1 Plan og rumintegraler

Transkript

1 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f to og tre vrible, hvor mn tler om henholdsvis pln- og rumintegrler. Vi vil ikke her diskutere i detljer, hvordn mn definerer pln- og rumintegrler, men koncentrere os om hvordn mn udregner dem. Vi vil for plnintegrler over en mængde R 2 enten benytte nottionen f(, y)da, f(, y)da, eller mere kortfttet blot f, hvor vi helt udelder integrtionsvriblen. For rumintegrler over en mængde R R 3, skriver vi ligeledes enten f(, y, z)dv, f(, y, z)dv, eller igen blot f. en kortfttede nottion kn med fordel bruges, når vi smtidig vil udtle os om pln og R R R rumintegrler. Fortolkningen f plnintegrlet svrer i en vis forstnd til fortolkningen i envribel tilfældet, hvor integrlet fortolkes som relet under grfen. Mere præcist, hvis f(, y), er f(, y) da rumfnget f den mængde i R 3, der ligger under grfen for f og ovenover i XY -plnen. Mere fysisk kn mn fortolke integrlet som den smlede msse f en plde med fcon og mssetætheden f(, y). Specielt gælder der, t Arel() = 1 da, i nlogi med t b 1 d er længden b f intervllet [, b]. For funktioner f tre vrible skl mn ud i 4 dimensioner for t give en tilsvrende fortolkning f integrlet ved hjælp f grfen. et vil vi fholde os fr. Vi kn fortolke integrlet som den smlede msse f en rumlig figur med fconen R R 3 og mssetætheden f(, y, z), og igen i dette tilfælde fås Rumfng(R) = 1 dv i nlogi med det ovenstående. Plnintegrler er specielt nemme t udregne, hvis der integreres over en mængde i R 2 der kn skrives på (mindst) en f de følgende to måder R eller = {(, y) b, u() y o()} (1) = {(, y) c y d, v(y) h(y)} (2) hvor u, o : [, b] R og v, h : [c, d] R er kontinuerte funktioner, der opfylder u o og v h (her står v, h, u, o for henholdsvis venstre, højre, under og over).

2 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 2 y O o() V H U u() b Figur 1: En mængde f typen (1) et bemærkes, t nogle mængder R 2 kn skrives på begge måder (feks et rektngel med kseprllelle sider), medens ndre kun kn skrives på en eller ingen f de to måder. På smme måde er rumintegrler specielt nemme t udregne, hvis der integreres over mængder, der kn skrives som R = {(, y, z) b, u() y o(), b(, y) z t(, y)}, (3) hvor u og o er som ovenfor og t, b : {(, y) b, u() y o()} R er kontinuerte og opfylder b(, y) t(, y). Nottionen t og b refererer til top og bund. Ligesom i to dimensioner kn mn ombytte rollerne f, y og z i (3). 1.1 efinition (Simple domæner) Vi skl med en smlet betegnelse klde mængder på formen (1-2) eller (3) (og de tilsvrende med rollerne f, y og z ombyttet) for simple domæner. Integrtion over simple domæner er beskrevet i følgende sætning, som vi ikke beviser her.

3 2 TRANSFORMATION Sætning (Itereret integrl) Ld f være en kontinuert funktion defineret på et simpelt domæne. 1. Hvis f er en funktion f to vrible og er f formen (1), gælder ( =b ) y=o() f(, y)da = f(, y)dy d. = y=u() 2. Hvis f er en funktion f to vrible og er f formen (2), gælder ( y=d ) =h(y) f(, y)da = f(, y)d dy. y=c =v(y) 3. Hvis f er en funktion f tre vrible, og R er f formen (3) gælder ( =b ( y=o() ) ) z=t(,y) f(, y, z)dv = f(, y, z)dz dy d R = y=u() z=b(,y) (der gælder tilsvrende formler med rollerne f, y og z ombyttet). enne sætning gør det muligt t udregne de fleste pln- eller rumintegrler ved t reducere dem til itererede en-dimensionle integrler. esuden giver sætningen den vigtige konklusion, t hvis kn skrives på begge former (1) og (2) kn begge formlerne fr sætningen benyttes. Mn kn ltså bytte om på rækkefølgen f integrtionsvriblene og y (men grænserne skl nturligvis tilpsses som i formlerne). et tilsvrende gælder også i tre-vribel tilfældet. Eksempel 1.1 Vi udregner ved brug f sætningen ovenfor integrlet f funktionen f(, y) = y over mængden = {(, y) R 2 1, y 2}. yda = 1 ( 2 2 Trnsformtion ) ydy d = ((2)2 2 )d = d = 3 8 Mn kn ofte vælge nye vrible, således t integrler over en givet mængde bliver lettere t udregne. Vi skl nu beskrive denne metode. Først giver vi, igen uden bevis, den sætning, der tillder os t skifte vrible. en svrer til integrtion ved substitution. Et skift f vrible vil være udtrykt ved en kontinuert funktion T : R n R n, ltså T() = (T 1 (),...,T n ()), som kldes en trnsformtion. Sætningen fortæller os, hvordn vi kn udregne integrlet f en funktion f over billedmængden = T() = {T() } R n

4 2 TRANSFORMATION 4 f R n, ved i stedet t udregne integrlet f den smmenstte funktion f T() = f(t 1 (),..., T n ()), over mængden. Ideen er, t hvis ikke er et simpelt domæne, forsøger mn t vælge et simpelt domæne og en trnsformtion T, sådn t = T(). Vi tænker på f T som funktionen f udtrykt i nye vrible. er bliver en ekstr fktor i det nye integrl, der udtrykker rel- eller volumenforholdet ved trnsformtionen T. 2.1 Sætning (Trnsformtionssætningen) Ld n = 2 eller n = 3, og ld T : U R n, være givet ved n C 1 -funktioner T 1 : U R,...,T n : U R defineret på en åben mængde U R n. Ld U være et simpelt domæne, og ntg t T er injektiv 1 på det indre f. Hvis f : T() R er en kontinuert funktion gælder f = (f T)J(T). T() Her er J(T()) relet for n = 2 og rumfnget for n = 3, f den figur, der udspændes f grdientvektorerne T 1 (),..., T n () (se Figur 2 nedenfor for tilfældet n = 2). T 2 (, y) T 1 (, y) Figur 2: Arelet f prllellogrmmet er J(T(, y)) = T 1 T 2 T 1 y y T 2. Mn beregner J(T()) ud fr formlerne for relet f et prllellogrm udspændt f to vektorer (, b) i plnen, og rumfnget f et prllelepipedum (dvs en skæv tre-dimensionl ksse) udspændt f tre vektorer (, b, c) i rummet. Formlerne kn udtrykkes ved 2 2 og 3 3 determinnter ( ) 1 Arel(, b) = det 2 b 1 b 2 = 1b 2 2 b 1 1 Injektiv betyder, t mn kun hr T() = T(y), hvis = y.

5 3 POLÆRE OG SFÆRISKE KOORINATER 5 Rumfng(, b, c) = det b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = 1 b 2 c 3 1 c 2 b b 3 c 1 2 b 1 c b 1 c 2 3 b 2 c 1. For n = 1 gælder trnsformtionssætningen også, og den er fktisk velkendt, idet den drejer sig om integrtion ved substitution T(b) T() b f(t())t ()d. T er injektiv er T enten voksende eller ftgende. Hvis T er voksende og derfor T vil T([, b]) = [T(), T(b)] og T([,b]) T(b) T() b f(t())t ()d = [,b] f(t()) T () d. På den nden side, hvis T er ftgende og derfor T, vil T() T(b) og derfor vil T([, b]) = [T(b), T()]. Vi hr så T([,b]) T() T(b) I begge tilfælde får vi ltså T([,b]) b f(t())t ()d = [,b] f(t()) T () d, [,b] f(t()) T () d. hvilket svrer til udsgnet i trnsformtionssætningen hvis vi fortolker T () som længden f den 1-dimensionle figur udspændt f T () (dvs intervllet mellem og T ()). 3 Polære og sfæriske koordinter Vi illustrerer nu brugen f trnsformtionssætningen ved t udregne integrler i polære koordinter og i sfæriske(kugle)koordinter. Ld os først minde om definitionerne f disse. 3.1 efinition (Polære koordinter i plnen) Polære koordinter i plnen er givet ved trnsformtionen T(r, θ) = ((r, θ), y(r, θ)) = (r cos θ, r sin θ)

6 3 POLÆRE OG SFÆRISKE KOORINATER 6 en er injektiv på mængden f (r, θ) der opfylder < r, < θ 2π. Vi finder ( J(T)(r, θ) = cos θ r sin θ det sin θ r cos θ ) = r. Eksempel 3.1 (Benyttelse f polære koordinter) Vi vil udregne plnintegrlet f funktionen f(, y) = over mængden i første kvdrnt omgrænset f -ksen, linien = y og cirklen 2 + y 2 = 4. I polære y.5.5 T() Figur 3: omænet og grfen for f koordinter kn denne mængde udtrykkes som {(r, θ) r [, 2], θ π/4}. Mere præcist betyder det, t hvis T er trnsformtionen i efinition 3.1, vil = T(), hvor er mængden f pr (r, θ) defineret herover. Udtrykt i polære koordinter er funktionen f givet ved f(t(r, θ)) = r cos θ. et følger d fr trnsformtionssætningen 2.1, t vi hr f(, y)da = r cos θ r da. T() Ved t omskrive integrlet til et itereret integrl får vi r=2 θ=π/4 r= θ= r 2 cosθdθdr = r=2 r= r 2 dr θ=π/4 θ= cos θdθ = 4 2/ efinition (Sfæriske (Kugle) koordinter i rummet) Sfæriske koordinter i rummet er givet ved funktionen T(ρ, θ, φ) = ((ρ, θ, φ), y(ρ, θ, φ), z(ρ, θ, φ)),

7 3 POLÆRE OG SFÆRISKE KOORINATER 7 z y φ ρ θ r θ y Figur 4: ()Polære koordinter (b) Sfæriske koordinter hvor (ρ, θ, φ) = ρ sin φ cosθ, y(ρ, θ, φ) = ρ sin φ sin θ, z(ρ, θ, φ) = ρ cosφ. Funktionen er injektiv på mængden f (ρ, θ, φ) der opfylder Vi finder J(T)(ρ, θ, φ) = det < ρ, < θ 2π < φ < π. sin φ cosθ ρ sin φ sin θ ρ cosφcosθ sin φ sin θ ρ sin φ cosθ ρ cosφsin θ cosφ ρ sin φ = ρ2 sin φ. Eksempel 3.2 (Benyttelse f sfæriske koordinter) Vi vil benytte sfæriske koordinter til t udregne rumfnget f en kugle med rdius R i rummet. Kuglen er i sfæriske koordinter mængden B = {(ρ, θ, φ) ρ R, θ 2π, φ π}. Vi finder derfor, t rumfnget f kuglen er T(B) 1 dv = ρ=r θ=2π φ=π ρ= θ= φ= ρ 2 sin φ dφ dθ dρ = 4πR 3 /3.