Estimation af CES-produktionsfunktioner

Transkript

1 Esmaon af CES-produkonsfunkonr md Törnqvs - llr Paaschkædprsndks som approksmaon for CES prsndks. - E Mon Carlo smulaonssud Andras Øsrgaard Ivrsn Dansh Raonal Economc Agns Modl, DREAM DREAM Arbjdspapr 0:4 Dcmbr 0 Arbjdspapr undrsøgr va Mon Carlo smulaonr konskvnsrn af a brug Törnqvs- llr Paasch- kædprsndks sd for d orsk korrk CES-prsndks smaonn af CES produkonsfunkonr. I noa undrsøgs d båd for n modl md og udn knologsk frmskrd. DREAM, Dansh Raonal Economc Agns Modl. Amalgad 44, 56 Købnhavn K

2 Sd af 0 Indhold Indldnng... 3 Consan Elascy of Subsuon produkonsfunkon... 3 Hcks -nural knologsk frmskrd... 4 Harrod -nural knologsk frmskrd... 5 Valg af alrnav prsndks... 5 Mon Carlo ksprmn Dn daa gnrrnd procs Esmaon... 8 Rsular... 9 Konkluson... Blag. CES produkonsfunkon md npu... Blag. CES produkonsfunkon md npu og knologsk frmskrd Blag 3. Mon Carlo In knologsk frmskrd Blag 4. Mon Carlo Hcks nural knologsk frmskrd... 9 Blag 5. Mon Carlo Harrod nural knologsk frmskrd.... 0

3 Sd 3 af 0 Indldnng Følgnd noa undrsøgr va Mon Carlo smulaonr konskvnsrn af a brug Törnqvs- llr Paasch- kædprsndks sd for d orsk korrk CES-prsndks smaonn af CES produkonsfunkonr. I noa undrsøgs d båd for n modl md og udn knologsk frmskrd. CES-prsndks r d korrk lgvæg, mn smaonsøjmd r dr n sor ulmp forbund md d prsndks. Ulmpn bsår, a CES-prsndks r ndogn, da d afhængr af d smrd paramr. For a fornkl smaonn vælgs d of a anvnd alrnav prsndks, dr kk afhængr af d smrd paramr. Indldnngsvs skal d bmærks, a dn kk-næsd CES produkonsfunkon kan smrs udn brug af CES prsndks, mn da fokus for d papr nop r CESprsndks r dnn mod kk bny. Dn kk-nsd produkonsfunkon r valg udlukknd for a smplfcr noaonn og Mon Carlo ksprmnrn. Rsularn fra papr kan gnralsrs drk l d nsd lfæld. Analysn r rlvan, da ns CES produkonsfunkon vl afhæng af CES-prsndk. Consan Elascy of Subsuon produkonsfunkon Følgnd opskrvr CES, Consan Elascy of Subsuon, produkonsfunkonn md og udn knologsk frmskrd. Dn klasssk CES produkonsfunkon md npu fakorr, f arbjdskraf og kapal, kan skrvs som: (0.),,,,,, F y Hvor y r oupu, og r d o npu-fakorr og hvor og r paramr. bsmmr dn opmal fordlng af npus og bsmmr dn (konsan) subsuonslasc mllm npus. I Blag gnnmgås løsnngn af Lagrangopmrngsproblm, som frmkommr når man har n CES- produkonsfunkon md npu og skal bsmm d opmal nvaur af produkonsfakorr. For gv oupu,, r d opmal nvau for og gv vd: p p y, y,,,, cs, cs p, p, cs hvor p, r CES prsndks, dr r gv vd:

4 Sd 4 af 0 (0.) p ( p p ) cs /( ),,, D gældr også, a d opmal forhold mllm produkonsfakorrn r gv vd: (0.3) p,,, p, Hcks -nural knologsk frmskrd Ovr d må d formods a produkonn har oplv knologsk frmskrd, produkonsfunkonn r md andr ord kk konsan ovr d. D klasssk ksmpl r, a npu af arbjdskraf prncpp kan vær konsan båd mængd og prs, mn allgvl gv anldnng l forøg oupu, f pga. kursr. En måd a korrgr for knologsk frmskrd r, a opgør all npus ffkv nhdr, mn d r of kk lgænglg daa og drfor vælgs d of a approksmr d knologsk frmskrd md rnds. Hvs daa ndholdr knologsk frmskrd og dr kk ags højd for d smaonn, vl d rsulr usabl smar af paramrn. I d følgnd udvds dn nsd CES produkonsfunkon md Hcks og Harrod- nural knologsk frmskrd. E knologsk frmskrd anss for hcks-nural hvs frmskrd kk påvrkr balancn mllm npufakorrn produkonsfunkon. D anags, a produkonsfunkonns knologsk frmskrd følgr n log-lnær og/llr n kk-lnær rnd. En CES produkonsfunkon md npu og hcks-nural knologsk frmskrd, vd:,, (0.4) F,, y,,, r gv Blag gnnmgår opmrngsproblm. Md hcks-nural knologsk frmskrd r d opmal npu gv vd: (0.5) p p y, y, ( ), ( ),, CEShcks, CEShcks p, p, cs hcks Hvor p, r CES prsndks, dr r gv vd I Blag r lgnng (0.5) rducr ydrlgr, mn l ndnsånd Mon Carlo ksprmnr r d udryk ms hnsgsmæssg.

5 Sd 5 af 0 ( ) p p p CEShcks,,, Ign gældr d a opmal forhold mllm produkonsfakorrn r gv vd lgnng (0.3) Harrod -nural knologsk frmskrd E knologsk frmskrd anss for Harrod-nural hvs frmskrd kan påvrk balancn mllm npufakorrn produkonsfunkon. En CES produkonsfunkon md npu og Harrod-nural knologsk frmskrd r gv vd:,,, (0.6) F,,, y Bmærk; a hvs r lgnng (0.6) lg md lgnng (0.4) og produkonsfunkon r drfor Hcks nural. Hvormod r, kan balancn mllm npufakorrn produkonsfunkon blv påvrk af d knologsk frmskrd. Blag gnnmgår opmrngsproblm for n produkonsfunkon md Harrod -nural knologsk frmskrd. D opmal npufakorr nvau r gv vd: ( ) p, ( ) p, (0.7), y, cs harrold, y csharrold p, p,, Hvor CESharrl o d, ( ) p p. p,, D opaml forhold mllm produkonsfakorrn r undr anagls af Harrod -nural knologsk frmskrd gv vd: (0.8) p, ( ),, p,. Valg af alrnav prsndks D frmgår af ovnsånd afsn a, dn opmal npu l produkonsfunkonn afhængr af CES prsndks af npuprsr. D prsndks r d korrk lgvæg, mn smaonsøjmd r dr n vs ulmp forbund md d prsndks. Ulmpn bsår, a

6 Sd 6 af 0 CES-prsndks r ndogn da d afhængr af d smrd paramr, d gør rgrssonn mg kk-lnær og bsværlggør drfor smaonn. For a fornkl rgrssonn vælgs d a anvnd alrnav prsndks, dr kk afhængr af d smrd paramr. I nærværnd noa r Törnqvs- og Paaschkædprsndks valg som n approksmaon for d orsk korrk CES prsndks. Törnqvskædprsndks r dfnr som: (0.9) p Törnqvs Törnqvs,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p,, p p p p,, Paaschkædprsndks r dfnr som: (0.0) p p p Paasch Paasch,,,,, p, p,, p,, Fordln vd a brug prsndksn r som nævn, a d kan bsmms på baggrund af obsrvrd prsr og mængdr, og kan drfor brags som ksogn slv smaonn. Törnqvsprsndks r suprlav prsndks og drmd n god approksmaon l vlkårlg prsndks. Id Törnqvsprsndks bhandlr prsr og mængdr lglg på værs af prodr, og omkrng d samm punk r Törnqvsprsndks n andnordns approksmaon l dobbldffrnabl funkonr. D bydr, a slvom man r lang fra lgvægn kan Törnqvsprsndks sadg vær n god approksmaon. Paaschkædprsndks har mang af d samm fordl som Törnqvsprsndks, mn r kk hl så flksbl, Paaschkædprsndks r d offcll Naonalrgnskabs prsndks, og drfor almndlg knd og udbrd. Mon Carlo ksprmn. Følgnd afsn undrsøgr, va Mon Carlo ksprmnr, konskvnsrn af a brug Törnqvs llr Paasch - kædprsndks sd for d orsk korrk CES prsndks smaonn af CES produkonsfunkon. D undrsøgs båd for n modl md og udn knologsk frmskrd. For mr nformaon om aggrgrd prsndks s Danmarks Sasks dokumnaon om Forbrugr- og Noprsndks kapl 6: hp://

7 Sd 7 af 0 Dn daa gnrrnd procs. Daa konsrurs md udgangspunk d ovnovr bskrvn CES produkonsfunkonr md npufakorr, jf. lgnng (0.), lgnng (0.4) og lgnng (0.6). I udgangspunk r daa konsrur ovr 00 prodr. Prsrn på d npu, p, og p, r prod = nummr l, væksn prsrn r rukk fra n normalfordlng md ksogn mddlværd,, og varans, : p p p p p for, og p,, p Hvor {,}. Nu kan d gnrll Harrod CES-prsndks konsrurs: CESharrl o d, ( ) p p p Hvor,,, og r ksogn paramr. Bmærk a 0 gvr d normal CES prsndks og gvr hcks CES prsndks. Endlg kan d opmal npusandl bsmms:,, p ( ), csharrold, p, Hvor, ln 0, for {,} Md udgangspunk d gnrrd daa, konsrurs Törnqvskædprsndks og Paaschkædprsndks ud fra hnholdsvs lgnng (0.9) og (0.0). I Eksprmn r væksn prsrn rukk fra n normalfordlng md mddlværd, =0,0, og varans md andr ord anags d a dr gnnmsn r procn væks prsrn. Fgur vsr sks ralsrngr af dnn procs. D ss fra fgurn a procssrn lnærmlssvs mndr om dn man sr daa.

8 Sd 8 af 0 Fgur. Sks ralsrngr af prsrn md væks Dn opmal fordlng af npus r valg l 0.5, subsuonslascn r valg l {0.8,.8}. Eksprmn r udfør undr anaglsn af ngn knologsk frmskrd produkonsfunkonn, 0, undr anaglsn om Hcks-nural knologsk frmskrd, 0, og ndlg Harrod-nural knologsk frmskrd,. Esmaon D orsk opmal npufakorr l CES produkonsfunkon md knologsk frmskrd, lgnng (0.7), omskrvs l følgnd rgrssonslgnngnssysm: (0.), p, log log nd, log p, ( ) log, p, log log nd, p, Hvor,, o g r paramrn dr ønsks smr, bmærk a r n fælls nd paramr dr bsmms smulan sysm. p, r d alrnav ksogn prsndks, nd Törnqvs Paasch dr rsar d orsk korrk CES-prsndks, p, { p,, p, }. D kklnær sysm smrs md OLS va R pakkn sysmf 3 3 hp://cran.r-projc.org/wb/packags/sysmf/sysmf.pdf

9 Sd 9 af 0 Dn daa gnrnd procs og smaonn gnags gang, for hvr af gnaglsrn gmms d smrd paramr, sandarfjln på paramrn., o g Drudovr gmms Rsular Mon Carlo rsularn kan ss Blag 3 l Blag 5. I abllrn r dr rapporr følgnd: Dn faksk paramr værd, 4, dr r brug dn daa gnrnd procs, og gnnmsn af paramrsmarn ovr d gnaglsr, man,. sandarfjln af paramrsmarn ovr d gnaglsr, sd og ndlg gnnmsn af sandar fjln ovr d gnaglsr, man 5 I Blag 3 ss a smaonn af CES produkonsfunkonn udn knologsk frmskrd kk gvr anldnng l n bas smaon af paramrn. D gældr båd når Törnqvskædprsndks llr Paaschkædprsndks brugs som d alrnav prsndks l CES- prsndks. I Blag 4 ss rsularn af Mon Carlo ksprmn md CES produkonsfunkonn md Hcks nural knologsk frmskrd. Esmaonn af paramrn gvr kk-basd sma. D skal dog bmærks dog a paramrn for d knologsk frmskrd r smr md modsa forgn. D forklars af lgnng (0.35), hvor d ss a ngn går md ngav forgn. Ign ss d, a dr kk r dn sor forskl mllm brugn af d o ksogn prsndks. I Blag 5 ss rsularn af Mon Carlo ksprmn md CES produkonsfunkonn md Harrod nural knologsk frmskrd. Gnrl r konsan-ld og paramrn for d knologsk frmskrd smr md sor uskkrhd og bas. D skal dog bmærks, a sma af dss paramr r ns md d o prsndks, hvlk kunn yd på n forkr forolknng af paramrn rgrssonslgnngn. En dybr forsåls af forolknngn af dss paramr kunn vær oplag mn for frmdg noa. Of r d subsuonslascn v r nrssr, og drfor kan uforsålg sma af konsanldd og rndparamrn måsk accprs, hvs subsuonslascn r smr præcs og udn bas. 4 r paramrvkorn hvor. for {,} og r dn smrd paramr vkor 5 r sandarfjl vkorn sd sd sd d smrd r sandar fjl. for {,}, og n vkor md

10 Esmr Sgma Esmr Sgma Sd 0 af 0 Esmaonn af subsuonslascn,, gvr gnrl kk-basd sma. Mn d ss, a for n daagnrnd procs md n subsuonslasc 0.8 mdførr smaon md Paachndks n posv bas på 0.. Forklarngn hrpå r a Paachndks r n dårlg approksmaon for CES prsndks når CES produkonsfunkonn har Harrod nural knologsk frmskrd og n subsuonslasc r æ på. D udbyds punkdagrammrn, Fgur. Hr r Mon Carlo ksprmn gnag for 60 forskllg værdr af subsuonslascn, md værdr fra 0.0 l 3. D andr paramr r valg som d forrg Mon Carlo ksprmn 6, og som før r ksprmn udfør båd for Törnqvskædprsndks og Paaschkædprsndks. Fgur, vsr d faksk værdr af subsuonslascn på -aksn og d smrd værdr på y-aksn. Hvs subsuonslascn r smr udn bas vl dn rød lnj følg 45-gradr lnjn. D punkrd lnjr angvr 95% - konfdnsnrvall på sma. Fgur. Mon Carlo ksprmn Subsuonslascssmar for n CESprodukonsfunkon md Harrod nural knologsk frmskrd. Paaschkædprsndks (vnsr) og Törnqvskædprsndks (højr) Sgma Sgma D punkrd lnjr angvr 95% - konfdnsnrvall på sgma sma. 95% - konfdnsnrvall for Törnqvskædprsndks r for sgma = 0.97 lg (7.59, -9.34) og for sgma =.0 lg (6.64,-8.94). Kld: Egn brgnngr. Fra Fgur ss d, a smaonn af subsuonslascs når dnn r æ på gvr d anldnng l n bas. D ss a Paaschndks fra 0 gånd mod har n ndns l a rsulr sma af sgma md n ngav bas hvormod dr fra og frmfr r n ndns l a basn r posv. I forhold l Törnqvsndks ss d, a Paaschndks har 6 log(0.5), 0. og 0.

11 Sd af 0 sørr nrval omkrng hvor sgma r smr md skævhd, md andr ord sr d ud l a Törnqvsprsndks kun rsulrr n lll bas omkrng. Törnqvsprsndks gvr dog anldnng l mg sor uskkrhd sma omkrng, så mg a sma kk r sgnfkan forskllg fra nul på 5% nvau. D kan byd a man fjlagg, rsrkrr Cobb Douglas produkonsfunkonn l n Lonf produkonsfunkon. Konkluson Noa opsllr n CES-produkonsfunkon md npu og knologsk frmskrd, dr udovr undrsøgs va Mon Carlo smulaonr konskvnsrn af a brug Törnqvs llr Paasch kædprsndks sd for d orsk korrk CES-prsndks smaonn af dnn CES produkonsfunkon. Hvs dn daa gnrrnd følgr n CES-produkonsfunkon udn llr md Hcks nural knologsk frmskrd sr d ud l a d alrnav prsndks kk mdførr nogn nævnværdg bas smarn. Indholdr daa drmod Harrod nural knologsk frmskrd, blvr sma af paramnrn for dn opmal fordlng af npus og d knologsk frmskrd smr md sor bas. Uafhængg af d knologsk frmskrd sr d ud l a sma af subsuonslascn, hvs dn kk r æ på, kk gvr anldnng l n bas. Hvs daa har n Harrod nural knologsk frmskrd og subsuonslascn r æ på gvr smaon md Paaschprsndks n sørr bas nd smaon md Törnqvsprsndks, mn smarn md Törnqvsprsndks r dog mr uskkr bsm.

12 Sd af 0 Blag. CES produkonsfunkon md npu. I d følgnd gnnmgås løsnngn af Lagrang-opmrngsproblm, som frmkommr når man har n CES produkonsfunkon md npu og skal bsmm d opmal nvaur af produkonsfakorr. For gv oupu, y, ønskr branchrn a mnmr udgfrn l npu og. Opmrngsproblm r gv vd:, (0.) mn p, p s. y Hvor p og p prsn på hnholdsvs npu og, y r oupu, og r d o npufakorr og hvor og r paramr. bsmmr dn opmal fordlng af npus og bsmmr dn (konsan) subsuonslasc mllm npus. På baggrund af d kan følgnd Lagrangfunkon, L, opskrvs: (0.3) L p, p,,, y, Hvor r Lagrang mulplrn. Førs-ordnsbnglsrn l Lagrangfunkon r gv vd: (0.4) (0.5) L, L,,, p y 0,, p y 0 (0.6),, y 0 L Fra lgnng (0.4) og (0.5) fås d opmal forhold mllm produkonsfakorrn: (0.7) p,,, p,

13 Sd 3 af 0 Lgnng (0.7) ndsæs udrykk for y, lgnng (0.6) og man kan bsmm d opmal produkonsfakornvau (, ),, (0.8) (0.9),, y p, p p, y CES p, p,, y p, p, y CES p, cs hvor p, r CES prsndks, dr r gv vd p ( p p ). cs /( ),,,

14 Sd 4 af 0 Blag. CES produkonsfunkon md npu og knologsk frmskrd. I d følgnd gnnmgås løsnngn af Lagrang-opmrngsproblm, som frmkommr når man har n CES produkonsfunkon md npu og knologsk frmskrd og skal bsmm d opmal nvaur af produkonsfakorr. For gv oupu, y ønskr branchrn a mnmr udgfrn l npu og., Opmrngsproblm r gv vd: (0.0) mn p, p s. y På baggrund af d kan følgnd Lagrangfunkon, L, opskrvs: L p p y (0.),,, Hvor r Lagrang mulplrn. Førs-ordnsbnglsrn l Lagrangfunkon r gv vd: (0.) (0.3) L, L,,, y p 0,, p y 0 L y 0 (0.4) Fra lgnng (0.) og (0.4) fås d opmal forhold mllm produkonsfakorrn: (0.5) p, ( ),, p,

15 Sd 5 af 0 Lgnng (0.5) ndsæs udrykk for y, lgnng (0.4) og man kan bsmm d opmal produkonsfakornvau (, ),,,, y ( ) p,,, ( ) p, ( ), ( ) y p,, y p, ( ) ( ) p, (0.6), y ( ) p, Bmærk a: D ndsæs lgnng (0.6)., ( ) ( ) p, ( ) p, y (0.7) ( ) ( ) p,, ( ) p, y Bmærk a: ( ) ( ) ) ) )( ) ) ) ( ( ( ( ( ( ) ( ) ( )( ) ( ).

16 Sd 6 af 0 D ndsæs lgnng (0.7): ( ) ( ) p,, ( )( ) ( ) p, y (0.8) Bmærk a: ( ( ) ) ( ) p,, p, ( ) ( ) ( ) ( ) D ndsæs lgnng (0.8): y p ( ) ( ),, p, p ( ) ( ) p,,, p, p, y y (0.9) ( ( ) ( p p p y ) ),,,, CES prsndks dfnrs som: (0.30) ( ) p p,,, p CES prsndks ndsæs lgnng (0.9) : ( p p ) ( ),,, p ( ),, p, y y

17 Sd 7 af 0 D opmal produkonsfakornvau for, r hrvd gv: ( ) p, (0.3), y p, På lgnnd måd kan d opmal produkonsfakornvau for (0.3) ( ) p,, y p, Anags Hcks- nural knologsk frmskrd gældr d: (0.33) D opmal forhold mllm produkonsfakorrn rducrs l:, fnds l: (0.34) p,,, p, D opmal produkonsfakornvau af, undr anaglsn omkrng Hcks- nural knologsk frmskrd, fnds vd a ndsæ anaglsn (0.33) lgnng (0.3): y ( ), p p p,,, p, (0.35), y CES p, CS E Hvor CES prsndks r gv vd: p, p, p,.

18 Sd 8 af 0 Blag 3. Mon Carlo In knologsk frmskrd. Paasch man sd man Törnqvs man sd man Paasch man sd man Törnqvs man sd man

19 Sd 9 af 0 Blag 4. Mon Carlo Hcks nural knologsk frmskrd. Paasch man sd man Törnqvs man sd man Paasch man sd man Törnqvs man sd man

20 Sd 0 af 0 Blag 5. Mon Carlo Harrod nural knologsk frmskrd. Paasch man sd man Törnqvs man sd man Paasch man sd man Törnqvs man sd man