Forblad. Nogle Pladeformler. K.W. Johansen. Tidsskrifter. BSM 4 1 Bygningsstatiske Meddelelser

Transkript

1 Forbd Noge Pdeformer K.W. Johnsen Tidsskrifter BSM 4 1 Bygningssttiske Meddeeser 1932

2 NOGLE PLADEFORMLER AF K. W.JOHANSEN Som Eksemper p den prktiske Anvendese f Brudinieteorien og i Særdeeshed p Arbejdsigningen ) sk i det føgende ngives Former for noge hyppigt forekommende Tifæde. Arbejdsigningen kn skrives A, = A" hvor A, er de ydre Kræfters Arbejde, A, de indre Kræfters Arbejde. A, = ~Py = ~M, 8, hvor M, er de ydre Kræfters Moment om den betrgtede Pdedes Drejningskse, 8 Pdedeens Drejning om smme Akse. A, = ~M,. 8, hvo r M, er de indre Kræfters Moment om Drejnings, ksen, men d Forskydningskræfternes og de vridende Momenters Ar, bejde er Nu for hee Pden, d der ingen Forskydning og Vridning finder Sted i Brudinierne, kn det udedes ved hver Pdede. M, biver d Brudmomenternes Moment om Drejningsksen. Brudfiguren bestemmes sdn, t Brudmomentet m pr. Længdeenhed biver Mksimum. D det fører ti meget indvikede Beregninger t bestemme den rigtige Brudfigur, er der i det føgende regnet med en omtrent rigtig Brudfigur. Dette giver prktisk tt smme Resutt, idet sm Afv igeser fr den rigtige Brud. figur er uden Betydning, d Vritionen ved et Mksimum er meget ie. For en simpet understøttet Bjæke f Spændvidde og bestet med Krften P jævnt fordet over Strækningen biver Momentet ~ P (2 '- ). Det igger d nær t skønne Momentet i en kvdrtisk simpet under, støttet Pde med smme Spændvidde og jæ vnt bestet p Rektngeet k. med Krften P ti P 2 -k 2-/ mp= (I). 24 ' <' idet jævnt fordet Bestning over hee Pden, d. v. s. k = =, sk give m = P: 24. Vi vi undersege denne Formes Nejgtighed i noge speciee Tifæde.. k = O (Fig. 1). Med den skønnede Brudfigur fs, nr Centrum sænkes,»vipperenes Drejning om Drejningsksen cd ti 1: (~ Vi- x v1) ') S Bygningssttiske Medd.eser< 1931, Sid. 9.

3 78 og Kntdeens om Drejningsksen de ti : f, Ved»Vipperen«er M, = mx V2, M. = O og ved Kntdeen M, = m (2-x), M. = f (f-f), " hvorf A,= 4m ( -2x)~ +4mx V2 V2; -x x Fig.. medens (1) giver d e A = 2, ~ ('!.._ ), ~, ' m = p - x 16 (2- I) 2-2x +2x2; der biver Mksimum for x = ( - 111)oc ~ ~ m=..'.-(i- ) () m = der er c, 11 % p den sikre Side, ~ (2_) 12 ' 13,3 ' 2, k = t (Fig. 2), Smme Brud /igur som tidigere med x = ~, stningsfden dees i Treknterne A, B og C med Bestningerne Pkk P 2k ~ Co d p.. = 2k2' Z'Z ' Z = 16' virkende Z - j" ' Z fr Drejningsksen cd P k 3 3P, PB = 2k2' Z ' z ' 4"k = 32' virkende Be, e ~ Vf- ~ k 111 fr Drejningsksen de Pc=~ '!' k ' k = ~ virkende '!.. -~ k 2P 2 4' 2 3 fr D rejnin gsksen e, T fqp----i.l ~wi1~77tto '""'rmr. "'77J :Æ Fig, 2,.., 20 Udtrykket for A, bhver som før, der med x = 4" giver A, = 3' m, medens f A = 2 ~ ('!..- ~) ~ + 2 ' ~ ('!.. - 2k)~+4,3P ' ~( _k)1 IIY Z= P (I - 2.~) u VZ.!. 8 ' m =:OP(I- ;6 ~)' (Ib)

4 79 medens (1) giver m = ~(2 _ i) (2_ i ) Ti Smmenigning tjener føgende Værdier f m : P for 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 (1) 0,167 0,154 0,142 0,131 0,120 0,109 0,099 0,089 0,080 0,071 0,063 (b) 0,150 0,142 0,133 0,125 0,116 0,108 0,099 0,091 0,082 0,074 0,066, der viser, t de to Former giver prktisk tt det smme. 3. k = (Fig. 3). Med smme Brudfigur som før dees Bestningsfden i 8 ige store Dee, der hve,:- fr ip, som p»vipperene ngriber ;2 V} fr c og p Kntdeen f fr c. A i biver som før 2 m, medens Au biver 30 Fig. 3. (1 c) medens (1) giver m = 2~ '(2 -~r '" Ti Smmenigning tjener føgende Værdier f P: m for Fig. 4. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 (1) 0,167 0,150 0,135 0,120 0,107 0,094 (c) 0,150 0,139 0,128 0,118 0,107 0,096 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 (1) 0,082 0,070 0,060 0,050 0,042 (1c) 0,085 0,074 0,063 0,052 0,042, der som før kun viser en gnske uvæsentig Afvigese. Vi vi dernæst undersøge Tifædet med to Kræfter P p Pden, og indskrænker os foreøbig ti det i Fig. 4 viste Tifæde med k = O. D vi

5 80 kun vi foretge en Smmenigning meem Momenterne fr P og 2 P, tger vi ikk e Hensyn ti»vipperne«og fr d den viste Brudfigur. Nr Midtinien sænkes 1, biver Drejningerne for A, B og C hen hodsvis : ~, :(-c-x) og :x, og Arbejdsigningen biver 2m. ~ + m.! +m 1 = 2P (~ _i)~, x -c-x 2 4 m (4 + (-c) ) = p. 2-. x(-c- x) m bive r Mksimum for x = i ( - c), d. v. s., nr Kræfterne str ige ngt fr Midten. Momentet biver d c = P -c 2- rnzp = -0--'--o 4 2-c U nder tisvrende Forud sætn inger fs for een Krft ved t sætte ts O og p i Stedet for P 2 P 2- m p = - ' ' - c m 2P = 4mp c Vender vi os dernæst ti det mindeige Tifæde (Sm. Fig. 7), hvor hver Krft P er fordet over Rektngeet k -, kn vi indføre den ved (I) i. givne Værdi for mp og fr d p - c 2-k 2- m.. = _.. _ -.-- (2) 6 2- c ' En Prøve p denne Forme fs ved t sætte k = c, i hviket Tifæde vi fr Krften 2 P p Rektngeet 2k., der iføge (I) giver p - k 2 - m = 6 '-- ' - -' og dette giver ( 2) netop ogs. Ved Smmenigning meem (1) og (2) findes, t m2p> mp, nr 2 c < "J. Med Form erne ( 1) og ( 2) er do g ikke e Muigheder udtømte, idet vi des, nr c < f, men c + k >, ikke kn hve begge Rektngerne p Pden ved Beregningen f m2p, og des, nr c > f, men k c < 2 + 2' fr en De P' f den nden Krft med p Pden ved Be,

6 81 regningen f m". Vi m derfor hve endnu en Forme, som vi vi dnne som Interpotionsforme meem m" og m,p. Idet vi for e = O, hvor de I to Kræfter fder smmen, hr m = 2mp, og for e = 2(+k), hvor den ene Krft netop fder udenfor, nr den nden str p Midten, hr m = m", og for e = + k, hvor begge Kræfter fder udenfor, hr m = O, kn vi sætte hvorved de tre Betingeser opfydes. Nr de to Kræfter ige netop kn st p Pden, er e + k =, og Formen giver d mp +1" = 2(1-_e_)mp =m2p' 2-e ts ogs den Betingese er opfydt. Indføres Udtrykket for m" fs P +k-e 2-k 2-/ mp+ P' = 12' +k. - - ' - - (3) Vi vi yderigere prøve denne Forme for = O. Brudfiguren Fig. 5 giver P' = f( -x-e+k); P, = Hx-f); " P, = Hk-x + 1 ), og Arbejdsigningen biver 4m = P'i(-x-e+kHP, [f-hx- f )] +p,[f-hk-x+~j] Fig. 5. m = 16~k [(-2e)'+4k(-e) -(e-x)'j, der biver Mksimum for x = e. Idet vi for smme Brudfigur hr kn vi sætte mp = P 2-k 16" --' ( - 2e)'+4k ( - e) m = mr k(2-k)

7 82 Derved findes,. (2c - )+2k(c-k) mp+ p'-m = mp-(+k-2c) k ( +k)(2-k) > 0, 1 1 d vi tid hr c > 2" og c > k smt c < 2" ( + k), nr Formen for mp+ P' sk nvendes ( se Fig. 8). Vi hr ts tid mp+ P' > m, men t. mæssigt er Forskeen kun ringe ; f. Eks. for c = ~, k = } fs m 1,037 mp og mp+ P' = 1,111. mp. Vi vi dernæst undersøge Indfydesen f devi se Indspændinger og en Afvigese fr den kvdrtiske Form svrende ti Sideforhodet 2: 3. For jævnt fordet Bestning gæder iføge Ingersev') hvor k er den korte Side og den ng e Side i Rektnget. Er Pden devis indspændt med Indspændingsmomenteme c m, C2m, Cm og C4 m beregnes m ved smme Forme, men med de»reducered e«sider 2k VI + c, + VI+ c, og Vi vi nu forudsætte Pden rmeret ige stærkt for positive og negtive 2 Momenter, og kn d efter de dnske Normer sætte c = 3' I Tbe 1 er ngivet Værdien f m:m. (m. = Momentet i simpet understøttet kvdrs tisk Pde) for kvdrtiske og rektnguære Pder med devis Indspæne ding p O, 1,2,3 og 4 Sider. I IL Dernæst undersøges det ndet Grænse. c,-n tifæde, en Enketkrft p en rektns gu ær, devis ind spændt Pde. Med Brudfiguren i Fig. 6 fs P' = m( +c,) - +m( +c')b-- + x -x b b +m(1 +c,) - +m (1 +c.) - -. y -y om. +c, +c, C,-n :;- ux = O, giver - x -. - = (b -x )" Fig. 6. eer V +c, ~ V~+~ - x-- = b-x = b ; tisvrende giver t) "The Institution of Structur Enginee rs' Journ". Jnury

8 og vi finder 83 dm = O vr+c; = V~ = Vi"""+c, +~ dy, Y -y :0 = 8 :i (V+ c,+ V+ c,)' -:(VI +c, + V+ c.)'], hvor mo er Mom entet i den simpet understøttede kvdrtiske Pde. D det kun ngr Forhodet meem m og m o er der ikke tge t Hensyn ti»vippern e«. Under smme Forudsætninger som før fs de i Tbe nførte Værdier f m:mo. Tbe. k :I : 2 :3 Bestnings. fonn O II II Ant Indspændinger k I I u.«i k, I I I.I 2 II k, k, I ~ I. I, k II p 1,00 0,87 0,87 0,76 0,76 0,76 0,67 0,67 0,60 P 1,00 0,87 0,87 0,75 0,77 0,75 0,67 0,67 0,60 p 0,94 0,85 0,79 0,76 0,71 0,67 0,66 0,62 0,56 P 0,92 0,84 0,76 0,77 0,71 0,63 0,65 0,59 0,55 4 Mindste Re. duktion i /0 O Af Tbeen fremgr for det første, t Momentet er prkti sk tt det smme for kvdrtiske og rektnguære Pd er, der ikke er mere ng, str kt e end svre nde ti Sideforho det 2 : 3. For det ndet ses, t det simpe Moment m o kn regnes reducere t med 10 % pr. Indspænding. D dette gæder begge G rænsetifædene, jæ vntfor det Bestni ng og Enket, krft, kn det med en vis Tinærm ese ogs regnes gædende for de ti For merne (1)-(3) svrende Tifæde. Vi kn derfor resumere vor Undersøgese i føge nde Resut ter :. 2 3 I en rektngu ær Pde ' b, hvor "3 < b < 2"' og bestet med den i Fig. 7 viste Retninger Bestning, er det simpe Moment pr. Længdeenhed i begge P 2-k 2b-/ mp = 24' -- ' -b-' mp+ p' = p +k-c 2-k 2b-/ _ o 0 ' 12 +k b p -c 2-k 2b-/ m,2p = 6" ' Z-c' -- ' -b- ' (I)

9