Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Transkript

1 Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium

2 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele tl... 2 De rtioelle tl... 3 De reelle tl... 7 Itervller:... 8 ARITMETIKKENS FUNDAMENTALSÆTNING... 2 Avedelser TAL OG REGNEREGLER Legeme M Aksiomer: Sætiger udledt fr ksiomere Pretesregeregler Brøkregeregler Komplekse tl POTENSREGNEREGLER Ekspoetiel ottio: NUMERISK VÆRDI / ABSOLUT VÆRDI Avedelser f umerisk værdi GENNEMSNIT Aritmetisk geemsit Hrmoisk geemsit Geometrisk geemsit Kvdrtisk geemsit

3 MÆNGDELÆRE Mægdelære reges ormlt som grudlæggede ide for mtemtik. Dvs. t m ud fr mægdelære k udlede l de mtemtik. Det er imidlertid et både bstrkt og omstridt projekt, og det er ikke det, vi skl fokusere på i dee korte itroduktio. Vi skl i stedet se på de væsetlige begreber og symboler ide for mægdelære, fordi disse optræder mge steder ide for de forskellige emer, som vi behdler i de 3 år i gymsiet, og oftest bliver de behdlet, som om m burde kede dem, hvilket ikke lægere er tilfældet, d mægdelære forsvdt fr folkeskole for mge år side. Vi idleder med det, der seere blev kedt som de ive defiitio på e mægde: Defiitio : E mægde er e smlig f objekter, der betrgtes som e helhed. Objektere i e mægde kldes mægdes elemeter. Eksempel : Objekter skl forstås meget bredt, så mægder kue være: A = {3,8,2, 23} B = {,2,3, 4,5,...} C = { Q,7, π, blå, } D = {( 2,7 ),( 3,9 ),( 7,0 )} E = { A, B, C, D} = {{3,8,2, 23},{, 2,3,4,5,...},{ Q,7, π, blå, },{ 2,7, 3,9, 7,0 }} ( ) ( ) ( ) Bemærk ottioe. De krøllede preteser { } kldes Tuborgklmmer eller Tuborgpreteser, og de bruges til t fgræse de elemeter, som mægde består f. Lighedsteget = giver, t udtrykkee på hver side f teget er es, dvs. t A er det smme som {3,8,2,23}, hvilket er vist i mægde E. M læser A = {3, 8,2, 23} som A er mægde beståede f elemetere 3, 8, 2 og 23. De edelige mægder k m også give på følgede måde: A er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er tl. B er e uedelig mægde, d de tre prikker giver, t systemet fortsætter, således t der er uedeligt mge elemeter i mægde. C er e edelig mægde med 5 elemeter f forskellig krkter (bogstv, tl, tl, ord og figur). D er e edelig mægde med 3 elemeter, der lle er pukter i ple. E er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er mægder. Læs oveståede beskrivelse f mægdere grudigt og smmelig de med udtrykkee i eksempel. 3

4 Med tilhører -symbolet giver m, t et elemet ligger i e mægde. Symbolet giver, t et elemet ikke ligger i e mægde. Eksempel 2: I eksempel hr m bl.. 3 A ; 3 B ; 3 C ; 3 D ; 3 E ( ) ( ) blå C ; blå D ; 2,7 D ; 2,0 D Det er også vigtigt t bemærke, t rækkefølge f elemeter ikke hr oge betydig. Det følger f dee defiitio: Defiitio 2: To mægder er es, hvis de ideholder de smme elemeter. Dvs. hvis det om ethvert elemet i de ee mægde gælder, t det også er elemet i de de mægde og omvedt. At mægdere A og B er es skrives A= B At mægdere A og B ikke er es skrives A B Eksempel 3: Mægdere { 6,9,3 } og { 3, 6,9} er es, dvs. { 6,9,3} = { 3,6,9}. Mægdere { bcd,,, } og { cdb,,, } er es, dvs. { bcd,,, } = { cdb,,, }. Mægdere {, 2, 3} og { } me ikke i de de (og omvedt gælder om 4), dvs. {, 2,3} { 2,3, 4}. Mægdere { bc,, } og {, } 2,3, 4 er IKKE es, d er elemet i de første mægde, b er IKKE es, d c ku er elemet i de første mægde. E mægde k som vi så i eksempel - godt ideholde dre mægder, og der er ikke oget i vores formulerig, der forhidrer, t e mægde ideholder sig selv. Me det er ikke uproblemtisk. Prøv t se på følgede to beskrivelser f det, der er kedt som Russells prdoks (efter Bertrd Russell, der levede ): Russells prdoks: Mægdeversioe: Se på mægde M beståede f lle de mægder, der ikke ideholder sig selv. Ideholder mægde M sig selv? De sproglige versio: De mdlige brber i bye brberer etop dem, der ikke brberer sig selv. Brberer brbere sig selv? Dette prdoks førte til, t m gik væk fr de ive defiitio f mægder og i stedet udrbejdede e såkldt ksiomtisk versio. Vi veter dog med ksiomer til vores behdlig f tl og vil i stedet se på e række symboler og begreber. Defiitio 3: De tomme mægde er mægde { }, der ikke ideholder oge elemeter. De tomme mægde gives også med teget. Det giver ikke rigtig oge meig t komme med et eksempel, d det jo hedder De tomme mægde, dvs. det er { }, der er de tomme mægde. Me det k æves, t hvis m vil de tllee på bggrud f mægdelære, så er det tllet 0, der svrer til de tomme mægde. 4

5 Defiitio 4: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e delmægde f A, hvis der ikke fides oget elemet i B, der ikke også er elemet i A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er delmægde-symbolet. Defiitio 5: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e ægte delmægde f A, hvis B er e delmægde f A, og hvis B A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er ægte delmægde -symbolet. Bemærk, hvord m i Defiitio 5 ved t skrive B Aheviser tilbge til Defiitio 2. Det gælder helt geerelt, t m gere må hevise til tidligere defiitioer. Eksempel 4: Ld A= { chbk,,,, } Så gælder: { cbk,,, } Aog { cbk,,, } A chbk,,,, A me chbk,,,, er ikke e ægte delmægde f A. { } { } Mægde { cde,,, } er hverke e delmægde eller e ægte delmægde f A. Bemærk, t ægte delmægde er et skrppere krv ed delmægde, så hvis e mægde B er e ægte delmægde f A, er de også bre e delmægde f A. Med de grfiske måde t give mægder, vil e delmægde være helt omsluttet f de opridelige mægde: Her er R e ægte delmægde f A. Bemærk, t det f Defiitio 4 følger, t ehver mægde er e delmægde f sig selv, smt t de tomme mægde er e delmægde f lle mægder. Dvs. der gælder geerelt: Sætig : For ehver mægde A gælder: A A og A. Vi skl seere uder emet Kombitorik lære t tælle tllet f delmægder f e mægde. 5

6 Vi skl u se på e række begreber, der kommer i spil, år der optræder mere ed é mægde. Defiitio 6: Ld A og B være to mægder. Vi k så idføre følgede begreber: ) Fællesmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der både tilhører A og B. Fællesmægde for A og B skrives A B. b) A og B siges t være disjukte, hvis ige elemeter tilhører både A og B, dvs. hvis A B =. c) Foreigsmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der tilhører midst é f mægdere A eller B. Foreigsmægde der også kldes uiosmægde for A og B skrives A B. d) Differesmægde mellem A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, som tilhører A, me ikke tilhører B. De gives A\ B. Eksempel 5: Ld A { 4,9,2,8, 27} og B { 0,9,2,5} A B = { 9,2} A B = { 4, 0,9,2,5,8, 27} A\ B = { 4,8, 27} B\ A= { 0,5} = =. M hr så: Eksempel 6: Ld A { kr,, } og B { c, p} = =. M hr så: A B = Dvs. A og B er disjukte. A B= ckpr A\ B = k,, r, dvs. A\ B = A B\ A= c, p, dvs. B\ A= B {,,,, } { } { } På figure til højre er fællesmægde og de to differesmægder givet. Eksempel 7: For edeståede mægder gælder: { 5, 2,, 9} { 5,3,9} B = { 5,9} B { 5, 2,,3,9} = { } = { } A = B = A A = A\ B 2, B\ A 3 6

7 Huskeregler: M k bemærke, t fællesmægde for to mægder som udggspukt er midre ed hver f de to mægder, mes foreigsmægde er større ed disse. Hvis m forestiller sig lidt lim på iderside f bue, k følgede billede derfor muligvis fugere som huskeregel: Ellers k uiosmægde/foreigsmægde huskes på, t symbolet liger et u (som i uio ~ fgforeig), mes fællesmægdes symbol k omformes til et A for Ad ~ og. Vi hr u idført ogle symboler, der vedes i forbidelse med flere mægder. Der gælder e række sætiger, hvorf vi ser på ogle edefor i sætig 2. Det er vigtigt, t du tæker over dem og idser, t de er rigtige (beyt figure som hjælp): Sætig 2: For mægdere A, B og C gælder: ) A B og A Ber begge mægder (Stbilitet) b) A B = B A (Kommuttivitet) c) A B = B A (Kommuttivitet) d) ( A B) C = A ( B C) (Associtivitet) e) ( A B) C = A ( B C) (Associtivitet) f) A ( B C) = ( A B) ( A C) (Distributivitet) g) A ( B C) = ( A B) ( A C) (Distributivitet) Sætigere 2.d og 2.e kræver lidt ekstr forklrig. Det er væsetligt t bemærke, t vi ku hr idført og som symboler, der virker mellem to mægder og resulterer i e mægde. Med pretese giver m ltså, t m ide i pretese hr vedt teget mellem de to mægder og derfor u ku hr é mægde i pretese, hvorefter m k vede teget ige. Poite med ssocitive love er, t m ikke behøver t skrive pretesere. Du keder det fr tllee, hvor du k tillde dig t skrive = 3 74., etop fordi der gælder ( ) ( ) Grudmægde: I ogle situtioer f.eks. år vi skl løse ligiger rbejder m med e såkldt grudmægde, der fortæller os, hvilke objekter vi k rbejde med, år vi skl de mægder. Vlget f grudmægde fhæger f situtioe, og det veder vi tilbge til. Nu ser vi på begrebet komplemetærmægde, der ku giver meig, år m tger udggspukt i e grudmægde. Defiitio 7: Ld G være grudmægde, og ld A være e delmægde f G. Komplemetærmægde til A består f lle de elemeter i grudmægde, der IKKE tilhører A. Komplemetærmægde skrives: Og der gælder ltså: 7

8 Eksempel 8: Ld G = {,3,5,7,9,,3} og ld A = {, 7,,3}. Så er: Eksempel 9: Ld G = {, 2,3, 4,5,... } og ld { 2, 4,6,8,0,... } C Så er A = {,3,5,7,9,... } A =. Det sidste begreb, vi får brug for, er det krtesiske produkt, som er væsetligt, år vi skl idføre koorditsystemer og give pukter i koorditsystemer. Defiitio 8: Det krtesiske produkt A B f mægdere A og B er mægde beståede f lle de ordede pr (, ) b, hvor A og b B. Dette skrives: (, ) { } A B= b A b B Højreside i udtrykket i ederste lije læses: Mægde beståede f lle de pr komm b for hvilket det gælder, t tilhører store A og b tilhører store B. Bemærk ordet ordede i defiitioe, der fortæller, t der er forskel på ( 3,7 ) og ( 7,3 ). Eksempel 0: Ld mægdere A og B være givet ved A {,3,8 } og B { 2,7} Så er A B = (,2,,7,3,2,3,7,8,2,8,7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } = =. Eksempel : Ld mægdere A og B være givet ved A {,9} og B {, q} Så er A B= (, ),( q, ),( 9, ),( 9, q) { } = =. Udvidelse: Når vi seere i rumgeometrie skl rbejde med tredimesioelle koorditsystemer, udvider vi det krtesiske produkt, så vi får: A B C= bc,, A b B c C {( ) } I et ormlt koorditsystem, der er et krtesisk koorditsystem i ple, rbejder vi med pukter på forme ( xy,, ) hvor x-kse X består f lle puktere på de vdrette tllije, mes y-kse Y består f lle puktere på de lodrette tllije. I et tredimesioelt koorditsystem idføres e ekstr tlkse, z-kse, der peger ud f ple, og som giver ledig til e ekstr koordit på puktere, der derfor bliver ( xyz.,, ) 8

9 TAL Tl er e del f sproget og hverdge, og det er vist de færreste, der kommer i tvivl om, t de hr med tl t gøre, år de ser størrelsere 8, -26 og 5,97. Me forståelse f, hvd et tl er, hr ædret sig geem tide, og der er ldrig opstået fuld eighed bldt mtemtikere om, hvorår oget er et tl. F.eks. er det ikke lle, der betrgter de komplekse tl som rigtige tl. Vi skl her se på forskellige idfldsvikler til begrebet tl og geemgå de vigtigste tlmægder. De turlige tl Tl opstår f behovet for t kue tælle. Dvs. de simpleste forståelse f tl er som det, m tæller med. Me selv dee simple tlforståelse giver ledig til problemer. Tllet idtger f.eks. e særsttus. Mtemtik er udviklet flere forskellige steder i verde, og ide for de meget lsidige græske mtemtik (udviklet i e periode på godt 000 år fordelt ogelude ligeligt omkrig år 0) opstod på e tidspukt de tke, t ikke vr et tl, me derimod ehede. Det skl forstås på de måde, t år m skl tælle, giver m først med ehede, hvd det er, m tæller. Dvs. m siger E ste, og derefter ved m, år m begyder t sige 2, 3, 4 osv., t det er ste, m tæller. Eller m dre ord: M begyder først t tælle, år m siger 2. Dette k virke som e uvæsetlig detlje, me det er i hvert fld vigtigt t vide, år m skl forstå sætigere i f.eks. Euklids Elemeter, der blev skrevet omkrig 300 fvt. og måske er det mest berømte mtemtiske værk. Ellers vil m udre sig over ekelte formuleriger, hvor det ser ud til, t Euklid hr glemt tllet. Vi tger dog med, år vi skl defiere de tlmægde, der giver de tl, m tæller med: Defiitio : De turlige tl er tlmægde = {, 2,3, 4,5,... }. Bemærk, t De turlige tl er e uedelig tlmægde. Vi skl seere i forbidelse med emet Uedeligheder og verdesbilleder beskæftige os mere med dee tlmægde og se, t der fides forskellige slgs uedeligheder. Bemærk også selve ottioe med et dobbeltstreget N ( ). D de turlige tl er e helt bestemt tlmægde, hr de fået sit eget symbol (der også fides i Mple uder Commo Symbols ), og år m skriver - i modsætig til bre t skrive N ved m, t der er tle om de turlige tl. Vi hr idført de turlige tl ud fr tkegge om, t m tæller med dem. E de mulig og ært beslægtet idfldsvikel er, t m måler med tl. Tæk ltså på et givet lijestykke som ehede, som dre lijestykker måles med: Det røde lijestykke er ltså 4 (eheder). Me hvd med det blå lijestykke? Her kommer vi i problemer ide for de turlige tl og udskyder derfor tkegge om t måle med tllee. 9

10 Regeregler: Vi går u ud fr, t vi hr idført de turlige tl med heblik på t tælle. Vi opdger så, t vi også k rege med tllee. Vi idfører regeopertioe dditio givet med teget + ved: Defiitio 2: Ld og b være to tl bseret på de smme ehed. M dderer tllee og b ved t tælle det smlede tl eheder, der idgår i og b. Additioe skrives + b, og m klder og b for ddeder, mes + b kldes summe. Bemærk, t summe i sig selv er et tl. Hvis vi et øjeblik glemmer det tilsyeldede problem ved t måle med tllee, k dditio illustreres ved edeståede figur, hvor de to lægder lægges smme ved t plceres for ede f hide (e metode vi seere skl bruge i forbidelse med vektorregig). E meget væsetlig poite ved dditio er, t de to tl skl være bseret på de smme ehed. F.eks. k m ikke lægge 2 æbler og 3 pærer smme, d tllet 2 er bseret på ehede æble, mes tllet 3 er bseret på ehede pære. Hvis m idveder, t m d hr 5 frugter, er det ikke e pssede idvedig, for de 5 frugter er fremkommet ved e de dditio, emlig 2 frugter lgt smme med 3 frugter. Ide for fysik og kemi k m ikke lægge to tl med forskellige eheder smme. F.eks. k m ikke lægge e krft på 3N (de fysiske størrelse krft k gives i ehede ewto) smme med e lægde på 5m. Og m k heller ikke lægge e lægde på 5m smme med e lægde på 3mm, ide m hr sørget for t omrege de ee lægde, så de hr smme ehed som de de. Når m rbejder med brøker, k m heller ikke lægge dem smme, før de hr fælles æver. Oveståede poite er vigtig, me e midst lige så vigtig poite er, t m fktisk ltid k lægge tl smme, hvis de er bseret på smme ehed. Det fører til følgede dditioer, hvor du skl være opmærksom på, t du slet ikke behøver t forstå de udtryk, der står efter tllee, me blot hele tide bemærke, t det er es udtryk, der står bg begge tl. Du vil få eorm glæde f t idprete dig dee tkegg: 4x+ 7x = x 9 log ( x) + 4 log ( x) = 23log ( x) 2bc + 6bc = 8bc ( x + y + z ) + ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( y) + ( y) = ( y) si 5si 6si =

11 Vi kue også hve defieret dditio ved t tge udggspukt i mægder: Altertiv defiitio: Ld A og B være disjukte mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. Summe + ber tllet f elemeter i foreigsmægde A B. Mægdelære giver os også e forholdsvis simpel defiitio på regeopertioe multipliktio: Defiitio 3: Ld A og B være mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. M multiplicerer og b ved t tælle tllet f elemeter i det krtesiske produkt A B, og det skrives b. I produktet b kldes og b fktorer. M kue også defiere multipliktio ved: Altertiv defiitio: M multiplicerer tllee og b ved b gge t ddere med sig selv: b = b ddeder Når dditiosteget + og multipliktiosteget er på plds, opdger m ogle regler, der gælder for disse regeopertioer: Stbilitet: Når m dderer eller multiplicerer to turlige tl, er summe eller produktet også et turligt tl. Kommuttivitet: For dditio: + b = b+ For multipliktio: b = b Associtivitet: For dditio: ( + b) + c = + ( b+ c) For multipliktio: ( b) c = ( b c) Distributivitet: ( b+ c) = b+ c Smmelig disse regler med sætig 2 fr mægdelære. Ige er de distributive lov de lov, der kombierer de to regeopertioer, mes de ssocitive love fritger os fr t vede preteser i visse situtioer. De kommuttive lov for multipliktio keder du måske som: Fktoreres orde er ligegyldig. Cifre: Der er uedeligt mge turlige tl:,2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2,3,4,5,6,7,8,9,20,2,22, Me de er bygget op f et begræset tl cifre, emlig de ti cifre 0,,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Cifree vedes også til t skrive decimltl (f.eks. 487,306), og det er tllet f forskellige cifre, der lægger v til forskellige tlsystemer. Totlssystemet (Det biære tlsystem) rbejder med de to cifre 0 og, vores titlssystem rbejder som ævt med ti cifre, mes bl.. bbyloere hvde et 60-tlssystem, dvs. et system med 60 cifre. Vores tidsregig med miutter og sekuder, smt vores vikelmåliger k føres tilbge til et 60-tlssystem.

12 De hele tl De æste tlmægde, vi skl se på, er De hele tl. Hermed dropper vi kroologie (de historiske rækkefølge), hvor De rtioelle tl blev udviklet før De hele tl. Til gegæld k det præseteres mere overskueligt og smmehægede. Vi hr set, hvord de turlige tl k opstå ud fr behovet for t kue tælle, smt hvord regeopertioere dditio og multipliktio k vedes, år m rbejder med turlige tl. Problemere med de turlige tl opstår først, år m vil udvide med regeopertioe subtrktio ( mius ). Ld os prøve t se på følgede situtio: E bode hr 7 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 20? Dette giver ledig til følgede ligig (skrevet med utidig ottio): x + 7 = 20 For t løse dee ligig idfører vi e regeopertio subtrktio, der er det modstte f dditio forstået på de måde, t de k ophæve hide: ( x + 7) 7 = 20 7 x = 20 7 = 3 Disse to lijer kræver fktisk e msse forklrig, me vi skl seere gøre det mere formelt. Lige u skl du ku fokusere på tkegge: Eller geerelt: ( 20 7) er det tl, der lgt til 7 giver 20. ( b) er det tl, der dderet med b giver. Bemærk ltså, t regeopertio subtrktio k formuleres ud fr dditio. Dette hr edu ikke ført til problemer, me hvd sker der, hvis m bytter om på 7 og 20? 20 + x = 7. Dette svrer til e bode, der hr 20 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 7? Dette er et meigsløst spørgsmål. I dette tilfælde skulle bode srere hve stillet spørgsmålet: Hvor mge får skl jeg miste eller give væk, før jeg hr 7?. Dvs. i de meget simple situtio, hvor m tæller, k dditio svre til t få får, mes subtrktio svrer til t miste får. Og herfr er der ikke lgt til t tæke på gæld, for hvis m mister mere, ed m hr, kommer m til t skylde, og så opstår de egtive tl. I de simple tlforståelse hr vi ltså: Oversigt: Regeopertioe dditio svrer til t få. Regeopertioe subtrktio svrer til t miste. Negtive tl svrer til gæld. Bemærk, t der er forskel på egtive tl og regeopertioe subtrktio. Vi skker derfor om et regemius (subtrktio) og et fortegsmius (egtivt tl). Vi skl gøre mere ud f dette, år vi ser mere formelt på tllee. Negtive tl opstår ltså hvis vi vel t mærke ccepterer deres eksistes år vi løser 20 + x = 7. Vi er u æste fremme ved de hele tl. Vi mgler ku tllet 0. 2

13 Dette tl hr si helt ege historie. I positiostlsystemer (som f.eks. vores 0-tlssystem) hr 0 i begydelse været givet som et mellemrum. Dvs. hvis m skulle skrive 307, skrev m 3 7. Seere fik det sit eget symbol, og edelig i 628 evt. udgv de idiske mtemtiker Brhmgupt værket Brāhmsphuṭsiddhāt, hvor ikke blot 0 idgår med symbol og v, me hvor det også specifikt behdles som et tl, der idgår på lige fod med dre tl i beregiger. Al dee sk hr u ført frem til: Defiitio 4: De hele tl er tlmægde = {..., 4, 3, 2,,0,, 2,3, 4,... }. Det væsetlige t bemærke er, t år vi rbejder med de hele tl, k vi ude t bekymre os vede regeopertioere dditio, multipliktio og subtrktio. Dvs. vi k være sikre på, t vi, hvis vi tger to hele tl og ete lægger dem smme, gger dem med hide eller trækker dem fr hide, så får vi ige et helt tl. Det er det, vi klder stbilitet. Bemærk også, t de turlige tl ku vr stbile over for dditio og multipliktio, for hvis vi tger to turlige tl (der jo er positive) og trækker det største fr det midste, får vi et egtivt tl, der IKKE er et turligt tl. Vi hr ltså: Opsmlig: Stbilitet ide for de turlige tl: + b b Stbilitet ide for de hele tl: + b b b De rtioelle tl Vi er u ået til brøkere og skl først se på, hvord de fremkommer. Som ævt tidligere opstod de før de egtive tl og 0, og m hr kuet rege med brøker i flere tuside år. Vi så, hvord de egtive tl og regeopertioe subtrktio kue opstå ud fr dditio. Vi skl u se, hvord brøkere og regeopertioe divisio k opstå ud fr multipliktio. Vi går f grude som vil blive tydelige seere over til t kigge på æbler i stedet for får. Vi ser på situtioe: 4 persoer spiser hver 5 æbler. Hvor mge æbler spises i lt? Dvs. t der 4 gge spises 5 æbler, og m får udregige 4 5 = 20, dvs. der spises 20 æbler. Regeopertioe divisio opstår, år m ædrer problemstillige lidt: Vi hr 20 æbler, og 4 persoer vil gere spise disse æbler (ligelig fordelig). Hvor mge får de hver? Dette giver ledig til ligige: 4 x = 20 Vi løser dee ligig ved t idføre regeopertioe divisio, der er det modstte f regeopertioe multipliktio forstået på de måde, t de ophæver hide: 4 x = 20 ( 4 x) 20 = 4 4 x = 5 3

14 Ige kræves der egetlig e del mere forklrig, og vi skl også srt gøre det mere formelt, me bemærk det væsetlige: Vi hr multipliceret x med 4 og efterfølgede divideret resulttet med 4, og disse to opertioer hr ophævet hide, så vi ku hr x tilbge. Vi hr dermed fået idført regeopertioe divisio, me mgler stdig brøkere. For selvom vi godt ved og k se det i vores udregig t tllet 5 k skrives som brøke 20 4, så er det ikke ødvedigt med brøker edu. Brøkere opstår først, hvis de 4 persoer f.eks. ku hr 9 æbler. Så får vi: 9 x = 4 Og de væsetlige poite er: 9 k ikke skrives som et helt tl. Vi hr ltså fået e y slgs tl, 4 som vi klder brøker, og som k fremkomme, år vi idfører regeopertioe divisio. Det skl dog lige tilføjes, t m fktisk godt k udgå brøker, selvom m idfører regeopertioe divisio. Det skl vi se på, år vi i 3.g behdler emet Tlteori. Defiitio 5: Ved e divisio f tllet med tllet b fås det tl, der multipliceret med b giver. Divisioe skrives, hvor kldes dividede eller tællere, b kldes divisore b eller ævere og b kldes kvotiete eller brøke. Vi idfører så edu e tlmægde: Defiitio 6: De rtioelle tl er tlmægde beståede f lle de tl, der k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk de meget vigtige detlje, t lle hele tl også k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. F.eks. hr m: 7 = ; 7 = ;0 = ;0 = ; 5= Derfor vil lle hele tl også være rtioelle tl (me ikke omvedt, hvilket vi så med 9 4 ). For t forstå mægde f rtioelle tl bedre skl vi ltså u besvre spørgsmålet: Hvilke tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver? Vi ved llerede, t lle hele tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Ld os u se på decimltllee (dvs. tl som vi skriver med et komm efterfulgt f decimler). Der fides tre typer f decimltl (også kldet decimlbrøker): ) Decimltl med et edeligt tl decimler. 2) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der opstår e sekves i decimlere, der getger sig i det uedelige (såkldt periodiske uedelige decimltl). 3) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der ikke opstår et system i decimlere. 4

15 Edelige decimlbrøker: Edelige decimlbrøker er tl f type 45, , , ,9 Ld os se på, om vi på e eller de måde k skrive disse tl som brøker med hele tl i tæller og æver. 5 6 Vi klder tllet for og multiplicerer det så med et tl bldt 0, 00, 000, 0000, 0, 0, 6 der er tilstrækkelig stort til, t m får et helt tl. I tilfældet 45, er 0 tilstrækkelig stort: = 45, = = Vi hr ltså fået skrevet tllet 45, som e brøk med hele tl i tæller og æver. Det er ikke e uforkortelig brøk, me det er heller ikke ødvedigt i dee smmehæg. 8 Med tllet 0, er det 0, m multiplicerer med: = 0, = = Ige er tllet blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Med tllet ,9 er det 0 m multiplicerer med: = ,9 0 = = 0 Tllet er u blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk, t dee fremggmåde k beyttes på lle edelige decimlbrøker. Det er bre et spørgsmål om t vælge et pssede stort tl t multiplicere med. Det er u vist, t smtlige edelige decimlbrøker k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, dvs. t de tilhører de rtioelle tl. Periodiske uedelige decimlbrøker: Periodiske uedelige decimlbrøker er tl f forme: 5, = 5,3 2, = 2,9 27, = 27,925 89, = 89, , = 0,

16 Bemærk, t der i hvert f tllee er e sekves på mellem og 2 tl, der getger sig i det uedelige, smt hvord m med strege over dee sekves k give tllet kortere. Bemærk også, t sekvese ikke ødvedigvis begyder lige efter kommet. Vi skl u ige geem e række eksempler se på, hvord vi omskriver disse tl til brøker med hele tl i tæller og æver. Vi begyder på smme måde med t multiplicere med et pssede 5 6 f tllee 0, 00, 000, 0000, 0, 0,, me derefter bliver det lidt derledes, d vi trækker vestresidere fr hide og højresidere fr hide: = 5, = 53, , = 48 = 0 = 53, Det lykkedes os ltså t få skrevet tllet 5,3 som e brøk med hele tl i tæller og æver. Der er dog lige de helt cetrle poite i hele udregige, som du skl være opmærksom på. Hlere på de to tl 53,3 og 5,3 er es, etop fordi de opridelige decimlbrøk er uedelig og de smme sekves (i dette tilfælde tllet 3) getges i det uedelige. Derfor forsvider hle, år de to tl trækkes fr hide. Vi ser u på tllet 2,9. Ige multiplicerer vi med 0: = 2,9 7 0 = 29,9 2,9 9 = 7 = 0 = 29,9 9 Ige hr vi fået skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Me i dette tilfælde er der lige e ekstr meget vigtig detlje. Bemærk, t 7 = 3, dvs. vi hr fktisk vist, t 2,9 3 9 =. Og det skl forstås præcis som lighedsteget viser: 2,9 og 3 er det smme tl! E de idfldsvikel til t forstå dette muligvis overrskede resultt er, t der ikke er oge forskel (forstået som e fstd på tllije) på de to tl, og derfor er de to tl es. Vi ser u på tllet 27,925. I dette tilfælde multiplicerer vi med 000. Tjek, t du k se poite med, t det etop er tllet 000, vi beytter: = 27, = 27925, , = 27925, = = 999 Ige lykkedes det t få skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Som sidste eksempel ser vi på tllet 89, Her foretger vi to multipliktioer. Tjek ige, t du k se poite med begge multipliktioer: 5 0 = , = , ( , 28967) 0 0 = , = = Også her lykkedes det os t skrive tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. 6

17 Og det skulle u være klrt, t de vedte metode k bruges i lle situtioer med periodiske uedelige decimlbrøker, dvs. vi hr u set, t lle disse k skrives som brøker. Ikke-periodiske uedelige decimlbrøker: M kue måske u få de tke, t lle tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, me de ikke-periodiske uedelige decimlbrøker (dvs. decimlbrøker hvor der ldrig fremkommer et system i decimlere) k ikke. Det er ikke oget, vi beviser edu. Det kommer uder emet Tlteori, hvor vi bl.. beviser, t 2 ikke k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Opsmlig: De rtioelle tl består f de hele tl, de edelige decimlbrøker smt de periodiske uedelige decimlbrøker. De reelle tl Der er som ævt tl (f.eks. 2 og π ), der ikke k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Disse tl kldes irrtioelle tl. Disse tl k ikluderes, hvis vi begyder t tæke på tl som pukter på e tllije. Vi ser ltså på tllije (tlkse): Der er flere vigtige tig t bemærke omkrig tllijer. De er kotiuerte (dvs. smmehægede), hvilket skl forstås på de måde, t tllije der er e uedelig mægde f pukter ikke hr oge huller. Dvs. du k ikke slå ed oget sted mellem to pukter på lije ude t rmme et yt pukt. De irrtioelle tl ligger også på tllije. Repræseteret ved - ππ,, 2 og e ovefor. Eulers tl e støder vi på msser f gge fremover. Det udgør smme med 0, og π ok de vigtigste tl ide for mtemtik. I Mple fider du det uder Commo Symbols. Tilføj det til die fvoritter med det smme. Tstturets e fugerer IKKE. Også de rtioelle og hele tl ligger som vist på tllije. Defiitio 7: De reelle tl er tlmægde beståede f lle tl på tlkse. Med dee defiitio skulle m tro, t vi hvde fået ikluderet lle tl, me som vi seere skl se, fides der også komplekse tl (tlmægde ), der godt k ligge ude for tlkse. 7

18 Dem får vi dog ikke brug for u, så vi k smle op ved t se på vores 4 tlmægder smme: Itervller: Du kommer i gymsiet til t rbejde e hel del med fuktioer og grfer. I de smmehæg er det vigtigt t bemærke, t vi (æste) ltid rbejder med reelle tl. Dvs. vi rbejder med kotiuerte tlkser. Der er ltså ige huller på tlkse, og mellem to vilkårligt vlgte forskellige tl på tlkse ligger der uedeligt mge dre tl. Uset hvor tæt på hide de to opridelige tl ligger. Dette giver problemer, hvis vi f.eks. øsker t give mægde f pukter, der ligger mellem tllee og 4 (begge tl iklusive), og forsøger t vede vores ottio med tuborgpreteser. For hvis m skriver {,2,3,4 }, hr m ku fået 4 tl med, me der ligger jo uedeligt mge tl på tlkse mellem og 4 og ikke ku de 4 give turlige tl. Vi k heller ikke skrive {,...,4 }, for det er e helt igeem ugyldig ottio, d de tre prikker giver, t der i de foregåede tl er fremkommet et system, der fortsættes, me ét tl k ikke give et system. Vi hr simpelthe brug for e helt de ottio. Defiitio 8: Et itervl er e smmehægede tlmægde, dvs. et område på tlkse ude huller. Et itervl består f uedeligt mge reelle tl. Nottio: Når vi rbejder med tlkser (dvs. reelle tl) vedes e ottio med firktede preteser [ ], [ [, ] ] og ] [ til t give itervller. Nottio: Vi veder betegelsere åbe, hlvåbe, lukkede, begræsede og ubegræsede om itervller. Et itervl siges t være vestrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er midre ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være højrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er større ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være begræset, hvis det er både vestrebegræset og højrebegræset. Hvis et itervl hverke er højrebegræset eller vestrebegræset, er det ubegræset. Et itervl siges t være vestreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være højreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er større ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være åbet, hvis det både er vestreåbet og højreåbet. Et itervl siges t være lukket, hvis det hverke er vestreåbet eller højreåbet. 8

19 M giver, t et itervl er lukket i det ee edepukt, på følgede forskellige måder: Dvs. t tllet ligger i itervllet. Og tllet er etop det tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet, og som dermed betyder, t itervllet ikke er vestreåbet. M giver, t et itervl er åbet i det ee edepukt, på følgede måder: Dvs. t tllet IKKE ligger i itervllet. Og der er ikke oget tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre. For t idse dette, så tg for emheds skyld, t er 0. Du prøver u t fide et positivt tl (for du må ikke vælge 0, d 0 IKKE ligger i itervllet), der er midre ed smtlige dre tl i itervllet. Du prøver u med 0, Me k, det dur ikke, for 0, er midre. Og hvis vi så prøver med dette tl, dur det heller ikke, for 0, er midre. Og bemærk poite: Du k blive ved med t prøve. Du k ikke fide et tl, der er midre ed smtlige dre tl. Et ikke fuldstædigt udvlg over muligheder: Der er pretes om lukket, d betegelse ikke følger vores defiitio, me vedes pr. vedtægt. 9

20 Bemærk de meget vigtige poite, t m ltid veder pretese udd i forbidelse med uedelighedsteget. Et særligt itervl er det (eeste) ubegræsede itervl ], [ (der også k gives ) dvs. mægde f lle reelle tl. Det er helt klrt det itervl, vi møder oftest. Vores koorditsystem - der også kldes Det Krtesiske Koorditsystem opstår, år vi tger det krtesiske produkt. Dvs. vi får mægde f pukter ( xy,, ) hvor både førstekoordite x og dekoordite y er reelle tl. Nogle væsetlige begreber i forbidelse med koorditsystemer er givet på figure edefor. Opsmlig: Vi hr idført tl ud fr tke om t tælle eller måle størrelser, og vi fdt så ud f, hvord m skulle rege med tllee. Vi skl srt gribe tllee fr e de, mere utidig og mere formel måde: Vi skl se på tl som størrelser, m reger med. Dvs. poite i det kommede er, t vi tger udggspukt i regereglere, og vi siger så, t størrelser, der opfylder disse, er tl. Bemærk ltså, t vi så t sige veder hele situtioe på hovedet. Først førte tllee os til regereglere. Seere skl regereglere føre os til tllee. De store fordel ved de sidste måde skulle gere være klr efter geemgge. Me ide dette skl vi prøve som e itroduktio til emet Tlteori t beskæftige os mere med de turlige tl: 20

21 ARITMETIKKENS FUNDAMENTALSÆTNING Aritmetikkes Fudmetlsætig er e sætig ide for området tlteori. Ide for tlteori begræser mig sig oftest til de hele tl eller turlige tl, dvs. = {..., 3, 2,,0,,2,3,...} {, 2,3, 4,5,... } =. Aritmetikkes Fudmetlsætig beskæftiger sig med primtl, og vi rbejder derfor i det følgede hele tide med de turlige tl: = {, 2,3, 4,5,... }. Defiitio (Trivielle divisorer): Alle tl er divisible med sig selv og. Derfor kldes og tllet selv for trivielle divisorer. eller PRIMTAL: E utrolig vigtig del f de turlige tl er primtllee. De defieres på følgede måde: Defiitio 2: Et primtl er et tl p >, der ku hr trivielle divisorer. Øvelse : M kue også fide dre formuleriger f defiitioe. Hvilke eller hvilke f edeståede er dog IKKE rigtige: ) Et primtl er et tl med etop 2 divisorer. b) Et primtl er et tl, der ku hr trivielle divisorer. c) Et primtl er et tl, hvor ku og tllet selv er divisorer. d) Et primtl er et tl større ed, der ikke k skrives som produkt f 2 tl, ude t er de ee fktor. Øvelse 2: Fid det midste primtl p, der hr de egeskb, t p er et helt tl. Defiitio 3: Et tl s >, der ikke er et primtl, kldes et smmest tl. Vi skl u se på e måde t fide primtllee op til et givet tl. Metode kldes Ertosthees si, og det er e lgoritme. De går ud på følgede: Ertosthees si: ERATOSTHENES SI Opskriv lle tllee fr 2 op til det give tl på e række. Sæt streg uder første tl i række, der ikke llerede er streg uder, og slet lle de tl, som det pågældede tl er divisor til (de bliver siet fr) Hvis der er tl tilbge i række ude streg uder. Gå tilbge og udfør smme procedure dvs. ryst sie ige. Hvis der ikke er tl tilbge i række ude streg uder. Tllee med streg uder er de søgte primtl 2

22 Eksempel : Primtllee uder 30 skl fides: Dvs. t primtllee op til 30 er: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23 og 29 Øvelse 3: Bestem tllet f primtl uder 5 og tjek, t der er 5. ARITMETIKKENS FUNDAMENTALSÆTNING Og u til de cetrle sætig: Aritmetikkes Fudmetlsætig: Ethvert tl > er ete et primtl eller k skrives som et = p p p... p produkt f primtl 2 3 s (hvor de ekelte fktorer ikke ødvedigvis er forskellige), og dee opskrivig er etydig på ær permuttioer f fktorere, dvs. t = q q q... q hvis der fides e de opskrivig 2 3 t, så er s = t, og opskrivige er e omrokerig f primfktorere i de første opskrivig. Det er væsetligt t bemærke, t sætige består f e eksistes-del og e etydigheds-del. At fide e opskrivig = p p2 p3... ps kldes også t opløse tllet i primfktorer. Eksempel 2:Tllet 540 er tydeligvis ikke et primtl (2 er det eeste lige tl, der er et primtl). Det k bl.. skrives som: 540 = = = = 0 4. ) Bemærk, t tllee i de første opskrivig lle er primtl. At der fides såd e opskrivig er forudsgt f eksistesdele i sætige. b) Bemærk, t det er de smme tl, der idgår i de to første opskriviger. De de opskrivig er fremkommet ved t permutere fktorere (dvs. rykke rudt på dem). Dette er idholdet f etydighedsdele. c) Tredje og fjerde opskrivig består f dre tl ed de to første, MEN der er tl i opskrivigere, der ikke er primtl (0, 4, 35 og 44). d) Prøv t fide e opskrivig, der ideholder et det primtl ed de viste (f.eks. 3, 3, 7, 9 eller 23), eller prøv t fide e opskrivig med udelukkede primtl, hvor tllet f de idgåede primtl fviger fr de to første opskriviger (dvs. hvor f.eks. 2 ku optræder é gg eller optræder mere ed to gge). Alle die forsøg vil være forgæves. e) Mple k fide primfktoropløsiger med kommdoe ifctor: 22

23 Eksempel 3: Vi vil u forsøge t fide e primfktoropløsig for tllet 735, der tydeligvis ikke er et primtl, d det eder på 5. - Vi oterer først, t 5 går op i 735, og kvotiete er så 47, dvs. 735 = D de reducerede tværsum f 47 er 3 ( = 2 og + 2 = 3), går 3 op i 47, og kvotiete er 49, så 735 = er kvdrtet på 7, så 735 = Hermed hr m fudet primfktoropløsige, og det k tjekkes med Mple: Øvelse 4: Opløs om muligt følgede tl i primfktorer. Tjek med Mple. ) 30 b) 60 c) 78 d) 6 e) 53 f) 5320 g) 4500 h) 75 i) 97 j) 02 Avedelser Største fælles divisor (Gretest commo divisor - gcd) Defiitio 4: De største fælles divisor for to eller flere tl er det største tl, der går op i begge eller lle tllee. Eksempel 4: De største fælles divisor for 9 og 2 er 3. 3 går op i både 9 og 2 ( 9 = 3 3 og 2 = 3 4), og der er ikke oge større tl, der hr dee egeskb. F.eks. går 6 op i 2, me ikke i 9, og tllet 9 går op i 9, me ikke i 2. Mple k fide de største fælles divisor ved: Eksempel 5: De største fælles divisor for 24, 40 og 68 er 4. Godt ok går f.eks. 8 op i 24 og 40, me 8 går ikke op i 68. Vi skl u se på, hvord m k fide de største fælles divisor for 3 eller flere tl: Eksempel 6: Vi vil fide de største fælles divisor for tllee 60 og 42. Først fider vi primtlsfktoriserigere: 60 = = Derefter fides lle de primtl, der idgår i begge fktoriseriger (her er det ét f 2- tllere og et 3-tl). Produktet f disse 23 = 6er så de største fælles divisor. Øvelse 5: Tæk over, hvorfor oveståede metode virker. 23

24 Eksempel 7: Vi vil fide de største fælles divisor for tllee 32804, og Mple k ikke direkte fide største fælles divisor for tre tl (me vi skl seere lære et trick, så m godt k), me m k godt bruge Mple til t fide primtlsopløsiger: = = = Her er det tllee 3, 3 og 7, der idgår i lle tre fktoriseriger, så de største fælles divisor er = 53. Øvelse 6: Bestem de største fælles divisor for følgede tlsæt. ) (24,27) b) (386,430) c) (3003,9975,932) d) (7337,4277) e) (4095,5560,036035) Kotrol: Summe f lle 5 fcitter er 442. Forkorte brøker: Når m skl forkorte e forkortelig brøk, opår m e uforkortelig brøk, hvis m forkorter med de største fælles divisor. Dette k i prksis foregå ved, t m fktoriserer både tæller og æver i primtl, hvorefter lle fælles fktorer forkortes væk Eksempel 8: = = M hr på dee måde forkortet med = = M hr forkortet med = = M hr forkortet med Mple fider f sig selv de uforkortelige brøk: Øvelse 7: Forkort følgede brøker og tjek med Mple ; ; ; Midste fælles multiplum (Lest commo multiple - lcm) Defiitio 5: Det midste fælles multiplum for to eller flere tl er det midste tl, som begge eller lle tllee går op i. Eksempel 9: Det midste fælles multiplum for 6 og 9 er 8, fordi både 6 og 9 går op i 8 ( 8 = 6 3 og 8 = 9 2). Godt ok går 6 og 9 også begge op i 36 og 54, me begge disse tl er større ed 8. Med Mple ser idtstige således ud: 24

25 Eksempel 0: Det midste fælles multiplum for 70, 90 og 65 er 6930 Mple k godt fide lcm for mere ed to tl: M k også vede primfktoropløsigere til t bestemme det midste fælles multiplum. Eksempel : M skl fide det midste fælles multiplum for 630 og = = Hvis 630 skl gå op i et tl, skl tllee 2,3,3,5 og 7 være primfktorer i tllet. For t 96 også skl gå op, mgler der et ekelt 2-tl og et ekelt 7-tl. Dvs. det midste fælles multiplum er = 8820 Eksempel 2: M vil fide det midste fælles multiplum for tllee 62700, 0200 og 7480, der hr primfktoropløsigere: = = = Hvis m bre multiplicerer tllee, får m , der ltså er et fælles multiplum. Me u skl det midste fælles multiplum fides: Begyd med det første tls primfktoropløsig: Hvis det det tl skl være divisor i det søgte tl, mgler der to 2-tller og tllet 23, der derfor tilføjes: Og som det ses, ideholder oveståede lle de primfktorer (også reget med multiplicitet dvs. tllet f gge det pågældede primtl optræder), som det tredje tl består f, så det er divisor i oveståede Dermed er = midste fælles multiplum. Øvelse 8: Bestem det midste fælles multiplum for følgede tlsæt (du må gere bruge Mple til t fide primfktoropløsiger). Tjek resulttet med Mple: ) , og b) , og c) og 8000 d) og M bruger midste fælles multiplum, år m skl fide fællesæver for to brøker: Eksempel 3: + = + = + = + = = = = Der er mge udregiger, og e del omskriviger kue m godt hve udværet, me poite er, t de første brøk forlæges med 3 og de de med 2. Øvelse 9: Læg følgede brøker smme ved t fide fællesæver og tjek resulttet med Mple ; + ;

26 TAL OG REGNEREGLER Vi skl som lovet u til t se på tl som oget, m reger med, dvs. vi skl tge udggspukt i regereglere, og tllee opstår derefter, som de størrelser, der overholder regereglere. Vi skl derfor se på begrebet legeme, der er et begreb, m støder på ide for lgebre. Et legeme er e slgs kostruktio, hvor m fstsætter to regerter og ogle sætiger (ksiomer), der gælder for disse. Poite med e såd kostruktio er, t m ud fr de betigelser, der er stillet op, k udlede e hel række egeskber (sætiger), der gælder for et legeme. Det smrte ved det er, t hvis m k vise, t et begreb (f.eks. de reelle tl) opfylder de opridelige betigelser, så ved m også, t lle de udledte sætiger gælder for de reelle tl. Vi ser på opbygige f et legeme og oterer os, t de reelle tl med vores velkedte regeopertioer + og er et legeme. Vi får brug for følgede teg: : Alkvtor "For lle" : "Tilhører" : Eksisteskvtor"Der fides" eller "Fides der" \{ } : "Frreget mægde beståede f..." : Eller (logisk eller) : Og (logisk og) : Impliktio Hvis... så : Impliktio ku hvis : Biimpliktio etop hvis eller hvis og ku hvis Legeme M Regeopertioer: I et legeme M fides der to regeopertioer + og, der virker på to elemeter i M og der et yt elemet (m klder såde regeopertioer for biære opertorer, fordi de virker på to elemeter). Disse regeopertioer opfylder følgede: Aksiomer: Stbilitet: ) x, y M : x+ y M 2) x, y M : x y M Det vil sige, t år m lægger to elemeter fr M smme, vil resulttet også være et elemet i M. Og ligeledes: Et produkt f to elemeter fr M vil også ligge i M. Bemærk, t dette gælder for de reelle tl. Både summe og produktet f to reelle tl er reelle tl. Kommuttivitet: 3) x, y M : x+ y = y+ x 4) xy, M: xy = yx Det vil sige, t både ved dditio og multipliktio er det ligegyldigt hvilket elemet, der skrives først. Bemærk, t begge disse ksiomer er opfyldt for de reelle tl. Når vi rbejder med tl, omtler vi ormlt ksiom 4 som: "Fktoreres orde er ligegyldig" Associtivitet: ( ) ( ) ( ) ( ) 5) xyz,, M: x+ y + z= x+ y+ z 6) xyz,, M: x y z= x yz 26

27 Bemærk, t dditio og multipliktio som udggspukt ku er defieret for to elemeter d gge, og derfor k m - som udggspukt - ikke skrive f.eks. x y z, d der er tre elemeter. MEN poite med disse ksiomer er, t m lligevel godt k skrive x y z eller + b+ c+ d, d ksiomere siger, t m k ddere/multiplicere elemetere to og to, og t de rækkefølge, m gør dette i, ikke hr betydig for resulttet. Dette gælder for de reelle tl (tæk selv over dette). Distributivitet: 7) xyz,, M: x ( y+ z) = ( x y) + ( xz ) Bemærk, t dee sætig kombierer de to regeregler, og bemærk, t dette gælder for de reelle tl. Pretesere på højreside er ødvedige i ksiomet, d m skl sikre sig, t multipliktioere foretges før dditioe. Når vi rbejder med de reelle tl - eller dre slgs tl - hr vi dog idført de regel, t multipliktio ltid skl foretges før dditio, og så bliver pretesere på højreside overflødige. F.eks. 3 ( 5+ 4) = Dette gør vi mere ud f, år vi idfører regerteres hierrki. Neutrle elemeter: 8) 0 M : x M : x+ 0 = x 9) M: x M: x = x 0 Det vil sige, t der fides et elemet i M, der hr de egeskb, t uset hvilket elemet x i M, det lægges til, giver det elemetet x selv. Og et ligede elemet fides for multipliktio. Disse to elemeter må ikke være idetiske, og vi beviser seere, t de er hver især etydige, dvs. der er ikke to forskellige elemeter, der k hve egeskbe fr 8), og heller ikke fr 9). Når vi rbejder med reelle tl, er det eutrle elemet ved dditio tllet 0, mes det eutrle elemet ved multipliktio er tllet. Modstte elemeter ved dditio: x M ( x) M x ( x) 0) : + = 0 Dvs. t lle elemeter hr et modst elemet. Når vi rbejder med de reelle tl, hvor det eutrle elemet ved dditio er 0, fører dette ksiom til idførelse f regeopertioe mius. Hvis vi f.eks. tger udggspukt i tllet 5,3. Så er det modstte elemet tllet -5,3, og der gælder: 5,3 + ( 5,3) = 0. Dette vælger vi t skrive som 5,3 5,3 = 0 og hr så idført regeopertioe -. Det modstte elemet til tllet -8 er tllet 8. Reciprokke elemeter ved multipliktio: { } er ) x M \ 0 M : x x x = Ide for de reelle tl hr vi, t det reciprokke elemet til 8 er 8, det reciprokke elemet til og det reciprokke elemet til π er. Med brøkstrege idfører vi regeopertioe divisio. π 27

28 Smlet set hr vi ltså disse ksiomer: ) x, y M : x+ y M 2) x, y M : x y M 3) x, y M : x+ y = y+ x 4) xy, M: xy = yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5) xyz,, M: x+ y + z= x+ y+ z 6) xyz,, M: x y z= x yz 7) xyz,, M: x y+ z = x y + xz 8) 0 M: x M: x+ 0 = x 9) M: x M: x = x ( ) ( ) 0) x M x M : x+ x = 0 { } ) x M \ 0 M : x x x = Sætiger udledt fr ksiomere Ud fr disse ksiomer k vi u begyde t udlede e hel række sætiger, der gælder for legemer. Og bemærk edu egg: Når vi hr vist, t de reelle tl opfylder oveståede ksiomer, så vil de sætiger, vi udleder ved hjælp f ksiomere, også gælde for de reelle tl. Sætig : 0= 0 Dee sætig siger ltså, t hvis m tger det eutrle elemet ved dditio og multiplicerer det med et elemet fr legemet, så bliver resulttet det eutrle elemet (uset hvd er for et elemet). Bevis: Vi ser på udtrykket 0 og veder vores ksiomer på dette: 0= 0+ 0 Aksiom 8 vedes med 0 i stedet for x (d ksiomet jo gælder for lle x) ( ) ( 0) ( 0) = + Aksiom 7. Aksiom 8 fortæller os så, t 0= 0, for 0 er etop det elemet, hvorom det gælder, t x= x+ 0, hvor m i dette kokrete tilfælde hr x= 0. Opsmlig: Vi hr ltså u vist, t det eutrle elemet ved dditio idført i ksiom 8 også hr de egeskb, t år m multiplicerer det med et tl, så får m det eutrle elemet. Eller med dre ord: Når m gger med 0, får m 0. Som sgt er det vigtigt t bemærke, t tllet 0 blev idført i forbidelse med dditio, me viste sig også t hve e særlig sttus ved multipliktio. E de vigtig regel (sætig), der følger f sætig, er ulregle, der ikke får sit eget ummer her uder regeregler, d det er e sætig, der dskiller sig fr de dre sætiger, og som vi først tger rigtigt hul på t bruge seere. 28

29 NULREGLEN: Et produkt er ul, etop hvis midst é f fktorere er ul.... = 0 = 0 = 0 = 0... = Bemærk formulerige etop hvis. Det betyder, t du k bruge sætige begge veje. ) Hvis du k idetificere e fktor, der er ul, så vil produktet også være ul. 2) Hvis du ved, t produktet er ul, så ved du, t midst e f fktorere er ul. Bevis: Vi deler beviset op i de to dele og. følger f sætig. For tg, t du k udpege e f fktorere, 2, 3,...,, der er 0, f.eks. 2 = 0, så k m rykke rudt på fktorere (kommuttive lov) og smle de dre fktorer uder et (stbilitet og ssocitivitet):... =... 0 = 0. ( ) ( ) : Atg t = 0. Vi vil u vise, t midst e f fktorere er ul, ved et såkldt idirekte bevis, der fugerer ved, t vi tger, t ige f fktorere er ul, hvorefter vi skl ede med e modstrid, der dermed tviger os til t kokludere, t vores tgelse er forkert. Og hvis vores tgelse om, t ige f fktorere er ul, er forkert, k vi kokludere, t midst e f fktorere er ul. Så vi tger u, t ige f fktorere er ul. Dermed hr hvert elemet ifølge ksiom et reciprokt elemet, og dette k vi gge med et d gge og hele tide udytte sætig på højresidere f lighedstegee og ksiomere 9 og på vestresidere. Vi får så: = = = = = = = = 0 = 0 Det sidste udsg er flsk. Vi hr ltså fået e modstrid og må kosttere, t vores tgelse om, t ige f fktorere er ul, må være forkert. Altså må midst e f fktorere være ul. Etydighed f eutrle elemeter: Begge eutrle elemeter er etydige. Bevis: Atg, t vi hr fudet to eutrle elemeter ved dditio 0α og 0β. Så gælder: 0α + 0β = 0α (her optræder 0 β som eutrlt elemet) og 0β + 0α = 0β (her er 0 α eutrlt elemet). Me ksiom 3 vedt på de første ligig giver 0β + 0α = 0α, og smmeliges dette med de de ligig, ses det, t 0 = 0, dvs. vores to eutrle elemeter er idetiske. α β 29

30 Øvelse: Færdiggør det foregåede bevis ved t bevise, t det eutrle elemet ved multipliktio er etydigt. E skemtisk oversigt over et idirekte bevis er: Sætig 2: ( ) = ( ) Dee sætig siger, t hvis m hr et elemet og multiplicerer dette med (-), der er det modstte elemet til det eutrle elemet ved multipliktio, så får m det modstte elemet til. Vi skl ltså vise, t 4 ( ) = 4. ( ) Bevis: Vi beviser dette ved t se på udtrykket ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) +, som vi k rege på. + = + Aksiom 9 er vedt på det det led. D ( ) ( ) = + Aksiom 7 er vedt. = 0 Aksiom 0 vedt på elemetet. = 0 Sætig. =. lgt til giver 0, fortæller ksiom 0 os, t ( ) ( ) Opsmlig: Bemærk, t vi i dette bevis også hr vedt sætig. Dette er tilldt, d dee sætig llerede er blevet bevist. Og vi hr ltså u to sætiger, som vi må bruge, år vi skl bevise de æste sætiger. ( ) Sætig 3: ( b) = ( b ) Dee sætig siger, t produktet f elemetet og det modstte elemet til b, vil give det modstte elemet til produktet f og b. 30

31 Eksempel: Et kokret tilfælde med tl: 6 ( 9) = 54. Dvs. år m gger et positivt tl med et egtivt tl, får m et egtivt tl. ( b) ( b) Bevis: Dette bevis mider om beviset for sætig 2. Vi begyder med udtrykket ( ) ( b) + b = b+ b Aksiom 7 er vedt. ( ) ( ) (( ) ) D ( b) = 0 Aksiom 8 vedt på elemetet b. = 0 Sætig. lgt til b b = b. giver 0, fortæller ksiom 0 os, t ( ) ( ) Opsmlig: Vi hr u vist, t egtivt gget positivt giver egtivt. Sætig 4: ( ) ( b) = b +. Sætige siger, t produktet f de modstte elemeter til og b giver det smme som produktet f og b. Et kokret tleksempel: ( 2) ( 7) = 2 7 = 4. ( ) Bevis: Vi ser på udtrykket ( ) ( b) + ( b ). ( ) ( b) ( ( b) ) ( ) ( b) ( ( b) ) = (( ) + ) ( b) Aksiom 7 = 0 ( b) Aksiom 0 + = + Sætig 3 vedt på det led. = 0 Sætig. b b = b. D ( ) ( b) lgt til ( ) giver 0, fortæller ksiom 0 os, t ( ) ( ) Opsmlig: Vi hr u vist, t egtivt gget egtivt giver positivt. Vigtig poite ved multipliktio: Hvis m hr flere størrelser beståede f forskellige forteg, tl og bogstver, der skl multipliceres, skl m tge hver del for sig: Forteg for sig. Tl for sig. Hvert bogstv for sig = bc c bd b c b c d Eksempel: ( ) ( ) Forteg for sig: Der er tre - dvs. et ulige tl - egtive forteg, så der skl også være et egtivt forteg på resulttet. Tl for sig: = Hvert bogstv for sig: = ; bbb = b ; ccc = c ; d = d 3

32 Pretesregeregler Sætig 5: + ( + b) = + b Dvs. m k hæve e "pluspretes" ude t ædre oget ved rgumetet (idholdet i pretese). Bevis: Aksiom 9 fortæller os, t ( b) ( b) ( + b) = ( ) + ( b) = + b Vi hr hidtil vedt ottioe ( b) skrive ( b) + + = +, og ved t beytte ksiomere 7 og 9 får m: om det modstte elemet til b, og vi hr så f.eks. kuet +. Dvs. teget hr ikke været vedt som et regeteg, me som et forteg, der betød "det modstte elemet f...". Nu øsker vi imidlertid t idføre regeopertio subtrktio ("mius"), dvs. vi øsker t kue skrive f.eks. b. Her er det vigtigt t bemærke, t vi ikke k vede ksiomere til t idføre dee (ye) regeopertio, d de ikke er ævt et eeste sted. Vi hr brug for e defiitio, dvs. vi hr brug for t beskrive, hvd regeteget skl betyde. Idførelse f regeopertioe subtrktio: Defiitio : ( b) + b= Dvs. ( b) er det elemet, der lgt til b, giver. Bemærk, t du veder dee defiitio, år du løser visse typer f ligiger. Se f.eks. på dee udregig: 3+ x = 8 x = 8 3 Ofte siger m, t m hr trukket tre fr på begge sider, eller m siger, t m flytter 3-tllet over på de de side og skifter forteg. Me egetlig følger oveståede direkte f vores defiitio, for ederste lije fortæller os, t x = 8 3, og ( 8 3) er etop det tl, der lgt til 3, giver 8 (se de øverste lije). Efter t hve idført regeopertioe subtrktio, skl det u vises, hvord regemiusset og fortegsmiusset hæger smme: Sætig 6: + ( b) = b Dvs. det giver det smme, om du trækker b fr, eller om du lægger det modstte elemet f b til. Bevis: Idee i beviset er, t vi tger udtrykket på vestreside og ser, hvd der sker, år vi lægger det smme med b: + b + b= + b + b Aksiom 5 ( ( )) ( ) ( ) = + 0 Aksiom 0 = Aksiom 8 b ( ) Bemærk, t + ( ) lgt til b giver, og dermed fortæller Defiitio os, t ( ) + b = b 32

33 Vi hr ltså u vist, t det er det smme, om du skriver 5+ ( 7) eller 5 7. Vi vil derfor i det efterfølgede ikke skele mellem skrivemådere b og + ( b). Videre med pretesregereglere: Sætig 7: ( + b) = b M hæver ltså e "miuspretes" ved t ædre forteg på lle led i pretese. Bevis: Sætig 2 giver os, t ( b) ( b) ( ) ( ) ( ) Sætig 8: ( b+ c d e) = b+ c d e + = +, og ksiom 7 og sætig 2 giver derefter: + b = + b= b M gger id i e pretes ved t gge id på hvert led. Bevis: I det følgede vedes e hel række ksiomer. Tæk selv over hvilke: b c+ d e = b c + d e = b c + d e = b c+ d e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sætig 9: ( + b) ( c+ d) = c + d + bc + bd M gger to preteser smme ved t gge hvert led i de ee med hvert led i de de. Bevis: Beviset veder ksiom 7 to gge. ( + b) ( c+ d) = ( + b) c+ ( + b) d= ( c + bc ) + ( d + bd ) = c + bc + d + bd Aksiom 3 k så vedes, år der skl rykkes rudt på leddee. Brøkregeregler Vi er stødt på e brøkstreg e ekelt gg uder ksiomere, emlig d x blev itroduceret som det reciprokke elemet til x. Me dette er ikke tilstrækkeligt i forhold til vores vedelse f brøkstreger, hvor vi også tillder udtryk f forme b. Dvs. vi skl blive i std til både t forstå x som det reciprokke elemet til x og som e divisio f tllet med tllet x. Vi skl ltså hve defieret, hvd vi meer med udtrykket, og ved vores defiitio fstsætter b vi også betydige f brøkstrege som de regeopertio, vi klder divisio. Defiitio 2: b b = Dvs. er det elemet, der gget smme med elemetet b, giver elemetet. b 33

34 Sætig 0: = Bevis: Det følger direkte f Defiitio 2, år b'ere udskiftes med 'er, d så er det tl, der gget med giver, hvilket ifølge ksiom 9 etop er tllet (det eutrle elemet ved multipliktio). Bemærk, t d vi også ved, t = (Aksiom ), hr vi direkte følgede sætig: Sætig : Og vi hr: = Sætig 2: = b b Bevis: Vi ser på, hvd der sker, år vestreside gges smme med b: b= b Aksiom 6 b b = Aksiom = Aksiom 9 D vestreside gget smme med b giver, fortæller Defiitio 2 os, t = b b b b Sætig 3: = c c Dvs. m gger e brøk med et tl ved t gge i tællere og beholde ævere. Bevis: Vi ved ifølge vores defiitio f, hvd e brøkstreg betyder, t b er det tl, der gget med c c, giver b, eller opskrevet som ligig: b c= b. Bemærk edu egg, t dette er e c defiitio, dvs. det er betydige f brøkstrege, der forklres ved ligige, og der foregår derfor som såd ikke oge udregig. b Me vi ser u på udtrykket cog reger på dette: c b b c= c Aksiom 6 c c = b Defiitio 2 b D c= b hr vi ifølge de idledede bemærkig vist, t c b b =. c c 34

35 Sætig 4: b c = bc Dvs. m dividerer e brøk med et tl ved t gge tllet id i ævere (og beholde tællere). Bevis: Ifølge Defiitio 2 er det tl, der gget med ( bc ) giver, dvs. ( bc) bc bc = Vi vil u bevise sætige ved t vise, t år vestreside gges med bc, får m : b ( ) b bc = c b Aksiomere 2 og 6 c c. = b b = Defiitio 2 Defiitio 2 Her er plds til e boussætig: D = ifølge Defiitio 2, hr m ifølge Aksiom 9, t: = E de vigtig tig, som m ofte k få brug for, er smmehæge mellem t dividere med et tl og t gge med det reciprokke til tllet. Der gælder emlig: Sætig 5: b = c b c Dvs. det er det smme, om du dividerer med et tl, eller om du gger med det reciprokke til tllet. Bevis: Det følger direkte f sætig 2, hvor m ersttter med b og b med c. Opsmlig: M gger e brøk med et tl ved t gge tllet op i tællere og beholde ævere. M dividerer e brøk med et tl ved t gge tllet ed i ævere og beholde tællere. Når m rbejder med brøker, vil m ofte få brug for t forkorte eller forlæge e brøk. Præcis som med begrebere subtrktio og divisio er vi ødt til først t defiere, hvd m egetlig meer med t forlæge (eller forkorte) e brøk. Defiitio 3: M forlæger e brøk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t multiplicere med k i både tæller og æver, dvs. k b bk Det væsetlige - og hele poite med t idføre begrebet - er følgede sætig: Sætig 6: = k b bk Dvs. brøke ædrer ikke værdi, år de forlæges. 35

36 Bevis: E række f llerede viste sætiger vedes på højreside: k = k bk bk Sætig 3 = b k k Sætig 4 = k b k Sætig 5 = k b k Aksiom 6 = b Aksiom = b Aksiom 9 Bemærk ltså edu egg poite: E brøk ædrer ikke værdi, år de forlæges. Du k ltså forlæge brøker lige så meget, du hr lyst til, d du ikke ædrer de regestykker, som brøke idgår i. Forlæge ligiger: Ligiger k også forlæges, hvilket foregår ved, t m gger hvert led på begge sider f lighedsteget med det tl, der forlæges med (og som ige ikke må være 0) F.eks. k ligige x + x= x 2x forlæges med 6, hvilket giver x + 3x= x 2x. E brøk ædrer ikke værdi, år de forlæges. E ligig ædrer ikke sdhedsværdi (dvs. de hr smme løsigsmægde), år de forlæges. M k også forkorte brøker: Defiitio 4: M forkorter e brøk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t dividere med k i både tæller og æver, dvs. k b b k Ige er det væsetlige: Sætig 7: = k Dvs. brøke ædrer ikke værdi, år de forkortes. b b k Bevis: Prøv selv t bevise dee sætig. 36

37 Poite: Egetlig er det t forlæge og forkorte to sider f smme sg. Som sætig 5 viser, så opås f.eks. det smme ved t forlæge med 7, som der opås ved t forkorte med 7. Vi er u klr til de sidste sætiger omhdlede brøkregeregler. Sætig 3 blev vedt til t vise, hvd der sker, år m gger e brøk med et tl. Me sætige k - ifølge vores ksiom 4 om kommuttivitet ved multipliktio - også forstås som e forklrig på, hvord m gger et tl med e brøk. Vi ser u på, hvord m gger to brøker smme: Sætig 8: c c = b d bd Dvs. to brøker multipliceres ved t multiplicere tæller med tæller og æver med æver, eller lidt mere præcist: Ved i tællere t plcere produktet f de to tællere og i ævere plcere produktet f de to ævere. Bevis: Vi begyder med vestreside og reger og kommer ved hjælp f sætigere 2-5 smt ogle ksiomer frem til højreside. c = c b d b d Sætig 2 = c b d Aksiom 6 c = b d Sætig 3 c = b d Sætig 5 c = bd Sætig 4 c Sætig 9: = b b c Dvs. m dividerer et tl med e brøk ved t gge med de omvedte brøk. Bevis: Vi forlæger udtrykket på vestreside med c (hvilket ifølge sætig 6 ikke ædrer på udtrykket): c c c = = = b b c b b c c I æst sidste skridt vedes Defiitio 2, og i sidste skridt er Sætig 3 vedt. d Sætig 20: b = c b c d Dvs. m dividerer e brøk med e brøk ved t gge med de omvedte brøk. 37

38 d Bevis: Vi forlæger med d og d d d c : b b b b c b c d = = = = = c c c d c b c d d c De to sidste brøkregeregler, vi ser på, omhdler udtryk, hvor der idgår flere led, dvs. i modsætig til lle de tidligere brøkregeregler, ses der u ikke ku på multipliktio og divisio, me også på dditio og subtrktio. Sætig 2: + b c d b c = + d e e e e Dvs. m dividerer e flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert f leddee med tllet. Bevis: Vi k udytte Sætig 2 smt Sætig 8 fr pretesregereglere: + b c d ( b c d) b c d b c = + = + = + d e e e e e e e e Sætig 22: b + + = b c c c Dvs. m k ddere (og dermed også subtrhere) to brøker med es ævere ved t ddere (subtrhere) tællere og beholde ævere. Bevis (og opgve): Fid ud f hvilke sætigere, der beyttes i følgede udregig, der udgør beviset: b + b + = + b = ( + b) = c c c c c c Sætig : 0= 0 = Sætig 2: ( ) ( ) Sætig 3: ( b) = ( b ) Sætig 4: ( ) ( b) = b Sætig 5: + ( + b) = + b Sætig 6: + ( b) = b Sætig 7: ( + b) = b Sætig 8: ( b+ c d e) = b+ c d e Sætig 9: ( + b) ( c+ d) = c + d + bc + bd Sætig 0: = Sætig : = Sætig 2: = b b b b Sætig 3: = c c Sætig 4: b c = bc Sætig 5: b c = b c Sætig 6: = k b bk Sætig 7: = k b b k Sætig 8: c c = b d bd Sætig 9: c = b b c Sætig 20: b d = c b c d + = + e e e e Sætig 2: b c d b c d Sætig 22: b + + = b c c c 38

39 Komplekse tl Som fslutig på forløbet ses u på e vedelse f det store rbejde med t udlede sætigere ud fr ksiomere. Vi vil u idføre de komplekse tl og tjekke, om de idførte regeregler opfylder de ksiomer, og år vi hr fået bekræftet dette, ved vi, t lle de udledte 22 sætiger også gælder for komplekse tl, dvs. vi behøver ikke ige t bevise disse. Idførelse f i Vi idfører u bogstvet i som betegelse for et tl med følgede egeskb: i 2 = eller i =. Vi ser med det smme, t dette tl i ikke er et reelt tl, for vi keder ige tl med de egeskb, t deres kvdrt er et egtivt tl. Bogstvet "i" står for "Imgiært", og i kldes de imgiære ehed (ligesom tllet er ehede, år vi rbejder med de reelle tl). Et komplekst tl defieres til t være et tl på forme + ib, hvor og b er reelle tl, og hvor kldes reldele, og b kldes imgiærdele. Regetegee + og er de regeteg, vi keder fr de reelle tl, og vi reger med i som med ethvert det bogstv, blot med de egeskb t i 2 =. Additio f to komplekse tl foregår efter regle: ( + i b) + ( c+ i d) = ( + c) + i ( b+ d) Multipliktio f to komplekse tl: ( + ib ) ( c+ id ) = ( c bd ) + i ( d + bc ) Egetlig hvde det ikke været ødvedigt for os t idføre i ved i 2 =, for det følger f regeregle for multipliktio (sæt = c = 0 og b = d = ), så ret mtemtisk er det e overflødig defiitio. Me f pædgogiske hesy er det vist bedst t idlede med i 2 =. Øvelse: Vis, t de første 7 ksiomer gælder. Øvelse: Hvd er det eutrle elemet ved dditio og det eutrle elemet ved multipliktio (ksiomere 8 og 9)? Øvelse: Hvd er det modstte elemet til et komplekst tl (ksiom 0)? ib Øvelse: Kotrollér, t det reciprokke elemet til et komplekst tl + ib er b (ksiom ). Tællere i udtrykket i oveævte øvelse kldes de komplekst kojugerede til + ib. Ligesom med de reelle tl får m desude brug for t defiere subtrktio og divisio, og fremggsmåde er de smme: ( ) ( ) Subtrktio: ( + ib ) ( c+ id ) + c+ id = + ib, hvilket fører til ( + i b) ( c+ i d) = ( c) + i ( b d). + ib c + id = + ib, hvilket fører til + ib c bd bc d = + + i c+ i d c+ i d c + d c + d Divisio: ( ) Øvelse: Vis oveståede udtryk ved t forlæge vestreside med c i d. 39

40 POTENSREGNEREGLER Vi hr u itroduceret regertere dditio, subtrktio, multipliktio og divisio fr to forskellige sysvikler (tl til t tælle og tl som opfylder regeregler). E væsetlig poite vr, t subtrktio idføres som det modstte f dditio, mes divisio blev idført som det modstte f multipliktio. Så m k lidt løst sige, t de prvis er to sider f smme sg. Vi ser u på det tredje pr f regerter: Potesopløftig og roduddrgig. Fremggsmåde er meget lig de, vi vedte uder regertere: Vi defierer og behdler potesopløftig, og derefter idføres roduddrgig som det modstte f potesopløftig. Dette vil også fremgå f de ord, der vedes i forbidelse med potesopløftig og roduddrgig. Vi ser først edu egg på de ee f vores defiitioer på begrebet multipliktio: Altertiv defiitio: M multiplicerer tllee og b ved b gge t ddere med sig selv: b = b ddeder Dee defiitio blev idført for turlige tl, hvor vi vr sikre på, t m kue skke om b ddeder (hvis b ikke vr et turligt tl, ville det gå glt, for hvord skulle m forstå -7 ddeder eller 0,378 ddeder?). Hvis vi skulle hve idført multipliktio f positive reelle tl, kue det være sket ved t itroducere reler og rumfg, me det er ikke blevet behdlet her. Bemærk u, hvord idførelse f potesopløftig mider om oveståede idførelse f multipliktio: Defiitio : Ld og ld. Potese =... fktorer defieres som: kldes rode eller grudtllet. kldes ekspoete eller potesekspoete. Eksempel : Defiitioe giver os: x 2 = = x x = π = π π π 5 ( 4) = ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) = = Bemærk ltså, t det er hele udtrykket, der kldes e potes, mes tllet kldes ekspoete. Når m også k vælge t vede betegelse potesekspoet, skyldes det, t vi seere skl se på rødder og her møde betegelse rodekspoet. 40

41 Sprogbruge omkrig poteser er: 5 8 udtles som otte i femte eller otte i femte potes. Rode i dette tilfælde 8 udtles som et (lmideligt) mægdetl (et, to, tre, fire, fem, ). Ekspoete i dette tilfælde 5 udtles som et ordestl (første, de, tredje, fjerde, femte, ). Vi hr ltså u fået idført poteser, hvor ekspoete er et turligt tl. Me vi ved edu ikke, hvord vi skl forstå f.eks. 3, 6 og 5. Det skl vi dog srt få idført. Først skl vi se på, hvord vi ud fr defiitioe k bevise følgede potesregeregler: Sætig : De fem potesregeregler (første og ikke-edelige versio). Ld og m være turlige tl, og ld og b være reelle tl, hvor 0. Der gælder så: m m. potesregeregel: = + 2. potesregeregel: Hvis m > gælder m = m 3. potesregeregel: b = ( b) 4. potesregeregel: b b = 5. potesregeregel: ( ) m = m Eksempel 2: Vi øsker t udrege udtrykkee på vestresidere f lighedstegee og veder ved lighedstegee de give potesregeregel. Bemærk, t sætigere gælder begge veje, dvs. det k godt være højreside, m ved hjælp f e sætig omskriver til vestreside = 7 = 7. potesregeregel ( ) = 2 = 6 5. potesregeregel ( ) = 3 5 = 5 3. potesregeregel = = potesregeregel Bemærk, hvord potesregereglere og 2 omhdler poteser med smme rod. Potesregereglere 3 og 4 omhdler poteser med smme ekspoet. Bemærk også, hvord potesregereglere og 2, år de læses fr højre mod vestre, fortæller os, hvord dditio i ekspoete bliver til multipliktio f potesere, mes subtrktio i ekspoete bliver til divisio f potesere. Eller med dre ord: Plus bliver til gge og mius bliver til dividere. Når vi seere får lært om logritmefuktioer, der er de omvedte fuktioer til ekspoetilfuktioer, skl vi se, hvord disse gør det modstte, dvs. de gør multipliktio til dditio og divisio til subtrktio. 4

42 Me u skl vi se på bevisere for de fem potesregeregler, der lle veder defiitioe: Beviser: m. potesregeregel: Vi ser på og veder defiitio på begge fktorer: + m fktorer = = m + m fktorer m fktorer De to ederste tuborgklmmer er fremkommet ved defiitio fr dette eme, mes de øverste tuborgklmme kommer fr defiitio 2 uder emet tl, der fortæller os, hvord vi skl tælle det smlede tl f ehedere. Det sidste lighedsteg fremkommer så ved t vede vores defiitio fr dette eme de modstte vej (fr højre mod vestre). 2. potesregeregel: Vi ser på m, hvor m m fktorer m... =... fktorer >,og veder defiitio i tæller og æver: Vi k u vede vores sætig 7 fr kpitlet Tl og regeregler, der fortæller os, t vores brøk ikke ædrer værdi, hvis vi forkorter de. Vi forkorter derfor brøke gge med, og her er det vigtigt t lægge mærke til, t vi hr forudst, t m>, for dermed er vi sikre på, t der vil være midst ét tilbge i tællere, mes smtlige er i ævere er blevet til -tller: Ekspoete m er fremkommet ud fr vores defiitio på subtrktio, for år vi tæller tllet f fktorer i tællere, så er tllet f er etop det tl, der lgt til giver m, dvs. m. 3. potesregeregel: Vi ser på b og veder defiitio på begge fktorer: fktorer fktorer 2 fktorer ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b =... b b b... b = b b b... b = b b b... b = b fktorer Ved det det lighedsteg er det beyttet, t fktoreres orde er ligegyldig. Ved det tredje lighedsteg sættes der preteser omkrig fktorere prvis, således t prree u optræder som é fktor. Ved det sidste lighedsteg beyttes defiitio. 42

43 4. potesregeregel: Prøv selv t bevise dee. 5. potesregeregel: Vi beytter defiitio to gge på ( ) m : m fktorer = = m ( ) fktorer fktorer fktorer fktorer Bemærk, t m heviser til tllet f preteser, der er fktorer i det store produkt, mes giver tllet f fktorer i hver f pretesere. Når vi u skl tælle tllet f er, tger vi m gge fktorer, og dermed får vi ifølge vores ltertive defiitio på multipliktio i begydelse f dette kpitel etop m fktorer. Vi hr u fået bevist de fem potesregeregler uder betigelsere m, og m >. Dvs. ligesom vi så i kpitlet om tl, hvor vi ud fr defiitioer f regerter opdgede ogle regeregler for dditio og multipliktio, hr vi ud fr e defiitio på potesopløftig udledt ogle regeregler for poteser. Med dditio og multipliktio tog vi efterfølgede udggspukt i regereglere og udledte e hel række sætiger. Vi skl u foretge os oget, der mider om dette, og det vil udvide vores potesbegreb. Vi øsker u, t vores 5 potesregeregler skl gælde for lle ekspoeter pq, uset de idbyrdes beliggehed f p og q. Og vi skl så fide ud f, hvord vi skl forstå størrelser som Derfor fstsætter vi u følgede regeregler: Sætig 2: De fem potesregeregler (de og edelige versio). Ld p og q være reelle tl, og ld og b være reelle tl. Der gælder så: p q p q. potesregeregel: = + p p q 2. potesregeregel: = q ( 0 ) p p b = b 3. potesregeregel: ( ) p , og. m 4. potesregeregel: b p 5. potesregeregel: ( ) q p p b = = p pq ( 0 ) Bemærk, t vi ikke k bevise disse sætiger, for flere f dem giver ikke umiddelbrt meig. F.eks. giver 2. potesregeregel ikke meig, hvis p = q. MEN det, vi u geem ogle pssede defiitioer skl sørge for, er, t lle regereglere kommer til t give meig. Vi begyder med 0. Hvd skl m forstå ved dette? Ld os se, hvd. potesregeregel fortæller os: 43

44 D vi u hr p 0 p elemet ved multipliktio, dvs. = fortæller ksiom 9 fr Tl og regeregler os, t 0 =. Aksiomere 8 og 9 fr Tl og regeregler 8) 0 M: x M: x+ 0 = x 9) M: x M: x = x 0 er det eutrle Vi k ltså se, t HVIS vores. potesregeregel skl give meig, er vi ødt til t idføre følgede defiitio: Defiitio 2: For ethvert tl gælder 0 = 0 Bemærk, t der ltså også specielt gælder, t 0 =. Det skl dog lige æves, t dette ikke er e uproblemtisk defiitio, der vedes ide for lle former for mtemtik. Nogle gge vælger 0 m t lde 0 være e udefieret størrelse (ligesom brøker med 0 i ævere). Mple veder vores defiitio, hvilket ses f edeståede idtstiger: 0 Hvis m skulle gøre det mtemtisk helt korrekt, ville det ikke være ok t få defieret ud fr de første potesregeregel. M skulle også vise, t defiitioe ikke førte til uoveresstemmelser med de dre potesregeregler. Me det ser vi ikke på her. Det æste, vi øsker t se på, er, hvd vi skl forstå ved udtryk som 3 4, 9 og ( 3) 7. Som ævt giver det ikke umiddelbrt meig ud fr vores defiitio. Me hvis vi går ud fr, t vores potesregeregel 2 skl gælde, får vi: Dvs. vi k u se, t vores defiitio skl være: 44

45 Defiitio 3: For ethvert reelt tl p gælder p = (hvor 0 ) p Egetlig hr vi ku rgumeteret for dee defiitio, hvis p er et helt tl, me vi skl seere se på rtioelle og reelle tl, og i de forbidelse vedes smme defiitio, så her kom de i si edelige form fr strt. Bemærk, t defiitioe skl forstås begge veje. Hvis p er positiv, er højreside veldefieret (d vi p for positive heltl), og defiitioe fortæller så, hvd vi skl forstå ved keder betydige f vestreside. Hvis p er egtiv, er det vestreside, der er veldefieret (d fortæller os så, hvord vi skl forstå højreside. Eksempel 3: 5 7 = 5 7 (Højreside kedes ud fr de gmle defiitio) 3 8 = 3 8 (Vestreside kedes ud fr de gmle defiitio) 9 = 9 (Højreside kedes ud fr de gmle defiitio) 4 = 4 (Vestreside kedes ud fr de gmle defiitio) p så er positiv), og defiitioe Ide vi k gå videre, skl vi hve idført rod-begrebet, og vi vil med det smme opdge, t det er uløseligt forbudet med potes-begrebet. Vi idfører det på e måde, der mider om vores idførelse f subtrktio ud fr dditio og divisio ud fr multipliktio, og vi idser derfor, t roduddrgig og potesopløftig er to sider f smme sg. Husk desude, t vi på uværede tidspukt ku forstår udtrykket r, år, for vi hr edu ikke fået udvidet vores defiitio 3 til t gælde for det ed hele tl. Defiitio 4: For \{ 0} og defieres følgede: Hvis 0: De te rod f tllet er det ikke-egtive, reelle tl, der opløftet i ekspoete, giver. De te rod f skrives og m hr ltså: = r r = r r 0. Hvis < 0: Hvis er lige, eksisterer ikke (år vi ku rbejder med reelle tl). Hvis er ulige, er de te rod f tllet det reelle tl, der opløftet i ekspoete, giver. Dvs. hvis er ulige gælder: = r r = r kldes rode. kldes rodekspoete. kldes rdikde (Kommer f det ltiske rdix, og betyder det, der gør e rod eller som vi ville sige det: det hvorf rode uddrges ) Det k virke som e meget kompliceret defiitio fyldt med små detljer, så ld os se på, hvorfor det overhovedet er ødvedigt med disse detljer: 45

46 Eksempel 4: Hvorfor k defiitioe ikke bruges for = 0? I så fld skulle vi f.eks. i udtrykket 0 6 søge efter det tl, der opløftet i 0 te potes gv os 6. Me vi husker, hvord vi blev tvuget til t kokludere, t ethvert tl opløftet i 0 te potes gv, og derfor fides et sådt tl ikke. Mple tillder det heller ikke: Vi skl srt se, hvorfor Mple idetificerer fejle som e divisio med ul. Eksempel 5: Ifølge vores defiitio gælder følgede: = 5 fordi 5 = = 2 fordi 2 = = 9 fordi 9 = 8 7 = 7 fordi 7 = 7 45 = 45 fordi 45 = 45 = fordi = Skrivemåde 2 vedes ormlt ikke. M hr vedtget, t m ikke skriver 2-tllet. Dvs. hvis der ikke er givet e rodekspoet, er rodekspoete kldes kvdrtrode kldes kubikrode 2 x kldes kvdrtet på/f x (det er relet f et kvdrt med sidelægde x), og selve det t opløfte i de potes kldes t kvdrere. 3 x kldes kubus f x (det er rumfget f e kubus dvs. e 6-sidet terig - med sidelægde x), og selve det t opløfte i tredje potes kldes t kubere. Eksempel 6: Hvorfor kræver vi i tilfældet 0, t rode skl være det ikke-egtive tl? Vi ser på følgede rod: 9 2 Vi k se, t 9 = 3 fordi 3 = 9. Og Mple giver os også resulttet: Me kue vi ikke lige så godt hve sgt 9 = 3 fordi ( 3) 2 = 9? Argumetet er i hvert fld godt ok, for vi hr i vores sætig 4 fr kpitlet Tl og regeregler set, t det er rigtigt, t ( 3) 2 = 9. Me poite er, t m hr vlgt, t roduddrgig skl være e etydig regeopertio (dvs. der skl ku være ét resultt), og m hr derfor været ødt til t tilføje regle om, t rode i tilfældet 0 skl være positiv. 46

47 Eksempel 7: I forlægelse f eksempel 6 k vi se på følgede udregiger i Mple: Bemærk ltså, t de to ligiger ikke hr smme løsigsmægde. Eksempel 6 og 7 hr vist os, hvorfor vi skl beytte følgede opskrivig ved løsig f ligiger, hvor der optræder poteser med lige ekspoeter. Vær meget opmærksom på, hvor og hvorår teget ± idføres: 2 = 25 = ± 25 = ± 5 = 5 = 5 x x 4 = 8 4 = ± 8 x = ± 3 x = 3 x = 3 ( x ) ( x ) ( x ) 2 + = 6 + = ± 6 + = ± 4 x+ = 4 x+ = 4 x = 3 x = 5 3 = 8 3 = 8 = 2 Læg mærke til, t der ikke fremkommer et ±, år ekspoete er ulige (Eksempel 3). Dette skyldes, t ( 2) 3 = 8 8. Eksempel 8: Hvorfor kræves det, t rode skl et reelt tl? Dette ser vi, hvis vi lder Mple løse edeståede ligiger: Der er ltså også komplekse løsiger til disse ligiger, me vi reger ikke med komplekse tl, og i såde tilfælde skl du i e opgvebesvrelse skrive, t du forkster de komplekse løsiger. M k bede Mple om ku t rege med reelle tl på flere forskellige måde. E f dem er t vede pkke RelDomi, der ligesom Gym-pkke ideholder ogle kommdoer, der k vedes: 47

48 Det k dog ikke befles t idlæse RelDomi fr strt ligesom Gym-pkke, for de skber sommetider ogle dre problemer. M k derfor målrettet vede pkke é gg til e udregig ved: Eksempel 9: Hvorfor eksisterer udtrykket ikke, år er lige, og er egtiv? M søger i så fld tl, der opløftet i e lige potes giver oget egtivt, me disse tl fides ikke bldt de reelle tl. Det betyder dog ikke, t såde tl ikke fides, for som Mple viser, er der komplekse løsiger til følgede ligiger: Eksempel 0: Hvorfor kræves der ikke oget om det reelle tls forteg, hvis < 0og er ulige? I dette tilfælde er der ku é reel løsig til følgede ligiger, og de er egtiv (der er også komplekse løsiger, me dem bruger vi ikke her): Bemærk, t ku de første løsig er et reelt tl, og m hr ltså: = 2 og 243 = 3 Bemærk, t vores defiitio 4 også tillder os t vede egtive rodekspoeter, og bemærk, t dette skyldes vores defiitio 3, hvor vi hr fstst betydige f poteser med egtiv potesekspoet. Vi ser på ogle eksempler: Eksempel : Følgede rødder med egtive rodekspoeter bestemmes: = 2 fordi 2 = = = 3 fordi 3 = = = fordi = = =

49 Ikke blot viser defiitio 4, hvord roduddrgig og potesopløftig er to sider f smme sg. Vi k u også forstå sprogbruge i forbidelse med potesopløftig og roduddrgig: Vi k her se, hvorfor ordet rod vedes om både det smlede symbol og om det r, der idgår i oveståede potes. For som lighedsteget til vestre ovefor viser, er de to størrelser es. Vi siger, t vi uddrger rode, år vi omskriver symbolet til r, og vores rdikd er så de størrelse, hvorf vores rod uddrges. Bemærk desude, t vores er det smme tl, uset om det optræder som rodekspoet eller potesekspoet i de grøe flg. D er rode i potese r, gælder ltså følgede vigtige udtryk: ( ) Fktisk gælder dette også i det tilfælde, hvor udtrykket ikke giver meig for reelle tl. Disse smmehæge mellem rødder og poteser skl vi udytte i det følgede, hvor vi skl se på rtioelle og irrtioelle rod- og potes-ekspoeter. = Vi kræver u, t vores 5. potesregeregel ( betydige f størrelse. Vi ser på følgede udregig: p) q = skl gælde. Og det skl så føre os til pq er ltså ifølge dee udregig det tl, der opløftet i te potes giver. Me som vi etop hr set, gælder det også for. Derf følger ikke ret logisk, t =, for vi hr i eksemplere 6-0 set, hvord forskellige tl opløftet i smme potes kue give det smme. Me poite er, t m k vælge, t m skl forstå som, ude t m kommer i koflikt med vores regeregler. Og det er etop, hvd m vælger t gøre: 49

50 Defiitio 5: For lle \{ 0}, hvor er ulige eller 0, gælder: = M k ikke både hve et lige og et egtivt, for så ved vi ifølge Defiitio 4, t ikke er veldefieret (år vi rbejder med reelle tl). Eksempel 2: Følgede udsg er sde: = = = 3 2 = Bemærk specielt de sidste poite, som du får brug for et hv f gge i di gymsietid: x = x 2 p q Vi er u klr til t fide ud f, hvd vi skl forstå ved, dvs. e potes med e rtioel ekspoet. Vi tger udggspukt i Defiitio 5 og de 5. potesregeregel og foretger så følgede omskriviger: Dette viser os, t det er ligegyldigt, om m først opløfter potese og derefter uddrger rode, eller om m gør det i de omvedte rækkefølge. Præcis lige som det er ligegyldigt, om m først udfører e dditio og derefter e subtrktio eller omvedt. Og lige som det er ligegyldigt, om m først udfører e multipliktio og derefter e divisio eller omvedt. Vi defierer ltså: p p q q p q Defiitio 6: = =, hvor rode skl være veldefieret. 50

51 Læg godt mærke til systemet. E rodekspoet hver som æver i potesekspoete og omvedt. Præcis lige som m dividerer e brøk med et tl ved t multiplicere med det i ævere. Eksempel 3: Følgede udsg er sde: = 8 = 2 = = ( ) ( ) = 7 = 7 = 7 = 7 Bemærk, hvord du frit k vælge, om det egtive forteg i det sidste eksempel skl plceres på rodekspoete eller potesekspoete. Hvis m skl udrege dee type størrelser, vil det som udggspukt være hesigtsmæssigt først t foretge roduddrgige og derefter potesopløftige, d m ved roduddrgige oftest gør tllet midre. Eksempel 4: Vi vil udrege ogle størrelser: Vi k u ud fr smmehægee mellem poteser og rødder smt vores potesregeregler udrege ogle rodregeregler (der jo egetlig er præcis det smme som potesregereglere): Sætig 3: Hvis de pågældede rødder eksisterer (jævfør defiitio 4), gælder reglere:.regel: 2.regel: 3.regel: 4.regel: 5.regel: m m m+ m m m m = b = b = = b = b m Øvelse: Bevis Sætig 3 ved t omskrive til poteser og vede potesregeregler. 5

52 De fleste f udtrykkee i sætig 3 får du ok ikke så meget brug for. Ku følgede speciltilfælde f rodregeregel 3 er meget vigtigt t bemærke: b = b Eksempel 5: Sommetider k ogle kvdrtrødder udtrykkes simplere: 52 = 4 3 = 4 3 = = 4 2 = 4 2 = = 9 = 9 = 3 Det er vigtigt t være opmærksom på dette f flere grude. E f dem er, t du er ødt til t kede til disse omskriviger, hvis du vil forstå de resultter, Mple giver i de slgs situtioer, for som vist edefor, omskriver Mple til simplest mulige form: Vi hr ikke fået set på rødder med rtioelle rodekspoeter, me det følger f det llerede geemgåede, t der gælder (tjek selv med regeregler og defiitioer, t det psser): p q p q = q p = = = p q q p Dvs. rodekspoete og potesekspoete er hides reciprokke elemeter. Og ved skift mellem tæller og æver er ekspoetere hides modstte elemeter. Vi mgler u ku t se på poteser med irrtioelle ekspoeter. Dette gøres ud fr et eksempel. Ld os se på 2 π : Vi ved, tπ er et irrtioelt tl, dvs. det k skrives som e uedelig ikke-periodisk decimlbrøk: π = 3, For t tildele 2 π e værdi, der vi e følge f rtioelle tl, der kommer tættere og tættere på π : q p De løse formulerig tættere og tættere betyder mere præcist, t vi k komme vilkårlig tæt på det pågældede tl (π eller 2 π ) ved t gå tilps lgt ed i følge. Oveståede er ikke et bevis, for vi hr f.eks. ikke rgumeteret for, t der fides etop ét tl, som følge kommer tættere og tættere på, me dette er vores første møde med e tkegg, som vi skl bygge videre på uder Uedeligheder og verdesbilleder og vede uder differetilregig. 52