ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

Transkript

1 INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner og ligninger, og lger er et mtemtiksprog, der kn nvendes i formler og modeller. Alger indgår i flere f ogens kpitler, men hensigten med dette kpitel er, t eleverne udvikler deres forståelse f lger og deres fortrolighed med t ruge lger som et redsk f til t løse mtemtiske prolemer. Eleverne hr tidligere rejdet med lger som en proes, hvor en prolemstilling, hændelse eller ndet fænomen fr virkeligheden oversættes til et lgerisk udtrk, det lgeriske udtrk evt. omskrives og endelig tolkes i forhold til den prolemstilling, hændelse eller lignende, der vr udgngspunktet. Igennem første del f kpitlet kommer eleverne især til t rejde med midterste del f proessen, hvor det hndler om t omskrive lgeriske udtrk. Fokus er på t ruge vrile i formler i forindelse med reduktion og forskellige prentesregler. Geometriske repræsenttioner liver rugt som støtte til t udvikle prentesregler og som repræsenttion for prentesreglerne. Den mtemtiske kompetene repræsenttion og smolehndling er derfor helt entrl gennem hele kpitlet. Ræsonnementskompetenen er i spil, åde når eleverne udvikler regneregler og generliserer f udvikling f et mønster (side 75) og smmenhænge mellem tl (side 78). smolehndling). Der rejdes med hjælpemiddelkompetenen, idet et funktionsprogrm kn nvendes i forindelse med grfisk løsning f ligninger og uligheder. Endelig er hensigten også, t eleverne får en forståelse for og et overlik over regler for løsning f ligninger og uligheder. Kpitlets entrle fglige egreer er: lger vrile prentesregler reduktion ligninger uligheder grfisk løsning f ligninger og uligheder Huskeliste: Kopirk (til side 7, 77, 78) Formelsmling (til side 77) Funktionsprogrm (til side 8, 8) FÆLLES MÅL På Kolorits hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er st op for rejdet med kpitlet. I sidste del f kpitlet skl eleverne rejde med t løse prolemstillinger fr hverdgen ved hjælp f ligninger og uligheder. Her er hele proessen med t oversætte, omskrive og tolke i højere grd i spil. Forskellige situtioner eskrives åde med ligninger/uligheder, teller, grfer og sproglige repræsenttioner (repræsenttion og 8

2 VARIABLE SIDE 7 SIDE 7 7 Vrile og formler m m 5 m 5 m h: højde og : prllelle sider A: rel A = m m h ( + ) VARIABLE Øverst kn I se fire forskellige eksempler, hvor det er hensigtsmæssigt t ruge vrile. I eksemplet i rmme ruges vrile i en formel for relet f et trpez. Brug oplsningerne i rmme. Beregn relet f trpezet. Kn lle reelle tl ruges i formlen? Hvorfor? Hvorfor ikke? Kunne formlen være skrevet på en nden måde? d Hvordn vil formlen se ud, hvis trpezets prllelle sider etegnes med m og n? e Hvordn vil formlen fr opgve d kunne skrives, hvis m er tre gnge så lng som n? Diskuter, hvorfor vrile ruges i formler. Vrile og prentesregler ( + ) = + + I eksemplet i rmme ruges vrile i en prentesregel. Forklr reglen ( + ) = + + ud fr tegningen i rmme. Forklr reglen ( ) = + ud fr tegningen herunder. Brug evt. også kopirk. ( ) 5 Diskuter, hvorfor vrile ruges i prentesregler. 878_kolorit9_7-88_.indd 7 7// 8:: AM 6 m Det giver ikke mening med negtive tl i formlen, men lle positive reelle tl kn nvendes. h(+ ) J, f A =. A = h (m + n) d A = h (n + n) = hn Det liver muligt t udtrkke generelle smmenhænge. ( + ) er et udtrk for relet f kvdrtet med sidelængden +. og er et udtrk for relet f de små kvdrter. er et udtrk for relet de to rektngler. ( ) er et udtrk for relet f kvdrtet med sidelængden. er et udtrk for relet f det store kvdrt, og er et udtrk for relet f det lille kvdrt. er et udtrk for relet de to rektngler. Når trækkes fr, liver trukket fr to gnge, derfor skl lægges til. I kn ruge: Kopirk Denne og den følgende side præsenterer fire forskellige eksempler, hvor det er hensigtsmæssigt t ruge vrile. De vrile spiller forskellige roller i de fire eksempler. I eksemplet i rmme ruges de vrile i forindelse med en formel. Her er de vrile h, og pldsholdere for positive, reelle tl. Vi kn sætte tl ind på de vriles plds og ruge formlen til t eregne noget gnske estemt, nemlig relet f et trpez. Vi hr i mtemtik trdition for t nvende nogle estemte ogstver til t repræsentere noget estemt, f et h til t repræsentere højden, når det gælder rel- og rumfngseregninger f figurer. Vi kunne hve vlgt ndre ogstver. Ld eleverne evt. komme med ndre eksempler på ogstver, vi ofte ruger til noget estemt, f i ligninger. Pointen er, t vi kn ruge ogstver som pldsholdere for tl og dermed udtrkke en generel smmenhæng i formler. Opgve og sætter fokus på dette. En generel smmenhæng kn også være en regneregel. Det er prentesreglen i eksempel et eksempel på. Vi kn sætte lle reelle tl ind på pldserne, hvor og står skrevet i prentesreglen. Eleverne kn i opgve og ruge geometriske repræsenttioner til t (e)vise, t reglerne gælder. Brug evt. kopirk i forindelse med opgve. Eleverne hr tidligere i Kolorit 8 - mtemtik grundog rejdet med t ruge geometriske repræsenttioner til t udvikle regler for, hvordn mn kn gnge ind i en prentes og eregne kvdrtet på en toleddet størrelse. Vi foreslår, t opgve og 5 indgår i en fælles klssesmtle på ggrund f elevernes rejde i små grupper med opgve, og. Ld også eleverne fortælle hinnden deres forklringer på, hvorfor prentesreglerne i opgve og gælder. I kn rejde videre med kopirk 9: Vrile og formler 5 Det liver muligt t udtrkke nogle generelle regler for regning med prenteser. I rmme er vist euro og 7,5 kr. Eksemplet dnner udgngspunkt for, t eleverne skriver ligninger, så de kn om- Vrile og formler regne fr euro til kroner og fr kroner til euro, jf. opgve Vrile og prentesregler 6. I opgve 6 kn ligningen f være 7,5 =. Den vrile er her et gnske estemt tl, vi ikke kender endnu. Ofte tler vi om den uekendte. spiller derfor en nden rolle her, end h: højde og : prllelle sider A: rel ( + ) = + + de vrile som eleverne rejdede med på side 7, men er A = h ( + ) stdig pldsholder for et tl. I rmme står tre forskellige ligninger. Eleverne skl i opgve 8 løse ligningerne. Hensigten er t sætte fokus på t løse ligninger og reduere regneudtrk. Kolorit 8 - mtemtik grundog stte i kpitlet Funktioner og ligninger fokus på, t eleverne formliserede deres rejde og erfringer med t løse ligninger til egentlige regler for ligningsløsning. Eleverne kn trække på disse regler her smt repetere følgende forskellige regneregler: t gnge ind i en prentes (se evt. Kolorit 8 mtemtik grundog, s. 5) og t hæve plusprenteser t hæve minusprenteser (se evt. Kolorit 7 mtemtik grundog, s. 9-95) t eregne kvdrtet på toleddede størrelser (se s. 7). Ld eleverne forklre for hinnden i en klssesmtle, hvilke regneregler og regler for ligningsløsning de ruger, og hvorfor reglerne gælder. Det er vigtigt, t eleverne udvikler forståelse for reglerne. De geometriske repræsenttioner kn være en støtte i den forindelse. Vrile og ligninger euro svrer til 7,5 dnske kr. Eksemplet i rmme hndler om t ruge vrile i en ligning. 6 Brug oplsningerne i rmme, og skriv en ligning, som I kn ruge til t finde ud f, hvor meget 5 euro svrer til i dnske kroner. dnske kroner svrer til i euro. 7 Diskuter, hvorfor vrile ruges i forindelse med ligninger. Eksemplerne i rmme rummer også ligninger. Disse kn live lettere t løse, hvis I reduerer regneudtrkkene på hver side f lighedstegnet. 8 Løs ligningerne i rmme. 9 Diskuter, hvornår I kn få rug for t reduere regneudtrk. MMMMMMMMMMMMMM Vrile og reduktion MUNTLIG + 5( ) = ( + ) + = = ( + ) ( ) Indhold og mål I dette kpitel skl I rejde med t forstå lger og med t ruge lger. Målet er, t I liver edre til t ruge vrile i regneudtrk og formler. liver edre til t forenkle regneudtrk ved t reduere. får overlik over forskellige prentesregler. liver edre til t ruge ligninger og uligheder til prolemløsning i mtemtik. undersøger og udvikler regler til t løse uligheder. 878_kolorit9_7-88_.indd 7 7// 8::7 AM 6 7,5 5 = eller : 7,5 = 5. 7,5 = 7 Vi ruger vrile til t etegne de tl, vi leder efter. 8 =, = 5, =. 9 F når mn løser ligninger eller vil forenkle regneudtrk, mn skl regne videre med

3 FÆRDIGHED SIDE 7 ET MØNSTER SIDE 75 FÆRDIGHED Skriv omkredsen f figurerne på 5 Reduer udtrkkene. mindst to forskellige måder d + 5 e m + m p + 6p f + + g + 5 h + 5 i 6 + j + 5 d d 6 Amnd tænker på et tl. Hun gnger tllet med. Hun lægger til tllet. e Hun ender med. m Skriv en ligning, der viser Amnds tnker. m m Hvilket tl tænker Amnd på? 7 Anthon tænker på et tl. m m Hn lægger 5 til tllet. Hn gnger tllet med. m Hn trækker fr tllet. Hn ender med 6. Skriv et regneudtrk, du kn ruge til Skriv en ligning, der viser Anthons t eregne længden f grundlinjen i en treknt med relet m tnker. og en Hvilket tl tænker Anthon på? højde på m. 8 ( + ) = 8. Hvd er Omskriv formlen for en treknts rel, så der på venstre side f lighedstegnet står ( + )? + 6? ( + )? g d? h Omskriv formlen for relet f et trpez, så der på venstre side f lighedstegnet står h _kolorit9_7-88_.indd 7 7// 8::8 AM F = + = ( + ) F d + d + e = d + e F m + m + m + m + m + m = 5 m = m g = g = A h h = A g h = A + m = m d e m p = (m p) f + 5 = ( + 5) g + = ( + ) h i 5 j = = 7 ( + 5) = 6 = d 6 Øverst på siden er vist et figurmønster, der vokser, jo større figurnummeret liver. Eleverne skl undersøge, om/hvordn ntllet f hvide, lå, gule kvdrter smt det smlede ntl kvdrter vokser. Eleverne kn tælle på tegningen øverst, når det gælder de tre første figurnumre. Det kn være en støtte for nogle elever t fortsætte med t tegne nogle f de efterfølgende figurnumre, når de skl udflde skemet med ntllet f kvdrter i de forskellige frver. Efterhånden som eleverne hr tlt sig frem for t finde ntllet f kvdrter i de forskellige frver i figurerne, er det muligt t nå frem til ræsonnementer som f: der er ltid to lå kvdrter i hvert figurnummer der kommer et hvidt kvdrt mere på hver side, hver gng figurnummeret liver en større, dvs. to hvide kvdrter flere hver gng figurnummeret svrer til ntllet f kolonner med gule kvdrter. Hver kolonne hr et ntl gule kvdrter, der er større end figurnummeret. Eleverne kn ruge de sstemer, de opdger, til t udflde tellen for de seks første figurnumre. Når de skl udflde tellen for figur nr., er det hensigten, t de kommer frem til resultterne ved hjælp f udregninger og ikke ved t tge udgngspunkt i foregående figur. Ved figur nr. n, er det hensigten, t eleverne generliserer og udtrkker ntllene f de forskellige kvdrter med et regneudtrk, der indeholder n, ortset fr de lå kvdrter. Opgve sætter fokus på t omskrive lgeriske udtrk. Læg mærke til, t hvis de hvide rækker f kvdrter tippes og lægges på hver side f de gule kolonner i en figur, og hvert f de lå kvdrter lægges i forlængelse f hver f de hvide kvdrter, så fremkommer der et kvdrt svrende til regneudtrkket (n + ). ET MØNSTER Mønstret estår f nogle kvdrter i forskellige frver. Forestil dig, t mønstret fortsætter med t vokse. Fremstil en tel som den viste, og udfld den ved t undersøge ntllet f frvede kvdrter i hver f figurerne. Vis, t regneudtrkket for ntl kvdrter i lt svrer til regneudtrkket (n + ). Det kn være en god idé t omskrive de to regneudtrk. nr. nr. nr. Figur nr. 5 6 n Antl hvide kvdrter Antl lå kvdrter Antl gule kvdrter Antl kvdrter i lt 9 9_kolorit9_7-88_r.indd 75 5/9/ 8:: AM (n + ) = n + + n n + + n + n = n + + n 75 I kn rejde videre med kopirk : Vrile og regneudtrk kopirk : Vrile og reduktion Figur nr. 5 6 n Antl hvide kvdrter 6 8 n + Antl lå kvdrter Antl gule kvdrter n (n + ) = n + n Antl kvdrter i lt n + + n + n 8 85

4 PARENTESREGLER SIDE 76 SIDE 77 Hæve prenteser Plusprenteser kn mn hæve uden t skifte fortegn. Eksempler: 6 + (9 + ) = = + ( + d) = + + d Minusprenteser kn mn hæve, hvis mn skifter fortegnene i prentesen. Eksempler: 8 ( + ) = = ( + d) = + + d 76 PARENTESREGLER De følgende opgver skl give jer indlik i prentesreglerne øverst. Øverst til venstre kn I se regler for t hæve prenteser. Giv eksempler på regneudtrk med plusprenteser. minusprenteser. Hæv prenteserne, og forklr, hvordn I gør. + ( + ) 5 + ( + ) ( + 5) + 6 d 7 ( ) Hvilken sitution kn regneudtrkket eskrive? 5 + (5 + ) Gnge ind i prenteser Mn kn gnge ind i prenteser ved t gnge med hvert led i prentesen. d Figur : d ( + + d) = + + d = + + d Figur : d ( + d) = + d Brug figur øverst til højre til t forklre, hvorfor ( + + d) = + + d. 5 Tegn figurer, der psser til regneudtrkkene, og omskriv dem ved t gnge ind i prenteserne. ( ) 7 ( ) d ( + e + f) 6 Brug figur øverst til højre til t forklre, hvorfor ( + d) = + d 7 Omskriv regneudtrkkene ved t gnge ind i prenteserne. 8 ( + ) ( + 5) ( + 6) 878_kolorit9_7-88_.indd 76 7// 8::9 AM + ( + ) = + + = ( + ) = = + 8 ( + 5) + 6 = = + d 7 ( ) = = + 9 Bemærk, t de to opgver giver mulighed for t drøfte prentesens etdning, idet tl og regnetegn er ens i egge opgver. Regneudtrkket kn f eskrive en person med kr. Der køes noget til 5 kr., og hn får kr. f en, som hr skldt hm penge. Regneudtrkket eskriver, hvor mnge personen så hr. Eleverne skl på side 76 og 77 rejde med forskellige prentesregler. Den første rmme indeholder eksempler på regler knttet til t hæve plus- og minusprenteser. Eleverne hr i Kolorit 7 mtemtik grundog rejdet med disse regler med udgngspunkt i en konkret kontekst, nemlig indkø. Det er fgørende, t det ikke re liver en smling regler, eleverne skl lære udend, men t de udvikler forståelse for, hvorfor de enkelte regler gælder. Derfor skl eleverne i opgve forklre hinnden, hvordn de gør og i opgve finde situtioner, som regneudtrkkene kn repræsentere. Situtionen i opgve kn f være, t en kunde køer en vre til 5 kr. og en vre til kr. og etler med kr. Hvor mnge penge skl kunden hve tilge? (5 + ) udtrkker hvor meget skl jeg etle i lt, og det trækkes fr kr., (5 + ). Hvis mn tænker: Først etler jeg 5 kr. og dernæst etler jeg kr. kn det udtrkkes med regneudtrkket 5 svrende til, t (5 + ) = 5, dvs. t mn skifter fortegn, når en minusprentes hæves. Eksemplerne i den nden rmme hndler om t gnge ind i prenteser (den distriutive lov). Prentesreglen er repræsenteret med åde regneudtrk med vrile og med rektnglers reler. Rektnglerne giver eleverne mulighed for t tænke igennem en visuel repræsenttion, hvilket kn hjælpe dem til t forstå, hvorfor prentesreglen gælder. Derfor skl eleverne også i opgve 5 selv tegne figurer, der psser til regneudtrkkene. Opgve og 6 kn dnne udgngspunkt for en smtle i klssen, og eleverne kn evt. rejde med opgve 5 og 7 i små grupper. Regneudtrkket kn f eskrive en sitution, hvor der hndles vrer til 5 kr. og kr. Der etles med kr. De smlede udgifter eregnes og dernæst trækkes fr kr. og ( + + d) svrer til længderne f figurens to sider. er et udtrk for hele figurens rel., og d udtrkker relet f figurens små rektngler d + de + df I kn ruge: Kopirk En formelsmling Prentesreglen i den tredje rmme hndler om t gnge pren- Hæve prenteser Gnge ind i prenteser Plusprenteser kn mn hæve uden t Mn kn gnge ind i prenteser ved t skifte fortegn. gnge med hvert led i prentesen. Eksempler: 6 + (9 + ) = = Figur : + ( + d) = + + d ( + + d) = + + d Minusprenteser kn mn hæve, hvis teser, der indeholder flere led, med hinnden. = + + d mn skifter fortegnene i prentesen. Eksempler: Eleverne kn i opgve 8 ruge deres 8 ( + erfringer ) = = fr Figur side : 76 ( + d) = + + d med t etrgte to fktorer i et regneudtrk som de to sider ( + d) = + d i et rektngel og produktet f de to fktorer som relet f rektnglet. Træk evt. en prllel til side 7, hvor eleverne rejdede med kvdrtet på en toleddet størrelse. Også på denne side er det fgørende, t eleverne udvikler forståelse for, hvorfor prentesreglerne gælder. Elevernes viden liver på den måde mere fleksiel og prentesreglen lettere t huske smt ruge i ndre smmenhænge. Derfor skl de igen i opgve 9 selv tegne figurer, der psser til regneudtrkkene, og forklre omskrivningerne. Det er ikke så oplgt t fremstille tegninger, der psser til regneudtrkkene i opgve, d sutrktion indgår. Hensigten er, t eleverne ruger prentesreglerne til t omskrive regneudtrkkene. I den fjerde rmme rejder eleverne med to tls sum gnge de smme to tls differens. Tl evt. med eleverne om, hvd ordene sum (resulttet i forindelse med ddition) og differens etder (resulttet i forindelse med sutrktion). Brug evt. kopirk til opgve. I kn rejde videre med kopirk : Regneudtrk og figurer kopirk : Omskriv regneudtrk med vrile 6 og ( + d) svrer til den røde figurs to sidelængder, og ( + d) svrer til relet f den røde figur. + svrer til relet f hele figuren; d skl trækkes fr for t få relet f den røde del = ( + )( + d) = + d + + d Flere led gnge flere led ( + ) ( + d) =? 8 Brug tegningen øverst til venstre til t udvikle en regel for, hvordn I kn omskrive ( + ) ( + d). 9 Tegn og forklr, hvordn I kn omskrive regneudtrkkene. d ( + )( + ) ( + 8)( + ) ( + ) d ( + ) e ( + ) Undersøg ved hjælp f omskrivninger, om udsgnene er snde. Forklr jeres resultt. ( + ) = ( ) ( ) = ( ) d To tls sum gnge de smme to tls differens ( + ) ( ) =? Brug tegningerne øverst til højre og evt. kopirk til t forklre, hvorfor ( + )( ) =. Undersøg, hvilke prentesregler der står i en formelsmling. 878_kolorit9_7-88_.indd 77 7// 8:: AM 9 ( + )( + ) = = 96 d e Sndt. Sndt. Arelet f de to grønne rektngler i lt kn findes ved ( + )( - ). Det lille rektngel med relet ( ) kn skæres f og lægges under det grønne område. Herved ses, t ( + )( ) =

5 SAMMENHÆNGE MELLEM TAL SIDE 78 SIDE 79 FÆRDIGHEDER t t 9 t t + t t + t t t t t 9 t t t t + SAMMENHÆNGE MELLEM TAL Til venstre er vist to eksempler på kvdrter med tl fr en tlplde se kopirk. For hvert kvdrt skl du eregne summen f de grønne tl og summen f de lå tl. differensen mellem de grønne tl og differensen mellem de lå tl. produktet f de grønne tl og produktet f de lå tl. Undersøg på smme måde ndre kvdrter på tlplden fr kopirk. Hvd opdger du? Du kn ruge vrile til t generlisere dine resultter fr opgve og. På kvdrtet til venstre kldes tllet i midten for t. Tegn kvdrtet, og udfld de tomme felter. Beregn summen f de grønne tl og summen f de lå tl. differensen mellem de grønne tl og differensen mellem de lå tl. produktet f de grønne tl og produktet f de lå tl. 5 Smmenlign dine resultter i opgve med dine resultter i opgve og. Hvd hr du fundet ud f? 878_kolorit9_7-88_.indd 78 7// 8:: AM Summen f de grønne tl og summen f de lå tl er 8 i det første kvdrt og 5 i det ndet kvdrt, dvs. det doelte f tllet i midten. Differensen mellem de grønne tl er i egge kvdrter, og differensen mellem de lå tl er 8 i egge kvdrter. Produktet f de grønne tl er 6 i første kvdrt og 55 i ndet kvdrt. Produktet f de lå tl er 8 i første kvdrt og 5 i ndet kvdrt. I hvert kvdrt er summen f de grønne tl lig med summen f de lå tl. differensen mellem grønne tl er. differensen mellem lå tl 8. differensen mellem produktet f de lå tl og produktet f de grønne tl 9. I kn ruge: Kopirk Opgverne på siden tger udgngspunkt i kvdrter på en tlplde. På hele siden skl eleverne eregne summen f, differensen mellem smt produktet f hhv. de grønne og de lå tl og på den ggrund undersøge, hvilke smmenhænge der dukker op. I opgve er udgngspunktet de to kvdrter, der er vist i ogen. I opgve vælger eleverne selv nogle kvdrter fr tlplden på kopirk, som de vil undersøge. Opgve og hndler om t generlisere de opdgelser, eleverne hr gjort sig i opgve og og med regneudtrk med vrilen t evise opdgelserne. Arejdet med siden giver derfor eleverne mulighed for t strke deres ræsonnementskompetene. De får mulighed for t lære t skelne mellem enkelttilfælde og generliseringer smt for t udvikle mtemtiske ræsonnementer. Smtidig kn eleverne øve sig på t ruge prentesregler, når de i opgve skl eregne produktet f hhv. de grønne og de lå tl. Ld eleverne rejde smmen om opgverne i små grupper. Arejdet med siden kn evt. fortsættes med, t eleverne frver nogle ndre end de grønne og lå tl i et kvdrt og undersøge, om de kn finde ndre smmenhænge i et sådnt kvdrt. De kn også indrmme ndet end kvdrter, f rektngler, og undersøge, hvilke smmenhænge de kn finde. I kn rejde videre med: kopirk : Tl og vrile kopirk 5: Smmenhænge mellem tl t 9 t + t + t t t + t t t + 9 (t + ) + (t ) = t. (t + 9)(t 9) = t. (t + ) (t ) =. (t + 9) (t 9) = 8. (t + )(t ) = t. (t + 9)(t 9) = t 8. = = e og = d = f d 9 9 ( ) 8 ( ) + + d = 6( + + ) e + f + g z + 5z + z h Sndt Sndt Flsk d Sndt e Sndt f Sndt d + 5 e + + f + g 9 h 9 7 n + 5n n d n e n + f n 8 = A = 5 9 FÆRDIGHED Hvilke udtrk hr smme værdi? 6 Reduer regneudtrkkene. ( + 8) d + 8 ( + ) 8 + e (8 + ) ( + )( + ) + f ( + ) ( + )(5 + ) d ( )( + ) Hæv prenteserne, og reduer regneudtrkkene. f ( ) e ( + ) g ( + )( ) + + ( + ) h ( + )( ) 6 + ( + ) + + ( ) 7 Hvilket f regneudtrkkene d ( + ) + n + n + n 5n er størst, hvis Beregn værdien f regneudtrkkene i opgve, når n =? d n =? n =? e n = = og =? n = 5? f n =? = og = 8 Beregn Gng ind i prenteserne, og reduer regneudtrkkene. værdien f. rektnglets rel. ( + ) 7( ) ( + ) d ( + + ) + ( + + ) Omkreds: 5 e ( + ) f ( + ) + Omkreds: 5 g z ( ) z h ( + ) + 9 Beregn rektnglets + 5 Sndt eller flsk? længde. 5( + 7) = 5 ( + 7) redde. ( + ) = ( + ) rel. ( + ) = ( + ) d ( + ) = ( + + ) Omkreds: e + = ( + ) ( ) f + 6 = ( + ) Omkreds: ( ) ( ) ( ) _kolorit9_7-88_.indd 79 7// 8:: AM

6 LIGNINGER OG ULIGHEDER SIDE 8 SIDE 8 = og = 5 + = = På en internetfé koster det kr. om måneden t være medlem. Derudover koster det 5 kr. pr. time t ruge internettet. Mn kn også ruge internettet for kr. i timen, hvis mn ikke er medlem. Forklr, hvordn priserne på internetféen er overst til ligninger og teller øverst til venstre. Forklr, hvilken smmenhæng der er mellem de rette linjer og ligningerne øverst. Undersøg, hvor mnge timer I skl ruge internettet om måneden, for t det edst kn etle sig t være medlem. LIGNINGER OG ULIGHEDER = Forklr, hvd skæringspunktet mellem de rette linjer fortæller om priserne på internetféen. 5 Forklr, hvorfor I kn finde skæringspunktets værdi ved t løse ligningen = Løs ligningen ved t flæse på de rette linjer. eregne. 7 Find skæringspunktets værdi ved t flæse på grferne. eregne. 878_kolorit9_7-88_.indd 8 7// 8::5 AM = svrer til prisen for t ruge internettet, hvis mn ikke er medlem. Det koster kr. i timen, og er ntl timer. = 5 + svrer til t ruge internettet som medlem. Det koster kr. t være medlem om måneden og 5 kr. pr. time t ruge internettet. er ntl timer. Den lå grf svrer til =. Den skærer -ksen i (, ), d det ikke koster noget, hvis internettet ikke ruges. Hældningstllet er. Den røde grf svrer til = 5 +. Den skærer -ksen i (, ), d det koster kr., unset om internettet ruges. Hældningstllet er 5. Over 6 timer. Det kn flæses i tellen, på grfen eller eregnes ved t løse ligningen over grferne. Side 8 og 8 hr fokus på ligninger og uligheder med udgngspunkt i prisen for t ruge internettet på en internetfe. På side 8 er omdrejningspunktet ligninger, mens det er uligheder på side 8. Øverst på side 8 er prisen for t ruge internettet på en internetfe med/uden medlemsk repræsenteret på tre forskellige måder, nemlig med en ligning, en tel og en grf. Eleverne skl rejde med smmenhængen mellem repræsenttionerne, og hvordn priserne på internetfeen er overst til disse repræsenttioner. Vi foreslår, t opgve og er udgngspunktet for en klssesmtle, og t eleverne efterfølgende rejde med opgve i små grupper. Ld eleverne selv vælge, hvordn de vil løse opgve. Det kn f være ved t sætte forskellige tl ind i ligningerne øverste, t flæse tellen eller opskrive regneudtrk ud fr den sproglige eskrivelse f situtionen. Opgve -7 kntter sig til grferne i rmme øverst på siden. Vi foreslår, t opgve og 5 indgår i en klssesmtle, og t eleverne efterfølgende i små grupper rejder med opgve 6 og 7. Det entrle fglige indhold her er, t ligningen åde kn løses ved t omskrive ligningen og isolere og ved t flæse skæringspunktet på grferne. I forindelse med en fælles opsmling kn eleverne udfordres derligere med spørgsmål som: Hvordn vil den røde grf ændre sig, hvis prisen for medlemsk liver drere? Hvd vil det etde for skæringspunktet mellem de to grfer? Hvordn ændrer grferne sig, hvis prisen pr. time liver drere? Billigere? Skæringspunktet fortæller, hvor mnge timer mn skl ruge internettet, for t prisen er det smme unset, om mn er medlem eller ej. 5 I skæringspunktet hr de to oprindelige ligninger smme - og -værdi. Ved t løse ligningen finder vi ud f, hvornår de to oprindelige ligninger hr smme - værdi. 6 = 6 = 6 7 = 8 = 8 Konteksten for opgverne på denne side er fortst priser for t ruge internettet på en internetfe. Grferne i de to koordintsstemer øverst på siden svrer til grferne øverst på side 8, men her er omdrejningspunktet uligheder. Eleverne kender ulighedstegnet fr ndre smmenhænge, hvor det er levet rugt til t eskrive, t et tl er større/mindre end et ndet tl, men det er første gng eleverne ser ulighedstegnet nvendt i forindelse med regneudtrk på egge sider f ulighedstegnet. Her hndler det om t kunne oversætte mellem en konkret kontekst og uligheden. Bemærk, t de åne og lukkede irkler smt linjestkket under koordintsstemet repræsenterer løsningen på ulighederne. Vi foreslår, t opgve 8- indgår i en fælles smtle i klssen, og t eleverne efterfølgende rejder med opgve og i små grupper. Det er hensigten, t eleverne i opgve ruger grferne fr opgve til t løse uligheden. Bemærk, t eleverne skl udvikle regler for t løse uligheder på side Uligheden til venstre eskriver, hvor mnge timer mn skl ruge internettet, for t prisen for t være medlem er større end prisen for ikke t være medlem. Uligheden til højre eskriver, hvor mnge timer mn skl ruge internettet, for t prisen for t være medlem er mindre eller lig med prisen for ikke t være medlem. 9 Hvis mn ruger internettet 6 timer om måneden, er prisen den smme. Hvis mn ruger internettet mindre end 6 timer om måneden, kn det edst etle sig ikke t være medlem. Hvis mn ruger internettet mere end 6 timer om måneden, kn det edst etle sig t være medlem. Den lukkede irkel etder, t intervllet er lukket, og tllet skl regnes med. Den åne irkel etder, t tllet ikke skl regnes med. Den lukkede irkel etder, t 6 skl regnes med. skl være større end eller lig med 6. = 5 + < Ligesom I kn ruge ligninger til t løse forskellige prolemstillinger i mtemtik, kn I også ruge uligheder til t eskrive forskellige prolemstillinger. I ligninger indgår der et lighedstegn, og i uligheder indgår der et ulighedstegn. 8 Diskuter, hvilke prolemstillinger de to uligheder øverst eskriver i for indelse med priserne på inter - net féen. 9 Løs ulighederne ved t ruge de rette linjer, og forklr, hvd jeres result ter fortæller om priserne på internet féen. Løsningen til uligheden øverst til venstre er et hlvåent intervl. Forklr, hvd den åne og den lukkede irkel etder Forklr, hvordn løsningen til uligheden øverst til højre er vist i koordintsstemet. Løs ligningen + = + 7 ved t tegne de to rette linjer = + og = + 7. eregning. Løs uligheden + < _kolorit9_7-88_r.indd 8 7/7/5 6: = <

7 I FITNESSCENTER SIDE 8 LØS LIGNINGER GRAFISK SIDE 8 I FITNESSCENTER I kn ruge: Et funktionsprogrm I kn ruge: Et funktionsprogrm LØS LIGNINGER GRAFISK FITNESSCENTER PRISER: Kontnt etling uden medlemsk: dg: 75 kr. måned: 5 kr. Medlemsk: Strtger: 5 kr. Månedligt elø: kr. 8 Til venstre er vist forskellige priser for t entte et fitnessenter. Ktrine er ikke medlem f fitnessentret og etler kontnt pr. dg, hun træner. Skriv en ligning for den rette linje, der viser smmenhængen mellem prisen i kr. () og ntl dge, Ktrine er i fitnessentret (). Tegn i et koordintsstem den rette linje, der eskriver smmenhængen mellem pris og ntl dge, Ktrine træner. Skriv en ligning, der eskriver, hvor mnge gnge mn skl træne om måneden for, t det er lige drt t etle pr. måned og pr. dg. Løs ligningen ved t tegne rette linjer og ved eregning. Brug evt. et funktionsprogrm. Hvor mnge gnge skl Ktrine træne om måneden, for t det edst kn etle sig med kontnt etling hver træningsdg? hver måned? 5 Skriv en ulighed, der eskriver, hvornår det edst kn etle sig med kontnt etling hver træningsdg. hver måned. 6 Ktrine overvejer t live medlem f fitnessentret. Forklr, hvd ligningen = + 5 eskriver om priserne i fitnessentret. Tegn den rette linje = + 5. Hvor meget skl Ktrine træne for, t det kn etle sig for hende t live medlem? Hvorfor? 878_kolorit9_7-88_.indd 8 7// 8::9 AM = = = 6 Mindre end 6 gnge. Mere end 6 gnge < 5 75 > Det fglige indhold i opgverne er prllelt til det fglige indhold på side 8 og 8. Her hndler det lot om priser i et fitnessenter frem for priser på en internetfe. Opgve tger udgngspunkt i de priser, der er knttet til etling uden medlemsk, og eleverne skl skrive en ligning og tegne en ret linje, der eskriver smmenhængen mellem prisen og ntl dge, Ktrine træner. I opgve skl eleverne skrive en ligning, som de løser i opgve åde grfisk og ved eregning. Eleverne kn her med fordel ruge et funktionsprogrm til grfisk ligningsløsning. Opgve og 5 hænger smmen. I opgve skl eleverne løse prolemstillingen, mens de i opgve 5 skriver den ulighed, der er knttet til prolemstillingen. Her er fokus på t oversætte den konkrete sitution til en ulighed. Eleverne kn tge udgngspunkt i den ligning, de skrev i opgve. I opgve 6 skl eleverne oversætte den nden vej. Her får de givet en ligning og skl oversætte den til priserne i et fitnessenter. Opgve 6 kn eleverne åde løse ved t sætte tl ind på s plds, men også ved t skrive og løse en ulighed. I kn rejde videre med: kopirk 6: Feriejo 6 5 kr. etles i strtger og kr. om måneden. er ntl måneder, så ligningen eskriver prisen for ntl måneder < 5 >,6. Hvis Ktrine træner to måneder er det illigst for hende t være medlem. Den fglige kerne er på denne side grfisk ligningsløsning. Opgverne er ikke knttet til nogen kontekst, men opgverne liver i mtemtikkens verden og entrerer sig om ligninger for og grfiske fildninger f rette linjer og prler. I opgve kn eleverne finde løsningen på ligningen ved t flæse skæringspunkterne mellem den rette linje og prlen. I opgve - skl eleverne selv tegne kurverne. Eleverne kn med fordel ruge et funktionsprogrm til deres undersøgelser. Nogle elever kn hve rug for støtte til t se, t regneudtrkkene på hver side f lighedstegnet kn etrgtes som ligninger for kurver. Vend evt. tilge til side 8 og eksemplet med internetfeen. I opgve 5 skl eleverne ruge deres erfringer fr opgve - og give eksempler på ligninger, der opflder de givne krv. Eleverne kn f tegne to kurver, der hr netop et skæringspunkt (5), to skæringspunkter (5) og ingen skæringspunkter (5) og ruge kurvernes ligninger til t opskrive de ligninger, som giver løsningerne, jf. de givne krv. Eleverne kn evt. prøve t løse hinndens ligninger. I kn rejde videre med: kopirk 7: Løs ligninger grfisk () kopirk 8: Løs ligninger grfisk () = og = = og = = og = Den rette linje = + 8 og prlen = er tegnet til højre. Brug kurverne til t finde egge løsninger til + 8 =. Løs ligningerne ved t tegne kurver i et funktionsprogrm. + 5 = = 6 = Undersøg, om der er en løsning til ligningen + 8 = ( ). Forklr, hvd du finder ud f. Undersøg, om der er én, flere eller ingen løsninger til ligningerne. = + + = = + d + = + 5 Skriv et eksempel på en ligning, der hr netop én løsning. to løsninger. ingen løsninger _kolorit9_7-88_.indd 8 7// 8:: AM = og = Nej, der er ingen løsning til ligningen. Der er én løsning, =. Der er ingen løsninger. Der er to løsninger, =,5 og =. d Der er ingen løsninger. 5 F + 5 = + 9 = + =

8 LIGNINGER OG ULIGHEDER - REGNEREGLER SIDE 8 SIDE 85 Løs ligninger + = 8 + = 8 Hvilket tl skl jeg lægge til for t få 8? 8 = 6 Det er 6 = 6 Hvilket tl skl jeg gnge med for t få 6? Forklr eksemplet øverst til venstre, og løs ligningen + = 8. I hr tidligere undersøgt, hvilke regler der gælder for løsning f ligninger. Løs ligningerne, og diskutér, om I ruger nogle f reglerne øverst til højre = + 8 = + 5 = 6 7 d ( + ) = + e = ( + 8) Diskuter ud fr eksemplet øverst til venstre, hvorfor mn ikke må gnge med på egge sider f lighedstegnet, når mn løser ligninger. LIGNINGER OG ULIGHEDER REGNEREGLER Regneregler Mn kn trække det smme tl fr på egge sider f lighedstegnet. Mn kn lægge det smme tl til på egge sider f lighedstegnet. Mn kn gnge med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. Mn kn dividere med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. I hvilke ligninger er = 5 løsning? + 8 = + = + + = 6 d + = + Ligningen + = 8 kldes en førstegrdsligning. Ligningen + = 8 kldes en ndengrdsligning, fordi står i nden potens. 5 Hvilke to løsninger hr ndengrdsligningen + = 8? 6 Løs ndengrdsligningerne. = 5 = 7 = + 878_kolorit9_7-88_r.indd 8 7/7/ :: PM = = 7 = = = og 5 = 5 og = 5 6 = 5 og = 5 = 6 og = 6 = og = Eleverne hr i Kolorit 8 mtemtik grundog rejdet med t udvikle regneregler for løsning f ligninger. De to rmmer øverst på side 8 viser dels en måde t løse ligninger på, som eleverne hr set før, og dels en oversigt over de regneregler, som opgverne i Kolorit 8 mtemtik grundog dnnede ggrund for, t eleverne kunne udvikle. Opgve og hr til hensigt t repetere dette. Ld eleverne forklre for hinnden, hvordn de løser ligningerne, og hvorfor deres fremgngsmåde er holdr. Vær opmærksom på det fælles sprogrug, som udvikler sig i klssen. I forindelse med opgve kn det være svært t forstå, hvd der sker, hvis en forklring f er: når jeg fltter 8 over på den nden side f lighedstegnet, liver det til minus 8. At sige jeg trækker 8 fr på egge side f lighedstegnet er tdeligere knttet til en forståelse, f, t lighedstegnet etder, t regneudtrkkene på egge sider f lighedstegnet skl hve smme værdi (der skl være ligevægt). Vi skl derfor ændre det smme på egge sider f lighedstegnet, hvis regneudtrkkene stdig skl hve smme værdi. I opgve skl eleverne undersøge, hvilke ligninger = 5 er en løsning til. Bemærk, t der sgtens kn være elever, som kn løse ligninger, men som går i stå, når de skl undersøge, om en estemt værdi er løsning til en ligning, lige som det omvendte også kn være tilfældet. Det er derfor vigtigt, t eleverne åde rejder med t løse ligninger og t undersøge, om estemte værdier er løsninger til ligninger. I opgve kn eleverne åde undersøge, om = 5 er en løsning ved grfisk ligningsløsning og ved t sætte 5 ind på s plds. I opgve 5 og 6 rejder eleverne med ndengrdsligninger. Det er ikke meningen, t de skl rejde med diskriminnten og formlen for t finde rødder i et ndengrdspolnomium. Hensigten er, t eleverne isolerer på den ene side f lighedstegnet og dernæst finder to løsninger. (Både 5 og ( 5) giver 5). Side 85 hr fokus på uligheder. Opgve 7 og 8 er knttet til rmmen øverst til venstre på siden. Bemærk, t de to nederste lighedstegn kn skrives enten på denne måde og eller på denne måde q og Q. Regneregler Mn kn trække det smme tl fr på egge sider f lighedstegnet. Mn kn lægge det smme tl til på egge sider f lighedstegnet. Mn kn gnge med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. Mn kn dividere med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. Opgve 9 hndler om t forstå, hvd en ulighed er og t undersøge, om de sv tl gør udsgnene snde. Her gør det smme sig gældende som ved ligninger. Der kn godt være elever, der kn løse uligheder, men går i stå, når de skl undersøge, om estemte værdier er løsninger til uligheden, lige som det modstte kn forekomme. Derfor er det vigtigt, t eleverne får erfringer med egge dele. I opgve skl eleverne undersøge, om der gælder de smme regler for løsning f uligheder som for løsning f ligninger. I opgve vil eleverne erfre, t de kn ruge de smme regler. Rmmen øverst til højre på siden og opgve og hr til hensigt, t eleverne indser, t reglerne for t gnge og dividere knttet til ligningsløsning ikke gælder i forindelse med uligheder, hvis der er tle om negtive tl. I den forindelse skl ulighedstegnet vendes om. Eleverne kn rejde med opgve 9, og i grupper, men vi nefler, t opgve 7-8 smt - indgår i en klssesmtle, hvor læreren spiller en entrl rolle. Ulighedstegn En ulighed kn være to regneudtrk eller tl med et ulighedstegn imellem, f 8 + <. Ulighedstegn: < > 7 Forklr, hvd uligheden øverst til venstre etder, og løs den. 8 Forklr, hvd de fire ulighedstegn etder, og skriv et eksempel på en ulighed med hvert f ulighedstegnene. 9 Hvilke f tllene,,,, 5, 6, 7 gør udsgnet sndt? + > < + > 8 + d ( + ) > Løs ulighederne, og undersøg, om I kn ruge de smme regler, som når I løser ligninger. + 7 > e > 8 + < f > 5 + g > 9 d + h < 8 Løs uligheder + > 8 + > 8 Hvilket tl skl jeg lægge til for t få et tl, der er større end 8? Forklr eksemplet øverst til højre. Løs uligheden + > 8. Diskutér, hvorfor resulttet er < og ikke >. Diskuter, hvd løsningen til 5 < er. I kn løse uligheder på næsten smme måde, som I løser ligninger. Hvis I gnger eller dividerer med negtive tl, når I løser uligheder, skl ulighedstegnet vendes om. Løs uligheden øverst til højre ved hjælp f reglerne for løsning f uligheder. Forklr, hvd I gør. Løs ulighederne, og forklr, hvilke regler I ruger. > 7 6 < 6 < d 8 9 e 5 < 9 > 6 Det er et tl, der er større end 6 > 6 Hvilket tl skl jeg gnge med for t få et tl, der er større end 6? 8_kolorit9_7-88_r.indd 85 7/7/5 6:58 9 6, 7,,, 5, 6, 7,,,, 5, 6, 7 d,, > < d e > f 9 g < 7 eller > 7 h > 9 eller < 9 < > 85 Eleverne kn f rejde i små grupper med opgverne efterfulgt f en opsmlende fælles smtle i klssen. 8 Hvilke tl kn vi lægge til 8 og få en sum, der er mindre end? <. <: mindre end. >: større end. : mindre end eller lig med. : større end eller lig med. < < 8 > 7 > 9 95

9 FÆRDIGHED SIDE 86 SIDE 87 FÆRDIGHEDER FÆRDIGHED Løs ligningerne. 7 Tegn hver figur herunder. 8 + = Beregn summen f to tl ved 7 = 6 siden f hinnden, og skriv resulttet i rækken under. 5 + = 6 Beregn værdien f. d 8 = 5 e,5 + = 7 Eksempel: f 7 : =,7 g : =, = 8 + = 8 Løs ligningerne. = ( + ) = 7 9 ( + ) = 7 + ( ) + = d ( ) 5( ) = 8 Beregn to løsninger til ligningerne. = 8 = ( + 5) ( + ) = 6 8 d ( + )( ) = e ( + )( ) + = f 5 = + 8 I hvilke ligninger er = 5 en løsning? + = ( + ) + = = d + 7 = Skriv mindst to ligninger, hvor = er løsning. d Skriv en ligning, der kn ruges til t eregne sidelængden i et kvdrt, 5 + hvor omkredsen er m _kolorit9_7-88_.indd 86 7// 8::5 AM = = 5 = d = 6 e = 6 f = g = = = = d = =, = =, = = 6, = d =, = e =, = f = 5, = 5 og 5 F + 5 = + 8 = = 7 = > < 8 < d < e > 5 f <,5 g > 6 h < 6 i > eller < 9 (, ) > Løs ulighederne. Brug de rette linjer fr opgve, og løs ulighederne. + 5 > 8 > > + 5 > 6 < + d < 8 + > e 5 < 5 d < + f 5 < g > 6 En kue skl kunne rumme mindst h < m. i > Opstil en ulighed, du kn ruge til t eregne kuens sidelængde. 9 I koordintsstemet er to rette Hvor stor skl linjer med ligningerne sidelængden være? = og = + tegnet. En linder hr en grundflde med relet m og skl kunne rumme 5 mindst 6 m. Opstil en ulighed, du kn ruge til t eregne linderens højde. Hvor stor skl højden være? V = G h h V: rumfng h: højde G: rel f r grundflde Brug de to rette linjer til t løse ligningen = + Løs uligheden > + Ktrine tjener 5 kr. om måneden. En måned regner hun med t ruge Tegn tre rette linjer i et koordintsstem med ligningerne. kr. til f tøj og telefon. Opstil en ulighed, der udtrkker, = hvor mnge iogrfture det højst V = G h = + kn live til for resten f pengene, = hvis en iogrfillet koster 75 kr. h V: rumfng Løs uligheden. h: højde G: rel f r grundflde _kolorit9_7-88_.indd 87 7// 8::6 AM = + = > < < d < Q m Q m skl vi rette ulighedstegnene til dem, der er i. udgve? Hvd skl jeg gøre? Jnne d = h Q 6 m h Q 8 m 75 q 5 q 6 I kn rejde videre med: kopirk 9: Ligninger og uligheder I kn rejde videre med: kopirk 9: Ligninger og uligheder kopirk 5: En kugle og en linder 96 97

10