Lidt Om Fibonacci tal

Transkript

1 Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl Telefokæder E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008

2 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt efter de itlieske mtemtiker Leordo Fioi. De eteges f.eks. 0,,,., med 0 = 0 og =. De opfylder følgede rekusiosligig: Med 0 =0 og = fider m let: = 0 + = 3 = + = 4 = + =3 = 3 + = 6 = +3 =8 7 = 8 + =3 8 = = 9 = + 3 = 34 0 = 34+ = Det forlyder, t tllee første gg dukker op i e lille fhdlig om kivl.. Kivl Vi tger, t der forløer et tidsrum T fr e ki liver født til de er køsmode og edvidere, t der forløer det smme tidsrum T fr et køsmodet kipr får uger. Det tges, t et kipr ltid får etop to uger og t de fortsætter med dette med periode T. For t estemme tllet f kipr efter perioder (t = T), opstiller m følgede ræsoemet: eteger tllet f kipr efter - perioder. Vi egyder med et kipr, så =. Efter periode T, er kiprret levet køsmode, me der er edu ikke levet født uger så =. Efter perioder er der levet født to uger, så tllet f kipr 3 =. Efter edu e periode, hr det første kipr fået edu to uger, så 4 =3. I lmidelighed k vi ræsoere således. Atllet f kipr efter + perioder, + er lig med tllet f kipr efter perioder + plus, hvd der er kommet f uger. Me tllet f uger er det smme som tllet f kipr to perioder tidligere. Derfor får vi: + = + + Dette er etop rekursiosligige for Fioi tllee. Ræsoemetet er skueliggjort edefor. For hvert kipr er givet, hvor mge uger det hr fået

3 Lidt om Fioi tl 3 3. Telefokæder. Fioi tllee dukker op i mge prolemstilliger, for eksempel, år m skl optimere e telefokæde. Optimere, etyder i dee smmehæg, t lle i e telefokæde, får de smme esked i de kortest mulige tid. Vi gør ogle rimelige tgelser, emlig t der går et kostt tidsrum T (f.eks. mi)fr m liver riget op til m ige k rige videre og det smme tidsrum til t geemføre e oprigig. I e trditioel telefokæde, hr m i det første iveu, i det æste, = 4 i det tredje, osv. Telefokæde er vist edefor: persoer På figure er der 4 iveuer 0 til 3. For hver perso i telefokæde er givet det tl perioder, som der går før persoe får eskede. Prolemet er åelyst, idet der er é i det 3. iveu der får eskede til t = 3T, og e der først får eskede efter t = 6T. I lmidelighed vil de sidste perso i det te iveu få eskede (-)T seere ed de første perso i det te iveu. Smmehæge mellem tllet f persoer N og tllet f iveuer er: N = = - ltså N = - eller = log (N+)

4 Lidt om Fioi tl 4 I eksemplet ovefor er = 4, så N =. Vi stiller os u de opgve, t lve e telefokæde, så lle i smme iveu får eskede smtidig. På figure til vestre, mrkerer hver firkt e perso, og liiere er de to persoer, der riges til. Bemærk, t persoe i det 0 te iveu først riger til e i det. iveu (T), og derefter til e i det. iveu (T). I det. iveu riger hver først til e i 3. iveu (3T), og derefter til e i 4. iveu (4T). Det er herefter klrt, t lle i smme iveu, vil få eskede smtidig. For eksempel, så vil lle i det 4. iveu få eskede til tidspuktet 4T. Edvidere ses det, t tllet f persoer i de te iveu etop er Fioi tllet. Dette k ses ved følgede ræsoemet: De som hr fået eskede i det + te iveu +, er de som hr fået eskede i det + te iveu + (for de riger til e i det + te iveu), plus de, som hr fået eskede i det te iveu (for de hr lle riget til e i det + te iveu). Der gælder således: + = + + Som etop er rekursiosformle for Fioi tllee. Med ku 6 iveuer er forskelle til de trditioelle telefokæde til t overse. 6T redueres til T. Der er imidlertid ikke det smme tl persoer i de to træer ( og 0). Telefokæde ovefor er mest f teoretisk iteresse, me de fider vedelse i dtlogie. Atllet f elemeter i det te iveu, vokser oget ær fordolig, idet der gælder: + > + + > + > + > 4. E formel for Fioi tllee Der gælder følgede formel for Fioitllet. Det er let t vise, t formle gælder for =0,,. For >, kræver det kedsk til differesligiger. E differesligig, k f.eks. skrives f(+) = f(+) + f() som etop er rekursiosligige for Fioi-tllee. Opgve er t estemme fuktioe f. Ersttter vi med og tillder vi t tger også ikke heltllige værdier, får m ligige:

5 Lidt om Fioi tl f(+) = f(+) + f() f(+) - f(+) - f() = 0 Vi gætter d (kvlifieret) på e løsig f forme f() = og idsætter =0 Ved divisio med får m de krkteristiske ligig: =0, som hr løsigere: M k vise, t de fuldstædige løsig til differesligige er: f() = f () + f (), hvor f () og f (), svrer til hver f de to -værdier, og og estemmes ud fr etigelsere: 0 = 0 og = 0 f(0) = 0 og f() = f ) ( f(0) = 0 + =0 og f() = som løses til t give:. Hermed får m et udtryk for det te Fioi-tl: Som oge måske llerede hr emærket, er,68 det, som m klder det gylde sit. M k vise t: lim. Sæt = og =. Det følger d, t <. for i for 0 det Køge Gymsium 008 Ole Witt-Hse