Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

Transkript

1 Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

2 Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

3 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville være rart, hvis man altid vidste, hvad der er rigtigt eller forkert. Om noget er sandt eller falsk. Nogle gange er det let nok at afgøre, men af og til kan uenighed ende i et skænderi. Matematikken har fundet en måde, der kan afgøre, om noget er sandt eller falsk. Det kræver, at man har et sandt udgangspunkt, dvs. at det, man begynder med, er sandt. Derefter skal man bruge nogle få regler. Men pas på! Reglerne er lumske og kan både bruges og misbruges. Findes Gud? I middelalderen forsøgte mange at bevise, at Gud eksisterer. Der blev lavet forskellige beviser for Guds eksistens, men videnskabsfolkene kunne ikke blive enige. Man skal nemlig være enige fra begyndelsen, og der var altid tvivl om udgangspunkternes sandhed.

4

5

6 Logik 5 Det er da logik! Matematik handler især om tal og tegninger. Men der er også en anden slags matematik. Den kaldes logik. Logik består af ord og sætninger som dem, vi bruger til daglig. I matematikken laver man blot ordene og sætningerne om til symboler. Er vi enige om, at hvis det regner, så bliver gaden våd? Ja! Ja! Er vi enige om, at det regner? Hvis vi sætter det regner til at være p og gaden bliver våd til at være q, ser matematikkens logik-sprog sådan ud: hvis p så q vi ved p så ved vi q Når man laver en logisk argumentation, skal man blive enige om de første ting. Som de to, der taler om regn. Og hvis man er enig om det, giver konklusionen sig selv. Det er altså meget vigtigt at følge godt med undervejs. Hvis man siger ja til noget forkert, kan en, der er dygtig til logik, få noget sludder til at virke fornuftigt. Så bliver gaden våd det er logisk!

7

8 Logik 7 Den lykkelige dranker Den dansk-norske forfatter Ludvig Holberg ( ) skrev i 1731 Erasmus Montanus. Historien handler om Rasmus Berg, der er begyndt på universitetet. Han synes selv, at han er så klog. Derfor skal hans navn nu siges på latin. Erasmus har lært logik på universitetet, og i Holbergs historie er han på besøg hos sin familie. Erasmus vil nu overbevise dem om, hvor dygtig han er. Erasmus: Hør far, tror du på, at den, som drikker meget, er lykkelig? Jeppe: Jeg tror mere, at han er ulykkelig, for man kan drikke forstand og penge bort. Erasmus: Jeg vil bevise, at han er lykkelig. Den, som drikker meget, sover gerne godt. Er det ikke sandt? Jeppe: Det er sandt nok. Når jeg er fuld, sover jeg som en hest. Erasmus: Den, som sover godt, synder ikke. Er det ikke også sandt? Jeppe: Ja, det er sandt nok. Så længe man sover, synder man ikke. Erasmus: Den, som ikke synder, er lykkelig. Jeppe: Det er sandt! Erasmus: Altså gælder: Den, som drikker meget, er lykkelig. Skrevet med logikkens sprog ser det sådan ud: hvis p så q hvis q så r hvis r så s så ved vi hvis p så s p: man drikker q: sover man godt r: synder man ikke s: er man lykkelig Erasmus laver en kæde af argumenter, hvor den sidste del af hvert udsagn kædes sammen med den første del i det næste udsagn.

9 8 Logik Forkert konklusion! Erasmus får overbevist sin far om noget helt andet, end faren mente. Og vi ved jo, at det er vrøvl. Det er noget vrøvl, fordi de enkelte udsagn ikke er sande. Det er ikke nødvendigvis rigtigt, at den, som ikke synder, er lykkelig. Eller at den, som sover godt, ikke synder. Og derfor bliver konklusionen forkert, selv om den følger de regler, logikken har. På side 5 var det logisk, at gaden bliver våd. Lad os prøve at vende sætningerne om: Er vi enige om, at hvis det regner, så bliver gaden våd? Ja! Ja! Er vi enige om, at gaden er våd? Men vi ved stadig ikke, hvorfor gaden er våd. Det vil være forkert at konkludere, at det regner. Det gør det muligvis, men det er ikke noget, logikken siger.

10

11 10 Logik Erasmus laver logisk vrøvl Erasmus har ikke altid styr på logikken. For eksempel overbeviser han sin stakkels mor om, at hun er en sten: Erasmus: En sten kan ikke flyve. Mor Nille: Nej, det er rigtigt nok, undtagen når man kaster den. Erasmus: Du kan ikke flyve. Mor Nille: Det er også sandt. Erasmus: Altså er morlille en sten. Det kan man skrive om til: Hvis man er en sten, kan man ikke flyve. Hvis man er morlille, kan man ikke flyve. Så ved vi, at hvis man er morlille, er man en sten. Når vi skriver det med logikkens sprog, ser det sådan ud: hvis p så q hvis r så q så ved vi hvis r så p p: man er en sten q: man kan ikke flyve r: man er morlille Sådan kan man ikke konkludere ifølge logikken. Måske har du hørt folk, der diskuterer, sige til hinanden: Nej, ved du nu hvad! Her hopper kæden af. Det er et udtryk for, at logikkens regler ikke følges.

12

13 12 Logik Sandhedstabeller Når din lærer siger: Hvis solen skinner i morgen, spiller vi rundbold, kan vi finde ud af, hvornår det er et sandt udsagn. Hvis solen skinnede dagen efter, og I spillede rundbold, var lærerens udsagn sandt. Hvis solen ikke skinnede dagen efter, og I ikke spillede rundbold, var lærerens udsagn også sandt. Hvis solen skinnede dagen efter, men I ikke spillede rundbold, løj læreren. Udsagnet var falsk. Hvis solen ikke skinnede dagen efter, og I alligevel spillede rundbold, var udsagnet sandt. Læreren havde jo ikke sagt noget om, hvorvidt I måtte spille rundbold, hvis solen ikke skinnede. Den slags kan skrives kort i en sandhedstabel: Solen skinner i morgen spiller vi rundbold sandt sandt sandt sandt falsk falsk falsk sandt sandt falsk falsk sandt Hvis solen skinner i morgen, spiller vi rundbold Sandhedstabellen er en anden måde at skrive logikken op på. Fordelen er, at man ser alle mulighederne og bliver opmærksom på sandhedsværdien af dem alle. Også de kombinationer, der virker lidt unaturlige.

14

15 14 Logik Logikkens symboler Logikken har som al anden matematik en masse symboler, som bruges til at skrive udsagn kort og præcist. På side 5 lærte du hvis p så q. Det skrives også p q som siges p medfører q Der findes mange flere symboler. De vigtigste er ikke og eller medfører De tre udsagn p: solen skinner q: cyklen kan køre r: vi skal på skovtur kan for eksempel sammensættes til: p r r p (p q) r r p q hvis solen skinner, skal vi på skovtur hvis vi ikke skal på skovtur, skinner solen ikke hvis solen skinner og cyklen kan køre, skal vi på skovtur hvis vi ikke tager på skovtur, skinner solen ikke, eller cyklen kan ikke køre Symboler derfor! Hvorfor bruger man underlige symboler i matematikken, når man kan skrive logik med almindelige ord? Det gør man for at fjerne detaljer, der forstyrrer. Så kan man bedre udregne svære sammenhænge. Tænk blot på, hvordan en komponist bruger noder til at få et orkester til at spille musik. Komponisten kan godt fortælle hver musiker med ord, hvordan han eller hun skal spille. Men det er meget nemmere med noder.

16

17

18 Logik 17 Fakta om logik Logik er gammel matematik Allerede i oldtidens Grækenland tænkte man over logik. Den græske videnskabsmand (Aristoteles f. Kr.) fandt på de logiske regler, vi bruger i dag. Det gjorde han godt. I dag over år efter hans død bruges hans lærebøger stadig på universiteter i hele verden. Logik er ikke kun matematik Logik er et vigtigt værktøj for matematikere. Men også andre bruger logik. Filosoffer bruger logik til at finde ud af, om et argument er godt Sprogfolk bruger logik til at vurdere, hvordan vi tænker og taler IT-programmører bruger logik til at løse problemer Logiske søgninger på Internettet Når du søger på Internettet, bruger du logik, selv om du måske ikke tænker over det. Hvis du for eksempel søger på logik Erasmus, finder du de sider på Internettet, hvor der både står logik og Erasmus. Det er ikke så mange. Du kan også søge efter de sider, hvor der står logik, men ikke Erasmus. Det skriver man i søgemaskinen Google som logik -Erasmus, hvor det lille minus er lig med ikke. Google finder nu de sider, hvor det er sandt, at ordet logik findes, og sandt, at ordet Erasmus ikke findes.

19 Opgaver Opgave 1 Er det logisk korrekt at sige: Hvis du er min mor, så er du ældre end mig. Du er min mor, altså er du ældre end mig. Opgave 2 Er det logisk korrekt at sige: En motorcykel har to hjul. Min cykel har to hjul. Altså er min cykel en motorcykel.

20 Opgave 3 Erasmus forklarer, hvorfor børn skal slå deres forældre. Han siger: Den, man elsker mest, slår man mest. Der er ingen, man bør elske mere end sine forældre. Altså bør man slå sine forældre. Er det logisk korrekt? Hvis det er logisk rigtigt, hvorfor er det så alligevel noget vrøvl? Logik 19

21 20 Logik Opgave 4 På en ø bor der to slags mennesker: sandterne, der altid taler sandt, og falskerne, der altid taler falsk. Sandterne bor på den vestlige del af øen, og falskerne bor på den østlige del. En dag kommer der en missionær til øen. Han kender godt til de mærkelige folk på øen, men han ved ikke, om han er landet på den østlige eller vestlige del af øen. Missionæren ser en ø-boer nærme sig og ser en anden ø-boer lidt længere væk. Missionæren vil gerne finde ud af, om han er sammen med sandterne eller falskerne, så han giver den nærmeste ø-boer følgende smarte opgave: Gå hen og spørg den ø-boer derhenne, hvilken ende af øen han kommer fra. Ø-boeren går hen til den anden ø-boer, spørger ham, hvor han kommer fra og vender tilbage til missionæren og siger: Han siger, at han kommer fra den østtlige del af øen. Hvad ved missionæren nu? Er han sammen med en sandter eller en falsker?

22

23

24 Logik 23 Løsninger Løsning på opgave 1 Ja, det er korrekt. Der er brugt samme korrekte argumentation som på side 5. Løsning på opgave 2 Nej, det er selvfølgelig ikke korrekt. En cykel er ikke nødvendigvis en motorcykel, fordi de begge har to hjul. Der er brugt samme forkerte argumentation, som Erasmus gør i forhold til sin mor på side 10. Løsning på opgave 3 Man kan godt sige, at det er logisk korrekt. Det følger samme korrekte argumentation som på side 5. Men det er noget vrøvl, fordi de fleste mennesker ikke er enige med Erasmus i at Den, man elsker mest, slår man mest. Løsning på opgave 4 Missionæren er sammen med en falsker. Uanset hvem på øen man stiller spørgsmålet: Hvor kommer du fra?, svarer de alle: Jeg kommer fra den vestlige del af øen. Sådan svarer sandterne, fordi de virkelig kommer fra den vestlige del, og sådan svarer falskerne, fordi de lyver. De kommer nemlig fra den østlige del. Når øboeren, der taler med missionæren, påstår om den anden ø-boer, at Han siger, at han kommer fra den østlige del, så lyver han. Sådan er der nemlig ingen, der vil svare. Derfor ved missionæren nu, at han står over for en falsker.

25 Læs selv om logik af Erik Bjerre og Pernille Pind Serietitel: Læs selv matematik Copyright Forfatterne og Forlaget Mañana 2005 Illustrationer : Jørgen Stamp Layout, tilrettelæggelse og omslag: Søren Kirkemann & Jørgen Stamp ISBN: Kopiering fra denne bog er kun tilladt i henhold til overenskomst med Copy-Dan Der er lærervejledning på forlagets hjemmeside: under download. Læs selv matematik består foreløbig af følgende titler: Tankelæseren De syv broer Halvfjerds derfor! Når VI er et tal Plat og krone Tegn stjerner Læs selv om korttricks Læs selv om uendelighed Læs selv om mål Læs selv om logik Læs selv om landkort Læs selv om labyrinter F O R L A G E T PIND OG BJERRE Grenåvej 664 C 8541 Skødstrup Tlf

26 Læs selv om logik Det er svært at vide, om folk taler sandt eller falsk? Men matematisk logik kan hjælpe dig på vej. I denne bog kan du læse om, hvordan man kan bruge logik. Læs selv om logik indgår i serien Læs selv matematik. Det er bøger, der handler om matematik på en ny måde. I hver bog er der opgaver med løsninger. Bøgerne kan læses af alle med interesse for matematik. Fra 12 år. Andre bøger i serien Læs selv matematik: Læs selv om labyrinter Lær at tegne labyrinter. I denne bog er der eksempler på gamle labyrinter, som mennesker har lavet i flere tusinde år, og der er eksempler på helt nye labyrinter. Læs selv om landkort Jorden er rund, og landkort er flade. Det betyder, at det er svært at lave et præcist billede af jorden på et landkort. I denne bog kan du læse, hvordan matematik gør det muligt at tegne landkort. Læs selv om mål For nogle hundrede år siden havde næsten hver landsby sine egne mål for længde, vægt og rumfang. Efter Den franske revolution opfandt man metersystemet, som i dag bruges i de fleste lande i verden. Læs selv om korttricks Korttricks virker som magi, men det er ofte matematik, der ligger bag. I denne bog kan du lære nogle korttricks, som garanteret vil forbløffe dine venner. F O R L A G E T PIND OG BJERRE Grenåvej 664 C 8541 Skødstrup Tlf Læs selv om uendelighed Hvad betyder uendelig? Og kan man måle uendelighed? I denne bog kan du læse om Hilberts Hotel, der har uendelig mange værelser. Og du kan lære om den underlige uendelighed.