor Brudstdiet er upvirket derf. En Undtgelse herfr udgø r de Be-

27 Nominel Brudlst Nominel Brudlst NOMNEL BRUDLAST Beregning f et delvis fo r spændt Tvær snits nomine lle Brudmo - ment kn udføres Overensstemmelse med de BK og SB ngivne Principper unde r Bensyntgen til d e ls For s k e l Armeringstypernes Arbejdslinier, d e ls t mn hr g ivet Spændrmeringen en Forhnds Tøjning, som her vil blive betegne t (p (svr er til (f i SB). Beregningen kn f. Eks. gennemfør es ved t skønne de Spændinger rr~', som optræder i de to Armeringstyper. Som førs te Skøn kn f. Eks. vælges Armeringernes nominelle T rækflydespændinger svrende til 0,20/0 blivende Forlængelse. Herefter beregnes Trækspændingernes Resultnt N f Udtryk ket: og \ ). (, /00 bu -, ngiver d en ikke-forspændte Armerings Nyttehøjde (se Fig.! - hp h f hm Y = t X db t--l N' [!=====r- b _ N 2:,Arr" (17.2.1) E h vor A betegner de individuelle Armeringstypers Tværsnitsreler, og den tilsvrende Resultnt N b f Betontrykspændingerne. For ren Bøjning er: Fig For Spændrmeri ngen med Nytt e højde h p er N' b N (17.2.2) ( ( + 6( p p ( + (0, 75 p y. h p - 1\ t' J bu (' ) Er Tværsnittet pvirket f en excentrisk Normlkrft N med givet Angrebspunkt og dens nominelle Brudværdi ønskes beregnet, kn den til N svrende Værdi f Nb bestemmes f Momentligevægten om N's Angrebspunkt, idet Afstnden mellem N og Nb skønnes. Forudsættes ensformig Fordeling f Betontrykspændingerne rr!'-' b ' kn Højden y f Betontrykzonen beregnes svrende til Væ rdien f Nb' Ved excentrisk Normlkrft kn den SkØnnede Afstnd mellem N og Nb herefter om fornødent korrigere s. Den tilsvrende Tøjning i den ikke-forspændte Arme ring er Henhold til BlU, Ligning ( ): hvor ( = ( = ( ~- 1\' 1 y. ') bu hi (17.2.3) For tp bør h er formelt indfø r es den Tøjning, som optræder i Spænd rmeringen, nr den omgivende Beton er spændingsløs. Almindeligvis kn i denne Forbindelse ses bort fr Tøjningsændringer i Spændrmeringen hidrørende fr B e ls tningen, s længe Betonen er urevnet. Dette svr er til, t der fo r (p kn indføres d e n til den effektive Forspæ nding svre nde Værdi unde r Hensyntgen til Friktion og Spændingstb fr B e tone n s Svind o g Krybning og fr Armeringens Relkstion. Værdien f tp hr i øvrigt som oftest kun uvæsentlig ndflydelse p Brudmome nte t. Ud fr de fundne Værdier f ( kn beregnes korrigerede Vær' die r f Spændingerne rr':' i Arrneringerne. Beregningerne gentges, til fornø d e n Overensstemmelse er opnet. Ønske s e n eventu e l Trykrmering tget i Regning, kn dette gøres e fte r smme Princip som nført i BK, Afsnit , ud fr s k ø nnede eller beregnede Vær-

28 Nominel Brudlst 17.2 N ominel Brudlst 23 dier f E' Nr smtlige Spændinger er beregnet med tilstrækkelig Nøjgtighed, finde s det nominelle Brudmoment eller den nominelle Brudværdi f den excentriske Normlkrft som Spændingernes Resultnt med modst Fortegn. Det bør desuden undersøges, om det beregnede Brudmoment overskrider Tværsnittets mksimle Brudmoment svrende til BK, Ligning ( ). For Nyttehøjden indføres i denne Forbindelse Afstnden hm fr den mest trykkede Knt til Angrebspunkte t for Result nten f Spæ ndingerne i Trækrmeringerne. For r e n, enkeltsymmetrisk Bø jning og konst nt Trykzonebredde f s, hvis der ses bort fr Trykrmering: S pænd rmering kke - forspændt Armering ~ (17.2.5) Fig og hvor bde A, (Ti og h kn hve forskellige Værdi er Led. Desuden skl følgende Betingelse være opfyldt: (17.2.6) Summtionens Bet egnes d en nom ine lle F lydespænding for den ikke-forspændte Armering ~:, og for Spændrmeringe n (T~p' vil dis s e Spæ nding e r optræde i de respektive Armeringstyper, nr E overskrider følgende Værdier: For den ikke-forspændte Armering: E E o (17.2.9) (17.2.7) For Spændrmeringen: hvor 'l el' give t ved Ligning (7.32.2) i BK, og hm ngiver Nyttehøjden fol' hele Armeringen, idet de individuelle Armeringsreler reg E E po ( ) nes m e d Vægt i Forhold til deres Spænding, d. v. s. h m ~ ha(t ~' M l N N"+2Y ( ) Spændrmeringens Forhnds-Tøjning er under disse Forudsætninger helt uden ndflydelse p det nominelle Brudmoment, s længe dens Beregningen kn simplificeres ved t tilnærme de to Armeringstypers nominelle Arbejdslinier svrende til, t Stlet er lineær-elstisk-idelplstisk (Fig ). Brudtøjning blot er større end E po En god Udnyttelse f begge Armeringstyper ved Brudlst er opnet, hvis disses Spændinger ved Brud tilnærmelsesvis er henholds-

29 Nominel Brudlst vis!t1'1og!t1'p' Ved Vlg f en pssende høj Værdi f Spændrmeringens Forhnds-Tøjning hr mn derfor en Mulighed for t tilstræbe en økonomisk Konstruktion. Bøjningsmomentet M i Ligning ( ) repræsenterer den totle Snitkrft, som optges f Beton, Spændrmering og ikke - forspændt Armering. Det tilsvrende gælder for Tvær snit pvirket f en excentrisk Normlkrft. For sttisk ubestemte Konstruktioner i n kluderer denne Snitkrft Forspændingssnitkrften (s e Afsnit ). Dette svrer til, t den i Afsnit omtlte fiktive Krft N po ikke ligger i smme Linie som Resultnten f Spændingerne Spændrmeringen. Det i Afsnit ngivne Princip for Beregning f delvis forspændt Beton ved Tilføjelse f ovennævnte fiktive Krft N fører po til smme Re sultter som nført ovenfor. For sttisk bestemte Kons.truktioner fremgr dette f, t den til Krften N med modst po Fortegn svrende Krft er ækvi vl ent med det Bidrg, der svrer til, t Forhnds -Tøjningen rp er tget i Regning i Ligning ( ). For sttisk ubestemt e Konstruktioner komme r h e rtil e t M omentbidrg hidrørende fr Forspæ ndingssnitkrften, men dette Bidrg s k l i lle Tilfæ lde medregnes i Snitkrften Nominel Brudlst 25 Den effektive Forspænding i Spændrmeringen under Hensyntgen til Spænding s tb fr Betonens Svind og Krybning og Spæn:!.rmeringens Relkstion regnes t være (fp 5000 kp/cm 2 Denne Spænding ntges t optræde i Spændrmeringen, nr Spændingen i den omgivende Beton er lig med Nul, d. v. s. der ses bort fr Ændring denne Spænding svl' ende til Betonens elstiske Deformtioner. For Betonen regnes Antges. Spændingerne cr'bk cr'b:' 300 kp/ cm z 100 kp/cm z begge Armeringstyper t svre til de nominelle Flyde spændinger, bliver i Henhold til Ligning ( ): Ni:, = N = 24,5-3, ,3' 5,33 = 91,4+84,7 = 176,1 Mp Ligning (17.2.5): Y = 40' 100 Spænd rmeringens Forhnds-Tøjning er, p (f ~ E , O' cm 2, /00 Tleksempel Nr Det nominelle Brudmoment M ønskes bestemt for et rektngulært Tværsnit med Bredden b = 40 cm og Totlhøjden h 100 cm t rmeret dels med en ikke-forspændt Armering bestende f 5 T 25, hvis Tyngdepunkter el' beliggende 5 cm over Tværsnittets Underknt, dels med tre Spændrmeringsstænger, som hver hr et Tværsnitsrel p 5,3 cm z, og som hr deres Tyngdepunkter beliggende 10 cm over Tvær snittets Underknt. Begge Armerings-Typer s nominelle Arbejdslinier regnes tilnærmet svrende til, t de er lineær-elstiske-idel-plstiske. For begge Armerings-Typer regnes Elsticitetskoefficienten t være 6 E = 2,1. 10 kp/cm z De nominelle Flydespændinger regnes t være: For Tentor-Armeringen: For Spændrmeringen: 3730 kp/ cm z 5330 kp/ cm z Nyttehøjden er : For d en ikke-forspændte Armering: For Spændrmeringen: Ligning ( ): hi = h P For den ikke-forspændte Armering: For Spændrmeringen: 0, 75' 95-1) 'i = 0,0035 ( 44, O 95 cm 90 cm 2,15 0 /00 0,75' 90 ) o ' = 0, ,0035 ( 44, O - 1 = 4,25 /00

30 Nominel Brudlst Revnelst 27 Ligning ( ): E o ,78 0 /00 < 2,15 0 /00 E po 2,54 0 /00 < 4, 25 0 /00 Antgelsen om, t Spændingen i begge Armeringstyper svrer til de nominelle F lydespændinger, er sl edes opfyldt REVNELAST Ved Beregning f Revnelst er det rimeligst t ntge, t Mterilerne er lineær-el stiske. Principielt bør det dog eftervises, t denne Antgelse er opfyldt med tilstrækkelig NØjgti ghed. For et delvis forspændt Tværsnit (Fig ) pvirket til enkeltsymmetrisk Bøjning skl i det fø l gende opstilles Udtryk for den Belstning - Revnelsten - for hvilken Betonens nominelle Trækstyrke (fb netop overskrides. Ligning (17.2.6): M = 91,4(95 - t 44)' ,7(90 - t 44)' ,3 Mpm BK, Ligning ( ): 300 O, , 725 Ligning ( ): h m 124, 3 10 Z l 176, 1 + 2" 44, O 92,6 cm M Ligning (17.2.7): M ~ t 0,725 ' 40' 92,6 z '100'10-5 = 124,3 Mpm Med den givne Armering er Betontværsnittet sledes netop udnyttet. Det nominelle Brudmoment kn ikke øges ved en Øgning f Armeringen. M 124 Mpm Fig Den Del f Betonens uhindrede Svindtøjning, som vilde være indtrdt i Perioden efter Etbleringen f Forbindelse mellem Spændrmering og Beton, betegnes E' Den tilsvrende, uhindrede, totle rp Svindtøjning efter Betonens Afbinding betegnes E~O' Tværsnittet ntges pvirket f en effektiv Forspændingskrft, hvis Størrelse under Hensyntgen til smtlige Spænding stb er Np' Dens Excentricitet i Forhold til det trnsformerede Tvær snits Øvre Kærnepunkt C betegnes e (se Fig ). pc For sttisk bestemte Konstruktioner ngriber denne Krft i Spændrmeringens Tyngdepunkt. For sttisk ubestemte Konstruktioner er dette lmindeligvis ikke Tilfældet.

31 Revnelst Revnelst 29 Bde Spændrmeringen og den ikke-forspændte Armering reducerer Betonens Svind. Dette Forhold kn tænkes e limineret ved i de respektive Armeringers Tyngdepunkter t pføre Tværsnittet fiktive Tryknormlkræfter f Størrelsen hvor A, E og '~. N' AE " r ( ) betegnel' de to Armeringstypers Tværsnitsrel (A p og A 1 ), Elsticitetskoefficient (E og E ) og Betonens uhindrede... p 1 SVllldtøJmnger ('~'p og E~. O) siden Etblering f Forbindelse m e llem Beton og de r espektive Armeringstyper. Dis se N ormlkræfter s Excentricitet i Forhold til det trnsfor _ mered e Tvær snits Øvre Kernepunkt C betegnes e (e og e ).. c c p c1. Excentnclteterne regnes med Fortegn - positiv t, hvis Normlkræfterne ngriber under C. Spændingen ved et ur evnet Tværsnits Underknt fremkldt f en excentrisk Normlkrft N er den smme, som fr e mkldes f et Bøjningsmoment svrende til N' s Moment om det Øvre l<ernepunkt C. Dette følger f, t Tilføjelse f en fiktiv Krft -N i C er uden ndflydelse p den søgte Spænding, og det derved fremkomne Krftpr svrer til et Moment f ovennævnte Størrelse. De til d e ved Ligning ( ) g i vne fiktive Kræfter svrende modst rettede Kræfter og For spæ ndingskrften medfører derfor ved Tværsnittets Underknt en Betonspænding f StØrrelsen: 1 o-b = W (L: A E,'e - N e ) o tf r c p pc h vor W tf betegner Tvær snitte t s trnsformerede Modst ndsmoment ( ) svrende til Spændingen ved Tværsnittets Underknt og o- er r egnet, bo positiv som Træksp æ nding. Ved Beregning f W bør for Forholdet tf n mellem Armeringens og Betonens E lsticitetskoefficienter nsætte s en Værdi svr ende til, t Betonens Tøjninger inkluderer Bidrg fr Krybning, og e pc,e cp og e c 1 regnes til det tilsvrende tr n sformerede T vær snits Kernepunkt. Revner ved Tværsnittets Unde rknt vil optræde, nr det p v i rkes f e t Bøjningsmoment ~ bestemt f følgende Ligning: (17.3.3) hvor W t betegner Tværsnittets t r nsformerede Modstndsmoment sv- rende til Spændingen ved Tvær snittets Underkn t, idet m n ved Beregning f W for Forholdet n mellem Armeringens og Betonens E lsticite tskoeffi c i enter nsætter en Værdi s vrende til Betonens Tøj t ninger fremkldt f Bøjningsmomentet ~. Fremkldes Revnerne f en Korttidslst, sk l d erfor indføres en lv Værdi f n, og opstr Revnerne unde r ndflydelse f en Belstning, som øges s lngsomt, t Krybningen kn n t find e Sted, ~enyttes en dertil svrende højere Værdi f n. A f Ligning (17.3.2) og (" ): ("17.3.4) Det f r e mg r f Ligning (17.3.4), t d e t Bøjningsmoment ~, som fremklder Revner ved e n Knt f Normlsnittet, reduceres f Armering nær denne Knt p Grund f Svind. W v il l m indeligvis være større end W p Grund f Krybning, d. v. s. Krybni ngen r e ducerer Forspændingens Bidrg til Revne tf t momentet. Er Tværsnittet pvirket f en excentrisk Tryknormlkrft N' med Excentriciteten e ' i Forhold til C (Fig ) eller f en cn b Fig excentri s k Træknormlkrft N med Excentriciteten e i Forhold t il cn C (Fig b) i begge Tilfæ lde ngribende i Tværsnittets Symmetrilinie, vil den nomine lle Revneværdi f Normlkrften svre til, t d ens Moment om C er lig med ~, idet 'b ved T vær sni t tets Under-

32 Revnelst Revnelst 31 knt ikke ændres, hvis mn i C tilføjer en fiktiv Krft lig med og modst rettet Normlkrften (N r eller N). og Revneværdien f N r og N er derfor idet der i disse Udtryk for 1111 indføres den ved Ligning (17.3.4) ngivne Værdi. (17.3.5) ( ) D 1111 i Ligning (17.3. Z) og dermed Ni og ~ i Ligning (17.3.5,- 6) er bseret p Værdien!Tb f Betonens nominelle Trækstyrke, er der Tle om nominelle Revneværdier f 1111, Ni og ~. For sttisk bestemte Konstruktioner er e e. pc ep T l e k sem pel Nr For det i Tleksempel 17. Z. 1 behndlede Tværsnit ntges Betonens nominelle Trækbrudspænding t være!tf,' = 10 kp/ cm 2 det n betegner Forholdet mellem Armeringens og Betonens Elsticitetskoefficienter, regne s n lig med henholdsvis 7 (Korttidslst) og ZO (Lngtidslst) ved Beregning f W t og Wtf" For begge Armeringstyper regnes E = 2,1' 10 6 kp/cm 2, For Betonens uhindrede Svind regnes: Er ro 0,30' 10-3 Er rp 0,25' 10-3 For n = 20 fs, idet ndex f ngiver, t Bidrg fr Krybning er inkluderet: B tf = 40' ' 5, 3 + ZO' 24,5 = = 4808 cm 2 Sttisk Moment om Betontværsnittets vndrette Symmetrilinie: Stf = (i 100-5) = 1Z ' 45 = = cm å8 7,2 cm Det trnsformerede Tværsnits nertimoment er: For n = 7: B t e pc }Z 40' ' ' :;~t 3, ,509' ,992' ,251' ,583'10 cm 4, 583'10 6 Wtf = , Z 4 i , Z-iO + 10, ~~~810 e = e ep pc 55, = 60,1 cm 55, 1 cm = ' 5, Z4, 5 = Z = 4283 cm z S = 111' ' 4 5 = = cm 3 t N e p pc 1Z180 ; = 4283 = Z,8 cm 6 1Z ,333' ' 40 z + 172' 45 z (3, , ,348-0,035) = 3, 8Z4' 10 cm _ 3, _ 4 W 8,10' 10 cm 3 t - ~ Z, ' 5,3' 5000' 55,1' 10 = 43,8 Mpm L A E Er e = r c 6 ) -3-5 Z,1'10 (3'5,3'0,25'55,1+24,5'0,3'60, 1 '10 '10 Z,1' io-z (Z Z) = Z,1' io-z. 661 = 13,9 Mpm Ligning (17.3.4): ~ = 8,10' 10 4 ( ,8-13, ) ,71' ,810 (10 + Z7, 9) = 30,7 Mpm

33 Revne l s t Forspændingsgrdens ndflyde l se p Revnelsten 33 Hvis Svindet ikke h vde forekommet, vilde R evn emomente t være øget til 438 N 1 = 0,81 0 (' ,71) = 0, 81' 50,9 = 41,2 Mpm idet del' her er s~t bort fr Svindets ndflydelse p Np H vis Revnerne t ænkes fremkldt f et MOluent, som h vd e Krkter f en Lngtidslst, vilde W i Ligning ( ) øges mod Værdie n W. Fox W = W fs med d e først i Eksemplet stipulerede tf t tf t Værdier for Svindet: ~ = 10,71 ' ( ,9) 40,6 Mpm Den e ffektive Forspændingskrft el' N = 3' 5,3' 5 = 79,5 Mp p Betontryks pændingen ved Normlsnittets Overknt svrend e til den største f de fundne Værdier f ~ e r 79,5' ,5' , (i ,2-10) (50 + 7, 2) (fb = ,583' kp/em z Ant gelsen om lineær E l sticitet er sledes opfyldt bd e for Beton og Armering. og hvis del' ikke forekommer S v ind: ~ = '10,71 ' ,9 = 54,5 M pm Revnemome ntets Afhængighed f Svind og Belstningsvrighed illus treres f nedenstende Skem, hvor Værdierne e l' frunded e: Revnemomen t Svind Svind i Mpm for ekolumer forekommer ikke Korttidslst Lngtidslst D Revnemomentet for Lngtidslst el' større end for Korttids l s t p Grund f Spændingsomlejringer hidrørende fr Betonens Krybn i ng, er d et en FOl'udsætning fol' dis Se større Værdier s Gyldighed, t Lstøgningen for egr s lngsomt, t Krybningen kn n t fin d e Sted. Armeringens Tillægstøjning u d over den T ø j ning, der svrer til, t den omgivende Beton er s pændingsfri, er t::, E < '10' 20 ::. O 10 0/00 2,1'106 - ' D Spændr meringens Forhndstøjning vr 2,38 0 /00, blive r d en resulterende T øj ning ved Revnelsten E < 2,38 + 0,10 = 2,48 < E po 2,54 0 / Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnelsten Forspændi ngsgrdens ndflydelse p Revnelsten kn illustreres ved t betrgte Tværsnit, der er identiske bortset fr Værdien {) f Forspændingsgrden. Hel' forudsættes, Værdier fol' de to Armeringstyper, og t e = e = e d ep pe Ligning ( ) kn d omskrives til e e c' hl' de smme l' ('17.3.7) ('17.3.8) Tværsnittene ntges t h ve smme nominelle Brudmoment og smme Værdi f (fp "D ;Forspændingsgrden el' defineret som Forholdet mellem Spændrmeringens og den sml ede Trækrmerings Bidrg til Optgel se f det smlede nominelle Brudmoment, er Spændrmeringens Bidrg til Brudmomente t proportionlt med {). D et smme gælder d erfor A p ' D e n ikke-for s p æ ndte A rmerings Bidrg til Brudmomentet el' fø lgelig en lineær Funktion f {). Dette gælder sledes ogs A 1, L; A og Udtrykket i Prentesen i Lig ning (17.3.8).

34 <, Revnelst For spændingsgrdens ndflydelse p Revnelsten 35 Ved Vrition f ~ vil W, W og e ogs vriere noget; t tf c men disse Vritioner er dog reltivt uvæsentlige. Under de ovenfor nførte Forudsætninger følger herf: Revnelsten vrierer tilnærmelsesvis lineært med Forspæn'dingsgrden. Ligning (17.3.8): W t (A T E -- ~~-~Cl W bh (Te" <1'* r tf t b b ndsætte s ovenstende Tlværdier, fs Det fremgr f nedenstende Tleksempel Nr , t den Unøjgtighed, som indføres ved t regne, t Revnelsten vrierer lineært med Forspændingsgrden, er ret uvæsentlig (c. 5% for Korttidslst og c. 0, 4% for Lngtidslst). Det fremgr f Ligning (17.3.8), t ~ kn blive negtiv for sm Værdier f ~ - dog tillige fhængig f ndre Prmetre, især f Værdierne f (T~', c~ og L:,A. ~ bhz(te" t b D det nominelle Brudmoment forudsættes ikke t vriere med ~, er Nævneren i Ligning (17.1.1) konstnt, d.v. s. A er proportio- -3 p nl med &. D A p = 2' 10 b h t for () = 1, er for O.:::.. ~.:::.. 1 A p 2 () 10-3 b h t D Momentrmene z1 og zp i Ligning (17.1.1) her er lige store og Nævneren konstnt, er Størrelsen Tleksempel Nr Revnemomentets A fhængi gh ed f Forspændingsgrden ønskes beregnet under de i Afsnit ngivne Forudsæ tninger, idet Tvæ r snittet er rektngulært med Tot lliøjde h t og Bredd e b. D det er hensigtsmæssigt t rbejde med dimensionsløse Størrelser, ngives nedenfor de for Beregningen fornødne Prmetre som Forhold mellem de indgende Størrelser. Disse Forhold m ikke opfttes som Udtryk for en fysisk Smmenhæng mellem Størrelserne. c' r E (T 10 3 (Tb" p T':' = 2 5 (T '~ p, 1 h p OO For,,> hi = h = 0,95h t '" 1: A p = 2' 10-3 bh t Revnemomentet ønskes først bestemt for Korttidslst. Ved Beregning f W t regne s n = 7. Ved Beregning f W tf og e c regnes n 20 svrende til, t Forspændingen er en Lngtidslst. hvor 1){ er en Konstnt. For ~ = t er hvorf For O ~ ~ ~ 1 fs hvorf U"~:~ ~A +A (Ti p 1 2,5" 2~'10-3bh + A '" 5'10-3 bh t 1 t -3 At = 5 ( 1 - ~ ) 10 b h t L:, A A + Ai = [2 ~ + 5 (1 - ~ ) l 10-3 b h p t L:,A = (5-3{)) b h t Kernepunktsexcentriciteten er med de i Afsnit nvendte Bogstvsymboler: e c

35 Revnelst hvor Tyngdepunktsflytningen ~ svrer til n " 20, og B tf betegner det trnsformere de Betonrel svrende til n " 20. Betonrelets og Armeringens nertimomenter om den f Betontværsnittets Symmetrilinier, der er prllel med Momentvektor en, betegnes b og l' For n " 7 fs : " 0,5 1 n:6a 0,035 0,0245 0,014 bh t Bt 1, 035 1,0245 1,014 bh t St 0, ,0110 0,0063 bh t ~ /h t 0,015 0,011 0,006 ~ 0, ,0833 0,0833 bh 3 t 0,0071 0,0050 0,0028 bh 3 t SZ t 0,0002 0,0001 0,0000 Bt bhf t bh 3 t! h t - ~ ~ 0,0902 0,0882 0,0861 0,485 0,489 0,494 For n For spændingsgrdens ndflydelse p Revnel s t en fs tilsvrende: " n:6a b\ 0,5 1 0,100 0,070 0,040 Btf 1,100 1,070 1,040 bh t S t bh2 t 0,045 0,0315 0,018 ~ /h t 0,041 0,029 0,017 ~ 0,0833 bh 3 0,0833 0,0833 t 0, 0203 bh 3 0,0142 0,0081 t S2 t B tf bh~ 0, ,0009 0,0003 t 0,1018 0,0966 0,0911 bh3 t! h t - ~ --h-t- 0,459 0,471 0,483 Wtf bhz t 0,222 0,205 0,189 W t 0,186 0,180 0,174 bhi

36 , ' Revnelst Beregning f Revnemomentet fremkldt f Korttidslst fremgr f følgende. Tbel. Størrelsen S svrer til n = For spændingsgrdens ndflydelse p Revnelsten 39 l) O 0,5 1 Dette giver: W tf 0,202 0,192 0,182 Btfh t 0,45 - S /h t 0,409 0,421 0,433 ec/h t 0,611 0,613 0,615 e W c t h t Wtf 0,512 0,538 0,566 l) O 0,5 1 ~ e ( E... A _ 60 L: A ) h bh t t bh - 0,183 0,484 1,156 t ~ bh Z er t.' t b 0,039 0,689 1,345 A E... bh t 0,000 2, L: A bh t 0,300 0, A L:A ~ - 60 bil t t - O, 300 0,790 1,88 0 e c W t (1 03 ~ _ 60 L: A ) h t W tf bh t bh t - 0,154 0,425 1,064 ~ bhz er* t b 0,032 0,605 1,238 Beregnes Revnemomentet svrende til l) = 0,5 p Bsis f de tilsv rende Værdier for l) = O og Revnemomente t vrierer lineært med l), fs: ~ --- = i (O, ,238) b h Z er':' t b l) = 1 under Forudsætning f, t 0,635 Denne Væ rdi er 5 % større end den korrekte. Fremkldes Revnerne f Lngtidslst, bestemmes Revnemomomentet f Udtrykket Beregne s Revnemomentet svrende til l) = O, 5 p Bsis f de tilsvrende Værdier for l) = O og l) = 1 under Forudsætning f, t Revnemomentet vrierer lineært med ~, ~ bh z er '~ = i (0, ,345) t b fs i dette Tilfælde: 0,692 Denne Værdi er 0,4% større end den korrekte. Revnemomentets Afhængighed f Forspændingsgrden er illustreret Fig At Forholdet mellem Revnemomentet for Lngtids- og Korttidslst her er væsentligt mindre end i Tleksempel Nr hænger smmen med, t Armeringsforholdet h er lngt større i Tleksempel Nr i. Antges er;: = 40erb~' bliver det mekniske Armeringsforhold for l) = O i Henhold til BK, Ligning ( ): A ert.' bhcr'b* BK, Ligning ( ) og ( ): M u fl. = 0,211 (1 - i 0,211) 0,189' b(o,95h/'10erg ±2... 0,95 0,189 O, 211 Dette er det nominelle Brudmoment, som ifølge Forudsætningerne er

37 Revnelst 17.4 Revnevidder REVNEVDDER 1,0 Brugslst Lngtidslst 0,86t-----' ~<L- :;O;~ Fig Korttidslst 0,63 0,71 1,0 ufhængigt f &. Antges Momentet under Brugslst t kunne blive M " O, 5 M u ' svrer dette til M ~ t b 0, 86 Den tilsvrende Linie er indtegnet i Fig Betingelsen for, t Tværsnittet ikke revner, fhænger f, om Belstningen hr Krkter f Lngtids- eller Korttidslst. det foreliggende Tilfælde er Betingelsen: For Lngtidslst & > 0,63 & For Korttidslst & > 0,71 & Tvær snittene med & > & er sledes fuldstændigt forspændte. Ved F stsættelse f tilldelig, mksiml Revne vidde for Betonkonstruktioner bør følgende Forhold tges i Betrgtning. En Del f de Armeringstyper, som nvendes til Spændrmering, er meget mere følsomme for Korrosion end Armering til ikkefor spændt Beton. Til Spændbeton nvendes ofte Armering med mindre Dimter end ved ikke-forspændt Beton. Et Korrosionsngreb f en given Dybde vil derfor medføre en større procentisk Reduktion f Armeringens Tværsnitsrel ved Spændrmering end ved ikke-forspændt Armering. Korrosion kn hve en Tendens til t ngribe loklt, g i Dybden og fremklde lokle Sr, som er lngt frligere end en jævnt fordelt Overfldekorrosion, og som især medfører en betydelig Reduktion f A rmeringens Styrke over for dynmisk Pvirkning. Korrosionsngrebet kn øges med Arme ringens Trækspænding. Dette Fænomen, som betegnes Spændingskorrosion, hr Krkter f en interkrystllinsk Revnednnelse under s mtidig ndvirkning f kor ros ions fr emk lde nde Milieu o g Træ kspæ nding i St let. Alle Stlty p e r, s o m nvendes til Spændrmeri ng, m ntges t være fø l somme for Spæ ndingskorro s ion; m e n d enne Føl s omhe d vrierer m ed Stltypen. Det bør generelt tilstræbes t undg Anvende lse f Armering, som hr udpræget Tendens til Spændingskorrosion. Spændingskorrosion medfører en Reduktion f Armeringens sttiske Styrke og især en Skørhed f Stlet, som bevirker en Reduktion f Armeringens Styrke over for dynmisk Pvirkning. En lignende Virkning kn opst ved Tilstedeværelse f Brint i tomr Tilstnd. D e tte Fænomen, Brint-Skørhed, som ofte forveksles med Spændingskorrosion, hr forrsget lngt flere Skder end Spændingskorrosion og er især forekommet ved et stort Antl Konstruktioner, til hvilke der vr nvendt Alumint-Cement. Til njektion f Knler i efterspændte Betonkonstruktioner nvendes ofte Tilsætningsmidler, som indeholder Aluminiumpulver Dette regerer kemisk med Cementen, hvorved der udvikles Brint, som gør M ørtlen ekspnderende. Dette tilsigter t modvirke Dnnelse f Luftlommer, som kunde medføre Korrosion. D e r syne s dog t v æ re en Risiko for, t Brintudviklingen kunde medfø r e e n Skør-

38 Revnevidder Revnevidder 43 hed f Armeringen f den ovenfor nævnte Krkter. Ved Fstsættelse f tilldelige Revnevidder bør tges Hensyn til de nvendte Armeringstypers Korrosionsfølsomhed og det Milieu, som Konstruktionen vil blive udst for. Revner fremkldt f en høj Belstning vil helt eller delvis lukke sig igen ved en pfølgende Aflstning, hvis Armeringen ikke hr fet blivende Deformtioner. Det forekommer derfor rimeligt t tillde større Revnevidder for kortvrige end for lngvrige Belstninger. Den gvnlige Tendens til Reduktion f Revnevidden ved Aflstning efter en Belstning større end Revnelsten er størst for Konstruktioner f Klsse og ftgende gennem Klsserne og til V (se Afsnit ). Beregning f Revnevidder er især f nteres se ved Vurdering f Risiko for Korrosion f Armeringen. Det drejer sig i s Fld om Forhold under Brugslst. Antges Konstruktionens Snitkrftfordeling kendt, kn en Vurdering f Revnevidden principielt gennemføres som ngivet i BK, KpiteliS, idet der dog for delvis forspændte Konstruktioner med en Kombin tion f for s pændt og ikke - for s p æ ndt Arme ring m indføres visse Modifiktioner. Angende Usikkerhed ved Beregning f Revnevidder henvises til BK, Kpitel 15. Er o.-værdien i Ligning (15.3-4) i BK. for Spændrmeringen p og 0. for den ikke-forspændte Armering, kn disse Ligninger erstt- 1 ~l 6 + tes f følgende Udtryk: r----;=::====-1 rmering og ikke-forspændt Armering. Vedrørende Tlværdier for. henvises til BK, Kpitel 15. For Værdierne f ø (Ø p og Ø 1 ), som optræder i Ligning ( ), regnes: hvori for A ø indføres: ø ~.j ~ Aø (17.4.3) For enkelte (ikke bundtede), ikke-forspændte Stænger: Stngens nominelle Tværsnitsrel. ø svrer i dette Tilfælde til Stngens nominelle Dimeter. For bundtede, ikke-forspændte Stænger: Det totle Armeringstværsnit, som er smlet et Bundt. For efterspændt Armering i Knler, idet Forbindelsen mellem Spændrmering og Beton forudsættes etbleret ved njektion efter Opspænding: D e t totle Armering s tvæ rsnit pr. Knl. For for-opspændt Beton: For enkelte, fritliggende Trde: Trdens Tværsnitsrel. ø svrer dette Tilfælde til Trdens nominelle Dimeter. cb o (17.4.1) For Liner (strnds): Det nominelle Tværsnitsrel pr. Line. Beregning f Revnevidder i Henhold til BK, Kpitel 15 for og Mksw (17.4.2) idet ø p og ø 1 betegner de nominelle Dimetre f henholdsvis Spænd- udsætter Kendskb til Værdien f Armeringens Tøjningstilvækst, ~E' ud over den Tøjning, som svrer til, t Spændingen i den omgivende Beton er lig med Nul. D en sdn Beregning som nævnt lmindeligvis hr nteresse for Brugs stdiet, ntges Mterilerne her lineær-elstiske. D en eventuel Trykrmering kun hr uvæsentlig ndflydelse p Revnevidderne, ses bort fr dens Virkning.

39 Revnevidder Revnevidder 45 Betrgtes et enkeltsymmetrisk Tværsni t med konstnt Trykzonebredde b, pvirket f en excentrisk Normlkrft N' ngribende i Tvær snittets Symmetrilinie (se Fig ), er Resultnten Nb f Betontrykspændingerne Nb' = N' + N pe + N 1 (17.4.4) idet N og N betegner Resultnterne f Spændingerne henholdsvis pe l den forspændte og den ikke-forspændte Armering. <t N' ~, N Desuden hves: N pe N' b h - x, 1 A 1 n 1 U"b--xh - x N +Ancr.~ pon p p b x (17.4.6) (17.4.7) (17.4.8) idet N pon betegner Normlkomposnten f Resultnten N po f Spænd ingerne i Spændrmeringen svrende til, lig med Nul. t Betonspændingerne er Ligning ( ) betegner n p og n 1 Spændrmeringens og den ikke -for spændte Armering s Elsticitetskoefficient divideret med Betonens Elsticitetskoefficient E b. Værdien f Betonens Elsticitetskoefficient fstlægges under Hensyntgen til eventuel Krybning. Af Ligning ( ) fs ved Elimintion f Nb" N,N 1 pe b N 1 x b (e 1 N' - h N ) x Z + 6 (e N' ~ n A + n 1 A 1 N 1 6 h ) x - p po n p A li. Ep '--...J Nol idet følgende Betegnelser er indført: (17.4.9) b - -- El Fig e: Den for spændte og ikke -for spændte Armerings Tværsnitsreler og Nyttehøjder betegnes A ' Al' h og h p p 1 (se Fig ). Tværsnittet ntges revnet til Afstnden x fr den trykkede Knt. Afstnden fr N' til Spændrmeringen betegnes e p ' Den mksimle Betontrykspænding bet egnes 'b' Momentligevægt om Spændrmeringens Tyngdepunkt kræver: (17.4.5) N + N' pon e - h p p npa p + n 1 A 1 6h h - h P ~nah n p A p h p + n 1 A 1 h 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Den geometriske Betydning f el og 6h fremgr f Fig Ligning (17.4.9) er lle indgende Støn'elser undtgen x kendt, s x kn bestemmes f denne Ligning. Af Ligning (17.4.4), ( ( ), ( ) og ( ) f s ved Elimintion f Nb',N pe,n l ' N pon og N' :

40 R evnevidder Revnevidder 47 Forudsætte s de suden bxz - 2(:EnAh - x:ena) ( ) n p n ( ) giver Ligning ( ): Henhold til Fig er r ~ "'b hl - x El --xb ( ) indføres b N x b (M - h N ) xz - 6 M n :E A (h - x) p p x h O ( ) ( ) fs D.E p ( ) Spændrmeringens tot le T øjning e r,,3 + 3(----M.- _ l),,2 _ 6--.M.- n:e A (1 _ (3) = O t-' hn t-' hn bh p p ( ) E E p + D.E p ( ) Betonspændingen <Tb ved den mest trykkede Knt be stemme s f For D.E i Ligning (17.4.2) indføres den største f Værdierne E 1 og ÅE, som findes f Ligning ( ), d.v.s. svrende til den p Armering, som er nærme st Tvæ rsnittets Underknt. Det m undersøges, om de fundne Værdier for <Tb' E 1 og E med tilstrækkelig Nøjgtighed opfylder Forudsætningen om, t Mterilerne i den foreliggende Sitution kn ntges lineær-elstiske. øges Normlkrftens Excentriciteter el og e mod uendelig p smtidig med, t N' gr mod Nul, idet Størrelserne el N ' og e N' p konvergerer mod Værdien M, fs i Grænsetilfældet N' o ( ) hvorf idet M 1. <T' bx(h _~) 2 b 3 <T' b M fj. bh' svrende til BK, Ligning ( ). Af Ligning ( , 28 og 29) fs for ÅE p ( ) ( ) ( ) e N' = M p ( ) Dette svrer til, t Tværsnittet er pvirket til ren Bøjning f et Bøjningsmome nt M. For Størrelse n N pon nvendes i det følgende den enklere Betegnelse N p Forudsættes Forspændingskrften N t ngribe i Spændrmep ringens Tyngdepunkt, og forudsættes d e tte smmenfldende med den ikke-for spændte Armerings Tyngdepunkt, bliver Åh o h P h ( ) ( ) Nr [3 Ligning (i ). ndføres Betegnelsen 6M 1 - [3 bh'e [32(3 -(3) b ( ) er bestemt f Ligning ( ), kn ÅE beregnes f kn Ligning ( ) skrives p Formen: ( )

41 Revnevidder Revnevidder 49 D n (1-13) 2; <P ( ) hvor ( ) og er M ~ >0 p n(1-13) 2;'1' > Betingelserne ( ) og ( ) giver hvor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fol' en given Værdi f f.l. el' 13 bestemt f Ligning ( ). Herved er som ovenfor fstlgt de lineære Afhængigheder mellem n 2; <P og X, som er optegnet i Appendiks Nr. 9 bgest i Bogen. For givne Værdier f n 2; <P og X kn herf fledes de tilsvrende Værdier f f.l. ' som indgr i Beregning f Ll. og f den tilsvrende øgning Ll.O" f Armeringens Spænding. D Revnevidden er proportionl med Ll. - se f. Eks. Ligning ( ) - nskueliggør Appendiks Nr. 9 de væsentligste be stemmende Prmetres ndflydelse p Revnevidden. Schweiziske Normer [68-62) foreskriver, t Revner fremkldt f Brugslst højst medfører en Spændingsøgning i Armeringen f Størrelsen 1500 kp/ cm 2 For Armering med en Elsticitetskoefficient 6 p 2,1.10 kp/ cm 2 svrer dette til en Tøjningsændring f Størrelsen For en given Værdi f 13 vrierer n L; <P i Henhold til Ligning ( ) lineært med den reltive Forspænding X, defineret som: NMp. 3. ( ) X = 2 h Appendiks Nr. 7 bgest i Bogen illustrerer denne Reltion for en Række Værdier f 13. For givne Værdier f n 2; <P og X kn herf fledes de tilsvrende Værdier f 13. hvorfor n 2; <P Eksempelvis findes fol' n2;<p = 0,1 og X = 0,7: 13 = 0,.641. For en given Værdi f f.. er 13 bestemt f Ligning ( ), vrierer lineært med X. Denne Smmenhæng er optegnet i Appendiks Nl'. 8 bgest i Bogen. Herf kn for givne Værdier f n 2; <P og X fledes de tilsvrende Værdier f f.., som bestemmer cr'b' Ligning ( ) kn skrive s p Formen M ( ) For en Revnefstnd Ll.l p 13 cm svrer hertil i Henhold til BK, Kpitel 15, en mksiml Revnevidde f Størrelsen Mksw = 1,7' 0,7'10-3 '13 ~ 0,015 cm = 0,15 mm De schweiziske Normers Forskrift forekommer sledes hensigtsmæssig for Konstruktioner udst for fugtig eller ggressiv Atmosfære, men for konservtiv for Konstruktioner, som ikke er udst for fugtig eller ggressiv Atmosfære. Hensynet til Fre for Udmttelse spiller dog tillige ind for dynmisk pvirkede Konstruktioner som omtlt i Afsnit Afsnit er nført, t Spændinger, Revnevidder etc. fol' delvis forspændte Konstruktioner kn beregnes som fol' ikke-forspændte Konstruktioner, hvis mn til Tværsnittets Snitkrft dderer den fiktive Krft N med modst Fortegn og tger Hensyn til Armepo ringens Forhndstøjning. Dette fører til smme Resultter som n_ ført ovenfor, hvilket fremgr f følgende Ræsonnement:

42 Revnevidder Revnevidder 51 For sttisk bestemte Konstruktioner ngriber N i Spændr~ po meringens Tyngdepunkt, og N svrer derfor netop til den i Lig~ pon ning (17.4.8) indgende Størrelse. For sttisk ubestemte Konstruktioner vil N lmindeligvis po ikke ngribe i Spændrmeringens Tyngdepunkt. Dette svrer til, t Tværsnittet er pvirket f et supplerende Bøjningsmoment (Forspæn~ dings snitkrften) hidrørende fr Konstruktionens sttiske Ubestemthed. Dette Bøjningsmoment hr Krkter f et ydre Tværsnitsmoment, d. v. So der er p Forhnd tget Hensyn til det ved Bestemmelse f Excentriciteten f N'. Tleksempel Nr i BK beregnedes Revnevidden under den Forudsætning, t ~ og 6E kunde beregnes ud fr den Værdi f ~, som vr fundet ved Dimensioneringen, d. v. s. med Spændingsfor~ deling svrende til det nominelle Brudstdium. Herved opnedes en 0, 95 m 0,95-0,90 0,05 m 24,5 cm z = 0, ' 5,3 = 15,9 cm Z 0, , ' 0, ,0808 m Z ~nah = 20(0,00159' 0,90 + 0, ,95) 0,07517 m 3 N' N pon o 15,9' 5 = 79,5 Mp e N' 1 epn' = M = 80 Mpm Forenkling f Beregningen. Beregningen kn mere korrekt gennemfø~ res under den ovenfor indførte Forudsætning, t Mterilerne er li~ neær~elstiske, idet Beregningen udføres som ngivet i BK, Afsnit Det fremgr dog f Tleksempel Nr , t Forske llen e r uvæ s entlig. ndføre s dis se Størrelser Ligning (17.4.9) svrende til Enhe~ derne Mp og m, fs: 31, 8 x , 14 x Z + 3 9, 95 x - 37, 1 9 O x = 0, 630 m Ligning ( ): Tleksempel Nr Den mksimle Revnevidde Ønskes beregnet for det i Tleksempel og behndlede Tværsnit, nr dette ntges p~ virket til ren Bøjning f et Moment f Størrelsen M = 80 Mpm. det M ntges t svre. til Lngtidslst, regnes n = n = 20, idet begge Armeringstypers Elsticitetskoefficient regnesp t v~re E = 2,1' 10 6 kp/cm z. Hertil svrer: El, = 1,05 '10 5 kp/cm z Mterilerne kn reg~ nes lineær-elstiske for CT b < 150 kp/ cmz og for E mindre end 2 0/00 for Tentorstlet og 4 0 /00 for Spændrmeringen. Der ses bort fr Trykrmering. For det foreliggende Tilfælde er: b h P 0,4 m 0,90 m Ligning ( ): Ligning ( ~18): er 2' 0,63'79,5 ~b = ~0-,~4--0~,-6~3~Z~~~2~(~0~,~0~7~5~1~7~~~'0-,~6~3-'~0~,~0~8~0~8) 909 Mp/m z = 90,9 kp/ cm z < 150 kp/ cm z E = 90, ,05' ,440 0 / 00 < 2 0 / 00 E 2,38' , ,05' rr- 2,75 0 / 00 < 4 0 /00 Afstnden fr Bjælkens Underside til Armeringens Tyngdepunkt 24,5'5+15,9'10 40,4 7, O cm

43 Revnevidder For spændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden 53 B o 40' 7' cm z < { 100'40,4cm z -i. 40 (100-63) cm z c = 5 - ~ 2, 5 3, 75 cm 3 J 4' ;,3 = 7,8 cm Ligning ( ): Ligning ( ): h t - x = = 54 cm > 46 cm (smmenlign Tleksempel Nr. 15.1) "3 ' 0,434 0, 855 Ligning (17.4.1): er 31,4' 0,855' 84 = 3550 kp/cm z 61 = 6 + 3,75' ,56 _ 16 cm Ligning ( ): Mksw = 1,7' 0, 44'10-3 '16 0, 012 cm = 0,12 mm Negligeres Spændrmeringens Bidrg i Ligning ( ), fs: Ved Smmenligning med Tleksempel Nr ses: Mksw = 0,040!:~ = 0,038 cm = 0, 38 mm == 0,4 mm 61 = 6 + 0,8 J 3'5 7.5~, = 16,37 cm En sdn Tilnærmelse fører til Værdier for Revnefstnd og Revnevidde, som er mere p den sikre Side. dette Tilfælde er Forskellen kun 5%. Tleksempel N r Det i Tleksempel Nr i BK betrgtede Tilfælde ønskes beregnet under Forudsætning f, t Mterilerne er lineær-elstiske. Antges n = 20, er i Henhold til Ligning ( ): Ligning ( ): 20' 31,4 n ep = 45' 84 = 0, For spændings grdens ndflydelse p Revnevidden Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden kn som i Afsnit illustreres ved t betrgte T.værsnit, der er identiske bortset fr Værdien & f Forspændingsgrden. Det forudsættes, t det drejer sig om et Tværsnit med konstnt Trykzonebredde pvirket til ren Bøjni ng, og t de i Ligning ( ) udtrykte Betingelser er opfyldt, s t Ligning ( ) kn lægge s til Grund. Ligning ( ) kn omskrives til ( ) hvor ( ) 0,166 (Jo:f-+ 1-1)= 0, 434 D det nominelle Brudmoment er ufhængig f &, er x 0,434' 84 = 36 cm ( )

44 Revnevidder hvor A p1 betegner den t~l ~ = 1 svr"ende Værdi f Ap ' D Spændrmenngens Bidrg til Brudmomentet er proportionlt med ~. hves ndføres Betegnelsen fs f Ligning ( ): Den til {l ufhængig f {l. ( ) ( ) ( ) = 1 svrende Værdi -f Np betegnes N p1 ' Forudsættes (Tp bliver ( ) Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden 55 Metoden er illustreret i Tleksempel Nr Mn kn g frem p tilsvrende Mde, hvis mn vil belyse, hvilken ndflydelse de ndre Prmetre (ncp l' hn 1M og y,) hr p p p1 Revnevidden. Ved Vurdering f Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden kn Revnefstnden tilnærmelsesvis regne s konstnt. Dette svrer til, t Revnevidden regnes t være proportionl med Ll.E: En Beregning f Forspændingsgrdens ndflydelse p ~ ( ) og Revnevidden giver tillige Oplysning om den tilsvrende Vrition f Betonspændingen cr'b ved den mest trykkede Knt. D Størrelsen ~ her bh forudsættes konstnt, er cr'b i Henhold til Ligning ( ) omvendt proportionl med fjo, som er givet ved Ligning ( ). Grænsetilfældet {l = O svrer i Henhold til Ligning ( ) til ~z _ 2ny,cpp1 (1 -~) = O ( ) Med Betegnelsen A 1 cp ~ p1 - bh giver Ligning ( )og( ): ( ) D dette Tilfælde \ = O. giver Ligning ( ) og ( ): A 1 Y,CPp1 '" bh <p ( ) svrende til BK, Ligning ( ). Af Lignin: ( ): ( ) Ligning ~ ) er en Trediegrdsligning i ~. hvorf ~ kn bestemmes for en given Værdi f {l. idet de øvrige Størrelser forudsættes kendt. Herefter kn Ll.E beregnes f Ligning ( ) og Revnevidden f Ligning ( ). Drejer det sig om t belyse. hvilken ndflydelse en Vrition f {l hr p p og dermed p Revnevidden, kn de gentgne Løsninger f Trediegrdsligningen undgs ved i Stedet t beregne ~ for givne Værdier f~, idet Ligning ( ) løses med Hensyn til {l: ( ) ( ) svrende til BK. Ligning ( ). En simpel. tilnærmet Beregning f Revneviddens Afhængighed f Forspændingsgrden {l kn gennemføres ved t ntge. t Ll.E og w vrierer lineært med {l fr Værdien W for {l = O (ikke-forspændt o Tværsnit) til Værdien w = O for {l = {l1' d. v. s. den Værdi f {l. som svrer til Grænsen for fuldstændigt forspændt Tværsnit eller Grænseværdien for, t Tværsnittet revner under Brugslst - smmenlign Slutning f Tleksempel Nr ,Det fremgr f Tleksempel Nr t denne forenklede Beregning kn give en Tilnærmelse, som m betrgtes som fuldt tilfredsstillende i Betrgtning f de Unøjgtigheder. som enhver Beregning f Revnevidder er behæftet med.

45 Revnevidder Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden 57 Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden ønskes beregnet for det i Tleksempel Nr behndlede Tilfælde. Belstningen forudsættes t svre til Lngtidslst. Derfor regnes: n = 20 Henhold til Tleksempel Nr er Moment under Brugslst: M 0,86bh~<T~ h lj! 2,5 O,95ht N p1 A p1 (fp = b h t 10 3 <TB' 2 b h t <TB' Ø p bh t 2,11' 10-3 b' O, 95h t hn p1 M O, 95 h t ' 2 b h t CTB' O 86 b h Z CT", t b 2, 21 6 n <Pp ' 2, ,253 6ncpp1lj! = 0,253' 2,5 = 0,633 6ncpp1 (lj! -1) = 0,253(2,5-1) 0,380 øvrigt forudsættes El, = 10 4 CT~ Ligning ( ): '" o- N r- co o -.o o o '1' o o... o' o' o' o U) o '1' U) o o -.o o- o U) '" o- -.o '" '" '" o' o o o o' o' o' o' co -.o co '" co o- o -.o '1' -.o o- U) N r- U) '" N... N U)..,., o o' o o' o o' o' o' o' o '1' U) r- '1' '1' o o- o -.o '" o-.,... '1' U) '1' U) '" '" N -.o o o' o o' o' o o' '" o' o' '1' U) '" co.,... o -.o o '1' o r- -.o -.o U) co '1' N r- '1' o '" o' o o o o o o r- o r- o o- r- -.o '1' U) N co U) U) 00 '1' N '"..,., -.o.,... co -.o o' o'.,... o' o' o' o o U) N '" r- o '1' '1' o '" r- N.,... '1'.,... '1' co.,... o- '" co.,... o o.,... o o o' o o' o- o co o- U) o- co -.o '".,... -.o -.o '1' N o -.o o-.,... O' o-.,... '" '" o o..,.,' o' o o' o' o r- -.o -.o o -.o o- -.o o r-.,....,....,... o.,... '" o'..,.,' o.,... o' '" '" [3Z + O, 211 ([3-1) O [3 = 0,366 Værdien f l) for forskellige Værdier f [3 fremgr f nedenstende <!l. "" ~ S ro o w ~~o :L -~ <l '" o ~.,... ~ Skem.

46 Revnevidder Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden 59 Henhold til Ligning ( ) og ( ) vil Revnevidden w vriere proportionlt med Størrelsen Denne Størrelse er beregnet i Skemet, og f disse Værdier er beregnet den reltive Revnevidde w w i Forhold til Revnevidden w o o svrende til & " O, d. v. s. til ikke-forspændt Tværsnit. Desuden er beregnet Værdierne f fl. i Henhold til Ligning ( ) og de tilsvrende reltive Kntspændinger (crb!cr ) i Forhold bo til Kntspændingen svrende til & " O. Kntspændingerne er som nævnt omvendt proportionle med fl.. For -& " O er i Henhold til Ligning ( ): 6 0,86bh~crt;' 6.c. i, 796 1, For de øvrige Værdier f 1} er 6.c beregnet Skemet ved Multipliktion med w 1 W. o F oru dsættes Revnefs tnd en 6.1 t h ve Størrel sen i 3 cm u fh æ n g i g f 1}, b liver Revn evidde n i M ilime ter i H enh o ld til BK, Ligning (i5.2): 0,9 ~~,*-+--~J j------t-/ Ob 0,8~--~~-+---+~ tt--t-1 0,71---l--~\ ":--++-+t--i Tilnærmet w w. 0,61---t---t-~~t---t-~~P~-H-----j 0, t-Yt7"'~t-----1r------jH~ w " i306.e Disse Værdier er ngivet i Skemet. Fig. i er illustreret Revneviddens Vrition med Forspændingsgrden og den tilsvrende Vrition f i3 og Betonspændingen "'b ved den mest trykkede Knt. Desuden er indtegnet Linien &1" 0,63, som i Henhold til Tleksempel i svrer til Revnemomentet for Lngtidslst, d. v. s. Grænsen for fuldstændigt forspændt Tværsnit. En Tilnærmelsesberegning svrende til, t w regnes t vriere lineært med & fr Værdien W for & Co O til w O for &" &1' fører til den i Fig. i med punkteret Linie ngivne Reltion, o som ses t give en udmærket Tilnærmelse til den fuldt optrukne Kurve for w/w o ' En tilsvrende Beregning for et Tværsnit med dobbelt s store Armeringstværsnit og under iøvrigt uændrede Forudsætninger viser, t den nævnte lineære Tilnærmelse i dette Tilfælde giver en lignende Overensstemmelse. 0,31--- t---f-- -t---t-t- j---t-1-0,2~ ;:-----j---t-1 o,---t---f---t---t---j-----l~h----j OL- L- L- L- L-_~~-~~~~ o 0,2 0,1 0,3 Fig ~ 0,4 0,5 0,6

47 Revnevidder Deformtioner før Revnednnelsen T - og -Profiler For T - og -Profiler kn Revnevidden beregnes f Ligning ( ). Hvis Nyttehøjden for Spændrmeringen og den ikke-for spændte Armering er omtrent lige store, d. v. s. h ( ) kn en tilnærmet Værdi f Størrelsen 6 ' del' indgr i Ligning ( ), beregnes under følgende simplificerende Tilnærmelser: Der ses bort fr Betonspændinger i Bjælkekroppen og i den eventuelle Underflnge, og Resultnten f Betontrykspændingerne regnes t ngribe midt i Trykflngen. det h betegner Trykflngens Tykkelse, el' det revnede Tværsnits Momentrm i s Fld: o ( ) Er Tværsnittet pvirket til ren Bøjning f et Moment M, el' Resultnterne f Armerings- og Betonspændingerne: ( ) DEFORMATONER For Spændbetonkonstruktioner inklusive delvis forspændte Konstruktioner med kombineret Armering kn Deformtionerne beregnes efter de i det følgende ngivne Principper Deformtioner føl' Revnednnelsen Bøjningsmomentet M og Forspændingskrften N medfører p et Bidrg til Krumningen f det ur evnede Tværsnit f Størrelsen dette Udtryk indføres: For N p 1 r M - N e p p (17.5.1) Den effektive Forspændingskrft under Hensyn til Spæ ndingstb. Bet o n ens E lsticit e t s k o efficient u n d e r H e n s yntgen til Krybning. Øgningen f N ud over For spændingskrften Np er Fol' : Det ur evnede Betontværsnits trnsformerede 1 6N = N -Np ( ) Den tilsvrende Spændingsøgning er: nertimoment, idet Forholdet n mellem Armeringens og Betonens Elsticitetskoefficienter beregnes under Hensyntgen til Betonens Krybning. 6rr 6N 'L, A ( ) Fol' e : p N S Excentricitet i Forhold til det trnsfor - p merede Betonrels Tyngdepunkt svrende til Hertil sv rer den for ngivne Værdi f n. 6rr E:- ( ) Hvis Forspændingssnitkrften - fol' sttisk ubestemte Konstruktioner - el' forskellig fr Nul, inkluderes dens Bidrg til Bøjningsmomentet i M. Dette svrer til, t mn ved Beregning f ep regner, t Np ngriber i Spændrmeringens Tyngdepunkt. Alterntivt kn den til Forspændingssnitkrften svrende Prllelforskydning f N (se Afsnit ) tges i Regning ved Bep stemmeise f ep' s Fld skl Forspændingssnitkrften ikke inklu-

48 Deformtioner Deformtioner efter Revnednnelsen 63 deres M Deformtioner efter Revnednnelsen For et givet Tværsnit med given Armering og Forspænding er lle Størrelser p højre Side f Ligningerne ( ) kendt - bortset fr 13. Med 13 som Prmeter giver disse Ligninger sledes en Fremstilling f Reltionen mellem Moment (M) og Krumning (1.) p r Prmeterform. Prmeteren 13 kn vriere inden for Omrdet Krumningen svrende til revnet Tværsnit er r E' b x Cf' b X"E' b (17.5.2) hvor < h t 13 0 < 13 = h (17.5.6) Her betegner El, og Cf Tøjning og Spænding ved Betontværsnittets mest b trykkede Knt fremkldt f Snitkrft (inklusive For spænding s snitkrft) og Forspænding, x den tilsvrende Nulliniedybde og El, Betonens Elsticitetskoefficient under Hensyn til eventuel Krybning. Størrelserne x og <T'b kn beregnes som ngivet i Afsnit Ligning (17.4.9) - ( ). Er Tværsnittet pvirket til ren Bøjning f et Bøjningsmoment M, og fo r u d sættes F orsp ændingskr ft en N t n gribe i Spænd - p rmeringens Tyngdepunkt, og forudsættes dett e smmenfldende med d en ikke-f o r s p ændte Armering s T yngd epunkt, kn x og Cf b bestemmes f Ligning ( ) - ( ). Ligning (17.5.2), ( ) og ( ): D sm Værdier f 13 - d. v. s. Værdier, som kun er lidt (17.5.7) større end svrer til store Værdier f M, er Forudsætningen om Mterilernes lineære Elsticitet dog ikke opfyldt i hele det ved Betingelsen (17.5.6) bestemte ntervl. Metoden er illustreret i Tleksempel Nr F o r N = O bliver i Henhold til Ligning ( ) og (17.5.7): p Hertil svrer Henhold til Ligning ( ) og (17.5.3): ( ) r M (17.5.3) ( ) (17.5.9) ndføres ( ), fs denne Ligning M og fj. ved Ligning ( ) og r 6M J3Z(3 o - 13 o )bh 3 E ' b ( ) 1 r Ligning ( ) kn skrives p Formen M (17.5.4) (17.5.5) Dvenstende Beregningsprincip, som fviger lidt fr det i BK, Afsnit 16. 2, for ikke-forspændte Konstruktioner ngivne _ Ligning ( ) - (16.1.6) - giver i Henhold til nyere Forsøg (70-21] Værdier for Deformtionerne, som er fuldt tilstrækkeligt nøjgtige for prktiske Beregninger. Bidrg fr Svind kn beregnes som ngivet BK, Afsnit 16.2, Ligning ( ). For ren Bøjning er

49 Deformtioner Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtionerne 65 Ligning ( S) og ( ) z =: M l.bxcr 2 b ' ( ) Krumningen ftger mod Bjælkens Understøtninger. Krumningen omkring Bjælkemidten hr størst ndflydelse p Nedbøjningen ved Bjælkemidte. Antges Krumningen - tilnærmelsesvis og p den sikre Side - konstnt, fs for Nedbøjningen ved Bjælkemidte: ( ) r For T - og -Profiler kn en tilnærmet Værdi f Deformtionen beregnes under de i Afsnit ngivne Forudsætninger, idet f;;' 1 S 1,37' Hvis Betonens Svind- T øjning er E' = 3'10-4 r = 3, S cm giver dette i Henhold til Ligning ( ) et Krumningsbidrg E' b N' b bh E' o b ( ) r 40'63'90,9'3' = 0,43' 10- cm 2.S og 1 r ( ) Hertil svrer med lignende Tilnærmelser som ovenfor og p den sikre Side et Bidrg til Nedbøjningen ved Bjælkemidte: f ~ =S'O, 3'10 '1500 =1,2cm Tleksempel Nr Simpelt understøttet Bjælke med Spændvidde l =: 15 m, rektngulært Tværsnit og ensformigt fordelt Belstning. Tværsnit, Armering og For spænding ntges t svre til de i Tleksempel , og givne Værdier. Det mksimle Bøjningsmoment i Brugstilstnden (SO Mpm) regnes t svre til Lngtidslst, s Forholdet n mellem Armeringens og Betonens Elsticitetskoefficienter sættes lig med 20. l Henhold til Tleksempel Nr overskrider Brugsmomentet Revnemomentet, s Tværsnittet m forudsættes revnet. l Henhold til Tleksempel Nr er ved Bjælkemidte: x =: 0,630 m = 63 cm cr'b = 90,9 kpjcm 2 5 E = 1,05-10 kpjcm2 b Ligning (17.5.2): 90,9 hvorved den totle Nedbøjning bliver f~3,s+1,2 5 cm Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtionerne Forspændingsgrden {} hr en fgørende ndflydelse p Betonkonstruktioners Deformtioner. Dette hænger smmen med {} S ndflydelse p Revnevidden og p Deformtionerne før Revnednnelsen. Forholdene er belyst i Tleksempel Nr , hvor der er gjort Rede for Deformtionernes Afhængighed f Bøjningsmomentet M og f Forspændingsgrden {} De betrgtede Tværsnit svrer til dem, for hvilke Revnelst og Revnevidde undersøgtes i Tleksempel Nr og For Overskuelighedens Skyld er dog i Tleksempel Nr set bort fr Betonens Svind. Det fremgr f BK, Afsnit 16.2, og Tleksempel Nr smt f Tleksempel Nr , hvordn Svindets Bidrg til Deformtionerne kn beregnes.

50 Deformtioner Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtionerne 67 Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtionerne kn opdeles i følgende Bidrg: Et Bidrg svrende til Deformtionen fr Forspæ ndingen før Revnednnelsen. Dette Bidrgs numeriske Værdi øges m e d Forspændingsgrden, og det vil lmindeligvis være modst rettet de f Belstningen fremkldte Deformtioner. En lignende Virkning k n oftest fremkldes ved t give Konstruktionen en pssende Forhndspil. de specielle Tilfælde, hvor dette ikke er muligt, k n d e t nævnte Bidrg udnyttes med Fordel. Det gælder for Eksempel, hvis Spændbetonkonstruktionen skl under støtte e n eksisterende Konstruktion og støbes p Stedet direkte Kontkt med denne Konstruktion. Spændbetonkonstruktionen kn d ved Forspændingen presses op mod den eksisterende Konstruktion, og Forspændingen k n fp sse s s ledes, t Rektionerne mellem de to Konstruktioner svrer til d e n Belstning, Spændbetonkonstruktionen skl optge, smtidig med t dens Nedbøjninger er lig med Nul. H e rved undgr mn d e skdelige Deformtioner i den eksisterende Konstruktion, som ellers vilde opst p Grund f N edbøjning f d e n unde rstøttende Kon s truk tion fr emk ldt f Vægten f den eksisterende Konstruktion. F o r ens T værsnit med smme Brudm oment og forskellig For spændingsgrd vil det s mle d e A rmeringstværsnit ftge med stigende Forspændingsgr d under Forudsætning f, t den nominelle Brudspænding er større for Spænd rmeringen end for den ikke-forspændte Armering, og det trnsformerede Tværsnits nertimoment og dermed SUvheden vil ligeledes ft ge noget. Dette Forhold e r dog kun f uvæsentlig Betydning. Revnerne m edfører Bidrg til Deformtionern e og R e duktion f Stivheden. D Revnelsten øg e s med Forspændingsgr d en, vil Deformtionsbidrget sv rende til r e vnet Tværsnit ft ge for s tigende. Stivheden ø ges derfor m ed indtil den Værdi 1 f, som er tilstrækkelig til t for e bygge R evner. D e nne Grænse v æ rdi f k n være væsentligt mindre end 1 (s mmenlign Slutningen f Tleksempel ). Tleksempel Nr For de i Tleksempel Nr og behndlede Tvæ r snit Ønskes beregnet Deformtionernes Afhængighed f B øjningsmoment M og Forspændingsgrd for 1} = 0, 0, 5 og 1. For Overskue-' lighedens Skyld ses bort fr Svindets Bidrg til Deformtionerne. Revnelst og Deformtioner forudsættes t svre til Lngtidslst, d. v. s. n = 20 Revnelsten beregnes som i Tleksempel Nr , idet dog El, regnes lig med Nul. Revnemomenterne lv1 er derfor givet ved: som er beregnet 1} nedenstende Skem: 5 e c 0,611 0,613 0,615 h t A E... bh t ,000 2,000 A e E.....s 0,000 bh h 0,613 1, 230 t t W tf 0, 222 0,205 bh z 0,189 t lv1 0, 222 0,818 1,419 b h Z e-' t b 1 For det ikke-forspændte Tvær snit ( 1} = O) f s BK, Ligning (16.1.1), for det urevnede Stdium: Henhold til

51 Deformtioner Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtionerne 69 h r 0,933' 10-3 ~ bh~ <Tb For dette Tværsnit er ~ "20(5-3' 0)'10-3._ 1 _ n ~ O, 95 Ligning ( ): 0,1053, r , ~ Brudlst 13 0 = O,1053(Jo, i} = 0,365 Deformtioner for det revnede Tvær snit i Henhold til Ligning ( ): h 6 O, 95h M t r = O,365 z (3 _ O,365)b' O,953hi'104<Tb For Brugslsten er o g h - r M b h Z <T* t b 0,86 1,894' 0, = 1,63' 10-3 En Beregning svrende til det i BK, Afsnit 16.2, ngivne Beregning sprincip - Ligning (16.1.4) - (16.1.6) - vilde hve givet h r ,222+ (0,860 - O,2~~~~i,894'10 (0,21 + i, 42)' 10-3 " 1,63' 10-3 lts smme Resultt som ovenfor. For Belstninger, som kun er lidt større end Revnelsten, giver de to Metoder dog Resultter, som fviger en Del fr hinnden (se Fig ). Fig er for & = O optegnet Reltionen mellem Moment og Deformtioner, Med stiplet Linie e r ngivet den til BK, Afsnit 16. 2, svrende Reltion. For det fuldstændigt for spændte Tvær snit (& = 1) bliver Henhold til Ligning (17.5.1): 10 3 ~ _~l ~------L-----~O ~ ~ ~r _ 2 Fig ~ = 1,043' 10-3 (~ _ O, 866) bh~<tb Den tilsvrende Linie er indtegnet i Figur i7. 5, 1. For & = 0,5 f s i det urevnede Stdium i Henhold til Ligning (17,5.1): h M - 1' bh r 0,95 h t '10 3 <T h (O,950-0,500-0,029) b t t h r <T >:', O 0966 bh3 b' t 0,983' 10-3 (bhr<t~ - O, 421) h r M - 2' io- 3 bh t 10 3 <T{;' ht(o, 950-0,500-0,017) O,95ht 104 <T'" O 091i bh3 b' t

52 Deformtioner Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtionerne 71 For det revnede Stdium fs: ( 5-3' O, 5) 10 O, 95 0,1474 2' 1 ' 10-3 b h 10 3 ",* t b 0,2105' 10-3 For de forspændte Bjælkers reltive Stivhed i Forhold til den ikke-forspændte Bjælkes Stivhed findes som Gennemsnitsværdi inden for ntervllet ubelstet Tilstnd til Brugslst: 1,63 For & = 1 N 1,8 0,90 og i. hn 3 p j. 0,95 h t ' l' 10-3 bh t ' 10 3 "'b = O, 3167 bh~"'b For & 0,5: 1,63 N 1,6 1,00 Ligning ( ): h r M b h~"'b 0,2105' O, 1474 (1 - (3) (3 j32_ 0,1474(1-13) nedenstende Skem er p Bsis f de to sidste Ligninger beregnet nogl e smmenhørend e Værdier f Krumning og M oment: j3 0,5 0, 6 0, ,1474(1 - (3) 0,1763 0,3010 0, ~ 1,194 0,699 0,345 r M b h 2 ",,- t b 1,123 0,909 0,730 Figur el' Moment-Krumnings-Reltionen for & 0,5 indtegnet. De resulterende Nedbøjninger er proportionle med Krumningerne. V~d Brugslsten fs for disse Nedbøjninger udtrykt i Procent f Nedbøjningen fol' den ikke-forspændte Bjælke (& = O): For & = 1-0,40/0 For & = 0,5: 360/0

53 Forskydning Optiml Bøjlevinkel FORSKYDNNG Forskydningsberegning Beregning f delvis for spændt Beton pvirket til Forskydning kn gennemføres som ngivet i BK, Afsnit 14.42, bortset fr t den her ngivne Betingelse for mksiml Bøjlefstnd, Ligning ( ) dog er ukorrekt og bør ændres til den i BK ngivne Værdi: < 0,7 h cosec ( ) t det følgende skl dog nføres nogle supplerende Bemærkninger, som vedrører svel delvis forspændt Beton som Jernbeton uden Forspænding og Betonkonstruktioner med fuldstændig Forspænding. BK er i Slutningen f Afsnit 7.47 nævnt, t Lejerektionen kn motivere en lokl Reduktion f Forskydningsrmeringen, hvis Rektionen fremklder Tryk i Snit prllelle med Bjælkeksen. En sd n R e duktion m i kke tges i R egning, h vi s d e t f. Eks. dr e j er s i g om en seku nd ær Bjæ lke unde r s t øtte t p e n Hove d drger, med mindre denne forsynes med en tilstrækkeligt krftig lokl Bøjlermering til Optgelse f den sekundære Bjælkes Lejerektion Optiml Bøjlevinkel Ved Vlg f Vinklen mellem BØjlerne og Bjælkens Tyngdepunktskse kn følgende Forhold tges i Betrgtning: Det fremgr f BK, Afsnit 7.43, Ligning ( ), t Trykspændingen i Betonlmellerne ftger med, hvilket kn være fgørende i Tilfælde f, t Forskydningsspændingen 'b er høj. Dette Hensyn kn motivere Vlg f en lv Værdi f - f. Eks. " 45. En god Udstøbning og Komprimering f Betonen sikres bedst ved Anvendelse f Bøjler, hvis Retning ikke fviger for m e get fr lodret. For Bjælker, hvis Tyngdepunktskse er vndret ved Støbningen, tler dette Hensyn for t vælge en høj Værdi f - f. Eks. = 90. Skrbøjler med = er bedre egnede til Begrænsning f Vidden f Skrrevner end Normlbøjler, d. v. s. Bøjler med = 90 (se f. Eks. [65-4]). Hensyn til Mterile-Økonomi kn motivere, t Mængden f Bøjlermering søges minimliseret. Denne Mængde kn udtrykkes ved Bøjlevolumenet V pr. Længdeenhed f Bjælken, som kn udtrykkes ved Her betegner: V (17.6.1) Længden f Armeringsstng, der nvendes pr. Bøjl e To Gnge Bøjlermeringens Tværsnitsrel - jfr. BK, Afsnit 14.42, Ligning (7.43.7) Bøjlefstnden mlt prllelt med Bjælkeksen. nde n for d e Om r der, hvor For s kydningsspæ ndingerne e r dimensions be stemmende for BØj lermeringen, fs i Henhold til BK, Afsnit 14.42, Ligning ( ) og ( ): bo ('b - "o - O, 1 (Tb* ) (T!(cos + sin) (17.6.2) Det ved Ligning (17.6.2) givne Udtryk for Forskydningsrmeringens Afhængighed f er sledes betinget f de Forudsætninger, som i BK, Afsnit 14.42, er lgt til Grund for Dimensionering over for For skydning. For = 90 (Normlbøjler) fs for BØjlelængden: Her betegner: 1 90 ;; 2 (i + bi + 10Ø) (17.6.3) 1 og bi: Højde og Bredde f Bøjle - se BK, Ø Afsnit 10.32, Fig Nominel Bøjledimeter. Størrelsen 10Ø i Ligning (17.6.3) svrer til Længden f en indbukket

54 For skydning Optiml Bøjlevinkel 75 Ende f Bøjlen. For Skrbøjler fs tilsvrende: l = 2 (l cosec + bl + 10Ø) (17.6.4) o ~ ' , i~ ndføres den dimensionsløse, positive Størrelse: (17.6.5) o ~ ~~--} t ~ som fhænger f den nominelle Bøjledimeter og Forholdet mellem Bjælkens Bredde og Højde, giver Ligning ( ): 1= 2 1 ('11. + cosec) (17.6.6) o ~~ ~~ Af Ligning (17.6.1), (17.6.2) og (17.6.6): v l bo ("b - To - O, 1 <r'b' ) (17.6.7) o ~ } ~~~~.-t ~ Bøjlevinklens ndflydelse p Mængden f nødvendig Bøjlermering kn udtrykkes ved Forholdet ljj mellem nødvendig Bøjlermering med Bøjlevinkel og med Bøjlevinkel 90 (Normlbøjler). Henhol d til Ligning (17.6.7) fs: o t-.d r..: ('11. '11. + cosec + 1) (cos + sin) (17.6.8) o 11'1 D Ol il lig Fig illustrerer, hvordn ljj fhænger f og '11.. For de i Prksis oftest nvendte Bjælker vil Værdien f '11. ge Nærheden f 1. Minimum f Bøjlermering opns s Fld for o ~ ~----+-~1L---;----~--~g Cl ;; 60 (17.6.9) Som det fremgr f de ovenfor nførte Betrgtninger, fører de nævnte Hensyn til forskellige Værdier f den optimle BØjlevinkel. Hvis et Hensyn i et givet Tilfælde er tungtvejende, kn dette blive fgørende. modst Fld forekommer det nærliggende t tilstl'æbe et Kompromis ved f. Eks. t vælge Cl ;; 70. o ~ ~--~------~L-----V t i--4 ~ o ~ L---~----~~----~f---t t~~ o --~~ ~~L ~------~---L ~~~ t '" o' o'

55 Udmttelsespvirkning B e r e gning f Spæ ndingsvrition UDMATTELSESPAAVRKNNG Beregning f Spændingsvrition For dynmisk pvirkede Betonkonstruktioner medfører Revnednnelse i Betonen øgede Spændingsvritioner i Armeringen og dermed øget Risiko for Udmttelsesbrud i Armeringen og dens Fornkringer og eventuelle Stødforbindelser. Dette Forhold tler for Anvendelse f fuldstændig Forspænding ved dynmisk pvirkede Konstruktioner. Hvis Revnelsten overskrides, svrer dette til, t Betontrækstyrkens Bidrg til Revnemomentet ved pfølgende Aflstninger og Genbelstninger er lig med Nul. Virkningen herf kn f. Eks. illustreres ved før st t betrgte ndflydelsen p den i Fig viste Mome nt-krumnings-reltion. For li = O vil Krumningen efter en Belstning større end Revnelsten - ved pfølgende Aflstninger og Genbelstninger - vriere proportionlt med Momentet under Forudsætning f, t Mterilerne ikke hr været pvirkede ud over de Grænse r, inden fo r hvilke de e r lineær-elstiske, s t der ikke optræ d er p ls tiske D eform tio n e r. For d elvis fo l' s p æ ndte Tvær s nit vil Krumningen - und e r s mme F orudsætninger - ved Aflstninger og Genbelstninger vriere uden Spring. Dette svrer i Fig til, t den for li = 0,5 fuldt optrukne Moment-Krumnings-Re ltion med to Knækpunkter - for pfølgende Aflstninger og Genbelstninger skl erstttes f den Kurve, mn finder ved t bf'hytte Forud' sætningerne for revnet Tværsnit helt til Grænsen [3 = h t (ngivet som punkteret Kurve i Fig ). Tilsvrende Forhold gør sig gældende for Moment-Spændings -Reltionen. Det fremgr f ovenstende Betrgtninger, t en Udmttelsesberegning for Armeringen i en dynmisk pvirket Betonkonstruktion, som hr været udst for en Belstning, der hr fremkldt Revner i Betonen, m bseres p den Forudsætning, t Betontrækspændingernes Bidrg til Revnelsten er lig med Nul. Spændingsvritionen i Armeringen kn beregnes under smme Forudsætninger, Som blev lgt til Grund for Beregning f Revnevidder og Deformtioner i Afsnit 17.4 og 17.5, d. v. s. revnet Betontværsnit og kileformet Fordeling f Betontrykspændingerne. Som nævnt i BK, Afsnit 15, er Spændi ngen i Armeringen noget større ud for Revnerne e nd mellem disse p Grund f Forbind elsen melle m Armering og B e ton. D e Armeringsspændinger, som beregne s unde r ovennævnte Forudsætninger, kn ntges omtrent t svre til de Spændinge r, der optræ der ud for Revnerne. Det er disse Spændinger, der er fgørende for Udmttelsen. Forholdet mellem disse Spændinger og Gennemsnitsspændingerne vokser med Fornkringsevnen, der som omt lt i BK, Afsnit 8.1, fhænger f en Række Fktorer, hvorf de vigtigste er Armeringens Dimension og Overfldebeskffenhed, Betonstyrken og Normlspændingen i Kontktflden mellem Armering og Beton. For injicerede Spændrmeringsknler hr njektionsmørtelens Styrke og - for Spændrmering i BlikrØr - disses OverfldebeskHenhe d - herunder en eventuel Korrugering - Betydning. En ringe Fornkringsevne medfører store Revnefstnde og store Revnevidder, og Revnerne udbreder sig hstigere mod den mest trykkede Knt. Dette medfører store Betontrykspændinger; men d Tværsnittets Momentrm ø ges, opns en lille Reduktion f Spændingerne i Træk rmeringen. Medens en e ffektiv For nkring melle m A rme ring o g Beton mnge H enseend e r e r ø n s k e lig, e r d e n d e rfor principielt m indre h e n sigtsmæssig, hvis mn tilstræber en høj Udmttelsesstyrke f Trækrmeringe n i Betonkonstruktioner, hvori der forekommer Revner. Forsø g [68-63] synes t bekræfte disse teoretiske Overvejelser. Ved Bedømmelse f sdnne Forsøgsresultter m det dog tges i Betrgtning, t den bedre Fornkring ofte er opnet p Bekostning f en Reduktion i Armeringens Udmttelsesstyrke stmmende fr Armeringsstængernes Overfl destruktur (Ribber og lignende). Vort Kendskb til Forholdet mellem de omtlte mksimle og gennemsnitlige Armeringsspændinger er s mngelfuldt, t mn m fst fr t ngive nogen Tlværdier. For enkeltsymmetrisk, revnet Tværsnit med konstnt Trykzonebredde b pvirket til ren Bøjning er Armeringens Tøjningsændring C,E (ud over dens Tøjning svrende til, t Betonens Spændinger er lig med Nul) givet ved Ligning ( ) under Forudsætning f, t Forspændingskr ften N ngriber i Spændrmeringens Tyngdepunkt, p og t dette er smmenfldende med den ikke-forspændte Armerings Tyngdepunkt. H e rf fs:

56 Udmttels e spvirkning i Beregning f Spændingsvrition 79 Aer E AE nebae (17.7.1) 6nM Aer 1 (17.7.2) bit' ~z(3_~) Udtrykket Størrelsen ~ kn Henhold til Ligning (i ) bestemmes f 3M ~ p ~Z _ 2n(1 _ ~)~<p (17.7.3) Ligning ( ): (17.7.4) Størrelsen ~ kn beregnes f Ligning (i 7.7.3), idet lle øvrige Størrelser i denne Ligning er kendt. Derefter kn Aer bestemmes f Ligning (17.7.2) eller (i7.7.4). ndføre s Betegnel sen f.l i Henhold til Ligning ( ), kn Ligning ( ) skrives p Formen: Aer nm f.l bh z (i ) Værdien f "" kn finde s f Appendiks Nr. 9 bge st Spændingen Spændrmeringen er er = er + Aer p Bogen. (17.7.5) Fig M Af Ligningerne ( ) kn med ~ smmenhørende Værdier f M og er for ~ illustreret i Fig. i7.7.1 (den mellemste Kurve). For den ikke-forspændte Armering er Aer som Prmeter beregnes ~ ht/h. Denne Reltion er (17.7.6) d.v. s. Kurvens Højde over Linien er er (se Fig i) p For ~ = 1 er i Henhold til Ligning (17.7.4) Aer = O og er = er p Dette svrer efter Ligning (i 7.7.3) til M=M o For ur evnet Tværsnit er der dm ~hn 3 p hvor ep betegner Armeringens Excentricitet (i 7.7.7) (i 7.7.8) Forhold til det trns-

57 Udmttelsespvirkning. formerede Betontværsnits Tyngdepunkt, og t betegne r dette Tvæ r snits nertimoment. Den tilsvrende retliniede <T -M-Rel tion g r genne m d e t til ~ = ht/h sv rende Punkt f den til revnet Tværsnit s vr e nde <T-M Kurve (Fig ). ~F~o~r~r~e ;:v.::nc'::e~tc.-:!t:..v:::.:æ::::.=r...:s:.:n~i:..:t~o~g,----,&,--_-,-o (N p tlt A f snit : r-~ -= n-"e, J ep -;-;:( ~==~ ep==+ o og <T = O) e r p i=---1~) s om om- ( ) Udmttelsesstyrke for Armering og Fornkringer For en dynmisk pvirket Konstruktion kn e fter de ovenfor ngivne Principper beregne s de til de mksimle og minimle Momenter svrende Spændinger Armeringen, og det kn undersøges, om disse ligger tilstrækkeligt lngt fr Udmttelsesgrænsen. Metoden er illustreret i Tleksempel Nr Armeringens Spændingsvritioner ftger for voksende Værdier f Forspændingsgrden &. Dette Forhold fremgr ligele des f Tleksempel Nr o g _<r:::::.-.._d._<t ::. ' hvorf Henhold til Ligning ( ): Udmttelsesstyrke for Armering og Fornkringer (f 6nM 1 - ~ bhz ~z (3 - ~) ( ) Den tilsvrende <T -M-Re ltion e r i Fig ind tegne t for skudt Stykke t <T i Ordin tksens Retning, sle d es t S p æ n d' lllgerne p,, <Ti er fbildet som D.<T lig e som for den ikke -forspændte Arme nng l d e t generelle T ilfæ lde ( &t O) - j æ vnfør Ligni ng (1 7. 7,6). For fu lds tæ ndig t fo rspæ ndte Tværsnit er <T _M_R e lti o nen r e tli n i e t, og dens H æ ldning er givet v e d Ligning (17.7.8). For M = O e r i Henhold til SB, Ligning ( ): D. (f ( ) ( ) Denne <T -M-Re ltion sv r e r til den rette Linie Fig , som er betegnet = 1. For T- og -Profiler k n e n tilnærme t Værdi f D. (f be regnes f Ligning ( ) under d e i A fsnit ngivne Forudsætninger. Ved dynmisk P VlT, k m' n g kn ses bort fr Krybninge n s Bidrg til Betonen s D e formtioner. D e r skl derfor for Forholde t n mellem Stlets og Betonens Elsticitetskoefficienter indfør e s en lv Værdi, f. Eks. n = 7 ( ) Den Spændingsvrition D.<T, som medfører Udmttelsesbrud Spændrmeringen, fhænger dels f Armeringstypen, dels f Armeringens Middel- eller Minimlspænding. For de i Dnmrk mest nvendte Typer f Spændrmering - bortset fr Liner (strnds) - opspændt til de til de pgældende Armeringstyper lmindeligvis nvendte Forspændinger ligger den Spæ nding svri tion, s om m e dfø r e r Udd 10 m ttei se ve 6 Pul sh, oner om 1 <n. ng (f, mks - (f, min = J kp/ cm z ( ) Henhold til russiske og belgiske Forsøg [68-63) er Udmttelsesstyrken for Liner klrt mindre end for Forspændingstrd. For de i Dnmrk nvendte Liner foreligger kun spr somme Oplysninger. For en her i Lndet meget nvendt Type t" Liner f engelsk Fbrikt (Richrd Johnson & Nephew Ltd.) opgives, t de med en Middelspænding p c kpjcm Z kn modst 10 6 Pulstioner ved en Spændingsvrition f Størrelsen 2580 kpjcm O", mks - O", min Z ( ) Ved Bedømmelse f Spændrmerings Udmttelsesstyrke m det tges i Betrgtning, t Udmttelsesstyrken f Armeringens Fornkringer og eventuelle Stød-Forbindelser kn være væsentligt lvere end selve Spændstlets Udmttelses styrke. Kendskbet til Udmttelses styrkerne for de Fornkringer og Stød, som nvendes til Spændrmering i Dnmrk, er ogs meget

58 Udmttelsespvirkning mngelfuldt. For et Fornkringssystem for Kbler beslægtet med det schweiziske System BBR V (Knphovedfornkring) udførte s i ved Afdelingen for Bærende Konstruktioner, Dnmrks tekniske Høj skole, en For søgs serie, som viste, t Spændingsvritionen, som ved en Middelspænding p 9000 kp/ cm z medførte Udmttelse sbrud efter 10 6 Pulstioner, l omkring O", mks'" O", min 800 kp/ cm z ( ) Henhold til Forsøg med tyske Fornkringssystemer [69-62] opstr de fleste Udmttelsesbrud ved en Spændingsvrition f Størrelsen: <T,mks - <T,min = 700 ~ 1600 kp/cm z ( ) Ved Vurdering f disse Værdier bør det tges Betrgtning, t Spændrmering i Tysklnd opspænde s til en noget lvere Spænding end normlt nvendt i Dnmrk. For den ikke -forspændte Armering er Udmtte lsesstyrkerne ngivet i BK, Afsnit 3.4. For ren Udsvingspvirkning (<T,mln = O) er for Rundjern St. 37: <T, mks - <T,min 2500 k:p/ cm z Dnsk Kmstl: <T, mks - <T,min 2600 kp/ cm z Tentor stl: <T, mks <T,min 2400 kp/ cm z ( ) Henhold til de ovenfor nførte omtrentlige Udmttelsesstyl' ker synes Fornkringernes Udmttelses styrke t være fgørende. D ette vilde ogs lmindeligvis være Tilfældet, hvis der ikke vr Forbindelse mellem Armering og Beton som f. Eks. ved uinjicerede Spændrmeringsknler En sdn Form for Spændrmering benyttes dog kun sjældent, og de nførte Forudsætninger for Beregning f Armerings spændingerne er heller ikke opfyldte for dis se Tilfælde. Under Forudsætning f fornøden Forbindelse mellem Armering og Beton vil Spændingsvritionerne i Armeringen ved Fornkringerne lmindeligvis være betydeligt mindre end Armeringens mksimle Spændingsvritioner. Hvis Fornkringerne er plceret ude n fol' de Udmttelsesstyrke for Armering og Fornkringer 83 Omrder, hvor store Spænding s vritioner forekommer - hvilket oftest er Tilfældet - vil Fren for Udmttelse f Fornkringen yderligere reduceres - lmindeligvis i en sdn Grd, t Fornkringens Udmttelsesstyrke ikke bliver fgørende. For kombineret Armering er Spændingsvritionerne proportionle med Afstnden fr Nullinien. D denne Afstnd lmindeligvis ikke er større for Spændrmeringen end for den ikke-forspændte Armering, vil dennes Udmttelsesstyrke oftest være fgørende, idet Spændrmeringens Udmttelsesstyrke dog kn være bestemmende, hvis Spændrmeringen bestr f Liner. dynmisk p virkede Konstruktioner, fol' hvilke den ikke-forspændte Armerings Bidrg til Styrken er uvæsentlig, d. v. s. Konstruktioner med en Forspændingsgrd 11:= i, kn Hensynet til Udmttelsesstyrken motivere, t mn undlder t nvende Liner, fordi Udmttelsesstyrken fol' Liner er noget lvere end fol' nden Spændrmering. D disse Konstruktioner p den nden Side oftest vil være Ul' evnede Brugsstdiet, er dette Hensyn ikke tungtvejende. For fuldstændigt forspændte Konstruktioner er Spændingsvritionerne i Armeringen ved en dynmisk Pvirkning s sm, t mn lmindeligvis kn se bort fr Risiko for Udmttelsesbrud i Spændrmeringen og dens Fornkringer og eventuelle Stødforbindelser. Den i Afsnit 17.4 omtlte For skrift i de schweiziske Normer [68-62J, som begrænser Armeringens Spændings stigning ved Revnednnels en til 1500 kp/cm z, vil lminde ligvis give fornøden S ikkerhed mod Udmttelse f Armeringen; men nogle Fornkrings- og Stød-Typer kn motivere,en l vere Grænse. Tleksempel Nr Det skl undersøges, om der er Risiko for Udmttelse ved dynmisk Pvirkning f de i Tleksempel Nr , og behndlede Tvær sni t. For 11 = O, 5 og n = 7 bliver n ~ ep = 2' 7' (5-3' 0,5) O, 95 0,0516

59 Udmttelsespvirkning 17.7 Udmttelsespvirkning 85,h t, ,95 = 1,053 ', Denne Linie er vist Fig. i Ligning (i? 7.3-4): M 0,95 ~z (3 - ~l bh z et" t b 3 i3 z 2n( 1-i3)~<P 6rr ~ rr b 0,95 i3 z - 2n(1-i3)~<p 1200r-----r---~--,---,--./-~ , For nogle Værdier f i3 er de f disse Ligninger bestemte Størrelser ngivet i nedenstende Skem. ~, 0,3 0,4, 0,5 1 M 1,428 1,021 0,883 0,633 bh z rr ':' t b 6rr 191,4 6 8, 5 3 2,9 O e':' b 1,053 0,618-0, t----+.~ l---~ Den tilsvrende Kurve er optegnet i Fig Ligning (i ) og Tleksempel Nr : drr dm 7 (O, 950-0,500-0,011) h t O,0882bh~ 34,8 bh z t Brugslst En ret Linie med denne Hældning er i Fig tegnet gennem de't til i3 ~ ht/h svrende Punkt f ovennævnte Kurve. For {) " 1 bliver tilsvrende: ep = (0,950-0,500-0,006) h t O, 444h ' t d rr 7 O, 444 h t dm O, 0861 bh~ bh~c1! 900~--~~--~~--~~----~--~~--~----~~ O O) 0,4 0,6 0,8 1,0 1) 1,4 Fig, M og svrende til M O Henhold til Ligning ( ):

60 Udmttelsespvirkning 17.7 Udmttelsespvirkning 87.::F,-,o:;.;ro---ll..:.O e r Ligning ( ): (5-3' O) O, 95 0,0368 Spændingsvritionen er sledes væsentligt større for = 0,5 end for = 1; men selv for l) = 0,5 ligger Spændingsvritionen lngt under Armeringens Udmttelsesgrænse. Ligning ( ) : f3 O, 0368 (J 0, ) = 0,237 " 6 7 M 1 - O, 237 = M... O, 95 2 bh~ 0,237 2 (3-0,237) 'bh~ Den tilsvrende Linie er vist Øver st i Fig Forudsættes Tværsnittene dynmisk pvirkede.f et Moment, som vrierer mellem Nul og Brugslst-MOnentet M = O, 86 bh~"b og ntges, t "b = 10 kp/cm 2, fledes f Fig nedenstende minimle og mksimle Spændinger i Spændrmeringen (" ) og i p den ikke-forspændte Armering ("i): ' " i kp/ cm 2 " " 1 p Min. Mks. Min. Mks. = O O 1970 = 0, = For den ikke-forspændte Armering er der størst Fre for Udmttelse for = O, medens Spændingsvrition for = 0,5 og 1 er ubetyde lig. Anvendes Tentorstl, kn Udmttelsesgrænsen for = O i Henhold til Ligning ( ) regnes t svre til ", mks -",min = 2400 kp/cm 2 Sikkerheden mod Udmttelse er derfor 2400 Y 1970 = 1,22 For Spænd rmeringen er: For l) 1: ", mks For 0,5: ", mks ",mln. ",mln. 310 kp/cm kp/ cm 2

61 88 Littertur 89 LTTERATUR [55-4J Dnsk ngeniørforenings Betonsektion: Nordisk Betonbibliogrfi (udrbejde t f Poul M øller-sørensen), Teknisk Forlg, Københvn, [63-15J F. Leonhrdt, R. Wlther: Schubversuche n Plttenblken mit unterschiedlicher SChubbewehrung. D eutscher Ausschuss fur Sthlbeton, Heft 156, Berlin, [63-16J T. Y. Lin: Lod-Blncing Method for Design nd Anlysis of Prestressed Concrete Structures. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 60, No. 6, June 1963, p Discussion, proc. vol. 60, No. 12, December 1963, p [64-22 J AC Committee 334: Concrete Shell Structures. Prctice nd Commentry, Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 61, No. 9, September 1964, p [64-23 J N ed H. Burns: Moment Curvture Rel tionships for Prti lly Prestressed Concrete Bems. Journl of the Prestressed Concrete nstitute, vol. 9, No.1, Februry 1964, p. 52. [64-24J G. Rehm, H. L. MoU: Versuche zum Studium des Einflusses der Rissbreite uf die Rostbildung n d e r Bewehrung von S t hlbetonb ute ilen. Due t sch e r Ausschuss fur S thlbeton Heft 169, Berlin, ' [65-32 J R. Bus, A. Brenneisen: Essis d e poutres precontrintes 11. l' i de de fils pres entnt de crcteristiques de deformtions differentes. Annles de l'nstitute Technique du Btiment et des Trvux Publics, No. 214, Octobre 1965, p [66-31J A. Brenneisen, F. Cmpus, N. Dehousse: Recherche experi,:,entle reltive 11. l precontrinte prtielle des poutres flechles en beton rme. Annles des Trvux Publics de Belgique, No. 2, [66-32J Y. Guyon: Constructions en Beton Precontrint, L Eyrolles, Pris, [68-58J V. Hhn und K: Hornung: Untersuchungen von Milrtelfugen unter vorgefertlgten Sthlbetonstutzen (nvestigtions on mortl' joints under precst reinforced concrete columns). Betonstein Zeitung, Vol. 34, No. 11, November 1968, PP, [68-59J Syed L Husin nd Phil M. Ferguson: Flexurl Crck Width t the Brs in Reinforced Concrete Bems. Center for Highwy Reserch, The University of Texs t Austin, June [68-60J K. T. Sundr Rj Jyengr, B. Vijy Rngn, nd R. Pliniswmy: Some fctor s ffecting the sher strength o f reinforced concrete bems. The ndin Concrete Journl, Vol. 42, No. 12, December 1968, PP, [68-61J [68-62J [68-63J [68-64J [ J [68-66J [69-48J [69-49J [69-50J [69-51J [69-52J [ 69-53J [69-54J [ 69-55J Z. A. Zielinski: Strength limits for reinforced concrete bem subjected to bending nd high sher. Clcutt, The Ford Foundtion Advisory Plnning Group, 1968, PP, (Reprinted from: Journl of the nstitution of ~ngineers (ndi), Vol. 48, No. 7, Pt. C14, Mrch Norm fur die Berechnung, Konstruktion und Ausfllhrung von Buwerken us Beton, Sthlbeton und Spnnbeton. Si 162. Schweizerischer ngenieur- und Architekten Verein, R. Bus nd A. Brenneisen: The ftigue Strength of Prestressing Steel. Generl Report, FP Symposium on Steel for Prestressing, Mdrid, G. Rehm: Corrosion of Prestressing Steel. Generl Report, FP Symposium on Steel for Prestressing, Mdrid, Y. Guyon: Constructions en Beton Precontrinte,, Eyrolles, Pris, G. Vigerust, P. Kr. Lrsen: Steel Stresses in Prestressed Concrete f ter nitil Crcking. Betongtekniske Publiksjoner, No. 10, p. 21, Oslo, Alfred Bishr: Prestressed Concrete Bems under Combined Torsion, Bending, nd Sher. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 66, No. 7, July 1969, PP, John F. Brotchie: A Criterion for Optiml Design of Pltes. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 66, No. 11, November 1969, PP, John A. Hribr nd Rymond C. Vsko: End Anchorge of High Strength Steel Reinforcing,Brs. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 66, No. 11, November 1969, PP, nstitution of Structurl Engineel's: The sher strength of reinforced concrete bems. London, nstitution of Structurl Engineel's, 1969, PP, viii, 170. nterntionl Conference on Sher, Torsion, nd Bond in reinforced nd prestressed concrete. The ndin Concrete Journl, Vol. 43, No. 4, April 1969, PP, , 148. J.N. Kr : Sher strength of prestressed concrete bems without web reinforcement. Mgzine of Concrete Reserch, Vol. 21, No. 68, September Herbert Kupfer und Theodor Bumnn: Stffelung der Biegezugbewehrung bei hohen Schubspnnungen in schlnken Sthlbetontr~gern mit -Quer schnitt. Beton- und Sthlbetonbu, 64. Jhrgng, Heft 12, Dezember G. Morn~y y C. Delms: Ensyos de ls rticulciones Freyssinet. Hormig6n y cero, n. 91, 2. trimestre 1969, PP,

62 90 Littertur Littertur 91 [69-56] Edurd M6nnig und Dieter Netzel: Zur Bemessung von Betongelenken. Der Buingenieur, 44. Jhrgng, Heft 12, Dezember 1969, pp [69-57] Ge orge D. Nsser: A Look t Prestressed Flt Plte De sign nd Construction. Journl of the Prestressed Concrete nstitute, December 1969, Vol. 14, No. 6, p [69-58] PC Committee on Connection Detils: Summry of Bsic nformtion on Precst Concrete Connections. Journl of the Prestressed Concrete nstitute, December 1969, Vol. 14, No. 6, pp [69-59] V. Rngn: Sher strength of reinforced concrete bems with uniformly distributed lods. The ndin Concrete Journl, Vol. 43, No. i, Jnury 1969, pp [69-60] R. N. Swmy: Sher f ilure in reinfor ced concrete bems without web reinforcement (Prt 1). Civil Engineering nd Public Works Review, Vol. 64, N o. 751, Februry 1969, pp [ 69-61] Bruno Thurlimnn, Reto Coflisch: Teilweise vorgespnnte Buteile. nstitut fur Busttik, ETH, Zurich, Bericht Nr. 25, Mrz [ 69-62] M rtin Myer: tjber die Duerfestigkeit von teilweise vorgespnnten Buteilen. Sthlbeton, Berichte us Forschung u nd P rxis. Wilh. Ernst &, Soh n, B e rlin, M unc h e n, 1969, p [ 7-1] Comite E urope en du Be ton - Feder tion nterntionle de l Precontrinte: nterntionl recommendtions for the design nd construction of concrete structures. June 197 O: FP Sixth Congress, Prgue, English edition. [70-2] A C Committee 318: Proposed Revision of A C , Building Code Requirements for Reinforced Concrete. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, N o. 2, Februry 1970, pp [7-3] Alfred Bish r: Pre stres sed Concrete Bems Under Combined Torsi on, Bending, nd Sher. (Discussion by G. S. P ndit nd uthor). Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, N o. 1, Jnury 1970, pp [70-4 ] St nisl w Bryl: Flt Slb Concrete Floors with Steel Sher H e ds. Steel, 35th Yer, No. 4, April 1970, pp [7 0-5] D eutsche Gruppe der FP: Bruckenbu. Beton- und Sthlbeton, J hrgng 65, Heft 5, Mi 1970, pp [70-6) Robert H. Elvery nd Muhmed Shfi: Anlysis of Shrinkge Effects on Reinforce d Concrete Structurl Members. Journ l of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 1, J nury 1970, pp [70-7) Ric hrd W. Furlong: Design of Concrete Frmes by Assigne d Limit Moments. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 4, April 1970, pp [70-8) Horst Gerstnel': Zur Bemessung von Buteilen us Sthlleicht- und Spnnleichtbeton. Buplnung- Butechnik, 24. Jhrgng, Heft 2, Februr 1970, pp [70-9] K.S. Goplkrishnn, Adm M. Neville, nd Amin Ghli: A Hypothesis on Mechnism of Creep of Concrete With Reference to Multixil Compression. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 1, Jnury 1970, pp [70-10] B. P. Hughes nd J. E. Ash: Some Fctors influencing the long term strength of concrete. Mteriux et Constructions, Mrs-Avril 1970, No. 14, pp (70-11) P. Klug nd F. Wittmnn: The correltion between creep deformtion nd stress relxtion in concrete. Mteriux et Constructions, Mrs-Avril 1970, No. 14, pp [70-12] Jmes G. Mc Gregor, John E. Breen, nd Edwrd O. Pfrng: Design of Slender Concrete Columns. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 1, Jnury 1970, p [70-1 3) ir. Th. Monnier en P. W. vn de Hr: Construktief lichtbeton. Cement 1970, No. 3, pp [70-14] Glen S. Orenstein nd Edwrd G. Nwy: Crck Width Control in Reinforced Concrete Two- Wy Slbs Subjected to Uniform ly Dis t r ibute d Lo d. Journ l of the Ameri cn Concrete nstitute, p roc. v ol. 67, No. 1, J nury 1970, pp [70-15] N. K. Rju: Effects of Stres s Concentrtions on the Sttic nd Ftigue Strength of Concrete in Compression. Mteriux et Constructions, Mrs-Avril 1970, No. 14, pp (70-16] J. J. Shideler: President s Memo: Stndrd Nottions. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 1, Jnury 1970, p. Ni. [ 70-17] R. B. L. Smith: Sher rei.nforcement of reinforced concrete bems subject to distributed loding. Mgzine of Concrete Reserch, Vol. 22, No. 70, Mrch 1970, pp (70-18] J. Strke: Beitrg zur Ermittlung der Schubspnnungen beim Spnnbetontrger. Zuschrift. Beton- und Sthlbetonbu, Jhrgng 65, Heft 4, April 1970, pp (Hovedrtiklen stod i Beton- und Sthlbetonbu, Heft 10, 1969, p ). [ 70-19] Milik Tichy: Discontinuity of the Strength in Bending nd Sher of Reinforced Bems. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. Vol. 67, No. 3, Mrch 1970, pp [70-20] Aron Zslvsky nd Chim H. Avrhm: Yield-Line Design of Rectngulr Reinforced Concrete Blconies. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 1, Jnury 1970, pp

63 92 Littertur 93 [70-21] A. W. Beeby, H. P. J. Tylor: Crcking in Prtilly Prestressed Members. Pper presented t the Sixth nterntionl Congress of the FP, Prgue, 6-13 June [70-22] E. Hmpe, H. Koppler: Beitrg und Rechenhilfsmittel zur Ermittlung von Formnderungen gerissener Trgwerke mit Berucksichtigung des Kriechens und Schwinden. ABSE Symposium, Design of Concrete Structures for Creep, Shrinkge, nd Temperture Chnges, Mdrid 1970, Preliminry Publiction, p [70-23] F. Leonhrdt: Schub und Torsion im Spnnbeton. 6. FP-Kongress, Prg, [70-24] Avrm: L'influence du degre de precontrinte et d e l'elncement sur l cpcite portnte des poteux en beton precontrint soumis 1l l compression centree. Sixi1!me Congr1!s de l FP, Prh, 6-13 Juin [70-25] P. Luny, H., Gchon, P. Poitevin: Deformtion et resistnce ultime du beton sous' etreinte trixile. Sixi1!me Congr~s nterntionl de l Precontrinte, Prgue, 6-13 Juin, [70-26] F. Bremer: Festigkeits- und Verformungsverh lten des Betons bei mehrchsiger Benspruchung. FP Congres s, Prg, [70-27] Bond test for reinforcing steel.. B e m test. RLEM, mteri l s nd structures, mi-juin 197 0, No. 1 5, pp [70-28 ] Hermnn By: Die Achsverdrehung us Torsion im Stdium bei gleichzeitiger Einwirkung von Biegemoment, Querkrft und Normlkrft. Beton- und Sthlbetonbu No. 7, 1970, pp [70-29] Werner Fstenu, Fritz Leonhrdt und Volker Hhn: Der Pressmuffenstoss fur gerippte BewehrungssWbe. Beton- und Sthlbetonbu Nr. 7, 1970, pp [70-30] AC Committee 504: Guide to Joint Selnts for Concrete Structures. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 7, July 1970, p.489. [70-31] Abstrcts of AC seprte publictions: Symposium on Structurl Models. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 7, July 1970, pp [70-32] Srgis S. Sfrin nd Ernest C. Hrris: D e termintion of Minim um Wll Thickness nd Temperture Steel in Conventionlly Reinforced Circulr Concrete Silos. Journl of the Americn Concrete nstitute, proc. vol. 67, No. 7, July 1970, pp [70-33] Sven-Erik Bjerking: Montering v rmering. Rpport R 6: Sttens institut for byggndsforskning, Stockholm. EMNEFORTE GNELSE OVER LTTERATUR Armering Armering skrumning se under Krumning f Armering Armeringsstød Armerings Udmttelsesstyrke Beton: Egensk ber - Betonkon s truktioner Bjælker Brudlinieteori Styrke Bøjning og excentrisk Normlkrft [54-1] [65-8] [66-4] [67-26] [70-27] [62-8] [68-17] [68-63] [34-1] [56-2] [58-5] [62-1] [65-26] [ 69-24] [70-26] f ~ [ 28-1] [ 59-6] [60-4] [62-5] [ 63-14] [ 65-14] [ 66-11] [67-5] [67-19] [67-32] [68-2] [68-24] [68-38] [69-5] [ 69-27] [69-43] [69-54] [70-17] [43-1] [70-20] [50-2] f64-7] [ 67-13] [62-8] [ 62-13] [65-7] [65-22] [66-2] [66-3] [67-6] [67-23] [67-24] [67-30] [68-21] [68-41] [ 70-33] [63-2] [67-7] [ 68-16] [ 68-19] [68-22] [50-1] [53-1] [56-1] [58-1] [58-3] [58-4] [59-1] [59-2] [61-4] [ 63-13] [65-2] [ 65-21] [ 66-10] [66-16] [67-18] r69-46] [ 70-10] [70-25] r ~ f 63-11~ [64-22] [ [45-1] [51-1] [59-3] [59-10] [60-2] [60-3] [60-5] [60-6] [61-5] [62-6] [ 62-11] [62-13] [64-7] [ 64-11] [ 64-15] [ [ 65-18] [66-9] [66-12~ [ 66-15] [67-2] [ [67-12] [67-16] [67-20] [67-21] [67-27] [67-34] [67-38] [68-1] [68-8] [68-9] [ 68-10] [68-26] [ 68-34] [68-36] [68-48] [68-55] [68-57] [ ] [69-20] [69-21] [69-29] [69-30] [69-35] [69-48] [69-51] [69-53] [69-59] [ 69-60] [70-3] [70-19] [70-27] [63-6] [64-8] [67-8] [51-1] [59-6] [63-16] [ 64-11] [65-3] [65-9] [ 65-15] [ 65-18J [67-2] [68-3]

64 94 Emnefortegne lse over Littertur Emnefortegnels e over Littertur 95 Centrlt Tryk [64-1] For skydning (fortst) [63-7] [63-15] [64-5] [ 64-14] [64-15] [64-16] [64-17] [65-4] Chrnierer [59-8] [65-17] [ 65-27] [66-24] [65-5] [65-6] [65-7] [65-13] [ 69-56] [ 65-14] [65-23] [65-24] [66-1] [66-9] [66-11] [ 66-12] [66-13] Deformtione r [50-4] [60-6] [63-9] [63-10] [66-15] [66-17] [67-5] [67-11] [ 65-29] [ 65-32] [66-21] [66-26] [67-12] [67-16] [67-19] [67-21] [66-29] [66-30] [68-7] [68-15] [67-34] [67-37] [68-1] [68-2] [68-31] [68-40] [ 68-49] [68-50] [68-9] [ 68-23] [68-54] [68-55] [69-9] [ 69-10] [69-14] [69-20] [68-60] [68-61] [69-8] [69-12] [70-22] [ 69-16] [69-17] [69-21] [ 69-22] [69-26] [ 69-27] [69-30] [69-47] Delvis For spænding [59-3] [63-7] [64-23] [65-28] [ 69-48] [69-51] [ 69-52] [69-53] [65-30] [65-31] [66-1] [66-25] [69-54] [69-59] [ [70-3] [ 66-28] [ 66-31] [67-36] [68-15] [70-17] (70-18] [70-19 [70-23] [ 68-33] [ 68-42] [68-51] [ 68-52] (70-28] [ 68-56] [ 69-14] [69-18] [69-23] [ 69-42] [69-61] [69-62] [70-21] Forskydning i Spændbeton og [70-24] delvis for spændt Beton [59-3] [60-3] [63-7] [64-17] [ 65-14] [ 65-28] [65-31] [66-1] Dynmisk Belstning [66-5] [ 66-23] [67-16] [67-21] se under [67-36] [68-1] [68-15] [68-33] U dmttels e sp virkning f [68-43] [69-18] [69-23] Beton Generelle Værker [ 31-1] [55-4] [58-6] [61-1] Dæklg [59-1] [ 67-25] [61-2] [ 62-9] [63-1] [63-4] [63-5] [64-2] [ 64-3] [ 64-4 ] E l ement-smlinger [ 68-58] [ 69-58] [ 65-1] [ 65-2] [ 65-11] [ ] [ 66-8] [66-17] [ 66-32] [67-1 ] Exce ntrisk Normlkrft [68-5] [68-65] [69-1] [69-24] se under [69-25] Bøjning og excentrisk Normlkrft njektion f Kbelgnge [57-4] [61-7] [63-12] [63-13] eller under Søjler Kipning [60-2] [62-12] Elsticitets - og Styrkelære [56-2] [61-6] [64-8] [67-33] Klæbning f Beton [69-38] For n k ring f Armeringen [51-3] [55-2] [55-3] [57-2] [64-6] [65-4] [65-7] [65-16] Kongresser [67-3] [67-9] [ 69-14] [69-52] [66-19] [67-4] [68-18] [69-50] [70-31] For nkringen s Udm ttelsesstyrke [68-63] Konsoller [67-14] [ 68-27] [ 69-11] Forbindels e mellem Armering Korros'ion [64-24] [67-39] [68-64] [ 69-62] o g Beton [49-1] [51-4] [55-1] [59-7] Krumning f Armering [62-8] [65-4] [66-3] For sklling [69-37] Krybning [58-1] [65-19] [65-20] [65-21] Forskning [65-25] [ 67-18] [69-33] [70-9] (70-11] [70-22] Forskydning [ 28-1] [ 58-2] [59-3] [ ] [ 60-3] [60-4] [61-5] [62-2] Lejer [ 59-10] [ 65-17] [ 67-32] [69-55] [ 62-4] [ 62-5] [62-6] [62-11] Letbeton [70-8] (70-13] fortsætte s

65 96 Emnefortegnelse over Littertur Emnefortegnels e over Littertur 97 Lærebøger Smling f præfbrikerede se under Elementer [68-58] [ 69-58] Generelle Værker Sikkerhedsgrd [68-4] Muffestød [67-7] [68-17] [ 68-19] [70-29] Skder [ 65-10] [66-26] [ 69-42] Nedbøjning se under Skiver [65-18] [69-2] Deformtioner Spændbeton [41-1] [47-2] [58-8] [62-3] Normer og Rekommndtioner [59-5] [ 62-7] [63-2] [63-3] [63-8] [65-31] [66-5] [66-23] [63-8] [64-1] [64-9] [ 64-19] [67-7] [68-28] [68-30] [68-33] [66-5] [66-7] [66-23] [67-10] [68-43] [68-66] [69-6] [ 69-25] [67-15] [68-71 [ 68-15] [ 68-25] [69-29] [69-34] [69-47] [ 69-52] [68-33] [68-40 [ 68-43] [ 68-62] [69-53] [69-57] [70-18] [70-23] [69-3] [69-4] [69-9] [69-23] Se iøvrigt under: [69-41] [70-1] [70-2] [70-16] Delvis For spænding Forskydni.ng i Spændbeton Pddehtkonstruktioner og delvis forspændt Beton [59-4] [63-6] [ 64-20] [67-29] nejktion. f Kbelgnge [68-35] [69-39] [70-4] Strimmelmetoden [56-4] [59-4] [60-1 ] [61-2] P rtilko efficienter [64-9] [68-4] Støbeskel [31-1] [58-8] [ 59-1] [59-11 ] [63-11] [69-40] Plde bjælker se under Stød i Armeringen [62-8 ] [ 63-2] [ 67-7 ] [ 68-17] T-Bjælker [ 68-19] [ 68-22] Plder [ 43-1] [ 56-4] [59-4] [59-9] Svejsning f Armering [62-8 ] [68-53] [ 68-16] [ 68-19] [60-1] [63-6] [ 63-10] [ 66-21] [ 69-31] [67-8] [ 67-28] [67-31 ] [68-3] [68-6] [68-32] [69-17] [69-31] Svind [65-21] [70-6] [70-22] [ 69-49] [ 69-57] [70-14] [70-20] Søjler [47-1] [ 50-3] [51-2] [53-2] Ps tici tetsteori [43-1] [56-3] [60-1] [61-3] [57-3] [62-7] [63-1] [63-2] [ 62-10] [63-6] [67-8] [63-8] [64-2] [64-18] [ 66-16] [66-18] [66-20] [67-22] [ 68-13] Præfbrikerede Elementer, [ 68-14] [68-15] [ 68-25] [68-29] Smlinger [68-58] [ 69-58] [68-44] [70-12] Rmmekonstruktioner [61-3] [64-12] [69-19] [70-7] T-Bjælker [62-5] [63-15] [64-11 ] [ 64-15] [65-7] [65-15] [66-15] [67-17] Revner [50-4] [59-1] [64-24] [65-26] [ 68-45] [68-46] [69-1 2] [66-22] [66-27] [66-30 ] [ 68-26] [ 68-39] [ [68-59] [68-66] Torsion [60-5] [64-10] [ 65-12] [65-28] [ 69-10] [ 69-15j [69-28 ] [69-31] [67-27] [67-33] [67-38] [ 68-8] [70-14] [70-21] [70-22] [ 68-10] [ 68-11] [68-12] [68-24] [ 68-36] [68-37j [68-38] [ 68-45j Ringbjælke [69-7] [68-46] [68-47 [68-48] [ [69-3] [69-4] [69-5] [ 69-13] Rottionskpci tet [62-10] [67-2] [ 68-20] [69-14] p.709 [ 69-35] [69-36] [ 69-44] [69-45] [69-48] [69-52] [70-3] [70-23] [70-28]

66 98 Emnefortegnelse over Littertur 99 Udmttelsespvirkning f Beton [34-1) [64-12) [64-13) [67-12) [67-20) [69-32) (70-15J Udmttelessstyrke for Armering og Fornkringer [68-63] Vridning se under Torsion FORFATTERNDEX Abeles, Pul W. Abrhmsson, E. AC Annthnryn, Y. Armstrong, W. E. J. Aroni, Smuel ASCE Asce, M. Ash, J.E. Avrhm, Chim H. Avrm [68-26] [68-56] [ 62-13] [62-2] [63-2] [64-19] [64-22) [65-9] [ 66-16] [ 66-29] [68-7) [68-11 ) [69-3J [69-6] [69-13] [ 69-42] [69-45 ) [70-2] [70-30 J [70-31] [68-9] [68-46) [ 69-36J [49-1] [68-30] [62-2] [65-9) [69-6] [67-19) (70-10] [70-20] [70-24] Bchmnn, Hugo Bker, A. L. L. Blsr, J. P. Bron, Mrk J. Bse, G. D. Bumnn, Theodor Bus, R. By, Herm nn Bznt, Z. P. Becher Beckett, Derrick Beeby, A.W. Beher, Umknt Beresford, F.D. Bernnder, K.G. Bertero, Vitelmo V. Birkelnd, C. J. Birkenmier, M. Bishr, Alfred [ 66-1 ) [ J [ 68-34] [66-9] [ 59-8] [ 59-9J [64-7J [65-27J [69-54J [65-30 J [ 65-32J [ 68-63J [70-28] [ 68-13] [65-23) [67-2] [68-31] [69-9] [ 69-15] [70-21J [69-43] [ 67-29] [ 55-2J [63-7] [64-12] [67-27] [68-51 ] [ 69-44] [ 69-48] [70-3 ]

67 100 Forftterindex For f tterindex 101 B j erki ng, Sven-Erik Bjorkqvist, E. Blkey, F. A. Blom, 1<. E. [70-33] [67-30 ] [63-9] [ 67-30] [ 63-10] Dnesi, R.F. Dnsk Stndrd Dnske Stlvlseværk, Dvies, J.D. Det [ 68-20] [ 59-5] [ 62-7] [ 66-7] [68-18] [ 62-8] [ 64-4] Brnchini Breen, John E. [65-26] [65-16] [70-12] Dehousse, N. Delms, C. [66-31] [ 69-55] Bregler Bremer, F. Brenneisen, A. Brenner, E. Bre ser, B. Brice, L. P. [61-5] [70-26] [65-32] [66-31] [68-52] [68-63] [ 34-1] [58-3] [67-19] [67-37] Depuw, V. DF Dilger, Wlter Dreger, W. Dreux, M.G. [ 65-30] [ 55-4] [63-12] [ 65-6] [64-16] [ ] [ 57-4] [63-3] [63-8] [64-9] Brink, Rus sel [67-31] Broms, B. Brotchie, John F. Brown, C. B. Brown, Er l l. Bryl, Stni slw Brøndum-Nielsen, Troels Burns, Ned H. [66-22] [69-49] [69-28] [68-26 ] [69-39 ] [ 61-7] [ 69-25] [64-23] [70-4] [66-6] [67-7 ] [ ] Efsen, Axel Elsesser, H.G. Elvery, Robert H. Entrepr enørforeningen Ernst, Wlter Evns, R.H. [ 54-1] [ 56-1] [57-2] [59-7] [63-1] [ 69-37] [70-6] [66-3] [67-26 ] [ 66-2] [ 55-1] [63-5] [67-10] [59-1] [ 69-12] Burton, K.T. [ 68-21] Buø, Finn Olv [ 65-18] Bl1hrer, Rudolf [ 58-8] Bygningsteknik, Lbortoriet for [62-1] Cmpus, F. CEB Chmbud, R. Chinn, J. Chung, H. W. C l rk, Arthur P. Coflisch, Reto [66-31 ] [64-1] [65-28] [ 66-5] [66-18] [66-20] [66-23] [66-30 ] [67-25] [68-14] [68-15] [68-42] [69-23] [70-1] [65-11] [ 55-3] [69-12] [51-1] [ 69-61] Fstennu, Werner Feld, Jcob Fenwick, R. C. Ferguson, P. M. FP Finsterwlder, K. Fischer, Gordon P. Fling, Russel S. Forum, C.S. Frnz, Gotthrd Freitg, W. Furlong, Richrd W. [68-19] [68-22] [7 0-29] [ 65-10] [ 68-55] [55-3] [65-1] [68-23] [68-59] [63-11] [63-13] [66-5] [66-23] [69-23] [70-5] [65-21] [ 64-10] [ 68-7] [ 65-2] [64-3] [69-1] [67-14] [ 68-44] [70-7] Corley, W.G. [ 68-32] Cown, H. J. [53-1] [65-12]

68 102 Forftterinqex Forftterindex 103 Gchon, H. [70-25] Hilsdorf, H. [ 65-21] [66-14] Grdner, Noel J. Grdner, R. P. M. [68-29] [ 60-5] Hofbeck, J.A. [69-8] Hognestd, E. [ 66-25] [ 68-21] Gere, Jrnes M. Gerstle, Kurt H. Gerstner, Horst [61-6] [65-8] [70-8] Holmberg, Åke [59-10] [67-4] [67-23] Hornung, K. [68-58] Hribr, John A. [69-50] Gesund, Hns Ghli, Amin Glrbo, Ole Goder, W. [68-24] [70-9] [56-1] [57-3] Hsu, T. C. [68-10] [68-36] [68-37] Hughes, B.P. [70-10] Hulsbos, C.L. [ 66-10] Husin, Syed L [68-59] [69-4] Goplkrishnn, K. S. Grf, Otto Grnholm, Hjlmr [70-9] [34-1] [65-3] [50-1] [65-22] brhim, LO. [69-8] Grieb, E. Grosko, J. J. Gueritte, T. J. Guillermo, E. C. Gurlnick, Sidney A. Gurfinkel, Germn [ 67-31] [68-20] [41-1] [67-22] [67-20] [67-13] nstitution of Structurl Engineers, London [69-51] nterntionl Conference on Sher, Torsion, nd Bond in reinforced nd prestressed Concrete [ 69-52] loneseu, M. [ 66-27] Guyon, Y. [66-32] [68-65] Jrnes, Merlin L. [64-13] Hr, P.W. vn de Hgberg, T. Hhn, Volker Hld, A. Hmilton, M.F. Hmpe, E. Hmpe, P.A. Hnnnt, D. J. Hnson, J.M. [70-13] [67-32] [68-19] [68-22] [68-58] [70-29] [57-1] [67-27] [65-31] [70-22] [68-34] [69-33] [68-21] [68-35] [69-18] Jyrmn, V. Jensen, C.G. Johnsen, K.W. Johnson, Arne Jones, L.L. Jundi, Nbil Jurrck, Fritz Jyengr, K:T. Sundr Rj [68-45] [66-8] [28-1] [ 58-1] [50-4] [59-11] [ 69-32] [65-19] [ 68-60] [ 30-1] [43-1] [63-6] [64-8] [67-8] [45-1] [67-33] Hnson, N.W. [68-35] Hrris, Ernest C. HugE, F.R. Hwkins, N.W. Hillerborg, A. [70-32] [62-11] [68-32] [ 56-4] [59-4] [60-1] Kni, G. N. J. Kr, J.N. Krni, J. Kelterborn, P. [58-2] [66-13] [69-16] [ 69-53] [58-4] [ 69-38]

69 104 Forftterin?ex Forftterindex 105 Kemp, E. L. [69-4J Mgur, Donld D. [ 66-25J Kesler, Clyde E. [ 65-26J [66-14J Mins, R. M. [51-4J Kierkegrd-Hnsen, P. [61-4] Mrtin, H. [68-39J Klug, P. [70-11 J Mrtin, Victor M. [ 68-24J Klus, John P. [68-8J Mttock, Aln H. [ 59-6J [67-27J [69-5J [69-8J Kll.lppel, K. [ 57-3J Myer, H. [62-11J [66-26J Kong, F.K. [67-10J Myer, Mrtin [ 69-62] Kornosz, T. [ 68-16J Myoglou, B. [69-5J Kosib, Richrd J. [69-34J Mehmel, A. [ 65-23] [67-14] Krefeld, Willim J. [66-11J [ 66-12J Meyer, Erik V. [ 65-2J Krell, W. C. [69-17 J Miles, J.R. [69-9J Krenchel, Herbert [59-2J [67-6J Miller, Chrles A. [67-20] Kupfer, K.H. [67-17J [69-46J [ 69-54] Mills, D. G. [68-24J Kuyt, B. [68-38J Mirz, M.S. [69-35J Kl.lppler, H. [70-22J Moe, A. J. [68-4J Moenert, P. [ 65-29J Moll, H.L. [64-24J Lmpert, Pul [ 67-38J [ 68-57J Monnier, Th. [70-13J L r sen, Per K r i s ti n [ J [ 68-3J [ ) Morn loy, G. [69-55] Luny, P. [ 70-25] Morrow, Joe W. [ 68-26J Leonhrdt, Fritz [ 62-3] [ 62-4] f 62-5) [62-6] Mozer [65-26] [63-15] [64-16) 65-4] [65-5] [ 65-6] [65-7] [65-17) [66-24) Muller, Jen [62-12] [67-34] [67-35] [70-23] [70-29] Murdock, John W. [65-25] Lerchenthl, C.H. [ 67-28] Ml.lnnig, Edurd [ 69-56] Lin, T.Y. [63-16] Lloyd, John P. [69-31] Lorentsen, Mogens [64-17) [65-14] [68-49] [68-50] Nsser, George D. [ 69-57] Losberg, Anders [67-1] [69-41] Nvrtnrjh, V. [68-48] Lutes, Loren D. [64-13J Nwy, E.G. [68-20J [68-47] [70-14] Ll.lwenkrntz, Christer [ 68-17J Netzel, Dieter [ 69-56J Neville, A.M. [60-4] [70-9] Nielsen, Jørgen [47-1] [ 50-3] [ 51-3] [ 53-2J McClure, Georg [64-12] Nielsen, L. Fuglsng [69-20] McGregor, Jmes G. [ 60-3] [67-11] [67-19] [ 69-18J Nielsen, Mogens Peter [ 61-3] [67-5] [69-2] [70-12] Nilson, Arthur H. [ 64-2] McHenry, D. [ 58-4J Nilsson, L H. E. [ 69-19] Mdse n, Henning T. [66-17]

70 106 For ftterindex Forftterindex 107 Nordby, Gene M. [ 58-5] Rusch, Ernst [65-24] Nordisk Betonforbund [68-43] Red, J. B. [64-7] [ 69-15] Regn, P.E. [69-26] [69-27] [69-30] Rehm, Gllus [64-24] [68-39] [68-53] [68-64] Ojh, S.K. [67-16] Reimnn, H. [65-17] Olesen, Svend Øivind [ 64-6] [67-21] [68-1 ] Reis [ 65-26] Olsen, Kurt [66-8] Rejli, Hssn M. [69-31] Ople, F.S. [66-10] RLEM [ 63-13] [70-27] Orenstein, Glen S. [70-14] Riley, Wlter E. [68-28] O'Rourke, C.E. [64-2] Robinson, Arthur [ 67-13] Osburn, D. L. [ 69-5] Robinson, G.W. [ 55-1 ] Robinson, J. R. [65-13] [68-54] Russwurm, Dieter [68-53] Pl iniswmy, R. [ 68-60] RUsch, H. [62-11] Pnnell, F.N. [69-29] Romer, B. [68-16] Puley, Thoms [ 68-55] PC [68-25] [69-58] P erry, Ervin S. [69-32] Semnn, J. C. [ 64-14] Pettersson, Ove [ 60-2] Sfrin, Srgis S. [ 69-7 ] [70-32] Petter s son, Tg e [64-15] Sndbye, P. [ 69-11] Pfeffermnn, O. [ 65-29] S chweizeris cher ngenieur- und Architekten-Verein [ 68-62] PHster, Jmes F. [ 64-18] Scovdele [ 61-5] Pfrng, Edwrd O. [ 70-12] Sebold, Richrd H. [67-12] Pister, K.S. [ 58-3] Sexton, Cyril Geor ge [ 42-2] Plces, Alexndr [ 69-26] ShH, Muhmed [70-6] Poitevin, P. [ 70-25] Shideler, J. J. [70-16] Poulsen, Ervin [69-20] Short, A. [67-15] Pucher, Adolf [ 61-1] Siess, C.P. [ 59-3] [60-3] [67-21] Rjgopln, K.S. [68-23] Rju, N.K. [70-15] [69-43] Rmkrishnn, V. [ 68-9] [68-45] Rmbøll, B. J. [ 51-2] Rngn, B. Vijy [68-60] [ 69-59] Rsmussen, Bent Højlund [ 50-2] [ 56-3] [68-46] [69-36] Siglov, E. [ 62-9] Singh, Awtr [65-8] Smith, Gerld M. [ 64-13] Smith, R. B.L. [70-17] Sore tz, Stefn [67-39] Sozen, M.A. [ 59-3] [60-3] [67-21] Speck, F. [69-40] Stnculescu, G. [ 66-27]

71 108 Forftterind\3x For f tterindex 109 Strke, Jens Strnberg Strongin, S. Suenson, E. Swmy, R.N. [69-47] [70-18] [ 65-24] [ 62-9] [ 31-1] [ 69-60] Wills, L. Goodwyn W inter, Geor ge Wittmnn, F. Wood, R. H. Worth, P. [ 69-'10] [60-6] [64-2] (70-11] [67-8] [68-6] [69-4] Tmberg, K. G. Tnniru, V.N. [68-12] [65-20] Yu, C.W. Yu, Wei-Wen [69-27] [60-6] Tylor, H.P. J. [68-2] [ 69-15] [70-21] Tylor, R. Tepfers, Rlejs Thompson, J.N. Thurston, Chrles W. Thtirlimnn, Bruno [ 66-15] [66-19] [68-17] [68-41 ] [ 69-21] [ 55-3] [66-11] [66-12] [63-14] [ 66-1] [67-36] [68-57] [69-61] Zslvsky, Aron Zi, Pul Z ielinski, Z. A. Zwoyer, E.M. (70-20] [64-10] [67-22] [ 68-61] [ 59-3] Tichy, Milik [70-19] Timoshenko, Stepen P. Trost, H. [ 56-2] [ 61-6] [67-18] Ostlund, Lrs [67-24] Tulin, Leonhrdt G. [ 65-8 ] Urquhrt, L. C. [ 64-2] Wgner, Otto [ 58-7] Whl, Howrd W. [69-34] Wlters, J. R. V. [67-11] Wlther, Rene [62-4J [ 62-5] [ 62-6] [63-15] [ 64-5] [64-16] [ 65-6] [65-7] Wntur, H. Zdenko [69-22] Wrner, R.F. [ 63-14] Wscheidt, H. [66-4] Wsh, George W. [64-14] Vsko, Rymond C. [ 69-50] Vigerust, Gunnr [66-21) [ 68-3] [68-66] Wilby, C. B. [63-5]

72 110 Alfbetisk Emneliste 111 ALFABETSK EMNELSTE Side Afstnd mellem Armeringsstæ ng e r Afstndsholdere for Armering Aksilt T ryk (Brudstdiet) Aksilt Tryk (Brugs stdiet) Aksilt Træk Arbejdslinie for Beton Arbejdslinie for Dnsk Kmstl Arbejdslinie for Rundjern Arbejdslinie for Tentorstl Armering Armering Bundter Armering Søjler Armering, Kombineret Armering med svejste Stød Armering, Pr tilkoefficient Armering, Udm tte lses styrke..., Armeringens Fornkri ng o g S tød Armeringens Spændingsv ri tion Armering s - Krumninger Armeringsprocent Armerings stænger s Fornkringsevne Armeringsstængers indbyrdes Afstnd Armeringsstængers indbyrde s Afstnd i Plder.. Armeringsstængers Stødlængde Blnce-Tilstnd Bus ching e r - Effekt Beton, Prtilkoefficient Betondæklg Betonens trnsformerede Tvæ rsnitsrel Betonteknologi Betontrykspændingernes Fordeling v e d Brudstdiet. Beviklede Søjler Side , , , Bevægelig Belstning, Prtilkoefficient Bjælkebredde Bjælker Bjælker. For skydningsrmering Bjælker, Ki pning Bjælker, miniml Højde Bjælker, Trykrmering Bjælke -Søjle - For bindeiser Brint-Skørhed Brudkombintioner: f Moment og Normlkrft... Brudlst Brudlinieteorien Brudmoment for rektngulært Tværsnit med Trykrmering pvirket til ren Bøjning..... Brudmoment for rektngulært Tværsnit uden Trykrmering pvirket til ren Bøjning.... Brudmome nt fo r T -Bjæ lker Bruds t die- Beregni ng Brudstdie- B e r egning, Generelt Beregningsp r i ncip. Brudstdiet Brudstdiet, Aksilt Tryk Brudstdiet, Betontrykspændingernes FordeliJ).g. Sttisk ubestemte Konstruktioner Brudstdiet, Brug s stdiet Brugs stdiet, Centrlt Tryk Brugsstdiet, Sttisk ubestemte Konstruktioner.. Bue-Virkning (For skydning) Bue-Virkning (Forskydning i T-Bjælke-Flnger). Bukke-Dimeter for Armering Bukning f Km s t l Bukning f Rundjern Bukning f Tentorstl Bundtet A r mering Bøjlefstnd Bøjler Bøjler i Søjler , , , ,

73 112 Alfbetisk Emneliste Alfbetisk Emneliste 113 Side Side Bøjler, svejste Bøjler ved Stød i Aksilrmering Bøjlers Dimensionering B øjlevinke l, Optiml B øjning kombineret med Vridning og Forskydning.. Bøjningstrækstyrken (Beton) Egenspændinger Elsticitetskoefficient for B e ton Elsticitetskoefficient for St l Enkeltspændte Plder Euler-Formle n Excentrisk belstede Søjler , Centrlt belstet Søjle, D imensioneringsformel.. Centrlt T r yk (Brudstdiet) Centrlt Tryk (Brugs stdiet) Centrlt Træk Cirkulære Tvær snit, Vridning Cylinderstyrke , Flerkset Pvirl<;ning f Beton Flydeledsteorien Flydespænding (Armering) Fornkring f Armering Fornkringer, Udmttelsesstyrke Fornkringsevne, Armering s stænger Fornkringsevne, Udtrækning sforsøg 26, 32, D e formtioner Deformtioner efter Revnednnelse Deformtioner for T- og -Profiler Deformtioner før Revnednnelse Deformtionernes Afhængighed f Forspændi ngsgrden Dekompres sionstilstnd Delvis For spænding Delvis for spændt B e ton, F or skydning Delvis ndspæ nding Digonlt T ræk - Brud Dobbeltspændte Plde r Dobbe ltspændte Plder, Hjørnekræfte r Dynmisk Belstning, Prtilko e fficient Dæklg , , Fornkring sf ktor F ornkringsl æ n g d e Forbindelse mellem Armering og Beton Fordelingsrmering i Plde r Forhndskrumning i Søjler For skydning Forskydning, Bue-Virkning Forskydning, Gitte r-anlogien Fors kydning Plder For skydning T-Bjælke-Flnge r Forskydning, Jernbe ton, Spændbeton og delvis for spændt B e ton Forskydning kombineret med Bøjning og Vridning.. Forskydning, K. W. Johnsens Teori Forskydning, Nyere Forsøg Forskydning, Ure vnet Stdium For skydning, Vri bel Bjæ lke højde Forskydningsrmering 201, Forskydningsrmering, Dimensionering

74 114 Alfbetisk Emneliste Alfbetisk Emneliste 115 Side Forskydningsrmering i Bjælker..... Forskvdningsberegning.... Forskydningsbrud Profiler, Revnevidde Profiler, Udmttelsespvirkning Forskydnings-Tryk-Brud Forskydnings-Træk-Brud..... Forspændingsgrd K. W. Johnsens Teori (Forskydning) 150 Forspændingsgrdens ndflydelse p Deformtioner. 65 Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnelsten. Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden Forspændingssnitkræfter Fripunkter Fundmenter Fundmenter, Urmerede Fundment-Søjle-Forbindelser Kmstl (Dnsk) Kmstl (Svensk) Krkteristisk Styrke (Beton)... Kipning f Bjælker Klssifiktion f Betonkonstruktioner. Kombineret Armering Konstruktiv Udformning Kontkt-Stød i Armering Gennemlokning f Plder Gitter -Anlogien Kontinuer lige Plder Kroge p Armering Krumning f Armering Krumning f Søjle Hger p Armering Hjørnekræfter, dobbeltspændte Plder Krybning Krybning i Beton, Søjler , 172, Hjørner i Plder 205 Hovedspændinger Huller i Plder Hvilende Belstning, Prtilkoefficient.. Hvælvings-Virkning i Plder Letbeton Lineær Trnsformtion f Forspændingen.. Lseglidning , njektion f Spændrmeringsknler.. njektionens Udførelse njektion i koldt Vejr njektionsmørtelens Blnding njektionsmørtelens Egenskber.... -Profiler, Deformtioner Membrn-Virkning i Plder... Middelcylinderstyrken Miniml Armering i Plder... i Minimle Armerings-Dimetre for Pldermering Minimle Pldetykkelser Muffe-Stød i Armering

75 116 Alfbetisk Emtleliste Alfbetisk Emneliste 117 Side Side n-fri Metode #,1 Nkkebøjle,... f._.... Nominel Bel stning Nominel Brudlst..., l,,f;minel Brudspænding Normltrmeret, rektngulært Tværsnit Normltrmeret T-Bjælke Normltrmeret Tilstnd Normer for Beton, f ' 39, 47, Plder, dobbeltspændte Plder, enkeltspændte Plder, Forskydning Plder, Gennemlokning Plder, Huller og Udspringer.... Plder, Hvælvingsvirkning..... Plder, kontinuerlige Plder, Membrn-Virkning..... Pldernde, simpelt under støttede Pldetykkelser, minimle 208 Opbøjet Armering f ff Opbøjningsregler for Plde rmering Opspænding, Sikkerhedsfornstltninger Optiml BØjlevinkel..... Overrmeret Tilstnd... Over lpning s stød Plsticitetsteorien nvendt p Jernbeton Poisson' s Forhold for Beton Rmmehjørner Rmmer, Lineær Trnsformtion..... Rnkine - Formlen Pddeht-Dæk... Prtilkoefficient for Armering... "..., Prtilkoefficient for Beton o Prtilkoefficient for bevægelig Belstning 4O Prtilkoefficient for dynmisk Belstning... P rtilko efficient for hvilende Belstning... Prtilkoefficient for uvrslet Brud Prtilkoefficient, supplerende... Prtilkoefficientprincippet '"..... Pldermering, Afstnd mellem Armerings stænger Pldermering, Fordelingsrmering Pldermering, miniml Armering. Pldermering, minimle Armeringsdimetre Pldermering, Opbøjning over Understøtninger Pldehjørner Plder , Rektngulært, revnet Tværsnit pvirket til Bøjning (Brugs stdiet) Rektngulært Tværsnit med Trykrmering pvirket til ren BØjning (Brudstdiet) Rektngulært Tvær snit pvirket f excentrisk Normlkrft (Brudstdiet) Rektngulært Tværsnit pvirket f Normlkrft med lille Excentricitet (Brudstdiet) Rektngulært Tværsnit pvirket f Normlkrft med stor Excentricitet (Brudstdiet) Rektngulært Tværsnit uden Trykrmering pvirket til ren Bøjning (Brudstdiet). Relkstion Reltiv Forspænding Restsvind Retrder Revnednnelse (Forskydning) Revnelst Revnelstens Afhængighed f For spændingsgrden. 101,

76 118 Alfbetisk Emneliste Alfbetisk Emneliste 119 Side Side Revnemoment Revner Beton Revner Beton, Søjler Revnevidden i T - og -Profiler... Revneviddens Afhængighed f Forspændingsgrden. Revnevidder Ribbestl Ritter - Formlen Rottionskpcitet Rumvægt for Beton... Rundjern Sikkerhedsfornstltninger ved Opspænding. Skiver Skrbøjler Skrjern Smith-Digrm for Beton Splteforsøg Spændrmering s -Knler, njektion... Spændbeton Spændbeton, Forskydning Spændbeton, Lineær Trnsformtion.. Spændbeton-Rmmer, Lineær Trnsformtion Spændingskorrosion Spændvidde Sttisk ubestemte Konstruktioner.... Sttisk ubestemte Konstruktioner, Brudstdiet Sttisk ubestemte Konstruktioner, Brugsstdiet Strimmelmetoden Støbeskel... f" f f Støbeskel i Søjler Stød Aksilrmering, Søjler... Stød Armering... f 2, Stødlængde Stød, Tværrmering Supplerende Prtilkoefficient..... Svejste Armeringsnet Svejste Stød i Armering Svind Svind i Beton, Søjler Søjleberegning Søjle - Bjælke - Forbindelser Søjle-Fundment-Forbindelser Søjler Søjler, Aksilrmering Søjler, beviklede Søjler, Bøjler Søjler, centrlt belstet, Dimensioneringsformel Søjler, Forhndskrumning Søjler, Krumning..... Søjler, Krybning og Svind..... SØjler, Revner i Beton Søjler, Støbeskel.... Søjler, Stød i Aksilrmeringen. Søjler, urmerede Søjletrykkets Excentricitet... Søjletvær snit T - Bjælker (Brudstdiet) T-Bjælke-Flnger, Forskydning..... Tentorstl Teoretisk Spændvidde Terningstyrken Tillægsmoment ved Søjler T-Profiler, Deformtioner T-Profiler, Revnevidde T -Profiler, Udmttelsespvirkning 187, , , ,

77 120 Alfbetisk Emneliste Alfbetisk Emneliste 121 Side Trjektorier Trnsforrneret Tværsnitsrel.... Trykrmering Trykrmering i Bjælker... Trykrmering, rektngulært Tværsnit (Brudstdiet). Trykflngebredde for T-Bjælker. Trykstyrke (Beton) , , 4 Vouter.... Vridning Vridning, Cirkulære Tværsnit..... Vridning kombineret med BØjning og Forskydning. Vridning optget f Armeringen Vridning, Smvirken f Beton og Armering Vridningsbrud U Træknormlkrft med lille Excentricitet (Brudstdiet) Vridning, Urmeret Beton Trækstyrke (Beton) 1, 7 Tværrmering ved Stød , 190 Urmerede Fundmenter Urmerede Søjler Urmeret Beton, Vridning U Udmttelsespvirkning Udmttelsespvirkning f Armering Udmttelsespvirkning f Beton Udmttelsespvirkning f T - og -Profiler.... Udmttelses styrke for Armering og Fornkringer.. Ul Udspringer i Plder.... Udsvingsstyrken for Armering..... Udtrækningsforsøg Underrmeret. rektngulært Tværsnit Underrmeret T - Bjælke Underrmeret Tilstnd Underrmeret Tværsnit, Vridning.... Uvrslet Brud Uvrslet Brud, Prtilkoefficient Uvrslet For skydningsbrud 11 43, Vnd-Cement-Forholdet , 16 Vrmeudvidelseskoefficient for Beton.. 25 Vrslet Brud , 72

78 ~= 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 O,5~--,-~-r--~~--.---~---.~--~r--rT--TT-~r-~,-T--T~r,... N N b " -, hl ::jj... C1~..,,.. o o. 0, ,20 O P=O,10 O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 x = 2hNQP 3M n[.p O,S 0,4 0,3 0,2 l = 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,3 1 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 '1 0 b " - o O., M rj =-- b lbh2 rj' _, bl.. ~ '"O '"O (1) ;:l P- ~ <l Z ~ 00 O, l 0,1 O O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 2hNQP x=-- 3M... N VJ

79 n [op l = 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 O) 0,80,9 1,0 1,2 1,5 2,0 3,0 5, ,0-5,0-3,0 0,5 ~-~-~-~'T"""'T""T'"""":-T"'~~--r--T"""'--r-r--r---,.--,r--r-T"""""TT'"-~ b,- -- Z '1 0,2 1,2 ihn p x=-- 3M