Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Transkript

1 Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul

2 EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme. Leiiz oetliggjorde År Newto. Dette häte ideholder et historisk orlå til gmsiets mtemtikudervisig pç A- og B-iveu. Det k idgç som e del et mudtligt eksmesspårgsmçl i itegrlregig. Der er krv om historisk orlå. Évelsere pç side -8 går det emt or elevere t rejde pç t sätte sig id i det sto der stçr pç side -. NÇr elevere låser Åvelsere, Çr de smtidig repeteret oget grudläggede sto. Asit Idledig... Asit E speciel räkregel... Asit E smrt udregig e sum... Asit Pricippet i de smrte udregig sum k også ruges i ogle dre tilçlde... Asit E sum der er c. lig relet mellem -gr og x-kse... Asit 6 Foreredelse smrt udregig sum der er c. lig rel mellem -gr og x-kse... Asit Smrt udregig summe der er c. lig relet mellem -gr og x-kse... Asit 8 Hvord vi k ide g... Asit 9 E Äjgtig releregigsmetode (dvs. itegrlregig)... Asit 0 Eksempel på rug de Äjgtige releregigsmetode (dvs. itegrlregig)... Ävelser...-9 Hvord Leiiz opdt itegrlregige Ñ 0 Krste Juul Dette häte k dowlodes r /-0 HÄtet mç ettes i udervisige hvis lärere med det smme seder e e-mil til kj@mt.dk som oplser t dette häte ettes (skriv ilv), og oplser om hold, iveu, lärer og skole.

3 Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul Asit Idledig I 6 opdt Leiiz itegrlregige. NÇr du geemrejder dette häte, Çr du et idtrk hvord Leiiz opdt itegrlregige. I dette häte hr vi ikke rugt smme eksempler og skrivemçde som Leiiz rugte i det h skrev. Asit E speciel räkregel FÅrste råk orläger vi med, og de råk orläger vi med. Vi reducerer de to tällere: Ö gge et tl er lig tllet. Oveor lvede vi e udregig med og. Vi k lve tilsvrede udregiger med og, og med og 6, osv. Der gälder: () 6 6 Osv. Asit E smrt udregig e sum Regle () r sit oveor vil vi ruge til t lägge tl smme pç e em mçde. Vi omskriver hvert de tl ved hjälp regel (). SÇ Çr vi ogle tl der gçr ud med hide to og to sç ku Årste og sidste tl er tilge: = = = 00 = 00 For t kue sätte pç Älles råkstreg vil vi ske smme Äver i de to råker. Dette går vi ved t orläge råkere. Vi ruger regle or t träkke råk r råk Çr de hr smme Äver: NÄvere eholdes og täller träkkes r täller.

4 Asit Pricippet i de smrte udregig sum k også ruges i ogle dre tilçlde I sit strtede vi med e sum SÇ dt vi tl sç p0 p p p p0 p p p p p Hereter kue vi emt udrege summe ordi p-tllee gçr ud mod hide to og to: = () p p p p 0 p p = p 0 p Ved t ruge dre omskriviger ed () k metode () ruges pç ogle summer der ikke liger summe r sit. I sit vr og 00 p 0 p p p p 00 Asit E sum der er c. lig relet mellem -gr og x-kse Leiiz hvde rejdet med metode () r sit og ville pråve ogsç t ruge de til t udrege reler. Dette Årte til t h opdt itegrlregige. Vi vil ide relet mellem -gr og x-kse (se igur til håjre). Vi deler relet op i lodrette strimler der lle hr redde ehed (se igur edeor til håjre). De Årste strimmel er c. lig et rektgel med redde og håjde, sç relet er c.. Arelet Äste strimmel er c.. Osv. Hele relet er ltsç c. lig () Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul

5 Asit 6 Foreredelse smrt udregig sum der er c. lig rel mellem -gr og x-kse Vi orsåger t ruge metode () r sit til t udrege summe () r sit. Vi välger et tl p 0. SÇ keder vi tllee p0 og,, og vi udreger p, p,, p p0 p p p p p,, sçd: Vi sätter pukter som vist pç igure til håjre sçd t der er Ö ehed mellem stolpere. p p p p 0 Asit Smrt udregig summe der er c. lig relet mellem -gr og x-kse Vi orestiller os t vi hr e uktio g hvis gr gçr geem de pukter r sit 6 (se igure til håjre). D og p0 g( ) p g() p p0 p p p p p p g p k vi udrege relet mellem -gr og x-kse sçd: Arel = p p p p p p 0 p 0 = p p0 = g( ) g( ) Der gälder ltsç () Arel g( ) g( ) g( ) g( ) Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul

6 Asit 8 Hvord vi k ide g Formle () r sit er vigtig ordi vi ote k ide g Çr vi keder. Nu kommer orklrige pç dette. PÇ igure til håjre hr vi teget lije s der gçr geem Q og R, og tgete t i R. g (x) = häldigskoeiciet or t häldigskoeiciet or s = p p = = (x) Vi k gåre det smme med dre värdier x, sç () g( x) ( x) Vi k ltsç ide g ved t ide e uktio som giver Çr vi dieretierer de. Q p R p x g s t Asit 9 E Äjgtig releregigsmetode (dvs. itegrlregig) Formlere () og () gälder mere Åjgtigt hvis vi ruger e ehed der er midre (dvs. ruger smllere strimler). Leiiz orestillede sig t der dtes tl som er uedelig smç, me ikke er 0. H sgde t hvis vi lder ehede väre sçd et uedelig lille tl, sç vil der gälde = i stedet or i () og (), dvs. Hvis vi k ide e uktio g der dieretieret giver, (6) så k vi udrege relet mellem -gre og x-kse ved hjçlp ormle Arel = g( ) g( ). Der er ikke uedelig smç tl i de tl vi reger med i gmsiets mtemtikudervisig. Det er muligt t orestille sig ogle uedelig smç tl pç sçd e mçde t m k ruge dem til t ide korrekte ormler. Asit 0 Eksempel på rug de Äjgtige releregigsmetode (dvs. itegrlregig) Det er metode (6) r sit 9 vi plejer t ruge. Vi vil udrege relet mellem -gr og x-kse Çr ( x), x, x De uktioer, som dieretieret giver, er F( x) l( x) x c. Vi k välge de simpleste dem, dvs. de hvor c 0 : rel ( ) dx ) x x l( x ( l( ) ) ( l( ) ) l( ) Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul

7 Ävelse Hvilke Ålgede tl er lige store? () () () (8) () () () (9) (0) (6) Ävelse Hvilke Ålgede tl er lige store? () () () 8 () 8 () (6) () (8) (9) 8 8 (0) 8 8 Ävelse SÄt pç Älles råkstreg. Skriv mellemregiger. () () 6 Ävelse GÅr rede or t hvis m er stårre ed, dvs. hvis m, sç er m m Ävelse () ReducÖr: () SÄt pç Älles råkstreg. Skriv mellemregiger. (c) Bevis Ålgede ved t sätte pç Älles råkstreg: k k k 6 (d) Brug regle r (c) til t omskrive edestçede. Du skl ikke udrege potesere. (e) Brug metode () r sit pç side til t udrege edestçede sum. = Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul

8 Ävelse 6 Figure til håjre stmmer r sit. I dette sit er omtlt et rektgel med håjde og redde som ligger i de Årste strimmel. () Teg dette rektgel. () Teg ogsç rektglet med håjde i Äste strimmel. Ävelse I dee Åvelse hr ogstvetegelsere smme etdig som i sit pç side sit 6 pç side sit pç side ortset r t vi i stedet or gre i sit ruger -gre til håjre pç millimeterppir. (),, (),, (c) VÄlg t sätte p 0, 8. (d) 0 p, p, I koorditsstemet til håjre skl du tege pukter svrede til puktere i koorditsstemet i sit 6. (e) Teg gre or g. p ( ) g (), g() (g) Regel () r sit siger t or omrçdet mellem -gre og x-kse er rel Dette er teori. Du skl ikke ruge metode i eksmesopgver. (Hvis metode skulle give et resultt med stor Åjgtighed, sç mçtte vi dele op i sç mge strimler t e computer vr Ådvedig). Ävelse 8 () I sit 6 stte vi pukter ud r gre i sit. I dee Åvelse skl du pç tilsvrede mçde sätte pukter ud r gre edeor. BemÄrk t ehede er midre ed i Åvelse. () Teg g-gre geem disse pukter. (c) Tllet g( ) g( ) er e tilärmet värdi or relet mellem -gre og x-kse. Hvord Leiiz opdt itegrlregige 6 0 Krste Juul

9 Ävelse 9 () I summe ) ( ) ( ) ( 6 hr vi skrevert i stedet or ogle led. Skriv disse led: () I summe ) ( ) ( ) er det Ästsidste led Ävelse 0 ( () q q q q q q ( q q q q 6) 6 () r r r r r r r r (c) s s s s s s Ävelse x x 0 (x), 8,0 0,,0 g(x) 6 8 Ku Ö uktioere og g er lieär. Det er og des häldigskoeiciet er. Ävelse Fuktioere og g er lieäre. Udld tellere ude t ide orskritere. x x 6 (x) g(x) 0 00 's häldigskoeiciet er. g 's häldigskoeiciet er. Ävelse k l m,,6 c d A ormle x x Çr vi t k 's häldigskoeiciet l 's häldigskoeiciet = m 's häldigskoeiciet = (Skriv et udtrk med ogstver). Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul

10 Ävelse () Hvilke Ålgede seks tl er es? () g (u) () h k () g (v) () t 's häldigskoeiciet () k h (6) m 's häldigskoeiciet () Teg de tget hvis häldigskoeiciet er g (u). Ävelse t m g h u k v () Arelet mellem gre og x-kse skl du dele op i strimler redde som vist i sit pç side. () I sit er omtlt ogle rektgler hvis reler er c. lig relere strimlere. Teg de tilsvrede rektgler her (ikke dre som du ses er edre). (c) Vi ser t rektgleres smlede rel er lidt stårre ed relet mellem gr og x-kse, og t orskelle pç relere er de dele rektglere der er over gre. Mrker disse dele. (d) PÇ de ederste de to igurer er ehede midre, sç rektgleres smlede rel liver e edre tilärmelse til relet mellem gr og x-kse. Besvr spårgsmçl (), () og (c) or de ederste igur. (e) Leiiz sgde t rektgleres smlede rel er Åjgtig lig relet mellem gre og x-kse Çr ehede er. Ävelse 6 () PÇ egge igurer skl du tege tgete t til gre i puktet P. P () BemÄrk t ehede er midre pç ederste igur. PÇ egge igurer skl du tege lije m der gçr geem P og det grpukt Q hvis x-koordit er ehed midre ed P 's x-koordit. BemÄrk t ehede er midre pç ederste igur. (c) m 's häldigskoeiciet er e tilärmelse til tgetes häldigskoeiciet. TilÄrmelse er edst pç ederste igur ordi ehede er midre. Leiiz sgde t m 's häldigskoeiciet er Åjgtig lig tgetes häldigskoeiciet Çr ehede er. P (d) PÇ Åverste igur er m 's häldigskoeiciet = = (e) PÇ ederste igur er m 's häldigskoeiciet = = Hvord Leiiz opdt itegrlregige 8 0 Krste Juul

11 Ävelse Vi hr Çet oplst t x h( x) og t h( x) g( x) Ved t ruge metode (6) r side Çr vi Arel M = = M g Ävelse 8 Det er oplst t m ( x) ( x). Hvilke Ålgede 6 udtrk er smme tl? () rel mellem m-gr og x-kse () rel mellem -gr og x-kse () m( ) m(0) () m( 0) m() () ( 0) () (6) ( ) (0) m Ävelse 9 Det er oplst t ( x) h( x). () Hvilke Ålgede udtrk er smme tl? () rel mellem h-gr og x-kse () rel mellem -gr og x-kse () ( ) ( ) () h( ) h( ) h () Arelet mellem h-gre og x-kse er c.. Hvord Leiiz opdt itegrlregige 9 0 Krste Juul