Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Transkript

1 Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de er itegrbel på lle delitervller f [, b]. Vi vil betrgtes itegrbilitet på itervllere [, + ε] og [ + ε, b]. På itervllet [ + ε, b] er ku forskellige fr ul i edeligt mge pukter, så giver opgve D fr ugeseddel os t de på det itervl er itegrbel og t itegrlet er. D f er begræset k vi på itervllet [, + ε] opskrive over- og udersummere for f hørede til iddelige Π = {, + ε} Ø(Π) = sup{ [, + ε]}( + ε ) N(Π) = if{ [, + ε]}( + ε ). Der gælder ud fr Drbou defiitioe f et itegrl t N(Π) +ε d Ø(Π) Vi ser u t for ε går Ø(Π) og N(Π). Vi hr derfor t f er itegrbel på [, + ε] og t itegrlet +ε d =. Vi k u evluere det fulde itegrl ved hjælp f idskudssætige. d = +ε d + +ε d = + =. g : [, ] R er givet ved { cos(π) hvis = g() =, hvor N hvis [, ]\{ N}. Vi ser t g() k tge værdier i itervllet [, ] d cos(t) ku tget værdier i dette itervl. Altså er g() begræset. 2

2 Arkimedes pricip giver os deræst t for et givet ε > fides et N N således t < ε for lle > N. Dette medfører t der for ethvert ε > ku er et edeligt tl turlige tl således t ε <, ltså er g() ku forskellig fr i et edeligt tl pukter på itervllet [ε, ]. Vi k derfor opskrive e mægede B ε som er log til A ε givet ved B ε = { [ε, ] g() } Vi ser u t vi k beytte resulttet fr opgve ) til t kokludere t g er itegrbel og t Opgve 2 g()d =. ) Vi tger t fuktioe f : [, b] R er ulige, ltså t Vi skl vise t hvis f er itegrbel er = f( ) for lle [, ] d = Hvis f er itegrbel er de også itegrbel på delitervllere [, ] og [, ], disse vil vi betrgte disse hver for sig. Hvis f er itegrble giver korollr t vi k skrive itegrlet ved brug t e vilkårlig Riem-sum hvor iddeliges størrelse går mod. På itervllet [, ] vælger vi de ækvidistte iddelig Π og et dertil hørede udvlg U givet ved Vi opsrkriver Riem-summe Π = { =,, 2,...,, = } U = {c i c i = i, i =, 2,..., } R(Π, U ) = = f(c i )( i i ) i= ( ( f ) ( + f ) ( + + f 2 ) ( + f )) hvor vi hr brugt t i i = order vi u leddee i modst rækkefølge ædrer vi ikke summes værdi. Vi bruger u t f er ulige til t få R(Π, U ) = i= ( f i ) = i= ( ) i f. 3

3 Tilsvrede for itervllet [, ] vælger vi de ækvidistte iddelig Π + og et tilhørede udvlg U + givet ved Π + = {y =,, 2,...,, = y } U + = {c + i c + i = y i, i =, 2,..., } Vi opsrkriver Riem-summe og bemærker t itervlbredde er R(Π +, U + ) = f(c + i )(y i y i ) = i= f i= ( ) i = R(Π, U ) Vi er u færdige idet t hvis f er itegrbel giver idskudssætige t itegrlet er givet ved d = d + = lim (R(Π, U ) R(Π, U )) = d = lim (R(Π, U ) + R(Π +, U + )) Fuktioe g : [, ] R er givet og fuktioe h : [, ] R er givet ved h() = g( ) [, ]. Vi skl vise t hvis g er itegrbel er h også itegrbel og h()d = g()d Vi opskriver, per defiitio 8.5., Riem-summe for h for vilkårlig iddelig og udvlg Π og U hvor Π for R(Π, U ) = h(c i )( i i ) = i= g( c i )( i i ) i= Spejler vi u både iddelig og udvlg i y-kse får vi e iddelig og et udvlg Π og U givet ved Π = { i i = i i =,, 2,..., } U = {c i c i = c + i} Vi k u beytte dette til t omskrive R(Π, U ) R(Π, U ) = = g( c i )( i i ) = g(c + i)( i + + i) i= i= g(c j)( j j ) = R(Π, U ) j= 4

4 hvor vi hr skiftet summtios ideks til j = + i. Er g itegrbel gælder desude t lim R(Π, U ) = lim g(c i)( i i ) = g()d Vi k u se t hvis g er itegrbel er h itegrbel og Opgve 3 i= h()d = f : [, [ R er e positiv, kotiuert fuktio ) vi skl gøre rede for t for > gælder t f(t 2 )dt = 2 g()d f(s) 2 s ds Vi bruger sætig med g(t) = t 2 og de dertil hørede omvedte fuktio h(t) = t således t h (t) = 2. Vi ser så med det smme t ligige er sd d f er oplyst som t kotiuert, t 2 er både differetibel stregt mooto på itervllet [, ] for > og 2 t er kotiuert på itervllet [, ] for >. Vi skl vise t hvis itegrlet er koverget er også itegrlet d koverget. D f er e positiv fuktio gælder > /2 for lle >. Idet både og /2 er positive kotiuerte fuktioer gælder ifølge sætig 9.5. t hvis er koverget er også itegrlet d 2 d koverget. At dette itegrl er koverget betyder per defiitio 9.5. t græseværdie lim b 2 d 5

5 eksisterer og vi klder græseværdie 2 d. Dee græseværdi k vi per opgve 3 ) skrive som lim b 2 d = lim b b D de to græser er lig hide må der ødvedigvis gælde t itegrlet er koverget. c) Vi skl give et eksempel på e positiv kotiuert fuktio g : [, [ R således t g()d er diverget, me g( 2 )d er koverget. Vi ved fr sætig t itegrlet p d er koverget for p > og diverget for p. Vi vælger defor g() = således t g( 2 ) =. Sætig giver os så t g()d er diverget, me g( 2 )d er 2 koverget. 6