Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable Karsten Juul

Transkript

1 Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul

2 Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1. Hvordn ser grfen ud for en potenssmmenhæng? Opgver hvor vi skl udregne eller y i y = b Hvordn kn vi udregne ændringer i y og for en potenssmmenhæng? Proportionle vrible Omvendt proportionle vrible Potensregression... 1 Potenssmmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible. udgve Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som dels oplyser t dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 1. Hvd er en potenssmmenhæng? Øvelse 1.1 På lommeregner eller computer (med mtemtikprogrm) kn vi tste en potens ved hjælp f eller potensskbelon.,1 0,5 1 3,1 = = 9 = 4 = ^ Øvelse 1. 1,5 1,5 4,8 3 Vi kn udregne rumfnget f en ksse ved t bruge reglen rumfng = længde bredde højde For kssen til højre er () rumfng = = 4 For kssen til venstre er (b) rumfng = = Vi hr nogle ksser hvor grundflden er et kvdrt. Højden er 4 gnge siden i grundflden. (c) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (d) Når siden i grundflden er 5, er rumfng = = (e) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (f ) Udfyld tbellen: En bestemt type orm vokser sådn t når tykkelsen er 1, er rumfnget 4. Hvis denne orm bevrer sin fcon når den vokser, så vil der gælde: når tykkelsen er, så er rumfnget 4 3, men det viser sig t ormen efterhånden får en mere flng fcon. Mn hr målt følgende længder og rumfng (med en pssende enhed): længde rumfng (g) Prøv dig frem med ndre eksponenter end 3, og find en eksponent som psser med de målte tl (tllene er frundet til hele tl). Eksponenten skl være. (h) Når = tykkelse og y = rumfng, er y = b hvor = og b =. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

4 Øvelse 1.3 Vi hr 600 kr. til t købe bær. () Hvis prisen pr. kg er 4 kr., så kn vi købe (b) Hvis prisen pr. kg er 30 kr., så kn vi købe (c) Hvis prisen pr. kg er kr., så kn vi købe (d) Udfyld tbellen: kg. kg. kg ,5 600 (e) Udfyld tbellen: , (f ) Når = kg-pris og y = ntl kg vi kn købe, er y = b hvor = og b =. Øvelse 1.4 Et rektngel på en skærm hr den egenskb t når vi ændrer dets størrelse, så vedbliver bredden t være 4 gnge højden. Rektnglet kn ltså deles op i 4 kvdrter hvis side er højden i rektnglet. () Når rektnglets relet er 4, så er højden. (b) Når rektnglets relet er 16, så er højden. (c) Når rektnglets relet er 36, så er højden. (d) Når = 4, så er 0,5 =. (e) Når = 16, så er 0,5 =. (f) Når = 36, så er 0,5 =. 0,5 (g) Der gælder y = 0.5 hvor = rektnglets og y = rektnglets. (h) y = b hvor = og b =. 0,5 0,5 0,5 DEFINITION 1.5 Hvd er en potenssmmenhæng? Vi klder en smmenhæng for en potenssmmenhæng hvis vi kn beskrive den med en ligning som vi kn få ved t indsætte bestemte tl for og b i ligningen (1) y = b hvor b skl være positiv. Bemærkning 1.6 I øvelse er der fire eksempler på nvendelse f potenssmmenhænge. Potenssmmenhænge, udgve Side 010 Krsten Juul

5 Eksempel 1.7 Spørgsmål: Ligningen,6 () y = 1, 4 viser en smmenhæng mellem to vrible y og. Hvilke tl skl vi indsætte for og b i ligningen y = b for t få smmenhængen ()? Svr: Vi skl sætte =,6 og b = 1, 4 for når vi gør det, får vi ligningen y = 1,4,6 som kn omskrives til ligningen (). Bemærkning: Ovenfor viste vi t ligningen () kn fås ved t sætte bestemte tl ind for og b i ligning (1) i definition 1.5, dvs. vi viste t () er en potenssmmenhæng. Øvelse 1.8 Hver f følgende smmenhænge kn vi få ved t sætte tl ind for og b i ligningen Angiv i hvert tilfælde hvd der skl indsættes for og b. 3 (1) y = 4 () = 4 0,4 y 3 (3) y = (4) y = 3. y = b. Eksempel 1.9 Spørgsmål: Et kvdrtisk område dækkes med kvdrtiske kkler der hver vejer 38 enheder. () Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er kkler bredt (og højt)? (b) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er 3 kkler bredt? (c) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er 8 kkler bredt? (d) Opskriv en ligning til beregning f vægten y når bredden er kendt. Svr: () 38. (b) (c) (d) y = 38. Bemærkning: Smmenhængen y = 38 er en potenssmmenhæng. Dette følger f definition 1.5 d vi får ligningen y = 38 når vi i y = b indsætter = og b = 38. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

6 Eksempel 1.10 Spørgsmålene drejer sig om smmenhængen fr eksempel 1.9, ltså y = 38 hvor y er vægten f kklerne (i en pssende enhed) og er områdets bredde (målt i ntl kkler). Spørgsmål: () Hvd er vægten når bredden er t? (b) Hvd er vægten når bredden er t? (c) Hvd skl vi gnge fcit i () med for t få fcit i (b)? Svr: () Når bredden er t, er vægten y = 38 t. (b) Vi får Nspire til t udregne 38 når er t og får: Når bredden er t, er vægten y = 95 t. 95 t (c) = 4, så vi skl gnge fcit i () med 4 for t få fcit i (b), 38 t dvs. vægten firedobles når bredden fordobles. Bemærkning: Når bredden er t, er vægten y = 38 ( t ) = 38 t = 38 t 4. Øvelse 1.11 Om nogle ksser gælder: Bredden er 3 gnge højden. Længden er 5 gnge højden. () Når højden er, hvd er så bredden? og længden? og rumfnget? (b) Opskriv en ligning til beregning f rumfnget y når højden er kendt. (c) Når højden er t, hvd er så rumfnget? (d) Når højden er t, hvd er så rumfnget? (e) Hvd sker der med rumfnget når højden fordobles? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

7 . Hvordn ser grfen ud for en potenssmmenhæng? Eksempel.1: Spørgsmål: Følgende tre smmenhænge er lle potenssmmenhænge (ifølge definition 1.5). 1, 9 I: y = 0,5 II: y = 0,4 0.8 III: y = Tegn grferne for de tre smmenhænge. Svr: Ved hjælp f et elektronisk hjælpemiddel eller ved t udregne støttepunkter kn vi tegne grferne. I II III Bemærkning: Af grferne ses t de to smmenhænge hvor er positiv, er voksende, og den smmenhæng hvor er negtiv, er ftgende. SÆTNING. Eksponenten fortæller om en potenssmmenhæng er voksende eller ftgende. En potenssmmenhæng y = b er ftgende hvis er negtiv og voksende hvis er positiv. Øvelse.3 () Smmenhængen (b) Smmenhængen (c) Smmenhængen (d) Smmenhængen (e) Smmenhængen y = 15 er voksende d d eksponenten er er positiv. 0, y = 3 er d. y = er d. 4 0,11 y = er d. 8 y = 0,1 er d. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

8 Eksempel.4 Dobbeltlogritmisk koordintsystem I koordintsystemet nedenfor til højre er hver f kserne en speciel type der kldes en logritmisk kse. Et koordintsystem kldes et dobbeltlogritmisk koordintsystem hvis begge kser er logritmiske. Spørgsmål: Svr: Tegn grfen for smmenhængen ovenfor. y = i begge koordintsystemerne 5 1,16 Vi udregner nogle støttepunkter og fsætter de fundne punkter i begge koordintsystemer. y = 5 1,16 y = 5 1,16 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

9 SÆTNING.5 Grfen for en potenssmmenhæng er en ret linje i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Bemærkning.6 Når vi ser koordintsystemer i viser, tidsskrifter og lærebøger i forskellige fg, skl vi se efter om kserne er sædvnlige, så vi ikke tror t en smmenhæng er lineær når grfen er en ret linje i et dobbeltlogritmisk (eller enkeltlogritmisk) koordintsystem. Øvelse.7 Grfen viser smmenhængen mellem to vrible og y. Der er tle om en potenssmmenhæng. I et sædvnligt koordintsystem ville grfen være en krum kurve. () Når = 1, er y =. (b) Når =, er y =. (c) Når ændres fr 1 til, så vil y blive enheder større. (d) Når ændres fr til 3, så vil y blive enheder større. (e) Når ændres fr 3 til 4, så vil y blive enheder større. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

10 3. Opgver hvor vi skl udregne eller y i y = b Eksempel 3.1 For nogle dyr gælder (1) y = 0,4,8 hvor y er vægten, målt i grm, og er længden, målt i cm. Spørgsmål (): Hvd er vægten f et dyr hvis længde er 3 cm? Spørgsmål (b): Hvd er længden f et dyr hvis vægt er 0,5 g? Svr på (): Under ligningen (1) står t er længden, så d det oplyste tl 3 er længden, skl 3 indsættes på 's plds: y = 0,4 3,8 Ved t udregne dette får vi y = 5, Under ligningen (1) står t y er vægten, så et 3 cm lngt dyr vejer 5, g. Svr på (b): Under ligningen (1) står t y er vægten, så d det oplyste tl 0,5 er vægten, skl 0,5 Uden solve indsættes på y's plds: 0,5 = 0,4,8 For t løse denne ligning mht. strter vi med t dividere begge sider med 0,4:,8 0,5 0,4 = 0,4 0,4 Vi forkorter brøken på højre side og får 0,5,8 = 0,4 Denne ligning hr løsningen =,8 0,5 0,4 Ved t udregne dette får vi = 1,3 Under ligningen (1) står t er længden, så et dyr hvis vægt er 0,5 g, hr længden 1,3 cm. Svr på (b): Med solve Se næste side! Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

11 Svr på (b): Under ligningen (1) står t y er vægten, så d det oplyste tl 0,5 er vægten, skl 0,5 Med solve indsættes på y's plds: 0,5 = 0,4,8 Vi får Nspire til t løse denne ligning mht. og får = 1,997. Under ligningen (1) står t er længden, så et dyr hvis vægt er 0,5 g, hr længden 1,3 cm. Øvelse 3. Antllet f dyr i en indhegning fhænger f dyrenes længde. Der gælder,3 y = 5800 hvor y er ntl dyr i indhegningen, og er dyrenes længde, målt i cm. () Hvor mnge dyr er der i indhegningen, hvis dyrenes længde er 6 cm? (b) Hvd er dyrenes længde når der er 19 dyr i indhegningen? Øvelse 3.3 Smmenhængen mellem tykkelse og længde for visse stængler kn beskrives ved ligningen y = 13 0,7 hvor y er længden i cm, og er tykkelsen i mm. Hvor tyk er en 100 cm lng stængel? Øvelse 3.4 Prisen for nogle figurer er fstlgt ved y = 0 3,5 hvor y er prisen i kr. og er højden i cm. En gul figur er 3 cm høj, en rød figur er 5 cm høj, og en blå figur er 7 cm høj. () Hvor mnge kroner er den røde dyrere end den gule? (b) Hvor mnge kroner er den blå dyrere end den røde? (c) Hvor mnge procent er den røde dyrere end den gule? (d) Hvor mnge procent er den blå dyrere end den røde? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

12 4. Hvordn kn vi udregne ændringer i y og for en potenssmmenhæng? Eksempel 4.1 For en bestemt bolig kn vi udregne det årlige vrmetb gennem loftet ved hjælp f ligningen 0,75 y = 5400 hvor y er vrmetbet i kwh og er tykkelsen i cm f isoleringen. Spørgsmål (): Nu er tykkelsen 10 cm. Hvor mnge procent vil vrmetbet nedsættes hvis tykkelsen øges med 85 %? Spørgsmål (b): Nu er tykkelsen 8 cm. Hvor mnge procent skl tykkelsen øges for t vrmetbet bliver nedst med 37 %? Svr på (): Det tl der er 85 % større end 10, er 10 1,85 = 18,5 0,75 Det tl der er 85 % større end 10, er det tl der er 185 % f 10, dvs. det tl der er 1, 85 gnge 10. Når = 10 er y = = 960, % 0,75 Når = 18, 5 er y = ,5 = 605, ,5 Vi udregner hvor mnge procent y er blevet ændret: y 960,7 605,36 605,36 960,7 37% = 0, % 960,7 Vrmetbet nedsættes 37% når tykkelsen på 10 cm øges med 85 %. 0,75 Svr på (b): Når = 8 er y = = 1135, 1. Det tl der er 37 % mindre end 1135, 1, er 1135,1 0,63 = 715,18 Et tl er 37 % mindre end et ndet hvis det er 63 % f det ndet. Vi finder nu ud f hvd er, når y er 715,18: + 85 % 0,75 Vi løser ligningen 715,18 = ,81 og får = 14, 81. y 1135,1 715,18 Vi udregner hvor mnge procent er blevet ændret: 37% 14,81 8 = 0, %. 8 Når tykkelsen på 8 cm øges 85%, så nedsættes vrmetbet 37 %. Bemærkning: Af svrene på de to spørgsmål ser vi t unset om tykkelsen er 8 cm eller 10 cm, gælder: Når tykkelsen øges 85 %, så nedsættes vrmetbet 37 %. Dette kn også udtrykkes sådn: Når tykkelsen gnges med 1,85, så gnges vrmetbet med 0,63. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

13 Øvelse 4. Et dyr vokser sådn t 1,6 y =,7 hvor y er vægten i grm, og er længden i cm. () Længden blev målt tre gnge. Første gng vr længden cm, og nden gng vr længden 3 cm. Hvd vr vægten d dyrets længde første gng blev målt, og hvd vr vægten nden gng. (b) Hvor mnge procent er længden vokset fr første til nden måling, og hvor mnge procent er vægten vokset i smme periode? (c) Fr nden til tredje måling er vægten vokset 30%. Hvor mnge procent er længden vokset i smme periode? Eksempel 4.3 Bevis for 4.4 I denne opgve står både, b, k og t for tl som endnu ikke er oplyst. Ligningen (1) y = b viser smmenhængen mellem to vrible y og. Spørgsmål: Hvilken ændring sker i værdien f y, når ændrer værdi fr t til t k? Svr: Når = t er Når = t k er y = b t y = b ( t k) Vi ser t når værdien f ændres fr t til fr b t til Dvs. værdien f y k b t. bliver gnget med = b t k t k, så ændres værdien f y Af potensregel får vi ( t k) k når værdien f bliver gnget med k. = t k Bemærkning: D t ikke indgår i svret, gælder ltså t ligegyldig hvilken værdi strter med t hve, så vil y blive gnget med k når bliver gnget med k : k y k 0,94 Hvis = 0, 94 og k = 1, 7, er k = 1,7 = 1, 5 så hver gng bliver gnget med 1,7, så bliver y gnget med 1,5 dvs. hver gng øges 7 %, så bliver y øget med 5, %. Med udregningerne i svret på opgve 4.3 hr vi gjort rede for t følgende regel gælder: SÆTNING 4.4 Om en potenssmmenhæng y = b gælder for et positivt tl k: Hver gng bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

14 Eksempel 4.5 For en cylinder hvor højden er lig dimeteren, gælder y = π 3 4 hvor y er rumfnget og er dimeteren. Spørgsmål (): Hvd sker der med rumfnget f sådn en cylinder når vi fordobler dimeteren? Spørgsmål (b): Hvor mnge procent større bliver rumfnget når vi gør dimeteren 0 % større? Svr på (): Når vi gnger med, så vil y blive gnget med 3 = 8 ifølge sætning 4.4. Dvs. rumfnget ottedobles når vi fordobler dimeteren. Svr på (b): Vi skl gnge dimeteren med 1,0 for t øge den 0 %. Når vi gnger med 1,0, så bliver y gnget med 1,0 3 = 1, 78 ifølge sætning 4.4. At y bliver gnget med 1,78, er det smme som t y bliver 7,8 % større. Dvs. rumfnget bliver 7,8% større når vi gør dimeteren 0 % større. Øvelse 4.6 Hvis vi sætter en vres pris op, så sælger vi mindre f den. For en bestemt vre gælder,11 y = , 10 9 hvor y er det beløb vi sælger for på én dg, og er prisen pr. pkke. (Enheden for og y er kr.). () Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 0 % op? (b) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 40 % op? (c) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen op fr 10 kr. til 0 kr.? Øvelse 4.7 Om nogle ksser gælder t højden er gnge bredden, og længden er 3 gnge bredden. () Hvis bredden er 5, hvd er så kssens overflde? (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem overflden y og bredden. (c) Hvd sker der med overflden når bredden fordobles? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

15 5. Proportionle vrible Øvelse 5.1 På figuren kn du se hvd og y står for, og du kn flæse priser. () Vi udregner hvd vi i 00 skl gnge A's pris med for t få B's pris: : =. (b) 0 ( fcit fr ( ) ) =. (c) I 00 er y = (d) I 003 er y = (e) I 004 er y = (f) I 005 er y = (g) I 006 er y = Øvelse 5. () I 00 er = (b) I 00 er y = (c) I 00 er y = (d) I 003 er y = (e) I 004 er y = (f) I 005 er y = (g) I 006 er y = DEFINITION 5.3 Hvd er proportionle vrible? Om to vrible og y siger vi t y er proportionl med hvis y = k og k er det smme tl for lle værdier f. Bemærkning 5.4 Rmmen oplyser hvd ordet proportionl betyder. En oplysning om hvd et bestemt ord skl betyde, klder mn en DEFINITION. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

16 Øvelse 5.5 () Gælder for den viste årrække i øvelse 5.1 t y er proportionel med? Svr:. (b) Begrundelse for svret på (): Øvelse 5.6 () Gælder for den viste årrække i øvelse 5. t y er proportionel med? Svr:. (b) Begrundelse for svret på (): Øvelse 5.7 Smmenhængen mellem y og i øvelse 5.1 kn beskrives med ligningen y =. Øvelse 5.8 En vre fås i pkker f forskellig størrelse. Figuren viser priserne. 1 kg kg 5 kg 1 kg 30 kr. 60 kr. 150 kr. 360 kr. () Undersøg om prisen er proportionl med mængden. (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem pris og mængde. Husk t ligningen ikke giver nogen mening hvis du glemmer t skrive nogle ord om hvd y og står for. Øvelse 5.9 De vrible og y er proportionle y Vis hvordn mn kn udregne de mnglende tl i tbellen. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

17 Eksempel 5.10 Spørgsmål: Om to vrible og y er oplyst følgende: og y er proportionle. Desuden er oplyst følgende smmenhørende værdier f og y: Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? y Svr: Bestemme k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y = k. Vi strter med t finde ud f hvd k er for et tl. Så kn vi bruge dette tl til t besvre de to spørgsmål. I tbellen ser vi t når = 4 er y = 18. Dette indsætter vi i (1): 18 = 4 k Vi dividerer begge ligningens sider med 4: 18 4 = k 4 4 Herf får vi: 0,75 = k Der gælder ltså: () y = 0, 75 Bestemme y : For t finde y når er 10, sætter vi til 10 i (): y = 0,75 10 Herf får vi y = 7, 5 så y er 7,5 når er 10 Bestemme : For t finde når y er 15, sætter vi y til 15 i (): 15 = 0, 75 Vi dividerer begge ligningens sider med 0,75: 15 0,75 = 0,75 0,75 Herf får vi 0 = så er 0 når y er 15 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

18 Øvelse 5.11 Om to proportionle vrible og y er oplyst t når er 1, så er y lig 719,40. () Hvd er y når er 19? (b) Hvd er når y er 1858,48? (c) Hvor mnge enheder bliver y større når ændres fr 1 til 13? Øvelse 5.1 De vrible og y er proportionle y Hvd skl der stå i de tomme pldser i tbellen? (Husk t skrive hvordn du regner dig frem til tllene). Øvelse 5.13 Figuren viser en stor og en lille firknt Hvis kn være enhver f siderne i den lille firknt, og y betegner den tilsvrende side i den store firknt, så er og y proportionle. Gør rede for dette, og skriv en ligning der viser smmenhængen mellem og y. Øvelse 5.14 En type fliser fås i fem størrelser. Bredde og længde er i mm, og pris er i kr.: b: 100 mm b: 10 mm b: 150 mm b: 10 mm b: 80 mm l: 140 mm l: 168 mm l: 10 mm l: 94 mm l: 39 mm 96,50 kr. 17,30 kr. 184,00 kr. 335,0 kr. 575,30 kr. () Er længden proportionl med bredden? (b) Er prisen proportionl med relet? Øvelse 5.15 I et computerspil regner mn den smlede gevinst ud ved t lægge den fste gevinst smmen med den vrible gevinst. Den fste gevinst er 30. Den vrible gevinst er proportionl med ntllet f krydser, og hvis ntllet f krydser er 5, er den vrible gevinst 8. () Hvd er den vrible gevinst når ntllet f krydser er 1? (b) Hvd er ntllet f krydser når den smlede gevinst er 47,6? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

19 6. Omvendt proportionle vrible Øvelse 6.1 Vi hr 4 mønter til t købe te for. y = ntl enheder vi kn købe. () Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y = =. Skriv hvd der skl stå over og under brøkstregen. (b) Hvis prisen pr. enhed er 3 mønter, er y = =. (c) Hvis prisen pr. enhed er 8 mønter, er y = =. (d) Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y =. Øvelse 6. Vi kn ændre et rektngel, men relet bliver ved med t være 8. = rektnglets bredde y = rektnglets højde () Når = 4, er y = =. (b) Når =, er y = =. (c) Når = 1, er y = =. (d) Når = 0, 5, er y = =. DEFINITION 6.3 Om to vrible og y siger vi t hvis Hvd er omvendt proportionle vrible? y er omvendt proportionl med k y = og k er det smme tl for lle værdier f. Øvelse 6.4 () Hvilke f følgende smmenhænge hr smme y-tbel? 1 1 (1) y = 0 () y = (3) y = 0, 05 (4) y = 0 0 (b) I hvilke f disse smmenhænge gælder: y er omvendt proportionl med, og i hvilke f smmenhængene gælder: y er proportionl med? (5) 0 y =. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

20 Øvelse 6.5 En bestemt type flise fås i følgende fire udgver: 576 mm 576 mm 576 mm 576 mm 48 mm 36 mm 3 mm 4 mm Vi ser på følgende to vrible: = bredde (i mm) y = højde (i mm) () For lle fliserne gælder t y = og y = Brøkstreg (b) Hvis vi vælger en mindre bredde, så får vi en højde y. (c) Udfyld tbellen: y Øvelse 6.6 Den tid det tger t stille et skur op, fhænger f hvor mnge rbejdere der er: Hvis der er 4 rbejdere, tger det 3 timer. Hvis der er 3 rbejdere, tger det 4 timer. Hvis der er rbejdere, tger det 6 timer. Hvis der er 1 rbejder, tger det 14 timer. Find ud f om tid og ntl rbejdere er omvendt proportionle. Øvelse 6.7 En type rør fås i fem længder. Tbellen viser længde og dimeter for disse. Længde i mm Dimeter i mm ,5 Er længde og dimeter omvendt proportionle? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

21 Eksempel 6.8 Spørgsmål: De vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 36 y Svr: Bestemme k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y =. Vi strter med t finde k så kn vi bruge dette tl til t finde de tre tl. I tbellen ser vi t når = 1 er y = 6. Dette indsætter vi i (1): k 6 = 1 Vi gnger begge ligningens sider med 1: k 6 1 = 1 1 Herf får vi: 7 = k Der gælder ltså: 7 () y = Bestemme y : For t finde y når er 36, sætter vi til 36 i (): 7 y = 36 Herf får vi y = så y er når er 36 Bestemme : For t finde når y er 9, sætter vi y til 9 i (): 7 9 = Vi gnger begge ligningens sider med : 7 9 = Vi forkorter nævneren væk: 9 = 7 Vi dividerer begge ligningens sider med 9: 9 7 = 9 9 Herf får vi = 8 så er 8 når y er 9 På tilsvrende måde får vi: er 4 når y er 3 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

22 Øvelse 6.9 To vrible og y er omvendt proportionle. Når = 30 er y = 0. (1) Hvd er y når = 48? () Hvd er når y = 50? Øvelse 6.10 De vrible og y er omvendt proportionle y 45 Find ud f hvd der skl stå på de tomme pldser. Øvelse 6.11 På en skærm kn vi ændre et rektngel ved t trække i et punkt. Ligningen 1 y = viser smmenhængen mellem følgende vrible: = bredde y = højde () Hvd er højden når bredden er? (b) Hvor meget mindre bliver højden hvis vi ændrer bredden fr til 3? (c) Mn kn spørge om højden ftger lige meget hver gng bredden bliver 1 enhed større. Undersøg sgen og giv en nærmere beskrivelse f hvordn det forholder sig. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

23 7. Potensregression Eksempel 7.1 Spørgsmål: De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhængen mellem lder i døgn og længde i mm. Alder i døgn Længde i mm Bestem den potenssmmenhæng der psser bedst med de målte tl, og undersøg om denne smmenhæng er en god beskrivelse f de målte tl. Svr: Øvelse 7. En bestemt fisk vokser sådn t der med god tilnærmelse gælder y = b hvor er længden i cm, og y er vægten i grm. Mn hr målt følgende: Længde i cm 11, 1,7 14,4 17,5 0,8 Vægt i grm 16,3 3, 3,9 56,5 91,3 () Bestem og b så ligningen psser bedst muligt med de målte tl. (b) Brug ligningen til t udregne hvor mnge procent tungere fisken bliver når den bliver 0 % længere. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

24 Eksempel 7.3 Spørgsmål: Grfen for smmenhængen y = b går gennem punkterne ( 0,4, 7) og (, 1,1 ). Udregn og b. Svr: Øvelse 7.4 For en lyskilde gælder t (1) y = b hvor y er lysstyrken (målt i W/m ) og er fstnden til lyskilden (målt i cm). Vi måler t 4 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,075 W/m 10 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,01 W/m. () Hvilke f disse fire målte tl er -værdier, og hvilke er y-værdier? (b) Disse målte tl viser t grfen for smmenhængen (1) går gennem punkterne (, ) og (, ). (c) Udregn tllene og b i (1). Øvelse 7.5 Et bløddyr vokser sådn t y = b hvor y er overflden (målt i mm ) og er tykkelsen (målt i mm). Overflden er 54 mm når tykkelsen er,1 mm. Overflden er 890 mm når tykkelsen er 7,1 mm. () Udregn tllene og b. (b) Hvd er tykkelsen når overflden er 00 mm? (c) Hvd er overflden når tykkelsen er 10 mm? (d) Hvor mnge procent større bliver overflden større når tykkelsen bliver dobbelt så stor? Potenssmmenhænge, udgve Side 010 Krsten Juul