Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, Komplekse tal

Transkript

1 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig. Mterilet omhdler komplekse tl, specielt degrdsligige. Målet er t give elevere et første idlik i, hvd komplekse tl er, således t de k ikke gekedede til de komplekse løsiger, som de f og til støder på i rejdet med mtemtikprogrmmer og vcerede lommeregere. Mterilet estår f e tekst (som evt. k opgives til mudtlig eksme), ogle opgver og et pr quizzer. Det er muligt t hete tekste i form f e pdf-fil. Opgvere åes i mtemtikprogrmmet Derive, og det forudsættes derfor, t elevere rejder ved e computer, hvor der er istlleret Derive. Opgvere er ummereret fortløede og er plceret i tekste, så de psser med de teori, der lige er rejdet med. He Østergrd, Ishøj Amtsgymsium Idholdsfortegelse Idledig... Defiitio f komplekse tl...3 Regig med komplekse tl...4 Eksistes f komplekse tl... De komplekse tlpl...6 Modulus og rgumet...7 Kojugerig...9 Multipliktio og divisio i polære koorditer...0 Ligige z...4 Ligige z...6 Adegrdsligige z + z + c Adegrdsligiger med reelle koefficieter...

2 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Idledig Hvis vi skl løse degrdsligige x + x + c 0, 0, ruger vi løsigsformle () ± x 4c Vi plejer t sætte d 4c og t klde d for diskrimite. Hvis d > 0 er der to løsiger, hvis d 0 er der é løsig, og hvis d < 0 er der så ige løsig. Hvis vi prøver t løse e degrdsligig med et computerprogrm, fx Derive, så vil vi se det pudsige, t der dukker to løsiger frem, selvom d < 0. Vi skl se på, hvd det er for e tlmægde, der ideholder de løsiger, som vi ellers påstår ikke fides. Dee tlmægde kldes de komplekse tl. Adegrdsligige () x + 0 hr ikke oge løsig, idet der ikke fides et reelt tl, som gget med sig selv giver -. Hvis vi lligevel prøver t ruge de sædvlige løsigsformel, (), for degrdsligiger, får vi 0 ± x 0 4 ± 4 ( ) ± ± Vi vil u prøve t godtge som e løsig, selvom vi godt ved, t ikke er et reelt tl. Hvis skl være e løsig, må der gælde (3) ( ) eller m..o., t er et tl, som gget med sig selv giver -. I de tilfælde, hvor e degrdsligig ikke hr oge løsig idefor de reelle tl, k løsigsformle ltid omskrives, så de står på forme x +,, R og m k sgtes rege med tl på forme +, år lot m husker t ruge regel (3) smt regereglere for de reelle tl. Vi vil prøve t løse degrdsligige x + x Løsigsformle () giver x ± 4 ± 8 ( ) ± ( ) ± ( ) Vi klder de to løsiger x og x og fider

3 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 og x + x ( + ) + ( ) x x ( + ) ( ) x x ( ) ( ) + ( ) 3 Vi ser, t selvom der ikke er tle om rigtige løsiger, så gælder de sædvlige regel, t summe f røddere er lig med mius koefficiete til x, og produktet f røddere er lig med kosttleddet. Prøv selv t rege med tl på forme + i Derive. Opgve Defiitio f komplekse tl Vi vil u defiere, hvd der skl forstås ved et komplekst tl. Defiitio Tllet i er givet ved i Ifølge det foregåede fsit etyder det, t i. Defiitio De komplekse tl estår f mægde f lle tl, der k skrives på forme + i,, R De komplekse tl eteges C og i kldes de imgiære ehed. Nogle gge ruges etegelse imgiære tl for de komplekse tl. De reelle tl og kldes hhv. reldele og imgiærdele f det komplekse tl og eteges hhv. Re() og Im(). Hvis 0 kldes i et ret imgiært tl. Hvis 0 er et reelt tl. Derfor er de reelle tl e delmægde f de komplekse tl. Hvis + i kldes i + 3i det kojugerede tl til. er et komplekst tl med reldel og imgiærdel 3. 3i er det kojugerede tl til. c 7i er et reelt tl. er et ret imgiært tl. 3

4 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve Regig med komplekse tl Additio, sutrktio, multipliktio og divisio foregår på smme måde som for reelle tl. M skl lot huske på, t i. M k ltid reducere sit regeudtryk, så resulttet eder med t stå på forme c + c, c, c R. Ld + 3i og + i. Så er + ( + 3i) + ( + i) + + 3i + i + + 8i og ( + 3i) ( + i) + 3i + i 3 i og ( + 3i) ( + i) c + i + 0i 3i + 7i 7 + 7i Ved divisio vil være e røk med et komplekst tl i ævere. Her skl m få de gode idé t forlæge røke med. På de måde liver ævere et reelt tl, så resulttet ige k skrives på forme c + c, c, c R. c Ld + 3i og + i. Så er i og vi får + 3i + i ( + 3i)( i) ( + i)( i) i 0i 3i i 4

5 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, i + 3 3i 6 i M k selvfølgelig også udlede formlere for dditio osv. geerelt. For dditio ser formle såd ud, år + og + : + ( + i ) + ( + i ) + + i + + i + ( + ) + i( + ) For multipliktio kommer formle til t se såd ud: Øvelse Opgve 3 Quiz ( ) + i( + ) Udled formle for multipliktio f to komplekse tl. Eksistes f komplekse tl M k idføre de reelle tl ved først t idføre de hele tl ud fr de turlige tl, deræst de rtiole tl ud fr de hele tl og edelig de reelle tl ud fr de rtiole tl. Ligeledes k m idføre de komplekse tl ud fr de reelle tl. W. R. Hmilto idførte i 837 de komplekse tl på ritmetisk grudlg ved t idføre dditio og multipliktio i mægde f reelle tlpr, ) på følgede måde: (, ) + (, ) ( +, + ) (, ) (, ) (, + ) ( M k u vise, t mægde f reelle tlpr med de to kompositioer defieret ovefor udgør et tllegeme. Ved deræst t idføre etegelse i for tlprret (0,) og etegelse for tlprret (,0), k m ved t eytte oveståede idse, t i -, og herefter k m gå over til de skrivemåde, der er idført i de forrige fsit. I mtemtikudervisige i gymsiet er der ikke trditio for t idføre de reelle tl på e striget måde. Vi tger det i stedet for givet, t de reelle tl med kompositioere dditio og multipliktio udgør et tllegeme, ( R, +, ). På smme måde vil vi i disse oter

6 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 tge det for givet, t de komplekse tl med kompositioere dditio og multipliktio udgør et tllegeme, ( C, +, ). Eksistese f komplekse tl er eskrevet mge steder i litterture. Her hevises de iteresserede læser til to øger, som er skrevet til gymsieiveu: Jesper Frdse: Komplekse tl og frktler, Systime, 99. Jes Crstese: Komplekse tl, Systime, 987. De komplekse tlpl M k filde et komplekst tl + i i puktet (, ) i e pl med et sædvligt retviklet koorditsystem. Alle tl på forme + i 0, dvs. lle reelle tl, fildes på.kse. Dee kse kldes derfor de reelle kse. Alle tl på forme 0 + i, dvs. lle ret imgiære tl, fildes på.kse. De kldes derfor de imgiære kse. Specielt ser vi, t fildes i puktet (,0) og t i fildes i puktet (0,). Det er derfor, vi klder i de imgiære ehed. I vektorregig klder vi vektore fr egydelsespuktet (0,0) til for stedvektore til. D + ( + ) + i ( + ), fildes + i puktet (, ) + +. Herf k vi se, t dditio f to komplekse tl svrer til dditio f de tilsvrede stedvektorer. Additio f komplekse tl 6

7 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve 4 Quiz Modulus og rgumet Ved multipliktio og divisio f komplekse tl er det ekvemt t skrive de komplekse tl på e de form. Ld +. Så er lægde f eller modulus f givet ved + Af udtrykket ovefor k vi se, t modulus f er det smme som lægde f stedvektore til. Hvis vi ser på stedvektore til, så ved vi fr vektorregige, t cos(v) og si(v), hvor v er vikle mellem de positive del f.kse og stedvektore til. Vi k derfor skrive på forme cos(v) + i si(v) (cos(v) + isi(v)) Vi siger, t skrives i polære koorditer, som m ogle gge giver såd: (, v). I polære koorditer giver m ltså og v i stedet for og. Modulus og rgumet Vikle v kldes et rgumet f. Hvis v er et rgumet f, er lle vikler, som er lig med v + pπ, p Z også et rgumet f. Normlt eytter m det rgumet, der ligger i itervllet ] π; π]. Dette rgumet kldes hovedrgumetet. M eytter etegelse rg() for et rgumet f. 7

8 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Hvis +, så k vi fide hovedrgumetet ud fr de to formler si(v), som omskrives til cos(v) og cos( v) og si( v) Disse to ligiger hr hver to løsiger i itervllet ] π; π]. De rigtige vikel er de, som er løsig til egge ligiger. Et komplekst tl er givet ved i. Vi vil fide modulus og rgumet for : Vi ereger først : ( 3) + 4 Deræst ereger vi v: 3 cos(v) giver i itervllet ] π; π] løsigere v,4 eller v -,4. si( v) 4 giver i itervllet ] π; π] løsigere v 0,97 eller v -,4. Herf ser vi, t vi må vælge v,4, og derefter k vi omskrive til (cos(,4) + isi(,4)) eller vi k sige, t og v, 4 I stedet for t fide de to løsiger til hver f ligigere cos( v) og si( v) idefor itervllet ] π; π], k m tege stedvektore til i et koorditsystem. Her k m se hvilke vikel, der er tle om, og så øjes med t ruge ete cosius eller sius (eller tges) til estemmelse f vikle. Det er ok det letteste i prksis. 8

9 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Tllet fr forrige eksempel er fst i ple, og der er teget e ehedscirkel. Her k m se, t hovedrgumetet ligger mellem π/ og π. Derfor er det lettest t ruge cosius til t estemme vikle, idet sius vil give e vikel i. kvdrt. Opgve Hvis et komplekst tl er givet ved polære koorditer, k m omskrive, så tllet står på de sædvlige fco. Et komplekst tl er givet ved 6 og π π 6(cos( ) + isi( )) 3 3 π rg(). Så gælder ltså 3 3 6( + i ) i Opgve 6 Kojugerig Hvis +, så er, og herf k vi se, t kojugerig f et tl svrer til t spejle tllet i.kse. Der gælder derfor, t rg( ) rg(). 9

10 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Et tl og det kojugerede tl Idet + får vi + i )( i ) + ( ltså. Desude er. Øvelse Vis t. Hvis skrives på forme (cos(v) + isi(v)), så er (cos( v) + isi( v)). D cos( v) cos(v) og si( v) si(v), og d (cos( v) + isi( v)) og (cos(v) isi(v)) hvor v er et rgumet f., får vi her to skrivemåder for : Multipliktio og divisio i polære koorditer Hvis to komplekse tl og er givet i polære koorditer, ltså ved modulus og rgumet, k multipliktio og divisio udtrykkes simpelt. Sætig Hvis 0 gælder og rg( ) rg( ). 0

11 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Bevis Hvis rg( ) u så er (cos(u) + isi(u)) og (cos( u) + isi( u)). Vi ved desude, t og det k omskrives til. Vi får u: (cos( u) + isi( u)) (cos( u) + isi( u)) Nu er skrevet ved hjælp f modulus og rgumet, hvorf vi flæser, t rg( ) rg(). og Sætig : og rg( ) rg() + rg() Bevis: Hvis (cos(u) + isi(u) og (cos(v) + isi(v)) får vi (cos(u) + isi(u)) (cos(v) + isi(v)) (cos(u) + isi(u)) (cos(v) + isi(v)) ((cos(u)cos(v) si(u) si(v)) + i(cos(u) si( v) + si(u)cos(v)) Ved rug f de to dditiosformler cos( u) cos(v) si(u) si(v) cos(u + v) og cos( u) si(v) + si(u)cos(v) si(u + v) får vi u (cos(u + v) + isi(u + v)) Herf ser vi t og rg( ) rg() + rg()

12 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Hvis og er givet ved, 3 og π rg() og 3, rg() π, så er 3 π π rg( ) + π 3 3 Vi k også omrege, så tllet står på sædvlig form: π π 3 3 (cos( ) + isi( )) ( + i ) + i 3 3 Sætig 3: Hvis 0, så er og rg( ) rg() rg( ) Bevis Ld (cos(u) + isi(u)) og (cos(v) + isi(v)). Så gælder ifølge sætig (cos( v) + isi( v)) Vi ruger u sætig, me med idst i stedet for : (cos(u + ( v)) + isi(u + ( v))) (cos(u v) + isi(u v)) Herf flæses det øskede. Hvis og er givet ved 6, Sætig 4: og rg( 6 og 3 π rg() og 3 π π π rg( ) ( ) ) rg(), N π 3, rg(), så er 6

13 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Bevis Beviset er et iduktiosevis. Vi vil strte med t vise, t sætige er sd for og. D og rg() rg( ) rg() glæder sætige for. Ifølge sætig gælder sætige også for : og rg( ) rg( ) rg() + rg() rg() Vi tger u, t sætige er sd for et turligt tl. Vi vil vise, t så gælder sætige også for. og rg( ) rg( Vi k ltså skrive på forme ) rg( ) + rg() ( )rg() + rg() rg() (cos( v) + isi( v)) hvor v rg(). Øvelse Vis, t sætig 4 gælder for Z. π π Et komplekst tl er givet ved, rg(). Så er cos( ) 0 og π si( ), dvs. + i i. Vi vil u erege, 3 og , rg( 8, rg( 3 π ) π, 3π ), 4 4π 6, rg( ) π, 3 4(cos( π) + isi( π)) 4 3π 3π 8(cos( ) + isi( )) 8i 4 6(cos(π) + isi(π)) 6 3

14 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Et tl er givet ved, og koorditsystemet edefor. π rg(). Tllee,,,, 0 er fildet i 6 Opgve 7 Quiz 3 Ligige z Ide vi går i gg med degrdsligige, vil vi først se på te-grdsligige z, og derefter på de simple degrdsligig, z. Sætig : Ligige z hr løsigere: v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0,,,..., hvor v rg(). Bevis Vi fider først modulus f z. Ifølge sætig 4 gælder z z og d 4

15 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 z får vi z z z Ifølge sætig 4 gælder rg( z ) rg(z) Idet v er et rgumet f i itervllet ] π π], gælder, t smtlige rgumeter f er givet ved v + pπ, p Z. Derfor er rgumetet f z også lig med rg( z ) v + pπ, p Z Argumetet z k u fides rg( z ) rg(z) v + pπ, p Z rg( z) v π + p, p Z Der er således uedelig mge rgumeter, me det er ok t se på p 0,,,..., -, idet lle øvrige værdier f p giver rgumeter f z, som er idetiske med de llerede v fude, på ær multipl f π. Fx vil p give + π. Derfor er løsigere givet ved v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0,,,..., Af løsigsformle til ligige z ser vi, t lle løsiger hr smme modulus. Hr m fudet løsige for p 0 og fst de i de komplekse pl, ses det, t de æste π løsig fides ved t dreje de første løsig vikle omkrig (0,0), og så fremdeles. De løsiger vil ltså ligge som hjører i e regulær -kt med cetrum i (0,0). Vi vil løse ligige z 64. Modulus f z er givet ved z 64. Argumetet f z er 0, d 64 ligger på de positive del f de reelle kse. Argumetere f de løsiger er så π rg( z) 0 + p, p ltså, rgumetere er π 4π 6π 8π 0,,, og 0,,, 3, I itervllet ] π; π] får vi rgumetere 4

16 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 π 4π 0, ±, ± Løsigere liver u, idet vi husker t cos( v ) cos(v) og si( v) si(v) z z (cos( π π ) + isi( )) z (cos( 4 π 4π 3 ) + isi( )) z (cos( 4 π 4π 4 ) isi( )) z (cos( π π ) isi( )) Løsigere liver hjørere i e regulær femkt: Løsiger til ligige z 64 M k ltså ved t løse ligige z 64 og fsætte løsigere i de komplekse tlpl kostruere e regulær -kt. Opgve 8 Ligige z Ide vi går i gg med de geerelle degrdsligig, vil vi først se på de simple degrdsligig, z. Sætig 6: Adegrdsligige z hr røddere 6

17 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 v v z ± (cos( ) + isi( )) hvor er modulus f, og rg( ) v. Bevis Af sætig ses, t ligige z hr røddere ltså og v π v π z (cos( + p ) + isi( + p ), p 0, v v z cos( ) + isi( )) z v cos( + π) + i v si( + π)) v v v v D cos( + π) cos( ) og si( + π) si( ) ses det, t z z, ltså k røddere skrives v v z ± cos( ) + isi( )) Vi vil u defiere, hvd der skl forstås ved kvdrtrode f et komplekst tl: Defiitio 3 Kvdrtrode f et komplekst tl er givet ved hvor v rg() v v cos( ) + isi( )) Med dee defiitio kue vi formulere sætig 6 således: Adegrdsligige z hr røddere ±. Vi vil se på eregig f kvdrtrødder i ogle eksempler. Vi vil løse ligige z 4. Her ligger 4 på de positive del f de reelle tlkse. Så er v 0 og dermed er også v 0. Desude er, og vi får z ± (cos(0) + isi(0)) ±. 7

18 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Ved rug f defiitioe ovefor får vi: 4 (cos(0) + isi(0)). Vi ser ltså, t symolet 4 heldigvis hr smme etydig som det tilsvrede reelle symol. Ved i eksemplet ovefor t ersttte tllet 4 med et vilkårligt reelt tl, hvor 0, k vi se, t symolet hr smme etydig ide for de reelle tl og de komplekse tl, år ltså lot 0. Vi vil løse ligige z. Her er og dermed, og vikle mellem og de positive del f de reelle tlkse er v π. Så er v π π z ± (cos( ) + i si( )) ± i π, og løsigere liver π π Ved rug f defiitioe ovefor får vi: (cos( ) + isi( )) i. Vi ser ltså, t defiitio og defiitio 3 stemmer overes. Eksemplet ovefor k let geerliseres til t vise, t hvis er et vilkårligt reelt tl hvor 0, så er i. Øvelse Opgve 9 Vis, t hvis 0, så er i Vi vil løse ligige z 3i. Her er ligigere 3i, og , og vi fider v rg() ved t løse 3 og si(v). De løsig, der tilfredsstiller egge 3 3 v, og dermed er 0, cos( v ) ligiger er v 0, 9879 Løsige til ligige z 3i er så z ± 3 (cos( 0,4940) + isi( 0,4940)) z ± (,674 0,8960i) og vi ser herf edvidere t 3i,674 0,8960i. 8

19 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Vi hr u set tre eksempler på eregig f kvdrtrødder f komplekse tl. M k ifølge defiitio 3 uddrge kvdrtrode f lle komplekse tl, mes m idefor de reelle tl jo ku k tge kvdrtrode f et tl, som er større ed eller lig med ul. Ide for de reelle tl gælder forskellige regeregler, fx. Disse regeregler gælder ikke ide for de komplekse tl. Øvelse Sæt og og vis, t rug f regeregle k føre til e modstrid. Opgve 0 Adegrdsligige z + z + c 0 Sætig 7: Adegrdsligige z + z + c 0, 0. hr røddere ± z hvor d 4c. d Bevis: D 0, k vi omskrive degrdsligige: z + z + c 0 z z + + z + c 0 z + ( ) ( 4c (z + ) (z + ) 4c ((z + )) 4c ) c Nu klder vi det, der står på vestre side f lighedsteget for y og det, der står på højre side for d, og får så ligige y d 9

20 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Dee ligig hr ifølge sætig 6 løsige v v y ± d (cos( ) + isi( )) v v hvor v er et rgumet f d. Idet d d (cos( ) + isi( )), k dette også skrives y ± og vi får derved d y (z + ) ± d z ± d ± d z Vi får ltså, t løsigsformle får det smme udseede som for reelle tl. : Ligige z + ( i)z (8 + 4i) 0 hr diskrimite Vi får så d ( i) 4 ( (8 + 4i)) 8 + 6i d og skl fide v ud fr de to ligiger 8 cos( v) og 0 si( v) Løsige er v 0, 6430 og dermed er v 0, Nu k vi erege kvdrtrode f d: d 0(cos(0,37) + isi(0,37)) 3 + i og edelig k vi erege løsigere: ( i) ± (3 + i) + 3i z + i 0

21 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve Adegrdsligiger med reelle koefficieter Sætig 8 Hvis, og c er reelle tl, og d < 0, så er de to rødder i degrdsligige z + z + c 0, 0 hides kojugerede. Bevis De to rødder er og + d z + d z d d D d er egtiv, er rg(d) π, og dermed er Vi får u π d π d (cos( ) + i si( )) d i z d + i og z i d D og d egge er reelle tl, er z z Vi ser ltså, t i det tilfælde, hvor e degrdsligig med reelle koefficieter ikke hr oge reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hides kojugerede. Adegrdsligige z + z + 0 hr diskrimite d Vi får så d d i i, og løsigere liver + i i z + i og z i

22 Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Opgve