FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

Transkript

1 FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium

2 Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 4 Forskrift ud fr to pukter... 7 Grfisk... 9 Krkteristisk egeskb... 0 k Ekspoetiel udviklig på forme Ekspoetiel udviklig på forme f = b e... 3 f = b X f = b... 4 X eller Prllelforskydiger... 5 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER... 6 Omvedte trigoometriske fuktioer... 9 Hrmoiske svigiger Begrebers ve Tidsvrierede svigig Bølgeudbredelse i rummet Både tid og rum Smmesætig f hrmoiske bølger POTENSFUNKTIONER Omvedte fuktioer til potesfuktioer FUNKTIONSSTYRKER POLYNOMIER Polyomier med grder over OVERSIGT... 57

3 RENTESREGNING Ordet procet betyder pr. hudrede, og det gives med symbolet %. pr. i sig selv svrer til e brøkstreg, dvs. m hr: 34 34% = = 0, % = = 0, % = = 5, , 0,% = = 0, Det er væsetligt t lægge mærke til lighedstegee. Det gælder simpelthe, t 34% = 0,34. Dvs. der sker bsolut itet med selve tllet. Det er præcis det smme, om du skriver 34% eller 0,34. Det er desværre e udbredt misforståelse, t m gger med 00 for t få tllet i procet, hvilket k føre til e forkert skrivemåde: Dvs. du skl ikke begyde t komplicere tigee med e udregig. Vi ved u, hvd ordet procet betyder. De æste sproglige poite er, t vi skl lære t skele mellem formulerigere tge procet f, lægge procet til, trække procet fr, procetdel f og procetvise forskel. Vi skl i første omgg hve idført et pr begreber: Defiitio : Om procettllet p, vækstrte r og fremskrivigsfktore gælder følgede: p% = r = + r Vækstrte kldes også for retefode. Eksempel 3: Hvis procettllet er 8, er r = 8% = 0, 8 og =, 8. Hvis vækstrte er 0,93, er procettllet 93 og fremskrivigsfktore,93. Hvis fremskrivigsfktore er,76, er vækstrte 0,76 og procettllet 76. 3

4 Eksempel 33: Hvis p = 5, er r = 5% = 0,5 og = 0,85. Hvis vækstrte er 3%, er procettllet 3 og fremskrivigsfktore,3. Hvis fremskrivigsfktore er 0,0, er r = 80% og p = 80. Defiitio : ) Tge procet f: p procet f K er r K ) Lægge procet til: Hvis m lægger p procet til K, får m ( + r) K 3) Trække procet fr: Hvis m trækker p procet fr K, får m ( r) K Eksempel 34: ) % f 00 er % 00 = 0, 00 = 4 b) Hvis m lægger % til 00, får m ( + % ) 00 =, 00 = 4 c) Hvis m trækker % fr 00, får m ( % ) 00 = ( 0,) 00 = 0,88 00 = 76 Bemærk poite med lt dette: Når m tger p procet f e strtkpitl, så fider m rete. Og år dee lægges ove i selve strtkpitle, så hr m lgt p procet til strtkpitle og dermed fået slutkpitle. Hvis m trækker rete fr strtkpitle, hr m trukket p procet fr strtkpitle. M kommer fr strtkpitl til slutkpitl ved t multiplicere med fremskrivigsfktore. Oveståede forklrer vet fremskrivigsfktor. M fremskriver fr strtkpitl til slutkpitl. E fktor idgår i et produkt, dvs. de gges på oget. Og dette er meget vigtigt t være opmærksom på. Fremskrivigsfktorer er uløseligt forbudet med multipliktio og divisio (der jo er to sider f smme sg). M tilbgeskriver ved t dividere med fremskrivigsfktore. I følgede tbel er ogle eksempler på vækstrter og tilsvrede fremskrivigsfktorer. Det er meige, t du skl kue sprige let og ubesværet fr de ee til de de. Dvs. hvis det oplyses, t r = 6%, skl du med det smme geemskue, t =,6 - og omvedt. 4

5 Vækstrte r Fremskrivigsfktor Kommetr 0,3 = 3%,3,76 = 76%,76 0,009 = 0,9%,009 0, 8 = 8% 0,7 0,5 = 50% 0,5 = 00% 4 = 400% 5 0% Vær påpsselig med 0 ere ved små proceter. Her lves e del fejl. Bemærk, t du bre skl ersttte 0 et for kommet i 0,009 med et -tl. E vækstrte på -50% svrer til e hlverig. Det er et meget vigtigt stdrdtilfælde. E fordoblig svrer til e vækstrte på 00%. Dvs. hvis du lægger 00% til e værdi, fordobler du de (ved t gge med fremskrivigsfktore ). Det er det det meget vigtige stdrdtilfælde. Hvis vækstrte er 400%, bliver værdie fem gge så stor. M lægger 0% til et tl ved t gge det med (det eutrle elemet ved multipliktio). Vi hr llerede e del vide om fremskrivigsfktorer fr ekspoetilfuktioer. Og år vi smmeholder dette med = + r, hr vi: Sætig 4: Følgede gælder for ekspoetilfuktioer: Vækstrte / Retefode Fremskrivigsfktore Mootoiforhold 00% < r < 0% 0< < Fuktioe er ftgede r = 0% = Fuktioe er kostt 0% < r < Fuktioe er voksede Sætig 4 skulle gere give god meig. E egtiv vækstrte gør e kpitl midre, dvs. fuktioe vil være ftgede. Og det opår m ved t multiplicere med et tl, der er positivt, me midre ed. Egetlig k vækstrte jo godt være -00%, me så forsvider hele kpitle. Vi rbejder ikke med vækstrter uder -00%. Det betyder ikke, t m ikke k rbejde med gæld. Vi reger bre på gæld som smme måde som kpitl, dvs. som et positivt tl. Bemærk, t år vi i dglig tle f.eks. tler om t gøre oget 3 gge så stort, så svrer det til e vækstrte på 00% og fremskrivigsfktore 3, og år oget skl være hlvt så stort, så er vækstrte -50% og fremskrivigsfktore 0,5. Det er ltså fremskrivigsfktore, vi sætter tl på i vores dglige tle. De helt cetrle sætig ide for retesregig er kpitlfremskrivigsformle: Sætig 5: Kpitlfremskrivigsformle. K = K + r 0 : Atl termier K : Strtkpitl 0 K : Slutkpitl (Kpitle efter termier) r : Vækstrte 5

6 I Sætig 5 er begrebet termier itroduceret. Termi kommer f det ltiske termius, der betyder fslutig, græse eller file, og vi veder det ide for retesregig om det tidspukt, hvor der tilskrives reter til e kpitl eller et lå. Sommetider vedes det dog også om selve periode mellem to retetilskriviger. Dvs. vi k både sige, t der er termi e gg om måede og termie er e måed. Me poite er ltså, t tllet f termier giver hvor mge gge, kpitle (der godt k være e gæld) fremskrives. Og hermed bliver beviset gske kort: Bevis: Hver gg, vi fremskriver e kpitl, multiplicerer vi med fremskrivigsfktore. Dvs. hvis strtkpitle fremskrives gge, bliver slutkpitle: K = K0 ( + r) ( + r) ( + r)... ( + r) = K0 ( + r) fktorer Eksempel 35: kr. sættes i bke med retefode % p.. (pro o ~ per år). Hvor meget står på kotoe efter 7 år? Vi idsætter i kpitlfremskrivigsformle: K = K + r 7 0 K = kr. + 0, 0 = 34460,57 kr. 7 Eksempel 36: Odysseus hr et godt overblik over sit liv og ved, t h om 8 år skl bruge kr. H k få,5% p.. i bke. Hvor mge pege skl h idsætte på kotoe u? Dee gg er det strtkpitle, der skl bestemmes, så de isoleres i formle: 0 0 ( + r) ( ) K = K + r K K = K 50000kr = = 44385,56 kr. ( + 0, 05) 0 8 Det væsetlige t bemærke i dette eksempel er som også ævt tidligere t m tilbgeskriver ved t dividere med fremskrivigsfktore. Eksempel 35 (versio ): Vi ser u på smme situtio som i eksempel 35, me forestiller os u, t der er to retetilskriviger om året (hver på %). På 7 år er der så 4 termier, og vi får: K = K + r 4 0 K = kr. + 0, 0 = 34484, 3 kr. 4 Vi ser ltså, t vi får kp 4 kr. mere ud f de kr. ed med % p.. Hvis der er mere ed retetilskrivig om året, er følgede begreber relevte: 6

7 Nomiel rete / Pålydede rete: De årlige retefod, der er oplyst. Effektiv rete: De årlige retefod, der reelt hr virket. Forskelle skyldes det, der kldes retes rete. Dvs. t der også kommer reter på retere. Dette k illustreres med edeståede figur, hvor der ses på 00 kr. som strtkpitl. De blå prikker viser, hvord kpitle udvikler sig, hvis de øges med 5 kr. hver termi. Dette giver lieær vækst. De røde prikker viser udviklige, hvis det er 5% pr. termi (hvilket i første termi er idetisk med 5 kr.). Dette er e ekspoetiel vækst. Når m lægger de smme størrelse til i hvert skridt (f.eks. 5 kr.), tler m om bsolut vækst, fordi beløbet ikke fhæger f kpitle (det ltiske bsolutus k bl.. betyde fuldkomme og ufhægig). Når m tilskriver de smme retefod i hvert skridt, tler m om reltiv vækst, fordi selve rete fhæger f det beløb, der tilskrives reter. Hvis m ku hr e kpitl på kroe, k det i begydelse klrt bedst betle sig med bsolut vækst i vores kokrete tilfælde. For vi får 5 kroer pr. termi, og efter første termi hr vi derfor 6 kroer, mes vi med reltiv vækst ville hve hft,05 kroer, d rete jo fhæger f kpitle. Grfe edefor til vestre illustrerer dette. Absolut vækst lægger sig klrt i spidse. Strtkpitl på kroe Strtkpitl på kroe Kpitl i kroer Atl termier Kostt 5 kroer pr. termi 5% pr. termi Kpitl i kroer Atl termier Kostt 5 kroer pr. termi 5% pr. termi Me kig så på grfe til højre. Hvis blot m hr termier ok t tge f, skl de reltive vækst ok vise sit værd. Bemærk, hvord de ærmest eksploderer i forhold til de bsolutte vækst. M siger, t reltiv vækst er stærkere ed bsolut vækst. På lg sigt vil reltiv vækst ltid vide. 7

8 Som sgt er der ku forskel på omiel og effektiv rete, hvis der tilskrives reter mere ed gg om året. Og det k du som udggspukt ldrig forvete, hvis du idsætter et beløb. Det forekommer vist efterhåde ku, hvis du låer pege, d det er e måde smme med et særskilt oplyst oprettelsesgebyr eller bidrg t få tilbuddet til t se mere fordelgtigt ud, ed det er. Ld os se på et eksempel, hvor vi ser bort fr omkostiger ved t optge et lå og ku kigger på selve retere. Eksempel 37: Det oplyses, t rete er 9% p.. med måedlige retetilskriviger. Dvs. i dette tilfælde er de omielle rete 9%. Hermed mees, t der hver måed tilskrives reter med retefode 9 % = 0,75%. f disse fremskriviger giver e fremskrivigsfktor på: = + r = + 0, 0075 =, 0938 årlig Dvs. vi hr e effektiv rete på 9,38%. Ofte vedes retesregig til t give, hvord to størrelser forholder sig til hide, fordi e procetvis beskrivelse ofte bedre beskriver situtioe ed e bsolut. F.eks. siger det dig ok ikke så meget, t det dske bruttotiolprodukt steg med 35 millirder fr 990 til 99. At stigige vr 4,%, giver ok et bedre billede. Sætig 6: Hvis e størrelse ædrer værdi fr A til B, er de reltive tilvækst r = B A A Bevis: Vi veder kpitlfremskrivigsformle med = : B B B A B A B= A ( + r) + r = r = r = r = A A A A A Ide vi ser på et eksempel på vedelse f dee sætig, skl vi hve defieret et begreb: Defiitio 3: De geemsitlige vækstrte er de fste vækstrte, der i de pågældede situtio ville hve brgt strtkpitle til slutkpitle, hvis de vr blevet tilskrevet i hver termi, og de gives ofte som r g Som tidligere geemgået er der flere forskellige slgs geemsit. Geemsitlig vækstrte er bseret på et geometrisk geemsit f fremskrivigsfktorere. 8

9 Eksempel 38: I periode 990 til 000 steg det dske BNP (bruttotiolprodukt) fr 855,6 mi. kr. til 36,9 mi. kr. (Der er ikke korrigeret for ifltio). ) Hvd hr de reltive tilvækst været? b) Hvd hr de geemsitlige årlige vækstrte været? c) Hvorår ville det dske BNP hve oversteget 000 mi. kr., hvis udviklige vr fortst? Svr: ) Vi beytter Sætig 6 og får: B A 36,9 mi. kr. 855,6 mi. kr. r = = = 0, % A 855,6 mi. kr. b) Der hr været 0 termier, så vi hr: K K K K = K + r = + r + r = r = r 0 g g g g K0 K0 K0 36,9 mi. kr. 855,6 mi. kr. 0 g = = 0, ,5% c) Vi skl ltså u rege med e årlig vækstrte på 4,5%. Vores udggspukt er år 000, og vores ubekedte er tl termier: 0 ( ) K ( ) K log( ) log( ) ( ) K K = K + r = + r r log + r = + = + r ( + r) K0 K0 K0 36,9 mi. kr. = log,045 = 9,97 855,6 mi. kr. Dvs. det ville være sket i år 00 I dette eksempel fik vi også set eksempler, hvor r og vr de ukedte størrelser, og hvor m skulle beytte heholdsvis roduddrgig og logritmefuktioe til t isolere de ukedte størrelse. Vi hr hermed behdlet situtioer med lle fire mulige ubekedte i kpitlfremskrivigsformle. Spørgsmål c) i Eksempel 38 k også ede med udtrykket l K = l ( + r) turlige logritme i stedet for logritme med grudtllet ( + r). K 0, hvis m veder de Sætig 6 er også de, du skl beytte, år m ide for turvideskbere tler om procetvis fvigelse, hvor A i så fld typisk vil være e forvetet værdi (f.eks. e tbelværdi), mes B er værdie opået i dit eksperimet. J Eksempel 39: I et fysikforsøg hr du målt lumiiums specifikke vrmekpcitet til 945, og kg K J tbelværdie er 897. Hvd er de procetvise fvigelse? kg K B A Vi idsætter ude eheder: r = = = 0, % A 897 9

10 Eksempel 40: I et kemiforsøg hr du ved øje fmålig og udregig fremstillet e 0,000 M NOH opløsig. Ved et titrerigsforsøg bestemmer du efterfølgede kocetrtioe til 0,00963 M. Hvd er de procetvise fvigelse? B A 0, 00963M 0, 000 M r = = = 0,037 = 3,7% A 0, 000 M Bemærk det meget væsetlige i formle, t dit udggspukt står i ævere. E de tig t bemærke er, t du med dee formel får egtive fvigelser, hvis di eksperimetelle værdi er midre ed udggspuktet, og positive, hvis di målte værdi er større ed udggspuktet. Somme tider går m ikke op i dette forteg, me oftest k det være relevt t vide, om værdie er over eller uder, år m skl vurdere fejlkilders idflydelse på resulttet. Ld os se lidt mere på de geemsitlige rete. Vi hr set e situtio, hvor m kedte de smlede vækstrte over e periode på 0 år, hvorefter vi øskede t bestemme de fste årlige vækstrte, der svrede til dee smlede vækstrte. Vi skl u se på e situtio, der egetlig eder smme sted, me som i første omgg kræver ogle ekstr udregiger: Eksempel 4: E kties værdi ædrer sig over e periode på 6 år med de årlige vækstrter %, 6%, 4%, 3%, % og 7%. Hvd hr de geemsitlige årlige vækstrte været? Først skl m være meget opmærksom på, t m IKKE bre lægger tllee smme og dividerer med 6 (dvs. m k IKKE beytte Det Aritmetiske Geemsit). For husk på, t et geemsit er e fst værdi, der giver smme edelige resultt som e række vrierede værdier. Vi lder vores kties strtværdi være K 0. De 6 give årlige vækstrter fører til slutværdie: K = K 6 0, 0, 06, 04, 03, 0, 07 De geemsitlige årlige vækstrte er som ævt de fste årlige vækstrte, der ville give smme resultt som disse 6 vrierede vækstrter. Dette giver os: 6 K + r = K, 0, 06, 04, 03, 0, 07 ( g ) ( rg ) =, 0, 06, 04, 03, 0, 07 6 g =, 0, 06, 04, 03, 0, 07 r r g = 0, ,8% I oveståede tilfælde giver Det Aritmetiske Geemsit 0, , så hvis m fruder de to resultter, ville m i dette tilfælde ikke kue se forskel. Me det ædrer selvfølgelig ikke ved, t det ville være e helt forkert metode, der ville give 0 poit i e opgve. De forskellige slgs geemsit giver bre ofte værdier tæt på hide. Eksempel 4 viste os de vigtige poite, t begydelsesværdie ikke hr betydig, år m skl fide de geemsitlige vækstrte. Det er udelukkede vækstrtere, m reger på. Og vi hr med kokrete tl vist følgede sætig: 0

11 Sætig 7: Hvis e størrelse ædrer sig med de vrierede vækstrter r, r, r 3,..., r, er de geemsitlige vækstrte r g bestemt ved: r = + r + r + r... + r g 3 Ld os se på et eksempel, der også iddrger egtive vækstrter: Eksempel 4: E udspekuleret rbejdsgiver sætter hver morge sie rbejderes lø ed med 0%, hvorefter de brokker sig højlydt, og h går med til t sætte løe 0% op ige. Dette sker hver dg i e måed, hvor der er 3 rbejdsdge. Hvord er det gået med rbejderes lø? Dette er tydeligvis e slgs trickopgve, hvor der lægges op til, t der ikke er sket oget med rbejderes lø, fordi de først sættes 0% ed og derefter 0% op. Me ld os rege på det. Der er 3 rbejdsdge, dvs. der er i lt 3 løstigiger og 3 løedgge. E løstigig på 0% svrer til e fremskrivigsfktor på,0, mes e løedgg på 0% svrer til e fremskrivigsfktor på 0,90. Så vi hr: + r =, 0, smlet 3 3 smlet =, 0,90 = 0, , 6% r Arbejderes lø er ltså fldet med 0,6% i løbet f dee måed. r = = = g , 0,90 0, ,5% Dvs. de geemsitlige vækstrte for de 46 ædriger er -0,5%. Det er også væsetligt t kede et begreb, der egetlig ikke hr oget med retesregig t gøre, me som kue lyde, som om det hvde. Det er begrebet procetpoit. Det vedes bl.. i forbidelse med ktiekurser og vælgertilslutig til politiske prtier. Når et prti går fr 3% vælgertilslutig til 6%, så siger m, t det er gået 3 procetpoit frem. Hvis du reger på det, kommer du frem til, t det er gået 3% frem (Sætig 6), me procetpoit er ltså oget det ed procetvis tilvækst. Det er meget vigtigt t lægge mærke til, t ehver multipliktio med et positivt tl k fortolkes som e procetvis forøgelse. F.eks. k 35 fortolkes som om, m lægger 00% til 5 (eller 400% til 3). Og år du multiplicerer med,37, så lægger du 37% til tllet. Selvfølgelig er det ikke ltid, t det giver meig med såd e fortolkig. Hvis du bre skl udrege det ritmetiske udtryk + 74, er der ige grud til t begyde med såd e fortolkig. Me det er utrolig vigtigt, t du er i std til det, år det er relevt.

12 Kotiuert rete Som fslutig på retesregig veder vi tilbge til problemstillige med omiel og effektiv rete, der blev behdlet i Eksempel 37. Ld os forestille os, t vi hr e omiel rete på 00%. Hvis vi hr é årlig retetilskrivig, giver det ltså fremskrivigsfktore. Hvis det er måedlig retetilskrivig, får vi: Hvis det er ugetlig retetilskrivig, får vi: måed uge = + =, = + =, Geerelt får vi med termier: = + Og det er så her, t kotiuert rete kommer id i billedet. For hvis vi u forestiller os, t der hele tide tilskrives reter. Ikke bre hvert sekud, me hele tide. Så vil der på et år være uedelig mge retetilskriviger, me vækstrte vil også være uedelig tæt på 0. Så hvd vil der ske med udtrykket +? Argumetet er uedelig tæt på, me ekspoete er uedelig (løst sgt). Vil udtrykket give, eller vil det give uedelig, eller vil det give et bestemt tl, eller k m slet ikke sige oget om det? Ld os først se på det grfisk ved hjælp f Mple: Dee grf tyder på, t der ret fktisk er e eller de værdi, som udtrykket ærmer sig, år går mod uedelig. Mple k berege såde græseværdier. Fid symbolet uder plette Clculus : Vi ser ltså, t + e for. Dvs. udtrykket går mod Eulers tl, år går mod uedelig. Med kotiuert rete vil vores fremskrivigsfktor ltså blive e. Jcob Beroulli ( ) opdgede det tl, der seere blev kedt som Eulers tl, d h i 683 fdt ud f, t lim + vr et bestemt tl. Fktisk gælder lim + = e. Dvs. m får de turlige ekspoetilfuktio, hvis m lder de omielle vækstrte være vrible. Dette er e f idfldsviklere til t forstå, hvorfor etop dee ekspoetilfuktio hr fået vet turlig.

13 Kotiuert rete er etop det, vi oplever, år vi veder fuktiosbegrebet, fordi vi hr Dm =, dvs. der sker hele tide oget med fuktiosværdie. På edeståede figur er vist, hvord m kommer tættere og tættere på grfe for de turlige ekspoetilfuktio, år m opdeler et tidsrum i flere og flere termier (her illustreret med, 5 og 0 termier). Kpitlfremskrivigsformle er e diskret fuktio, fordi des defiitiosmægde ikke består f ét eller flere itervller, me ku pukter. Og det er såd set de eeste forskel mellem de og vores æste type fuktio, der er ekspoetielle udvikliger. Ret mtemtisk fugerer de på smme måde, me ekspoetielle udvikliger hr kotiuert retetilskrivig, dvs. grfisk bliver det gltte kurver. 3

14 EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER Der idledes med e defiitio: Defiitio 4: E ekspoetiel udviklig er e fuktio f : + med fuktiosforskrifte =, > 0,, > 0 f b b kldes for fremskrivigsfktore eller grudtllet. b kldes begydelsesværdie eller strtværdie. Hvis m smmeliger med Defiitio 8, ses det, t e ekspoetilfuktio simpelthe er e ekspoetiel udviklig med begydelsesværdie. Dvs. ehver ekspoetilfuktio er også e ekspoetiel udviklig, me e ekspoetiel udviklig er ikke ødvedigvis e ekspoetilfuktio. Overvejelser omkrig Dm, Vm, og b. Lige som med ekspoetilfuktioer er betigelsere på kosttere kyttet øje smme med Dm og Vm. Når vi kræver, t > 0, får vi mulighed for t vede lle rgumeter (hvis måtte være egtiv, ville rgumetet = give os problemer, d m ikke k uddrge kvdrtrode f et egtivt tl). Vi hr ltså Dm =, fordi vi k opløfte lle positive tl i e hvilket som helst (reel) potes. Det er lidt derledes med betigelse b > 0. Prøv t kigge på fuktiosforskrifte. Her står, t m skl multiplicere med b, og vi ved, t m må multiplicere med lle reelle tl. Så fktisk er der ige lgebrisk begrudelse for betigelse b > 0. Det er simpelthe oget, m vælger. Det skyldes, t m ikke hr brug for egtive værdier til de formål, m veder ekspoetielle udvikliger til, og vores udelukkelse f egtive b-værdier gør det emmere t beskrive mootoiforholdee for ekspoetielle udvikliger. Det er betigelse b > 0, der giver os Vm = +, og år m også vælger kodomæet til +, får m bijektive fuktioer. Bemærk ltså, t betigelse > 0 er lgebrisk begrudet, mes b > 0 er et vlg. b kldes begydelsesværdie, fordi 0 f 0 = b = b = b, dvs. år rgumetet er 0, er fuktiosværdie b. Grfe for e ekspoetiel udviklig går ltså geem puktet ( 0,b ). Hvis vi opstiller kpitlfremskrivigsformle og fuktiosforskrifte for e ekspoetiel udviklig over hide, k vi se, t de fugerer lgebrisk es: Vi klder K0 for strtkpitle og b for strtværdie, me de fugerer jo på smme måde i formle. Og er tl termier, mes er rgumetet, og her er de eeste forskel, t er et turligt tl, mes k være lle reelle tl. Desude hr vi, t = + r. 4

15 Vores b er blot e koefficiet, der gges på vores ekspoetilfuktio, og d b er positiv, ædrer det ikke oget ved mootoiegeskbere, der k overføres direkte fr ekspoetilfuktioere. Sætig 8: For e ekspoetiel udviklig med fremskrivigsfktore gælder: > : Fuktioe er voksede. 0 < < : Fuktioe er ftgede. Nedeståede figur viser grfer for 4 eksempler på ekspoetielle udvikliger. Tjek, t du k se smmehæge mellem grfe og forskrifte (skærig med orditkse og voksede/ftgede fuktio). Vi ser u på kostteres betydig ret mtemtisk og deres fortolkiger i kokrete situtioer: Eksempel 43: Vi ser på de ekspoetielle udviklig med forskrifte f4 ( ) = 43,07. Begydelsesværdie er 43, og fremskrivigsfktore er,07. Dermed er vækstrte 7%. Grfe for fuktioe går ltså geem puktet ( 0, 43 ), og hver gg -værdie øges med, øges fuktiosværdie med 7%. Eksempel 44: Vi ser på de ekspoetielle udviklig med forskrifte f3 ( ) = 3 0,97. Begydelsesværdie er 3, og fremskrivigsfktore er 0,97. Dermed er vækstrte -3%. Grfe for fuktioe går geem puktet ( 0, 3 ), og hver gg -værdie øges med, midskes fuktiosværdie med 3%. Oveståede er de mtemtiske beskrivelser. Når du møder ekspoetielle udvikliger i forbidelse med virkelighede, er det fgørede, t du k fortolke kosttere i de helt kokrete situtio (ligesom vi så med lieære fuktioer). 5

16 Eksempel 45: Værdie p (målt i tuside kr.) f e bil k som fuktio f tide t (målt i tl år efter købet) beskrives ved forskrifte p( t ) = 45 0,83 t. Hvd fortæller kosttere om biles værdi? 45 fortæller, t bile, d de blev købt, hvde værdie kr. 0,83 fortæller, t for hvert år side købet er værdie fldet med 7%. Eksempel 46: Atllet N f bkterier i e bkteriekultur k som fuktio f tide t målt i miutter beskrives ved forskrifte N( t ) = 5,034 t. Hvd fortæller kosttere om tllet f bkterier? 5 fortæller, t der er 5 bkterier fr strt.,034 fortæller, t tllet f bkterier vokser med 3,4% i miuttet. W Eksempel 47: Itesitete I (målt i ) f e lysstråle, der bevæger sig geem et geemsigtigt m mterile, k som fuktio f de tilbgelgte strækig (målt i cm) i mterilet beskrives ved forskrifte I( ) = 760 0,937. Hvd fortæller kosttere om lysstråles itesitet? 760 fortæller, t år lysstråle rmmer mterilets overflde, er dets itesitet 760 W m. 0,937 fortæller, t lysstråles itesitet flder med 6,3% for hver cetimeter, de bevæger sig geem mterilet. 6

17 Forskrift ud fr to pukter Lige som med e lieær fuktio k m bestemme forskrifte for e ekspoetiel udviklig, hvis m keder to pukter, som grfe går igeem (hvilket svrer til t kede fuktiosværdiere to steder). Der er e formel til dette, me oftest er det meget bedre t kede e metode, d det giver bedre mtemtisk forståelse og ikke kræver så meget udedslære. Så vi begyder med metode, som vi egetlig keder i forveje, bre ikke vedt på dee fuktiostype. Metode Eksempel 48: Det er oplyst, t grfe for e ekspoetiel udviklig går geem puktere (, 0) og Vi vil bestemme e forskrift. Vi ved, t de geerelle forskrift er f = b, og vi idsætter pukteres koorditer: 6, = b 30 b = = =± =± 0 = b 0 b Vi dividerer vestreside med vestreside og højreside med højreside og opår dermed, t b-værdie k forkortes ud. D vi hr betigelse > 0, hr vi ltså =. Dette idsættes i de ee f ligigere. Her vælges de ederste: 0 0 = b b= = 5 4 Dvs. forskrifte er f ( ) = 5 y : Pukteres koorditer idsættes i forskrifte: y = b y b y y = = = y y = b b y y I sidste skridt blev det beyttet, t vi ved, t er positiv. Når vi keder -værdie, k b-værdie bestemmes ved idsættelse i e f ligigere: y y = b b= y y = b b= Eksempel 49: Vi veder metode på to pukter (, y ) og (, ) Når du veder metode, er det e god idé t sørge for, t de højeste -værdi hver i tællere, for ellers får du rødder med egtive rodekspoeter. Disse k godt reges ud (se vores geemgg f rødder og poteser), me de fleste vil hve emmere ved t rbejde med positive rodekspoeter. Eksempel 49 er beviset for de følgede sætig: 7

18 Formel: Sætig 9: Kosttere for e ekspoetiel udviklig f med forskrifte f = b, hvis grf går geem puktere (, y) og (, ) f ( ) og f ( ), k bestemmes ved: = b = y y y y, eller hvor m keder fuktiosværdiere = b = f ( ) f ( ) ( ) f Eksempel 50: Om de ekspoetielle udviklig f ved vi, t f = og f 3 = 7. Vi vil bestemme e forskrift for f og idsætter derfor i formlere fr Sætig 8: f ( ) 7 = = 3 = 36 = 36 = 6 f ( ) f b = = = = Dermed er forskrifte: 6 f = Hvis m hr hjælpemidler til rådighed, k Mple bestemme forskrifte på flere måder: Regressio: Bemærk, t Mples resultt ikke er helt præcist. I såde situtioer skl du kigge på resulttet og vurdere, t tllee er og 6. 3 To ligiger: Her skl du kste de sidste løsig væk, d -værdie er egtiv. 8

19 Grfisk Vi hr llerede i itroduktiosforløbet set, t grfe for e ekspoetiel udviklig er e ret lije i et ekeltlogritmisk koorditsystem. Vi er u klr til t bevise det. Vi tger udggspukt i forskrifte f = b. Et pukt ( ypå, ) grfe for f opfylder ltså ligige y Dette er e ligig, og vi må derfor tge logritme på begge sider: = b. Poite er, t der er e lieær smmehæg mellem log ( y) og, for log og log ( b) er kostter, der grfisk svrer til heholdsvis hældige og skærige med y-kse.,log y,, så vil puktere de e ret lije Dvs. hvis m fsætter puktere ( y ) i stedet for i et lmideligt koorditsystem. Og som vi viste i forbidelse med logritmiske skler, skl puktere sættes smme sted, uset om m vælger t fsætte log ( y ) på e lmidelig skl eller y på e logritmisk skl. Derfor får vi også e ret lije, hvis vi fsætter ( yi, ) et koorditsystem, hvor dekse er gjort logritmisk (dvs. et ekeltlogritmisk koorditsystem). Sætig 0: Grfe for e ekspoetiel udviklig er e ret lije i et ekeltlogritmisk koorditsystem. Vi k fktisk også få lidt mere ud f vores udledig, for det er egetlig første skridt på veje til t isolere : log = log y log b y log = log b = log y log b Vi hr hermed isoleret, og hvis vi bytter om på og y, ser vi ltså: De omvedte fuktio logritmiske fuktio med forskrifte f til de ekspoetielle udviklig f med forskrifte f log log b =. 9 f = b er de

20 Krkteristisk egeskb Vi er u ået til det helt cetrle pukt i forbidelse med ekspoetielle udvikliger, emlig deres vækstegeskb. Vi hr tidligere vist for lieære fuktioer, t år m lægger e fst størrelse til rgumetet, så ædres fuktiosværdie med e fst størrelse. Ld os se, hvd der sker, hvis vi lægger e fst størrelse til rgumetet i e ekspoetiel udviklig. Dvs. vi tger udggspukt i et vilkårligt rgumet med tilhørede fuktiosværdi og vil så se, hvd der sker med fuktiosværdie, år vi lægger størrelse til rgumetet: Vi lægger ltså til rgumetet og ser, t vores fuktiosværdi dermed bliver multipliceret med, der er et tl. Vi ser ltså, t hvis vi bliver ved med t lægge til rgumetet, så vil vores fuktiosværdi hele tide blive multipliceret med tllet. Og vi husker fr retesregig, t det t gge med et tl svrer til t lægge procet til eller trække procet fr. Vi hr ltså set følgede krkteristiske egeskb for ekspoetielle udvikliger: Sætig : De krkteristiske vækstegeskb for e ekspoetiel udviklig er, t år m lægger e fst størrelse til rgumetet, ædres fuktiosværdie med e fst procetdel. Bemærk, t hele rgumettioe er bseret på, t vores rgumet ikke idgår i de størrelse som vi multiplicerer med. For hr etop ikke oget med vores udggspukt t gøre. Dee egeskb ses ikke hos dre fuktiostyper. Vi k gå videre ed dette og fide e formel, så vi får e smmehæg mellem vores vækstrte og de fste størrelse, der lægges til rgumetet. D vi etop hr opdget, t dee fste størrelse k kyttes til e vækstrte, ædrer vi des symbol, så vi u rbejder med: r : De vækstrte, som fuktiosværdie skl ædres med. y X : De fste størrelse, der skl lægges til -værdie for t fuktiosværdie ædres med r ( + r y ) y. Vi veder stort X, år vores rgumet er. Hvis vi veder et det bogstv som rgumet, veder vi et det bogstv. Oftest vedes f.eks. t for tide, og så vedes T om de fste størrelse. I vores udledig f Sætig eder vi med t multiplicere med X ( r y ),, som med vores ye ottio ltså hedder +. Vi ved fr retesregig, t det er fremskrivigsfktore, vi hr multipliceret med. Så hvis fuktiosværdie er ædret med vækstrte r y, hr vi: X ( r ) ( + r ) y y = + 0

21 Kig grudigt på dette udtryk og tæk over det. Husk, t er fremskrivigsfktore for de ekspoetielle udviklig, mes r y er vækstrte, der beskriver ædrige i fuktiosværdie. Så egetlig er det et velkedt udtryk, vi er kommet frem til. Hvis f.eks. X 4 ( + =, så svrer det til t r y ) gå 4 eheder he på -kse eller tilsvrede t hve 4 termier (retetilskriviger). Og år m tilskriver reter 4 gge, så gger m med fremskrivigsfktore i fjerde potes. Hvis vi gere vil vide, hvor lgt vi skl gå he d -kse for t ædre fuktiosværdie med vækstrte r y, skl vi hve isoleret X ( + i ligige: r y ) X X ( + ) ( ) r y + ry ( + r ) y + r = log + r = log X = log + r y y y Eller hvis vi hellere vil beytte de turlige logritmefuktio: X X l + ry + ry ( + ry) = l ( + ry) = l ( ) l ( + ry) = X l X = + ry ( + ry) l ( + ry ) Vi kue også hve vedt titlslogritme i stedet for de turlige logritme. Regereglere dækker jo lle logritmefuktioer. Så vi hr hermed vist sætige: Sætig : For e ekspoetiel udviklig med fremskrivigsfktore gælder, t hvis fuktiosværdie skl ædres med vækstrte r y, skl m lægge X ( + til rgumetet, r y ) hvor X ( + er bestemt ved ehver f disse formler: r y ) X = + X = ( + ry ) log ( ) ( r + r y) y Bemærk, t ( ry ) Når der står X +, så er ( ry ) ( + ry ) l l X = ( + ry ) log ( + ry ) log + optræder to gge i hver formel, me de ee gg er det bre som ideks. ( r y ) + ikke e del f e udregig. Eksempel 5: To ekspoetielle udvikliger f og g er givet ved forskriftere f ( ) = 34,08 og g( ) = 7 0,84. Vi bemærker, t f er e voksede fuktio, d >, og d g hr <, er det e ftgede fuktio. Det giver derfor ku meig t skke om positive vækstrter for f og egtive vækstrter for g. Der ses på tre forskellige situtioer for hver fuktio, så der bliver mulighed for t vede lle de tre formler fr Sætig. Me bemærk, t der er ige grud til t foretrække de ee formel frem for de de i de ekelte tilfælde. M kue i hvert tilfælde hve vedt ehver f formlere. ) Hvor meget skl lægges til rgumetet (-værdie) for t øge f s fuktiosværdi med 0%? M hr r y = 0, 0, så X, = log,08 ( + 0, 0) = log,08 (, ) =,3690 Så fuktiosværdie øges med 0%, hver gg der lægges,37 til -værdie. b) Hvorår er f 4 gge så stor som begydelsesværdie? l ( + 3) l ( 4) Dette svrer til r y = 300% = 3, så X 4 = = = 8, 0937 l l.08 D udggspuktet er = 0, og vi skl lægge 8,0 til dette, er svret = 8,0 f g

22 Eksempel 5 (fortst): f ( ) = 34,08 og g( ) = 7 0,84 c) Hvor meget skl lægges til rgumetet for t fordoble f s fuktiosværdi? E fordoblig svrer til r = 00% =, så X y ( + ) log log = = = 9, 0063 log log.08 Dvs. hver gg m lægger 9 til -værdie, fordobles fuktiosværdie. Og hvis m gør det to gge, hr m ltså lgt 8 til -værdie og gjort fuktiosværdie 4 gge så stor (som vi også så i spørgsmål b)). d) Hvorår er g( ) ede på 0% f si begydelsesværdi? Bemærk ordlyde: Nede på 0%. M hr ltså ikke trukket 0% fr, me derimod 90%. log ( 0,90) log ( 0,0) Så r y = 90% = 0,90, og m hr X 0,0 = = = 3, 064 log log 0,84 Dvs. t år = 3,, er m ede på 0% f begydelsesværdie (der i dette tilfælde er 7, me det er fuldstædig ude betydig). e) Hvor meget skl lægges til rgumetet for t midske g s fuktiosværdi med 30%? Her er 30% 0,30 y X = log 0,3 = log 0, 7 =, 0457 r = =, dvs. 0,70 0,84 0,84 f) Hvor meget skl lægges til rgumetet for t hlvere g s fuktiosværdi? E hlverig svrer til r y = 50% = 0,50, så X l l 0,50 = = = 3,9755 ( ) l l ( 0,84) Dvs. hver gg der lægges 3,9755 til rgumetet, hlveres fuktiosværdie. I vores itroduktiosforløb så vi edeståede to figurer:

23 Vi hr u set, t hlverigskostter og fordobligskostter blot er speciltilfælde f oget mere geerelt. For det gælder for e hvilke som helst procetvis ædrig f fuktiosværdie, t de bliver ved med t forekomme, år m lægger et bestemt tl til rgumetet. M kue derfor lige så godt hve skket om tredobligskostte eller efjerdedelskostte. M vælger selvfølgelig hlverig og fordoblig, fordi det er let t forholde sig til, og vi giver derfor formlere for disse her. Sætig 3: For e ekspoetiel udviklig f: b gælder: l Hvis > : Fordobligskostte er X = log eller X = l. Hvis 0 < < : Hlverigskostte er X = log X eller l l =. M k også som ævt e del gge vede titlslogritme i stedet for de turlige logritme, så de er bre udldt i Sætig 3 for overskuelighedes skyld. Og egetlig skulle m så tro, t vi vr færdige med geemgge f ekspoetielle udvikliger, for vi hr u styr på følgede tig: Forskrift, Dm, Vm og kostteres betydig. Bestemmelse f forskrift ud fr to pukter. Mootoiegeskber. Grfers udseede (heruder e ret lije i et ekeltlogritmisk koorditsystem). Omvedt fuktio. Krkteristiske vækstegeskb (heruder hlverigs- og fordobligskostter). Me m hr flere forskellige måder t give ekspoetielle udvikliger på, og dem skl vi se på u. Ekspoetiel udviklig på forme f = b e k Vi ser, t b-værdie optræder på smme måde i forskriftere f = b og k f = b e. Så b hr smme betydig i begge tilfælde. Vi hr set, t det ku er -værdie (fremskrivigsfktore), der hr betydig, år vi ser på mootoiegeskber og vækstegeskber. Vi vil u fide smmehæge mellem k og, så vi k f = b e : k bruge vores vide om f = b til t sige oget om Forskriftere fortæller os, t k = e skl være e idetitet. Det er det ku, hvis: k = e = k l 3

24 Vi ved, t logb = 0. Og for lle logritmefuktioer med grudtl over (heribldt de turlige logritmefuktio) gælder det, t værdie er positiv, år rgumetet er over, og egtiv, k = l, får vi følgede sætig: år rgumetet er uder. Når vi smmeholder dette med f = b e gælder: k Sætig 4: For e ekspoetiel udviklig f med forskrifte l Hvis k > 0 (svrede til > ), er fuktioe voksede, og X =. k l Hvis k < 0 (svrede til 0< < ), er fuktioe ftgede, og X =. k Du vil oftest i fysik og kemi møde ekspoetielle udvikliger på dee form. Dog skl du være kt N t = N e, dvs. der er tilføjet et opmærksom på hefldslove i fysik, hvor forskrifte er 0 l egtivt forteg i ekspoete. Dette gør, t m får T =, fordi l = l k. k Årsge til vedelse f f = b e vil vi se, år vi kommer til differetilligiger. For e f de mest lmidelige differetilligiger er y' = k y, hvor k i e kokret situtio k fortolkes. k Og år dee løses, får m etop f = b e, hvor k ltså optræder i løsige. Det ville være uhesigtsmæssigt t omskrive til f = b, d m så skulle idføre et, der ikke idgik i de opridelige differetilligig. Ekspoetiel udviklig på forme f = b X M k også give ekspoetielle udvikliger på e f formee X f = b X X eller f = b f = b fhægig f, om fuktioe er ftgede eller voksede og dermed hr e hlverigskostt eller e fordobligskostt. Vi ser ige, t b-værdie optræder på smme måde som i de dre forskrifter. Vi keder llerede smmehæge mellem og Xog X, så vi mgler bre t vise, t de ye skrivemåder ret fktisk er fuktiosforskrifter for ekspoetielle udvikliger. Vi beytter X = log ( 0,5) og X = log og udreger så: og 4

25 Og tilsvrede hr m: log X log log log log = = = = Vi hr ltså vist: Sætig 5: E ftgede ekspoetiel udviklig k skrives på forme f = b X X voksede ekspoetiel udviklig k skrives på forme X er heholdsvis hlverigs- og fordobligskostte. og e f = b, hvor X og Det smrte ved dee form er, t hvis m keder hlverigs- eller fordobligskostte, k m med det smme opskrive forskrifte for fuktioe, dvs. m behøver ikke først t berege fremskrivigsfktore. Desude er det på si vis de mest ituitive opskrivig i hvert fld hvis m tæker på vækstegeskbe. For prøv t kigge på ekspoetere. Hver gg m til rgumetet lægger X eller X, bliver brøke større. Dvs. m skl multiplicere e ekstr gg med ete eller, hvorved m etop får hlveret eller fordoblet fuktiosværdie. Prllelforskydiger Fr vores behdlig f ligiger ved vi, t vi k prllelforskyde grfere med k lgs y-kse ved lle steder t ersttte y med y k og med k lgs -kse ved lle steder t ersttte med k. Vi k overføre dette til fuktioer, hvor vi behdler f som y: Vi ser, t vores lodrette forskydig giver os e fuktio, der ikke er e ekspoetiel udviklig, mes vores vdrette forskydig bre fører til e de ekspoetiel udviklig. Prøv selv t vise dette, dvs. prøv t lve e geerel vdret forskydig og rbejd med fuktiosforskrifte, idtil du er kommet frem til e y ekspoetiel udviklig. 5

26 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER Vi skl u hve kombieret vores fuktiosbegreb med begrebere sius, cosius og tges, som vi idførte i forbidelse med trekter, og som vi rbejdede videre med i trigoometriske ligiger. Vi idførte ehede rdier for vikler ved hjælp f edeståede figur: I trigoometriske ligiger rbejder vi med vikler målt i rdier, og vi skl gøre det smme med trigoometriske fuktioer. Vores trigoometriske ligiger kue f.eks. hve forme t ( ) = 5, og si ( ) = 0, 43 og cos( ) = 0,93. Vores trigoometriske fuktioer er f = t, g = cos og h si = eller justeriger f disse. Så forskelle er de sædvlige mellem fuktioer og ligiger med é vribel: Vi løser ligiger, dvs. vi fider de eller de -værdier, der gør udsget sdt, mes fuktioer er fbildiger, hvor vi kytter et rgumet (e -værdi) smme med e fuktiosværdi. De to begreber bliver dog kombieret ret ofte i prksis. Hvis m f.eks. tger udggspukt i e f = si 4+ 5 og spørger, hvorår de tger værdie,76, så hr fuktio med forskrifte m pludselig e ligig, 76 = si ( 4 + 5). Og modst: D vi skulle løse trigoometriske ligiger, gjorde vi bl.. brug f edeståede grfiske fremstillig: Her hr vi beyttet grfe for de trigoometriske fuktio f : si til ligige si ( ) = 0, 7. Du skl ltså ikke udre dig, hvis ekelte tig i det følgede virker bekedt. 6 til t illustrere løsige

27 Ld os først se på grfere for de tre trigoometriske fuktioer: f : bestemt ved forskrifte f = si. g : bestemt ved forskrifte g = cos. π h: \ = + p π bestemt ved forskrifte h t =. Bemærk, t lle tre grfer hele tide getger sig selv. Sius og cosius getger sig selv efter stykket π og tges efter π. Dee egeskb kldes periodicitet. Sius og cosius er periodiske med periode π. Tges er periodisk med periode π. Msser f fæomeer i ture er periodiske (Jordes omløb om Sole, Jordes rottio, lydbølger, lysbølger, kviders hormoblce, forskellige døgrytmer, et pedul, vekselstrøm, ), og m k oftest vede é eller flere trigoometriske fuktioer til t beskrive et sådt fæome. Kig på grfere for sius- og cosiusfuktioere. Bemærk, t de ee blot er e prllelforskydig f de de lgs -kse. Og husk, t vi k lve e såd forskydig ved blot t ersttte med k. Vi hr ltså ikke brug for både sius- og cosiusfuktioe. M hr vlgt t beytte siusfuktioe, og det er derfor de, vi srt skl rbejde videre med. Me ld os ide d se på, hvord grfere fremkommer ud fr ehedscirkle: 7

28 Kig på oveståede figur og smmelig de med grfere for si, cos og t ( ) edefor. Du skl kue se, hvord m kommer fr ehedscirkle til grfere i koorditsystemet. Bemærk f.eks., t cosiusfuktioe skærer y-kse i og æste ikke ædrer si værdi på det første stykke, år bliver større ed 0 (grfe k tilærmes med e vdret lije på dette stykke): Lije med ligige y = er lgt id, d de er god t smmelige sius- og tgesfuktioere med. Prøv på ehedscirkle t smmelige lægde f cirkelbue, der giver -værdie, med lægde f de to lodrette stykker, der giver sius- og tgesværdiere. De tre lægder er æste es, og de lægger sig med si < < t. Dette ses også på grfere, hvor grfere for sius og tges i begydelse følger lije med ligige y =, dog med tges over og sius uder. Ofte k m derfor med god tilærmelse ersttte si med, hvis ikke kommer lgt fr 0. Dvs. m k udytte følgede sætig: Sætig 6: For små værdier f gælder si 8

29 Dette er turligvis e løs formulerig. Hvis m vil hve ogle tl på, k m tege e grf, der viser de procetvise fvigelse f fr si ( ) : Omvedte trigoometriske fuktioer I trektopgver hr vi vedt si, cos og t som vores omvedte fuktioer til si, cos og t, år vi rbejdede med ukedte vikler. Vi hr også set på, t dette er e uheldig ottio, d si og vores - ikke fugerer som e ekspoet, dvs. tllee hr forskellige betydiger i si ( ). Og vi husker også, t ottioe si IKKE fugerer i Mple. Vi veder ivsi, ivcos og ivt, år vi rbejder med vikler i grder og bruger Gym-pkke. Me de rigtige ottio, som også er de, Mple veder, er rcsi, rccos og rct. rc betyder bue, og år m veder e f disse fuktioer, er det etop lægde f cirkelbue, m fider. rc er derfor ikke e geerel ottio for omvedte fuktioer. Det er ku e ottio, der vedes i forbidelse med trigoometriske fuktioer. I Eksempel (i del ) så vi på rcsi. Vi så dér, t vi er ødt til t begræse vores Dm og kodomæe for siusfuktioe for t få e bijektio, så vi k fide de omvedte fuktio. π π Vi rbejdede med f : si og Dm( f ) =, Vm f =,, hvorfor vi kom frem til: Dm ( rcsi) = [,] og Vm π π rcsi =,. og [ ] Ld os u se på cosius, dvs. g: cos. Ud fr grfe k vi se, t hvis vi sætter Dm( g ) = [ 0, π ], får vi e bijektio med [,] D e fuktio og des omvedte fuktio bytter Dm og Vm, hr vi ltså: Vm rccos = 0, π. Dm ( rccos) = [,] og [ ] Vm g =. Vi ser ltså, t rccos k give os vikler svrede til vikler mellem 0 og 80, hvilket er grude til, t vi ltid k fide de rigtige vikel, år vi løser trektopgver med cosius også selvom vikle skulle være stump. 9

30 Med tges hr vi: π π Dm( t ) =, og ( t) Vm =. Dm ( rct ) = og Vm Grfisk hr vi: π π rct =, Bemærk edu egg, t grfere er hides spejliger i lije med ligige y =. Egetlig er de blå grfer ovefor grfere for fuktioere Arcsi, Arccos og Arct (ltså med stort begydelsesbogstv). Me Mple skriver dem med småt, og vi kommer ikke ærmere id på forskelle her. Hrmoiske svigiger Hrmoiske svigiger er svigiger, der k beskrives ved e siusfuktio: f : A si k + ϕ + c, A> 0, k > 0 Vi hr idført 4 kostter: Ak,, ϕ og c(ϕ er de lille udgve f det græske bogstv phi ) Siusfuktioer bruges til t beskrive mge forskellige fæomeer, og k erstttes sommetider f et det bogstv, der dækker over et det begreb. Vi skl i første omgg kocetrere os om de fire kostters betydig for grfes udseede. Bgefter idføres vee på de begreber, som bogstvere repræseterer. Betydig f k: ( k > 0) 30

31 På figure smmeliges grfere for si ( ),si og si. Bemærk, t er førstekoordite til puktere i lle tre tilfælde. Det er ku fuktiosværdiere, der er forskellige. Når rgumetet for siusfuktioe er, kommer m dobbelt så hurtigt rudt på ehedscirkle, som år rgumetet er. Dermed bliver bølge smllere, jo større k er. Me der sker ikke oget med værdimægde, for fuktiosværdiere flæses stdig som retigspuktets dekoordit, og de ligger mellem - og. Betydig f ϕ: På figure smmeliges grfere for si og si ( ϕ ) +. Bemærk ige poite, t er førstekoordite for puktere på begge grfer, me dekoordite er derledes, fordi m si + ϕ hele tide er stykket ϕ for på ehedscirkle. Me dermed er bølgere også lige med bredde, for det er hele tide det smme ekstr stykke ϕ, m skl bevæge sig rudt på ehedscirkle. M får ltså to grfer, der er prllelforskudt lgs -kse i forhold til hide. Vi k u udytte vores vide om prllelforskydiger til t få st ogle værdier på prllelforskydige. Vi foretger derfor følgede omskrivig: ϕ si ( k + ϕ ) = si k + k. Vi ved, t m prllelforskyder med lgs -kse ved t ersttte med lle steder i e ligig (og dermed også i e fuktiosforskrift). ϕ si k + ϕ er forskudt med lgs -kse i forhold til grfe Vi k derfor se, t grfe for for si ( k ). k 3

32 Betydig f A: A > 0 = +. Bemærk, hvord A virker i fuktiosforskrifte f A si ( k ϕ ) A multipliceres med siusværdie, dvs. hvis m smmeliger fuktiosværdiere for ( + ϕ ) og A si ( k ϕ ) si k + de smme steder, vil fuktiosværdie være A gge større (eller midre, hvis A er mellem 0 og ). Dermed vil bølgere være lige bredde (se edefor). ( si + ) = [, ] Vi ser, t ( ϕ ) Vm A k A A Betydig f c: D vi ved, hvord m prllelforskyder lodret, k vi ret hurtigt idse, t c etop giver e såd forskydig. Hvis vi veder y som vores fuktiosværdi, k vi lve følgede omskrivig: y = A si ( k + ϕ) + c y c= A si ( k + ϕ) Vi ved, t m prllelforskyder lgs y-kse ved t ersttte y med y ci ligige. Så vi ser, t + med c op d grfe for A si ( k + ϕ ) + cer e prllelforskydig f grfe for A si ( k ϕ ) y-kse. Dette k m også idse ved t kigge på, hvord c optræder i fuktiosforskrifte. De lægges A si k + ϕ, og derfor bliver fuktiosværdie c større (hvis c er som det sidste til værdie f positiv). Bemærk, t de blå grf er e prllelforskydig f de røde grf med 4 op d y-kse. 3

33 Begrebers ve Defiitio 5 og Sætig 7: For de hrmoiske svigig, der k beskrives ved fuktioe f A k + ϕ + c, gælder: ( k ϕ ) : si + kldes fse. Dvs. det er fse, der optræder som rgumet i siusfuktioe. É svigig er e smmehægede del f grfe, der svrer til ét omløb på ehedscirkle, dvs. e forøgelse f fse med π. k kldes de cykliske frekves. ϕ og k giver fseforskydige, der er ϕ. k C giver de lodrette forskydig f ligevægte. -kse giver ligevægte for de hrmoiske svigig A si ( k ϕ ) De vdrette lije med ligige y = cer ligevægte for si ( ϕ ) +. A k + + c. fm + fmi Hvis m grfisk skl flæse c-værdie, k m beytte: c =. A kldes mplitude og giver det mksimle udsvig fr ligevægte. A f Dvs. m mi f = og Vm( f ) = [ A+ c, A+ c] 33

34 Tidsvrierede svigig Når vi beskriver tidsvrierede svigiger med siusfuktioer, idføres ogle ye begreber: Defiitio 6 og Sætig 8: For e tidsvrierede svigig givet ved fuktioe f t A t+ + cgælder: : si ( ω ϕ) Periode T er tide for é svigig. De kldes også svigigstide. Frekvese f er tllet f svigiger ide for et givet tidsrum. Smmehæge mellem T og f er f T =. ω (lille græsk omeg) kldes vikelhstighede eller vikelfrekvese. π Der gælder: ω = og ω = π f T Bevis: Smmehæge mellem frekves og periode følger direkte f defiitioere på de to begreber (tjek selv). Det er væsetligt t bemærke, t det er e formel med ku é frihedsgrd. Hvis periode er givet, så keder m også frekvese og omvedt. De to formler med ω fortæller det smme. I de ee hr m bre erstttet periode med frekvese. Så vi behøver ku t rgumetere for de første: Periode er tide for é svigig, dvs. fse øges med π, år m øger tide med é periode, for π svrer til é tur rudt på ehedscirkle. M hr derfor: ω t + T + ϕ = ω t + ϕ+ π (tjek, t du k se smmehæge mellem ligige og tekste). ω isoleres i udtrykket, og vi opdger udervejs, t ϕ forsvider: ω ( t+ T) + ϕ = ω t+ ϕ+ π ω t+ ω T = ω t+ π ω T = π π ω = T 34

35 π Nvet vikelhstighed følger f formle ω =. For e hstighed er e tilbgelgt strækig pr. T tid, og i formle er π etop de strækig, som vikle geemløber i tidsrummet T. Efter e lg teoretisk behdlig er det tid til eksempler. Eksempel 5: I et vekselstrømskredsløb k spædige målt i volt beskrives ved fuktioe U : t 40 si 00 π t+ 0, 003, hvor t er tide målt i sekuder. Ide vi begyder t foretge beregiger, ser vi på grfe og smmeliger med de flæste størrelser: Bemærk, t vi u k sætte ehed på orditkse. I dette tilfælde er det spædige, der beskrives, og det er derfor de, der fsættes på dekse. Vi k se på fuktiosforskrifte, t der ikke er oge forskydig c f ligevægte, og det psser med grfe, hvor toppee år lige lgt væk fr -kse på begge sider f dee. Vores mplitude flæses ud fr forskrifte til 40, og vi ser på grfe, t det psser. Vi k i forskrifte flæse ω = 00 π. Dermed hr vi: π π T = = =. Dvs. periode er 0,0 sekuder. ω 00 π 50 Hermed er frekvese: f ,0 s = = = = T s Hz Vi hr her idført ehede hertz, der svrer til pr. sekud eller s. På grfe k m også se, t frekvese er 50 Hz, d m k tælle tl toppe pr. sekud. Hvis vi f ursgelige årsger øsker t vide, hvd spædige er efter 0,35 s, idsætter vi i fuktiosforskrifte. Vi husker, t vi skl bruge små bogstver, år vi rbejder med trigoometriske fuktioer i Mple: 35

36 Eksempel 53: Dgslægde L (målt i timer) i e sibirisk by k som fuktio f tide t (målt i døg efter årsskiftet) beskrives ved fuktiosforskrifte: Lt = 6,6 si 0,07 t,303 +, ; 0 t 365 Først lyseres forskrifte med defiitiosmægde: Tide skl ligge mellem 0 og 365 døg, fordi det er lægde f ét år. Amplitude flæses til 6,6. Det fortæller os, t forskelle mellem de lægste og de korteste dg er 6, 6timer = 3, timer. De lodrette forskydig er,. Dvs. ligevægte f dgslægde er, timer. De, 6, 6 timer = 5,59timer, og de lægste dg hr korteste dg hr lægde lægde (, 6, 6) timer 8,8 + = timer. M k komme frem til dette på flere måder: Vm L = A+ c, A+ c, hvilket giver udregigere ovefor. ) M k udytte, t [ ] ) De bedste metode (der også forklrer oveståede metode) er t kigge på fuktiosforskrifte og udytte, t m ved, t e siusværdi midst k give - og højst. Dermed k leddet med sius højst give 6,6 og midst -6,6. M skl så selvfølgelig også lige være sikker på, t defiitiosmægde svrer til midst é hel svigig, så m ved, t lle de mulige fuktiosværdier tges. 3) M k beytte Mples mimize og miimize : Ved t beytte loctio hr vi også fudet ud f, t de lægste dg er 67 døg efter årsskiftet, mes de korteste dg ligger 5 dge før årsskiftet. Vikelhstighede er 0,07 (målt i ehede "pr. døg"). Dette betyder, t retigspuktet pr. døg bevæger sig stykket 0,07 på ehedscirkle. Vi k bestemme periode ud fr dette: π π T = = = 365døg ω 0, 07døg,303 Vi k også se, t fseforskydige er = 75,8, dvs. siuskurve er forskudt 0, 07 kp 76 døg. Det skulle ltså betyde, t dges lægde vr, timer (ligevægte) efter 75,8 døg, hvilket vi tjekker i Mple: 36

37 Eksempel 54: E toegeertor udseder e lyd (trykbølge), hvor trykket p (målt i pscl) et bestemt sted i rummet k beskrives ved p t ( t) hvor t er tide målt i sekuder. : 0, 0356 si 764, , Vi flæser vikelhstighede til 764,6 (med ehede pr. sekud ). Hermed k vi ω 764, 6s bestemme frekvese til: f = = = 440Hz π π Det er ltså kmmertoe, der udsedes. Bemærk de lodrette forskydig c og mplitude. De lodrette forskydig er lgt større ed mplitude. De lodrette forskydig er tmosfæretrykket, dvs. det tryk, der er tilstede, år der ikke er oge lyd. Amplitude er et udtryk for, for krftig lyde er. I dette tilfælde svrer lydstyrke til 65 db, der ogelude er som e høj smtle. Her udgør mplitude 0,000035% f de lodrette forskydig. Smertegræse for lyd, der ligger omkrig 30 db, svrer til e mplitude, der er c. 0,06% f tmosfæretrykket. Dvs. vores bidrg til lufttrykket k virke totlt ubetydeligt, me lligevel k vi skke smme. Grfisk ser det ud på følgede måde: På de øverste grf k m slet ikke se bølge. Det er helt umuligt t vise udsviget, hvis m også skl kue se origo. I såde situtioer gør m derfor ormlt det, t m ser bort fr lufttrykket og ku ser på de ædrig f trykket, der skyldes lyde. Desude er der problemer med tidskse i det øverste tilfælde. Vikelhstighede er så stor, t m skl rbejde med små eheder på tidskse, hvis m skl kue se svigigere. Bemærk ltså, t m, år m rbejder med grfer, k være ødt til t tæke grudigt over de kokrete situtio og rette ksere til, så m k se det væsetlige. De øverste grf viser igetig, selvom det er det rigtige fuktiosudtryk, der er idtstet. 37

38 Bølgeudbredelse i rummet Når vi vil beskrive de rumlige udbredelse f e bølge (det kue være e lydbølge, et sjippetov eller e vdbølge), idfører vi et yt begreb: Det ye begreb er bølgelægde, der gives med λ (et lille græsk lmbd). Smmelig med de tilsvrede figur for tidsvritioere. Periode og bølgelægde fugerer på smme måde mtemtisk. Det er ku et spørgsmål om, hvorvidt de ufhægige vribel er tide eller stedet. Vi hr ltså: Defiitio 7 og Sætig 9: For e bølgeudbredelse i rummet beskrevet ved f A k + ϕ + cgælder: : si Bølgelægde λ er lægde f é svigig. Smmehæge mellem de cykliske frekves k og λ er: π k = λ Både tid og rum Som ævt k m både betrgte lyd som e bølgeudbredelse i tid og rum. Vi hr set på situtioere hver for sig, fordi vi hr rbejdet med fuktioer med é vribel. Hvis m rbejder med fuktioer med flere vrible, k m udtrykke e lydbølge ved: f t, = A si k + ω t+ ϕ + c 38

39 Smmesætig f hrmoiske bølger Hvis flere hrmoiske lydbølger fspilles smtidig, får m e ikke-hrmoisk bølge, dvs. vi k ikke skke om begrebere bølgelægde og frekves, selvom der stdig er et tydeligt æste - møster. Her ses grfe for summe f to lydbølger: Og her er tilføjet yderligere to lydbølger. Bemærk, t m stdig får foremmelse f e slgs møster, me u er det midre klrt. Det helt store spørgsmål er så, om m k gå de de vej. Dvs. k m, hvis m får udleveret oveståede billede, få idetificeret de ekelte hrmoiske bølger, som billedet er opbygget f? Svret er, t det k m gøre med fourierlyse (et muligt eme t iddrge i et studieretigsprojekt). 39

40 Vi idleder med e defiitio: POTENSFUNKTIONER Defiitio 8: E potesfuktio er e fuktio f : + med forskrifte: =, \{ 0} f Som det ses f defiitioe, sætter m Dm( f ) = +. Me det er udelukkede for t gøre beskrivelse mere simpel. For der er msser f situtioer, hvor m k udvide defiitiosmægde til lle reelle tl. Se f.eks. edeståede grfer: Der er teget grfer for ti fuktioer. For t gøre det lidt mere overskueligt er der vedt stiplede lijer for de fuktioer, hvor Dm k udvides til lle reelle tl, og deres fuktiosudtryk er givet til vestre for y-kse. Vi skl tilbge til vores potesregeregler for t forstå, hvorfor fuktioere til højre for y-kse q p ku hr positive tl i deres defiitiosmægde. Vi husker, t =, og vi k ikke uddrge de q te rod f et egtivt tl, hvis q er et lige tl. Desude k vi se, t vi hr problemer med irrtioelle ekspoeter. M står ltså over for et vlg: Ete skl m udelukke e msse ekspoeter, som m egetlig gere vil kue rbejde med, eller m skl begræse defiitiosmægde. M vælger t gøre det sidste, MEN m hr lov til t udvide defiitiosmægde, år det er muligt. Og det vil vi gøre i æste eme, d polyomier er opbygget f potesfuktioer med heltllige ekspoeter, hvor der ikke er problemer med Dm. Grfere giver os e idé om, t grfe for ehver potesfuktio går geem puktet (, ), og ved idsættelse i fuktiosforskrifte ser vi, t det psser: f = =. 40 p q

41 Vi hr edu ikke set grfer for egtive -værdier, så ld os ide de egetlige lyse se på e række grfer, der k give os e idé om potesfuktioers mootoiegeskber. Ud over grfere for ogle udvlgte potesfuktioer er idteget de vdrette lije med ligige y =, d de fugerer som e slgs græse mellem to typer f grfer. Det smme gør de skrå lije med ligige y =, me de er også i sig selv grfe for e potesfuktio. Vores grfer giver os e idé om følgede sætig: Sætig 30: For e potesfuktio med forskrifte f, 0, 0 4 = > gælder: Hvis < 0, er fuktioe ftgede. Hvis 0< <, er fuktioe voksede med ftgede hstighed. Hvis =, er fuktioe voksede med kostt hstighed. Hvis >, er fuktioe voksede med voksede hstighed. Bevis: M k godt overbevise sig selv om sætiges rigtighed ved t udytte vores vide om poteser og tæke over, hvd der sker, år -værdiere bliver større i de ekelte tilfælde. Me de slgs formuleriger er sjældet gode i beviser. Så vi vil ige beytte Sætig, der fortæller, t vi bestemmer e fuktios mootoiegeskber ved t se på de fledede fuktios forteg. Dvs. dette bevis vil først give fuld meig, år du læser det uder e repetitio, hvor du hr lært t differetiere: Vi lærer, t de fledede fuktio f e potesfuktio er: f ' =. Dette svrer til hstighedsfuktioe. De de fledede f e potesfuktio er: f '' =. Dette svrer til ccelertioe, hvis forteg fortæller, om hstighede er voksede eller ftgede. D > 0, er smtlige størrelser, hvor idgår, positive. Vi hr derfor: Hvis 0 f ' < 0, og dermed er f e ftgede fuktio. <, er < <, er f '( ) > 0, me =, er f '( ) > 0og '' 0 >, er f '( ) > 0og '' 0 Hvis 0 Hvis Hvis f '' < 0, så f er voksede med ftgede hstighed. f =, så f er voksede med kostt hstighed. f >, så f er voksede med voksede hstighed.

42 Vi hr u fået styr på potesfuktioer, der er de cetrle størrelse i følgede type fuktioer: Defiitio 9: Ved potesvækst forstås fuktioer : f + + med forskrifte:, 0, 0 f = b b>. M klder det også e potesfuktio gget med e kostt. Præcis som for ekspoetielle udvikliger er betigelse b > 0 et vlg, der træffes, så mootoiegeskbere k overføres direkte fr potesfuktioere, og så lle grfer kommer til t ligge i første kvdrt. Der ville ikke hve været oget lgebrisk problem i t multiplicere med et egtivt tl. f b b b, b. Ved idsættelse i fuktiosforskrifte fås = = =, dvs. grfere går geem Vi oplevede, t b-værdie for både lieære fuktioer og ekspoetielle udvikliger gv begydelsesværdie, me bemærk, t dette ikke er tilfældet for potesvækst. Her er der ige begydelsesværdi, d Dm( f ) = +, dvs. 0 ligger ikke i defiitiosmægde. Ligesom i det lieære og det ekspoetielle tilfælde skl m kede fuktiosværdie to steder for t kue bestemme forskrifte. Dvs. m skl kede to pukter på grfe. Der er ige formler til t fide kosttere, me edu egg er det bedre t vede vores geerelle metode, der også vedes til t udlede formlere: Eksempel 55: Grfe for potesfuktioe f : b Bestem forskrifte. går geem puktere 6, og 9, 7. Vi idsætter vores kedte værdier i forskrifte og dividerer ligigere (vestreside med vestreside og højreside med højreside): 7 = b 9 7 b = = = = = b 6 b Her ser vi, t = gør udsget sdt, og det er et meget vigtigt sted i udregige, for hvis m ikke ser det, tviges m til t bruge logritmer, og det k ofte gøre udregige sværere. -værdie idsættes i de ederste ligig for t bestemme b-værdie: = b 6 = b 36 b= = Dvs. t forskrifte er: f = 3 Vi ser u på et eksempel, hvor vi veder de turlige logritme udervejs. Me du k godt selv prøve, om du k geemskue, hvd -værdie skl være, ude t vede logritmer. 4

43 Eksempel 56: Om potesvækste bestemt ved f = b vides, t f ( 4) = 6og Bestem forskrifte. f 5 = 5. Vi idsætter vores kedte værdier i forskrifte og dividerer ligigere (vestreside med vestreside og højreside med højreside): 5 = b 5 5 b l l = = = = 6= b 4 6 b Her bemærkes det, t både 4 og 5 er kvdrttl, så m hr: l = l l = l = = Dette idsættes i de ederste f ligigere for t fide b: Dvs. t forskrifte er: f = 3 6= b 4 6= b b= 3. I æste eksempel lder vi de to kedte pukter være vilkårlige, så vi får udledt de formler, der gælder for potesvækst. Eksempel 57: Vi ser på f = b og puktere (, y ) og (, ) y. Pukteres koorditer idsættes i fuktiosforskrifte, og vi rbejder videre som i de forrige eksempler: y = b y b y y y l l = = = = y = b y b y y y y l y l ( y) l ( y) = = l l l Som det ses, k m give formle for -værdie på flere måder (m kue også hve vedt e hvilke som helst de logritmefuktio). Oftest veder m de sidste skrivemåde, der svrer til udtrykket for e lieær fuktio bre med logritmer for lle koorditere. b-værdie bliver så: y = b b= y Øvelse: Vis, t der også gælder y = log y 43

44 Sætig 3: For e potesvækst givet ved forskrifte f = b, hvor grfe går geem puktere (, y ) og (, ) y, er: l y = l y b = l ( y) l ( ) Ld os u se på vækstegeskbere for e potesvækst. Vi hr llerede set på tre forskellige vækstegeskber, og vi mgler bre t vise vækstegeskbe for potesfuktioer for t få edeståede skem: Bevis: Vi skl ltså vise, t år vi i e potesfuktio multiplicerer rgumetet med e kostt, så vil fuktiosværdie også blive multipliceret med e (de) kostt, der ltså ikke fhæger f udggspuktet for vores rgumet. f = b, og vi ser u på, hvd der sker, år vi gger - Vores udggspukt er ltså værdie med e kostt: f k = b k = b k = k b = k f Vi ser ltså, t år -værdie gges med e kostt k, så gges fuktiosværdie med e kostt k, hvor poite er, t k ikke fhæger f -værdie. Vi hr hermed vist de sidste firkt i oveståede skem (bortset fr poite med det dobbeltlogritmiske koorditsystem som vi srt ser på). Vi k gå edu videre og få st størrelser på vækstrtere for de reltive ædriger f rgumet og fuktiosværdi. For vi ved fr retesregig, t hvis vækstrte er r, skl m multiplicere rgumetet med fremskrivigsfktore ( + r). Vores udregig fr beviset bliver så: ( ) r, svrer det til e multipliktio med ( ry ) f + r = b + r = b + r = + r b = + r f Når fuktiosværdie ædres med y Altså hr vi:

45 Sætig 3: For e potesfuktio med forskrifte f = b gælder: Når rgumetet ædres med vækstrte r, ædres fuktiosværdie med vækstrte r y, hvor: ( + r ) = ( + r ) y Oveståede sætig beskriver ltså potesvækstes vækstegeskb, dvs. du k smmelige de l ( + ry ) med X = fr de ekspoetielle udvikliger. ( + ry ) l f = 83. Vi vil besvre følgede spørgsmål: ) Hvor mge procet ædrer fuktiosværdie sig, år -værdie bliver 0% større? b) Hvor mge procet skl -værdie øges for t øge y-værdie med 45%? c) Hvor mge procet skl -værdie øges for t fordoble y-værdie? d) Hvor mge procet ædrer y-værdie sig, år -værdie hlveres? Eksempel 59: E potesfuktio er givet ved forskrifte 0,74 Som geemgået i itroduktiosforløbet, k m idsætte direkte i formle og lde Mple fide de øskede størrelse. Vores opskrivig bliver derfor: ) b) c) d) Bemærk ige, t e fordoblig svrer til vækstrte 00% = og e hlverig til vækstrte 50% = 0,50. Og edu vigtigere: Husk, t dette itet hr med fordobligs- eller hlverigskostter t gøre, fordi det ikke er e fst størrelse, me e fst procetdel, m ædrer med. Vi mgler edu t vise, t grfe for e potesvækst er e ret lije i et dobbeltlogritmisk koorditsystem. Dette idses ved følgede udregiger: y = b log y = log b log y = log b + log log y = log b + log Vi ser her, t hvis vi i et lmideligt koorditsystem idsætter log ( y) som fuktio f log ( ), får vi e ret lije med hældige og skærige log ( b) med orditkse. Hermed ved vi, t vi også får e ret lije, hvis vi fsætter ( yi, ) et dobbeltlogritmisk koorditsystem. 45

46 Som tidligere ævt, er det ku rette lijer, m k gekede. Buede grfer k stmme fr lverdes forskellige fuktioer. Følgede figur viser grfer for tre slgs potesvækst, to ekspoetielle udvikliger, to logritmefuktioer og to fuktioer, der ikke er oge f delee: Omvedte fuktioer til potesfuktioer Vi hr tidligere set, t de omvedte fuktio til e lieær fuktio er e de lieær fuktio, smt t ekspoetil- og logritmefuktioer er hides omvedte. Vores skem med vækstegeskber kue så give os de formodig, t de omvedte fuktio til e potesvækst er e de potesvækst. Vi k hurtigt vise, t det er rigtigt: Vi sød lidt uder defiitioe på potesvækst og stte med det smme kodomæet til +, hvilket også er værdimægde. På de måde opåede vi, t potesvækst er bijektioer, og t de dermed også er ijektive. Vi ved ltså, t vi k fide omvedte fuktioer, og vi beytter de sædvlige metode med t bytte rudt på og y: y = b = b y og y hr byttet roller [ ] = y y = y = y = b b b b f = b Vi ser ltså, t de omvedte fuktio er e potesvækst, og ekspoete er det reciprokke elemet til de opridelige potesvæksts ekspoet. 46

47 FUNKTIONSSTYRKER Som opsmlig ses på de forskellige fuktiostypers styrke. Vi ser på de voksede fuktioer, me oget tilsvrede gælder for de ftgede fuktioer. Dvs. år ekspoetilfuktioer er stærkest til t vokse, er de også stærkest til t ftge. Der gælder: Fuktioers styrke er et udtryk for, hvd der vil ske i sidste ede, dvs. hvd der sker ved græseovergge. Dette k illustreres med brøker. Når ekspoetilfuktioer er stærkere ed potesfuktioer, vil det sige, t e fuktio med forskrifte f = vil hve egeskbe f 0for, fordi ævere vider over tællere i sidste ede. Ld os forsøge t illustrere det med et kokret eksempel (vi beviser ikke oget). Vi ser på det 000 ekstreme tilfælde med f ( ) =. Vi hr e potesfuktio i tællere og e.00 ekspoetilfuktio i ævere, og tællere er tydeligvis e hurtig strter, der lægger sig klrt i spidse. Vi lder Mple berege forskellige størrelser: 47

48 log,0 Vi k se på edu et eksempel illustreret grfisk. Vi ser på f =. Vores 0,0 potesfuktio skulle ltså ifølge skemet være stærkere ed logritmefuktioe, så der skulle gælde f 0for. Vi lder Mple plotte ogle grfer: Bemærk, t der hele tide tilføjes 0 ekstr 0 er til itervllet på førstekse. Det er derfor ærliggede t tro, t u sker der ltså ikke mere med de grf. Me prøv t se, hvd der sker mellem 43 og 44 0'er: Potesfuktioe får overtget, og Mple fider korrekt græseværdie til 0. Me som de udvlgte fuktiosværdier illustrerer, foregår tigee ikke så voldsomt som i det første eksempel. 48

49 POLYNOMIER Et polyomium er et lgebrisk udtryk, me det behdles her bldt fuktioere, fordi polyomier i gymsiet oftest idgår som fuktiosudtryk. Defiitio 0: Et polyomium i é vribel er et lgebrisk udtryk på forme i= 0 dvs i i 0, hvor er et ikke-egtivt heltl, er e vribel og ere er kostter. Ekspoetere i de ekelte leds poteser giver leddets grd, og de højeste grd bldt de led, der ikke er 0, giver polyomiets grd. 0 kldes ulpolyomiet og hr ige grd (ikke t forveksle med grde 0). er koefficiete til i te grdsleddet. i Eksempel 58: Her følger e række eksempler på polyomier : Et tredjegrdspolyomium med koefficietere, 4, - og : Et femtegrdspolyomium. Koefficiete til 4. grdsleddet er : Et degrdspolyomium. Førstegrdsleddet er 8. 0 : Nulpolyomiet. Det hr ige veldefieret grd : Et sjettegrdspolyomium. Normlt skriver m ikke leddet 0. 8 : Et ultegrdspolyomium. -3 : Også et ultegrdspolyomium : Et førstegrdspolyomium. Kommetrer til Defiitio 0: Et eksempel på et polyomium i flere vrible er y + 3 y y + y. Dette er edd et homoget polyomium (f grd 4), d summe f ekspoetere i hvert led hr smme værdi. Nulpolyomiet udgør e fuldstædig ligegyldig detlje i gymsiets mtemtik. Vi skl ikke bruge det til oget. Me det er vigtigt, år m skl kostruere de mtemtiske struktur e polyomiumsrig. Vi hr hidtil mødt de mtemtiske strukturer Tllegeme og Vektorrum. E rig er e de slgs struktur, me tkegge bg de er de smme. M defierer ogle begreber og opstiller e række regler (ksiomer), som begrebere skl opfylde, og ud fr dette k m udlede e række egeskber. I vores defiitio hr ulpolyomiet ige veldefieret grd. Me m k også vælge t tildele det grde -, eller som jeg lærte det, grde -. 0 Bemærk, t 0 k betrgtes som et tl, der gges på (hvilket også fremgår f sumteget). Det er derfor, det ligesom de dre er kldes e koefficiet. Det kldes også kosttleddet. f Hvis vi hr e fuktio med forskrifte f ( ) = 4 e, er det f, der er fuktioe (og ikke ). Me eftersom polyomiet er det lgebriske udtryk på højreside i det g( ), der er polyomiet (og ikke g). Vi hr ltså: g = + 3 7, så er 49

50 Vi ved llerede e del om førstegrdspolyomier og degrdspolyomier: E lieær fuktio er e fuktio, hvor fuktiosudtrykket er et polyomium, hvor grde ikke er over. Vores behdlig f polyomier kommer i høj grd til t hdle om rødder, så vi skl lige hve defieret, hvd e rod er for e størrelse: Defiitio : Givet e fuktio f : A Ber e rod et rgumet A, der fbildes over i 0, dvs. f ( ) = 0. E rod kldes også for et ulpukt. Grfisk svrer e rod ltså til de steder, hvor grfe skærer -kse. Bemærk, rode eller ulpuktet er IKKE et pukt i koorditsystemet. Det er -værdie (eller førstekoordite) for skærigspuktet med førstekse. Defiitio : Givet et polyomium f er e rod e værdi for vrible, for hvilke der gælder f ( ) = 0. Vi hr set, hvord m grfisk kue give løsigere til ligigere med eller 3 vrible, og vi hr set på grfer for fuktioer. Vi k også se på polyomiers grfer, hvorved vi forstår grfe for de fuktio, der hr det pågældede polyomium som fuktiosudtryk. Hermed får rødder præcis smme grfiske betydig for polyomier, som de hr for fuktioer geerelt. Vores rbejde med degrdsligiger og prbler k som følge f oveståede defiitioer direkte overføres til degrdspolyomier, så følgede sætig ideholder e del getgelser: Sætig 33: For degrdspolyomiet f = + b + c ; 0 gælder: b d Grfe er e prbel med toppukt i T, 4, hvor d = b 4c. Hvis d < 0, hr polyomiet ige rødder, og vi k ikke fktorisere polyomiet til e form som i de to edeståede tilfælde. b Hvis d = 0, hr polyomiet é rod r =, der kldes e dobbeltrod. Vi k i så fld fktorisere polyomiet til f = ( r) ( r) = ( r) b+ d b d Hvis d > 0, hr polyomiet to rødder r = og r = fktorisere polyomiet til f = ( r ) ( r ). Vi k i så fld Bemærk, t det ye i Sætig 33 er fktoriserigere. Begrebet dobbeltrod svrer til, år vi om degrdsligiger siger, t e løsig hr multiplicitete. Fktoriserige forklrer tllet og ordet dobbelt. 50

51 Bevis: Vi tger de tre tilfælde i omvedt rækkefølge f sætige. d > 0: Vi keder udtrykkee for røddere og reger løs på de give fktoriserig for t vise, t vi får det opridelige polyomium: r r = b+ d b d = b d b+ d b+ d b d + = b d b d ( b d) ( b d) = 4 b b d + = 4 ( 4 ) b b b c + + = 4 b 4c + + = 4 + b + c d = 0: Vi keder udtrykket for rode og reger løs på de give fktoriserig: r = b + = b b + + = b + b + 4 Her går m umiddelbrt i stå, for udtrykket liger jo ikke vores opridelige udtryk. Fktisk mgler vi helt bogstvet c. Me her husker vi på, t d = 0, så vi hr: b 4c = 0 b = 4c. Når dette idsættes, får vi: b + b + = 4 4c + b + = 4 + b + c d < 0: Hvis vi hvde kuet fktorisere polyomiet til e form ideholdede bl.. fktore ( k), så fortæller vores ulregel os, t polyomiet ville hve værdie 0, år = k, og det er i modstrid med, t der ikke er oge rødder. Derfor fides e såd fktoriserig ikke. 5

52 Vi hr llerede set e del f idholdet f Sætig 33, år vi løste degrdsligiger ved t gætte løsiger. 0 = = + 8 3, hvorefter ulregle gv os = 8 = 3. F.eks. kue vi sige Der hvde vi bre e del betigelser på ligige. Sætig 33 gælder geerelt. Eksempel 60: Vi vil gere om muligt fktorisere polyomiet Først bestemmes diskrimite: d b c f = = 4 = = = 5 D diskrimite er positiv, er der to rødder, og polyomiet k dermed fktoriseres. Røddere bestemmes: b+ d r = = = = 3 6 b d r = = = = D -værdie er 3, hr vi ltså fktoriserige: f = 3 4 = Vi tjekker med Mple: p = Eksempel 6: Vi vil gere om muligt fktorisere polyomiet Først bestemmes diskrimite: d = b 4c = = = 76 D diskrimite er egtiv, er der ige rødder, og polyomiet k ikke fktoriseres. Vi tjekker med Mple: Som forvetet k Mple heller ikke fktorisere polyomiet. Vi hr tidligere set, hvord vi ud fr to pukter på grfe kue bestemme forskrifte for e lieær fuktio, e ekspoetiel udviklig eller e potesvækst. D vi hr tre koefficieter i et degrdspolyomium, hr vi brug for tre pukter, så vi k ede ud med et ligigssystem beståede f 3 ligiger med 3 ubekedte. Eksempel 6: Bestem polyomiet, hvis grf går geem puktere (, ),(,0 ) og ( 4,5) : Vi får følgede ligigssystem: = ( ) + b ( ) + c = 4 b+ c 0= + b + c 0= + b+ c 5 = 4 + b 4 + c 5 = 6+ 4b+ c M k godt løse dette ligigssystem i håde, me her lder vi Mple gøre det: Dvs. t polyomiet er

53 E de fremggsmåde i Eksempel 6 er t lde Mple foretge lle udregiger: Polyomier med grder over I dee fsluttede del må vi sprige beviser over. Vi begyder med Algebres Fudmetlsætig (ikke t forveksle med Aritmetikkes Fudmetlsætig, som vi keder fr vores behdlig f primtl). Det er e sætig, der vr læge udervejs og efterfølgede læge om t blive bevist. Mge store mtemtikere hr beskæftiget sig med de (bl.. Leibiz, Euler, d Alembert, Lgrge, Lplce og Guss, der er ve, m ikke k udgå t støde på som mtemtiker eller fysiker). Det lykkedes ikke Euler t bevise de, og det lykkedes ikke Guss i første forsøg. E pudsig poite er, t sætige ikke k vises ved udelukkede t vede lgebr (bevisere ideholder også ete geometri eller lyse). Sætig 34: Algebres Fudmetlsætig. Ethvert polyomium i é vribel f grd (med komplekse koefficieter) hr etop rødder (reget med multiplicitet) og k dermed fktoriseres til ( z ) ( z ) ( z ) ( z ), 3... hvor zi er e kompleks rod, og hvor ogle f røddere gere må være es. Det er ikke så vigtigt med de komplekse koefficieter, for de reelle tl er jo e delmægde f de komplekse tl, så de gælder også med reelle koefficieter. Me det væsetlige er ltså, t det KUN er, hvis m reger med komplekse tl, t m k være sikker på, t der er rødder. Bldt de komplekse rødder k vi ormlt ltså ku bruge dem, der også er reelle. Vores sætig bliver ltså: Sætig 35: Et polyomium i é vribel f grd hr højst reelle rødder. M k sige, t Algebres Fudmetlsætig er et meget stærkt rgumet for t rbejde med komplekse tl, d det er e smuk sætig. Prøv også t smmelige de med Aritmetikkes Fudmetlsætig: = p... p p3 p, hvor p ere er primtl (der gere må være es). M k sige, t fktorere ( z i ) fugerer som de primtl, et polyomium er opbygget f. Øvelse: ) Kostruér et te grdspolyomium ved t opbygge det f fktorere ( r i ), dvs. f.eks. f = ( 4) ( + 3) ( ) ( + 5). Ld Geogebr tege grfe og tjek, t røddere flæst ud fr fktorere psser med røddere flæst ud fr grfe. ) Brug epd i Mple og bestem på de måde polyomiet. 3) Gør som i ) og ), me tilføj dee gg også fktorer f forme ( c) positivt tl. 4) Gør som i ), me ld dee gg to f fktorere være ( +,) og ( + 0,9) disse to fktorer med ( + ) og ( + ) ordee dobbeltrod og multiplicitet? 53 +, hvor c er et. Erstt. Smmelig de to grfer. K det forklre

54 Vi keder u det højest mulige tl rødder. Me hvd med det lvest mulige? Her er polyomiets grd fgørede. Det er de højeste potes, der i sidste ede vider, dvs. uset koefficietere vil polyomiets værdi, år kommer tilstrækkelig lgt væk fr origo, få smme forteg som te grdsleddet. Der gælder: ulige: for og for lige: for og for Dvs. hvis er ulige, skl grfe på et eller det tidspukt krydse -kse. Vi hr derfor: Sætig 36: Om et polyomium i é vribel f grd gælder: ulige: Polyomiet hr midst é rod, dvs. det mulige tl rødder er,, 3,,. lige: Polyomiet hr midst 0 rødder, dvs. det mulige tl rødder er 0,,,,. Nedeståede figur k måske hjælpe med t forstå Sætig 36. Polyomiets grd er givet ved de ekelte grfer. Prøv t lve lodrette forskydiger f de ekelte grfer og tjek, t du på de måde k opå lle de forskellige, mulige tl rødder ævt i Sætig 36. Bemærk, t for hver grd får polyomiet mulighed for t vede e gg mere. Adegrdspolyomiet veder gg. Tredjegrdspolyomiet k vede op til gge. Fjerdegrdspolyomiet k vede op til 3 gge, osv. Me bemærk også, t det ku er e mulighed. Nedeståede figur viser grfer for fem forskellige femtegrdspolyomier, og som det ses, veder de ikke lle smme 4 gge. 54

55 Når m kigger på grfe for et polyomium, k skærigspuktet med y-kse og området omkrig dette fortælle os, hvd fortegee på degrdsleddet, førstegrdsleddet og kosttleddet er. Vi får ige brug for oget differetilregig, dvs. ige kommer ogle postulter, som du først uder repetitioslæsig keder bggrude for. Vi opskriver polyomiet smt de første og de fledede f de fuktio, der hr polyomiet som fuktiosudtryk: 3 f = f' = + ( ) + ( ) f '' = Det er de gule områder, vi skl være opmærksomme på, for det er fortegee på 0, og, vi skl fide. Og vi vil beytte de tre fuktioers værdier i 0, så dem reger vi ud (bemærk, t lle led med forsvider, år vi idsætter = 0 ): f ( 0) = 0 f '0 = f '' 0 = f ( 0) giver skærige med y-kse, så hvis grfe skærer y-kse på de positive del, er 0 positiv, og hvis skærige er på de egtive del, er 0 egtiv. f '0 giver hstighede i 0, hvilket svrer til hældige f de tget, der rører grfe i grfes skærigspukt med y-kse. Hvis tgetes hældig er positiv, er positiv, og hvis hældige er egtiv, er egtiv. f '' ( 0) giver ccelertioe i 0, dvs. de fortæller os, om hstighede er ved t vokse eller ftge. Det k ses på krumige (se edeståede eksempler). Hvis ccelertioe er positiv, er positiv, og hvis ccelertioe er egtiv, er egtiv. 55

56 Øvelse: ) Idtst forskellige polyomier i Geogebr eller Mple og tjek, t du ud fr grfe k bestemme fortegee på de tre led med grdere 0, og (som du selvfølgelig llerede keder, d du selv hr skrevet udtrykkee). ) Prøv også t lde koefficiete i degrdsleddet være 0. Hvord ses det på grfe? Øvelse: Hvord bestemmer m forteget på tegrdsleddet, år m hr et tegrdspolyomium? 56

57 OVERSIGT Fuktioer geerelt Rødder / Nulpukter: Givet e fuktio f : A Ber e rod et rgumet A, der fbildes over i 0, dvs. f ( ) = 0. E rod kldes også for et ulpukt. Mootoiegeskber: Ld f være e fuktio og I et itervl, hvori f er defieret. Hvis f ikke er kostt i et eeste delitervl f I, gælder der: f er voksede i I I : f ' 0 f er ftgede i I I : f ' 0 Smmest fuktio: De smmestte fuktio ( f g) er bestemt ved ( f g) = f g I de smmestte fuktio f kldes for de ydre fuktio. Idetitetsfuktioer: E fuktio f : A A g idetitetsfuktio, og de beteges Omvedte fuktioer: E fuktio f : A f ( A). kldes g for de idre fuktio, mes f bestemt ved forskrifte id A. f = kldes e kldes ivertibel, hvis der fides e fuktio, hvorom det gælder, t: dvs. f : f A A M klder i så fld f f = id f f =. A f for de omvedte fuktio til f eller de iverse fuktio til f. Der gælder Dm( f ) = Vm( f ) og Vm( f ) Dm( f ) =. E lieær fuktio er e fuktio : Lieære fuktioer f med forskrifte f = + b, hvor b,. Hvis > 0, er fuktioe stregt voksede. Hvis = 0, er fuktioe kostt. Hvis < 0, er fuktioe stregt ftgede. Grfe for fuktioe er e ret lije med hældige og skærige b med y-kse. Hvis grfe går geem puktere, f og, f ( ), er f f = og b f ( ) f ( ) ( 0 0 ) Hvis grfe går geem puktet, Vækstegeskb: Hvis m lægger værdie fuktiosværdie. = + = +. f og hr hældige, er fuktiosforskrifte f = + f. 0 0 til rgumetet, lægges til 57

58 Ekspoetilfuktioer og ekspoetielle udvikliger Kpitlfremskrivigsformle: K = K ( + r) : Atl termier K : 0 K Strtkpitl 0 : Slutkpitl (Kpitle efter termier) r : Vækstrte B A Reltiv fvigelse: Hvis e størrelse ædrer værdi fr A til B, er de reltive tilvækst r = A Geemsitlig vækstrte Hvis e størrelse ædrer sig med de vrierede vækstrter r, r, r 3,..., r, er de geemsitlige vækstrte g Ekspoetilfuktio: E fuktio f : + r bestemt ved: r ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) g = med forskrifte f, 0, kldes for fremskrivigsfktore eller grudtllet. = >. De turlige ekspoetilfuktio: Ekspoetilfuktioe med forskrifte f ( ) = e. Ekspoetiel udviklig: E fuktio f : + : med forskrifte f = b, > 0,, b> 0 kldes for fremskrivigsfktore eller grudtllet. b kldes begydelsesværdie eller strtværdie. X = log eller X > Fuktioe er voksede. Fordobligskostte er 0 < < : Fuktioe er ftgede. Hlverigskostte er X Grf geem puktere (, y ) og (, ) y y : = y = log y b = = l l. X eller l l =. Grfe for e ekspoetiel udviklig er e ret lije i et ekeltlogritmisk koorditsystem. De krkteristiske vækstegeskb for e ekspoetiel udviklig er, t år m lægger e fst størrelse til rgumetet, ædres fuktiosværdie med e fst procetdel. For e ekspoetiel udviklig med fremskrivigsfktore gælder, t hvis fuktiosværdie skl ædres med vækstrte r y, skl m lægge X ( + til rgumetet, hvor X r y ) ( + er bestemt ved r y ) ehver f disse formler: X = log ( ) ( + r + r y) y ( y ) l + r X = ( + ry ) l k For e ekspoetiel udviklig f med forskrifte Hvis k > 0, er fuktioe voksede, og Hvis 0 k <, er fuktioe ftgede, og X f = b e gælder: X l =. k l =. k 58

59 Logritmefuktioer Ld > 0. Så er logritmefuktioe med grudtllet de omvedte fuktio til ekspoetilfuktioe med grudtllet. De skrives log. Grudtllet kldes også for bse. log = og log ( ) =. ) l ( b ) = l + l ( b) log 0 = og log ( 0 ) = ) l = l l b l = l e = b e og Dm = + og Vm = I Mple står både log og l for de turlige logritme. Hvis du skl vede titlslogritme, skl du skrive log 0. Vækstegeskb: Hvis m i e logritmefuktio log gør rgumetet p gge større, så lægges der log ( p) til fuktiosværdie. E potesfuktio er e fuktio f : + Potesfuktioer og potesvækst med forskrifte f, \{ 0} Ved potesvækst forstås fuktioer f : + + =. med forskrifte: f = b, b> 0, 0 Hvis < 0, er fuktioe ftgede. Hvis 0< <, er fuktioe voksede med ftgede hstighed. Hvis =, er fuktioe voksede med kostt hstighed. Hvis >, er fuktioe voksede med voksede hstighed. Grf geem puktere (, y ) og (, ) y er: l l l y y y = og b= l Vækstegeskb: Når rgumetet ædres med vækstrte r, ædres fuktiosværdie med vækstrte y r, hvor: ( + r ) = ( + r ) y Polyomier Rødder: I polyomiet f er e rod e værdi for vrible, for hvilke der gælder f ( ) = 0. For degrdspolyomiet ( ) = 3) l l f = + b + c ; 0 gælder: b d Grfe er e prbel med toppukt i T, 4, hvor d = b 4c. Hvis d < 0, hr polyomiet ige rødder, og vi k ikke fktorisere polyomiet til e form som i de to edeståede tilfælde. b Hvis d = 0, hr polyomiet é rod r =, der kldes e dobbeltrod. Vi k i så fld fktorisere polyomiet til f = ( r) ( r) = ( r) b+ d b d Hvis d > 0, hr polyomiet to rødder r = og r = fktorisere polyomiet til f = ( r ) ( r ). Vi k i så fld 59

60 Gottfried Wilhelm Leibiz (646-76) Leohrd Euler ( ) 60