Regneregler for brøker og potenser

Transkript

1 Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler Potenser 7. Eksempler I de to fsnit præsenteres regnereglerne først generelt, som mn finder dem i et kompendium. Herefter vil der være eksempler, der elyser, hvorledes regnereglerne nvendes. Der er åde tleksempler og eksempler, der involverer mere generelle udtryk. Tegnet ruges til t fslutte eksempler. Tnken er, t mn kn læse eksemplerne smtidig med de generelle formler. For t der ikke skl herske tvivl om, hvilke regler, der enyttes i eksemplerne, enytter jeg en speiel nottion: De formler, der opskrives, hr et nummer i højre side. Når en formel nvendes i en udregning, står formelnummeret over lighedstegnet som for eksempel (.), når der henvises til formel (.). På side indføres røkregneregler, der enævnes r til r 5. Når disse regler nvendes i en udregning skrives det som r. I Eksempel. forklres nottionen i forindelse med eksemplet. Brøker Brøker er størrelser, vi kn skrive som røk tæller nævner. En huskeregel til, hvd der hører til hvor, er, t tælleren er i toppen og nævneren er for neden. Når vi regner med røker er det vigtigt t huske, t det stregt forudt t dividere med 0. I det følgende er,, og d lot vilkårlige tl. De generelle regneregler skrives her op med ogstver, men gefter vil der være eksempler med tl.

2 En nyttig egensk ved røker er, t vi kn forkorte/forlænge dem uden t ændre røkens værdi. Det etyder, t vi kn gnge/dividere med smme det smme tl i tæller og nævner:. (.) Hvis og ikke hr nogen fælles fktorer, siges røken / t være uforkortelig. Det er ltid ønskværdigt t præsentere fit som en uforkortelig røk. Når vi skl lægge røker smmen, skl vi først sikre os, t de hr smme nævner. I så tilfælde gælder der, t + +. (.) Skl vi ddere to røker, der ikke hr smme nævner, skl vi først forlænge røkerne, så de får smmen nævner. Vi kn ltid gøre som følger: + (.) d d d + (.) d +. (.) d d Hvis den ene nævner er en fktor i den nden nævner (det vil sige, hvis vi for eksempel kn skrive d e), kn vi reduere ntllet f udregninger i (.): + d (.) + e d e + e + e. (.4) Det væsentlige er her, t vi kun forlænger den første røk, d det sikrer, t de to røker så får smme nævner. Jeg vil dog gerne understrege, t (.) ltid kn ruges, selvom (.4) kn reduere ntllet f udregninger. Bemærk, t ethvert tl kn skrives som en røk, nemlig. (.5) Der gælder følgende regneregler når vi foretger multipliktion og division, der involverer røker. BR Vi gnger en røk med et tl, ved t gnge med tllet i tælleren :. BR Vi deler en røk med et tl ved t gnge med tllet i nævneren :. BR Vi gnger to røker ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner : d d.

3 BR 4 Vi deler et tl med en røk ved t gnge med den omvendte røk : r. BR 5 Vi deler en røk med en røk ved t gnge med den omvendte røk : d d r d. Vi kn slå r 4 og r 5 smmen til, t vi deler med en røk ved t gnge med den omvendte sålænge vi husker t foretge den efterfølgende multipliktion korrekt.. Eksempler I Eksempel. forklres den nottion, der liver enyttet i eksemplerne. Eksempel. (Forlæng/forkort) Først et eksempel på, t heltlsdivision (der går op) re er forkortning f røker. (.) (.5) I det første lighedstegn er der ingen formelhenvisning, d vi lot lver to multipliktioner nemlig og. I det ndet lighedstegn ruger vi formel (.) med, og. Til sidst ruger vi formel (.5) med. Reduktion til en uforkortelig røk, der ikke er et heltl, foregår på smme måde identifier fælles fktorer i tæller og nævner og forkort røken: 5 (.) 5 5, (.). Eksempel. (Addition f røker) Først et eksempel, hvor vi hr fælles nævner fr strten og et eksempel, hvor vi efterfølgende kn forkorte røken (.) (.) + 4 (.) (.5). To eksempler på ddition f røker med forskellig nævner, hvor vi enytter fremgngsmåden i (.): 5 + (.) (.)

4 + 4 9 (.) (.) (.) Som et eksempel på, t (.4) kn spre os for nogle udregninger i forhold til (.), kn vi foretge den sidste udregning igen: (.4) (.) Vi kn nturligvis også enytte regnereglerne til t ddere mere end to røker. Jo flere røker, vi skl lægge smmen, jo edre er det t forsøge t enytte (.4), d vi ellers får nævnere med mnge fktorer. Betrgt for eksempel (.4) (.) Til sidst et eksempel på, hvordn vi lægger hele tl og røker smmen: + 5 (.5) + (.4) (.) En vigtig pointe i ovenstående udregninger er, t når vi lægger tl smmen med røker, kn vi ltid enytte (.4). Eksempel. (Multipliktion med røker) I disse eksempler involveres også de første røkregneregler. Først et eksempel på r : Dernæst multipliktion f to røker: r 5 5 (.) r 4 (.). Involverer en udregning åde multipliktion og ddition f røker er det vigtigt t huske på regnerternes hierki : r (.) (.) Eksempel.4 (Division med røker) Først demonstreres r 4: 5 r 4 5 (.) 5 (.5) 5. Først udregnes rødder og potenser, dernæst multipliktion og division og til sidst ddition. 4

5 Dernæst et pr eksempel på r 5: r 5 4 (.) 4. r (.) Eksempel.5 (Proentregning) Proentregning er en forklædt form for regning med røker: Proent etyder per hundrede (underforstået per 00), og dermed hr vi for eksempel, t 0% 0 00 r (.) ,, 5% (.) 0, Eksempel. Et eksempel, der illustrerer, t lidt kendsk til røker ikke er t forgte i den virkelige verden: Engng edyrede en politiker, t eftersom 5 % f de mndlige vælgere og 5 % f de kvindelige vælgere delte en estemt overevisning, delte 50 % f efolkningen denne overevisning. (Politikeren hr her ntget, t de mndlige og kvindelige vælgere hver udgør hlvdelen f efolkningen) Dette regnestykke er forkert, hvilket mn kn overevise sig om ved t enytte den smme logik i tilfældet hvor det er 0 % f de mndlige vælgere og 0 % f de kvindelige vælgere der hr smme overevisning. Det regnestykke, mn her skl foretge, er som følger: 5% mndlige vælgere + 5% kvindelige vælgere 5% efolkningen + 5% efolkningen 4 efolkningen + 4 efolkningen r 4 efolkningen + 4 efolkningen 8 efolkningen + 8 efolkningen 8 efolkningen r (.) efolkningen 4 4 efolkningen 5% efolkningen. For t give nogle sværere eksempler, vil jeg her minde om kvdrtformlerne: ( + ) + +, (.) ( ) +, (.7) ( + ) ( ). (.8) 5

6 Normlt smmenskriver vi (.) og (.7) til ( ± ) + ±. D vi læser fr venstre mod højre er der en tendens til, t folk ofte kun husker formler fr venstre mod højre. Med kvdrtformlerne er det ikke videre interessnt t huske formlerne i denne retning, d vi der lot kn gnge prenteserne ud og få resulttet. Men det er også fr højre mod venstre, der er den interessnte vej. Et pr eksempler på, hvordn formlerne ruges fr højre mod venstre: x x + x x + (x ), (x, ) 99 (99 + ) (99 ) (99, ) Eksempel.7 (Sværere eksempler) Til sidst er her eksempler, hvor vi ikke udelukkende hr tl, og hvor vi får rug for kvdrtformlerne. + + (.) ( + )( ) + + ( )( + ) Et mindre oplgt eksempel: y + 4y y + y + y + + (.) y + (y + ) + y + (.8) + + (.) + +. Et eksempel, der tger en smule forskud på glæderne i næste fsnit: (.4) (y + ) + y + (.) (y + ) + y + (y + ) y + (y + ). x 9 x + x + 9 x (.) (x + )(x ) (x + )(x ) (.) x + x + (x + ) x (x + )(x + ) x +. Et pr eksempler, der minder om, t prenteser tjener et formål, når vi sutrherer: x + x + 5 x (.) x + (x + ) 5 x (.) (5 x)(x + ) x + (x + ) (x + ) 4x + 5 x (.) (x + ) (x + ) (4x + 5 x ) 4x 5 + x (x + ) (x + ) x 4x 4 (x + ). x 5y x y 4y x (.) (x 5y) 4(x y) (4y x) 4 8x 5y 8x y 8y x 8x 5y (8x y) (8y x) (.) 8x 5y 8x + y 8y + x x y

7 Potenser I et udtryk f typen n klder vi for grundtllet og n for potensen. Grunden til t indføre rødder er, t vi ønsker t løse ligninger f typen x n. Den fundmentle smmenhæng mellem rødder og potenser er: n er det tl, der opfylder, t n n. (.) (Hvis n er et lige tl, skl vi huske, t skl være positiv!) Det skriver vi også som: n n. Vi hr følgende regneregler for potenser: Sml potenserne: Sml grundtllene: Negtive potenser: Potens i potens: Rødder som potenser: 0. (.). (.) n m n+m. (.4) n m n m. (.5) ( ) n n n. (.) ( ) n n n. (.7) n 0 n (.5) 0 (.) n n. (.8) ( n ) m n m. (.9) n /n. (.0) n m m/n n m. (.) Bemærk: Vi kn se, t (.) skl gælde, ved t enytte (.4) med m 0. (.0) er et speiltilfælde f (.) med m. Vi kn indse (.) på følgende vis: n m (.0) ( /n) m (.9) m r m/n r n m n (.9) ( m) /n (.0) n m. 7

8 D rødder lot er speielle potenser, kn vi formulere (.) og (.7) speielt for rødder: n n n. (.) n n n. (.). Eksempler Eksempel. Bemærk følgende omskrivning med kvdrtrødder: (.) (.4). (.4) Hvis et resultt i Edwrds & Penney er en røk, hvor der indgår en kvdrtrod i nævneren, enyttes ltid omskrivningen i (.4). For eksempel: 9 r (.4) r Eksempel. Et eksempel på hvordn (.4), (.) og (.) nvendes 4 4 ( ) 4 (.) 4 8 (.) 8 / 8 (.4) +8+. Vi kn også involvere (.7): 7 (.0) 7/ (.5) / / (.4) / (.0) 7 7 / Undervejs rugte vi (.4): (.) (.). Bemærk, t vi her ikke kn ruge (.), d vi i tælleren hr kvdrtroden og i nævneren den te rod. Eksempel. Et mere komplieret eksempel: 5 x x x x (.) 5 x x x x (.) x/5 x / (.4) x x / x/5+/ x +/ Her ruger vi (.) i egge potenser: (.) 5 5 og + + (.) Igen ruges (.): (.) (.) x/5 (.5) x / x /5 / 9/0 (.8) x (.) x 9/0. 0 x9 8

9 Eksempel.4 Med rødder kn vi flytte fktorer udenfor rodtegnet: (.) 7 (.) 7 (.4) Omvendt kn vi også smle flere rødder til ét rodtegn: (.) 4 (.) 4 48 (.)