Erik Vestergaard Erik Vestergaard, 2009.

Transkript

1

2 Erik Vestergrd Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner

3 Erik Vestergrd 3 Definition 1 En funktion på formen f ( ) = b, R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel funktion. Bemærk, t mn konsekvent hr vlgt t definere funktionerne for udelukkende positive -værdier, selvom mn for visse værdier f godt kunne hve indst negtive værdier f. For ndre værdier f, for eksempel = ½, vil det derimod ikke give mening t indsætte negtive -værdier (Overvej!). Hvis b= 1 kldes funktionen for en potensfunktion. Eksempel Nedenfor er fbildet grferne for forskellige potensfunktioner (dvs. b= 1). Vi ser, t potensfunktionen er voksende når > 0 og ftgende når < 0. For = 0 er funktionen konstnt. Hvis mn ændrer på b-værdierne i forskrifterne for de fbildede funktioner, så vil de nye grfer ikke være en prllelforskydning i forhold til de gmle; derimod vil der være tle om en sklering i y-ksens retning. Det vil svre til, t mn strækker eller komprimerer grfen i y-ksens retning (Overvej hvorfor!).

4 4 Erik Vestergrd Sætning 3 Ld f ( ) = b ; R +. D gælder: ) Grfen for f går igennem punktet (1, b ). b) gnges (fremskrives) med k y gnges (fremskrives) med c) Funktionen er voksende, hvis > 0, ftgende, hvis < 0 og konstnt, hvis = 0. k. Bevis: f (1) = b 1 = b 1= b. Dette viser ). For t vise b) indsætter vi k i forskriften for f og omskriver: (1) y = f ( k ) = b ( k ) = b k = k ( b ) = k f ( ) = k y1 hvor vi for t få tredje lighedstegn hr benyttet en f potensreglerne. Udregningen (1) viser, t hvis gnges med k, så bliver den nye y-værdi k gnge så stor som den forrige y-værdi. c) Overldes til læseren t overveje. Bemærk, t sætning 3b) fortæller os, t hvis gnges med et bestemt tl, så gnges også y med et bestemt tl ufhængigt f hvilket mn strtede med!

5 Erik Vestergrd 5 Husk fr rentesregningen, t når mn gnger med et tl F (fremskrivningsfktoren), så svrer det til t lægge renten r til, hvor smmenhængen mellem F og r er F = 1+ r. At lægge 5% til 500 svrer ltså til t gnge 500 med 1,5, idet F = 1+ r = 1+ 0, 5= 1, 5. Vi siger, t 500 hr fået en reltiv tilvækst på 0,5 eller 5%. Omvendt svrer en fremskrivningsfktor på 0,88 til t trække 1% fr, idet r= F 1= 0,88 1= 0,1= 1%. Denne smmenhæng mellem fremskrivningsfktoren F og den reltive tilvækst r betyder, t vi kn omformulere sætning 3b). D vi hr t gøre med fremskrivning f både og y, vil vi indføre betegnelsen F 1, som det fremskrives med, mens F skl betegne det, som y fremskrives med. Tilsvrende vil vi lde r 1 betegne den reltive tilvækst i, mens r skl betegne den reltive tilvækst i y. Vi hr dermed () F1 = 1+ r1 og F = 1+ r Sætning 3b) kn dermed udtrykkes på følgende måde: F1 = k F = k, hvormed (3) F = F1 Indsættes udtrykkene fr () i (3), fås følgende sætning: Sætning 4 (Reltive tilvækster) Givet en potensiel udvikling. Hvis gives en reltiv tilvækst på r 1, så får y en reltiv tilvækst på r, bestemt ved: (4) 1 + r = (1 + r1 ) Eksempel 5,3 Betrgt potensudviklingen med forskrift f ( ) =. ) Hvd sker der med y, hvis gnges med 1,1? b) Oversæt det, som sker i spørgsmål ), til reltive tilvækster i og y. c) Hvor meget skl mn gnge med, for t y fordobles? Løsning: ) Ifølge (3) fås: 1 1,3 F = 1,1 F = F = 1,1 = 1, 98, så y gnges med 1,98. b) Ifølge () hves: r 1 = F 1 1= 1,1 1= 0,1= 1% og r = F 1= 1,98 1= 0, 98 = 9,8%. En reltiv tilvækst på 1% i giver ltså en reltiv tilvækst på 9,8% i y. c) D F = fås ifølge (3): er ltså, t skl gnges med 1,35.,3, ,35 1 F = F = F = F = F. Svret Figuren på næste side illustrerer skemtisk situtionen i spørgsmålene ) og b).

6 6 Erik Vestergrd Eksempel 6 0,54 Betrgt potensudviklingen med forskrift f ( ) = 13, 4. ) Hvis vokser med 17%, hvor mnge procent vokser y d med? b) Hvor mnge procent skl vokse med, for t y vokser med 7%? Løsning: Vi benytter sætning 4. ) b) 0,54 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1+ 0,17) 1+ r = 1,17 1+ r = 1, 088 r = 1, 088 1= 0, 088= 8,8% Svret er ltså, t y vokser med 8,8%. 0,54 0,54 0, r = (1 + r ) 1+ 0, 7 = (1 + r ) 1, 7 = (1 + r ) 1, 7 = 1+ r 1,557 = 1+ r 1,557 1= r 0,557= r 55,7% = r Dermed konkluderer vi, t skl vokse med 55,7%, for t y vokser med 7%. Eksempel 7 Ld 0,84 =. Hvor mnge procent øges y med, hvis reduceres med %? f ( ) 480 Løsning: Vi benytter igen sætning 4. 0,84 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1 + ( 0, )) 1+ r = 0, r = 1, 3 r = 1, 3 1= 0, 3= 3, %. Vi konkluderer, t y vokser med 3,3%.

7 Erik Vestergrd 7 Forskriften udfr to støttepunkter Vi hr tidligere set, t mn kn bestemme forskriften for en lineær funktion og en eksponentiel funktion, når mn kender to punkter på funktionens grf. Dette er også tilfældet med potensudviklinger. Det vil vi se på nu. Sætning 8 Ld f ( ) = b og ld ( 1, y 1) og (, y ) være to punkter på grfen for f. D kn eksponenten bestemmes ved følgende formel: log( y) log( y1) (5) = log( ) log( ) 1 Bevis: D punkterne ligger på grfen, hves y1 = b 1 og y = b, som ngivet på figuren. 1,, y1 og y skl her ntges t være kendte. Derimod er og b ukendte. Mn ser snedigt, t mn kn skffe sig f med den ene ubekendte, b, ved t tge forholdet mellem de to y-værdier: y b (6) y1 b = = = hvor vi blndt ndet hr brugt en potensregel. For t isolere tger vi logritmen på begge sider f (6). Herved fås:

8 8 Erik Vestergrd y log y = log 1 1 (7) log( y ) log( y ) = [ log( ) log( )] = 1 1 log( y) log( y1) log( ) log( ) 1 hvor logritmereglerne er blevet nvendt. Eksempel 9 Bestem forskriften for den potensielle funktion, hvis grf går igennem følgende to punkter: (,5) og (6,7). Løsning: log( y ) log( y ) log(7) log(5) log( ) log( ) log(6) log() 1 = = = 1 1,5350 1,5350 Dermed hves foreløbigt: f ( ) = b. For t bestemme b indsættes ét f de to opgivne dtpunkter, ligegyldigt hvilket. Vi vælger (,5): 1, = b = b 1, 754 = b 1,5350 Altså fås 1,5350 =. f ( ) 1,754 Bemærkning 10 For t finde b, kn du også skrive mere direkte: b = y 5 = 1,5350 = 1, 754. Bemærkning 11 Af (7) fremgår det, t mn kn bruge følgende lterntive udtryk for : (8) = y log y 1 log 1

9 Erik Vestergrd 9 Dobbeltlogritmisk ppir Sætning 1 f er en potensfunktion log( y) er en lineær funktion f log( ) Bevis: Ld os først vise : Det ntges, t f er en potensudvikling, dvs. t funktionen kn skrives på formen: y= b med b R +. Hvis vi tger logritmen på begge sider f lighedstegnet og udnytter logritmereglerne fås: (9) log( ) log( y = b ) = log( b) + log( ) = log( ) + log( b) Herf ser vi, t logritmen til y er en lineær funktion f logritmen til, med hældningskoefficient og konstntled log( b ). Ld os dernæst slutte den nden vej, : Det ntges, t log( y ) er en lineær funktion f log( ), dvs. vi hr log( y) = c log( ) + d for to konstnter c, d R. Vi tger ntilogritmen på begge sider og får: (10) c log( ) + d c log( ) d log( ) c d d c y= 10 = = (10 ) 10 = 10 hvor to potensregler er benyttet. Vi ser, t der virkeligt er tle om en potensudvikling, med eksponent c og b= 10 d. Når vi tegner grfen for en funktion, så gøres det på grundlg f en række støttepunkter (, f ( )), hvor y-koordinten er funktionsværdien i. Hvis mn i stedet fsætter punkter (log( ),log( f ( ))), dvs. udskifter lle - og y-værdier med deres logritmer, så får mn selvfølgelig en nden kurve. Sætning 1 udtrykker d, t kurven er en ret linje hvis og kun hvis f er en potensudvikling. Dette er et smrt kriterium til t fgøre om en ukendt funktion er en potensudvikling eller ej. Det er nemlig meget nemmere t fgøre om en kurve er en ret linje end t fgøre om en kurve krummer på den rigtige måde. Der findes for eksempel mnge ikke-potensielle udviklinger, hvis grfer krummer omtrent som grfen for en potensiel udvikling! Nu vil det være besværligt t skulle til t beregne logritmerne til lle - og y-værdierne; derfor hr mn indført et såkldt dobbeltlogritmisk ppir, hvor mn slipper for t tge logritmerne, idet både - og y-kse er udstyret med en logritmisk skl, som omtlt tidligere. Vi kn ltså konkludere:

10 10 Erik Vestergrd Sætning 13 En funktion er en potensudvikling hvis og kun hvis dens grf er en retlinet grf i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Eksempel 14 Tegn grfen for 1,5 = på dobbeltlogritmisk ppir og løs følgende opgver: f ( ) 35 ) Bestem funktionsværdien i = 0 ved flæsning og ved beregning. b) Løs ligningen f ( ) = 150 ved flæsning og ved beregning. Løsning: Husk, t der på logritmiske kser ikke er et nulpunkt, idet ksen kun kn indeholde positive værdier. Vi vælger t fbilde grfen for i de to dekder fr 1 til 100. Andenksen kn d pssende indeholde de tre dekder fr 10 til Ifølge sætning 13 er grfen på dobbeltlogppir en ret linje. Vi behøver derfor blot udregne to støttepunkter. 1,5 f (1) = 35 1 = 35 ; 1,5 f (30) = = 457. Grfpunkterne (1,35) og (30,457) indtegnes på ppiret og linjen igennem dem tegnes (se næste side). 1,5 ) Aflæsning: f (0) = Beregning: f (0) = 35 0 = 1480,3. b) Aflæsning: f ( ) = 150 = 3,. Beregning: 150 f ( ) = = 35 = 4, 857= 35 1,5 4, 857 = 3, 034= 1,5 1,5 1,5 Aflæsningerne er ikke mrkeret på grfen på næste side, som de normlt skl være ved skriftlige fleveringer! Bemærkning 15 Hvis mn hr grfen for en potensudvikling fbildet på dobbeltlogppir, og forskriften er ukendt, så kn mn hurtigt få en god værdi for eksponenten ved med en linel t måle hældningskoefficienten for den retlinede grf, som den er tegnet på dobbeltlogppir. At kn bestemmes på denne måde fremgår direkte f formel (5) i sætning 8 og definitionen f en logritmisk skl (Overvej!). På grfen på næste side er det vist, hvordn hældningskoefficienten fås til ycm cm = 1,5cm 10,0 cm= 1, 5, hvilket stemmer overens med hvd vi llerede vidste fr eksempel 14, dvs. t = 1, 5.

11 Erik Vestergrd ,5 cm cm

12 1 Erik Vestergrd Eksempel 16 Ld 0,58 = og f ( ),5 0,0 g( ) = 49. Løs ligningen f ( ) = g( ) ved beregning. Løsning: 0,58 0,58 0,0 f ( ) = g( ),5 = 49 = 0,0 0,58 ( 0,0) 0,78 0,78 49,5 = 19,6 = 19,6 = 19,6 = 45,4 hvor vi i tredje ensbetydende tegn hr benyttet en velkendt potensregel! Løsningen er ltså = 45, 4, som kn kontrolleres ved indsættelse i hver f de to forskrifter! En potensiel model: Det mtemtiske pendul Et mtemtisk pendul består f et punktformigt lod, som er fstgjort til enden f en msseløs snor. Svingningstiden T ngiver den tid, det tger for loddet t svinge fr det øverste punkt i bnen over til den nden side og tilbge igen. Hvis mn ser bort fr enhver form for modstnd, herunder vindmodstnd, så kn mn vise, t svingningstiden for uendeligt små udsving er givet ved formlen: (11) T = π l g hvor l repræsenterer snorens længde og g = 9,8 m/s er tyngdeccelertionen. Vedrørende betingelsen uendeligt små udsving, kn mn regne med, t formlen holder med stor tilnærmelse, når det mksimle udsving er under 30 grder med en fejl på under %. Selv om lle ovenstående forudsætninger ldrig kn være opfyldt i en virkelig sitution, så viser det sig, t formlen ofte en rigtig god værdi for svingningstiden. Vigtigt er det dog, t loddets udstrækning er forholdsvis lille.

13 Erik Vestergrd 13 Der er en grund til, t vi betrgter netop dette eksempel her. Det viser sig nemlig, t svingningstiden er en potensiel funktion f snorlængden. Dette indses ved t omskrive formel (11) til: (1) T l l π π = π = π = l = l = b l g g g g 0,5 0,5 hvor b= π g er en konstnt, som ikke er vigtig her. Vi vil nu besvre nedenstående spørgsmål ved hjælp f teorien gennemgået i denne note: ) Hvor mnge procent vokser svingningstiden, når snorlængden vokser med 5%? b) Hvor mnge procent ftger svingningstiden, hvis snorlængden hlveres? c) Hvor mnge procent skl snorlængden øges med, for t svingningstiden forøges med 0%? Løsninger: 0,5 I vores tilfælde er y= b. Eksponenten er ltså lig med 0,5 og svrer til snorlængden l, mens y svrer til svingningstiden T: ) Vi gør brug f sætning 4, idet r 1 = 5% = 0,5 : 0,5 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1+ 0, 5) 1+ r = 1, 5 1+ r = 1,118 r = 1,118 1= 0,118= 11,8% Svingningstiden vokser ltså med 11,8%. b) En hlvering f snorlængden betyder en reltiv tilvækst i på 50%, hvilket betyder t r 1 = 50% = 0,5. Vi benytter igen sætning 4: 0,5 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1 + ( 0,50)) 1+ r = 0,50 1+ r = 0,707 r = 0, 707 1= 0, 93= 9,3% Svingningstiden ftger ltså med 9,3%. c) Vi gør brug f sætning 4, idet r = 0% = 0, 0 : 0,5 0,5 0, r = (1 + r ) 1+ 0, 0 = (1 + r ) 1, 0 = (1 + r ) 1, 0= 1+ r 1, 44= 1+ r 1, 44 1= r 0, 44= r 44% = r Snorlængden skl ltså forøges med 44% for t svingningstiden forøges med 0%.

14 14 Erik Vestergrd Opgver Opgve 1 Tegn grferne for følgende potensielle funktioner i et lmindeligt koordintsystem eller eventuelt på grfregneren: ) b) f ( ) = 0, 4 f ( ) = 4 1,6 0,5 Opgve Ld y,3 = 560. ) Hvd sker der med y, hvis gnges med? b) Hvd skl mn gnge med, for t y-værdien gnges med 1,8? Opgve 3 Ld y 0,67 = 0,3506. ) Hvis vokser med 17%, hvor mnge procent vokser y d med? b) Hvis flder med 34%, hvor mnge procent ftger y d med? c) Hvor mnge procent skl vokse med, for t y fordobles? Opgve 4 Ld 1, =. f ( ) 3,85 ) Hvor stor er den reltive y-tilvækst, hvis den reltive -tilvækst er 45%? b) Hvor stor en reltiv -tilvækst skl der til for t give en reltiv y-tilvækst på 18%? Opgve 5 Ld y= 56,5 ) Hvor mnge procent ftger y med, hvis vokser med 7%? b) Hvor mnge procent vokser y med, hvis hlveres? c) Hvor meget skl øges med i procent for t y hlveres? Opgve 6 En potensiel funktion opfylder, t y øges med 53%, når øges med 33%. Bestem en værdi for eksponenten.

15 Erik Vestergrd 15 Opgve 7 Grfen for en potensiel funktion går igennem to punkter ( 1, y 1) og (, y ). Bestem forskriften for funktionen, når punkterne er: ) (; 4) og (4;8) b) (3; 8) og (1;18) c) (; 60) og (8;5) d) (1,8; 5,7) og (6,3; 9,5) e) ( 3; 9) og (; 9 3) Opgve 8 Grfen for en potensiel funktion går igennem to punkter ( 1, y 1) og (, y ). Bestem forskriften for funktionen, når punkterne er: ) (; 17) og (3; 30) b) (4,7; 0,87) og (10,9; 0,067) c) (1,9; 70, 4) og (34,1;106,9) Opgve 9 En potensiel funktion hr en grf, som går igennem punktet (5,6). Desuden oplyses det, t den reltive y-tilvækst er 60%, når øges med 0%. Bestem en forskrift for funktionen. Opgve 10 En potensiel funktion opfylder f (1) = 0, 6. Desuden oplyses det, t y øges med 80%, hvis øges med 3%. Bestem en forskrift for funktionen. Opgve 11 Det oplyses om en potensiel udvikling, t y vokser med 15%, når vokser med 10%. Hvor mnge procent vokser y med, hvis vokser med 0%? Opgve 1 Ld f ( ) 4 1,7 =. ) Bestem f (1,9) b) Løs ligningen f ( ) = 17 c) Hvis øges med 1%, hvor meget øges funktionsværdien d med? d) Hvis reduceres med 34%, hvor meget reduceres funktionsværdien d med?

16 16 Erik Vestergrd Opgve 13 Om en potensiel funktion oplyses det, t f (6) = 8 og t funktionsværdien øges med 50%, når øges med 70%. Bestem forskriften for funktionen. Opgve 14 Om en potensiel funktion oplyses det, t f (4,1) = 5,8 og f (11, ) = 30, 7. Indtegn punkterne på dobbeltlog-ppir og løs følgende opgver grfisk: ) Bestem f (8, 7) b) Løs ligningen f ( ) = 70 Opgve 15 En potensiel funktion hr en grf, som går igennem punkterne (17,100) og (30,10). Indtegn punkterne på dobbeltlog-ppir og løs følgende opgver grfisk: ) Bestem f (40) b) Løs ligningen f ( ) = 5 c) Benyt linel-metoden til t give en god værdi for (se bemærkning 15). Opgve 16 Ld 3,4 f ( ) = 1. Løs ligningen f ( ) = 400 ved beregning. Opgve 17 Løs følgende ligninger ved beregning: ( > 0) ) b) c) d) 7,6 = 800,08 1,65 7,89 = ,4 450 = = 13 Opgve 18 Løs følgende ligninger ved beregning: ( > 0) : ) b) c) 1,4 3 1,5 (4 ) = 78 7 = 5 = 3

17 Erik Vestergrd 17 Opgve 19 1,4 0,6 Ld f ( ) = 4 og g( ) = 400. Tegn grferne for de to funktioner på dobbeltlogppir og brug det til t løse ligningen f ( ) = g( ) grfisk. Kontroller resulttet med grfregneren, hvis du hr en sådn! Opgve 0 Ld f ( ) = 5 1, 8,6, R være en eksponentiel funktion og ld g( ) = 0,56, R + være en potensiel funktion. Kn f ( ) = g( ) løses ved beregning, eller er mn nødt til t løse den grfisk, f med en lommeregner? Slut f med t løse ligningen. Opgve 1 (Model) En terning er en rektngulær ksse, hvor længde, bredde og højde er ens. ) En terning hr volumenet 3 m 3. Bestem sidelængden i terningen. b) Sidelængden i en terning øges med 10% Hvor mnge procent øges volumenet d? c) Hvor mnge procent skl mn øge sidelængden med, for t fordoble volumenet? Opgve (Model) Når mn går på køreskole, så lærer mn den velkendte regel, t bremselængden vokser med kvdrtet på hstigheden. Det betyder, t hvis y er bremselængden og er hstigheden, så gælder der y= b for et eller ndet tl b. ) Hvis frten vokser fr 100 km/t til 140 km/t, hvor mnge procent er hstigheden så vokset? Hvor mnge procent vil bremselængden dermed vokse? b) Hvis frten sænkes fr 100 km/t til 80 km/t, hvor mnge procent reduceres bremselængden d med? c) Hvis frten sættes ned med 10%, hvor mnge procent kortere bliver bremselængden d? d) Hvis mn højst kn tillde t bremselængden vokser med 50%, hvor mnge procent kn mn d højst tillde t lde frten vokse med? Opgve 3 (Model) ) Når mn nedkopierer en side fr en bog med 0% (i længden) på en kopimskine, hvor meget reduceres relet så med? b) Når mn nedkopierer fr A4 til A5 på en kopimskine, så hlveres relet. Hvor meget er sidelængden blevet reduceret med i procent?

18 18 Erik Vestergrd Opgve 4 (Model) Når mn hr t gøre med en gnske lille rdioktiv kilde, der kn opfttes som punktformig, så gælder der den såkldte fstndskvdrtlov, som siger, t strålingsintensiteten ftger med kvdrtet på fstnden. Hermed menes, t hvis er fstnden til kilden og y er stråleintensiteten, så findes der en konstnt b, så 1 y = b = b ) Hvd sker der med strålingsintensiteten, hvis mn går ud i den dobbelte fstnd fr kilden? (Hjælp: Hvd gnger du med?) b) Hvd sker der med strålingsintensiteten, hvis mn øger fstnden med 50%? c) Hvor mnge gnge så lngt væk fr den rdioktive kilde skl mn flytte sig, for t 1 strålingsintensiteten ftger til f det oprindelige niveu? 1000 d) Strålingsintensitet betyder den strålingsenergi, som pr. sek. psserer igennem et rel på 1 m, nbrgt vinkelret på stråleretningen. Enheden er derfor W/m. Prøv t forklre det logiske i fstndskvdrtloven ved t kigge på nedenstående figur. Det kn ntges, t kilden stråler lige meget ud i lle retninger! Opgve 5 (Model) Lydens hstighed i en gs kn fås f følgende formel: v = k hvor v er lydens hstighed regnet i m/s, T er temperturen regnet i Kelvin, M er molrmssen regnet i kg mol og k er en konstnt, som kun fhænger f gssen. T M

19 Erik Vestergrd 19 ) Det oplyses, t for tmosfærisk luft er molrmssen lig med 0,0896 kg mol og t konstnten k er lig med 3, 414( J (mol K) ) 1. Bestem lydens hstighed, når temperturen er lig med 0 C. Husk t omregne temperturen til Kelvin! b) Smme spørgsmål, når temperturen er 30 C. c) Vis, t i tmosfærisk luft kn lydhstigheden v skrives som følgende funktion f 0,5 temperturen T i Kelvin: v= 0,06 T, idet vi for overskuelighedens skyld glemmer enheden på b-leddet. (Hjælp: Sørg for t få konstnterne smlet til en konstnt. Få desuden idéer fr eksemplet med det mtemtiske pendul fr hovedteksten). d) Hvor vrm skl den tmosfæriske luft være, for t lydhstigheden bliver 370 m/s? 0,5 e) Hvis du hr en grfregner, tegn så grfen for funktionen v= 0,06 T og løs smme spørgsmål som under d), denne gng ved hjælp f grfregneren. f) Benyt udtrykket for v fr spørgsmål c) til t besvre følgende spørgsmål: Hvis temperturen i Kelvin vokser med 10%, hvor mnge procent vokser lydens hstighed i tmosfærisk luft d med? g) (svær). Antg nu, t vi hr t gøre med en vilkårlig gs. Argumenter for, t hvis temperturen i gssen vokser fr 0 C til 30 C, så vil lydhstigheden deri vokse med smme procent, unset hvilken gs, der er tle om (Hjælp: Argumenter udfr den første formel i denne opgve!). Opgve 6 (Model) Nedenstående tbel indeholder smmenhørende værdier mellem en vindmølles vingedimeter og den effekt, som vindmøllen producerer. Dimeter (m) Effekt (kw) ) Eftervis, ved t tegne dtpunkterne ind på et dobbeltlogritmisk ppir, t der er tle om en potensiel udvikling. b) Bestem en forskrift for denne potensielle udvikling. c) Hvor stor effekt vil en mølle med vingedimeter 100 meter hve, ifølge formlen? d) Hvilken vingedimeter vil give en effekt på 1000 kw? e) Hvor mnge procent øges effekten, hvis vingedimeteren gøres 0% større? f) Hvor meget skl vingedimeteren forøges med i procent, for t effekten fordobles? Opgve 7 (Model) 4 3 Volumenet V f en kugle med rdius r er givet ved formlen V = π r, mens dens 3 overflderel O er givet ved O= 4 π r. Hvis rdius øges med 10%, hvor meget er den reltive tilvækst i volumen og overflderel d?

20 0 Erik Vestergrd Opgve 8 (Model) På grundlg f de observtioner f himmelkuglens objekter, som Tycho Brhe så fremrgende hvde udført i slutningen f 1500-tllet, fremkom den tyske stronom Johnnes Kepler med tre love om plneternes bevægelse omkring solen. Tycho Brhe ( ) Johnnes Kepler ( ) 1. lov Enhver plnet bevæger sig i en ellipsebne omkring solen med solen i brændpunktet for ellipsen.. lov Hstigheden i ellipsebnen vrierer således, t en linje fr plneten til solen overstryger lige store reler i lige store tidsrum. 3. lov Kvdrtet på en plnets omløbstid divideret med tredje potens f dens middelfstnd (= ellipsens hlve storkse) til solen er konstnt inden for solsystemet.

21 Erik Vestergrd 1 Vi skl specielt se på den tredje lov, som overst betyder, t omløbstiden T er en potensiel funktion f middelfstnden. ) Vis, t smmenhængen er givet ved T 3 = konstnt. Nedenfor er givet en tbel med smmenhørende værdier f omløbstid og middelfstnd for plneterne i vort solsystem. Som enhed for middelfstnd vælges Astronomisk Enhed, som er jordens middelfstnd til solen (1 AE = 149,6 mill. km). b) Eftervis Keplers 3. lov ved t fsætte punkter i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Bemærk, t middelfstndene (-værdierne) strækker sig over 3 dekder og omløbstiderne (y-værdierne) over 4 dekder, så hvis du ikke limer to dobbeltlogritmiske rk smmen, så kn punkterne ikke være på ppiret. Hvis du ikke hr lyst, eller ikke hr mteriler til t lime to rk smmen, så bør du i det mindste fsætte punkterne for de første 6 plneter på et enkelt rk. c) Bestem en forskrift for potensudviklingen ved t vælge to punkter på den bedste rette linje igennem dtpunkterne. Overvej hvorfor b-leddet omtrent eller præcist bliver lig med 1: hr det noget med enhederne t gøre? Kn du i øvrigt sige god for Keplers lov? d) Hvor stor skulle middelfstnden være for en tænkt plnet med en omløbstid på 100 år? e) Hvor mnge procent vokser omløbstiden, når middelfstnden vokser med 15%? f) Hvor mnge procent skl middelfstnden reduceres med, for t omløbstiden hlveres? Plnet Middelfstnd (AE) Omløbstid (år) Merkur 0,387 0,41 Venus 0,73 0,615 Jorden 1,000 1,000 Mrs 1,54 1,881 Jupiter 5,03 11,86 Sturn 9,534 9,457 Urnus 19,18 84,009 Neptun 30, ,79 Pluto 39,44 47,68

22 Erik Vestergrd Opgve 9 (Model) Mn nvender ofte en grov model til t vurdere en persons eventuelle overvægt: det såkldte Body Mss Inde (BMI), som er defineret ved udtrykket nedenfor. m b = b : BMI, m : vægt, h : højde h SI-enheden for BMI er ltså kg/m. Hvis vi regner vægten i kg og højden i m får vi følgende opdeling f vægtklsser lt efter hvor stort BMI er: < 18,5 Undervægtig 18,5 4,9 Normlvægtig 5,0 9,9 Overvægtig 30,0 Svær overvægtig En person A er 5% højere end en nden person B. Hvor mnge procent kn A tillde sig t veje mere end B og lligevel hve smme BMI? Opgve 30 (Model) Mn hr i biologien fundet en god mtemtisk model for smmenhængen mellem et menneskes overflderel BSA (Body Surfce Are) som funktion f højden h, regnet i cm, og mssen m, regnet i kg: 0,75 0,45 = 0, (DuBois & DuBois ligningen) BSA h m ) Bestem overflderelet for en person, der vejer 65 kg og er 177 cm høj. b) Bestem en værdi for dit eget overflderel. c) Hvor mnge procent øges en persons overflderel med, hvis personens msse øges med 0%? Den empiriske formel er ikke så god for stærkt overvægtige personer. Så bruger mn ndre formler. Du kn eventuelt søge på nettet for ndre lterntive formler...