b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion Potensfunktioner

Transkript

1 POTENSFUNKTIONER 0

2 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt reelt tl d må vi forlnge t > 0 (se side 4 midt). For t dnne os et overblik over disse funktioners grfer ser vi først på funktioner med forskriften f( )= dvs. hvor b =. I figur er tegnet grferne for nogle udvlgte (og kendte) funktioner f denne tpe: = = = 05 = =. =. = = Figur Ud fr figur konkluderer vi følgende om potensfunktioners monotoniforhold ) f( )= er voksende når > 0 ) f( )= er ftgende når < 0 3) f( )= er konstnt lig med når = 0 Monotoniforholdene for en funktion med forskriften f( )= b bestemmes ud fr på smme måde idet vi jo blot gnger med den positive konstnt b.

3 0. Potensfunktioner 493 ØVELSE I denne øvelse betrgter vi potensfunktionerne f( )= hvor > 0 og. ) Forklr de enkelte trin i denne omskrivning: e = ln( ) = e ln( ). b) Bent omskrivningen til t forklre t potensfunktionen hr de monotoniforhold der er beskrevet på side 49. EKSEMPEL 5 Vi løser ligningen = på denne måde: 5 = 5 = 6 5 = 6 = 430 Ligningen 3 8 = ser lidt nderledes ud men den kn omskrives til en ligning f smme tpe som den netop betrgtede: 3 = 8 8 = 06 = = 4 = hr opskrevet ligningen hr divideret begge. sider med hr tget den 5 te rod på begge sider hr opskrevet ligningen hr divideret på begge sider med 3 hr på venstre side. udnttet potensreglen n n m = m hr tget den 06 te rod på begge sider ØVELSE Løs ligningerne ) = 9 c) 4 = 4 e) 3 = 768 b) 4 4 = 8 d) 84 = 6 f) 4 = 0 075

4 Potensfunktioner EKSEMPEL Vi vil nu løse uligheden 4 > 5 hvor > 0. Betrgter vi udtrkket på venstre side f ulighedstegnet som en funktion f( ) = 4 ser vi t denne er voksende d = > 0. Hvis ligningen 4 = 5 hr løsningen 0 må uligheden derfor hve løsningen L = 0 ;. Vi løser ltså ligningen: 4 = 5 = 5 = 5 = 044 D er L = ] 044; [. hr opskrevet ligningen hr divideret med 4 på begge sider hr tget den te rod på begge sider ØVELSE 3 Idet > 0 skl du løse ulighederne: 4 ) 3 5 > 9 c) 4 > 8 3 b) 4 < 0 d) 30 < 45 EKSEMPEL 3 0For 4 > 050kn 06 uligheden 0 > omskrives således: 0 > > > 0 Ligningen 3 = 5 hr løsningen = 3 5 = og d 3 er ftgende (hvorfor?) hr den sidste ulighed (og dermed den oprindelige ulighed) løsningsmængden L = ] ; [. I dette tilfælde er den oprindelige ulighed også defineret for <0 (hvorfor?) så løsningsmængden kn udvides til L = ] ; 0[ ] 0; [. hr opskrevet uligheden hr divideret på begge sider med 0 06 hr på venstre side udnttet potensreglen n n m = m

5 0. Potensfunktioner 495 ØVELSE 4 Løs ulighederne ) 0 4 < 0 b) 5 > Følgende sætning viser hvordn vi ud fr kendskbet til to punkter på grfen for en potensfunktion kn bestemme denne funktions forskrift. Vi hr tidligere set noget lignende for både lineære og eksponentielle funktioner. SÆTNING Hvis grfen for en potensfunktion f( )= b går gennem de to punkter ( ) og ( ) kn konstnterne og b bestemmes ved ln = og b = = ln BEVIS D punkterne ( ) og ( ) ligger på grfen for f( )= b psser deres koordinter ind i ligningen dvs. = b og = b Divideres med fås b b = = hr divideret de to ligninger med hinnden hr forkortet b ud. på venstre side = hr benttet. potensreglen n = n b b n

6 Potensfunktioner ln = ln ln = ln hr nvendt ln på begge sider og udnttet reglen ln( ) = ln( ) hr divideret med. ln på begge sider Af ligningen b = fås umiddelbrt t b = =. D = giver = f() = b = b = b går grfen for en potensfunktion gennem punktet ( b ). hr divideret med på begge sider og nvendt potensregler = n n EKSEMPEL 4 Grfen for potensfunktionen f( )= b går gennem ( 43 ) og ( 9 08 ) så ln = ln Vi hr ltså t f( ) = = 5 og b = = ØVELSE 5 Bestem forskriften for potensfunktionen hvis grf går gennem de ngivne punkter: ) ( ) og ( 464 ) c) ( 40 ) og ( 930 ) b) ( 5; 004 ) og ( 54; 0 06 ) d) ( 506 ; ) og ( 0; 004 ) EKSEMPEL 5 Ld der være givet potensfunktionen = f( ) = 0 5. Punktet ( ) = ( 480 ) ligger på grfen for f. Hvis vi gør 5% større får vi -værdien = 5 = 4 5 = Den tilhørende -værdi er d = 0 46 = Vi kn derfor beregne t -værdien er vokset med:

7 0. Potensfunktioner = 0 33 = 3 3% 80 Denne procentvise vækst f -værdien kn vi også finde på følgende måde. Hvis vokser med 5% finder vi ved t gnge med fremskrivningsfktoren+ 0 5 : = ( + 0 5). Dermed er = 0 5 = 0 ( ( + 0 5)) = 0 ( + 0 5) = ( + 0 5) 5 = 33 Herf flæses t fremskrivningsfktoren for er 33 = Altså vokser med 33%. hr benttet efter-før før fr kpitel hr indst ( ) = 0 5 i hr indst = ( + 0 5) hr benttet potensregel 4 sætning 3 kpitel hr indst = 0 hr reduceret 5 Resulttet f vores overvejelser kn udtrkkes i følgende sætning. SÆTNING Om potensfunktionen = f( ) = b gælder der t hvis øges med procentstsen r d øges med procentstsen r og der gælder følgende smmenhæng: + r = ( + r ) der kn omskrives til: r = ( + r ) + r = + r der kn omskrives til: r = + r Her skl procentstserne r og r skrives som decimltl. Den første ligning fremgår f eksempel 5 og den nden ligning fås ved t tge den te rod på hver side f den første ligning.

8 Potensfunktioner EKSEMPEL 6 Ld = f( ) = 5 3. Hvis vokser med 8% er r = 08 og vi hr 3 r = ( + 0 8) = Altså vokser med 7643%. hr indst i r = ( + r ) Hvis vi ved t er vokset med 50% kn vi finde med hvor mnge procent d er vokset: 3 r = = 0 98 Altså er vokset med 98%. hr indst i r = + r ØVELSE 6 Vi betrgter funktionen = f( ) = 0 6. ) Med hvor mnge procent øges når øges med 0%? b) Med hvor mnge procent skl øges så øges med 40%? ØVELSE 7 ) Med hvor mnge procent forøges funktionen f( ) = 00 hvis forøges med 0%? b) Med hvor mnge procent ftger f( ) med hvis ftger med 0%? ØVELSE 8 Et trfikselskb hr erfret t hvis betegner billetprisen i kr. d kn det dglige pssgertl bestemmes ved funktionen f( ) = ) Hvis billetprisen er 0 kr. hvor stort er det dglige pssgertl d? Hvor stor er den dglige omsætning? b) Bestem den billetpris der ifølge funktionen giver 400 pssgerer.

9 0. Potensfunktioner 499 c) Hvor mnge procent flder pssgertllet med hvis billetprisen vokser med 0%? d) Opstil udtrk for den dglige billetindtægt før og efter prisstigningen. e) Med hvor mnge procent øges den dglige billetindtægt ved prisstigningen. ØVELSE 9 Om en potensfunktion f( )= b vides det t hvis forøges med 5% d forøges f( ) med 0%. Bestem. Grf for potensfunktion i dobbeltlogritmisk koordintsstem Vi hr tidligere i kpitel 7 set et enkeltlogritmisk koordintsstem hvor -ksen er logritmisk inddelt. Hvis vi også inddeler -ksen på denne måde får vi et dobbeltlogritmisk koordintsstem se figur 3. Det viser sig t de eneste funktioner hvis grfer er rette linier i et dobbeltlogritmisk koordintsstem er potensfunktionerne. Vi vil ikke bevise dette men blot henvise til øvelserne 0 og. ØVELSE 0 Ld = f( ) = 5. ) Udfld ved hjælp f TI-84 følgende tbel: log( ) log( )

10 Potensfunktioner b) Afsæt i et lmindeligt koordintsstem punkterne (log( )log( )). Hvd får du hvis du forbinder de 7 punkter? I den næste øvelse skl du vise t for potensfunktioner = b er der ltid en lineær smmenhæng mellem log( ) og log( ). ØVELSE Ld = b. ) Forklr t ligningen = b kn skrives som log( ) = log( b) + log( ) idet du bentter logritmeregnereglerne i sætning 8 kpitel 6. b) Forklr t hvis vi ud d -ksen fsætter log( ) og ud d -ksen fsætter log( ) d fremkommer en ret linie hvis hældning er. Grfen er tegnet i figur. log() = log(b) Figur 0 = log() log() c) Forklr t når = d er log( ) = log( b) og smmenhold dette med figur. Vi kn udntte denne egenskb til dels t bestemme forskriften ved grfisk flæsning og dels t fgøre om et givet tlmterile følger en potensudvikling. Det sidste klder vi for potens regression. De to næste eksempler beskæftiger sig med dette.

11 0. Potensfunktioner 50 EKSEMPEL 7 Vi skl i dette eksempel se t vi ud fr en potensfunktions grf i dobbeltlogritmisk koordintsstem kn flæse funktionens forskrift. I figur 3 hr vi fst de to punkter ( ) = ( 538 ) og ( ) = ( ) og den rette linie der går igennem punkterne er også tegnet. På figuren er det vist hvordn metoden fr øvelse 0 giver os mulighed for på en let måde t bestemme forskriften på den potensfunktion hvis grf vi hr tegnet. Vi får d: = f( ) = = =4 cm = = 4 0 = 4 =30 =0 cm 0 b=4 =4 0 = 00 Figur 3

12 50 0. Potensfunktioner Af figur 3 kn vi også se t ligningen 4 4 = 30 kn løses ved flæsning og vi får = 4. Det er også vist hvordn 4 mn flæser funktionsværdien f ( ) = 4 = 300. ØVELSE Bestem i hvert f følgende tilfælde dels ved hjælp f grfisk flæsning som i eksempel 7 og dels ved hjælp f sætning forskriften for den potensfunktion hvis grf går gennem de to ngivne punkter. ) ( 456 ) og ( ) b) (40) og (54) c) (550) og (0800) d) (50) og (5;6) EKSEMPEL 8 Vi vil undersøge om følgende tlmterile kn beskrives ved en potensfunktion Punkterne fsættes i dobbeltlogritmisk koordintsstem og vi ser i figur 4 t de med god tilnærmelse ligger på en ret linie. Vi slutter d t smmenhængen mellem og kn beskrives ved en potensfunktion = f( ) = b. Af figur 4 fremgår det t = = og b = 9 så funktionen hr forskriften = f( ) = 9 0. På figuren er også flæst to pæne punkter på den rette linie. Beregnes og b ved hjælp f formlerne i sætning får vi = f( ) = 89. Forskriften kn også findes vh. TI-84 på smme måde som du benttede ved eksponentiel regression. Blot skl du nu bentte STAT og CALC og A:PotensReg. Herved fås = f( ) = ( r = ).

13 0. Potensfunktioner (30;0) 00 = cm 0 (;44) =0 cm b= Figur 4 ØVELSE 3 Eftervis selv de to sidst nævnte resultter i eksempel 8.

14 Potensfunktioner ØVELSE 4 Vis ved hjælp f dobbeltlogritmisk koordintsstem t følgende to sæt f tl følger en potensudvikling og bestem i begge tilfælde forskriften. A: B: Idet funktionen i B kldes = f( ) skl du løse følgende ligninger og uligheder. ) f( )= 00 b) f( )= 5 c) f( )> 40 d) f( )< 30 Øvelse 5 Betegnes ntl nstte med hr en virksomhed gjort den erfring t ntl producerede enheder pr. uge er givet ved: = ) Hvor mnge enheder pr. uge må virksomheden forvente t producere når den hr nst? b) Virksomheden producerer 48 enheder pr. uge. Hvor mnge medrbejdere er nst i virksomheden? c) På et tidspunkt udvidede virksomheden så meget t ntllet f nstte voksede med 0 %. Med hvor mnge procent voksede produktiviteten d? d) I en periode må virksomheden fskedige 0 % f de nstte. Med hvor mnge procent mindskes produktionen d? e) En stor ordre betder t virksomheden må øge sin produktion med 30 %. Med hvor mnge procent vokser ntllet f nstte? f) Et år fldt produktionen pr. uge med %. Med hvor mnge procent kunne mn d forvente t ntllet f nstte fldt med?

15 0. Potensfunktioner 505 Emneopgve ) Bevis med dine egne ord t der for en potensfunktion = f( ) = b hvis grf går gennem de to punkter ( ) og ( ) gælder t ln = og b = = ln b) Bevis med egne ord t ligninger f formen b = ( 0 ) for >0 hr løsningen = = b b Bent denne formel til t løse ligningerne idet >0: 5 ) 4 = 08 ) 00 = ) = 54 c) Ld b =. Øges med fktoren+ r fås den ne -værdi = ( + r ). Vis ved t regne på udtrkket = b = b ( ( + r )) t den ne -værdi fremkommer f den gmle -værdi ved ligningen = ( + r ) hvor+ r = ( + r ). d) Bent smmenhængen + r = ( + r ) til t løse følgende to opgver om funktionen = f( ) = 40 8 ) Med hvor mnge procent øges når øges med 30 %? ) Med hvor mnge procent skl øges så øges med 30 %? Spørgsmål e) skl kun besvres hvis du hr læst om regnereglerne for logritmefunktioner. e) Bevis med egne ord t grfen for en potensfunktion = f( ) = b er en ret linie i dobbeltlogritmisk koordintsstem og begrund t de to konstnter og b kn findes ved grfisk flæsning som = og b= f().

16 Potensfunktioner f) En virksomhed hr igennem en periode noteret sig følgende smmenhæng mellem udviklingen i ntl producerede enheder pr. uge og ntl nstte medrbejdere : Bent dobbeltlogritmisk koordintsstem til t gøre rede for t udvikler sig som en potensfunktion f dvs. t der gælder en smmenhæng f formen = f( ) = b og bestem konstnterne og b ved hver f følgende metoder: ) Grfisk flæsning som = og b= f() ) Grfisk flæsning f to pæne punkter ( ) og ( ) og brug f formlerne ln = ln og b = 3) Potensregression på TI-84

17 0. Potensfunktioner 507 SAMMENFATNING En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. Hvis grfen for en potensfunktion f( )= b går gennem de to punkter ( ) og ( ) kn konstnterne og b bestemmes ved ln = og b = = ln Om potensfunktionen f( ) b gælder der t hvis øges me procenstsen r d øges med procentstsen r og der gælder følgende smmenhæng: + r = ( + r ) der kn omskrives til: r = ( + r ) + r = + r der kn omskrives til: r r = + Her skl procentstserne r og r skrives som decimltl.