Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Transkript

1 Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig løsning Calculus Uge

2 Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix Calculus Uge

3 Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 Calculus Uge

4 Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 2-matrix a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Calculus Uge

5 Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 2-matrix a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 3-matrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus Uge

6 Udregn determinanter Eksempler 1 2 = ( 1) = Calculus Uge

7 Udregn determinanter Eksempler 1 2 = ( 1) = = = ( ) 2( ) +3( ) = = 12 Calculus Uge

8 Nem vej til areal Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Calculus Uge

9 Nem vej til areal Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Calculus Uge

10 Determinant ved rækkeudvikling Definition Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Calculus Uge

11 Determinant ved rækkeudvikling Definition Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter i-te række A = n ( 1) i+j a ij A ij j=1 Calculus Uge

12 Determinant ved rækkeudvikling Definition Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter i-te række A = n ( 1) i+j a ij A ij j=1 Kan skrives A = ( 1) i+1 a i1 A i1 + ( 1) i+2 a i2 A i2 + Calculus Uge

13 Determinant mange veje Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling A = n ( 1) i+j a ij A ij i=1 Calculus Uge

14 Determinant mange veje Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling A = n ( 1) i+j a ij A ij i=1 Determinanten er uafhængig af valgt række/søjle. Calculus Uge

15 Determinant mange veje Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling A = n ( 1) i+j a ij A ij i=1 Determinanten er uafhængig af valgt række/søjle. Eksempel = 4 6 = Calculus Uge

16 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) = ( 1) = 1 Calculus Uge

17 Trekantsmatrix 0-række/søjle 0 a 12 0 a = 0 0 a 21 a = 0 Calculus Uge

18 Trekantsmatrix 0-række/søjle 0 a 12 0 a = 0 0 a 21 a = 0 Øvre trekantsmatrix a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n a nn = a 11 a 22 a nn Calculus Uge

19 Rækkeoperationsmatricer Ombytning af to rækker: = 1 Calculus Uge

20 Rækkeoperationsmatricer Ombytning af to rækker: = 1 Multiplikation af række med tal 0: r = r Calculus Uge

21 Rækkeoperationsmatricer Ombytning af to rækker: = 1 Multiplikation af række med tal 0: r = r Addition af et multiplum af en række til en anden: 1 r 0 1 = 1 Calculus Uge

22 Rækkeregneregler Beregning af determinant Calculus Uge

23 Rækkeregneregler Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Calculus Uge

24 Rækkeregneregler Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus Uge

25 Rækkeregneregler Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret Calculus Uge

26 Søjleregneregler Beregning af determinant Calculus Uge

27 Søjleregneregler Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Calculus Uge

28 Søjleregneregler Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus Uge

29 Søjleregneregler Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret Calculus Uge

30 Determinanten er nul Observationer om determinant Calculus Uge

31 Determinanten er nul Observationer om determinant En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 Calculus Uge

32 Determinanten er nul Observationer om determinant En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Calculus Uge

33 Determinanten er nul Observationer om determinant En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er = 0 Calculus Uge

34 Udregn determinanter Eksempler Reducer til øvre trekantsmatrix = 1 2 = ( 1) 10 = Calculus Uge

35 Udregn determinanter Eksempler Reducer til øvre trekantsmatrix = 1 2 = ( 1) 10 = = = = 1 ( 3) ( 4) = 12 Calculus Uge

36 Determinant af matrixprodukt Sætning 11 (Produktreglen) For to kvadratiske n-matricer A,B gœlder AB = A B Calculus Uge

37 Determinant af matrixprodukt Sætning 11 (Produktreglen) For to kvadratiske n-matricer A,B gœlder AB = A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf. Calculus Uge

38 Brug produktreglen Eksempel A = = 12 Calculus Uge

39 Brug produktreglen Eksempel AA = A = = = AA = A A = = Calculus Uge

40 Determinant af potens Potenser 1 2 = ( 1) = Calculus Uge

41 Determinant af potens Potenser 1 2 = ( 1) = ( ) k = k = ( 10) k Calculus Uge

42 Determinant af invers matrix Sætning 12 (Inversreglen) En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gœlder hvis A 0. A 1 = 1 A Calculus Uge

43 Determinant af invers matrix Sætning 12 (Inversreglen) En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gœlder hvis A 0. Bevis A 1 = 1 A Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kan A skrives som produkt af rækkeoperationsmatricer, som hver er invertible. A er da invertibel. Calculus Uge

44 Brug inversreglen Eksempel Matricen har determinant A = A = 12 Calculus Uge

45 Brug inversreglen Eksempel Matricen har determinant A = A = 12 A er invertibel og den inverse har determinant A 1 = A 1 = 1 12 Calculus Uge

46 Determinant af negative potenser Negative potenser 1 2 = ( 1) = Calculus Uge

47 Determinant af negative potenser Negative potenser 1 2 = ( 1) = ( ) = 1 10 Calculus Uge

48 Determinant af negative potenser Negative potenser 1 2 = ( 1) = ( ) = 1 10 ( ) k = 1 ( 10) k Calculus Uge

49 Determinant af alle potenser Potensreglen for determinant Calculus Uge

50 Determinant af alle potenser Potensreglen for determinant Hvis A 0 så A k = A k for alle hele tal k. Calculus Uge

51 Determinant af alle potenser Potensreglen for determinant Hvis A 0 så A k = A k for alle hele tal k. Hvis A = 0 så A k = 0 for alle hele tal k > 0. Calculus Uge

52 Jacobimatricen [LA] 2.2 Kædereglen i matrix-formulering Definition For en differentiabel afbildning g : R n R n (u 1,...,u n ) (g 1 (u 1,...,u n ),...,g n (u 1,...,u n )) er Jacobideterminanten determinanten af Jacobimatricen g 1 g u u n d u (g) =..... g n u 1... g n u n Calculus Uge

53 Jacobimatricen [LA] 2.2 Kædereglen i matrix-formulering Eksempel For afbildning g : R 2 R 2 er Jacobideterminanten (u 1,u 2 ) (u u 2 2,u 1 u 2 ) d u (g) = d u (g) = g g 1 u 1 g 2 1 u 2 g 2 u 1 u 2 2u 1 2u 2 u 2 u 1 = 2u2 1 2u 2 2 Calculus Uge

54 Ligningssystem og determinant Sætning 13 (Entydig løsning) 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. Calculus Uge

55 Ligningssystem og determinant Sætning 13 (Entydig løsning) 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning (uendelig mange), hvis og kun hvis A = Det inhomogen ligningssystem Ax = b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Calculus Uge

56 Bestem entydig løsning Opgave For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix A = 1 t t en entydig løsning. Find løsningsrummet for alle t. Calculus Uge

57 Bestem entydig løsning Opgave - løsning Beregn determinanten A = 1 t 1 = 1 1 t t t 1 = (t 1) 2 Calculus Uge

58 Bestem entydig løsning Opgave - løsning Beregn determinanten A = 1 t 1 = 1 1 t t t 1 = (t 1) 2 For t 1 har det homogene ligningssystem entydig løsning x = 0. Ax = 0 Calculus Uge

59 Bestem alle løsninger Opgave - løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet x 1 + x 2 + x 3 = 0 Calculus Uge

60 Bestem alle løsninger Opgave - løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet Dette giver løsninger x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 = x x Calculus Uge