2 Oversigt II. 2.1 Tessellationer. 2.2 En {3, 7} tessellation

Transkript

1 2 versigt II En fortsættelse af gennemgangen af den elementære hyperbolske plangeometri i Poincaré disken. I denne note viser vi, hvorledes teorien om euklidisk symmetri af regulære hyperbolske polygoner kan udvides til at omfatte tessellationer. Alle tegningerne er lavet i HypGeo, men de farvelagte tegninger er efterbehandlet i Gimp. 2.1 Tessellationer I dette kapitel udvider vi teorien til at omfatte hyperbolske tessellationer, som konstrueres om en centralpolygon. Ved en {n,r} tessellation forstås en overdækning af Poincaré disken, hvor centralpolygonen er en hyperbolsk regulær n-polygon, og hvor hver vinkelspids i tessellationen er omgivet af r hyperbolsk regulære n-polygoner, som er hyperbolsk kongruente med centralpolygonen. I modsætning til i den euklidiske geometri kan man lave en {n,r} tessellation for alle positive tal n og r, blot 1 n + 1 r < 1 2 Vi lægger ud med at gennemgå en tessellation baseret på en centraltrekant. 2.2 En {3, 7} tessellation Herunder er begyndelsen på en {3, 7} tessellation, hvor centraltrekanten er tegnet med blå farve: T S R U Q P Vi har tegnet centraltrekantens symmetrilinjer (rosa), og markeret trekanternes centrummer, P, Q, R,... De syv regulære hyperbolske trekanter danner tilsammen en regulær hyperbolsk syvkant med hyperbolsk centrum i vinkelspidsen for den blå trekant. Syvkanten er euklidisk 1

2 symmetrisk, idet syvkantens akse er en midtnormal. De fire toptrekanter givet ved Q, R, S og T er euklidisk asymmetriske, men er to og to euklidisk kongruente figurer. De tre nederste trekanter er euklidisk symmetriske, og de to yderste givet ved U og P er euklidisk kongruente. Herunder har vi indtegnet akserne (som cyan farvede halvlinjer) til kontrol af asymmetrien: T S R U Q P Da ingen af akserne er symmetrilinje i den tilsvarende trekant, er trekanterne euklidisk asymmetriske. Vi rydder op i tegningen og fortsætter konstruktionen i punktet A : A Syvkanten med centrum i A består af syv euklidisk asymmetriske trekanter, og er også selv asymmetrisk, hvilket kan kontrolleres på næste tegning med akserne indtegnet: 2

3 A Vi har udvidet med de sidste trekanter i laget, og vi har tegnet akserne til de nye trekanter (cyan) og aksen til syvkanten (orange). Ingen af akserne er symmetrilinjer i de tilhørende polygoner (husk, at tegningen kan forstørres i reader en uden tab af nøjagtighed) g sådan kan vi fortsætte... De rosafarvede trekanter er euklidisk symmetriske, alle andre er euklidisk asymmetriske. Læg mærke til at hele figuren er symmetrisk om hver af centraltrekantens midtnormaler. venstående lægger op til de følgende sætninger om trekanterne i { 3,7} tessellationen: Sætning 2.1 Hvis en trekant har centrum på en af centraltrekantens midtnormaler, så er den euklidisk symmetrisk. Sætning 2.2 Hvis en trekant ikke har centrum på en af centraltrekantens midtnormaler, så er den euklidisk asymmetrisk. 2.3 Sætninger om tessellationer Dette afsnit indeholder en oversigt over teorien om tessellationer baseret på teorien om euklidisk symmetri af regulære hyperbolske polygoner. 3

4 I det følgende lader vi T betegne en {n, d} tessellation konstrueret ud fra en regulær hyperbolsk n-polygon P med centrum i rigo. Polygonen P kaldes for tessellationens centralpolygon. Centralpolygonens symmetrilinjer går gennem rigo, og er derfor diametre i Poincaré disken. Tessellationen T er karakteriseret ved, at enhver vinkelspids er omgivet af d polygoner, som alle er hyperbolsk kongruent med centralpolygonen. Tessellationen fremkommer ved at spejle i polygonernes sider. Sætning 2.3 Enhver polygon i T, som har centrum på en af centralpolygonens symmetrilinjer, er euklidisk symmetrisk. Herunder følger et par anvendelser af sætningen: Den følgende tegning viser de to første lag af {5, 4} tessellationen med centralpoygonens symmetrilinjer indtegnet: Det første lag består af 10 euklidisk symmetriske polygoner, og hvert af de følgende lag indeholder også 10 euklidisk symmetriske polygoner, nemlig de polygoner, som har centrum på en af symmetrilinjerne, idet alle andre polygoner er euklidisk asymmetriske jvf. en senere sætning. Den næste tegning viser polygonerne i de to første lag i en {4, 5} tessellation: Det første lag indeholder 4 euklidisk symmetriske firkanter, mens det andet lag indeholder 8, og således vil det skifte mellem 4 og 8 i de følgende lag, idet de polygoner, som ikke har centrum på en af symmetrilinjerne er euklidisk asymmetriske jvf. en senere sætning. 4

5 Vi undersøger i det følgende de polygoner, som ikke har centrum på en af centralpolygonens symmetrilinjer, idet vi betragter hypotesen H : En polygon i T, som ikke har centrum på en af centralpolygonens symmetrilinjer, er euklidisk asymmetrisk. Først et vigtigt Lemma 2.4 Hypotesen H er altid opfyldt i det første lag omkring centralpolygonen. Vi deler nu op efter d lige og ulige, hvor d som bekendt er det antal polygoner, som omgiver hver vinkelspids i tessellationen. Sætning 2.5 Hvis d er et lige tal, så er hypotesen H sand. Vi kan omskrive sætningen til følgende Sætning 2.6 En polygon i en {n, d} tessellation, hvor d er et lige tal, er euklidisk symmetrisk hvis og kun hvis polygonen har centrum på en af centralpolygonens symmetrilinjer. Desværre er det ikke lykkedes at bevise helt samme resultat, hvis d er et ulige tal, men Sætning 2.7 Hvis hypotesen H er opfyldt i de to første lag i tessellationen T, hvor d er et ulige tal, så er den opfyldt i alle lag. Af sætningen følger altså, at hypotesen H gælder i tessellationen {n, d}, hvor d er ulige, hvis det andet lag opfylder hypotesen, idet den altid er opfyldt i det første lag. I praksis er det nok at tjekke det andet lag mellem to af centralpolygonens symmetrilinjer. PS: Det er ikke lykkedes at finde et eksempel, som ikke opfylder hypotesen i de to første lag. Vi afslutter med et eksempel på en tessellation, som ikke indeholder en centralpolygon. Eksemplet viser en skæv tessellation, dvs en tessellation, som udelukkende består af euklidisk asymmetriske hyperbolske polygoner, og den fremkommer ved at forskyde en tessellation på passende måde: Tegningen herunder viser de første to lag. Frembringerpolygonen (blå) for tessellationen fremkommer ved en hyperbolsk translation af centralpolygonen i en { 4,5 } tessellation langs en Poincaré diameter (magenta), som ikke er en symmetrilinje i centralpolygonen: C 5

6 Alle polygoners midtnormaler er tegnet op med grønt. Ingen af midtnormalerne går gennem rigo; altså er ingen af firkanterne euklidisk symmetrisk om en midtnormal. Herunder er alle diagonalerne tegnet ind (med cyan farve; de overtegner siderne): C Ingen diagonaler går gennem rigo; altså er ingen af firkanterne euklidisk symmetrisk om en diagonal. Konklusion: De første to lag i tessellationen består udelukkende af euklidisk asymmetriske firkanter. Det overlades til læseren at overbevise sig om, at det samme vil gælde for alle efterfølgende lag. Der er heller ingen euklidisk symmetri om diameteren. g til sidst en farvelagt JPG-udgave af denne skæve tessellation: Preben M. Henriksen juli