Vektorer. koordinatgeometri

Transkript

1 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

2 VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors sltpnkt 6 Nlektor 7 LÄngde f ektor 8 Modst ektor4 9 TÄrektor 4 Tl gnge ektor5 Vektor pls ektor5 Vektor mins ektor6 rojektion6 4 rikprodkt7 5 rikprodkt: Vinkelret?7 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer8 7 rikprodkt: rojektion f ektor8 8 Determinnt9 9 Determinnt: rllel? Determinnt: Arel Krydsprodkt Krydsprodkt: rllel? Krydsprodkt: Arel 4 Krydsprodkt: Vinkelret ektor KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje 6 Ligning for linje 4 7 Ligning for pln5 8 Ligning for cirkel 6 9 Ligning for kgle6 Afstnd fr pnkt til linje 7 Afstnd fr pnkt til pln 7 Vinkel mellem linjer7 Vinkel mellem plner8 4 Vinkel mellem sideflder 8 5 Vinkel mellem linje og pln 9 6 VilkÅrligt pnkt på linje 9 7 SkÄring mellem to linjer l og m 9 8 SkÄring mellem linje og cirkel 9 SkÄring mellem linje og kgle 4 SkÄring mellem linje og pln 4 rojektion f pnkt på linje 4 rojektion f pnkt på pln 4 Tngent til cirkel 44 Tngentpln til kgle EVISER 45 eis for t i må prikke ind i en prentes 46 eis for formel eis for t i får nl når i prikker med nlektor 48 eis for t inkelrette ektorer hr sklrprodkt nl 49 eis for formlen for projektion f ektor 4 5 eis for prmeterfremstilling for en linje 4 5 eis for ligning for linje 5 5 eis for ligning for pln 5 5 eis for ligning for cirkel 5 54 eis for ligning for kgle 5 ÇVELSER 6-4 Tidligere ersioner f dete häfte hr skiftet dresse til Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge Å 5 Krsten Jl Nyeste ersion f dette häfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÄftet mç rges i nderisningen his läreren med det smme sender en e-mil til kj@mtdk som oplyser t dette häfte enyttes, og oplyser hold, nie, lärer og skole 8/7-5

3 Koordinter til pnkt i plnen Koordintsystem i plnen Se figr De to koordintkser er inkelret på hinnden egyndelsepnkt O er koordintksernes skäringspnkt og hr koordintsättet (,) VEKTORER Det hedder et pln, ikke en pln, men i geometri er egge dele korrekt I eksmensopger skries en pln c KoordintsÄt til pnktet Q Vi nringer et flytrt pnkt i O O Vi forskyder pnktet 5 enheder i x-ksens retning så det kommer fr O til NÅr i forskyder 5 enheder i x-ksens retning, så lier x-koordinten 5 enheder stérre NÅr i forskyder i x-ksens retning er det kn x-koordinten der Ändres AltsÅ hr koordintsättet (5, ) Fr forskyder i pnktet enhed i y-ksens retning så det kommer fr til Q NÅr i forskyder enhed i y-ksens retning, så lier y-koordinten enhed stérre NÅr i forskyder i y-ksens retning er det kn y-koordinten der Ändres AltsÅ hr Q koordintsättet (5, ) Det férste tl i koordintsättet er pnktets x-koordint Det ndet tl i koordintsättet er pnktets y-koordint d KoordintsÄt til pnktet R Å den Éerste figr kn i kn komme til R ed t strte i O, forskyde i x-ksens retning og forskyde 4 i y-ksens retning Derfor er R (, 4) Koordinter til pnkt i rmmet Koordintsystem i rmmet Figren iser et koordintsystem i rmmet De tre koordintkser er inkelret på hinnden egyndelsepnkt O egyndelsespnktet er koordintksernes skäringspnkt ogstet O rges ofte til t etegne egyndelsespnktet O hr koordintsättet (,,) O er et ogst! c KoordintsÄt til pnktet R Q x Vi nringer et flytrt pnkt i O Vi forskyder pnktet 5 enheder i x-ksens retning så det kommer fr O til NÅr i forskyder 5 enheder i x-ksens retning, så lier x-koordinten 5 enheder stérre NÅr i forskyder i x-ksens retning er det kn x-koordinten der Ändres AltsÅ hr koordintsättet ( 5,, ) Fr forskyder i pnktet enhed i y-ksens retning så det kommer fr til Q NÅr i forskyder enhed i y-ksens retning, så lier y-koordinten enhed stérre NÅr i forskyder i y-ksens retning er det kn y-koordinten der Ändres AltsÅ hr Q koordintsättet ( 5,, ) Fr Q forskyder i pnktet enheder i z-ksens retning så det kommer fr Q til R NÅr i forskyder enheder i z-ksens retning, så lier z-koordinten enheder stérre NÅr i forskyder i z-ksens retning, er det kn z-koordinten der Ändres AltsÅ hr R koordintsättet ( 5,,) Det férste tl i koordintsättet er pnktets x-koordint Det ndet tl i koordintsättet er pnktets y- koordint Det tredje tl i koordintsättet er pnktets z-koordint emärk t pnkterne R og T ligger lige lngt oer xy-plnen som indeholder x-ksen og y-ksen d KoordintsÄt til pnktet S Vi kn komme til pnktet S ed t strte i O, forskyde i x-ksens retning, 4 i y-ksens retning og i z-ksens retning Derfor er S (, 4, ) R R z O y T Q (5,) R (, 4) R (5,,) S (,4, ) S Q x y Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

4 Vektor: Definition, sprogrg, mm En ektor er en pil His i forskyder en pil den t dreje den, så er pilen stdig smme ektor En ektor kn etegnes med et lille ogst med pil oer c Å figrerne f og g gälder: Vektorerne og er smme ektor, for de kn forskydes oer i hinnden d de hr smme längde og smme retning Vektorerne og c er ikke smme ektor d de hr forskellig längde Vektorerne d og e er ikke smme ektor d de hr forskellig retning d Å figr f går ektoren fr pnktet til pnktet Q SÅ kn denne ektor etegnes med Q Der gälder t Q og Q e NÅr en ektor er nrgt så den går fr et pnkt til et pnkt Q, så siger i: er ektorens strtpnkt og Q er ektorens sltpnkt NÅr i fsätter ektoren d fr, så er dens sltpnkt Q Q c h En firknt ACD er et prllelogrm netop his A DC 4 Vektor: Koordinter 4 Regel: Vi kn få en ektors koordintsät ed t träkke strtpnktets koordinter fr sltpnktets koordinter 4 SkriemÅde: En ektors koordintsät skries lodret 4c NÅr A, ) og, ), er 4d NÅr A,, ) og,, ), er ( A ( ( A ( 4e Eksempel 4f Eksempel Å figr f er (5,) og Q (,) Å figr g er R (,, ) og S (,, ) så ds Figr f Q ( 5) og ds A Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl så RS d 4g Dette koordintsät fortäller t går 4h Dette koordintsät fortäller t d går i x-ksens retning og i x-ksens retning, i y-ksens retning i y-ksens retning og Dette kn i også se på figr f i z-ksens retning Dette kn i også se på figr g 4i His en ektors strtpnkt er O(,), så er ektorens koordinter = sltpnktets koordinter En ektor er stedektor for et pnkt his den går fr O(,) til pnktet OA er stedektor for A D C x R d z e S Figr g d y

5 5 Koordinter til ektors sltpnkt x 5 NÅr A (, ) og x A er 5 NÅr A (,, ) y og A y z x, ) x, y, ) ( y ( z er A A 5c I ord kn de to formler dtrykkes sådn: NÅr en ektor er fst d fr et pnkt, og mn lägger ektorens koordinter til pnktets koordinter, så får mn koordinterne til ektorens sltpnkt 5d Eksempel 5e Eksempel (4,) Ud fr figren sltter i: x, y, ), 6 Nlektor 5 ( z r r r, ( x, y, z) r Med disse etegnelser får i d fr figren: x, y, z) ( x r, y r, z ) ( r 6 Vekoren med längde kldes nlektor og etegnes med o som er ogstet lille o med pil oer 6 I plnen er o, og i rmmet er o 6c Å en figr er nlektor et pnkt 7 LÄngde f ektor 7 SkriemÅde: Symolet etyder längden f ektoren ( 45, ) (9, ) r r x 7 NÅr x, er 7c NÅr y y, er z x y x y z,5 7d Opge estem längden f ektoren I rmmet er dregningerne de smme,6 ortset fr t der er tre koordinter Sr Se 7 Sr Sr,5,6,5,6,9 Afsnit 7 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

6 7e Opge estem fstnd mellem A(,) og (6,5) Sr Se 4c, 7 Sr Se 4c Sr Se 4i, 4c A (,) (6,5) 6 ( ) A 5 A 8 ( 6) 8 6 Afstnd mellem A og er I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk fläsning på figr AfsÄtter pnkter med A's og 's koordinter Forinder disse med ektor MÅler elektronisk dennes längde Resltt er ligesom ed dregning 8 Modst ektor 8 Koordinter til modst ektor x En ektor x hr den modstte ektor En ektor y y hr den modstte ektor z x 8 x 8c y y z 8d Modst ektor på figr Den modstte ektor til hr smme längde som og hr modst retning f 8e Eksempel Å figren er SÅ er Se 8 ( ) I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter 9 TÄrektor Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt 9 NÅr i drejer en ektor 9 mod ret, så får i ektorens tärektor Se figr 9 Vi skrier â er tärektoren til oer en ektor for t etegne tärektoren En ektor i rmmet hr IKKE en tärektor Dette skyldes t en ektor i rmmet kn drejes 9 på endelig mnge måder Vi kn ikke ide hilken f disse i skl rge â Afsnit 9 fortsätter pç näste side! Figr 9 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl

7 9c Formel for tärektor Vi dregner koordinterne til tärektoren ed hjälp f félgende formel: x y 9d y x 9e Eksempel: His, er â Se figr 9 9f Eksempel D skl IKKE hske t reglen Figr 9g iser et kdrt er nr 9 D skl läse reglen, Af 9 får i hske den, og forstç t den rges her Det smme gälder 5 A lle tilsrende henisninger Vi omskrier héjresiden med Formel 9d og får A 5 Af dette og Formel 5 får i ( 7, ( 5)) AltsÅ er ( 8, ) Tl gnge ektor Koordinter til Vi gnger en ektor med et tl ed t gnge her f ektorens koordinter med tllet: D C 5 A(7,) Figr 9g k k c k k k k k d på en figr,5 er ensrettet med d,5 er positi,5 er,5 gnge så lng som er modst rettet d er negti er gnge så lng som e er nlektoren o f LÄngden f k er k gnge längden f Se 7c g k er ensrettet med his k er positi k er modstrettet his k er negti h His er o eller prllel med, så findes et tl k så er k,5 Vektor pls ektor Koordinter til Afsnit fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

8 c på en figr d på en figr His er fst i forlängelse f som på figr e, så er His og er fst d fr smme pnkt ektoren R som på figr f, og QRS er et prllelogrm, så er digonlen R lig fr 's strtpnkt til 's spids Q Q R R Figr e Figr f S g Eksempel Figr h iser tre ektorer Af regel c får i 8 7 Herf og f får i 8 ( 7) ( ) AltsÅ er 4 Vektor mins ektor Koordinter til 8 7 Figr h c på en figr d på en figr His og er fst i forlängelse f His og er fst d fr smme pnkt, hinnden som på figr e, så er T lig så er ektoren fr 's spids til 's spids Å figr f, er SQ lig T Q Q Figr e Figr f S rojektion rojektion f pnkt på linje NÅr i fr et pnkt går inkelret ind på en linje l, kommer i til et pnkt l på l som i klder projektionen f på l SÅdn kn i tegne projektionen Kn plngeometri For t tegne projektionen f et pnkt på en linje l tegner i den linje m som går gennem og er inkelret på l SkÄringspnktet mellem m og l er det pnkt l i klder projektionen f på l Afsnit fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl l l

9 c rojektion f ektor på ektor Linjen l er prllel med NÅr i projicerer strtpnkt og sltpnkt for på l, så får i strtpnkt og sltpnkt for en ektor som i klder projektionen f på d rojektion f pnkt på pln NÅr i fr et pnkt går inkelret ind på en pln, kommer i til et pnkt i som i klder projektionen f på l 4 rikprodkt 4 rikprodktet f to ektorer og er et tl NÅr i kender koordinterne, kn i dregne prikprodktet ed hjälp f formlerne i rmmerne rikprodktet kldes også sklrprodktet Sklr etyder tl 4 4c 5 rikprodkt: Vinkelret? 5 Symolet läses er inkelret på eller og er ortogonle 5 netop når his herken eller er nlektor 5c Opge t og estem t så og er ortogonle Sr Uden hjälpemidler, se 4 og 5 Sr Se 5 t t og er ikke nlektor så de er ortogonle netop når deres prikprodkt er t = t + = t = t = I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Her stçr hd Nspire gér i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen og er ortogonle når t Kontrol på kdreret ppir NÅr t = er Å kdreret ppir tegner i denne ektor og Med inkelmåler måler i inklen mellem ektorerne Vi får t inklen er 9, som den sklle Äre Afsnit 5c fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl

10 Tnkegng g spçrgsmålet Å figren er den pnkterede linje inkelret på Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en Ärdi f t som ligger mellem og 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer 6 NÅr i fsätter to ektorer d fr smme pnkt, dnner de to inkler Den f inklerne der er mindre end eller lig 8, klder i inklen mellem ektorerne 6 NÅr er inklen mellem og, er cos( ) 6c NÅr p hr ligningen cos() = p netop án lésning i interllet 8 Denne lésning etegnes cos (p) I Nspire mç cos ikke skries 8 6d Opge og estem inklen mellem og som en potens Tegnet skl Älges pç tegnpletten Sr Se 6, 6c, 4, 7 8 Vinkel mellem og er 8 ( ) cos ( ) cos ( ) 8 ( ) 94,987 94,4 Sr Se 6 og 6c Sr Se 6 og 6c I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk fläsning på figr 8 Vi tegner og Ved elektronisk måling f inklen mellem disse får i 94,987 Det er smme resltt som i fik ed dregning 7 rikprodkt: rojektion f ektor 7 rojektionen f på er 7 LÄngden f projektionen f på er Afsnit 7 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 5 Krsten Jl

11 7c Symolet x läses den nmeriske Ärdi f x når x er et tl Der gälder, 4 4, 4 4,,5, 5,,5, 5, os er längden f fordi er en ektor er den nmeriske Ärdi f fordi er et tl 7d Opge og estem projektionen f på Sr Se 7, 4, 7,,7 Sr Se 7 Sr Se 7 I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter,,7 Kontrol ed elektronisk fläsning på figr Elektronisk konstrktion f ektor og d fr O(,) linje l gennem 's strt- og sltpnkt linje m som er inkelret på l og går gennem 's sltpnkt skäringspnkt mellem l og m ektor fr O til skäringspnkt Denne ektor er projektionen f på Dens koordinter er lig endepnkts koordinter d strtpnkt er O Vi fläser elektronisk sltpnkts koordinter Det er (-,, -,7), smme resltt som ed dregning 7e Opge og estem längden f projektionen på 5 I rmmet er dregningerne de smme Sr Se 7,4, 7, 7c ortset fr t der er tre koordinter 5 ( ) ( ) 5 Sr Se 7 Sr Se 7 8 Determinnt Kn plngeometri 8 Determinnten det(, ) f to ektorer på er et tl NÅr i kender koordinterne, kn i dregne determinnten ed hjälp f formlen i rmmen To ektorer i rmmet hr ikke en determinnt 8 det(, ) Afsnit 8 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 5 Krsten Jl

12 8c Opge 8 og estem det(, ) Sr Uden hjälpemidler, se 8 Sr Sr 8 det(, ) 8 ( ) 6 9 Determinnt: rllel? Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt 9 Symolet läses og er prllelle 9 netop når det(, ) his herken eller er nlektor 9c Opge 4 og estem t så og er prllelle t Sr Uden hjälpemidler, se 9, 8 Sr Se 9 4 t og er ikke nlektor, så de er prllel netop når det(, ) ( ) t 4 6t 4 = 6t = 4 6t t Tnkegng g spçrgsmålet Å figren er den pnkterede linje prllel med Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en Ärdi f t som ligger mellem og Her stçr hd Nspire gér i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen når t når t når t når t Determinnt: Arel Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er A det(, ) Se figr Afsnit fortsätter pç näste side! A Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

13 Opge 8 og estem rel f prllelogrm dspändt f og Sr Uden hjälpemidler Se, 8, 7c Sr Se 8 Arel f prllelogrm dspändt f og er det(, ) ( ) c Eksempel Arelet T f treknt AC er T det( A, AC) C d Eksempel En skä firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet Krydsprodkt Kn rmgeometri A T Krydsprodktet f to ektorer og er en ektor NÅr i kender koordinterne, kn i dregne krydsprodktet ed hjälp f formlen i rmmen Krydsprodktet kldes også ektorprodktet Q S R Vi skl ide t denne formel findes Vi skl ikke hske formlen Vi il ltid rge Nspire til t dregne krydsprodkt c Eksempel 4 Dette er dregnet på Nspire ed t tste cross({,-,5},{-,6,4}) eller Krydsprodkt: rllel? Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt netop når o his herken eller er nlektor Eksempel 9 9 og Å Nspire dregner i D er nlektor, er og prllelle Krydsprodkt: Arel Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt cross, Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er A Afsnit fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

14 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl Eksempel og Å Nspire dregner i Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er ) ( A c Eksempel Arelet T f treknt AC er AC A T d Eksempel: En skä firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet e Opge Figr iser klods i koordintsystem med enhed dm GÉr rede for t t ACD er et prllelogrm, og estem rel f ACD Sr Se h, 4d, Sr Se h, 4d, A(,,) (,,) C(,4,) D(,,) A 4 DC D DC A er ACD et prllelogrm AD Arel f ACD er 6,78 A AD Arel f ACD er 6,7 dm 4 Krydsprodkt: Vinkelret ektor Kn rmgeometri I plnen kn rges tärektor 4 Krydsprodktet f to ektorer er en ektor der er inkelret på egge ektorer: og 4 HÇjrehÅndsreglen: Gri om med héjre hånd så fingrene peger fr til SÅ il pege i tommelfingerens retning x y z Q R S A C T A(,,) (,,) C(,4,) D(,,) D A C x y z dregnet f Nspire

15 KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje r r r t 5 r l 5 x, ) ( x, y) ( y r r r t r r x, y, ) ( x, y, z) ( z r l r r NÅr ( x, y) er et pnkt på l og NÅr ( x, y, z) er et pnkt på l og r r r er prllel med l, så er félgende er prllel med l, så er félgende en prmeterfremstilling for l: en prmeterfremstilling for l: x x r 5c t y y r 5d x x y y z z r t r r 5e NÅr 5c er en prmeterfremstilling for l, 5f NÅr 5d er en prmeterfremstilling så gälder: for l, så gälder: ( y x, ) er et pnkt på l x, y, ) er et pnkt på l r r er prllel med l 5g Antg t x, y, r og r i c 5c er erstttet med 5h estemte erstttet med tl SÅ estemte gälder: tl SÅ gälder: His i indsätter et tl for t og dregner héjresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 5i En ektor der er prllel med l, kldes en retningsektor for l 5j NÅr A og er to forskellige pnkter på l, så er A prllel med l ( z r r r er prllel med l 5k NÅr A er et pnkt på l og A er prllel med l, så er et pnkt på l 5l Opgetype: estem prmeterfremstilling for linje Metode: His der ikke er oplyst koordinter til et pnkt på linjen, så find koordinter til et pnkt på linjen His der ikke er oplyst koordinter til en ektor der er prllel med linjen, så find koordinter til en ektor der er prllel med linjen IndsÄt koordinter fr pnkt og ektor i 5c eller 5d 5m Eksempel En linje l går gennem pnkterne A(5,, ) og (5, 7, 4) For t estemme en prmeterfremstilling for l rger i 5j, 4d og 5d D A og ligger på l, er A prllel med l Antg t x, y, z, r, r og r i 5d er erstttet med estemte tl SÅ gälder: His i indsätter et tl for t og dregner héjresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 55 x 5 A 7 7 så l hr prmeterfremstillingen y t z 4 Afsnit 5 fortsätter pç näste side! A l Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

16 5n Eksempel Linjen på figren hr prmeterfremstillingen x 7 t y 4 NÅr t = er NÅr t = er NÅr t =,5 er x = 7 + ( )( ) = 9 y = 4 + ( ) = x = 7 + ( ) = y = 4 + = x = 7 +,5( ) = y = 4 +,5 =,5 x 7 5o Opge l : t Ligger pnktet (, ) på l? y 4 Sr Uden hjälpemidler Se 5g og 5n (, ) ligger kn på l his der er et tl t så 7 + t( ) = 4 + t = Af férste ligning får i t = NÅr t = gier den nden lignings enstreside 4 D den ikke gier : (, ) ligger ikke på l 6 Ligning for linje Kn plngeometri 6 NÅr ( x, y) er et pnkt på l og er inkelret på l, så kn i estemme en ligning for l ed férst t sätte ind i formlen ( x, y ) ( x x) ( y y) og derefter gnge ind i prenteserne og träkke smmen så i får en ligning f typen x y c l 6 NÅr x y c er en ligning for l, så er ektoren inkelret på l 6c NÅr i kender tllene, og c i en ligning x y c for en linje l, så kn i ndersége om et pnkt ligger på l ed t sätte pnktets koordinter ind for x og y i ligningen His ligningen lier snd, så ligger pnktet på l His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på l 6d En ektor der er inkelret på l kldes en normlektor for l 6e Opge l : x + y 4 = nktet (, ) ligger på l estem Sr Uden hjälpemidler Se 6c D (, ) ligger på linjen l med ligningen x + y 4 =, lier ligningen snd når i indsätter pnktet + 4 = = Afsnit 6 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl

17 6f Opge En linje l går gennem pnkterne A(, 7) og (,) estem ligning for l på formen x+y+c = Sr Uden hjälpemidler Se 5j, 9, 9d og 6 5 D A(, 7) og (,) ligger på l, er l prllel med A 7 6 ( 6) 6 SÅ er l inkelret på A D ( x, y) (, 7) er et pnkt på l, og er inkelret på l, hr l ligningen 5 x x ) ( y y ) ( 6 ( x ) ( 5) ( y 7) 6x 5y 7 Ligning for pln Kn rmgeometri 7 NÅr ( x, y, z) er et pnkt i en pln, og er inkelret på, c så kn i estemme en ligning for ed férst t sätte ind i formlen ( x x) ( y y) c( z z) og derefter gnge ind i prenteserne og träkke smmen så i får en ligning f typen x y cz d 7 NÅr x y cz d er en ligning for, så er ektoren inkelret på c 7c NÅr i kender tllene,, c og d i en ligning x y cz d for en pln, så kn i ndersége om et pnkt ligger i ed t sätte pnktets koordinter ind for x, y og z i ligningen: His ligningen lier snd, så ligger pnktet i His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke i 7d NÅr A og er to forskellige pnkter i, så er A prllel med 7e En ektor der er inkelret på, kldes en normlektor for 7f NÅr og er prllelle med, så er inkelret på his og ikke er prllelle, ds his ikke er nlektor 7g Opge A (,, 4), (,,) og C(, 4, ) ligger i pln estem ligning for Sr Se 4d, 7d, 7f, 7 D A (,, 4), (,,) og C(, 4, ) ligger i, er félgende to ektorer prllelle med : A 5 og AC A AC 5 Udregnet f Nspire Denne ektor er inkelret på d den ikke er nlektor og A og AC er prllelle med 8 D ( x, y, z) (,, 4) er et pnkt i, og 5 er inkelret på, hr ligningen c x x ) ( y y ) c( z z ) ( 8 ( x ) 5 ( y ) ( ) ( z 4) 8x 5y z c ( x, y, z) Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

18 8 Ligning for cirkel Kn plngeometri 8 ( x x ) ( y y) r er ligning for en cirkel med centrm C x, y ) og rdis r ( 8 NÅr er et pnkt på en cirkel med centrm C, er cirklens rdis r C Se 7e 8c Eksempel En cirkel hr ligningen ( x ) ( y 5) 9 Vi omskrier til formen 8 : ( x ) ( y ( 5) ) Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 8d Metode: NÅr i kender en ligning for en cirkel, så kn i ndersége om et pnkt ligger på cirklen ed t sätte pnktets koordinter ind for x og y i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på cirklen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på cirklen 8e Opge En cirkel hr ligningen x x y y 7 estem centrm og rdis Sr Uden hjälpemidler x x y y 7 x x y 5 y 5 7 Se i 8f- hordn d kommer frem til näste linje Se i 8f- hordn d kommer frem til näste linje ( x ) ( y 5) 9 Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 9 Se 8 og 8c 8f Forklring til 8e 8f- Koefficienten til x er Hldelen er, og i nden er Vi lägger til egge sider Koefficienten til y er Hldelen er 5, og 5 i nden er 5 Vi lägger 5 til egge sider Konstntleddet er 7 Vi träkker 7 fr egge sider 8f- Koefficienten til x er Hldelen er Derfor skl der stå i férste prentes Koefficienten til y er Hldelen er 5 Derfor skl der stå +5 i nden prentes emärk: IfÉlge kdrtsätninger er ( x ) x x og ( y 5) y 5 y emärk: IndsÄttes x o =, y o = 5 og r= i ( x x ) ( y y) r, så får i ( x ) ( y 5) 9 8f- His x-led eller y-led mngler, ser omskriningen lidt nderledes d: x y y 7 x y 5 y 5 7 ( x ) ( y 5) 8 Centrm er (, 5) og rdis er 8 9 Ligning for kgle Kn rmgeometri 9 ( x x ) ( y y) ( z z) r er ligning for en kgle med centrm C x, y, ) og rdis r ( z 9 Regel: NÅr er et pnkt på en kgle med centrm C, er kglens rdis r C Se 7c og 7e 9c Eksempel En kgle hr ligningen ( x ) y ( z 5) 8 Vi omskrier til formen 9: Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 8 ( ) ( y ) ( y ( 5) ) x 9d Metode: NÅr i kender en ligning ( x x ) ( y y) ( z z) r for en kgle, så kn i ndersége om et pnkt ligger på kglen ed t sätte pnktets koordinter ind for x, y og z i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på kglen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på kglen 9e Opge En kgle hr ligningen x x y z z 8 estem centrm og rdis Sr Se forklring i 8e-8f x x y z z 8 x x y z 5 z 5 8 ( x ) y ( z 5) 8 Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl

19 Afstnd fr pnkt til linje Kn plngeometri Afstnden d fr et pnkt x, y ) til en linje l : x y c x y c d ( er l d Opge estem fstnd fr (, ) til linjen l : 4x y Sr Afstnden fr ( x, y) = (,) til linjen l : x y c med = 4, =, c = er x y c 4 8 =, 6 4 ( ) 5 Afstnd fr pnkt til pln Kn rmgeometri Afstnden h fr et pnkt ( x, y, z) til en pln : x y cz d er h h x y cz d Se c Vinkel mellem linjer Metode: His i kender retningsektorer r l og r m for linjer l og m, så find inklen mellem r l og r m SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og m dnner Se 6 og 6d r l m r m 8 l Metode: His i kender normlektorer n og n for to linjer l og l i plnen, så find inklen mellem n og n SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og l dnner Se 6 og 6d c Metode: His i for to linjer l og l i plnen kender en retningsektor r og en normlektor n, så find inklen mellem og n SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og l dnner Se 9d og 6 og 6d d x 6 x 8 Opge To linjer l og m er giet ed l : y 4 t og m : y s z 5 z 5 estem den spidse inkel mellem l ogm Sr Se x 6 x 8 l : y 4 t m : y s r l = r m = z 5 z 5 Af prmeterfremstillingerne ser i t r l er prllel l og t r m er prllel med m, så inklen mellem disse ektorer er en f de to inkler mellem l og m : = cos r m ( l r ( ) ) = cos ( ) = 95, ,9 rl r m ( ) D > 9 gälder: Den spidse inkel mellem l og m er 8 95,9 = Afsnit d fortsätter pç näste side! 84, Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl

20 Sr Vinkel mellem plner Kn rmgeometri Find inklen mellem normlektorer n og n til to plner og SÅ il og 8 Äre de to inkler som og dnner Se 6 og 6d 4 Vinkel mellem sideflder Kn rmgeometri 4 Figren iser inklen mellem to flder NÅr i skl finde, finder i inkler mellem de to plner der indeholder flderne Der er to inkler og mellem disse plner His det ikke er oplyst om inklen mellem flderne er den spidse eller stmpe f inklerne mellem plnerne, så må i rge 4 4 Til den ene sideflde skl i finde en normlektor n der peger ind i inklen (rg héjrehåndsreglen 4) Til den nden sideflde skl i finde en normlektor der peger d f inklen (rg héjrehåndsreglen 4) Vinklen mellem n og n er inklen mellem sideflderne 4c His egge ektorer peger ind i inklen, eller egge peger d, finder i inklen (på figr oenfor) som ikke dnnes f sideflderne De to plner der indeholder sideflderne, dnner inklerne og 4d Opge Flden CD er indeholdt i plnen med ligningen y + z = estem den stmpe inkel mellem flderne AC og CD Sr n To flder n A x n z C De to plner der indeholder de to flder A(,,) (,,) C(,,) D y Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 5 Krsten Jl

21 5 Vinkel mellem linje og pln Kn rmgeometri 5 FÉrst: Find inklen mellem en normlektor n til plnen og en retningsektor r til linjen SÅ: His er mindre end 9: Fr 9 träkkes for t få inkel mellem linje og pln His er stérre end 9: Fr träkkes 9 for t få inkel mellem linje og pln Se 6 og 6d GrÉn streg er pln set fr siden lå streg er linje 6 VilkÅrligt pnkt på linje 6 Vi omskrier prmeterfremstillingen for en linje l: x 5 5 t 5t t y t t Et ilkårligt pnkt på l er ( x, y) (5t, t) 7 SkÄring mellem to linjer l og m r n? I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter r? n 7 Åde l og m er giet ed prmeterfremstilling FÉrst finder i et ilkårligt pnt på her linje: l: ( x, y) (s, 5s) og m: ( x, y) (t, t) Vi skl estemme s og t så de to pnkter hr ens x-koordinter og ens y-koordinter: s t 5 s t Vi léser dette ligningssystem mht s og t og får: s og t NÅr s er ( x, y) (s, 5s) (, 5) (4, ) SkÄringspnktet er ( x, y) (4, ) 7 Åde l og m er giet ed ligning Kn plngeometri Vi skl finde x og y så egge ligninger er opfyldt: l: x y m: x y 6 Vi léser dette ligningssystem mht x og y og får x 4 og y SkÄringspnktet er ( x, y) (4, ) 7c l er giet ed ligning, m ed prmeterfremstilling Kn plngeometri FÉrst finder i et ilkårligt pnkt på m : I 6 stçr hordn i gér m: ( x, y) (t, t) Vi indsätter dette pnkt i ligningen l: x y og får (t ) ( t) Vi léser denne ligning mht t og får t NÅr t er ( x, y) (t, t) (, ) (4, ) SkÄringspnktet er ( x, y) (4, ) I 6 stçr hordn i gér rmetrene s og t i de to pnkter mç ikke Äre smme ogst Skri t Nspire léser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire léser ligningen med sole, eller skri mellemregninger I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er koordinter Skri t Nspire léser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 5 Krsten Jl

22 8 SkÄring mellem linje og cirkel Kn plngeometri 8 Linjen er giet ed prmeterfremstilling FÉrst finder i et ilkårligt pnkt på linjen : ( x, y) (t, t) Vi indsätter dette pnkt i cirklens ligning og får x 6x y y ( t) 6(t) ( t) ( t) Vi léser denne ligning mht t og får t eller t NÅr t er ( x, y) (t, t) (, ) (, ) NÅr t er ( x, y) (t, t) (, ) (6, ) SkÄringspnkterne er (, ) og ( 6, ) 8 Linjen er giet ed ligning Linjen og cirklen er giet ed ligningerne x y 6 x 6x y y Vi léser dette ligningssystem mht x og y og får x og y eller x6 og y SkÄringspnktet er ( x, y) (, ) og ( x, y) (6, ) I 6 stçr hordn i gér Skri t Nspire léser ligningen med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire léser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger 9 SkÄring mellem linje og kgle Kn rmgeometri 9 Metode: Vi indsätter et ilkårligt pnkt fr linjen i kglens ligning, os Se 6 og 8 4 SkÄring mellem linje og pln Kn rmgeometri 4 Metode: Vi indsätter et ilkårligt pnkt fr linjen i plnens ligning, os Se 6 og 7c x Opge ln og ligning l er giet ed: : x z 9 l : y 4 t 5 estem skäringspnkt mellem l og z Sr Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

23 4 rojektion f pnkt på linje Kn plngeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet (,) på linjen l: x y Q er skäringspnktet mellem l og linjen m der går gennem og er inkelret på l Af ligningen for l ser i t ektoren er inkelret på l, så m hr prmeterfremstillingen x m : t y Herefter kn i rge metoden fr 7c til finde Q 4 Opge En linje l går gennem pnkterne A(, ) og (9, 4) estem projektionen f (, ) på l Sr rojektionen f på l er skäringspnktet mellem l og linjen m der er inkelret på l og går gennem estemme ligning for l 9 9 A(, ) og (9, 4) ligger på en linje l A Vektor prllel med l : Vektor inkelret på l : 5 5 l går gennem (x,y ) = (,) og er inkelret på 5, så l hr félgende ligning: (x x ) + (y y ) = 5(x ) + (y ) = 5x + y = estemme prmeterfremstilling for m r 5 m går gennem (x,y ) = (,) og er prllel med, så m hr félgende r x x r x 5 prmeterfremstilling: t ds t y y r y estemme skäringspnkt mellem l og m VilkÅrligt pnkt på m som er (+5t, +t) indsätter i i ligning for l : 5(+5t) + (+t) = Nspire léser denne ligning mht t og får t = NÅr t = er det ilkårlige pnkt lig (+5( ), +( )) = (6, ) rojektionen f på l er ( 6,) Kontrol ed elektronisk fläsning på figr Elektronisk konstrktion: Tegn pnkter (,) og (9,-4) Tegn linje l gennem disse Tegn pnkt (,) Tegn linje m som er inkelret på l og går gennem (,) Tegn skäringspnkt mellem l og m Dette skäringspnkt er projektionen f på l AflÄs elektronisk koordinter til skäringspnkt Reslttet er (6,) ligesom i dregningen f projektionen 4 rojektion f pnkt på pln Kn rmgeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet ( 6,, 5) på plnen : x y z 5 Q er skäringspnktet mellem og linjen m der går gennem og er inkelret på Af ligningen for ser i t ektoren er inkelret på, så m hr prmeterfremstillingen x 6 m : y t z 5 Herefter kn i rge metoden fr 4 og 4 til finde Q Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

24 4 Tngent til cirkel Kn plngeometri 4 Sprogrg: En tngent til en cirkel er en linje der hr präcis át pnkt fälles med cirklen Dette pnkt kldes réringspnktet NÅr mn siger tngenten i, etyder det t er réringspnktet 4 Regel: En tngent til en cirkel er inkelret på linjen gennem centrm og rçringspnkt 4c Regel: En linje er tngent til en cirkel netop his fstnden fr centrm til linjen er lig rdis 4d Metode: nktet (4, 5) ligger på en cirkel med centrm C (,) Vi il finde en ligning for tngenten l i IfÉlge 4 er C inkelret på l, så i kn finde ligningen for l ed t rge 4c og 6 4e Metode: Linjen l: x 4y 4 er tngent til en cirkel med centrm C (, 5) Vi il finde en ligning for cirklen IfÉlge 4c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til l (se ) SÅ kn i estemme cirklens ligning ed t rge 8 4f Metode: Vi il ndersége om linjen l: x 4y 4 er tngent til cirlen M: ( x ) ( y 5) 8 Metode : Vi finder centrm og rdis som i 8c SÅ dregner i fstnden fr centrm til l og rger 4c Metode : Vi finder skäringspnkterne mellem l og M og rger 4 SkÄringspnkterne finder i som i 8 44 Tngentpln til kgle Kn rmgeometri 44 Sprogrg: En tngentpln til en kgle er en pln der hr präcis át pnkt fälles med kglen Dette pnkt kldes réringspnktet NÅr mn siger "tngentplnen i ", etyder det t er réringspnktet 44 Regel: En tngentpln til en kgle er inkelret på linjen gennem centrm og rçringspnkt 44c Regel: En pln er tngentpln til en kgle netop his fstnden fr centrm til plnen er lig rdis 44d Metode: nktet (4, 5, ) ligger på en kgle med centrm C (,, 4) Vi il finde en ligning for tngentplnen i ligger i, og ifélge 44 er C inkelret på, så i kn finde ligningen for ed t rge 4d og 7 44e Metode: lnen : x y z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde réringspnktet Ld l Äre linjen gennem C og Af 7 félger t er inkelret på og derfor (ifélge 44) prllel med l Vi kn n (se 5d) opskrie en prmeterfremstilling for l og derefter finde réringspnktet som skäringspnkt mellem l og (se 4) 44f Metode: lnen : x y z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde en ligning for kglen IfÉlge 44c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til (se ) SÅ kn i estemme kglens ligning ed t rge 9 44g Metode: Vi il ndersége om plnen : x y z 4 C(,, 5) og rdis 4 Vi dregner fstnden fr C til (se ) og rger 44c C er tngentpln til kglen med centrm C l Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

25 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl EVISER 45 eis for t i må prikke ind i en prentes og er koordinter til, og tilsrende for og w ) ( ) ( ) ( w w w w w w w w w w w w w w w w w w w De to dtryk w ) ( og w w gier smme fire led, så de er smme tl: 45 w w w ) ( 46 eis for formel 46 og er koordinter til ) ( ) ( ) ( k k k k k k k ) ( k k k k k De to dtryk k ) ( og k gier smme resltt, så de er smme tl: 46 ) ( k k 47 eis for t i får nl når i prikker med nlektor og er koordinter til o så 47 o 48 eis for t inkelrette ektorer hr sklrprodkt nl og er koordinter til, og tilsrende for NÅr i fsätter og d fr smme pnkt, er ektoren fr 's spids til 's spids NÅr kn i rge ythgors sätning på den iste treknt: ) ( ) ( ) ( ) ( N hr i eist t 48 his er Vi hr rgt ektorregel og 4, og tlregler: gnge ind i prentes, og ed pls er räkkefélge ligegyldig I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel, 4 og 7, og tlregler: ed gnge er räkkefélge ligegyldig, x =xx, kdrtrod i nden, og gnge ind i prentes I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel 4, og tlregel om nl gnge tl I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Her hr i rgt d Her hr i rgt 7 og Her hr i rgt 4 er x-koordinten til er y-koordinten til

26 49 eis for formlen for projektion f ektor Se figren til héjre rojektionen f på er en ektor der er o eller prllel med, så i kn få projektionen frem ed t gnge med et tl: t NÅr c er ektoren på figren, er t c egge sider i denne ligning prikker i med og får: t c Vi prikker ind i prentesen og får: ( t) c FÉrste led på héjre side omskrier i med 46, og sidste led er d c er nlektor eller inkelret på : t egge sider i denne ligning diiderer i med og får: t Vi indsätter dette dtryk for t i félgende ligning som i egrndede oenfor: t og får: 49 5 eis for prmeterfremstilling for en linje r l er linjen som går gennem ( x, y ) og er prllel med r r r r t r x, ) ( x, y) ( y l t I et eis ehéer i ikke ide horfor i skrier estemte ligninger Det er nok t i kn se t ligningerne er rigtige SÇ hr i indset t sltreslttet er rigtigt c Et pnkt ( x, y) ligger på l netop når ektoren fr ( x, y ) til ( x, y) er o r eller prllel med r ds r ektoren fr ( x, y ) til ( x, y) er lig t, hor t er et tl r ds r i får ( x, y) når i lägger t 's koordinter til (, ) r x y ltså x x r 5 t y y r så i hr eist t 5 er en prmeterfremstilling for linjen l som går gennem ( x, y ) og hr retningsektoren r r Se figr I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl

27 5 eis for ligning for linje Kn plngeometri l er linjen som går gennem ( x, y ) og er inkelret på xx Vektoren fr ( x, y) til ( x, y) er Se figr y y netop når Et pnkt ( x, y) ligger på l xx y y og dette gälder netop når xx yy ds 5 xx ) ( y y ) er o eller inkelret på ( Vi hr n eist t 5 er en ligning for linjen der går gennem ( x, y) og hr normlektoren 5 eis for ligning for pln Kn rmgeometri eiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger pln i stedet for linje 5 eis for ligning for cirkel Kn plngeometri M er cirklen med centrm C( x, y) og rdis r Et pnkt ( x, y) ligger på M netop når ds längden f C er r längden f xx y y er r Ved hjälp f längdeformlen (se 7) kn i skrie dette sådn: ( xx ) ( yy ) D egge sider er, kn i opléfte til nden SÅ får i ( xx r ) ( yy ) Dette er cirklens ligning (se 8) r ( x, y ) x x y y ( x, y) l 54 eis for ligning for kgle Kn rmgeometri eiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger kgle i stedet for cirkel Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

28 rg lynt og iskeläder når d dfylder Kglepen ol er FORUDT! ÇVELSER Éelse () LÄs fsnit () Tegn pnkterne A(,4), ( 4,), C( 4, ), D(, ) (c) For A er x = og y = (d) Er x y = for pnktet A? Sr: (e) Tegn 4 pnkter hor x y = og kld dem, Q, R og S (f) Tegn 4 pnkter hor x y = 4 og kld dem H, I, J og K Éelse Se d () () (c) (d) Angi hor tllet h er på x-ksen Angi hor tllet h er på y-ksen Angi hor tllene h og h er på x-ksen Tegn félgende pnkter: A (, h), ( k, ), C( h, k), D( h k, ) ( h, k) Éelse () Angi hor tllet 5 er på x-ksen A(5, ) p () Angi hor tllet 5+p er på x-ksen q (c) Skri koordinter ed hjälp f p og q: (, ), C(, ), E D C D(, ), E(, ) Éelse z () LÄs fsnit () Skri koordinter: A A(,, ) (,, ) C(,, ) (c) Tegn pnktet D(,,4) y (d) Tegn pnktet E(,,) x C Éelse Se d z Tegn félgende pnkter i koordintsystemet: (,, ) Q(,,) R(,, ) S(,, ) y T (,, ) x Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl

29 Éelse Se c () Hilke f ektorerne er ens? () Hilke f ektorerne hr smme längde? (c) Hilke f ektorerne hr smme retning? (d) Hilke f ektorerne hr modst retning? (e) Tegn en ektor g som er prllel med e og hr smme längde som e, men ikke er smme ektor som e Éelse Se e () AfsÄt d fr A () AfsÄt d fr (c) NÅr i fsätter d fr, er sltpnktet C e c A d f (d) NÅr i fsätter d fr, er sltpnktet A (e) NÅr sltpnktet for er D, er strtpnktet (f) NÅr i fsätter d fr, er sltpnktet C Tegn C D 4 Éelse Se 4-4f Skri koordinter: ( Q ( R ( S ( z Q c d 4 Éelse Se h og 4d x d R c S y z Q Der er giet pnkterne (,, 4) Q( 5,, 4) R(,, ) S(,, ) R () UndersÉg om firknt QRS er et prllelogrm y x S 4 Éelse Se 4g () KoordintsÄttet fortäller t går i x-ksens retning og i y-ksens retning () AfsÄt d fr (c) KoordintsÄttet fortäller t går i x-ksens retning og i y-ksens retning (d) AfsÄt d fr Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl

30 44 Éelse 6 A(4, ), p, q 7 () Tegn A () AfsÄt p d fr A, og kld sltpnktet (c) AfsÄt q d fr, og kld sltpnktet C (d) = (, ) AC 45 Éelse m er stedektor for A n er stedektor for p er stedektor for C q er stedektor for D () LÄs fsnit 4i () Tegn m, n, C og D (c) m, A = (, ) (d) p, C = (, ) 5 Éelse (5, 9), Q(,,5), 7 () LÄs fsnit 5c () NÅr er fst d fr, så hr sltpnktet ( +, + ) = (, ) (c) NÅr er fst d fr Q, så hr sltpnktet ( +, + ) = (, ) (d) NÅr er fst d fr R(, ) så hr sltpnktet (9, 5) 5 Éelse Se 5c Skri koordinter: 6 Éelse () () = (, ) = (, ) Q = ( A (8, ) og (4, 6) LÄs 6-6 AA Se 4c (c) His C o, er C = ( Se 5c (d) His er nlektor, og strtpnktet for er ( 7, ), så hr sltpnktet (, ) p (4, 5) - -7 q A h k Q 7 Éelse () LÄs 7c-7d z () (c) Skri koordinter: A = ( = ( A x y A (d) Udregn längden f Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 5 Krsten Jl

31 7 Éelse Se 7 NÅr t t, er 7 Éelse LÄs fsnit 7e estem fstnden mellem pnkterne (, ) og Q(, 5) 8 Éelse Se 8 k NÅr, er 9 8 Éelse Se 8d AfsÄt den modstte ektor til c d fr c 9 Éelse Se 9d () NÅr, er â k ) NÅr, er ˆ 5 k 9 Éelse Se 9 og 8d () AfsÄt tärektoren til d fr A () AfsÄt den modstte ektor til d fr A (c) AfsÄt ˆ d fr A A 9 Éelse Se 9, 4c, 9d og 5c () Figren iser to ens kdrter A (5, ), (, 7) Skri snd eller flsk ed her ligning: A AC, A AC, A CD, A CD () Udregn koordintsättet til C A C D (c) Udregn koordintsättet til D Éelse Se () NÅr, er 6 () NÅr t Éelse Se d () Tegn () Tegn,5 (c) Tegn 4, er 4 Éelse Se og 5, t og c 4 () (d) () (e) t (c) (f) c Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 5 Krsten Jl

32 Éelse Se c og d () Tegn ektoren () Tegn ektoren c (c) Tegn ektoren d c d Éelse Se c og 5c, og (, ) 5 () Udregn koordintsättet til c () Udregn koordintsättet til Q c Q Éelse Se og () 4, og c 7 k () 5c Éelse Se c og d () Tegn ektoren () Tegn ektoren c (c) Tegn ektoren d c d Éelse Se d, d og 7 4 og 8 4 Vi fsätter og d fr et pnkt Vektorerne og dspänder et prllelogrm () estem längden f den f prllelogrmmets digonler der dgår fr () estem längden f den nden digonl 4 Éelse Se d 4 A og AC C 5 4 Éelse Se () Tegn den linje n som går gennem og er inkelret på l () Tegn det pnkt l som er projektionen f på l (c) Tegn det pnkt m som er projektionen f på m l m Éelse Se og c () Tegn en linje l som er prllel med () Tegn 's strtpnkt, og tegn det pnkt som er projektionen f dette pnkt på l (c) Tegn projektionen f 's sltpnkt på l (d) Tegn den ektor som er projektionen f på (e) Tegn projektionen f på Éelse Se og c l () Tegn projektionen f på l () Tegn projektionen f på n n Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

33 4 Éelse Se 4, 4 og 4c () () (d) (e), 6 og c 4 4 Skri snd eller flsk ed her f félgende 5 påstnde: () rikprodktet f og er c (4) rikprodktet f og er () rikprodktet f og er 4 (5) c 4 () Sklrprodktet f og er (6) c 7 c (c) t t k Éelse Se 5 og 5 Skri snd eller flsk ed her f félgende 7 påstnde: () (5) er inkelret på () c (6) c () og er ortogonle (4) og c 4 (7) er ortogonle 6 c 5 Éelse Se 5c og 5c t 6 og 5 4 () NÅr t er () NÅr i fsätter ektoren fr () d fr pnktet (7,), så lier endepnktet (, ) = (, ) (c) AfsÄt ektoren fr () d fr (d) For t, for t og for t skl d fsätte d fr Skri t-ärdierne ed de 4 ektorer (e) er inkelret på netop når NÅr i dregner enstre side, lier denne ligning til Vi léser denne ligning mht t og får t ds for denne Ärdi f t er Dette kn godt psse med figren 6 Éelse Se 6d og cos 4 NÅr er inklen mellem og, er cos C(, ) 6 Éelse Se 4c og 6d rg 6 til t dregne inkel A i treknt AC (9, ) A(, ) Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

34 7 Éelse Se c, 4g og 7d () Tegn den ektor som er projektionen f på () (c) Udregn koordintsättet til og skri mellemregninger: 7 Éelse Se 7c Skri snd eller flsk ed her f de 4 påstnde: () Den nmeriske Ärdi f 6 er 6 () 7 7 () 5 5 (4) NÅr x 5, er x x 7 Éelse Se 7e, 4g og c 4 5 og 4 () Udregn längden f, og skri mellemregninger: () AfsÄt og d fr, tegn, og mål längden f 8 Éelse Se 8, 8 og 8c () () (d), 8 og c 4 Skri snd eller flsk ed her f félgende 4 påstnde: () Determinnten f og er c () Determinnten f og er () Determinnten f og er 5 (4) det(, c ) 4 det(, c ) (c) det(, ) t det(, ) t 9 Éelse Se 9 og 9 Skri snd eller flsk ed her f félgende 6 påstnde: () det( A, AC) () det( A, AD) () det( A, DE) (4) det( AD, E) 5 7 (5) A AC (6) 9 Éelse Se 9c 6 t og 5 4t () For her f t-ärdierne,,, og skl d fsätte d fr () og er prllelle netop når det(, ) NÅr i dregner enstre side, lier denne ligning til Vi léser denne ligning mht t og får t ds for denne Ärdi f t er Vi ser t dette godt kn psse med figren A C E D Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

35 Éelse Se 7c Skri snd eller flsk ed her f de 4 påstnde: () Den nmeriske Ärdi f 5 er 5 () () (4) NÅr x, er x x Éelse Se, c og 8 Skri snd eller flsk ed her f de påstnde: () NÅr ektorer og i plnen dspänder et prllelogrm med rel A, så er ltid A det(, ) () NÅr QR er en treknt i plnen med rel T, så er T det( Q, R) 4 () 4 er relet f det prllelogrm der dspändes f ektorerne og Éelse Se Udregn relet A f det prllelogrm der dspändes f og, og skri mellemregninger 6 og A = 5 Éelse Se c () 5 4 () Éelse Se c og () 9 og 7 () Af () kn i se t og ikke er prllelle d z Éelse Se c, c og () A = ( () = ( (c) C = ( (d) A C (e) AC (f) A AC (g) Arelet f treknt AC er T = Éelse Se c, d, c og x A z y Udregn relet f firknt ACD, og skri mellemregninger A(6,,) (,8, ) C(,6,4) D(,,6) E(,8,) F(,,7) D F C A Éelse Se () Vektorerne og x er inkelret på hinnden og deres längder er og E y () I prllelogrmmet QRS hr grndlinjen Q längden, og héjden er 4 Q R Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

36 4 Éelse Se 4, 4, og Figren iser 6 ektorer der er fst d fr smme pnkt og hr längde Vektorerne er to og to enten modst rettede eller inkelret på hinnden c d e 5 Éelse Se og En linje l hr prmeterfremstillingen l : x 4 t y () NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter () NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter (c) NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter (d) NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter x 4 (e) NÅr t er y Tegn pnktet med disse koordinter x 4 (f) NÅr t, 5 er y 5 Éelse Se 5g Tegn pnktet med disse koordinter En linje m hr prmeterfremstillingen m : x s y 8 4 () NÅr s x er y, så pnktet (, ) ligger på m () NÅr s x 5 er, så pnktet ( 5, ) ligger på m y (c) NÅr s x 8 er, så pnktet (8,6) ligger på m y 6 (d) x Find et tl s så y 5 eller skri t det ikke kn lde sig gére (e) Ligger pnktet (,5) på m? x 9 (f) Find et tl s så eller skri t det ikke kn lde sig gére y 48 (g) Ligger pnktet (9, 48) på m? 5 Éelse Se 5c, 9, 9d og 5j () En linje l går gennem pnktet (, 5) 4 og er prllel med ektoren 7 Skri en prmeterfremstilling for l : () En linje m går gennem pnktet (,) og er inkelret på ektoren 4 Skri en prmeterfremstilling for m : (c) En linje k går gennem pnkterne (, ) og (, 8) Skri en prmeterfremstilling for k : Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl (4,) d e f c l

37 54 Éelse Se 5, 5c Linjen l hr prmeterfremstillingen () x p h t, t y q k Tegn de pnkter på l hor prmeteren t hr félgende Ärdier:,, og 4,5 () For det pnkt på l hor t = 5, er (x, y) = (, ) h k ( p, q) 55 Éelse Se 5, 5c () Skri prmeterfremstilling for linjen l : x y t () Skri prmeterfremstilling for linjen m : m l 56 Éelse Se 5i, 5e, 5f og 5 () () Skri snd eller flsk ed her f félgende 6 påstnde: () His to linjer k og n egge er prllelle med en ektor r, så er k og n prllelle () His r er retningsektor for linjen n, så er r inkelret på n () His r er retningsektor for linjen n, så er r prllel med n (4) To linjer er ortogonle netop når deres retningsektorer er ortogonle 7 x 7 (5) er retningsektor for linjen med prmeterfremstillingen t 5 y 5 x 7 (6) er retningsektor for linjen med prmeterfremstillingen t y 5 To linjer l og m i rmmet hr félgende prmeterfremstillinger: l : x 6 y s z UndersÉg om l og m er ortogonle 6 Éelse Se 6c En linje l hr ligningen og m : x 4 y t 6 z l : x y 6 () NÅr i indsätter koordinterne for pnktet (, ) for x og y i ligningen for l, så får i ligningen () Er denne ligning snd? Sr: (c) Ligger på l? Sr: (d) NÅr i indsätter koordinterne for pnktet Q(,) (e) Er denne ligning snd? Sr: (f) Ligger Q på l? Sr: for x og y i ligningen for l, så får i ligningen (g) NÅr i indsätter koordinterne for pnktet R(, t) for x og y i ligningen for l, så får i ligningen (h) Ligningen er snd netop når t (i) Af pnkterne med x-koordint er det kn pnktet (, ) der ligger på l Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

38 6 Éelse Se 6, 9, 9d og 5e () Linjen l går gennem pnktet (8, 5) og er inkelret på ektoren rg 6 til t skrie ligning for l () Linjen m går gennem pnktet ( 4, ) og er prllel med ektoren rg 6 til t skrie ligning for m 5 (c) x Linjen k hr prmeterfremstillingen t Herf ser i t ( y 4, ) er et pnkt på k, og t er prllel med k rg 6 til t skrie en ligning for k 6 Éelse Se 6, 6d og 5e () Skri snd eller flsk ed her f félgende påstnde: () His to linjer i plnen er inkelret på smme ektor, så er de to linjer prllelle () For linjer l og m i plnen gälder t his l er inkelret på n, m er inkelret på p, og n er inkelret på p, så er l inkelret på m () His n er normlektor for linjen l, så er n inkelret på l (4) His n er normlektor for linjen l, så er n prllel med l (5) To linjer i plnen er ortogonle netop når deres normlektorer er ortogonle (6) To linjer i plnen er prllelle netop når deres normlektorer er prllelle (7) er normlektor for linjen med ligningen x y 5 5 (8) x y 5 (9) x y 5 () x y 5 () To linjer l og m er giet ed l : x y og x 8 m : t Er l og m er prllelle y 4 7 Éelse Se 7 og 7c () En pln er inkelret på n og går gennem (4, 6, 5) estem en ligning for () Ligger Q(, 6, ) i? 7 Éelse Se 7, 7d, 7f, 7g () I plnen ligger pnkterne A(4,, ), (,, ) og C(, 4, ) () estem to ektorer der er prllelle med og ikke er prllelle med hinnden (c) estem en ektor der er inkelret på, og estem en ligning for 7 Éelse Se 7e, 7, 7d og 7f () Skri snd eller flsk ed her f félgende påstnde: () His r er prllel med linjen l, og n er inkelret på plnen, så er l prllel med netop når r er inkelret på n () His r er prllel med linjen l, og n er inkelret på plnen, så er l prllel med netop når r er prllel med n () His n er normlektor for plnen, så er n prllel med (4) His n er normlektor for plnen, så er n inkelret på (5) er inkelret på plnen med ligningen x y z 6 (6) His en pln skärer koordintkserne i pnkterne A (4,,), (,,) og C (,,), så er A AC en normlektor til Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl

39 74 Éelse Se 5f, 7d og 7f x I plnen ligger pnktet (,, 5) og linjen m: y 4 t, < t < z 6 () Å m ligger pnktet (,, ) nkterne (,, ) og (,, ) ligger i og linjestykket med disse endepnkter er ikke prllel med m () Vektoren er prllel med m Vektorerne og er prllelle med og er ikke prllelle med hinnden Vektoren er inkelret på 8 Éelse Se 8 og 8c () Cirklen med ligningen ( x ) ( y ) 9 hr centrm C(, ) og rdis r = () Cirklen med ligningen ( x 4) ( y 5) 7 hr centrm C(, ) og rdis r = (c) Cirklen med ligningen ( x p) ( y q) 4 hr centrm C(, ) og rdis r = 8 Éelse Se 8e estem centrm og rdis for cirklen med ligningen x 6x y 8y 9 Éelse Se 9 og 9 En kgle hr centrm (, 5, ), og pnktet (, 7, ) ligger på kglen Skri en ligning for kglen Éelse Se Skri snd eller flsk ed her f félgende påstnde: () Afstnden fr (, 7) til l: x y () Afstnden fr Q(, ) til m: 4x 5y () Afstnden fr R(, ) til n: x y Éelse Se og 7c () lnen hr ligningen x y z d er 7 ) ( Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl er er hor d er et negtit tl Afstnden fr egyndelsespnktet O(,,) til plnen er d () Afstnden fr (t,,) til plnen : x y z er t eller t 5 Éelse r, s og n AfsÄt r og s 5 4 d fr d fr (9, 4), og n d fr Q(4, 5) Linjen l er prllel med r og går gennem Tegn fire pnkter på l, og tegn l Tegn også linjen m som er prllel med s og går gennem AfsÄt nˆ d fr Q Tegn fire pnkter på linjen h som går gennem Q og er inkelret på n, og tegn h Udregn inklen mellem l og m, og inklen mellem l og h, og kontrollár med inkelmåler Éelse Se, og c Fire linjer er giet ed x c x e g l : s, l : t, l : ix jy k, l 4 : lx my n y d y f h () For t finde inkel mellem l og l il i férst finde inklen mellem og De to inkler som l og l dnner, er så () For t finde inkel mellem l og l 4 il i férst finde inklen mellem og De to inkler som l og l 4 dnner, er så (c) For t finde inkel mellem l og l 4 il i férst finde inklen mellem og De to inkler som l og l 4 dnner, er så