Opgaver i logik, torsdag den 20. april

Transkript

1 Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og vi vil tabe valget. ( Jones bliver valgt ) (( Smith forlader kabinettet Robinson forlader kabinettet) Vi taber valget ) d) Hvis x er et rationelt tal og y er et heltal, så er z ikke et reelt tal. ( x Q y Z) z R e) Enten har morderen forladt landet eller også er der nogen der skjuler ham. Morderen har forladt landet Nogen skjuler ham f) Hvis morderen ikke har forladt landet, er der nogen der skjuler ham. ( Morderen har forladt landet) Nogen skjuler ham g) Summen af to tal er lige, hvis og kun hvis enten begge numre er lige eller begge numre er ulige. a + b er lige ( a er lige b er lige a er ulige b er ulige) h) Hvis y er et heltal, så er z ikke et reelt tal, under forudsætning af at x er et rationelt tal. ( x Q y Z) z R eller ækvivalent: x Q ( y Z z R) Et argument for at de to udsagn er ækvivalente fås ved at kigge på opgave 3c og 3d. For at to udsagn er ækvivalente, skal de blot have ens sandhedstabeller. Opgave 3 Sandhedstabellen for simple logiske udtryk er: p q p p q p v q p q p q p q F F S F F S S F F S S F S S F S S F F F S F F S S S F variabler negation og eller implikation biimplikation xor Bemærk at eller også gælder når begge variabler er sande, mens xor ikke bliver sand i det tilfælde. I matematik benyttes eller hovedsageligt. Side 1 af 8

2 Opskriv sandhedstabellen for udsagnene. (De står i sidste kolonne) a) p q p q p q F F S S S F S S F F S F F S F S S F F F b) p q p q (q p) (p q) (q p) ((p q) (q p)) F F S F F S F S F F F S F S S S F F S c) p q r q r p (q r) F F F S S F F S S S F S F F S S F F S S S S F F F d) p q r p q p q r e) f) F F F F S F F S F S F S F F S F S S F S S F F F S S F S F S S S F S F p q p ( q) (p ( q)) v q F F F F F S S S S F S S S S F S p q r s p q r s (p q) v (r s) F F F F F F F F F F S F F F F F S F F F F F F S S F S S F S F F F F F F S F S F F F F S S F F F F Side 2 af 8

3 F S S S F S S S F F F F F F S F F S F F F S F S F F F F S F S S F S S S S F F S F S S S F S S F S S S S F S F S S S g) p q r p q q r ( p q) ( q r) F F F F F S F F S F S S F S F S F F F S S S F F S F F F F S S F S F S S S S F F F S S S S F F S h) p q r p (q r) (p q) (p r) (p (q r)) ((p q) (p r)) F F F S S S F F F S F F S S S S S S F F F S S Opgave 5 Hvilke udsagn er en tautologi? Dvs. vi skal tjekke om udsagnene altid er sande. Det gøres ved at opskrive deres sandhedstabeller. a) p (q p) p q q p p (q p) F F S S F S F S S F S S S S S S b) (q v r) ( r q) q r q v r r q (q v r) ( r q) F F F F S Side 3 af 8

4 c) (p q) v (q r) v (r p) p q r p q q r r p (p q) v (q r) v (r p) F F F F F F F F F S F F S S F S F F S F S F S S F F S S S F F S F F S S F S S F F S S S F F S F S S S S F F F F d) (p (q r)) ((p q) v r) p q r p (q r) (p q) v r (p (q r)) ((p q) v r) F F F S F F F F S F S F F F S F F S S S S S S F F F S S En anden måde at vise at et udtryk er en tautologi er ved at omskrive udtrykket. Se eks. 1 bagerst. Opgave 6 Hvis at følgende par af udsagn er logisk ækvivalente. Dvs. vi skal vise at de har ens sandhedstabeller. a) p q og q p p q p q q p F F S S F S S S S F F F S S S S b) (p v q) r og (p r) v (q r) p q r (p v q) r (p r) v (q r) F F F F F F F S F F F S F F F S F F F F S S F F F Side 4 af 8

5 c) ( p q) r og r (q v p) p q r ( p q) r r (q v p) F F F S S F F S F F F S F S S S F F S S S S F S S Se eksempel 2 bagerst, hvor første udtryk omskrives til det andet udtryk, ved brug af opg. 6a. d) ( p v q) r og (p q) v r p q r ( p v q) r (p q) v r F F F F F F F S S S F S F F F S F F S S S S F F F Opgave 20 Vurder om de følgende argumenter er gyldige. Først lidt om argumenter. Et argument består af en række udsagn: præmisser: A 1, A 2,, A n konklusion: A Argumentet siger da, at hvis alle præmisserne er sande, da er konklusionen også sand. Dette skrives: A 1, A 2,, A n A For at vise at et argument er gyldigt, skal man vise at følgende udsagn er en tautologi: (A 1 A 2 A n ) A (*) a) Hvis en funktion f ikke er kontinuert, da er funktionen g ikke differentiabel. g er differentiabel, så derfor er f kontinuert Opskrevet formelt: A : 1 A2 : A : ( f kontinuert) ( g differentiabel) g differentiabel f kontinuert p q q p Side 5 af 8

6 Undersøger nu om argumentet er gyldigt. Opskriver først variabler, der indgår i udsagnene, og derefter præmisserne. Den eneste måde at implikationen (*) kan blive falsk, er når alle præmisser er sande og konklusionen er falsk. Dvs. at vi skal blot tjekke at konklusionen er sand i de rækker hvor alle præmisser er sande. Variabler Præmisser Konklusion skal være sand p q A 1: p q A 2: q A: p F F S F - F S F S - S F S F - Dvs. at argumentet er gyldigt. c) Hvis der er olie i polygonia, så har eksperterne enten ret eller så lyver regeringen. Enten er der ikke olie i polygonia, eller også tager eksperterne fejl. Derfor lyver regeringen ikke. A A 1 2 : : A : ( Eksperterne har ret Regeringen lyver) p ( q r) ( Der er olie i Polygonia ) ( Eksperterne har ret) p q ( Regeringen lyver) Der er olie i Polygonia r Undersøger konklusion: Variabler Præmisser Konklusion skal være sand p q r p (q v r) p v q r F F F S S S F F S S S F F F S F F F S - F S S F S F - S S S S F - Dvs. at (A 1 A 2 ) A ikke er en tautologi, så argumentet er ugyldig. Opgave 1, nederst Oversæt følgende tekst til udsagn med kvantorer, variabler og logiske udtryk. Lad først følgende betegnelser gælde: M: Mængde af funktioner fra R over i R T: Mængde af alle tog a) Ikke alle funktioner har en afledet. f M : (f er differentiabel) eller ( f M : f er differentiabel) Side 6 af 8

7 b) Der findes en funktion der er kontinuert, men som ikke er differentiabel. f M : (f er kontinuert) (f er differentiabel) c) Hvis der er nogle tog der er forsinket, så er alle tog forsinket. ( a T : a er forsinket) ( b T : b er forsiket) d) Ethvert tal er enten lige eller ulige. n Z : (n er lige) (n er ulige) e) Intet tal er både lige og ulige. ( n Z : (n er lige) (n er ulige)) Eksempel 1 Udtryk Benytter omskrivning: p (q p) ~ p v (q p) a b ~ a v b ~ p v ( q v p) a b ~ a v b ~ p v q v p a v (b v c) ~ a v b v c ~ p v p v q a v b ~ b v a ~ ( p v p) v q a v (b v c) ~ a v b v c ~ S v q a v a ~ S (tautologi) ~ S S v a ~ S (tautologi) Eksempel 2 Udtryk Benytter omskrivning: ( p q) r ~ r ( p q) a b ~ b a ~ r ( p q) a ~ a ~ r ( p v q) (a b) ~ a v b ~ r (p v q) a ~ a ~ r (q v p) a v b ~ b v a Side 7 af 8

8 Eksempler på andre argumenter: p q r p r q Et konkret eksempel med dette argument er: Vi ved at der gælder: Hvis a er lige og b er lige, da er a+b lige. Det svarer til de tre udsagn: p: a er lige q: b er lige r: a+b er lige Så hvis vi ved at a+b er ulige og at a er lige, da må b være et ulige tal. Et ofte benyttet argument i beviser, er at danne en løkke af implikationer: p q q r r p p q, p r, q r Variabler Præmisser Konklusion skal være sand p q r p q q r r p p q p r q r F F F S F F S S S F S F F F S F S F S F S F F F F S S F F F S S F F S S F S F S S F S F S S F S F S S F F S S S S I beviset viser man at de 3 præmisser (implikationer) faktisk gælder, hvorved man kan konkludere at de 3 udsagn er ækvivalente. Side 8 af 8