Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Transkript

1 Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik, DTU 99. Teori: Anlyse,.-.3,.5, ppendiks B, , Indledning. Figur. Johnnes Kepler, Den tyske fysiker Johnnes Kepler ( 57 63), se fig., er nok mest kendt for sine stronomiske rejder, men hn hr også eskæftiget sig med mtemtik, herunder specielt eregninger voluminer f omdrejningslegemer. Resulttet f disse eregninger offentliggjorde hn i 65 i Linz i en rtikel med nvnet Nov Stereometri Doliorum Vinriorum, hvor Keplers ngiver en måde ( Keplers tønderegel), hvorved mn med tilnærmelse kn eregne voluminet f et vinfd. Forhistorien vr den, t Kepler lige vr levet gift for nden gng i 63. Efter rylluppet vr det svundet ind i vinkælderen, og d Kepler gerne vilde være en god husond, ønskede hn t få sin vinkælder fyldt op. Hn estilte derfor nogle vinfde og fik dem rgt ned i sin vinkælde. Nogle få dge senere nkom kømnden, der solgte Kepler vinfdene, for t måle volumenindholdet f fdene f hensyn til fregningen. Målingen foregik efter en metode, der fortrinsvis nvendtes i Østrig. En målestv lev stukket ind igennem spunshullet på en vintønde, der lå ned, indtil stven rmte unde f tønden i den fjerneste ende. Kømnden kunne derefter flæse rumindholdet på målestven, der vr forsynet med en kuisk skl, se fig.. Kepler vr skeptisk med hensyn til metodens nøjgtighed, og dette lev strten på Keplers undersøgelse f rumfnget f omdrejningslegemer. Figur. Vinopmåling

2 Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Integrtionsprincippet. Allerede Archimedes (87 f.kr. f.kr.) hvde estemt relet f l.. prlen og voluminet f visse omdrejningslegemer. Prolemet vr, t mn ikke hvde integrlregningen til rådighed. Den kom først i slutningen f 6- tllet med rejderne f Newton (643-77) og Leiniz (646 76). For t estemme et rel eller volumen, vr det derfor nødvendigt t dele legemet, mn etrgtede, op i små dellegemer, hvis reler eller voluminerne mn kendte på forhånd. Ved t lde dellegemerne live vilkårlige små og summere op over lle dellegemer fik mn så en edre og edre tilnærmelse til relet eller voluminet. Det er denne teknik, der senere liver til det vi klder infinitesimlregning, og som dnner grundlget for den mtemtiske nlyse. Teknikken kldes også for integrtionsprincippet, og den kn udstrækkes til estemmelse f størrelser som f. eks. mssecenter og inertimoment. Det vr imidlertid først med Riemnn (86-866), t mn fik defineret et mtemtisk set tilfredsstillende integrlegre, hvori integrlet lev opfttet som resulttet f en grænseovergng. I forindelse med estemmelse f et volumen V kn integrtionsprincippet udtrykkes:. Opdel figuren i små (infinitesimle) delfigurer, hvis volumen dv er kendt på forhånd (f.eks. cirkelskiver, cylinderskller, prismer), og hvis størrelse kun fhænger f en prmeter x.. Udtryk dernæst det infinitesimle volumen dv som funktion f x, d.v.s. på formen dv = f(x) dx 3. Udregn voluminet som integrlet V = dv = V f(x)dx Som eksempel på integrtionsprincippet vil vi først eregne rumfnget f indholdet f en fyldt vintønde. Vi ntger, t tønden hr form som et omdrejningslegeme, se fig. 3 og. Figur 3. Fyldt vintønde. Figur 3. Tværsnit f fyldt tønde.

3 Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side 3 Vi ntger, t rdius r(x) f omdrejningslegemet på stedet x er opgivet for x. Vi enytter integrtionsprincippet og deler tønden op i cirkelskiver med tykkelsen dx. Rumfnget dv f en cirkelskive på stedet x og med tykkelsen dx er dv = π r(x) dx Det smlede volumen for x er d estemt ved. () V = π r(x) dx. Ud fr denne formel kn det smlede volumen f tønden estemmes. D mn ikke på Keplers tid hvde integrlregningen til rådighed, måtte mn enytte tilnærmelser. I nogle tilfælde kunne mn dog eregne et volumen ekskt ved t enytte en regel opstillet f Guldin ( ), og som kldes Guldins. regel. Guldin vr en Schweizisk urmger, der kendte Kepler og korresponderede med hm. Guldins. regel siger: Hvis en pln figur roteres om en kse i sin pln, er voluminet f det omdrejningslegeme, der fremkommer, produktet f figurens rel gnge den vej, som figurens tyngdepunkt hr evæget sig. Det er netop denne regel, som formel () udtrykker. I dg er det ikke nødvendigt t kende legemers tyngdepunkter for t finde et volumen. Ld os se på et konkret eksempel. Eksempel. Vi ntger, t tønden rdius er givet ved funktionen r(x) = + cos(x), x. d.v.s. tønden er eliggende for x. Det smlede volumen V findes f () til V = π ( + cos(x) ) dx = π [ 3 + sin() cos() + 4 sin() ],47. - Spørgsmålet er: Hvd gør vi nu, hvis legemet ikke er et omdrejningslegeme? For t esvre det spørgsmål, ser vi på en delvist fyldt tønde, som vist i fig. 4 og. Vi ntger som før, t rdius r(x) på stedet x er givet for x. Væskens højde over tøndens symmetrilinie kldes for d. Figur 4. Delvist fyldt vintønde. Figur 4. Tværsnit f delvist fyldt tønde.

4 Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side 4 Vi enytter igen integrtionsprincippet og deler tønden op i skiver med tykkelsen dx. Skiverne, se figur 4, hr nu form f et cirkelfsnit. Rumfnget dv f en skive på stedet x og med tykkelsen dx er d dv = [ r(x) d rccos + d r(x) d r(x) ] dx. Det smlede volumen for x er d estemt ved. () V = [ r(x) d rccos + d r(x) r(x) d ] dx. Ld os se på eksemplet fr før. Eksempel. Vi ntger igen t tønden rdius er givet ved funktionen r(x) = + cos(x), x. Nu ntges tønden delvist fyldt med vin, og højden f vinens overflde i forhold til symmetrilinien er d =,5, se fig. 4 Det smlede volumen V findes f ( til V = [ r(x) d rccos + d r(x) d r(x) ] dx 4,35. Integrlet kn kun udregnes numerisk. Tønden er ltså lidt over hlvt fyldt. Det er kun i specielle tilfælde for funktionen r(x), t integrlerne i () og () kn udregnes nlytisk. Mn må derfor enytte numeriske metoder til estemmelse f volumen. Dette skl vi se på i næste fsnit. Keplers tønderegel. Vi ntger, t vi hr rugt integrtionsprincippet til t estemme et volumen V ved formlen (3) V = dv = f(x)dx, V hvor f(x) er en given funktion. For et omdrejningslegeme er f(x) = π r(x). For Kepler vr prolemet doelt. Dels kendte hn ikke tøndens form i detljer, d.v.s. hn kendte ikke funktionen r(x). Dels hvde hn et prolem med t finde relet under funktionen funktion π r(x). Lige siden oldtiden hvde mn dog kendt relet under prlen. Dette rel lev først udledt f Archimedes i året 5 f.kr. Derfor kunne Kepler enytte prlen som en tilnærmelse for funktionen π r(x). Opgven er nu numerisk t estemme relet under funktionen f(x) i intervllet x, idet f(x) tilnærmes med en prel p(x).

5 Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side 5 Figur 5. Tilnærmelse f en funktion f(x) med en prel p(x) For t lette udregningerne forestiller vi os, t funktionen f(x) er givet i et intervl - h x h, der ligger symmetrisk omkring x =, se figur 5. Vi tilnærmer f(x) med en prel p(x), der går igennem punkterne (-h, f(-h)), (, f()) smt punktet (h, f(h) ), se figur 5. For simpelheds skyld etegner vi funktionsværdierne f(-h), f() og f(h) henholdsvis, y -, y og y. Et generelt udtryk for en prel p(x) er p(x) = c + c x + c x. Arelet under prlen i intervllet - h x h liver h 3 (4) A p = ( c + cx + c x ) dx = c h + c h h 3 Arelet A p fhænger kun f c og c, og det er ltså ufhængig f c. Vi lder nu prlen gå igennem punkterne (-h, y - ), (, y ) og (h,y ). Der må derfor gælde y - = c - c h + c h, y = c, y = c + c h + c h. Vi hr umiddelrt, t c = y. Adderes den første og sidste ligning, finder vi t + c h y y y = Indsættes dette udtryk smmen med ydtrykket for c i udtrykket (4) for A p, fås 4y + y + y 4y + y + y (5) A p = h = ( ) 3 6, hvor vi hr udtrykt relet ved den oprindelige intervllængde -. Formlen (5) kldes også Simpsons formel. Simpson(7 76) er mest kendt for sine rejder om interpoltion og numerisk integrtion.

6 Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side 6 Fejlen R ved enyttelse f formlen (5) til estemmelse f integrlet f(x)dx kn vises t være (6) R = 5 f(x)dx ( ) (4) - Ap = - f ( ξ ) 88, < ξ <. Her er f (4) (ξ ) den 4. fledede f funktionen f(x) tget i et ukendt punkt x =ξ. Hr vi t gøre med en vintønde, der er rottionssymmetrisk, kn vi finde voluminet ved t enytte formel(), der siger V = π r(x) dx. Kender vi ikke r(x), kn vi forestille os, t vi måler tværsnitsrelerne f tønden A -, A og A i henholdsvis midten og i de to endepunkter f tønden. Voluminet f tønden vil d med tilnærmelse kunne skrives 4A + A + A (7) V kepler = ( ) 6, Keplers tøndeformel. Formlen er Keplers tøndeformel. Ud fr formel (6) kn fejlen ved t enytte tøndeformlen vurderes, idet f(x) sættet til f(x) = π r(x). Ld os til sidst vende tilge til eksempel, hvor vi i stedet enytter tøndeformlen til t finde et tilnærmet udtryk for indholdet. Eksempel 3. Vi ntger ligesom i eksempel, t tønden rdius er givet ved funktionen r(x) = + cos(x), x. d.v.s. tønden er eliggende for x. Arelerne A -, A og A er A - = A = π ( + cos() ) og A = π = 4π. Dette giver ifølge (7) V kepler = π ( 9 + cos () + cos() ) 3,74. fejl =,47 -,74 = -,97. Til vurdering f restleddet givet ved (6) hr vi f (4) (x) = π ( 6 cos (x) + cos(x) - 8 ), f (4) (x) π, -< x <. Herefter kn vi vurdere R til R < 5 π / Vi ser, t R.39 > fejl =,97.