Sandsynlighedsregning og statistisk

Transkript

1 Figur : J. C. F. Guss Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril

2 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for de metoder der beyttes i deskriptiv sttistik på Mt C iveu. Edvidere er der lgt vægt på t teorie for kotiuerte fordeliger k ses som e vedelse f B- og A-iveuets differetil- og itegrlregig. Itegrler over ubegræsede itervller I det itegrlregig vi stiftede bekedtskb med i Mt A-boge blev lle bestemte itegrler tget over begræsedede itervller. M k imidlertid ofte også tge itegrler over ubegræsede itervller. Eksempel Ld t > være et reelt tl. D et t x dx = = - x - t ]t = t. Vi ser t t er e voksede fuktio og t t derfor dx =. x - for t. Vi skriver Defiitio Ld f være e kotiuert fuktio. Hvis b f x dx hr e græseværdi for b gåede mod uedelig, så beteges dee græseværdi f x dx. Tilsvrede defieres b - f x dx som de evetuelle græseværdi f b f x dx for gåede mod -. Hvis b f x dx er defieret og hr e græsevær for - b gåede mod uedelig, så beteges dee græseværdi med f x dx. - 3 Kotiuerte fordeliger Defiitio 3 Ld X være e stokstisk vribel. D er fordeligsfuktioe F for X defieret ved F x = P X x. Fordeligsfuktioe svrer til de sumkurver vi hr teget i deskriptiv sttistik. Tilfældige tl k geereres ved t tste MATH] 7:Probbility 4:rd Returerer et tilfældigt helt tl hvis e størsteværdi gives eller et ligefordelt decimltl fr hvis itet rgumet itstes. Sytx: rd rdstørste tl 6:rdNorm Returerer et tl tilfældige ormlfordelte tl. Sytx: rdnormtl tilfældige tl, middelværdi, spredig 6.3 TI-spire I beregigsdele trykkes på meukppe. Her k bldt det vælges: 5: Sdsylighed 5: Fordeliger : Norml Pdf Et vidue kommer frem, hvor m idtster x-værdi, middelværdi og σ spredig. Et yt vidue kommer frem med givelse f værdie f tæthedsfuktioe. 5: Sdsylighed \blcktrigleright 5: Fordeliger \blcktrigleright : Norml Cdf Et vidue kommer frem, hvor m idtster Nedre græse og Øvre græse itervledepukter, smt middelværdi og σ spredig. Uedelig k idtstes ved t hete teget fr liste f specilteg. Et yt vidue kommer frem med givelse f sdsylighede for t e ormlfordelt vribel med de give prmetre ligger i itervllet. 5: Sdsylighed \blcktrigleright 5: Fordeliger \blcktrigleright 3: Ivers orml Et vidue kommer frem, hvor m idtster Arel sdsylighed, middelværdi og σ spredig. Et yt vidue kommer frem med givelse f de tilsvrede frktil. 5: Sdsylighed \blcktrigleright 4: Tilfældig \blcktrigleright : Tl Returerer kommdoe rd som fugerer som på TI-89. 5: Sdsylighed \blcktrigleright 4: Tilfældig \blcktrigleright : Heltl Returerer kommdoe rdit som fugerer som på TI-89. 5: Sdsylighed \blcktrigleright 4: Tilfældig \blcktrigleright 4: Norml Returerer kommdoe rdnorm som fugerer som på TI-89.

3 ormlcdfx, middelværdi, spredig ormlormlcdf edre græse, øvre græse, middelværdi, spredig 3: ivnorm Returerer frktile svrede til et et tl mellem og. Sytx: ivnormsdsylighed ivnormsdsylighed, middelværdi, spredig Der er følgede kommdoer til t geerere tilfældige tl. Tst MATH > PRB : rd Returere et ligefordelt tl mellem i ; ] Sytx: rd rdnorm Returerer et tilfældige ormlfordelte tl. Sytx: rdnormmiddelværdi, spredig, tl tilfældige tl rdit Returerer et tilfældigt helt tl. Sytks: rditmidste tl, største tl 6. TI-89/Voyge M k klde kommdoer svrede til kommdoere i TI-83+/TI-84+ ved hete dem fr ktloget eller skrive heholdsvis: tistt.ormpdf tistt.ormcdf tistt.ivnorm Altertivt k m strte pplictioe list/stt og vælge F5 Distr :Shde :Shde Norml Et vidue kommer frem, hvor m idtster Upper vlue og Lower vlue itervledepuktere, middelværdi og σ spredig. E grf bliver vist med e mrkerig f det rel uder kurve m hr givet. :Iverse \blcktrigleright :Iverse Norml... Et vidue kommer frem, hvor m idtster Are sdsylighed, middelværdi og σ spredig. Et yt vidue kommer frem med givelse f de tilsvrede frktil. 3:Norml Pdf... Et vidue kommer frem, hvor m idtster x, middelværdi og σ spredig. Et yt vidue kommer frem med givelse f værdie f tæthedsfuktioe. 4:Norml Cdf... Et vidue kommer frem, hvor m idtster Upper vlue og Lower vlue itervledepuktere, middelværdi og σ spredig. I stedet for og k m bruge - 99 og 99. Et yt vidue kommer frem med givelse f sdsylighede for t e ormlfordelt vribel med de give prmetre ligger i itervllet. 9 Eksempel 4 E stokstisk vribel X siges t være ekspoetilfordelt med middelværdi λ dersom des fordeligsfuktio er givet ved { for x, F x = e -x/λ for x >. E såd ekspoetilfordelig giver f.eks. e god beskrivelse for vetetide for et rdioktivt hefld f et tom. Vi lægger mærke til t fordeligsfuktioe er e voksede fuktio og t lim F x =, x lim F x =. x Hvis vi keder fordeligsfuktioe for e stokstisk vribel, k vi berege sdsylighede for t de stokstiske vribel ligger i et vilkårligt itervl idet der gælder t P < X b = F b F. Defiitio 5 Hvis fordeligsfuktioe F for e stokstisk vribel X er e kotiuert fuktio, så siges X t være e kotiuert vribel. Hvis F er differetibel, så kldes fuktioe f x = F x for de stokstiske vribels tæthedsfuktio. Tæthedsfuktioe svrer til de pide- og søjledigrmmer vi hr teget i deskriptiv sttistik. Eksempel 6 Tæthedsfuktioe for e ekspoetilfordelig er givet ved fx f x = F x { for x, = λ e x/λ for x >. Hvis f er tæthed for e stokstisk vribel med for delig F, så er F stmfuktio til f og der gælder t F t = t 4 f x dx. 6 8

4 Edvidere gælder der t P < X b = F b F = b f x dx. Sdsylighede for t < X b svrer derfor til relet uder grfe for f mellem og b. For t e fuktio f k være e tæthedsfuktio skl der gælde, t f x og t f x dx =. De fleste kotiuerte fordeliger er defieret ud fr deres tæthedsfuktio. Eksempel 7 Ved e ligefordelig i itervllet ; b] forstå e fordelig med tæthed { for x / ; b], f x = b for x ; b]. Vi checker t der ret fktisk er tle om e sdsylighedsfordelig ved t udrege b b dx = x b ]b =. Når vi teger søjledigrmmet for grupperede dt, tger vi fktisk t dt er ligefordelt i hvert delitervl. Ligesom for diskrete vrible k m berege middelværdi og vris for kotiuert fordeliger. Dette sker ved t ersttte summer med itegrler. Defiitio 8 Ld X være e stokstisk vribel med tæthedsfuktio f. D defieres middelværdie f X ved E X] = x f x dx. Hvis de stokstiske vribel X hr middelværdi, så er vrise f X defieret ved Spredige er givet ved V r X = x f x dx. σ X = V r X /. Eksempel 9 Ekspoetilfouktioe med tæthed e x/ for x hr middelværdi x f x dx = = + x dx + x e x/ x e x/ dx. dx Bevis Vi vil tge t ormlfordelige hr middelværdi og vris σ. D gælder X i X ] X E X ] X + X X X ] ] E X ] + E X E X X ]. Vi beytter u t E ] X = σ og E X = σ / smt t X = X i til t få ] ] X] E Xi] σ + σ ] E X X = E i = = E = ] E X ] + E X E X X ] = σ + σ E X Xi = σ + σ E XXi] = σ + σ E X ] + E i= = σ + σ σ = = σ. 6 Normlfordeliger og tilfældige tl på lommeregere 6. TI-83+/84+ Meue for ormlfordeliger k fides uder DISTR d VARS. Bemærk t middelværdi og spredig hr defultværdier og svrede til e stdrdormlfordelig. : ormlpdf Returerer sdsylighedstæthede i et givet pukt. Sytx: ormlpdfx ormlpdf x, middelværdi, spredig : ormlcdf Returerer værdie f fordeligsfuktioe i et givet pukt. M k vælge både t give e edre og e øvre græse. I stedet for - og k m bruge 99 og 99 Sytx: ormlcdfx 3 8

5 og E ] X] = E X i = E X i ] = =. Her lves substitutio t = x/, hvilket ved brug f prtiel itegrtio giver x e x/ dx = = = t e t dt t t ] + = t] =. e t dt t dt Vi k udrege vrise f geemsittet. Atg t de stokstiske vribel hr middelværdi. Så gælder t V r X i = V r X i = V r X i = σ = σ. Derfor er geemsittets spredig σ/ /. Det k vises t stikprøves geemsit er det estimt som hr de midste vris. Derfor vil geemsittet være vores foretruke estimt for middelværdie. Som estimt f e ormlfordeligs vris kue m tge stikprøves vris Xi X, me det viser sig t dette er et skævt estimt, som er systemtisk for lille. Hvis stikprøvestørrelse f.eks. er =, så vil X = X og så bliver Xi X = X X =. Sætig 6 Et cetrlt estimt f vrise f e ormlfordelig er givet ved for. Xi X For t berege vrise lves ige substitutioe t = x/, hvilket giver x e x/ dx = t e t dt = t e t dt. Det sidste itegrl bereges ved t lve prtiel itegrtio gge: t e t dt = t t] = + = = t e t dt t t ] + e t dt = + t] = + = 4. Derfor er vrise 4 og spredige er. t t dt t dt Øvelse Bereg middelværdi, vris og spredig f e ligefordelig. Eksempel E stoktisk vribel med sdsylighedstæthed xe x for x siges t hve e Gmmfordelt. fx

6 Vis t dette er e sdsylighedstæthed. b Bestem middelværdie f dee Gmmfordelig. c Bestem vrise og spredige f dee Gmmfordelig. Det k vises t e x dx = π /. Derfor er φ x = e x π / e tæthedsfuktio. De tilsvrede fordelig kldes e stdrd-ormlfordelig. Det k vises t de hr middelværdi og vris. Fordeligsfuktioe for stdrd ormlfordelige beteges Φ. D det ikke er muligt t opskrive et beregigsudtryk for Φ, k værdier f Φ ku bereges ved umerisk itegrtio. Hvis tæthedsfuktioe i stedet er e x σ π / σ så er der tle om e ormlfordelig med middelværdi og spredig σ. D X er ufhægig f X er X ufhægig f X og der gælder t Derfor er E X X = E X E X V r X + X = E 5 Estimtio = E X E E X E = =. X + E = V r X + V r X. X Atg f vi om ogle dt e stikprøve ved t de er ormlfordelte med spredig me vi ikke keder ormlfordeliges middelværdi. Opgve er ud fr dt t give et bud på værdie f ormlfordeliges middelværdi. y y.3 Defiitio 3 Et estimt er e fuktio, der til e vilkårlig stikprøve kytter et reelt tl. Et estimt er med dre ord e stokstisk vribel defieret ud fr e stikprøve. 4 Middelværdi og vris Ude bevis æver vi t hvis X og X er to stokstiske vrible så gælder der t E X + X = E X + E X. Hvis edvidere X og X er ufhægige så gælder E X X = E X E X. Sætig Ld X og X være ufhægige stokstiske vrible. D gælder t V r X + X = V r X + V r X. Bevis Ld og betege middelværdiere f X og X. D er middelværdie f X + X lig +. Derfor gælder V r X + X = E X + X +.5 x 5 Om et estimt er godt eller skidt er e de sg. Hvis vi f.eks. skl estimere middelværdie f e ormlfordelig, k vi bruge stikprøves medi. Hvis stikprøve ellers er stor, vil medie ligge tæt på middelværdie, så medie er e udemærket estimtor for middelværdie. I stedet for medie kue m tge de største værdi i stikprøve. Dee vil oplgt give et dårligt estimt f middelværdie, og jo større stikprøve er jo dårligere vil estimtet være. Defiitio 4 Et estimt siges t være cetrlt dersom middelværdie f estimtet er de sde værdi. Hvis et estimt ikke er cetrlt, siges det t være skævt. Medie er et cetrlt estimt f middelværdie, mes mksimum er et skævt estmt, idet mksimum i middel giver e for høj værdi. Sætig 5 Stikprøves geemsit giver et cetrlt estimt f ormlfordeliges middelværdi. Bevis Ld X, X,..., X betege e stikprøve. D er X = Xi = E = E = E X + X X + X + X X X + E X + E X X. 5 6