Potens regression med TI-Nspire

Transkript

1 Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter og brudstyrken (ydt) i kg for en stribe 3-slået polyester tovværk: Disse dt kn vi selvfølgelig uden videre skrive ind i en tbel som vist, ligesom vi kn få tegnet en grf ved ngive vriblene på kserne i en Dt og Sttistik ppliktion. Det oplyses i opgven t brudstyrken med god tilnærmelse kn beskrives ved en potensproportionlitetsmodel som funktion f dimeteren. Vi ngiver derfor xdt (dimeter) som ufhængig vribel på førsteksen og ydt (brudstyrke) som fhængig vribel på ndenksen: Vi skl bestemme ligningen for denne potensproportionlitetsmodel. Den er på formen y = b x, dvs. brudstyrke = b dimeter 1

2 Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b Vi indfører derfor en dynmisk prmeter for i en Grf og Geometri ppliktion under tbellen for dtpunkterne. Afsæt et punkt på x-ksen (uden t rmme skleringsfmærkningerne) og få koordinterne for punktet vist. Højreklik på x-koordinten for punktet, vælg Lgre og skriv for t konstruere vores dynmiske prmeter: Mn kunne nu også hve indført en prmeter for b men selv med den del øvelse er det svært t tilpsse to prmetre på en gng. Vi ønsker ltså t estimere vores b- værdi. Det gør vi ved hjælp f følgende simple betrgtning: For en given værdi f prmeteren kn vi finde b ved hjælp f følgende simple omskrivning: b y x brudstyrke dimeter =, dvs. b = Vi indfører derfor en ny vribel i tbelværktøjet, b_værdi, der netop udregner b- værdien for hvert enkelt dtpunkt idet vi undervejs vælger vribelreference for : Hvis vi hr fundet et godt bud for vil dette give et godt bud for b, dvs. b_værdien vil med tilnærmelse være konstnt. Men unset om vi hr et godt bud på eller ej kn vi trække et rimeligt bud på værdien f b ud som gennemsnittet, dvs. middelværdien f lle disse bud på b! Med denne b-værdi kn vi så binde prmeteren b, så vi kun hr en ufhængig prmeter tilbge som skl vrieres! 2

3 Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b Vi binder nu prmeteren b til t hve værdien men(b_værdi). Det kræver t vi først gennemfører beregningen i en celle i tbelværktøjet og herefter gemmer udregningen som b ved t højre-klikke på udregningen og vælge Vrible efterfulgt f Gem Vr: Læg mærke til t cellen bliver grå idet b bliver defineret. Af udregningen gælder der t b-prmeteren fhænger f prmeteren og derfor nu ændres i tkt med! Tegn nu grfen for y = b x i Dt og Sttistik ppliktionen. Det er nu en sml sg t tilpsse prmeteren indtil grfen for potensproportionlitetsmodellen går gennem dtpunkterne: Undervejs kn mn pssende zoome ind på prmeteren ved t vælge menupunktet fr menuen Vindue (klik herefter på punktet). Dermed er vi igennem den første fse i modellen og hr fundet et rimeligt bud på værdien f prmetrene og b og hr smtidigt fået et godt visuelt check på t potensproportionlitetsmodellen er rimelig. Dette kn gøres ret hurtigt når først mn hr prøvet det et pr gnge, så lle eleverne burde nu kunne finde en rimelig ligning! 3

4 Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b Anden fse: Derefter kommer finjusteringen f prmeteren ved hjælp f mindste kvdrters metode! Det er desværre ikke indbygget i TI-Nspire (endnu!) t få kvdrterne vist og/eller udregnet i grfrummet for vilkårlige modeller (kun muligt for lineære modeller!). Derfor er vi nødt til t udregne kvdrterne og deres sum. Vi tilføjer en udregning i en celle (her celle E4) givet ved formlen : Vi får d udregnet summen f kvdrterne og efter lidt indzoomning kn vi gøre dem mindst muligt. Den mindste kvdrtsum er d som vist Vi hr nu fstlgt prmetrene så præcist som muligt. Vi kn nu under grfen tilføje et residulplot til modellen for t se om de resterende fvigelser ligger tilfældigt fordelt. Det sker ved i tbellen først t udregne residulerne givet ved udregningen ydt f1(xdt) (forudst t potensproportionlitetsmodellen er givet plottet som f1(x) som her). Herefter plottes residulerne i en Dt og Sttistik ppliktion under modellen idet vi trækker xdt ind som ufhængig vribel på førsteksen og residuler ind som fhængig vribel på ndenksen: 4

5 Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b Vi ser d t residulerne vrierer rimeligt tilfældigt omkring nul. Der er ikke noget tydeligt mønster, men som ved mnge potensproportionlitetsmodeller er residulerne dog mindst til t begynde med. Residulerne ligger typisk mellem ±100 kg, og det ngiver dermed den typiske usikkerhed i modellen. Kun et pr enkelte skæverter stikker lidt f fr de ndre med fejl på 200 kg. Et boksplot i en Dt og Sttistik ppliktion viser tilsvrende t der ikke er nogen lvorlige fvigere og t usikkerheden på b er f størrelsesordenen 0.25 kg. Læg mærke til tovværk nr. 8 fviger lidt fr de øvrige, hvorfor middelværdien ligger en nelse over medinen: Tredje fse: Udregning f forklringsgrden! Når vi er kommet så lngt er det ikke svært t trække en forklringsgrd ud for potensproportionlitetsmodellen. Hertil smmenligner vi den med nulhypotessen, der udsiger t vritionerne i brudstyrken er rent tilfældige og slet ikke fhænger f dimeteren. I så fld svinger de tilfældigt omkring middelværdien f brudstyrken og vi tilføjer derfor denne ved hjælp f menupunktet Tegn funktion i grfrummet. Summen f kvdrterne for nulhypotesen udregnes i en celle (her celle F5) og er givet ved formlen eller (hvis nulhypotesen som her er defineret ved ): 5

6 Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b Som forventet er summen f kvdrterne meget større under nulhypotesen ( ) end for potensproportionlitetsmodellen (107779). Vi hr ltså en god model. Vi kn se t de residuler der er tilbge i den potensproportionle model kun udgør % f fvigelserne under nulhypotesen (udregnet ved t dividere kvdrtsummen for modellen med kvdrtsummen for nulhypotesen, ltså celle F4/F5). Vi kn derfor forklre % f dtenes vrition ved hjælp f vores potensproportionle vækstmodel (udregnet ved t trække ovenstående fr 1, ltså 1 F4/F5). Resten skyldes tilfældige vritioner (jfr. residulplottet). Forklringsgrden for vores potensproportionlitetsmodel er ltså: r 2 = 99.92% Afslutningsvis gælder der for potensproportionlitetsmodellen: y = b x, dvs. brudstyrke = b dimeter t b værdien er kg, som svrer til brudstyrken for et tovværk med dimeteren 1 mm. Tilsvrende hr værdien (ltså tæt ved 2!). 6