Stokastiske processer og køteori
|
|
- Mette Simonsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1
2 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. DAGENS EMNER 2
3 UD OVER ANKOMST- OG EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser? Antal servere, antal ventepladser. Kødisciplin hvordan betjenes kunder? (Kundeopførsel utålmodige kunder etc.) (Flere køer, forbindelse mellem servere (kønetværk)). UD OVER ANKOMST- OG EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER 3
4 KØDISCIPLINER FIFO. First-In-First-Out. Kunder ekspederes i ankomstrækkefølge. LIFO. Last-In-First-Out. Senest ankomne kunde ekspederes først. SIRO. Service-In-Random-Order. Tilfældig ekspeditionsrækkeflg. P. Prioritet. Hver kunde tildeles ved ankomst en prioritet og betjenes i rækkefølge efter prioritet. RR. Round-Robin. Hver kunde får en lille del af service, én efter én indtil ekspedition færdiggjort. PS. Processor-Sharing. Kapacitet deles ligeligt ml. kunder samtidig. Disciplin påvirker normalt ikke kvantitative størrelser (gnsnt. kølængde, tid i system etc.). Men kan påvirke variabilitet af ventetid. KØDISCIPLINER 4
5 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs. X = M specificerer en Poissonproces. E r : Ventetider er uafhængige og Erlangfordelte af orden r. D: Deterministisk ventetidsfordeling. GI: Uafhængige (independent) ventetider med en fast fordeling. Dvs. ingen nærmere antagelse om fordelingstype. G: Generel (stationær) proces, dvs. ingen antagelser. KØSYSTEMER NOTATION 5
6 X/Y/(m, q)-systemer X Ankomstproces 1 2 q Y 1 2. m Ekspeditionstidsproces Ekspedienter er parallelforbundne man bliver ekspederet ved højest én ekspedient (modsat serieforbundne ekspedienter). q angiver antallet af køpladser (q = muligt). m angiver antallet af ekspedienter (m = muligt). X/Y/(m, q)-systemer 6
7 EKSEMPLER Notationen M/E 4 (3, ) specificerer følgende køsystem: Ankomstproces er Poisson. Ekspeditionstider er Erlangfordelte af orden 4. Ubegrænset antal køpladser (q = ) 3 ekspedienter. Notationen G/GI(1, 0) specificerer følgende køsystem Ankomstproces er en generel stationær proces. Ekspeditionstider uafhængige fra fast (uspecificeret) fordeling. 0 køpladser. 1 ekspedient. Disciplin fremgår ej af notation FIFO med mindre andet nævnt. EKSEMPLER 7
8 Trafiktilbud: TRAFIKTILBUD OG KUNDESPÆRRING Betragt et G/G(m, q)-system. Definér a: gennemsnitligt antal ankomster per tidsenhed. 1/b: gennemsnitlig ekspeditionstid. A = a/b kaldes trafiktilbuddet. Enheden ankomster per ekspedition kaldes en Erlang. Vi kan opspalte trafiktilbud som Kundespærring: A = afvist trafik + utålmodig trafik + afviklet trafik. E: gennemsnitligt antal optagede ekspedienter. π = 1 E/A er kundespærringen (brøkdel afviste kunder). TRAFIKTILBUD OG KUNDESPÆRRING 8
9 TIDSSPÆRRING OG KUNDESPÆRRING Kundespærring er sandsynlighed (i det lange løb) for afvisning af en kunde, dvs. sandsynligheden for at systemet er optaget til et ankomsttidspunkt. Kan tilsvarende definere tidsspærring som sandsynlighed (i det lange løb) for at systemet er optaget til et arbitrært tidspunkt. Generelt gælder kundespærring tidsspærring. Poissonankomster og PASTA: Hvis ankomstproces er Poisson, er sandsynligheden for et givet antal kunder i systemet uafhængig af, om t er et ankomsttidspunkt. Dvs. M/G(m, q)-køsystem kundespærring = tidsspærring. TIDSSPÆRRING OG KUNDESPÆRRING 9
10 EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) Velkendt fra første forelæsning. Ankomstproces Poisson med intensitet a = 1 per time. Ekspeditionstider eksponentialfordelte med middelværdi 1/b = 1/2 time. Beskrives ved antal kunder i systemet til tid t: N(t) {0, 1}. Trafiktilbud A = a/b = 1/2 Erlang. Ligevægtssandsynligheder p 0 = b/(a + b) = 1/(1 + A) = 2/3. p 1 = 1 p 0 = 1/3. Udnyttelsesgrad af ekspedient E = p 1 = A/(1 + A) = 1/3. Kundespærring π = 1 E/A = A/(1 + A) = 1/3. EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) 10
11 LITTLE S FORMEL Betragt et G/G(m, q)-system. Definér a: gennemsnitligt antal ankomster per tidsenhed (intensitet). L q : gennemsnitligt antal kunder i system. V q : gennemsnitligt opholdstid i systemet (dvs. tid for ventetid og ekspedition). Så gælder Little s formel: Anvendelser: L q = av q. Ofte let at beregne gennemsnitligt antal kunder i systemet (fx ud fra ligevægtssandsynligheder). Så kan Little s formel bruges til bestemmelse af gennemsnitlig opholdstid. LITTLE S FORMEL 11
12 EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) Ankomstproces Poisson med intensitet a = 1 per time. Ekspeditionstider eksponentialfordelte med middelværdi 1/b = 1/2 time (trafiktilbud A = a/b = 1/2). Beskrives ved antal kunder i systemet til tid t: N(t) {0, 1}. Ligevægtssandsynligheder p 0 = b/(a + b) = 1/(1 + A) = 2/3, p 1 = 1 p 0 = 1/3. Gennemsnitligt antal kunder i systemet L 0 = p p 1 1 = p 1 = A 1 + A = 1/3. Little s formel giver gennemsnitlig opholdstid V 0 = L 0 /a = 1/3 time, (bemærk, 1/2 time!) EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) 12
13 MERE OM LITTLE S FORMEL V q er den gennemsnitlige ventetid for alle kunder i systemet (afviste, forsinkede, straksekspederede). Vi er normalt mest interesserede i opholdstid for kunder, som ikke straksekspederes, dvs. forsinkede kunder. Hvis brøkdel D, som ej straksekspederes og W q gennemsnitlig opholdstid for disse, så gælder Generelt: L q = adw q. Mange andre lignende formler for sammenhæng mellem gennemsnitligt antal og gennemsnitlig opholdstid. MERE OM LITTLE S FORMEL 13
14 ARGUMENT FOR LITTLE S FORMEL N(t) Skraveret område: A(t) L q 0 t Antal kunder i system til tid t: N(t). Gennemsnitligt antal kunder i [0, t]: L q = A(t)/t. Hver kunde bidrager i snit med V q til A(t). Der ankommer i snit at kunder i [0, t]. Dvs. A(t) = atv q atv q = L q t L q = av q. ARGUMENT FOR LITTLE S FORMEL 14
15 REMINDER MARKOVPROCESSER Stationær Markovproces X med tilstandsrum {0, 1,..., n}. Beskrives ved overgangssands. p ij (t). Ligevægtssystemer lim p ij(t) = p j, t i, j {0, 1,...,n} (ligevægtssandsynligheder). Vi kan også beskrive X ved intensiteter c ij = p ij(t) (konstanter; uafhængige af t) Beskriver momentan tilbøjelighed til overgang i j (rate). Find ligevægtssandsynligheder ved at løse ligningssystemet n l=0 p l = 1 (normerende ligning) n l=0 p lc lj = 0, j = 0, 1,...,n. REMINDER MARKOVPROCESSER 15
16 M/M(1, N)-KØ Poisson ankomstproces med intensitet a og eksponentialfordelte ekspeditionstider med middelværdi 1/b. 1 ekspedient; N køpladser. Antal kunder i system N(t) {0, 1,..., N + 1}. Ligevægtssands. p i = lim t P(N(t) = i), i = 0,...,N + 1. a a N+1 b b Et eksempel på et fødsels- og dødskøsystem. M/M(1, N)-KØ 16
17 Ligevægtsligninger; N+1 i=0 p i = 1 (normerende ligning) samt Dvs. bp 1 = ap 0 ap 0 + bp 2 = (a + b)p 1. ap i 1 + bp i+1 = (a + b)p i. ap N = bp N+1. p 1 = Ap 0 p 2 = (a/b)p 1 + (a/b + 1)p 1 = A 2 p 0. p i+1 = (a/b)p i 1 + (a/b + 1)p i = A i p 0. p N+1 = (a/b)p N = A N+1 p 0. M/M(1, N)-KØ 17
18 Ligevægtssandsynligheder hvis A = a/b 1: p i = 1 A 1 A N+2Ai, i = 0, 1,...,N + 1. Ligevægtssandsynligheder hvis A = a/b = 1: p i = 1, i = 0, 1,..., N + 1. N + 2 Lad N (uendeligt mange køpladser). Ligevægt i M/M(1, ) eksisterer kun hvis A < 1. Ligevægtsfordelingen er da p i = A i (1 A), i = 0, 1, 2,... M/M(1, N)-KØ 18
19 KARAKTERISTISKE STØRRELSER I M/M(1, ) Gennemsnitligt antal kunder i systemet L = ip i = i=0 A 1 A. Gennemsnitlig opholdstid V i systemet L = av V = 1 b 1 1 A (Little s formel). Brøkdel af kunder, som ikke straksekspederes D = 1 p 0 = A. Gennemsnitligt antal optagede ekspedienter E = A (da rent ventesystem, Andersen (2001), p.36ø.). KARAKTERISTISKE STØRRELSER I M/M(1, ) 19
20 Gennemsnitlig kølængde (ej straksekspedition) L = (i 1)p i = i=2 ip i i=1 p i = L A = i=1 A2 1 A. Gennemsnitlig opholdstid i køen L = av V = 1 b Bemærk her det intuitive resultat, at A 1 A (Little s formel) samt V = gnsn. systemtid gnsn. eksp. tid = V 1 b = 1 ( A ) b 1 A 1. L = DL = A A 1 A. KARAKTERISTISKE STØRRELSER I M/M(1, ) 20
21 TALEKSEMPEL I et produktionssystem ankommer emner efter en Poissonproces med en intensitet på a = 3 emner per time. Forarbejdningstid er eksponentialfordelt. Middelværdi 1/b =15 minutter. 1 ekspedient, uendelig mange køpladser. Beregninger: Trafiktilbud A = a/b = Ligevægtssandsynligheder p i = (0.25)(0.75) i for i = 1, 2,.... Sandsynlighed for forsinkelse D = A = Gennemsnitlig kølængde L = = Gennemsnitlig produktionstid V = = 1 time. TALEKSEMPEL 21
Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?
Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereNotation for parallelforbundne ekspeditionssystemer
Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mereHvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17 Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereStokastiske processer og køteori
Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: http://www.math.aau.dk/~gorst/vs7 Litteratur: 1.
Læs mereLidt supplerende køteori (ikke pensum)
H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering
Læs mereUdvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereKiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen
Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereKræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.
Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereNB: KUN DE HVIDE FELTER SKAL UDFYLDES DE ANDRE INDEHOLDER FORMLER BILAG NSTmarts 2011 ark VMPIIvådområdeprojekt, kvælstofberegning Projekt: Hjeds Sø
Projekt: Hjeds Sø OPGØRELSE AF TILFØRSEL/UDVASKNING FRA VANDLØBSOPLAND, DIREKTE OPLAND OG PROJEKTOMRÅDE Tilførsler: Vandløboplandet Beregnes på baggrund af oplandsarealet eller målt Nudvaskning f.eks.
Læs mereLineær Algebra, 2015 1. kursusgang
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereMarkovkæder med endeligt tilstandsrum
Kapitel 9 Markovkæder med endeligt tilstandsrum En følge af stokastiske variable {X t } = {X 0, X 1, X 2,...} kaldes en stokastisk proces. Vi kan nemlig tænke på de stokastiske variable som tilstanden
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereVK#Galla#04/05# #2018#ankomster#
VK#Galla#04/05# #2018#ankomster# Tidspunkt# Par#og#Klasse# # 15.00.00# Karen&Holm&Jørgensen&(3.A)&&&Sara&Krarup&Møller&(3.E)&# 15.00.40# Christina&Skøtt&Juul&(3.E)&&&Trine&Nyborg&(3.E)&# 15.01.20# Julie&Munk&Vestergaard&(3.E)&&&Julie&Lund&Fisker&(3.E)&#
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 3. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 SIDSTE GANG Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde) til køsystem. Modellér
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereUddrag af skatteministerens besvarelse af Skatteudvalgets spørgsmål 183 af 31. januar 2006.
L 165 - Bilag 1 Offentligt Uddrag af skatteministerens besvarelse af Skatteudvalgets spørgsmål 183 af 31. januar 2006. IT og telefoni I den første tid efter den formelle fusion 1. november 2005 har funktionaliteten
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereNaturstyrelsen december 2013
Forord Dette regneark er primært udarbejdet af Karsten Wandall, Vejle Amt, og kan anvendes som et hjælpemiddel til beregning af kvælstoffjernelse for VMPII og VMPIII vådområdeprojekter. Naturstyrelsen
Læs mereI browserens adressefelt skrives www.imastra.dk. Der logges ind på vanlig vis med brugernavn og password til imastra.
December 2014 Vejarbejdsansvarlige modul i Mastra til analyse af trafik Kort vejledning 1. Formål Mastra er et system til lagring, efterbehandling og udtræk af trafiktællinger. Trafiktællinger er grundlaget
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mere2-sporede rundkørsler
2-sporede rundkørsler Vurdering af kapacitet i tilfartssporet Juli 2006 Marts 2007 Poul Greibe Belinda la Cour Lund Scion-DTU Diplomvej, bygning 376 2800 Kgs. Lyngby www.trafitec.dk Indhold Indledning...3
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereValgkampens og valgets matematik
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx
STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 007 009 MATEMATIK B-NIVEAU onsdag 1. august 009 Kl. 09.00 13.00 STX09-MABx Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Afleveringsopgave 1
Fornyelsesteori med anvendelser: Afleveringsopgave 1 February 27, 2003 Opgaven stilles fredag d. 28/2-2003 og afleveres d. 14/3-2003 ved forelæsningen. Opgaven kan besvares i grupper af 1-3 studerende.
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mereIntroduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:
Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mere1 Generelt om dokumentation af usikkerheder
1 1 Generelt om dokumentation af usikkerheder Begrundelsen for at følge den standardprocedure, som er beskrevet i det følgende - og som måske ved første øjekast kan virke vel grundig - er, at det har vist
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereStatistisk proceskontrol
Statistisk proceskontrol Statistisk teknik, der bruges for at sikre at en proces udføres efter en given standard Alle processer er underkastet variation Naturlige årsager: Tilfældige variationer Forklarlige
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mere