Matematikkens sprog INTRO

Transkript

1 Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på. INTRO Mtemtikkens sprog går på tværs f lndegrænser Når en problemstilling er overst til mtemtiksprog, kn den ofte løses ved t følge mtemtikkens regneregler Regnereglerne gælder unset, hvilket lnd I kommer fr. For t forstå og bruge mtemtik til t løse problemer må 1 derfor kende mtemtikkens sprog. MATEMATIKKENS SPROG 83

2 MUNDTLIG TAL OG VARIABLE n Hvilken rækkefølge skl der regnes i? (5-2)-6 B Er det sndt eller flsk? \-6 = 3-6 = l-\-z + Z-\-Z + Z + 3 b 15 9 = 9 15 c 15:3 = 3:15 d 100:2 = 100-^ e 100:5 = 100-^ Mn hr ftlt denne rækkefølge: 1. Først udregnes indholdet f lle prenteser 2. Dernæst udregnes potenser 3. Så udregnes gnge og division. 4. Til sidst udregnes plus og minus. I hr tidligere brugt mtemtikkens sprog mnge gnge, bl.. i regneudtryk, i ligninger og i forbindelse med formler Formler er regneudtryk, der fx kn bruges til t beregne omkreds og rel. Øverst er vist forskellige måder t bruge mtemtikkens sprog på. For t finde resulttet f stykket i spørgsmål 1 er det vigtigt, t I kn huske, hvilken rækkefølge I skl regne i. De regningsrter der hr smme plds i rækkefølgen, fx plus og minus, kn regnes fr venstre mod højre. 1 Svr på spørgsmål 1. Hvd bliver resulttet f stykket? 2 Hvilke f regneudtrykkene i spørgsmål 2 er snde? Hvilke regneregler gælder her? Giv eksempler på ndre regneudtryk, hvor I bruger regnereglerne. 84 MATEMATIKKENS SPROG

3 B Hvilke(t) tl psser på x's plds? 15-^3 x = 5 -x-5 Hvd er relet f treknten? Formel for en treknts rel: Jeg kn gætte mig frem... Hm Hvd vil være et godt gæt? A betyder rel h er højden ^ er grundlinjen Indhold og mål I dette kpitel skl I bl.. rbejde med t læse, forstå og bruge mtemtikkens sprog rigtigt. 1 mtemtik bruges tit bogstver i stedet for tl, fx i formler Disse bogstver kldes vrible, fordi de ersttter tl, som kn vriere. Målet er t I bliver sikre i t regne i den rækkefølge. rigtige 3 Øverst er der regneudtryk, hvor der er brugt vrible. Svr på spørgsmål 3 og 4. 4 Hvilke f formlerne herunder kn også bruges til t beregne relet f en treknt? Hvorfor? A = g-h-^ b A = ^ c A-h-0,5 -g lærer mere om de regneregler der gælder r erfringer med t oversætte fr hverdgssprog til mtemtikkens sprog. bliver bedre til t bruge formler år erfringer med t omskrive regnt udtryk med og uden vrible. MATEMATIKKENS SPROG 85

4 PROBLEM HVAD ER REGNEUDTRYKKET? l opgverne på denne side skl du bruge tllene 1, 2, 3, 4 og de fire regnetegn til t skrive regneudtryk med forskellige resultter Du skl bruge hvert tl netop én gng i dine regneudtryk, men regnetegnene må du bruge flere gnge. Du må også gerne skrive potenser med tllene og bruge prenteser 1 Skriv regneudtryk med resulttet O. Hvor mnge forskellige kn du lve? 2 Skriv et regneudtryk med resulttet 1. Et med resulttet 2. Derefterresulttet 3,4, 5,... Lv mindst fr Hvor lngt kn du fortsætte? V v\ u. 86 M^EMATIKKENS ^ROG

5 FÆRDIGHED 1 Løs mindst otte opgver 3-h H {4-H3) (2-l-S) F 48 : :6 5-(5-1)-5 32 : : H (25-4) : 7 -F 7 9-6: :(11-2)-7 81 :3 3-F{10-9) (3-(10-1-6): 4)- 10 Beregn 8-F 2 (7-2) - 3. Lv nye opgver ved t sætte prentesen forskellige steder i regneudtrykket. Lv mindst fire nye opgver Løs de nye opgver du hr lvet. 5 Sndt eller flsk? H5 = b 2-6-F2-6 = 4-6 c 2-6-h2-6 = 2'(6-h6) d 2-6-H2-6 = 2-H2-6-6 e 5-2-H3 = f = Følg punkterne. 1 Skriv et tl mellem 1 og Læg 4 til tllet. 3 Gng resulttet med 3. 4 Træk 9 fr det tl, du nu hr 5 Divider resulttet med 3. 6 Træk det tl. du først skrev, fr det tl, du nu hr Prøv med mindst tre forskellige tl. b Kld tllet, du tænker på først, for x. Skriv et regneudtryk, der psser til hvert punkt. 3 Skriv mindst fem forskellige regneudtryk med resulttet 100. Regneudtrykkene skl indeholde mindst fire tl og mindst to regnetegn. 4 Hvilke regneudtryk giver smme resultt? (3+ 3) MATEMATIKKENS SPROG M l 87

6 MUNDTLIG OMKREDS OG AREAL MED VARIABLE n 7 cm B 3 cm 4 cm 4 cm 3 cm 7 cm B 1 Beregn omkredsen f rektngel 1 øverst, og forklr hvordn I hr regnet. 2 Hvilke f regneudtrykkene herunder kn bruges til t beregne omkredsen f rektngel 1? 4 cm + 7 cm + 4 cm + 7 cm b 4 cm + 4 cm + 7 cm + 7 cm c 2 * 4 cm cm d 2 (4 cm + 7 cm) 3 Beregn omkredsen f kvdrt 2 øverst, og forklr hvordn I hr regnet. 4 Lv flere regneudtryk, der kn bruges til t beregne omkredsen f kvdrt 2. 5 Figur 3 til 8's sidelængder er beskrevet med bogstver Lv flere regneudtryk, der kn bruges til t beregne omkredsen f hver figur 6 Tegn en eller flere figurer med en omkreds, der kn beskrives som MATEMATIKKENS SPROG

7 m ' b B O 7 Lv et regneudtryk til hver f figurerne 1 til 8, som kn bruges til t bestemme figurens rel. 11 Hvilke fordele kn der være i t bruge vrible til t beskrive omkreds og rel? 8 Se på figur 6. Hvor store er b og c, når = 1 cm? b = 2 cm? c = 3 cm? 3 9 Beregn relet f hver figur 5 til 8, når = 1 cm. b = 2 cm. c = 3 cm. / \ 10 Tegn en eller flere figurer med et rel, der kn beskrives som 6. MATEMATIKKENS SPROG ^ M 89

8 PROBLEM GRUNDPLANER 4-p Hus 1 2-p ^ Tegningerne viser nogle sommerhuse set ovenfr - uden tg. Den slgs tegninger kldes grundplner. Husenes vægge er bygget f betonplder med to forskellige længder Længden f de lnge betonplder kldes p. De korte plder er hlvt så lnge som de lnge plder Betonplderne bruges ikke i husets hjørner Der er fst plds til døre og vinduer på grundplnerne. Hus 2 ^ p 1 Regneudtrykkene herunder kn bruges til t beregne den smlede længde f betonplderne i hus 1. Forklr hvordn regneudtrykkene psser smmen med grundplnen f hus 1. i 3 n Ü=A 5p Hus 3 5,5-p 2-p lop b 14 p - 4 p c 3 -p + S p + 2-p + 2-p d 3-p + 4-p-p + 3-p-p + 4-p-2-p 2 Skriv mindst to regneudtryk, som kn bruges til t beregne den smlede længde f betonplderne i hus 2. b hus 3. c hus 4. 3 Beregn for hvert hus den smlede længde f betonplderne, hvis en lng plde er 2 meter lng. b 1,5 meter lng. Hus 4 0,5-pi 1.5-p 90 MATEMATIKKENS SPROG

9 FÆRDIGHED 1 Tegn en figur med en omkreds, der kn beskrives som: 3 - b S c b 2 Tegn en figur med et rel, der kn beskrives som: - b b ^--b c 2 3 Arelet f en treknt kn beregnes med formlen A = j h g, hvor A er relet, h er højden, og ^ er grundlinjen. Hvor stort er relet, når højden er 5 cm, og grundlinjen er 10 cm? b Hvor stor er grundlinjen, når relet er 10 cm^, og højden er 4 cm? c Hvor stor er højden, når relet er 25 cm^ og grundlinjen er 5 cm? 4 Hvis er 4, hvd er så +? b 4? c ;2? d ^? 5 Hvis er 7, hvd er så +? b 4-? c :2? d ^? 6 Hvilke f regneudtrykkene herunder hr smme resultt? b "(10+ 5) c d 10 e f 15-7 Her er en skitse f et rektngel. 12-x Hvor lng er hver side, hvis x er 1?5?8? 11? Hvor stor er rektnglets omkreds, hvis x er 1? 5? 8? 11? Skriv et regneudtryk, der kn bruges til t bestemme omkredsen f rektnglet. Forklr hvorfor resulttet ltid er det smme. MATEMATIKKENS SPROG 91

10 MUNDTLIG REGNEUDTRYK MED TAL OG VARIABLE D Et regneudtryk kn hve et eller flere led B + og - kn både være regnetegn og fortegn + og -. der ikke står i en prentes, dskiller leddene. Regneudtrykket her hr fx tre led: 4-( + 3) Første led er 4 ( + 3), ndet led er - 2, tredje led er - 3. I er vnt til t bruge + og - som regnetegn, men + og - er også fortegn, der viser om et tl er positivt eller negtivt. 3-3=0 og = 6 (her bruges + og - som regnetegn) (-3) er det modstte f+3 (her bruges + og - som fortegn) B I kn bytte om på leddenes rækkefølge,... Når der ikke er et fortegn forn et tl, er tllet positivt.... men fortegnene skl flyttes med. Her er byttet om på én måde: = B I led med bogstver eller ved prenteser behøver I ikke skrive gngetegnet Eksempler: = (x+2) =4(x + 2) Øverst står forskellige regler som er vigtige t kunne, når I skl læse og skrive regneudtryk. 3 Brug regel 2 og 3 til t omskrive hvert regneudtryk i opgve 1, så leddene står i to ndre rækkefølger 1 Regel 1 gør det muligt t tle om de forskellige dele, der er i regneudtrykket. Hvor mnge led er der i hvert regneudtryk herunder? b 5-4-b + 3 -c c ~ + 2--^- d (3-2)-1 2 Hvd er det ndet led i hvert regneudtryk i opgve 1? 4 Kontroller t de omskrevne regneudtryk hr smme resultt som de oprindelige. I opgve 1 b og 1 c skl I indsætte tl i stedet for, b og c. 5 Hvilke f regneudtrykkene gør det lettest t beregne resultterne? 6 Regel 4 giver en kortere måde t skrive regneudtryk på. Omskriv de regneudtryk i opgve 1, hvor reglen gælder 92 MATEMATIKKENS SPROG

11 BRUG FORMLER PROBLEM I en formelsmling kn du bl.. finde formler der kn bruges til t beregne rumfng. Formlerne er skrevet med mtemtiksprog. Du kn fx finde formlen for en kegles rumfng: 1 Brug formlen til t beregne rumfnget f en kegle, der hr højden 20 cm, og hvor grundfldens rel er 50 cm^. b rdius er 5 cm. c dimeter er 5 cm. V er keglens rumfng (i er keglens højde C er relet f keglens grundflde Det kn være en god ide t tegne en skitse først. 2 Brug formelsmlingen bgerst i bogen. Find en formel for rumfnget f en kugle, b en cylinder c en pyrmide. 3 Beregn rumfnget f en kugle med rdius S cm. b cylinder med rdius 5 cm og højde 20 cm. c pyrmide med en grundflde på 25 cm^ og en højde på 5 cm. 4 Hvd kn målene på en kegle, en kugle, en cylinder og en pyrmide være, hvis de hver skl hve et rum fng på c. 100 cm^? Prøv dig frem. Brug evt. regnerk. MATEMATIKKENS SPROG 93

12 REGNEUDTRYK MED OG UDEN PARENTES Du skl undersøge, hvordn du kn omskrive regneudtryk med prenteser til regneudtryk uden prenteser Det kldes t hæve prenteserne. Prenteser hvor der står minus forn, kldes minusprenteser. Prenteser hvor der står plus eller ingenting forn, kldes plusprenteser. Her er et regneudtryk med en minusprentes og et regneudtryk uden prentes ( ) De kn begge bruges til t beregne, hvor mnge penge en kunde får tilbge efter et indkøb i et supermrked. 1 Hvor mnge penge betlte kunden med i supermrkedet? b købte kunden for? c fik kunden tilbge? 2 De to regneudtryk øverst hr smme resultt. Det betyder t ( ) ~ 25. Forklr hvordn hvert f de to regneudtryk psser med indkøbet. 3 Omskriv regneudtrykkene herunder ved t hæve minusprenteserne. Kontroller dine omskrivninger ved t regne ud, om resulttet bliver det smme. 25-(10+ 5) b 25-(10-5) c 25 -( ) 4 Omskriv regneudtrykkene herunder ved t hæve plusprenteserne. Kontroller dine omskrivninger ved t regne ud, om resulttet bliver det smme. 25+ (10+ 5) b 25+ (10-5) c 25+ ( ) 94 MATEMATIKKENS SPROG

13 SKRIV REGNEUDTRYK KORTERE MUNDTLIG D Mn kn regne tl smmen Eksempel: 5 + 2( + b) = 2 + 2( + b) B Mn kn smle led Men kun de led, som hr ens bogstver Eksempel: 2 + 2( + b) = 2 + 2( + b) + 3 B Mn kn gnge ind i prenteser ved fgnge med hvert led i prentesen. Eksempel: 2 + 2( + b) + 3 = 2 + (2 + 2b) + 3 Mn kn hæve prenteser Minusprenteser kn mn hæve, hvis mn skifter fortegnene i prentesen. + bliver til - og omvendt. Plusprenteser kn mn hæve uden t skifte fortegn. Eksempler: 2 + ( + b) = b 2 + ( - b) = 2 + -b 2 - ( + b) = b 2- (-b) = 2- + b Jo kortere I kn skrive formler og ndre regneudtryk, jo mere overskuelige vil de være t bruge. Når I omskriver regneudtryk med bogstver så de bliver kortere, kldes det t reducere. Reglerne øverst kn bruges til t reducere, så regneudtrykkene stdig hr smme resultt. 1 Tl om hver regel. Forklr hvordn der reduceres i hvert eksempel. 2 Kontroller t hver regel psser, ved t indsætte tl i stedet for og b i de oprindelige udtryk og de omskrevne udtryk, og se, om de hr smme resultt. Brug reglerne til t reducere regneudtrykkene: b + 2b + b 2b-b b + 2b+3c-b X + (x + x) - x g X - (x + x) - X h X - (x - x) - X i j 2( + b) k 10c + 5(2c+l) I 2- ( + b) - + b MATEMATIKKENS SPROG 95

14 FÆRDIGHED I opgve 1 til 3 skl du bruge regneudtrykkene herunder b + 2 c 5 x + 6 y-2 x-6 y : X 9 -b + b b b c + b c 3 x-y + 2-x-y + 4- K-y - + b f b + + b + + b + I opgve 4 og S skl du bruge regneudtrykkene herunder (b + b) ( + b) + - (b + ) - ( + b) + b 2-(2 + 2) (l+2)-3 (b - b) ( + b) c - bc 1 Hvor mnge led er der i hvert regneudtryk? 2 Omskriv hvert regneudtryk, så leddene står i en nden rækkefølge, b Kontroller t dine omskrivninger er rigtige, ved t indsætte tl i stedet for de vrible i de oprindelige udtryk og i de omskrevne udtryk, og se, om de hr smme resultt. 3 Reducer regneudtrykkene med vrible, og beregn regneudtrykket med tl. 4 Hæv prenteserne i regneudtryk 1-4. b Kontroller t dine omskrivninger er rigtige, ved t indsætte tl i stedet for de vrible i de oprindelige udtryk og i de omskrevne udtryk, og se, om de hr smme resultt. 5 Reducer regneudtrykkene med vrible, og beregn regneudtrykkene med tl. 96 MATEMATIKKENS SPROG

15 TEGNING AF REGNEUDTRYK Eksempler: b b 2b 2 2 2b Figurens rel b <n skrive s = 5 + 2b Figi jrens rel kn skrives? + 2b = 2( + b) 1 Skriv et eller flere regneudtryk, der beskriver hver figurs rel. 2 Lv en tegning, der viser hvert regneudtryk. 3( + b) + 3 b 2( + b + c) + 4 c 2 + 2b b d 3 + 3b Reducer regneudtrykkene fr opgve 2. Brug evt. dine tegninger MATEMATIKKENS SPROG 97

16 POINTER HVAD VED DU NU OM...? Udfyld din elektroniske logbog med følgende færdigheder Regne i rigtig rækkefølge Lve formler for omkreds Lve formler for rel Hæve prenteser Gnge ind i prenteser Reducere Bruge formler Skriv om dit rbejde med kpitlet ~ brug evt. din elektroniske logbog. Her er forslg til, hvd du kn komme ind på: Forklr hvilken rækkefølge der skl regnes i, når der er flere forskellige regnetegn i et regneudtryk. Giv eksempler Tegn en eller flere figurer og skriv formler der kn bruges til t bestemme hver figurs omkreds og rel Forklr hvd der menes med led" og fortegn". Vis med eksempler hvordn mn kn hæve prenteser i et regneudtryk. Vis med eksempler hvordn mn kn gnge ind i en prentes. Vis med eksempler, hvordn mn kn reducere regneudtryk. Giv eksempler på regneudtryk og tegninger der psser smmen. Vurder dit eget rbejde med kpitlet. Hvordn hr din rbejdsindsts været? 25 -(10 + 5) (3-2)-6 X + (x + x) - X 2( + b) i V = ^-f!-c 98 ^ m MATEMATIKKENS SPROG