Matematisk formelsamling. stx A-niveau

Transkript

1 Mtemtisk formelsmlig st A-iveu mj 08

2 Dee udgve f Mtemtisk formelsmlig st A-iveu er udgivet f Udervisigsmiisteriet og gjort tilgægelig på uvm.dk. Formelsmlige er udrejdet i et smrejde mellem Mtemtiklærerforeige og Udervisigsmiisteriet, Styrelse for Udervisig og Kvlitet, mj 08 Kopierig til det ed persolig rug må ku ske efter ftle med Copy-D. ISBN: Forfttere: Gert Schomcker, Jesper Bg-Jese, Bodil Bruu og Jørge Dejgrd fe 09

3 Forord: Mtemtisk formelsmlig st A er udrejdet til rug for eksmidere ved de skriftlige prøve og i udervisige på st i mtemtik på A-iveu. Formelsmlige ideholder de emer, der forekommer i læreple for mtemtik på A-iveu på st ide for åde kerestof og supplerede stof. For overlikkets skyld er medtget formler for rel og rumfg f e række elemetærgeometriske figurer. Edvidere ideholder formelsmlige e liste over mtemtiske stdrdsymoler. Hesigte hermed er dels t give elevere et hurtigt overlik, dels t idrge til, t udervisere og forfttere f udervisigsmteriler k vede esrtet ottio, symolsprog og termiologi. Liste over mtemtiske stdrdsymoler går derfor ud over kerestoffet, me holder sig dog ide for det mtemtiske uivers i gymsiet og på hf. E række f formlere i formelsmlige er ku vedelige uder visse forudsætiger (f t ævere i e røk er forskellig fr 0). Såde forudsætiger er f hesy til overskuelighede ikke eksplicit ævt. Figurere er medtget som illustrtio til formlere, og de ekelte figur skueliggør ofte ét ldt flere mulige tilfælde. Betydige f de størrelser, der idgår i formlere, er ikke ltid forklret, me vil dog være det i tilfælde, hvor etydige ikke følger umiddelrt f skik og rug i de mtemtiske littertur. Birte Iverse Udervisigsmiisteriet, Styrelse for Udervisig og Kvlitet, Kotor for Prøver, Eksme og Test Mj 08 3

4 Idhold Procet- og retesregig 5 Idekstl 5 Proportiolitet 6 Brøkregler 6 Kvdrtsætiger 7 Potesregeregler 7 Esviklede trekter 8 Retviklet trekt 8 Vilkårlig trekt 9 Vektorer i ple 0 Lijer, cirkler og prler 3 Lieære fuktioer 6 Adegrdspolyomier 7 Logritmefuktioer 8 Ekspoetielt voksede fuktioer 9 Ekspoetielt ftgede fuktioer 0 Potesfuktioer Trigoometriske fuktioer Differetilregig 4 Afledede fuktioer 5 Stmfuktio 6 Regeregler for itegrtio 7 Arel og rumfug 8 Differetilligiger 9 Vektorfuktioer 3 Fuktioer f to vrile 3 Grupperede oservtioer 35 Ugrupperede oservtioer 36 Lieær regressio 38 Komitorik 39 Sdsylighedsregig 40 Biomilfordelige 4 Normlfordelige 43 Pscls trekt 45 Multipliktiostel 46 Arel og omkreds, rumfg og overflde 47 Mtemtiske stdrdsymoler 48 Stikordsregister 54 4

5 Procet- og retesregig Begydelsesværdi B Slutværdi S S B ( r) S Vækstrte r r B Procetvis ædrig p (3) p% = r 00% Kpitlformel Strtkpitl K 0 Rete p% pr. termi Kpitl K efter termier (4) K = K 0 ( + r), hvor p r 00 Auitetsopsprig Termisidetlig Retefod r Atl idetliger Kpitl A efter sidste idetlig (5) ( + r) - A= r Auitetslå Hovedstol G Retefod r Atl termisydelser Termisydelse y (6) r y = G - ( + r ) - Idekstl Værdi B S Idekstl I B I S S (7) I IS = I S B S = B B I B 5

6 Proportiolitet og y er proportiole Proportiolitetsfktor k y = k (8) y = k y k = y= k (9) y = k y = k og y er omvedt proportiole Brøkregler (0) = c c c () = c () c = c (3) c d d = c (4) c c = d d 6

7 Kvdrtsætiger (5) (6) (7) ( ) + = + + ( ) - = + - ( + )( - ) = - Potesregeregler r s r s (8) = + (9) r s = r-s (0) ( ) r s = r s () ( ) r = r r () r æö ç = çè ø r r 0 (3) = (4) (5) (6) (7) r s - r = r - = r = r = r s (8) = (9) = (30) = 7

8 Esviklede trekter B c A C B (3) c = = = k c A c C (3) c = k = k = k c Retviklet trekt B c A C Pythgors sætig (33) c = + cosius (34) cos( A) = c sius (35) si( A) = c tges (36) t( A) = 8

9 Vilkårlig trekt h B A g C Trektes vikelsum (37) A+ B+ C = 80 Trektes rel T (38) T = h g B c A C cosiusreltio (39) siusreltio (40) c = + - C cos( ) = = c si( A) si( B) si( C) Trektes rel T (4) T = si( C) 9

10 Vektorer i ple j j i i Koorditsættet for vektor, hvor i = j = (4) æ ö = ç + =ç ç i j çè ø si( v) e v cos( v) Ehedsvektor (43) æcos( v) ö e =ç ç ç çèsi( v) ø Ehedsvektor e esrettet med (44) e = Lægde f vektor (45) æ ö = ç = + çè ø k Multipliktio f vektor med tllet k (46) k æ ö æ k ö = k = ç k è ø çè ø 0

11 Summe f to vektorer (47) + æ ö æ ö æ + ö = + = ç è ø çè ø èç + ø Differese mellem to vektorer (48) - æ ö æ ö æ - ö = - = ç è ø çè ø çè - ø A (, y) B (, y) Koorditsættet for vektor AB =ç çè ø æ ö ç ç (49) AB æ - ö =ç ç ç y y çè - ø v æ ö =ç ç ç çè ø Sklrproduktet (prikproduktet) f og (50) = + (5) = cos( v) (5) cos( v) = Ortogole vektorer (53) = 0 ^ Kvdrtet på e vektor (54) = =

12 Projektioe f på (55) Lægde f projektioe (56) + = = ˆ - ç è ø = æ ö = æ ç ö çè ø Tværvektore til (57) æ ö æ - ö = = çè ø è ç ø = æ ç ö è ø v Determite for vektorprret (, ) = æ ç ö è ø (58) det(, ) = = - = (59) det(, ) = si( v) Prllelle vektorer (60) det(, ) = 0 Arelet f det prllelogrm, som udspædes f og (6) A = det(, )

13 Lijer, cirkler og prler Q(0, ) Ligig for lije l geem Q(0, ) med hældigskoefficiet Hældigskoefficiet (stigigstl) for lije l geem A(, y ) og B(, y ) v A (, y) l B (, y) (6) y= + y- y (63) = - Skærig med y-kse (64) = y- Ligig for lije l geem A(, y ) med hældigskoefficiet Hældigsvikle v er vikle fr førstekse til l reget med forteg (65) y= ( - ) + y (66) = t( v) r P0( 0, y0) l Ligig for lije l geem P med ormlvektor 0 æ ö = ç çè ø Prmeterfremstillig for lije l geem P 0 med r retigsvektor r = æ ö ç çèr ø (67) ( - 0) + ( y- y0) = 0 (68) æö æ ö æ 0 r ö = + t èç y ø çy çr è ø è ø 0 3

14 Afstd AB mellem to pukter A(, y ) og B(, y ) (69) AB = ( - ) + ( y - y ) A (, y) M B (, y) Midtpukt M for lijestykke AB (70) M æ, + + ç çè ø P (, y) l Afstd dist(p,l) fr puktet P (, y ) til lije l med ligige y= + Afstd dist(p,l) fr puktet P (, y ) til lije l med ligige + y+ c= 0 (7) (7) + -y dist( Pl, ) = + + y+ c dist( Pl, ) = + C (,) r Ligig for cirkel med cetrum i C (, ) og rdius r (73) ( - ) + ( y - ) = r 4

15 =h S S Thk (,) Ligig for prel med symmetrikse prllel med dekse (74) y= + + c = - + ( h) k Toppukt T (75) æ dö T( h, k) T - - = ç,, çè 4 ø hvor 4 d = - c Skærigspukter S og S førstekse med æ (76) d ö æ,0, d ö S S,0 ç è ø èç ø 5

16 Lieære fuktioer Førstegrdspolyomium, lieær fuktio f (77) f ( ) = + f y y Hældigskoefficiete (stigigstllet) ud fr to pukter på grfe (, y ) og (, y ) (78) y - y = - Skærig med y-kse (79) = y- 6

17 Adegrdspolyomier p T Adegrdspolyomium p med ulpukter (rødder) og (80) p ( ) = + + c = ( - ) ( - ) -- d - + d Nulpukter (rødder) (8) =, =, hvor d = -4c æ dö Toppukt T (8) T - - ç, çè 4 ø 7

18 Logritmefuktioer e l ( ) Grfe for de turlige logritmefuktio (83) l( ) - for 0 (84) l( ) for log( ) 0 (85) y= l( ) = e y (86) l(e) = (87) l( ) = l( ) + l( ) (88) æö lç = l( ) -l( ) çè ø (89) r l( ) = r l( ) Grfe for logritmefuktioe med grudtl 0 (90) log( ) - for 0 (9) log( ) for (9) y= log( ) = 0 y (93) log(0) = (94) log( ) = log( ) + log( ) æö (95) logç = log( ) -log( ) çè ø r (96) log( ) = r log( ) 8

19 Ekspoetielt voksede fuktioer f Grfe for e ekspoetielt voksede fuktio f > vækstrte r > 0 k > 0 (97) f( ) = = ( + r) k = e, hvor k= l( ) (98) f( ) for Fremskrivigsfktore ud fr to pukter på grfe (, y ) og (, y ) (99) f( ) 0 for (00) - y æ y ö = = y ç y çè ø - Skærig med y-kse (0) y = y = y y T Fordoligskostte T (0) T = - log l l (03) T = log( ) = l( ) = k 9

20 Ekspoetielt ftgede fuktioer Grfe for e ekspoetielt ftgede fuktio f 0< < vækstrte r < 0 k < 0 Fremskrivigsfktore ud fr to pukter på grfe (, y ) og (, y ) (04) f ( ) = = ( + r) k = e, hvor k = l( ) (05) f( ) 0 for (06) f( ) for (07) - y æ y ö = = y ç y çè ø - Skærig med y-kse (08) y = y y T y = Hlverigskostte T (09) T = - (0) ( ) log l( ) l( ) T = log( ) = l( ) = k 0

21 Potesfuktioer Potesfuktio () f ( ) = > = 0 < < < 0 Grfer for f ( ) Bestemmelse f tllet ud fr to pukter på grfe (, y) og (, y ) Når gges med tllet r, så gges f ( ) med tllet r y () y (3) = log( y) -log( y) l( y) -l( y) = = log( )-log( ) l( )-l( ) (4) + r = ( + r) y Når gges med tllet k, så gges f ( ) med tllet k (5) f ( k ) = k f ( )

22 Trigoometriske fuktioer v Grdtl v omst til rditl (6) v = π rdi 360 Rditl omst til grdtl v (7) v = 360 grder π si( ) cos( ) Defiitio f cos() og si() (8) cos ( ) + si ( ) = Grfe for cosius (9) cos( + π) = cos( ) (0) cos( - ) = cos( ) () cos(π - ) =- cos( ) Grfe for sius () si( + π) = si( ) (3) si( - ) =- si( ) (4) si(π - ) = si( )

23 t( ) Defiitio f tges (5) si( ) t( ) = cos( ) Udvlgte fuktiosværdier (6) grder rditl 0 si 0 cos t Hrmoisk svigig f (7) f () t = A si( t+ ) + d d A f t t T Grf for hrmoisk svigig f med mplitude A og periode (svigigstid) T (8) T t t π = - = 3

24 Differetilregig Differetilkvotiete f ( 0 ) for fuktioe f i tllet 0 (9) f( ) - f( 0 ) f ( 0 ) = lim 0 - f ( 0 + h) - f( 0) = lim h0 h 0 f ( ) 0 P t f 0 Ligig for tgete t til grfe for f i P( 0, f ( 0)) (30) y= f ( 0) ( - 0) + f ( 0) eller y = +, hvor = f ( 0 ) og = y0-0 Regeregler for differetitio (3) ( k f ( )) = k f ( ) (3) ( f ( ) + g( )) = f ) + g ( ) (33) ( f ( ) - g( )) = f ) - g ( ) (34) ( f ( ) g( )) = f ) g( ) + f ( ) g ( ) (35) ( f ( + ) ) = f ( + ) (36) ( f ( g( )) = f ( g( )) g ( ) 4

25 Afledede fuktioer Fuktio Afledet fuktio y f( ) ( ) d y = f = = ( f( )) d d Lieær fuktio (37) + Logritmefuktio (39) l( ) (38) k 0 = - Ekspoetilfuktioer (40) e (4) e k e k e k (4) l( ) Potesfuktioer (43) (44) = (45) - = - =- = - - Trigoometriske fuktioer (46) cos( ) si( ) (47) si( ) cos( ) 5

26 Stmfuktio Fuktio Stmfuktio ò f ( ) f ( ) d Kostt fuktio (48) Logritmefuktio (49) l( ) l( ) - Ekspoetilfuktioer (50) e e (5) e k e k k (5) l( ) Potesfuktioer (53) + - (54) = l (55) = + 3 = 3 3 Trigoometriske fuktioer (56) cos( ) si( ) (57) si( ) cos( ) 6

27 Regeregler for itegrtio Uestemt itegrl (58) ò f ( ) d= F( ) + k, hvor F( ) er e stmfuktio til f ( ) ò ò (59) k f ( ) d= k f ( ) d ò ò ò (60) ( f ( ) + g( )) d= f ( ) d+ g( ) d ò ò ò (6) ( f ( ) - g( )) d= f ( ) d- g( ) d Itegrtio ved sustitutio ò ò, hvor t= g( ) (6) f ( g( )) g ( ) d = f ( t) dt ò f ( ) d= F( ) = F( ) -F( ), Bestemt itegrl (63) [ ] hvor F( ) er e stmfuktio til f ( ) c (64) f ( ) d= f( ) d+ f( ) d ò ò ò c (65) k f( ) d= k f( ) d ò ò (66) ( f ( ) + g( )) d= f ( ) d+ g( ) d ò ò ò ò ò ò (67) ( f ( ) - g( )) d= f ( ) d- g( ) d Itegrtio ved sustitutio ò g( ) (68) f( g( )) g ( ) d= f() t dt= [ F() t ] ò g( ) = Fg ( ( ))-Fg ( ( )), hvor F ( ) er e stmfuktio til f( ) g( ) g( ) 7

28 Arel og rumfg f Arelet A f det mrkerede område f (69) A = ò f ( ) d g Arelet A f det mrkerede område f ò (70) A = ( f ( ) -g( )) d Kurvelægde L f de mrkerede del f grfe (7) L= ò + f ( ) d f Rumfget V f omdrejigslegemet (7) π ( ) V f d = ò 8

29 f g Rumfg V f hult omdrejigslegeme (73) π ò ( ( ) ( ) ) V = f -g d Differetilligiger Ligig Løsig (74) y = h( ) y = ò h ( ) d (75) y = h() g() y dy = h( ) d g( y) ò ò (76) y = k y y= c e k - (77) y = - y y= + c e (78) y = y ( - y) y = + - c e (79) y = y ( M- y) M y = + c e -M (80) y + () y= () -A( ) A( ) -A( ) y= e ò ( ) e d+ c e, hvor A() er stmfuktio til () 9

30 Lijeelemet (8) ( 0, y0, y 0) Hældigsfelt, Lijeelemeter (8) Løsigskurve (83) P 0 30

31 Vektorfuktioer st () Vektorfuktio med koorditfuktioer () t og yt () (84) æ() t ö st () =ç ç ç çèyt () ø Hstighedsfuktio (85) v() t = s () t Accelertiosfuktio (86) t () = v () t = s () t Prmeterfremstillig for ekurve, (t) og y(t) er koorditfuktioer (87) æ() t ö OP =ç ç ç çèyt () ø v P0 Retigsvektor v for tgete i puktet P 0 svrede til prmeterværdie t 0 (88) æ ( t0 ) ö vt ( 0) = s ( t0) =ç ç ç èy ( t ) ø 0 Prmeterfremstillig for de rette lije l geem P0( 0, y 0) ær ö med retigsvektor r = ç r çè ø (89) æt () ö æ ö æ 0 r ö = + t yt () y r èç ø èç ø èç ø 0 3

32 C (,) r Prmeterfremstillige for e cirkel med cetrum C (, ) og rdius r (90) æ() t ö æö ær cos() t ö = + çèy () t ø çè ø çèr si() t ø Fuktioer f to vrile z f y Grfe for e fuktio f to vrile z f (9) z= f(, y) y h g Sitkurve for f i heholdsvis -retige og y-retige (9) z= g( ) = f(, y), hvor y holdes fst (lå kurve) z= h( y) = f(, y), hvor holdes fst (rød kurve) 3

33 z f k y f(, y) k Niveukurve for f i y-pl (93) f ( y, ) = k De prtielle fledede f (, ) f ymht. og y (94) f (, y) = ( f ( y, )) (, ) f y y = ( f ( y, )) y Grdiete for f (95) f ( y, ) = æf ( y, ) ö ç çèf y ( y, ) ø Tgetple i puktet P (, y, z ) (96) z= z0 + p ( - 0) + q ( y- y0), hvor p= f (, y ) og q= f y ( 0, y0)

34 Sttioært pukt P (, y, z ) for f æö 0 (97) f( 0, y0) = 0 = ç çè0 ø f (, ) 0 0 y0 = og f (, ) y 0 y0 = 0 Arte f sttioære pukter for f, hvor r= f (, ) 0 y0 s= f (, y ) = f (, y ) og y t= f y 0 0 y 0 0 (, ) yy 0 0 z P 0 y f Q 0 Loklt mksimum i P (, y, z ) Loklt miimum i Q (, y, z ) (98) r t- s > 0 og r < 0 (99) r t- s > 0 og r > 0 z f P 0 y Sddelpukt i P0( 0, y0, z 0) (00) r t- s < 0 Arte uestemt (0) r t s - = 0 34

35 Grupperede oservtioer 0% % Histogrm (0) Arelet f e lok svrer til itervllets frekves Histogrm med es itervllægder (03) Højde f e lok svrer til itervllets frekves % Kumuleret frekves Q m Q 3 Sumkurve (04) Q : edre kvrtil, 5% -frktile m : medi, 50% -frktile Q 3 : øvre kvrtil, 75% -frktile % Kumuleret frekves p : p% -frktile p p 35

36 Ugrupperede oservtioer Prikdigrm (05) Oservtioere fst på e tllije mi (06) mi: midste oservtio m (07) m: største oservtio Vritiosredde (08) m - mi Q m Q 3 (09) m: medi (midterste oservtio, år tllet f oservtioer er ulige, ellers tllet midt mellem de to midterste oservtioer) (0) Q : edre kvrtil (medie for de ederste hlvdel f oservtioere) () Q 3 : øvre kvrtil (medie for de øverste hlvdel f oservtioere) Kvrtilredde () Q3- Q mi Q m Q 3 m (3) Boksplot, kssedigrm (okses højde er ude etydig) Kvrtilsæt (4) ( Q, m, Q 3) Udvidet kvrtilsæt (5) ( mi, Q, m, Q3, m ) 36

37 Outlier (6) Oservtio, der ligger mere ed hlvde kvrtilredde uder edre kvrtil eller mere ed hlvde kvrtilredde over øvre kvrtil Middeltl for oservtios (7) = sættet,,..., Spredig for oservtiossættet,,..., (8) å i= s = = ( - ) i ( - ) + + ( -) Vestreskæv fordelig (9) Middeltl midre ed medie < m Ikke-skæv fordelig (0) Middeltl lig med medie = m Højreskæv fordelig () Middeltl større ed medie > m Estimt f middelværdi og spredig for e popultio ud fr e stikprøve,,..., Estimt f middelværdie (7) = Estimt s for spredige (8) s = =... å i= ( - ) i - ( - ) + + ( -) - 37

38 Lieær regressio Tel med oserverede dt () 3 y y y y 3 y Regressioslije (3) Bedste rette lije, grf for f ( ) = + Puktplot og edste rette lije (4) f Residul (5) Forskel mellem oserveret y-værdi og tilsvrede y-værdi i model Residultel (6) oserverede dtpukter modelpukter Residul r= y- f( ) r = y- f( ) r = y- f( ) Residulplot (7) r r 3 r r 3 Residulspredig (8) s = r + r r - 38

39 Komitorik Multipliktiospricip Atl mulige måder t vælge åde ét elemet fr N og et elemet fr M, hvor N estår f elemeter og M estår f m elemeter Additiospricip Atl mulige måder t vælge ete ét elemet fr N eller ét elemet fr M, hvor N estår f elemeter og M estår f m elemeter (9) m (30) + m Fkultet (3)! = ( -) ( -) Permuttioer Atl muligheder for udvælgelse f r elemeter ldt elemeter, år rækkefølge hr etydig (3)! Pr (, ) = ( - r)! Komitioer Atl muligheder for udvælgelse f r elemeter ldt elemeter, år rækkefølge ikke hr etydig (33)! K(, r) = r!( - r)! 39

40 Sdsylighedsregig Sdsylighedsfelt med udfldsrum U og sdsyligheder p (34) ( U, p ) Udfldsrum U med udfld (35) Mægde f lle udfld { u, u,, u } Summe f lle sdsyligheder (36) p+ p + p p = Sdsylighedstel (37) Udfld u u u 3 u Sdsylighed p p p 3 p Hædelse A med k udfld fr U (38) Mægde f k udfld fr U Sdsylighed for hædelse A (39) Summe f de k udflds sdsyligheder Symmetrisk sdsylighedsfelt Alle sdsyligheder er lige store Sdsylighed for udvælgelse f et elemet fr A (40) p= p = p3=... = p = (4) k tl gustige PA ( ) = = tl mulige Sdsylighed ved komitio f ufhægige hædelser A og B Sdsylighed ved komitio f hædelser A og B, som ikke hr oget fælles udfld (4) P(åde Aog B) = P( A) P( B) (43) PA ( eller B) = PA ( ) + PB ( ) 40

41 Sdsylighedsfordeligstel for e stokstisk vriel X (44) i 3 PX ( = i ) p p p 3 p Søjledigrm. Højde f søjle svrer til sdsylighed f udfld (45) 3... Middelværdi f e stokstisk vriel X (46) m = EX ( ) = PX ( = ) å i= 3 3 i = p + p + p + + p i Vris f e stokstisk vriel X Spredig f e stokstisk vriel X å (47) Vr( X ) = ( -m) P( X = ) (48) s= s ( X) = Vr( X) i i i= ( m) ( m) = - p p Biomilfordelig Biomilfordelt stokstisk vriel X med tlsprmeter og sdsylighedsprmeter p Biomilkoefficiet Kr (, ) (50) (49) X p (, ) æö! Kr (, ) = = çèr ø r! - r! (5) Kr (, ) = K (, - r) ( ) Sdsylighedsfuktio for iomilfordelt stokstisk vriel X (5) P( X = r) = K(, r) p ( - p) - Middelværdi m (53) m = p Spredig s (54) s = p ( - p) r r 4

42 Sttistisk usikkerhed i stikprøver Atl elemeter i stikprøve 95% kofidesitervl for popultioes sdsylighedsprmeter p estimeret ud fr stikprøvedele ˆp Normlfordeligspproksimtio til iomilfordelt stokstisk vriel X med middelværdi m = p og spredig s = p ( - p) (55) (56) é ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) pˆ p p ; pˆ p p ù êë úû Eceptioelle udfld 3 3 ormle udfld Eceptioelle udfld ,7% 95,45% 99,73% 4

43 Normlfordelige Stdrdormlfordelt stokstisk vriel X (57) X N(0,) Middelværdi (58) m = EX ( ) = 0 Spredig (59) s= s( X ) = Tæthedsfuktio (60) φ( ) = e π - F Fordeligsfuktio (6) ( ) φ( ) d Sdsylighede for, t X er større ed eller lig med Sdsylighede for, t X er større ed eller lig med og midre ed eller lig med F =ò - (6) F ( X ³ ) = -F( ) (63) F ( X ) =F( ) -F( ) Normlfordelt stokstisk vriel X med middelværdi m og spredig s f (64) X N( ms, ) F m m Fordeligsfuktio (65) F( ) æ - = ö ç çè ø Tæthedsfuktio (66) f( ) = e π s æ- m ö - ç çè s ø 43

44 f Sdsylighede for, t X er midre ed eller lig med Sdsylighede for, t X er større ed eller lig med Sdsylighede for, t X er større ed eller lig med og midre ed eller lig med (67) P( X ) f( ) d =ò - æ - mö PX ( ) =F ç çè s ø (68) PX ( ³ ) = - PX ( ) æ - mö PX ( ³ ) = -F ç çè s ø (69) P ( X ) = PX ( ) - PX ( ) æ-mö æ-mö P ( X ) =F -F ç è s ø èç s ø Frktilplot QQ-plot (70) z -m z = s m-s m m+ s 44

45 Pscls trekt (7) K(0,0) K(,0) K(,) K(,0) K(,) K(,) K(3,0) K(3,) K(3,) K(3,3) K(4,0) K(4,) K(4,) K(4,3) K(4,4) K(5,0) K(5,) K(5,) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(6,0) K(6,) K(6,) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6) K(7,0) K(7,) K(7,) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7) K(8,0) K(8,) K(8,) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)

46 Multipliktiostel (7) Røde tl: Kvdrttl 46

47 Arel og omkreds, rumfg og overflde f geometriske figurer Trekt h højde g grudlije A rel A = h g Prllelogrm h højde h g grudlije A rel Ah g Trpez B h A g C g h h højde, prllelle sider A rel A = h + ( ) Cirkel r r rdius A rel A = π r O omkreds O= π r Kugle r r O V rdius overflde rumfg O= 4π r 4 3 π V = r 3 Cylider h r r h højde r grudflderdius O krum overflde O= πr h V rumfg V = π r h Kegle h s r h højde s sidelije r grudflderdius O krum overflde Oπr s V rumfg 3 π 47

48 Geerliseret cylider h G h h s G højde omkreds f grudflde grudflde O krum overflde s h V rumfg V = h G overflde = s h+ G Mtemtiske stdrdsymoler Symol Betydig Eksempler, emærkiger m.v..,.,.,. mægde på listeform {- 5,0,3,0 },{,4,6,... },{...,-,0,,... } mægde f turlige tl,,3,... mægde f hele tl...,,,0,,,... mægde f rtiole tl tl, der k skrives p q, p, q mægde f reelle tl tilhører / er elemet i [ ; ] lukket itervl [ ;3 ] = { Î 3} ] ; ] hlvået itervl ] ;3 ] = { Î < 3} [ ; [ hlvået itervl [ ;3 [ = { Î < 3} ] ; [ ået itervl ] ;3 [ = { Î < < 3} er e ægte delmægde f {,,3} Ì N fællesmægde A B A B Foreigsmægde A B A B \ mægdedifferes A \ B A B A komplemetærmægde U \ A U A 48

49 Symol Betydig Eksempler, emærkiger m.v. Ø de tomme mægde disjukte mægder A B Ø A B mægdeprodukt [- 0;0] - [ 0;0] og i etydige åde og (kojuktio) eller i etydige og/eller (disjuktio) medfører, hvis så (impliktio) esetydede, hvis og ku hvis (iimpliktio) i... i! f ( ) fkultet, udråsteg fuktiosværdi f ved fuktioe f Dm( f ) defiitiosmægde for f Vm( f ) værdimægde for f y = = = 4 =- = 4 i i 3 4!... for 0! = f( ) = +, så er f (4) = 3. log( ) l( ) e logritmefuktioe med grudtl 0 de turlige logritmefuktio de turlige ekspoetilfuktio ekspoetilfuktioe med grudtl, 0 potesfuktio umerisk (solut) værdi f y log( ) 0 y y l( ) e e y eteges også ep() ekspoetilfuktio eller e ekspoetiel udviklig kldes udertide for e kldes udertide for e potesfuktio eller e potesudviklig 3 3, 7 7 eteges også s() 49

50 Symol Betydig Eksempler, emærkiger m.v. si( ) cos( ) t( ) - si ( y) - cos ( y) - t ( y) lim f ( ) 0 lim f ( ) sius cosius tges omvedt fuktio til sius omvedt fuktio til cosius omvedt fuktio til tges græseværdie f f ( ) for gåede mod 0 græseværdie f f () for gåede mod f () går mod for gåede mod 0 f () går mod for gåede mod 3 si( ) t( ) = cos( ) - si ( y) = si( ) = y - si (0,5) = 30 - si eteges også Arcsi - cos ( y) = cos( ) = y - cos (0,5) = 60 - cos eteges også Arccos - t ( y) = t( ) = y - t = 45 - t eteges også Arct lim + = lim 0 f ( ) + for 3 for 0 f ( ) e - 0for for -tilvækst 0 y, f y f, fuktiostilvækst for y f ( ) yf f() f( ) 0 differeskvotiet for y f ( ) f ) differetilkvotiete for 0 y f ( ) i y f f ( ) f ( 0 ) 0 f( ) - f( 0 ) f ) = lim - 0 f y = lim = lim

51 Symol Betydig Eksempler, emærkiger m.v. d f fledet fuktio f y f ( ) eteges f ( ), y, ( f( )), d ( ) f de te fledede fuktio f AB AB AB AB y f ( ) lijestykket AB lægde f lijestykket AB cirkelue AB lægde f cirkelue AB, AB vektor, AB lægde f vektore tværvektor f ( ) skrives ofte f ( ), y d y eller d etegelse â k også vedes sklrprodukt, prikprodukt etegelse eyttes også determite for vektor- etegelse det(, ) eyttes prret (, ) også l^ m læses også er vikelret på l og m er ortogole A vikel A A 0 eller A= 0 ABD vikel B i trekt ABD B C A D (, ) vikle v mellem og, hvor 0v 80 v 5

52 Symol Betydig Eksempler, emærkiger m.v. vikle fr til 5 45 retviklet trekt hypoteuse v modståede ktete til v hosliggede ktete til v midtormle for lijestykket AB A B B h højde fr B på side eller des forlægelse c h A C B m medie fr B på side c m A C B vb vikelhlverigslije for vikel B c v B A C 5

53 Symol Betydig Eksempler, emærkiger m.v. B trekt ABC s omskreve cirkel A C B trekt ABC s idskreve cirkel A v C C 53

54 Stikordsregister A ccelertiosfuktio 3 E ekspoetiel fuktio dditiospricip 39 - ftgede 0 fledet fuktio 5, 5 - voksede 9 fstd mellem ehedsvektor 0 - pukt og lije 4 esviklede trekter 8 - to pukter 4 eceptioelle udfld 4 mplitude 3 degrdspolyomium 7 F fkultet 39, 49 uitetslå 5 fordoligskostt 9 uitetsopsprig 5 fordeligsfuktio 43 rel fremskrivigsfktor 9, 0 - cirkel 47 førstegrdspolyomium 6 - geerliseret cylider 48 - prllelogrm 47 G geerliseret cylider 48 - trpez 47 grdiet 33 - trekt 47 grdtl grupperede oservtioer 35 B ekurve 3 græseværdi 50 edste rette lije 38 egydelsesværdi 5 H hlverigskostt 0 estemt itegrl 7 hrmoisk svigig 3 iomilfordelig 3 hstighedsfuktio 3 iomilkoefficiet 3 histogrm 35 oksplot 36, 37 hult omdrejigslegeme 9 røkregler 6 hældigskoefficiet 3, 6 hældigsvikle 3 C cirkel 47 hædelse 40 cirkles ligig 4 højde 47, 5 cosius 8, 50 højreskæv 37 cosiusreltio 9 cylider 47 I ikke-skæv 37 idekstl 5 D determit idskreve cirkel 53 differese mellem itegrtio 7 differeskvotiet 50 differetilkvotiet 4, 50 differetilligiger 9 54

55 K kpitlformel 5 O omkreds, cirkel 47 kegle 47 omskreve cirkel 53 komitioer 39 omvedt proportiolitet 3 kofidesitervl 4 ortogol, vikelret 39 koorditsæt ortogole vektorer kugle 47 outlier 37 kurvelægde 8 overflde kvdrtsætiger 7 - cylider 47 kvrtil 35, 36, 37 - geerliseret cylider 48 kvrtilredde 36 - kegle 47 kvrtilsæt 36 - kugle 47 L lieær fuktio 6 P p% -frktil 35 lieær regressio 8 prel 5 lijes ligig 3 prllelle vektorer logritmefuktioer 8 prllelogrm 47 loklt mksimum 34 Pscls trekt 45 loklt miimum 34 permuttioer 39 lægde f vektor 0 potesfuktioer løsigkurve 30 potesregeregler 7 prikdigrm 36 M medi (sttistik) 36, 37 prikprodukt, 5 medi (trekt) 5 procet-procet tilvækst middeltl 37 procetregig 5 middelværdi 4 projektioe midtorml 5 proportiolitet 6 midtpukt 4 puktplot 38 multipliktio f vektor 0 multipliktiospricip 39 Q QQ-plot 44 multipliktiostel 46 R rditl N edre kvrtil 35 regeregler for differetitio 4 iveukurve 33 regeregler for itegrtio 7 ormle udfld 4 regressio, lieær 38 ormlfordelig 43 regressioslije 38 ormlvektor 3 residul 38 ulpukter 7 residulplot 38 residulspredig 38 retigsvektor 3 55

56 retviklet trekt 8, 5 V vris 4 rod, rødder 7 vritiosredde 36 rumfg f vektorer i ple 0 - cylider 47 vestreskæv fordelig 37 - geerliseret cylider 48 vilkårlig trekt 9 - kegle 47 vikelhlverigslije 5 - kugle 47 vikelret, ortogol 5 vikelsum i trekt 9 S sddelpukt 34 vikler 5, 5 sdsylighed 40, 4 vækstrte 5, 9, 0 sius 8, 50 siusreltio 9 Ø øvre kvrtil 35 skærigspukt m. førstekse 5 sklfktor 8 sklrprodukt, 39 spredig 37, 4 sttistisk usikkerhed 4 stokstisk vriel 4, 4 sum f vektorer sumkurve 35 symoler 48 symmetrisk sdsylighedsfelt 40 søjledigrm 4 T tges 8, 50 tget til grf 4 toppukt 5, 7 trpez 47 trigoometriske fuktioer, 3 tværvektor tæthedsfuktio 43 U ufhægige hædelser 30 uestemt itegrl 7 udfldsrum 40 udvidet kvrtilsæt 36 ugrupperede oservtioer 36 56