Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
|
|
- Flemming Bro
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
2 Oversigt over forskellige tper f funktioner Du skl kende disse funktionstper. Den første tpe er grundigt omtlt på de foregående sider. Lineære funktioner kn skrives på formen: - Grferne er rette linier. - er hældningskoefficient, og størrelsen f fortæller, hvor stejl grfen er. Hvis er positiv hælder linien opd, hvis er negtiv hælder den nedd. - fortæller, hvor grfen skærer -ksen. - Hvis funktionen kn skrives på formen: (ltså = ), så er og ligefrem proportionle. De øvrige tper liver grundigt omtlt på de efterfølgende sider. Hperler kn skrives på formen: c - Grferne estår f to dskilte smmetriske uer (her er kun vist den ene). - fortæller, hvor meget uerne krummer. - og c fortæller, hvor grfen er plceret. - Hvis funktionen kn skrives så er og omvendt proportionle..grdsfunktioner er funktioner på formen: - Grferne kldes prler og er smmetriske uer, med et toppunkt og en lodret smmetrikse. - estemmer prlens form. Hvis er positiv, vender "enene" opd, hvis er negtiv, vender de nedd. Jo "større" er (unset fortegn), jo mere "spids" er prlen. - og c estemmer grfens plcering, men smmenhængen er kompliceret. c Eksponentilfunktioner er funktioner på formen: Funktionerne eskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et estemt ntl procent. - Grferne er løde uer. - estemmer vækstens størrelse og dermed, hvordn uen krummer. Hvis > krummer grfen opd, hvis < krummer grfen nedd. - fortæller hvor grfen skærer -ksen. Du kn sgtens støde ind i helt ndre funktioner, men du skl kende disse hoved-tper. Lektion 7s Side
3 Omvendt proportionlitet og hperler Eksempel på opgve Et redsksskur skl være m og hve form som et rektngel eller et kvdrt. Lv en tel og en grf der viser smmenhængen mellem de mulige sidelængder. Opstil også en funktion, der viser smmenhængen. Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kldes for og, må der skulle gælde t:. Det kn omskrives til funktionsforskriften:, og mn kn lve en tel som denne:,,,,,, 7, 8,,,,,, 8,,,,,7,9,,,,, Mnge f tllene i tellen er urelistiske. Mn vil ldrig lve et skur, der måler m m. Men tllene er tget med for t vise den mtemtiske smmenhæng mellem og. Regnemæssigt kn mn sgtens ruge -værdier mindre end og større end, men mn kn ldrig ruge som -værdi. Grfen kommer til t se ud som vist herunder. Både tel og grf er smmetriske. Du kn f finde tl-prret (,;8,) i den ene ende f åde tel og grf, og du kn finde det modstte tlpr (8,;,) i den nden ende. Der eneste grund til, t der er lidt længere mellem -værdierne sidst i tellen er, t grfen her er fldere og lettere t tegne. Men der er ingen fste regler for vlg f -værdier. Der gælder t: - -værdien liver hlveret, når når -værdien liver fordolet. - -værdien flder til en tredjedel, når -værdien liver tredolet o.s.v. Denne smmenhæng mellem og kldes omvendt proportionlitet. Funktioner der kn skrives på formen kldes omvendt proportionle funktioner. Grferne for omvendt proportionle funktioner kldes hperler, og de ligner ltid grfen herover. Lektion 7s Side
4 Rent prktisk giver negtive tl ingen mening i eksemplet med redsksskuret, men rent regnemæssigt kn mn godt indsætte negtive -værdier i funktionen: Mn får en tel som denne (husk, t ikke kn ruges som -værdi): -, -8, -, -, -, -, -,,,,,, 8,, -, -, -,7 -, -, -8, -,, 8,,,,7,, Herunder er grfen for indtegnet smmen med grfen for (stiplet grf) Hperler estår ltid f to grene som vist herover, og de hr ltid to smmetri-kser. Ofte tegner mn dog kun den ene gren, og smmetrien er kun tdelig, hvis der er rugt den smme inddeling på egge tl-kser. Husk t funktionsforskriften ltid er: Hvis mn tegner grfer for forskellige hperler, vil mn se t: - hvis er lille, vil grfen være tæt på tl-kserne. - hvis er stor, vil grfen være lngt fr tl-kserne. - hvis er negtiv vil grfen "vende rundt", således t den venstre gren ligger over -ksen, og den højre gren ligger under -ksen. Lektion 7s Side
5 Eksempel på opgve En t-vognmnd tger kr. i strtger og kr. pr. km. Lv en tel og en grf der viser smmenhængen mellem ntl km () og prisen pr. km (). Opstil også en funktion, der viser smmenhængen. Eksemplet ligner mnge tpiske opgver med lineære funktioner. Men i disse opgver er den smlede pris. Her er prisen pr. km, og så liver grf og funktion meget nderledes. Hvis mn kører km, liver den smlede pris = kr. Prisen pr. km liver = 9 kr. På den måde kn mn lve en tel: 7 8,,, 9, 8, 7,7 7,9 7,,,,, Grfen ser ud som vist til højre: Prisen pr. km. kn findes således: - først deles strtgeret på kr. ud på det kørte ntl km. - derefter lægges den fste km-pris på kr. oveni. Derfor kn mn opstille denne funktionsforskrift: Både tel og grf er ligner meget tellen og grfen fr eksemplet med hveskuret på side c. -værdierne er de smme og lle -værdierne er præcis større. Denne gng er og ikke omvendt proportionle, men grfen kldes stdig en hperel. Grfen hr præcis smmen form som før, men den er prllelforskudt opd i koordintsstemet. Grfen for lle funktioner, der kn skrives på formen Størrelsen f tllet estemmer hperlens form., er hperler. Lektion 7s Side
6 .grdsfunktioner og prler Funktioner, der kn skrives på formen c kldes.grdsfunktioner. Grferne for lle.grdsfunktioner ligner hinnden og kldes prler Her er et pr eksempler på.grdsfunktioner: =, = - og c = =, = og c = - = -, = og c = Bemærk t ikke må være. Eksempel på opgve Lv en tel og en grf for funktionen: = Tellen kommer til t se således ud: Grfen ser ud som vist til højre: D mnge f -værdierne er store, er hele tellen ikke vist på grfen. Funktionen = er en slgs "stndrd-.grdsfunktion", og grfen for funktionen er en "stndrd-prel". Læg mærke til, t åde tel og grf er smmetriske omkring = (-ksen). -ksen er smetri-kse for prlen. Punktet (,) er top-punkt for prlen. Alle ndre prler hr også et toppunkt, og de er smmetriske som grfen til højre Lektion 7s Side
7 Eksempel på opgve Lv teller og grfer for disse funktioner: f() g() 8 h(), Tellen kommer til t se således ud (kontroller selv nogle f tllene): f() g() h(),,,, -, -, -, -, -,,, Grferne ser ud som vist til højre. Når mn sætter -værdier ind i.grdsfunktioner, skl mn være omhggelig. Især hvis -værdierne er negtive, eller hvis - og -værdierne i funktionsforskriften er negtive. Her er et pr regne-eksempler: f( h( ) ),,, ( ( 9 ) ) - - (, ) Læg mærke til, t åde teller og grfer er smmetriske lige som i eksemplet på forrige side. Men det er kun f, der er smmetrisk om = (-ksen). Funktionerne g og h hr ndre smmetri-kser. Læg også mærke til, t: - grferne for f og g hr smme fcon. De vender lot hver sin vej. - grferne for f og g er meget "spidse", mens grfen for h er lidt mere "fld". 8 7 f() h() g() Lektion 7s Side 7
8 Grfen for en.grdsfunktion (funktion f tpen med toppunkt og en lodret smmetri-kse. c ) er en smmetrisk prel Tllet estemmer prlens form. - hvis er "stort" (unset fortegn) så er prlen "spids" - hvis er "lille" (unset fortegn), så er prlen "fld" - hvis er positivt, hr prlen "enene" opd - hvis er negtivt, hr prlen "enene" nedd Kontroller selv, t reglerne ovenfor psser på eksemplerne på de sidste pr sider. -værdien til en prels toppunkt kn findes således: top Eksempler på opgver Find toppunkterne til disse prler: f() g() 8 h(), top ( ) top ( 8) 8 top ( ), top f() top f() top f() 8, 8,-- -, I eksemplet ovenover ruges de smmen prler, som er tegnet på forrige side. Kontroller selv t de eregnede toppunkter psser med tegningen. Hvis mn skl tel-lægge en.grdsfunktion og tegne den tilhørende prel, er det ofte en fordel først t finde top-punktet. Når mn kender det, er det lettere t lve tellen og tegne grfen. Der findes også en særlig metode til t finde de steder, hvor en prel skærer -ksen (prlens nul-punkter). Metoden er nævnt i de tilhørende opgver. Til sidst en vigtig oplsning: Prler og.grdsfunktioner kn ruges til t eskrive mnge ting fr den virkelige verden. Det kn du se eksempler på i de tilhørende opgver. Men smmenhængen mellem virkelighed og mtemtik er ikke så nem t forstå. Derfor er disse eksempler lvet som ren "tl-gmnstik". Lektion 7s Side 8
9 Eksponentilfunktioner Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urelistisk høje, men det skl du ikke tænke på. Eksempel på opgve Ann får en timeløn på 8 kr. Hun liver lovet en årlig lønstigning på % de kommende år. Børge får en timeløn på kr. Hn liver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år. Lv teller, grfer og funktioner, der eskriver Annes og Børges timeløn år for år. Den letteste måde t lægge % til et tl er ved t gnge tllet med,. Derfor får mn: Anns løn efter år: 8,, = 9, kr. Anns løn efter år: 9,, =,8 kr. eller 8,,, Anns løn efter år:,8, =,7 kr. eller 8,,,,. Børges løn kn fremskrives på tilsvrende måde ved t gnge med,8. I lt får mn: 8, =,8 kr. 8, =,7 kr. Antl år () 7 8 Anns løn 8, 9,,8,7 9,9,9 8,,8,7 Børges løn,,,7,7,8,8, 79,9 9, Grfen ser ud som vist til højre: Hvis er ntl år regnet fr "nu", og er timelønnen, kn mn opstille denne funktion for Ann: 8, og denne funktion for Børge:,8 Bemærk t funktionerne godt nok psser for = fordi: 8, 8 8 og for = fordi: 8, 8, 9. Når en størrelse regelmæssigt vokser (eller ftger) med et estemt ntl procent, siger mn, t den vokser eksponentielt. Funktionerne ovenfor er eksempler på eksponentilfunktioner. Grferne uer mere og mere opd fordi lønstigningerne liver større og større målt i kr. Grferne er ikke rette linier. 7 8 Lektion 7s Side 9
10 Funktioner, der kn skrives på formen kldes eksponentilfunktioner. Eksponentilfunktioner ruges til t eskrive tlstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et estemt ntl procent. - er strtværdien. På forrige side strtlønningerne. - er " + ændringsprocenten som decimltl". F + % = +, =, Vær opmærksom på, t eksponentilfunktioner er i fmilie med vækst-formlen. Den skrives normlt på formen n K n K ( r) Den er omtlt i et ndet modul. De to formler/funktioner udtrkker præcis det smme rent mtemtisk. Eksempel på opgve En il koster som n. kr. Bilens værdien flder med % om året Lv en tel, en grf og en funktion, der eskriver ilens værdi år for år. Mn trækker % fr et tl ved t gnge tllet med,7. Mn eholder % - % = 7%. Værdi efter år:., 7 =. kr. Værdi efter år:., 7 = 9. kr. eller.,7, 7 Funktionsforskriften må være Tellen kommer til t se således ud:.,7.,7 = 9. kr., hvor er ntl år, og er ilens værdi. Antl år () Bilens værdi Grfen ser ud som vist til højre: Funktionen.,7 er også en eksponentilfunktion, men der er tle om en negtiv eksponentiel vækst. Grfen uer mindre og mindre nedd, fordi det årlige værdit liver mindre og mindre målt i kr. En eksponentilfunktion skrevet på formen eskriver: - en positiv vækst når > - en negtiv vækst når < Lektion 7s Side
11 Potensfunktioner Funktioner der kn skrives på formen kldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner:, - = og = = og = =, og = = og = Bemærk: Hvis = liver usnlig. Mn skriver f sjældent Tllet (potens-tllet) kldes for eksponenten. men kun. Eksempel på opgve Lv for teller og grfer for potensfunktionerne f(), og g(). Tellen kn se således ud: f(),,, 8, 8,, g() Grferne ser ud som vist til højre. D nogle f -værdierne er ret store, er hele tellen ikke vist på grferne. Mn kn se på åde tellen og grferne: - t egge grfer strter i (,) - t egge grfer vokser hurtigere og hurtigere g() - t vokser hurtigst og hele tiden ligger over,. Når (eksponenten) er større end en ( > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større (tllet mn gnger med) er, jo mere vokser funktionen. f(), 7 Lektion 7s Side
12 Eksempel på opgve Lv for teller og grfer for potensfunktionerne f() og g(). Tellen kn se således ud: f() g() Husk t mn kn finder potenser ved t trkke ^ på regnemskinen. Eller evt.. 7 Grferne ser ud som vist til højre. D nogle f -værdierne er meget store, er hele tellen ikke vist på grferne. Mn kn se på åde tellen og grferne: - t egge grfer strter i (,) - t egge grfer vokser hurtigere og hurtigere - t vokser hurtigere end. Når (eksponenten) er større end en ( > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større er, jo hurtigere vokser funktionen. g() Hvis mn forstørrer den nederste venstre del f grferne op, ser de således ud: f() f() g() Mn kn se, t g() er mindre end f() i intervllet mellem og. Tænk selv over hvorfor. Du kn evt. lve en tel med mnge små -værdier mellem og. 7 Lektion 7s Side
13 Eksempel på opgve Rumfnget f en kugle kn eregnes med formlen V π r. V er rumfnget og r er rdius. Vis t rumfnget er en potensfunktion f rdius. Lv en tel og en grf for funktionen. Hvd skl rdius være, hvis kuglens rumfng skl være liter (. cm )? Formlen Altså: V π r V,8879 r svrende til svrer til en potensfunktion, hvor π, og =.,8879 Tellen kn se således ud. Tllene er frundede. r (cm) 7 8 V (cm ),9,, 8,, 9,8 7 Grfen ser ud som vist til højre. Mn kn finde den rdius, der giver et rumfng på. cm på flere måder. - Mn kn flæse på grfen, hvis mn lver en pæn grf på mm-ppir. - Hvis mn tegner grfen vh. et computer-progrm, hr progrmmet måske en flæse-funktion. - Mn kn prøve sig frem (simulering). Mn kn se ud fr tellen, t den rigtige rdius må være mellem cm og 7 cm og sikkert nærmest på cm. - Mn kn få det helt præcise svr ved t løse ligningen. Mn får:,8879 r r r,8879.,8879.,8879 r. 8,7.., cm V, r Lektion 7s Side
14 Hvd etder eksponenten? Det lille tl kldes eksponenten. Men hvd etder de forskellige slgs eksponenter? Eksponent Eksponenten er et helt tl og større end nul: etder Bemærk:, etder, etder etder. Men mn skriver næsten ldrig Eksponenten er en røk eller et deciml-tl: Du skl huske, t, etder, osv..,... etder osv. Men det er meget svært t forklre, hvd potenser, der ikke er hele tl (f Du kn roligt trkke på ^ (eller evt. ) uden t tænke over etdningen.,7 ), generelt etder. Eksponenten er negtiv: - - etder, etder, - etder, -, etder, osv. Eksempel på opgve Lv for teller og grfer for potensfunktionerne Tellen kn se således ud. De fleste tl er frundede., f() og, g(), , f(),,7,,,,8,, g(),,,9,97,8,7,7,9,7 7,79 8,89 Grferne ser således ud. 8 Grfen for, g(), uer kun gnske svgt opd. Grfen ligner næsten en ret linje, men den vokser fktisk mere og mere. Grfen for, f() uer den nden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kn vokse i det uendelige. g(),, f(),, Husk på t et stort tl, liver, og når er også stor. 8 Lektion 7s Side
15 Eksempel på opgve Lv tel og grf for potensfunktionerne - f(). - Husk t etder eller lot. - På regnemskinen finder mn f ved t trkke ^ (-) =. kn ikke ruges som -værdi, men vi tger nogle små decimltl med i tellen. Tellen kn se således. De fleste tl er frundede.,,,7, 7 - f() 8,,889,,,,8,, Grfen ser ud som vist til højre. Når vokser liver f() mindre, men f() kn ldrig live. Alle grfer for potensfunktioner med negtiv eksponent vil ligne grfen til højre. Jo mere negtiv eksponenten er, jo hurtigere flder funktionsværdien. Tænk på t omvendt proportionle funktioner også er potensfunktioner. kn jo f skrives som. Grfen til højre ligner også grferne for omvendt proportionle funktioner, men grfen er ikke smmetrisk på smme måde som en rigtig hperel. 8 Eksemplerne i dette fsnit viser, t potensfunktioner og deres grfer er meget forskellige. Der findes regler for, hvorledes grfernes form fhænger f eksponenten, men de er indviklede. Du kn evt. læse mere ndre steder. I eksemplerne med positiv eksponent lev der rugt åde nul og positive tl som -værdier. I eksemplet på denne side kunne mn ikke ruge nul som -værdi, fordi eksponenten er negtiv. Men hvis eksponenten er et helt positivt tl (f kn mn sgtens sætte negtive tl ind som -værdier., eller 7 ), Lektion 7s Side
16 Eksempel på opgve Lv tel og grf for funktionen f(). Vi tger åde negtive og positive -værdier med. Vi får: f() 9 9 Grfen ser ud som vist til højre. Den er smmetrisk og kldes en prel. (,) er toppunkt, og -ksen er smmetrikse. Herunder er tegnet grferne for disse to funktioner: g() h(),, Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner pg. forskrifternes form, men egge grfer er smmetriske uer ligesom grfen for Alle funktioner, der kn skrives på formen c, hvor, hr den slgs smmetriske grfer g() h(),, Funktioner på formen c, hvor, kldes ndengrds-funktioner eller ndengrds-polnomier. Grferne kldes prler. Hvis > vender prlen enene opd. Hvis < vender prlen enene nedd. Hvis (og kun hvis) = og c =, er funktionen også en potensfunktion. F Men mn ruger ogstverne og forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normlt Andengrds-funktionen skrives Lektion 7s Side
... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereEksamensspørgsmål: Potens-funktioner
Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereTaldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.
Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på
Læs mereDæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.
Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereStamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs merePotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul
PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mere1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning
, i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den
Læs mereGymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen
Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.
Læs mereTal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal
Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereAlgebra, ligninger og uligheder
Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med lger, ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne f være den smlede pris for turen
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv
Læs merePlanintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem
Læs mereDødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie
Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for A-niveu i st 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for A-niveu i st, Å 013 Krsten Juul. Dette häfte kn downlodes fr www.mt1.dk. Det må bruges i undervisningen hvis läreren
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereAlgebra, ligninger og uligheder
Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mereKEGLESNIT OG BANEKURVER
KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for A-niveu i st Udgve 3 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde....1. VÄkstrte... 3. Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst
Læs mereIntegralregning. Erik Vestergaard
Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereOpstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning
1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereSoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.
l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereEt udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)
GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis
Læs mereOpgave 1 ( Toppunktsformlen )
Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en
Læs mere