Frembringelse af ikke-klassisk lys

Transkript

1 Frembringelse af ikke-klassisk lys Specialeopgave udført af Steen Højrup Vejleder: Henrik Smith, HCØ Ekstern vejleder: Preben Buchhave, DTU 14. november 007

2 Indhold 1 Indledning 6 Detektion af klassisk lys 9.1 Generelt om detektion af lys PIN-halvlederdioder Fotonstatistik Lysets kvantetilstande Kvantisering af det elektromagnetiske felt Focktilstanden Feltets kvadraturer Kvadraturbølgefunktionerne Den kohærente tilstand Støj i klassiske lysfelter Yderligere egenskaber ved den kohærente tilstand Den squeezede tilstand Muligheden for squeezing Den squeezede, kohærente tilstand Generelle egenskaber for den squeezede tilstand Detektion af ikke-klassisk lys Støjkilder Kvantestøj Støjens spektralfordeling i klassisk lys Termisk støj

3 INDHOLD støj ν 4.4 Laserstøj Støjens spektralfordeling i ikke-klassisk lys Det betragtede system Udledning af den spektrale fordeling Kvadraturfluktuationer i de interne felter Kvadraturfluktuationer i de eksterne felter Spektralfordelingen Analyse Maximal konversionseffektivitet Optimal pumpeeffekt Den eksperimentelle opstilling Den ulineære kavitet Fasetilpasning Modetilpasning Pumpelaseren Den diodepumpede ND:YAG-ringlaser Faradayisolatoren Servoløkker Termisk servoløkke Optisk servoløkke Det balancerede detektionssystem Spektrumanalysatoren Implementering af ændringer i opstillingen Pumpelaseren Ændringer i de optiske komponenter Detektorerne Resultater 99

4 4 INDHOLD 9 Konklusion 10 A Anden harmonisk generering 104 B Den elektrooptiske effekt 106 C Kredsløbsdiagram for detektorerne 109 D Billeder 110

5 Forord Dette speciale er en videreførelse af en eksisterende eksperimentel opstiling, komponeret og designet af Ulrik Lund Andersen i forbindelse med et eksamensprojekt på Danmarks Tekniske Universitet (afsluttet sept og videreført som Ph.D.- projekt). Da jeg startede overbygningsstudiet på Københavns Universitet, gik min interesse i retning af atom- og laserfysik eller en kombination af disse. Derfor kontaktede jeg AMO-fysikgruppen på Ørstedlaboratoriet og blev i den forbindelse introduceret til et projekt, som Winnie Svendsen, Ph.D. og lektor ved laboratoriet, arbejdede med. Indholdet i hendes projekt var hyperpolariserede gasser, dvs. polarisation af ædelgassers kernespin ved spinoverførsel fra optisk pumpede alkalidampe. Mit projekt skulle omhandle spinoverførsel mellem Cs og Xe, hvilket ikke tidligere var realiseret. Dette projekt kunne af tidsmæssige årsager desværre ikke gennemføres. Inden dette blev klart, havde Winnie Svendsen i mellemtiden haft et samarbejde med Preben Buchhave på Institut for Fysiks optikgruppe, DTU, om at bygge en diodelaser til den optiske pumpning af alkalidampene. Han havde f- lere projekter liggende indenfor ulineær optik og ét i kvanteoptik og var meget imødekommende, da jeg henvendte mig til ham og spurgte, om han var interesseret i at have en ekstern studerende på et af disse. Valget faldt på Ulriks projekt, der omhandlede frembringelse og anvendelse af ikke-klassisk lys, da det matchede mine hidtidige studier og interesser. Der var en masse nyt stof at sætte sig ind i, idet kvanteoptik er én ting i teorien og noget andet i praksis, og derudover var der det tidskrævende eksperimentelle arbejde. Tak til Preben Buchhave for fin og lærerig vejledning, til Jens Rahr, som byggede detektorer til opstillingen for anden gang, og ofte havde tid til en faglig diskussion vedr. det elektroniske apparatur. Tak til Søren Hjorth, som har lavet et stort og omhyggeligt arbejde med det optiske og elektroniske udstyr, og til optikgruppens øvrige medarbejdere, som bidrog med råd og vejledning i årets løb. Endelig tak til Ulrik Lund Andersen for godt kollegialt samarbejde og til Henrik Smith på Ørstedlaboratoriet, fordi han ville være min vejleder i forbindelse med dette speciale. 5 Steen Højrup

6 Kapitel 1 Indledning Det er en definitionssag at afgøre, hvornår kvanteoptikken blev født og specielt, hvornår den begyndte at interessere sig for ikke-klassisk lys. Kvantemekanikken var fra starten med M. Plancks kvantehypotese i 1900 koblet til spørgsmål om lysets natur, og fremskridtene fra udsprang fra analyser af atomare spektre. På trods af denne tidlige kobling mellem kvantemekanik og optik fortsatte dog den klassiske optik sin egen udvikling, idet optiske eksperimenter stadig kunne forklares ud fra de klassiske, Maxwell ske ligninger. Fra kvantemekanikkens fødsel interesserede man sig for fordelingen af fotoner i elektromagnetiske felter. I 1909 forsøgte G. I. Taylor at påvise kvanteeffekter ved Young s forsøg med enkelte fotoners interferens med sig selv, hvilket dog ikke lykkedes. Kvanteeffekter i lysfelter blev først konstateret i 1956, da R. H. Brown og R. W. Twiss [1] påviste, at fotoner i termiske (inkohærente) lysfelter ankommer to og to til en detektor med meget kort tidsinterval (super-poissonstatistik). I kohærente felter er fotoner ikke bundtet sammen to og to, men ankommer med tilfældige tidsintervaller (Poissonstatistik). Fotonstatistikken for termiske og kohærente felter kan begge forklares ud fra klassisk og kvantemekanisk teori. I sin Review artikel [] fra 1963 indførte R. J. Glauber den kohærente tilstand for et elektromagnetisk felt for i kvantefysiske termer at kunne redegøre for kvantiserede felter med op til uendeligt mange fotoner. Kvanteelektrodynamikken og teorien for kvantiserede felter havde indtil da kun kunnet operere med fotonfelter med få fotoner. Med den kohærente tilstand blev det muligt at redegøre for elektromagnetiske felters fotonstatistik fra en kvantemekanisk synsvinkel. Glauber forudsagde foton-antibunching, 1 som ikke kan udledes af den klasssiske elektromagnetisme, men er en ren kvantemekanisk effekt. Effekten blev først observeret eksperimentelt i 1977 af Kimble, Dagenais og Mandel [3]. Dette lange span i tid fra en forudsigelse til en eksperimentel verificering er symptomatisk for udvik- 1 Teksten i det følgende vil være iblandet engelske låneord, som vanskeligt lader sig oversætte til forståeligt dansk 6

7 lingen i kvanteoptikkens første tid, hvis man regner dens begyndelse fra Dirac s og Fermi s kvantefeltteori. Med laserens opfindelse i 1960 som en tilnærmelsesvis kohærent lyskilde, blev det muligt at bekræfte gamle teorier og skabe nye, og det kan med god ret siges, at moderne kvanteoptik først begyndte med laserens fremkomst. Armstrong et al. [4] redegjorde i 196 for forskellige optisk ulineære processer, der blev observeret ved lysfelter med høj intensitet, og som der idag arbejdes med verden over. Udover fotonstatistik har især spørgsmålet om ikke-klassiske tilstande af elektromagnetiske felter været genstand for mange overvejelser. Et klassisk felt kan splittes op i to komponenter, kvadraturfaser, med tidsafhængighed hhv. cos ωt og sin ωt. Et klassisk, kohærent felt har minimum fluktuationer i de to kvadraturer. Disse fluktuationer stammer fra vacuumfeltet. Vacuum er i denne sammenhæng et rum med nul fotoner. På trods af denne tilstand af rummet er der et felt til stede, som skaber fluktuationer i amplitude og fase i fotonfeltet. W. Pauli muliggjorde i 1933 [5] ud fra Heisenbergs ubestemthedsrelation, at fluktuationerne i én kvadratur kan bringes under minimumsstøjgrænsen fra vacuumfeltet på bekostning af en forøgelse af støjen i den anden kvadratur. Der findes mao. andre tilstande end kohærente tilstande for et strålingsfelt, der har minimum usikkerhed i amplitude og fase. Disse andre tilstande fik betegnelsen squeezede ( klemte ) tilstande, tofotontilstande eller generaliserede, kohærente tilstande. D. F. Walls [6] opstillede i 1983 betingelserne for frembringelse af squeezet lys. Der kræves en faseafhængig, optisk ulineær vekselvirkning og en fasefølsom detektionsmetode. Den første betingelse blev opfyldt med laserens opfindelse, og den fasefølsomme detektionsmetode blev foreslået af Yuen og Chan [7] samme år, som Walls skrev sin artikel, nemlig heterodyn og homodyn detektion. I 1984 præsenterede Gardiner og Collett [8] en generel metode til beregning af fotonstatistikken i kavitetsfelter og i alle typer ind- og udkoblede felter, inklusive squeezede felter. Med analogi i den statistiske fysiks teori om dæmpning af fysiske systemer opstillede de en metode til beregning af dæmpning i kvantemekaniske systemer vha. kvantemekaniske Langevinligninger. Squeezing ved optisk parametrisk forstærkning blev forudsagt af Yuen og Shapiro i 1979 [9]. Den største interesse samlede sig dog på denne tid om squeezing ved optisk firebølgeblanding. Den første observation af squeezing foretog Slusher et al. [10] i 1985 i AT & T Bell Laboratories netop ved anvendelse af optisk firebølgeblanding. De observerede 0 % eller ca. 1 db squeezing under vacuumstøjen. Wu et al. [11] observerede 50 % squeezing ved parametrisk nedkonvertering, som sker ved den optisk ulineære proces differensfrekvensgenerering. De anvendte en optisk parametrisk oscillator (OPO) med en MgO-doteret LiNbO 3 -krystal µm blev konverteret til 1.06 µm infrarødt lys og detekteret i en homodyn detektor, og der blev målt 50 % squeezing. De første beregninger af squeezing ved. harmonisk generering (den ulineære proces frekvensfordobling) præsenterede L. Mandel i 198 [1]. Seks år senere observerede S. F. Pereira et al. [13] ved denne metode 13 % eller 0.6 db squeezing i 7

8 8 KAPITEL 1. INDLEDNING det fundamentale felt med frekvensen ω i en traditionel kavitet med to fritstående spejle og med den optisk ulineære krystal LiNbO 3. Dette resultat blev forbedret af Sizmann et al. i 1990 [14], som anvendte en monolitisk kavitet, hvor begge spejle er pådampet krystallens endeflader for at reducere den mekaniske støj. De opnåede 19 % squeezing i det frekvensfordoblede lys. Kürz et al. [15] observerede i % squeezing i nogle få millisekunder i den. harmoniske bølge og i 1993 [16] 5 % i den fundamentale bølge. Alle ovennævnte resultater er opnået i kaviteter, der var resonante overfor både det fundamentale og det frekvensfordoblede felt. Da det er vanskeligt at stabilisere kavitetens længde, så begge felter er i resonans med kaviteten længere end 10 sekunder, fremstillede Paschotta et al. [17] i 1994 en enkeltresonant kavitet og opnåede 0 % squeezing i den. harmoniske bølge. Det squeezede felt var et lyst felt, dvs. det indeholdt mere end nogle få fotoner ( bright squeezing ). Den lave grad af squeezing skyldtes en bistabil effekt pga. termisk ustabilitet. Andre optisk ulineære krystaller end LiNbO 3 er anvendt. Tsuschida et al. [18] anvendte KNbO 3 og fik 4 % squeezing i en traditionel ringkavitet. Alle ovennævnte forsøg fremstillede squeezet lys i såkaldt cw-mode, dvs. med kontinuert strømmende fotonfelter. Der er udført flere forsøg med squeezing af pulsede felter, bl. a. Slusher et al. [19] (picosekund pulser) og Kumar et al. [0] (nanosekund pulser). Et fingerpeg om mulige anvendelser af ikke-klassisk lys kom i 1991, da Rosenbluh og Shelby [1] fremstillede squeezet lys i optiske fibre. Fox et al. [] frembragte i 1995 femtosekund pulset, squeezet lys i halvledermaterialerne ZnS og ZnSe ved at udnytte den optiske Kerr-effekt. Polzik et al. [3] observerede i 199 en øget følsomhed på 3.1 db under vacuumstøjgrænsen i spektroskopi på Cs-dampe med 3 % squeezet lys. Detektion med følsomheder under den grænse, som sættes af vacuumstøjen, åbner desuden mulighed for måling af gravitationsbølger, følsom polarisationsinterferometri [4], Mach-Zehnder interferometri [5], atomers vekselvirkning med squeezet lys til undersøgelse af resonansflourescens [6], lasere, pumpet med squeeezet lys [7] og QED med ikke-klasssisk lys [8]. I det foreliggende projekt anvendes som i [17] en halvt monolitisk, dvs. hemilitisk, kavitet til frembringelse af squeezet lys i cw-mode ved. harmonisk generering. Den optisk ulineære krystal, der anvendes, er ligeledes LiNbO 3. Lyset detekteres ved homodyn detektion. Kapitlerne 5 beskriver den teoretiske baggrund for frembringelse af ikke-klassisk lys, mens kapitlerne 6 8 beskriver det eksperimentelle arbejde, som sammenfattes i konklusionen i kapitel 9.

9 Kapitel Detektion af klassisk lys I dette kapitel vil jeg gennemgå principperne for måling og detektion af lys. I afsnit (.1) ses kort på detektion generelt og på nogle forskellige detektionsmetoder. I afsnit (.) gennemgås fysikken i den type detektor, som anvendes i dette eksperiment, og i afsnit (.3) udregnes den statistiske fordeling af energien i det kvantiserede elektromagnetiske felt. Først vil jeg her kort opregne nogle egenskaber ved lyset. I 1873 opsummerede James Clark Maxwell ( ) den indtil da kendte viden om lysets egenskaber i fire ligninger (Maxwellligningerne) og viste ud fra disse, at lys i klassisk forstand er en elektromagnetisk forstyrrelse (bølge), som udbreder sig gennem vacuum med hastigheden c = ms 1. Lys behøver ikke et medium at udbrede sig i, men er en selvstændig størrelse i lighed med materielt stof. Dette førte til forkastelse af æterteorien, som i en lignende form første gang blev lanceret af Aristoteles ( f. Kr.). Planks kvantehypotese (1900) og den fotoelektriske effekt, opdaget af Einstein (1905), gjorde det klart, at lys besidder en dualitet, en dobbelt natur af enten partikel eller bølge, afhængig af eksperimentet. Bølgeegenskaben dominerer, når en lysstråle passerer linser og spejle ved reflektion og brydning, når det passerer åbninger (aperturer) i optisk apparatur, og der derved opstår diffraktionsfænomener. Partikelegenskaben udtrykker, at det elektromagnetiske felt er kvantiseret i pakker af energi, fotoner, af størrelse ω, hvor = h/π, h = Plancks konstant, og ω = πν er feltets cykliske frekvens. Denne egenskab kommer til udtryk, når lyset rammer en detektor og frigør elektroner i detektoroverfladen, der registreres i et ydre kredsløb som et elektrisk signal. 9

10 10 KAPITEL. DETEKTION AF KLASSISK LYS.1 Generelt om detektion af lys Synligt lys ligger i det lille område af det elektromagnetiske spektrum mellem 380 og 770 nm. Fysiske målinger af lys, uden reference til øjets subjektive oplevelse, kaldes radiometri. Mht. måling af lysenergi skelnes der i litteraturen ([9], p. 10) mellem: 1. Exitans, målt i Watt pr. m, defineret som udstrålet effekt fra kilden pr. arealenhed: M e = dφ e da s. Irradians, målt i Watt pr. m, defineret som indstrålet effekt på detektoren pr. arealenhed: E e = dφ e da d 3. Radians, målt i Watt pr. m pr. sr, defineret som udstrålet effekt langs normalen til kilden pr. arealenhed og pr. rumvinkelenhed: L e = d φ e dωda cos θ Subskriptet e står for elektromagnetisk. Uden hensyn til lysets polarisation er den samlede indstrålede effekt på detektoren givet ved (fig..1 til venstre): d φ e = L dda s cos θ s da d cos θ d r (.1) Hvis lyset er tilfældigt polariseret, detekteres mest effekt, hvis kilde og detektor er vinkelrette på strålen. Da er φ = L da s A d r Hvis lyset er lineært polariseret, kan man detektere mest effekt ved at stille detektoren i Brewstervinkel i forhold til strålens retning (fig..1 til højre), idet Kilde L e θs r θd E e Detektor θ B Figur.1: Til venstre: geometrien i forholdet mellem kilde og detektor. Til højre: detektion af lineært polariseret lys under Brewsters vinkel.

11 .. PIN-HALVLEDERDIODER 11 da kun s-polariseret lys 1 vil reflekteres fra detektoroverfladen og gå tabt. Detektorer deles op i to kategorier: termiske detektorer kvantedetektorer Til den første gruppe hører bl.a. termokoblinger, hvor to forskellige metaller er føjet sammen således, at en temperaturstigning øger spændingsforskellen henover sammenføjningen. En termistor er en halvlederkomponent (NTC), hvor en stigning i temperaturen sænker modstanden og derved øger strømmen. Til den anden gruppe hører f.eks. fotomultiplikatoren, hvor en foton løsriver en elektron fra en katode. Elektronen accellereres af en spænding i størrelsesordenen nogle kv hen til en såkaldt dynode, hvor f.eks. tre nye elektroner rives løs. Disse fortsætter frem til den næste dynode, hvor ni elektroner rives løs. Hvis der er ti dynoder, bliver slutresultatet en ladning på Q = C = C Er detektionstiden 1 µsek, svarer det til en strømstyrke på 10 na, hvilket er fuldt tilstrækkeligt til at kunne måles. Avalanche halvlederdioden virker i princippet som et Geiger-Müller rør. En foton absorberes i et p-type doteret område (se nedenfor) mellem et n-type og p-type materiale. En elektron exciteres fra valensbåndet til ledningsbåndet. Spændingsforskellen i størrelsesordenen 00 V henover sammenføjningerne driver elektronen mod n-laget, og på vejen skal den gennem endnu et p-lag, og her skabes ved kollision med de bundne elektroner en byge (avalanche) af nye elektron-hul par. Elektronerne fortsætter mod n-laget, hvor de skaber et signal i et ydre kredsløb.. PIN-halvlederdioder Til kvantedetektorerne hører endelig PIN-halvlederdioden. Avalanche og PINfotodioder er de mest brugte halvlederdioder idag. I dette afsnit beskrives princippet i sidstnævnte, da det er denne type fotodiode, der anvendes i det foreliggende eksperiment. Halvlederdioder har klart de bedste egenskaber som: lille størrelse, lang levetid, god holdbarhed, lille effektforbrug, lavt støjniveau og stort spektralt responsområde ( nm). En PIN-diode består af tre områder: et p-type område, et n-type område og et intrinsisk område (fig..). Det intrinsiske område (fig.. b) består af rent Silicium (Si). Si-atomer har fire valens-elektroner, og krystalgitteret holdes sammen ved, at hvert Siatom deler elektroner med fire andre, så der er en fuld oktet om hvert atom. 1 hvor den elektriske feltvektor er vinkelret på indfaldsplanen

12 1 KAPITEL. DETEKTION AF KLASSISK LYS a) p-type Si Si Si Si Si Ga Si Si Si ε F L V b) intrinsisk Si Si Si Si Si Si Si Si Si ε F L V c) n-type Si Si Si Si As Si Si Si Si Figur.: Skitse af PIN-fotodiode før sammenføjning med krystalstruktur, ladningsfordeling og energidiagram for: a) p-type, b) det intrinsiske område og c) n-type krystal. ε F L V Sammenkædningen af atomerne i et gitter giver anledning til dannelse af et valensbånd V af energiniveauer, hvor valenselektronerne er bundne, og et ledningsbånd L af niveauer, hvor exciterede elektroner kan bevæge sig gennem krystallen som frie ladninger. Ved 0 F er Si en isolator, men da båndgabsenergien E g for Si kun er 1.11 ev, er stuetemperatur nok til at excitere termiske elektroner fra valensbåndet til ledningsbåndet og gøre det til en halvleder. Ligeledes kan en foton med energi ω > E g ved den fotoelektriske effekt excitere en elektron op i ledningsbåndet. Den exciterede elektron efterlader et hul i valensbåndet. Pga. krystalfelterne får elektron og hul effektive masser, m e og m h. Hvis m e = m h, kaldes elektronernes kemiske potentiale 3 µ for Fermienergien ε F. I rent Si ligger den præcis midt mellem valensbåndet og ledningsbåndet (fig.. b). Området i midten af det intrinsiske område, der er fattigt på frie ladninger, kaldes udtømningsområdet (depletion region). I p-type området (fig.. a) dopes en Si-krystal med atomer fra 3. hovedgruppe, f.eks. er Gallium (Ga) ofte anvendt. Denne doping får Fermienergien til at rykke tættere på valensbåndet. Ga har tre elektroner i yderste skal. Hvert Ga- energiforskellen mellem ledningsbånd og valensbånd 3 Gibbs fri energi pr. elektron, dw = µdn, dvs. den energi, der tilføres krystallen, når antallet af elektroner øges med én

13 .. PIN-HALVLEDERDIODER 13 p i n _ E Udgang R L E ε F + h ω > E g Eg L V V p i n s a) b) Figur.3: a) Skitse af PIN-fotodiode, b) energidiagram for V s = 0. x atom deler elektroner med fire Si-atomer. Den manglende valenselektron tages fra et nærliggende Si-atom således, at Ga-atomet får en bunden negativ ladning, fordi det oprindeligt var elektrisk neutralt. Si-atomet, der fik taget sin elektron, kan tage den manglende valenselektron fra endnu et naboatom. Til hvert Gaatom opstår dermed en fri +ladning. Disse frie, positive ladninger kaldes huller. I n-type området (fig.. c) sker den omvendte proces ved, at Si-krystallen dopes med atomer fra 5. hovedgruppe. Her er Arsen (As) ofte anvendt. Dette får Fermienergien til at rykke tættere på ledningsbåndet. Hvert As-atom deler elektroner med fire Si-atomer, men da As har fem elektroner at bidrage med, bliver den overskydende elektron løst bundet til As-atomet. Ved stuetemperatur er nogle af disse løst bundne elektroner frie ladninger. Doping med As øger dermed tætheden af frie ladninger, og As-atomet bliver selv en bunden -ladning. Når de tre områder sættes sammen, kaldes denne komponent en PIN-fotodiode (fig..3 a). I sammenstødszonerne p-i og i-n strømmer hhv. positive og negative ladninger ved diffusion ind i det intrinsiske område. I p-type området bliver der derved et overskud af bundne -ladninger, der får diffusionen af +ladninger til på et tidspunkt at stoppe, og der indstiller sig en ligevægt omkring sammenstødszonen. I n-type området øges antallet af bundne -ladninger, og en ligevægt indstiller sig. Der er altså opstået en potentialforskel mellem p- og n-området, som giver et internt E-felt fra n- til p-område. Potentialforskellen skyldes, at Fermienergien i p-type området ved sammenføjningen lægger sig i forlængelse af Fermienergien i n-type området, så der sker en modificering af ledningsbåndet og valensbåndet, som det er vist på fig..3 b). En spærrespænding V s (reverse bias) lægges henover en spærremodstand R L i serie med dioden med + ved n-type og ved p-type. Signalet tages ud ved n-type området henover spærremodstanden. Spærrespændingen uddyber potentialforskellen, idet der sker en adskillelse af Ferminiveauerne i p- og n-områderne (ikke vist). Når en indkommende foton nu rammer udtømningsområdet og exciterer en elektron op i ledningsbåndet, vil elektronen drive mod n-laget og hullet mod p-laget. Dette giver en strøm i det ydre kredsløb og et signal til udgangen. Udtømningsområdet er gjort så stort som muligt for, at så mange fotoner som

14 14 KAPITEL. DETEKTION AF KLASSISK LYS muligt skal ramme det. Dette vil forkorte den vej, elektronen og hullet skal tilbagelægge mod hhv. n- og p-området og dermed formindske diodens responstid og desuden mindske støjen i detektoren. Der er tre faktorer, der bestemmer frekvensområdet for detektoren ([30], p. 438): Diffusionstiden af ladningsbærerne, der skabes i p- og n-områderne Drifttiden af ladningsbærerne henover udtømningsområdet efter detektion af en foton Resistansen henover dioden er R d, og kapacitansen er C d. Da spærreresistansen R L er meget større end R d, kan detektorens reponstid skrives som τ d = R L C d Disse tre faktorer giver detektoren en karakteristisk responstid τ og et frekvensområde ν = 1 for detektoren. Ved at regulere på V τ s kan man ændre detektorkapacitansen C d og dermed til en vis grad forbedre responstiden. De eneste ulemper er dels, at det kan øge mørkestrømmen 4 og detektorstøjen dels, at dioden ødelægges ved for lille spærrespænding..3 Fotonstatistik Med en fotodetektor er det i princippet muligt at tælle enkelte fotoner. I en ideel fotodetektor exciterer hver foton netop én elektron. Ved at tælle antallet af fotoelektroner tæller man da antallet af fotoner. Apparatur til dette formål anvendes bl.a. til måling af fotoluminescens, hvor det ofte er meget små intensiteter, man måler (nogle få fotoner i sekundet). Netop kun ved meget små intensiteter er det muligt for en kvantedetektor at opløse signalet i enkelte fotoner, da der er lille sandsynlighed for at tælle to fotoner samtidigt. Ved høje intensiteter er det ikke muligt for selv den bedste kvantedetektor at opløse i enkelte fotoner. I dette afsnit vil jeg udlede den statistik, der gælder for både svage og stærke, klassiske, kohærente felter, dvs. den måde fotonerne fordeler sig på i tid, når de ankommer til detektoren. Til dette gør jeg den antagelse, at sandsynligheden for i tiden t at løsrive 1 elektron fra detektoroverfladen er ([31], p. 444) p(t) = αi(t) t (.) Her afhænger α af detektorens kvanteeffektivitet η, defineret som det gennemsnitlige antal emitterede fotoelektroner pr. indkommende foton. For en ideel detektor er η = 1, og (.) er så sandsynligheden for i tiden t at detektere én foton. I 4 den strøm, der løber i detektoren, når den ikke bestråles

15 .3. FOTONSTATISTIK 15 realiteten er η et tal mellem 0 og 1 og afhænger af fotonfrekvensen, fotokatodens overflade, tætheden af donoratomer i halvledermaterialet og størrelsen af det aktive område af detektorfladen. Antag, at vi i tidsintervallet [0, T ] observerer n fotoner. Antag desuden, at lyset har konstant intensitet I og, at intervallet [0, T ] deles op i N delintervaller t, der er så små, at der observeres 1 foton i et delinterval. Formel (.) kan så skrives p = αit N λ N (.3) Sandsynligheden P n (T ) for i tiden T at detektere n fotoner er lig med sandsynligheden for i tiden T at observere 1 foton i n delintervaller, hvilket igen vil sige, at der skal vælges n delintervaller af N mulige, hvor en foton enten detekteres eller ikke detekteres (binomialfordeling). Desuden er detektion af hver to fotoner uafhængige hændelser. Dvs., P n (T ) er P n (T ) = ( N n ) ( λ N ) n ( 1 λ N ) N n (.4) Vi har antaget, at intensiteten I er konstant. Det vil sige, at λ er konstant. Antages, at N er stor, hvilket er rimeligt for de fleste klassiske fotonfelter, er p lille. Vi kan derfor anvende, at binomialfordelingen kan approximeres med Poissonfordelingen, idet Altså er P n (T ) λn n! e λ for N P n (T ) [αit ]n e αit (.5) n! Approximationen gælder med god tilnærmelse, hvis blot N 10, dvs. for klassiske felter kan erstattes med =. Vi kan nu bestemme det gennemsnitlige antal talte fotoner n : n = np n (T ) = αit (.6) n=0 αi er Poissonprocessens intensitet eller det gennemsnitlige antal fotoexcitationer pr. tidsenhed. Ganget med observationstiden T fås middeltallet af ankommende fotoner. Altså er sandsynligheden for i tiden T at tælle n fotoner lig med P n (T ) = n n e n (.7) n! Det andet moment af fotontallet er n = n P n (T ) = n + n n=0

16 16 KAPITEL. DETEKTION AF KLASSISK LYS Variansen af fotontallet kan derefter udregnes til n = n n = n For et klassisk fotonfelt gælder altså, at middelspredningen af antallet af fotoner, der rammer en detektor, er n = n (.8) Denne størrelse repræsenterer en støj i fotonfeltet, som forplanter sig til detektoren og giver støj i detektorsignalet. I et optisk signal med n fotoner repræsenterer dette den mindst opnåelige støj i detektoren, da den knytter sig til selve fotonfeltets statistik og ikke til støj fra optiske komponenter. Denne støj kaldes i det følgende kvantestøj (shot noise) til forskel fra klassisk støj. Den har sit ophav i de såkaldte kvantefluktuationer eller vacuumfluktuationer, som findes i vacuumfeltet. Dette er nærmere beskrevet i afsnit Med en detektor, perfekt fri for klassisk støj, er (.8) også den nedre grænse for detektorens signal/støjforhold 5, i det følgende refereret til som kvantestøjgrænsen for detektoren: SNR = n n = n n = n Detektiviteten D for en detektor er det reciprokke af den mindst detekterbare effekt NEP : D = 1 NEP NEP kaldes også Noise Equivalent Power, og er altså den lysintensitet, der kræves, for at fotostrømmen netop er lig med fotodiodens egenstøj, eller, for at signal/støjforholdet SNR er lig med 1. I en ideel, støjfri detektor er NEP lig med kvantestøjen fra vacuumfeltet, og detektoren er kvantestøjbegrænset. 5 SNR = signal støj

17 Kapitel 3 Lysets kvantetilstande I dette kapitel vil vi se på, hvordan lysets kvantetilstande kan beskrives. Et elektromagnetisk felt beskrives ved Focktilstanden n og ved den kohærente 1 tilstand α, også kaldet en Glaubertilstand. Her er n = 0, 1,,... antallet af fotoner, og α er feltets klassiske amplitude. Da der her benyttes detektorer, der registrerer enkelte fotoner, er der behov for at kvantisere det elektromagnetiske felt for på kvanteniveau at kunne beskrive vekselvirkningerne mellem detektorerne og lyset (afsnit 3.1). Da squeezing er en ren kvanteeffekt, følger i afsnit 3.3 en beskrivelse af kvantetilstanden af et klassisk felt og i afsnit 3.4 af kvantetilstanden af et ikke-klassisk felt. 3.1 Kvantisering af det elektromagnetiske felt Kvanteteorien for det elektromagnetiske felt tog sin begyndelse med Paul Dirac (197) og Enrico Fermi (193), og der nævnes i litteraturen mange grunde til, at det er nødvendigt at kvantisere feltet. Den måske vigtigste er opdagelsen af vacuumfeltet, som forårsager små ændringer i elektronbanen ( Zitterbewegungen ) og det deraf følgende Lambskift på 1057 MHz i brintspektret. De små perturbationer af elektronens banebevægelse forklarer også det spontane henfald for en atomar elektron i en exciteret tilstand. Kvantiseringsproceduren tager sin begyndelse med bølgeligningen for det elektriske og magnetiske felt. Jeg benytter princippet i [3], men i stedet for at bruge bølgeligningen for A-feltet som udgangspunkt, benyttes bølgeligningen for E- feltet. Lad B og H være hhv. den magnetiske fluxtæthed og den magnetiske feltstyrke, lad D og E være hhv. den elektriske fluxtæthed og den elektriske 1 to felter er kohærente, hvis deres faser har et konstant forhold 17

18 18 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE feltsyrke. Anvendes Maxwellligningerne E = B t sammen med materialeligningerne og H = D t B = µ H, D = ε E, og µ ε = c får man: hvor der desuden er anvendt ligheden ( E) E + 1 c E t = 0 E = ( E) E I Coulombgauge er E = 0, så bølgeligningen for E-feltet bliver: E 1 c E t = 0 Denne bølgeligning viser, at det elektriske felt er en bølge, der udbreder sig i vacuum med hastigheden c = ms 1. I en kavitet med sidelængden L og volumen V = L 3 kan feltet beskrives ved en højre- og en venstregående bølge: E( r, t) = E ( ) ( r, t) + E (+) ( r, t) E-feltet rækkeudvikles som følger (for den højregående bølge): E ( ) ( r, t) = 1 a kˆε L 3/ k e i( k r ω kt) a k u k ( r)e iω kt k hvor a k er komplekse amplituder, ˆε k er feltets polarisationsretning, og u k ( r) = 1 L 3/ ˆε k e i k r er komplekse funktioner, som afhænger af grænsebetingelserne. De er normaliserede: u k ( r) u k ( r)d r = δ k k (3.1) Det elektriske felt kan nu skrives V k E( r, t) = k ( ω k ε ) 1/ ( a k u k ( r)e iω k t + a k u k ( r)e iω k t ) (3.)

19 3.1. KVANTISERING AF DET ELEKTROMAGNETISKE FELT 19 hvor normaliseringen er valgt sådan, at amplituderne a k og a k er dimensionsløse. Ved differentiation én gang efter t og multiplikation med ε, fås ved anvendelse af den anden Maxwellligning side 18: H = iε k ( ω k ε V ) 1/ ω kˆε k ( a k e i( k r ω k t) a k e i( k r ω k t) ) Jeg vælger nu efter inspiration fra [33] en bølge, som propagerer i z-retningen og er polariseret i x-retningen. E-feltet får da formen: E x (z, t) = j ( ωj ε ) 1/ ( aj u j (z)e iω jt + a ju j(z)e iω jt ) (3.3) hvor summen er over den j te mode, repræsenteret ved z-komposanten k z,j af den j te k-vektor. H-feltet er polariseret i y-retningen og bliver derfor: H y (z, t) = j ( ωj µ ) 1/ ( aj u j (z)e iω jt + a ju je iω jt ) (3.4) Hamiltonfunktionen (energien) for det elektromagnetiske felt er H = 1 (ε E x + µ H y )d r V Integrationen udføres ved, at ligningerne (3.3) og (3.4) indsættes, og normaliseringen (3.1) benyttes. Jeg får derefter: H = 1 ω j (a ja j + a j a j) j Kvantiseringen består nu i at erstatte Hamiltonfunktionen H med Hamiltonoperatoren Ĥ og amplituderne a j og a j med operatorerne â j og â j. For disse gælder kommutatorrelationen for Bosepartikler (fotoner har spin 1): [â j, â j ] = δ jj, dvs. â j â j = â jâj + 1 for j = j (3.5) Hamiltonoperatoren for det elektromagnetiske felt bliver da Ĥ = j ω j (â jâj + 1 ) (3.6) Ĥ i (3.6) er også Hamiltonoperatoren (energioperatoren) for den kvantemekaniske, harmoniske oscillator, hvor â jâj ˆn j er antalsoperatoren (jfr. næste afsnit).

20 0 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE Dette indikerer, at hver svingningstilstand (mode) i feltet er ækvivalent med en harmonisk oscillator med frekvensen ω j, som også argumenteret af Planck, og, at feltet kan anskues som bestående af uendeligt mange, uafhængige harmoniske oscillatorer. Egentilstanden for Hamiltonoperatoren i (3.6) er multimode Focktilstanden {n} = n 1, n,.... Tallene n j angiver befolkningstallet (antallet af fotoner) i den j te mode. Energien i feltet er E = j n j Ĥ n j = j ( nj ω j + 1 ω j) dvs. en sum af to komponenter: 1. led, fotonfeltet, og det. led for n j = 0, vacuumfeltet. Det vil sige, at for hver mode er der i vacuumtilstanden, når alt lys er slukket, og det betragtede volumen er tømt for fotoner, et felt til stede med det halve af en fotons energi. I praksis vil vi kun komme til at arbejde med enkeltfrekvente felter. Derfor udelades i det følgende fodtegn j. Fra ligning (3.6) kan vi derfor skrive Hamiltonoperatoren for det kvantiserede felt som med forventningsværdien Ĥ = ω(ˆn + 1 ) (3.7) E n = ω( n + 1 ) (3.8) 3. Focktilstanden Focktilstanden n er egentilstand for antalsoperatoren ˆn således, at ˆn n = n n, hvor (3.9) ˆn = â â Ved hjælp af ligning (3.5) og (3.9) viser vi nu, at som n er en egentilstand for antalsoperatoren ˆn, således er â n og â n det også. Sæt n φ n, så er Virkes med ˆn på âφ n, fås: ˆnφ n = nφ n (3.10) ˆnâφ n = (â â)âφ n = (ââ 1)âφ n = â(â â 1)φ n = â(ˆn 1)φ n = (n 1)âφ n

21 3.. FOCKTILSTANDEN 1 Altså er âφ n egentilstand for ˆn med egenværdi (n 1). I analogi med (3.10) kan vi skrive På samme måde fås ˆnφ n 1 = (n 1)φ n 1 med (3.11) φ n 1 = âφ n (3.1) ˆnâ φ n = (n + 1)â φ n Altså er â φ n egentilstand for ˆn med egenværdi (n + 1). I analogi med ligning (3.10) og (3.11) kan vi skrive ˆnφ n+1 = (n + 1)φ n+1 med φ n+1 = â φ n (3.13) Ligningerne (3.1) og (3.13) sammenfattes nu til følgende to ligninger: â n = c 1 n 1 â n = c n + 1 Normaliseringskonstanterne c 1 og c findes ved at benytte omskrivningerne n 1 = â c 1 n og n + 1 = â c n sammen med normaliseringsbetingelserne Dette giver 1 = n 1 n 1 = n + 1 n + 1 â n = n n 1 og (3.14) â n = n + 1 n + 1 (3.15) Af denne grund kaldes â for hæve- eller skabelsesoperatoren og â for sænke- eller annihilationsoperatoren. De kan udtrykkes ved sted- og impulsoperatorerne, ˆq og ˆp, for den harmoniske oscillator ved ([34], p. 191): â = eller omvendt: mω ( ) ˆp ˆq i mω og â = mω ( ) ˆp ˆq + i mω ˆq = 1 (â + â ), og ˆp = i 1 mω(â â) (3.16) mω

22 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE 3..1 Feltets kvadraturer Med = m = ω = 1 kaldes de dimensionsløse størrelser ˆq = 1 (â + â), og ˆp = i 1 (â â) (3.17) for feltets kvadraturer. ˆq og ˆp kan tolkes som generaliserede koordinater (position og impuls) for den elektromagnetiske oscillator med [ˆq, ˆp] = i I tilknytning til disse defineres kvadraturtilstandene q og p (de generaliserede egentilstande) for sted og impuls ved ˆq q = q q, ˆp p = p p De er ortogonale og normaliserede med en δ-funktion og er hinandens Fouriértransformerede. Da kvadraturerne kan ses som generaliserede koordinater, kan de skrives ˆX 1 = 1 (â + â) og ˆX = i 1 (â â) (3.18) Med en enkelt mode kan feltet (3.) skrives ([33], p. 61) ˆ E(t) = E ˆε k (âe i( k r ωt) + â e i( k r ωt) ) Indsættes â og â udtrykt ved ˆX 1 og ˆX fås: ˆ E(t) = ˆε k E [ ˆX 1 cos( k r ωt) + ˆX sin( k r ωt)] Det elektriske felt kan altså ses som sammensat af to komponenter (kvadraturer) med amplituderne ˆX 1 og ˆX, som er forskudt π/ i fase. Vi kan udnytte, at Hamiltonoperatoren (3.7) kan udtrykkes ved ˆq og ˆp: Ĥ = ˆn + 1 = â â + 1 = ˆq + ˆp (3.19) til at argumentere for, at der kun er heltallige fotontal ([35], p. 0). Antag, at der findes halvtallige fotontal n. Anvendelse af (3.14) k gange giver Der findes nu et k således, at â k n = C n k n = n k < 1.

23 3.. FOCKTILSTANDEN 3 Men den harmoniske oscillators Hamiltonoperator giver, at Ĥ = ˆn + 1 = ˆq + ˆp ˆq n = ˆn = + ˆp 1 > 1 Dette er en modsigelse. Altså findes der kun heltallige fotontal. Det er altså ikke muligt at detektere fotonenergier mindre end Planck s virkningskvant ω. Af (3.19) følger endvidere til senere brug (afsnit 3.4, side 33), at der er samme antal fotoner, nemlig n + 1, i de to kvadraturer, idet ˆq + ˆp = ( ˆn + 1 ) = (n + 1 ), dvs. ˆq = ˆp = n + 1 (3.0) 3.. Kvadraturbølgefunktionerne Ret beset er det ikke kvadraturtilstandene man måler med sin detektor og heller ikke Focktilstandene. Hvad man måler, er absolutkvadraterne Ψ(q) og Ψ(p) af kvadraturbølgefunktionerne Ψ(q) = q ψ og Ψ(p) = p ψ som altså er koordinatrepræsentationerne af den rene tilstand ψ. Her betegner ψ tilstanden af fotonfeltet og kan være Focktilstanden n eller en kohærent tilstand α. Absolutkvadraterne Ψ(q) og Ψ(p) er sandsynlighedsfordelingerne for q og p med feltet i tilstanden ψ. Målingerne af disse ved balanceret homodyn detektion gøres der rede for i afsnit 3.5, side 46. Det nævnte bevis for, at der kun er heltallige fotontal n, giver faktisk mere, nemlig, at n > 1 Det betyder, at egentilstande φ n for antalsoperatoren ˆn og dermed for Hamiltonoperatoren ˆn + 1 for n < 1 forsvinder: Videre gælder φ 1 = â 0 = 0, (3.1) φ = â 1 = 0 osv. ˆn 0 = â â 0 = 0 = 0 0

24 4 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE hvor 0 er vacuumtilstanden med 0 fotoner tilstede. Udtrykt ved ˆq og ˆp giver (3.17), at â = 1 (ˆq + iˆp), og (3.) â = 1 (ˆq iˆp) (3.3) Idet vi benytter (3.1) og (3.), søges et udtryk for kvadraturbølgefunktionerne ψ n (q) = q n og ψ n (p) = p n (3.4) (3.) indsættes i (3.1) med iˆp =, og der fås: q â 0 = 1 (ˆq + iˆp) 0 = 1 ( ˆq + q Virkes med q fra venstre, fås ( 1 q + ) ψ (q) = 0 q idet ˆq er hermitesk. Denne ligning har løsningen ψ (q) = A e q / ) 0 = 0 Normaliseringsbetingelsen ψ (q) dq = 1 giver A = π 1/4, dvs. ψ (q) = π 1/4 e q / (3.5) (3.6) På tilsvarende måde vises, at der findes en funktion magen til for ˆp-kvadraturen, hvor q er erstattet med p. Der findes altså pæne tilstandsfunktioner, der repræsenterer vacuumtilstanden. Funktionerne for den n te tilstand fås ved at virke med hæveoperatoren â n gange på vacuumtilstanden 0. Dette giver Indsættes (3.3), får man n = 1 n n! eller ved at virke med q fra venstre ψ n (q) = ψ n (q) = n = (â ) n n! 0 (3.7) 1 n n! 1 n n! π ( ˆq q ) n 0 ( q ) n ψ 0 (q) q ( q ) n e q / q

25 3.3. DEN KOHÆRENTE TILSTAND 5 Den n te ordens differentialoperator ( q q) n, virkende på eksponentialfaktoren e q /, frembringer samme eksponentialfaktor multipliceret med et n te grads polynomium. Disse polynomier er Hermitepolynomierne H n (q). Vi kan derfor skrive ψ n (q) = A n H n (q)e q / med (3.8) A n = 1 n n! π (3.9) Ved anvendelse af â n 1 = n n samt (3.3), finder man rekursionformlen ψ n (q) = 1 ( q ) ψ n 1 (q) (3.30) n q Indsættes derefter (3.8) i (3.30), findes en rekursionsformel for Hermitepolynomierne: H n (q) = qh n 1 (q) H n 1(q) (3.31) Ved sammenligning af (3.6) og (3.8) for n = 0 ses, at H 0 (q) = 1 (initiering) (3.3) De fire understregede ligninger gør det muligt rekursivt at opskrive kvadraturbølgefunktionerne op til vilkårlig orden n. 3.3 Den kohærente tilstand Kvantiseringen af det elektromagnetiske felt betyder, at det elektriske felt E( r, t) i (3.) er en feltoperator ˆ E( r, t). Da [ Ĥ, ˆ E] 0, er Focktilstandene som basistilstande for Ĥ ikke passende basistilstande for ˆ E. For at skabe korrespondens til den klassiske kohærensteori søger vi egentilstande for feltoperatoren ˆ E( r, t), hvis egenværdier er størrelsen E( r, t), dvs. amplituden, af det klassiske felt. Eller generelt: hvis et klassisk, elektromagnetisk felt har amplituden α, vil vi definere feltets kvantetilstand α ved egenværdiligningen â α = α α (3.33)

26 6 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE hvor â er amplitudeoperatoren eller annihilationsoperatoren for feltet, og α kaldes en kohærent tilstand. Da â â, er â ikke Hermitesk og dens egenværdier derfor komplekse tal. Fastlæggelsen af feltets kvantetilstand ved amplitudeoperatoren for den negative feltkomponent er et arbitrært, men dog det mest hensigtsmæssige valg. I princippet kunne man også vælge den positive komponent og den Hermitesk konjugerede amplitude â. Vi søger mao. egentilstande for amplitudeoperatoren â. Klassiske felter kommer fra klassiske strømtætheder J( r, t), hvor J ikke er en operator. Operatoren for E-feltet i Coulombgauge ( φ = 0) skrives ([33]): ˆ E( r, t) = ˆ A t hvor ˆ A er operatoren for vektorpotentialet. Heraf fås Anvendes ligning (3.) d ˆ A = ˆ A t dt = ˆ E( r, t)dt ˆ E( r, t) = k ˆε k E k â k e i( k r ω k t) + H.c. får vi med E k = t ˆ A( r, t) = 0 = 1 i ( ω k ε V ˆ E( r, t)dt = t ) 1/ k 1 ω k ˆε k E k â k e i( k r ω k t) + H.c. 0 ˆε k E k â k e i( k r ω kt) dt + H.c. k Her står H. c. for Hermitesk konjugeret. Vekselvirkningen mellem felt og strømtæthed beskrives ved Hamiltonoperatoren i vekselvirkningsbilledet ˆV (t) = J( r, t) ˆ A( r, t)d r 1 = i J( r, t) ˆε k E k â k e i( k r ω k t) d r + H.c. (3.34) ω k k Tilstandsvektoren for systemet strøm felt er givet ved den tidsafhængige Schödingerligning i vekselvirkningsbilledet: i d dt ψ(t) = ˆV (t) ψ(t)

27 3.3. DEN KOHÆRENTE TILSTAND 7 der kan skrives på formen d dt ψ(t) + i ˆV (t) ψ(t) = 0 Da Â( r, t) og dermed ˆV (t) ikke kommuterer med sig selv til forskellige tider t og t, kan denne ligning ikke umiddelbart løses formelt som en 1. ordens differentialligning. De forskellige kommutatorer, involveret i løsningen, introducerer imidlertid blot en fasefaktor, som der kan ses bort fra. Vælges ψ(0) = 0, fås ( ψ(t) = exp i t ˆV (t )dt ) 0 (3.35) Ved at indsætte (3.34) i (3.35) giver eksponentialfaktoren: ( exp i t ) ˆV (t )dt = 0 ( exp i t { dt 1 i J( r, t ) ˆε k E k â k e i( k r ω k t ) d r + 0 ω k k }) 1 i J( r, t ) ˆε k E k â ω k e i( k r ω k t ) d r k k Vi antager, at summerne er konvergente, så sum og integral kan ombyttes, og sætter α k = E t k dt J( r, t ) ˆε k e i( k r ω k t ) d r ω k 0 0 Derved får vi ( exp i t ) ˆV (t )dt 0 ( ) = exp (α k â k α k â k ) k = k e α k â k α k â k Indsættes dette i (3.35), fås ψ(t) = k e α k â k α k â k 0 Vi vil kalde dette en multimode, kohærent tilstand for det klassiske felt. Det er en produkttilstand ψ(t) = {α k } af single mode, kohærente tilstande α = e αâ α â 0 (3.36)

28 8 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE På den anden side definerede vi i (3.33) α som egentilstand for annihilationsoperatoren: â α = α α Da Focktilstandene { n } er en komplet basis, kan en kohærent tilstand α udtrykkes ved en superposition af disse: α = c n n n=0 Virkes herpå n gange med â, finder man, at c n = αn n! c dvs. α = n=0 α n n! c n Konstanten c findes ved normalisering: α α = 1, hvorefter vi får: Vi kan nu indsætte (3.7) og få Da α = e α / n=0 α = e α / e αâ 0 α n n! n (3.37) â 0 = α â 0 = 0 0, så er e α â 0 = 1 0 = 0, dvs. α = e α / e αâ e α â 0 Til sidst benyttes Baker-Hausdorff s formel e [Â, ˆB]/ eâe ˆB = eâ+ ˆB med  = αâ og ˆB = α â så vi til sidst får α = e αâ α â 0 hvilket er identisk med (3.36). For at opsummere: det samme udtryk for den kohærente tilstand α af det

29 3.3. DEN KOHÆRENTE TILSTAND 9 elektromagnetiske felt er opnået på to måder. Det er kvantetilstanden af et felt med amplituden α, der frembringes af en klassisk strømtæthed. Da bølgeaspektet ved elektromagnetiske felter hører til i klassisk optik, er den kohærente tilstand det tætteste, man kommer en klassisk tilstand. Lys i kvantetilstanden α kan derfor betegnes som klassisk lys. På den anden side skaber definitionen af den kohærente tilstand som egentilstand for annihilationsoperatoren den nødvendige korrespondens mellem det kvantiserede felt med egentilstand n og det klassiske bølgefelt, idet dette kan udtrykkes ved en superposition af Focktilstande. Det frembringer i næste instans samme udtryk (3.36) for den kohærente tilstand. Det giver derfor mening at definere α som egentilstand for annihilationsoperatoren Støj i klassiske lysfelter Et klassisk bølgefelt har amplitude α og fase arg α. Elektromagnetiske felter indeholder imidlertid fluktuationer (støj) i amplitude og fase af hovedsagelig to typer: klassisk støj og kvantestøj. Fluktuationer opstår ved, at felt + kavitet, betragtet som system, afgiver energi til omgivelserne og derved undergår et e- nergitab, dissipation. Samtidig virker omgivelserne på systemet på en kaotisk måde, der skaber fluktuationer i dette. Klassisk støj i amplituden kan f. eks. skyldes, at ydre påvirkninger skaber mekaniske vibrationer i spejle og andre optiske komponenter, at populationsinversionen i lasermediet fluktuerer (jfr. afsnit 4.4 om laserstøj) og, at den termiske bevægelse af ladningsbærerne skaber fluktuationer i detektorstrømmen (jfr. afsnit 4. om termisk støj). Klassisk fasestøj skyldes kollisioner mellem atomerne i lasermediet, som forårsager spring i fasen af den harmoniske oscillator (dephasing collisions). Klassisk støj kan delvis elimineres ved passende foranstaltninger i den eksperimentelle opstilling, hvilket der redegøres nærmere for i kapitel 7 og 8. Derimod er det ikke muligt at eliminere kvantestøjen. Som omtalt i afsnit.3, skyldes denne type støj feltets kvanteegenskaber. Kvantestøj er dels haglstøj (shot noise), der afhænger af selve den måde fotonerne statistisk er fordelt på i feltet, dels vacuumfluktuationer, der stammer fra vacuumfeltet. Man kan vise, at amplitude og fase er konjugerede variable ˆq og ˆp. Squeezing af feltet går ud på at klemme på, dvs. formindske, støjen enten i amplitude (amplitudesqueezing) eller i fase (fasesqueezing), jfr. afsnit 3.4.3, side 39. Da amplitude og fase er konjugerede variable vil, i henhold til Heisenbergs ubestemthedsrelation q p 1, (3.38) mindre usikkerhed i amplituden betyde øget støj i fasen og omvendt. Før jeg i afsnit (3.4) går over til at se på muligheden for ikke-klassisk, dvs. jfr. Bohrs korrespondensprincip

30 30 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE squeezet lys, som ikke kan frembringes ved en superposition af kohærente tilstande, vil jeg vise, at kohærente felter, f. eks. laserfelter, har støjegenskaber fælles med vacuumfeltet. Jeg starter med at vise, at operatoren ˆD(α) = e αâ α â (3.39) har alle egenskaberne for en forskydningsoperator ([33]). Den vigtigste egenskab er, at operatoren ˆD(α) er unitær, idet ˆD (α) = (e αâ α â) = e α â αâ = (e αâ α â) 1 = ˆD 1 (α) Ved i (3.39) at erstatte α med α ses, at Ved desuden at benytte lighederne ˆD( α) = ˆD 1 (α) e αâ ˆBe αâ = ˆB α 1! [Â, ˆB] + α! [Â, [Â, ˆB]] + α3 3! [Â, [Â, [Â, ˆB]]] +... og e αâ ˆBe αâ = ˆB + α 1! [Â, ˆB] + α! [Â, [Â, ˆB]] + α3 3! [Â, [Â, [Â, ˆB]]] +... finder man ved simple udregninger, at ˆD (α)â ˆD(α) = â + α, og (3.40) I ligning (3.37) så vi, at ˆD (α)â ˆD(α) = â + α (3.41) α = ˆD(α) 0 hvoraf sluttes, at ˆD( α) α = 0 da ˆD(α) er unitær. Ovenstående betragtninger beviser, at ˆD(α) er en forskydningsoperator, der forskyder amplituden â stykket α, og, at kohærente tilstande er forskydninger af vacuumtilstanden, dvs. af grundtilstanden for den harmoniske oscillator. I detektorerne er det imidlertid ikke tilstanden α, man måler, men fordelingerne ψ α (q) og ψ α (p) af kvadraturerne ˆq og ˆp. Det er koordinatrepræsentationerne q α og p α af den kohærente tilstand. Sammen med (3.) og (3.3) indsættes α på formen α = 1 (q + ip ) i (3.39). Derved omskrives forskydningsoperatoren til ip ˆq iq ˆp ˆD(α) = e

31 3.3. DEN KOHÆRENTE TILSTAND 31 eller med Baker-Hausdorff s formel: ˆD(α) = e iq p / e ip ˆq e iq ˆp Virkes med denne operator på vacuumtilstanden ψ (q), ligning (3.6), fås: ψ α (q) = π 1/4 exp ( (q q ) / iq p / + ip q ), og (3.4) ψ α (p) = π 1/4 exp ( (p p ) / ip q / + iq p ) Her fungerer e iq ˆp som forskydningsoperator, idet e iq ˆp ψ (q) = ψ (q q ) hvilket ses ved at rækkeudvikle exp-funktionen på venstre side med iˆp = q. (3.4) viser, at ψ α (q) netop er vacuumbølgefunktionen ψ (q), forskudt stykket q til ψ (q q ), bortset fra en fasefaktor. Fordelingerne ψ (q) og ψ (q q ) har samme form, nemlig gaussisk, og samme bredde q. 3 Dvs., at den forskudte vacuumtilstand bevarer sin form under flytningen. Fysisk betyder dette, at kvantestøjen q i den kohærente tilstand og i vacuum er ens, hvilket afspejler, at det er vacuumfeltet, der er årsag til fluktuationerne i kvadraturerne ˆq og ˆp. Uden disse kvantefluktuationer ville et kohærent felt være en pæn, klassisk sinusbølge, uden usikkerhed i kvadraturerne. Men dette er i modstrid med Heisenbergs ubestemthedsrelation. Vacuumfeltet er derfor med til, at denne ikke brydes ved, at det er overlejret den klasssiske bølge og gør bestemmelsen af såvel amplitude som fase usikker (fig. 3.1). Figur 3.1: Kvadraturfluktuationer for vacuum (øverst) og en kohærent tilstand (nederst). Vaccumfeltet overlejrer det klassiske, elektromagnetiske felt (nederst), som giver det en ubestemthed i amplitude og fase (kilde: [35], p. 47, fig.3.) 3 Bredden q af en gausskurve defineres som forskellen mellem de punkter q 1 og q, hvis funktionsværdier ψ(q 1 ) og ψ(q ) er 1 e -del af kurvens maximum.

32 3 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE Energien af et kohærent felt vil som følge af denne overlejring have to bidrag, et fra fotonfeltet og et fra vacuumfeltet, analogt med energien i Focktilstanden. Idet Ĥ = â â + 1 ( = ω = 1) fås E α = α Ĥ α = α + 1 (3.43) Det første led er bidraget fra det klassiske, kohærente felt, det andet er energien af vacuumfluktuationerne. At der er korrespondens mellem det klassiske og det kvantiserede felt, ses ved at beregne sandsynligheden for at finde n fotoner i den kohærente tilstand α. Af (3.37) findes: p(n) = n α = e α / n=0 α n n! = α n n=0 n! e α hvilket netop er Poissonfordelingen med parameter α. I afsnit (.3) så vi, at klassiske fotonfelter kendetegnes ved at have denne fordeling af fotonerne. Ved sammenligning med (.7) ses, at α = n. Ligning (3.43) kan derefter skrives E α = n + 1 som iflg. ligning (3.8) er identisk med energien af feltet, når det er i Focktilstanden n. Beskrivelsen af et elektromagnetisk felt som et felt i en kohærent tilstand α og som et kvantiseret felt, bestående af i dette tilfælde en enkelt harmonisk oscillator, er altså ækvivalente Yderligere egenskaber ved den kohærente tilstand Da de kohærente tilstande er defineret som egentilstande for en ikke-hermitesk operator, har de nogle egenskaber, som er noget forskellige fra en ortonormal basis af egenvektorer: 1. Kohærente tilstande er dog normaliserbare, og der gælder 1 α α d α = 1 (3.44) π hvor integralet er over hele den komplekse plan. Dette vises (gøres ikke her) ved at benytte, at (α ) n α m e α d α = πn!δ nm

33 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 33. De kohærente tilstande { α } er ikke et ortogonalt sæt. Vælges α og α, fås af (3.37) α α = e α α α og α er altså ortogonale kun, hvis α α =, dvs. hvis forskellen mellem deres amplituder er meget stor. 3. Sættet { α } er overfuldstændigt, dvs. lineært afhængigt. Vælg nemlig β fra { α }. Af normaliseringsbetingelsen (3.44) fås β = 1 α α β d α π som efter udregning af matrixelementet α β, giver β = 1 π exp ( β β + βα ) α d α Dette er β skrevet som linearkombination af de øvrige tilstande i sættet af kohærente tilstande. Derfor er de ikke lineært uafhængige og derfor ikke ortogonale. De er dermed heller ikke en ortonormal basis for Hilbertrummet. 3.4 Den squeezede tilstand Det følgende afsnit er centralt i forhold til det eksperiment, rapporten vil beskrive i kapitlerne 7 til 10. Jeg har derfor medtaget visse mellemregninger, som ikke er med i ref. nr. [35], der har dannet basis for beskrivelsen i det følgende. Der benyttes samme notation som i [35] undtagen, at hvor denne benytter δ i formel (3.50), benyttes her D. Lad os beregne fluktuationerne q og p i kvadraturerne ˆq og ˆp, først i den kohærente tilstand α. Ved at anvende (3.17) får man q = ˆq ˆq = α ˆq α α ˆq α = 1, og p = ˆp ˆp = α ˆp α α ˆp α = 1 så i den kohærente tilstand er q p = 1 (3.45) Ved sammenligning med (3.38) ses, at kohærente tilstande er tilstande med minimum usikkerhed, dvs. med lige store varianser i ˆq og ˆp.

34 34 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE Antag dernæst, at feltet er i en Focktilstand n. Der benyttes derfor egentilstandene (3.8) for den harmoniske oscillator. Første moment af ˆq er: q = = A n = A n = 0 ψ n(q)ˆqψ n (q)dq H ne q / qh n e q / dq qh ne q dq da q er ulige, og Hne q er lige. p fås ved at substituere q p i udregningerne ovenfor. Dette giver ligeledes p = 0. I ligning (3.0) så vi, at Altså er q = p = n + 1 q = q q = n + 1, og p = p p = n + 1 Heraf får man nu Heisenbergs ubestemthedsrelation for et felt med n fotoner: q p = n + 1 Tilstanden med mindst usikkerhed i kvadraturerne er vacuumtilstanden 0, idet q p her har den mindste værdi for n = 0, så q p = 1 Sammenholdes dette med ligning (3.45), som omhandlede støjen i den kohærente tilstand, viser dette, at både den kohærente tilstand og vacuumtilstanden er tilstande med minimum usikkerhed. Det viser yderligere, at støjen i det klassiske bølgefelt må stamme fra vacuumfeltet. Støjspektret for de to felter er derfor identiske Muligheden for squeezing Men er kohærente tilstande de eneste kvantetilstande for feltet med minimum usikkerhed? Kan usikkerheden i en kvadratur optimeres? Wolfgang Pauli gav et

35 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 35 svar på dette i Handbuch der Physik, 1933 [5]. Betragt et system i tilstanden ψ. Forventningsværdien af amplituden er α = â = ψ â ψ = 1 (q + ip ) Størrelsen α elimineres ved at lade ψ være forskydningen ˆD(α) φ af en tilstand φ, altså I denne tilstand er ψ = ˆD(α) φ (3.46) α = ψ â ψ = φ ˆD (α)â ˆD(α) φ = φ â + α φ = φ â φ + α φ â φ = 0 Dette lader faktoren α og dermed q ude af betragtning i det følgende. De to tilstande ψ og φ indeholder samme kvadraturstøj, fordi de er kohærente forskydninger af hinanden. Vi søger varianserne q og p. Lad q = q være positionen af den harmoniske oscillator til en given tid. Da er Vi benytter, at q = ψ (ˆq q ) ψ, (3.47) og analogt p = ψ (ˆp p ) ψ med ˆp = p ˆD (α)ˆq ˆD(α) = ˆq + q, idet α = 1 (q + ip ) Vi får da fra (3.46) og (3.47): Tilsvarende fås: q = ψ (ˆq q )(ˆq q ) ψ = φ ˆq φ (3.48) p = φ ˆp φ (3.49) Sæt q σ. Pauli s argument var nu, at positionsbølgefunktionerne med minimum usikkerhed måtte opfylde betingelsen D(q) = φ q + q σ φ 0 (3.50)

36 36 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE og dermed også Ved udregning af (3.50) fås: D(q) = ( φ q + q σ φ )( φ q + = φ q φ q + q 4σ 4 φ φ + D(q)dq 0 (3.51) q σ φ) = φ q q σ q φ φ Det sidste led omformes ved brug af ligheden: så φ q + ( q σ ) φ φ + ( q q σ φ φ ) = φ φ ( q ) q + q σ σ q φ φ D(q) = φ q φ q + q 4σ 4 φ φ + ( q q σ φ φ ) φ φ 1 σ q ( φ φ σ q + φ q φ) Ved integration droppes differentialkvotienten i 3. led, da det integrerer til nul for en harmonisk oscillator (q ulige, φ lige). Anvendes i 1. led, at iˆp = q, samt (3.48) og (3.49), fås: D(q)dq = φ ( ) ( ) 1 1 φ + q q 4σ 4 φ ˆq φ φ σ φ = φ iˆp iˆp φ + 1 4σ 4 σ 1 σ = φ ˆp φ + 1 4σ 1 σ = p 1 4( q) 0, dvs. q p 1 4, eller q p 1 Den mindste værdi D(q) fås, når lighedstegnet gælder, dvs. når D(q) = 0 for alle q. Derved får man, at som har den normerede løsning q p = 1, og φ q + q σ φ = 0 φ(q) = (π q) 1/4 e q /4 q, eller (3.5) ψ(q) = (π q) 1/4 e (q q ) /4 q

37 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 37 Hvis q = p = 1, genfindes den forskudte vacuumtilstand. Men q og p behøver ikke være 1 for at opfylde q p = 1 Mao. usikkerheden i ˆq kan klemmes under vacuumtilstandens støjniveau imod, at usikkerheden i ˆp forøges (antisqueezing). En squeezet tilstand defineres derfor som en tilstand, for hvilken q < 1, eller p < 1, og et elektromagnetisk felt i denne tilstand kaldes ikke-klassisk eller squeezet lys Den squeezede, kohærente tilstand I dette afsnit vises, at graden af squeezing kan udtrykkes kvantitativt. Afvigelserne fra 1 af varianserne kan parametriseres ved en reel parameter ξ ([35]): q = 1 e ξ, og p = 1 eξ (3.53) Dette svarer til squeezing af q og antisqueezing af p. Indsættes den første ligning i (3.5) fås: φ(q) = e ξ/ π 1/4 e (qeξ ) / som er bølgefunktionen for squeezet vacuum: φ(q) = e ξ/ ψ (qe ξ ) (3.54) Den antisqueezede impulsbølgefunktion φ(p) findes ved Fouriertransformation af (3.54) og giver φ(p) = e ξ/ ψ (pe ξ ) Vi vil undersøge, hvordan φ(q) ændrer sig, når ξ ændrer sig, dvs. vi søger φ ξ : φ ξ = 1 φ(q) eξ q φ(q) (3.55) Dette er en ulineær ligning i ξ. Den omskrives ved også at differentiere (3.54) mht. q og multiplicere resultatet med q: Indsættes (3.56) i (3.55), fås: q φ q = eξ q φ(q) (3.56) φ ξ = 1 φ φ(q) + q q (3.57)

38 38 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE Nu benyttes flg. omskrivning: dvs. (qφ) q 1 φ(q) = 1 = q φ q + ( ( q q q q q q) φ = q φ q + φ(q), ) φ(q) som indsættes i (3.57): φ ξ = 1 ( q q q ) φ φ + q q q = 1 ( q q + q ) φ q Med iˆp =, får man da q φ ξ = 1 (iˆqˆp + iˆpˆq)φ (3.58) Ved anvendelse af (3.) og (3.3) kan parentesen omskrives til: iˆqˆp + iˆpˆq = â â Differentialligningen (3.58) kan så skrives: φ ξ 1 (â â ) φ = 0 med (3.59) φ(0) = 0 som begyndelsesbetingelse. Ligningen har løsningen Operatoren φ = e ξ(â â )/ 0 (3.60) Ŝ(ξ) = e ξ(â â )/ (3.61) kaldes squeezeoperatoren med squeezeparameter ξ. Hvis ξ = 0, er q = 1 iflg. (3.53), og φ er da lig med vacuumtilstanden 0. Hvis ξ 0, er q < 1, og så er φ = Ŝ(ξ) 0 squeezet vacuum. Da ψ = ˆD(α) φ iflg. (3.46), kan (3.60) skrives α, ξ = ˆD(α)Ŝ(ξ) 0, eller (3.6) ξ, α = Ŝ(ξ) ˆD(α) 0 (3.63)

39 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 39 Konklusionen er, at tilstandene med minimum usikkerhed er de squeezede, kohærente tilstande. Da ˆD(α) og Ŝ(ξ) ikke kommuterer, er tilstandene α, ξ og ξ, α forskellige. Den første kaldes den ideelle, squeezede tilstand pga. dens særligt simple egenskaber, den sidste den kohærente to-fotontilstand. Vi vil ikke her komme nærmere ind på forskellene mellem disse, men henviser til [31], hvor der er en grundig redegørelse for denne forskel. Fysisk er den ikke målbar. Squeezeoperatoren viser, at squeezing af et enkeltfrekvent felt opnås ved annihilation og skabelse af par af fotoner. Dette sker f.eks. ved frekvensfordobling, når et intenst laserfelt pumper en passende ulineær krystal, der ikke har inversionssymmetri (herom i afsnit 6.1 og bilag A) Generelle egenskaber for den squeezede tilstand Hvis de konjugerede variable q og p afbildes i faserummet, vil q p udgøre et a- real i dette. Et givet klassisk systems tilstand er beskrevet ved en faserumstæthed ρ(q, p), som er sandsynligheden for at finde systemet på position q og med impuls p. Det samme er muligt i kvantemekaniske systemer med visse begrænsninger, da Heisenbergs ubestemthedsrelation ikke tillader nøjagtig måling af q og p samtidigt. Man må regne med, at en given kvantemekanisk faserumstæthed ρ QM (q, p) kan være mindre pæn, f. eks. kan den være ikke-positiv definit. Af denne grund kaldes disse fordelinger kvasisandsynlighedsfordelinger. P-fordelingen, givet ved P (α, α ) = T r[ˆρδ(α â )δ(α â)] (3.64) anvendes til beregning af normalt ordnede korrelationsfunktioner: 4 G (n) ( r 1,..., r n ; t 1,..., t n ) = Ê ( r 1, t 1 ),..., Ê ( r n, t n ) Ê + ( r n+1, t n+1 ),..., Ê+ ( r n, t n ) = T r[ˆρê ( r 1, t 1 ),..., Ê ( r n, t n )Ê+ ( r n+1, t n+1 ),..., Ê + ( r n, t n )] (3.65) mens Q-funktionen anvendes til beregning af antinormalt ordnede korrelationsfunktioner og er givet ved Q(α, α ) = T r[ˆρδ(α â)δ(α â )] (3.66) J. og P. Bertrand definerede i Foundations of Physics, nr. 17, 1987, de egenskaber, som en kvantemekanisk faserumsfordeling skulle have. Lad ([35]) Û(θ) = e iθˆn (3.67) 4 dvs. korrelationsfunktioner, hvor hæveoperatorerne står før sænkeoperatorerne. Den dobbelte δ-funktion i (3.64) er defineret ved δ(α â )δ(α â) = 1 π exp[ β(α â )] exp[β (α â)]

40 40 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE være faseskiftoperatoren, der giver amplituden â et faseskift e iθ : â(θ) = Û (θ)âû(θ) = âe iθ (3.68) En lignende regning viser, at â (θ) = Û (θ)â Û(θ) = â e iθ (3.69) På tilsvarende måde vises, at Û(θ) roterer kvadraturerne ˆq og ˆp vinklen θ i faserummet: ˆq(θ) = ˆp(θ) = Û (θ)ˆqû(θ) = ˆq cos θ + ˆp sin θ (3.70) Û (θ)ˆpû(θ) = ˆq sin θ + ˆp cos θ (3.71) En kvantemekanisk faserumstæthed W (q, p) skulle så have flg. egenskaber: 1. De marginale fordelinger pr(q) = W (q, p)dp, og pr(p) = skal give fordelingerne af hhv. q og p. W (q, p)dq. Fordelingerne for den faseforskudte kvadratur ˆq(θ) skal være givet ved den marginale fordeling pr(q, θ) = q ˆρ(θ) q = q Û (θ)ˆρû(θ) q = W (q(θ), p(θ))dp På grundlag af disse egenskaber udledes Wignerfordelingen ([35], p. 38ff), som først blev fundet af Wigner (Phys. Rev., nr. 40, 193): W (q, p) = 1 π ˆρ er tæthedsoperatoren, som er givet ved q x ˆρ q + x eipx dx (3.7) ˆρ = n ρ n ψ n ψ n for et ensemle { ψ n } af rene tilstande. Hvis ensemblet kun har én komponent ψ, er ˆρ = ψ ψ

41 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 41 Faserumstætheden for vacuumtilstanden findes ved at indsætte ˆρ = 0 0 i (3.7): 5 W (q, p) = 1 π = 1 π e q p q x 0 0 q + x eipx dx Faserumstætheden for vacuum er således en cirkulær gausskurve med centrum i (0, 0). Usikkerhedsområdet q p er niveaukurven for W (q, p) = konstant, som er cirkler med centrum i (0, 0) og diameter q = p. Dette, sammen med tidsudviklingen af vacuumfeltet, er skitseret på fig. 3.. p E(t) 0> q t Figur 3.: Til venstre: vacuumtilstanden i faserummet. Til højre: tidsudvikling af vacuumtilstanden, jfr. fig. 3.1, side 31. Faserumstætheden for en kohærent tilstand ˆρ = α α med α = α e iφ er W α (q, p) = 1 π e (q q ) (p p ) Dette er også en cirkulær gaussfordeling, forskudt til punktet (q, p ). Usikkerhedsområdet er en cirkel med centrum i (q, p ) og diameter q = p, altså usikkerhedsområdet for en forskudt vacuumtilstand. Denne er vist sammen med tidsudviklingen på fig I udregningen benyttes (3.4), (3.6) og formlen e αu βu du = π α eβ /4α

42 4 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE p α> E 1 α t -1 0> q - Figur 3.3: Til venstre: kohærent tilstand i faserummet. Til højre: tidsudvikling af en kohærent tilstand. Hvert punkt (q, p) i usikkerhedsområdet på figuren til venstre svarer til en bølge i rum-tidbilledet, som er indeholdt i det skraverede område på figuren til højre. Faserumstætheden for squeezet vacuum ξ, 0 findes ved at indsætte ˆρ = Ŝ(ξ) 0 0 Ŝ (ξ) i (3.7) og anvende (3.54), som er koordinatrepræsentationen af squeezet vacuum: φ(q) = q Ŝ(ξ) 0 = eξ/ ψ (qe ξ ) (3.73) Derved får man: W (a) (q, p) = 1 π q x Ŝ(ξ) 0 0 Ŝ (ξ) q + x eipx dx = 1 π exp[ eξ q e ξ p ] Usikkerhedsområdet i faserummet (ˆq, ˆp) er derfor en ellipse med centrum i (0, 0) og med stor- og lilleakserne parallel med hhv. ˆp- og ˆq-aksen som antydet på fig. 3.4 til venstre. Dette er amplitudesqueezet vacuum, dvs. squeezing efter ˆqkvadraturen. Fasesqueezet vacuum, dvs. squeezing efter ˆp-kvadraturen, findes ved at Fouriértransformere (3.54), hvorved man finder, at i stedet for (3.73) skal man anvende φ(p) = p Ŝ(ξ) 0 = e ξ/ ψ (pe ξ )

43 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 43 p ξ,α> E 1 α t -1 ξ,0> q - Figur 3.4: Til venstre: squeezet vacuum og amplitudesqueezet, kohærent tilstand. Til højre: tidsudvikling af amplitudesqueezet, kohærent tilstand. Dette giver W (f) (q, p) = 1 π exp[ e ξ q e ξ p ] Usikkerhedsområdet i faserummet er også en ellipse med centrum i (0, 0), men med stor- og lilleakserne parallel med hhv. ˆq- og ˆp-aksen som antydet på fig. 3.5 til venstre. De squeezede, kohærente tilstande er vacuumtilstandene forskudt stykket α fra (0, 0) til punktet (q, p ). De amplitude- hhv. fasesqueezede, kohærente tilstande har udseendet W (a,f) ξ (q, p) = 1 π exp[ e±ξ (q q ) e ξ (p p ) ] Usikkerhedsområderne for disse er de skraverede ellipser til venstre på fig. 3.4 og 3.5. Tidsudviklingen af de to typer squeezede tilstande ses til højre på de to figurer. Generalisering af fig. 3.4 og 3.5: De squeezede tilstande på fig. 3.4 og 3.5 kan generaliseres som følger ([31]). Visse af udregningerne er lejlighedsvis kun antydet, da det er simpel algebra at verificere dem. Betragt de generaliserede kvadraturer (3.18) ˆX 1 = 1 (â + â) (3.74) ˆX = i 1 (â â) (3.75)

44 44 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE p ξ,α> E 1 α t -1 ξ,0> q - Figur 3.5: Til venstre: fasesqueezet, kohærent tilstand. Til højre: tidsudvikling af fasesqueezet, kohærent tilstand. I det generelle tilfælde tænkes ( ˆX 1, ˆX )-faserummet ved squeezing roteret vinklen β til faserummet (Ŷ1, Ŷ). Vi søger en betingelse for vinklen β således, at kvadraturen Ŷ1 er squeezet under kvantestøjgrænsen, dvs. således, at Y 1 = Ŷ 1 Ŷ1 < 1 De roterede kvadraturer kan iflg. (3.68) og (3.69) skrives Ŷ 1 = Û (β) ˆX 1 Û(β) = 1 (â e iβ + âe iβ ) (3.76) Ŷ = Û (β) ˆX Û(β) = i 1 (â e iβ âe iβ ) (3.77) Betragt endvidere hæve- og sænkeoperatorerne,  og Â, for de squeezede, kohærente tilstande ξ, α : Â(ξ) = Ŝ(ξ)âŜ (ξ) (3.78)  (ξ) = Ŝ(ξ)â Ŝ (ξ) (3.79) De er helt analoge til hæve- og sænkeoperatorerne, â og â, for de kohærente tilstande α. (3.61) på formen Ŝ(ξ) = e (ξâ ξ â )/ (3.80) med den komplekse squeezeparameter ξ = re iθ indsættes i (3.78) og (3.79) og ved anvendelse af e αâ ˆBe αâ = ˆB + α 1! [Â, ˆB] + α! [Â, [Â, ˆB]] + α3 3! [Â, [Â, [Â, ˆB]]] +... med  = ξâ ξ â, ˆB = â, â, og α = 1

45 3.4. DEN SQUEEZEDE TILSTAND 45 udregnes (3.78) og (3.79) til: Kommutatorrelationen for  og  er Â(ξ) = µâ + νâ (3.81)  (ξ) = ν â + µâ, (3.8) hvor µ = cosh r, og ν = e iθ sinh r [Â,  ] = 1 Squeezing af en kohærent tilstand α ved operatoren Ŝ(ξ) skrives Man finder da, at Ŝ(ξ) α ξ, α Â(ξ) ξ, α = α ξ, α De squeezede, kohærente tilstande har altså samme amplitude som de kohærente tilstande, hvilket er rimeligt, da squeezeoperatoren kun ændrer formen af usikkerhedsområdet X 1 X, men rører ikke ved forventningsværdien â = α for amplituden. Fra (3.81) og (3.8) finder vi, at ( â â ) = ( µ ν ν µ ) 1 (   ) = ( µ ν ν µ ) (   ), dvs. â = µâ νâ, (3.83) og â = µâ ν  (3.84) Fra (3.76), (3.83) og (3.84) finder vi de to første momenter af kvadraturen Ŷ1: og fra (3.85): Af (3.86) og (3.87) fås: Y 1 = 1 [(µα ν α)e iβ + (µα να )e iβ ] (3.85) Y 1 = 1 [(µα ν α) e iβ µν e iβ + (µα να ) e iβ µνe iβ ] + ( µ α + ν α µν α µνα ) + µ + ν ] (3.86) Y 1 = 1 [(µα ν α) e iβ + (µα να ) e iβ ] + ( µ α + ν α µν α µνα ) (3.87) Y 1 = Y 1 Y 1 = 1 cosh r 1 sinh r cos(θ β)

46 46 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE Variansen af Ŷ1 ses at have minimum for cos(θ β) = 1, dvs. for β = θ/. Med denne rotationsvinkel finder man, at Y 1 = 1 (cosh r sinh r) = 1 e r (3.88) hvilket er identisk med (3.53) med r = ξ. For r = ξ = 0, er Y 1 = 1, og vi finder den kohærente tilstand. For r 0, er Y 1 < 1, og Ŷ1 er squeezet. Den generelle situation (fig. 3.6) er altså en squeezet tilstand med amplituden α og fasen φ og med usikkerhedsellipsens X storakse roteret vinklen θ/, hvor θ er givet ved den komplekse parameter ξ = re iθ. Ved homodyn detektion (afsnit 3.5) anvendes to identiske detektorer. Lyset til ξ,α> den ene kaldes den lokale oscillator, og lyset til den anden kaldes signalstrålen. Vinklen θ er fasen af den lokale oscillator og benyttes som referencefase for kvadraturmåling. α φ (3.70) og (3.71) viser, at ˆX (θ) = ˆX 1 (θ +π/), dvs., at der er en fa- ξ,0> θ/ X 1 seforskel på π/ mellem kvadraturerne ˆX 1 og ˆX, som også tidligere omtalt. Det betyder, at man kan skifte mellem amplitudesqueezing og fasesqueezing ved at ændre faseforskellen mellem den lokale oscillator og signalstrålen fra 0 til π/. Y 3.5 Detektion af ikke-klassisk lys Y Y 1 Y 1 Figur 3.6: Squeezet, kohærent tilstand. I dette afsnit, baseret på ref. [35] og [36], gennemgås princippet i homodyn detektion, en metode til måling af feltets kvadraturer. Forløberen for den balancerede, homodyne detektor er et mikrobølgeradiometer med en balanceret mixer, udviklet i 1946 af R. H. Dicke [37]. Yuen og Chan foreslog i 1983 i ref. [7] på baggrund af princippet i dette apparat to teknikker til måling af graden af kvadratursqueezing, homodyn og heterodyn detektion. Kernen i den homodyne detektor (fig. 3.7) er en 50/50-beamsplitter, der ved interferens mixer signalstrålen â og den lokale oscillator α LO, som går ind i beamsplitterens to indgangsporte. Den lokale oscillators intensitet er meget større end signalstrålens og approximeres med dens klassiske amplitude. De to felter er korrelerede, da de kommer fra samme laserkilde. Felterne fra udgangsportene kan generelt skrives â 1 = te iφ 1,tâ + re iφ 1,r α LO (3.89) â = re iφ,râ + te iφ,t α LO (3.90)

47 3.5. DETEKTION AF IKKE-KLASSISK LYS 47 D a^ a^ a^1 i +/- ESA Sum/differensforstærker i 1 BS α LO D 1 Figur 3.7: Skitse af homodyn detektor. r og t er hhv. reflektiviteten og transmissiviteten af beamsplitteren. φ i,r og φ i,t er faserne af de reflekterede og transmitterede felter ind på detektorerne D 1 og D. Den homodyne detektor er balanceret, når detektorerne er bygget ens, og når effekten ind på dem er ens. Dette kræver, at beamsplitteren deler indgangsfelterne op i to udgangsfelter med eksakt lige stor effekt i hver. Vi antager, at denne idealtilstand foreligger. Reflektansen og transmittansen kan da skrives r = t = 1 r = t = 1 Beamsplitteren antages i dette tilfælde at være en plade, som er antirefleksbelagt på den ene side. Det giver et π-faseskift på signalstrålen pga. intern reflektion. Sættes φ 1,t = 0, så er φ,r = π. Faseforskellen mellem den lokale oscillators reflekterede og transmitterede stråle er 0, så vi kan sætte φ 1,r = φ,t = 0. Ligning (3.89) og (3.90) kan med ovenstående ændringer indsat, skrives â 1 = 1 (â α LO ) (3.91) â = 1 (â + α LO ) (3.9) Antallet af fotoner, der rammer detektor D 1 er bestemt ved operatoren: ˆn 1 = â 1 â 1 = 1 (â â + α LOα LO α LO â α LOâ) (3.93) Antallet af fotoner, der rammer D er bestemt ved operatoren: ˆn = â â = 1 (â â + α LOα LO + α LO â + α LOâ) (3.94) I sum/differensforstærkeren adderes hhv. subtraheres de to detektorstrømme i 1 og i. Detektorstrømmen er proportional med fotonfluxtætheden (antal fotoner

48 48 KAPITEL 3. LYSETS KVANTETILSTANDE pr. areal pr. tid). Summen i 1 + i er derfor bestemt ved operatoren ˆn 1 + ˆn = â â + α LOα LO = ˆn + α LO (3.95) Da den lokale oscillatorstråle er meget kraftigere end signalstrålen, dvs. da kan vi skrive sumstrømmen som α LO >> ˆn i 1 + i α LO (3.96) Ved addition måles altså den lokale oscillator. Ved at lede signalet ind i en ackoblet, elektronisk spektrumanalysator (ESA) måles støjen i den lokale oscillator. Da feltet er et kohærent laserfelt, er denne støj en sum af klassisk støj og kvantestøj. Ved tilstrækkelig høje frekvenser klinger den klassiske støj af, og kun kvantestøjen er tilbage (se evt. fig. 7.9). Sumfunktionen giver altså information om størrelsen af den støj, der kommer fra vacuumfeltet. Denne størrelse, målt i db, kaldes kvantestøjgulvet. Differensen i i 1 af detektorstrømmene er bestemt ved operatoren: ˆn ˆn 1 = α LO â + αloâ = α LO 1 (â e iθ + âe iθ ) Her har jeg indsat = α LO ˆX 1 (θ) (3.97) α LO = α LO e iθ og benyttet (3.76). Ved subtraktion forsvinder den klassiske støj fra laserfelterne, da de to detektorsignaler er korrelerede, men ikke kvantestøjen, da den altid er ukorreleret. Differensfunktionen måler derfor lysets kvadraturer ˆX 1 (θ), som afhænger af fasen θ af den lokale oscillator. Hvis θ = 0, kan differensstrømmen skrives: og hvis θ = π/, fås: i 1 = i i 1 α LO ˆX 1 (0) = α LO ˆq (3.98) i 1 = i i 1 α LO ˆX 1 (π/) = α LO ˆp (3.99) Her er ˆq = ψ ˆq ψ, og ψ er en given tilstandsvektor for feltet, der rammer detektoren. (3.98) og (3.99) viser, at kvadratursignalerne forstærkes ved at mixes med den lokale oscillator, hvilket bringer dem i sikker afstand over den termiske støj i detektorerne. Samtidig er det vigtigt at være opmærksom på mætningsproblemer, før man måler squeezing. Et signal med en stor lokal oscillatorkomponent kan få signalet til at dykke, så man fejlagigt tror, at signalet indeholder en squeezet kvadratur, mens det blot er detektoren, der mætter. I dette eksperiment foretages squeezing på et lyst felt, bright squeezing. Ved detektion i den homodyne detektor anvendes det lyse felt som lokal oscillator. Signalfeltet er i dette tilfælde vacuumfeltet, der går ind i den ubrugte port i beamsplitteren.

49 Kapitel 4 Støjkilder 4.1 Kvantestøj Kvantestøj (kvantefluktuationer, vacuumfluktuationer) i optiske målinger stammer fra vacuumfeltet med energi 1 ω. Dette er der redegjort for i forrige kapitel, og her skal kort omtales, hvilken indflydelse disse fluktuationer har på den mindst detekterbare intensitet. 1 ω ligger langt under den nøjagtighed, der kan opnås ved måling af position q og impuls p for en materiel partikel (oscillator). I optiske præcisionsmålinger er kvantestøj imidlertid en reel begrænsning, og squeezing er en metode til at komme under kvantestøjgrænsen. I eksperimenter med squeezing er det netop kvantestøjniveauet, der benyttes som reference i bestemmelsen af graden af squeezing (afsnit 3.5 og kap. 5). En detektor absorberer lysenergi i kvanter af ω. I afsnit.3 vistes, at antallet af ankommende fotoner i en given tid T er en Poissonfordelt stokastisk variabel. Dette får feltamplituden og dermed energien i feltet til at fluktuere spontant. Det betyder igen, at antallet af løsrevne fotoelektroner pr. tidsenhed og dermed fotostrømmen i detektoren fluktuerer spontant. Denne variation i i antallet af strømpulser pr. tid, hidrørende fra variationen n i antallet af ankommende fotoner med en given kvanteeffektivitet η kaldes haglstøj (shot noise). Et kvalitativt mål for den mindste, målbare intensitet kan opnås på flg. måde ([41], p. 4ff.). En bølge med frekvensen ω beskrives ved E = E cos(ωt + φ) = E 1 cos ωt + E sin ωt E 1 og E er feltets kvadraturer. Antag, at vi måler E 1 ved homodyn detektion, dvs. vi lader E være ude af fase med den lokale oscillator. Når amplituden E 1 af feltet er meget større en fluktuationerne δe 1 i amplituden, kan E 1 skrives: Intensiteten er så E 1 = E 1 + δe 1 I E 1 = E 1 + E 1 δe 1 49

50 50 KAPITEL 4. STØJKILDER idet anden ordens led udelades. Variationen I i intensiteten fås som δi, hvor δi E 1 δe 1, dvs. I E 1 E 1 (4.1) Fluktuationerne i signalintensiteten er proportional med fluktuationerne i amplituden. Standardfotonstøjen defineres som det støjniveau, hvor amplitudefluktuationerne E 1 er lig med vacuumfluktuationerne ε = 0 E 1 0. Dette giver: I standard ε E 1 (4.) Fluktuationerne i signalintensiteten er altså proportional med signalets størrelse. Standardfotonstøjen giver anledning til en fluktuation i i detektorstrømmen, som blev kaldt kvantestøjgulvet (standard shot noise) i kommentarerne til (3.96). Det er altså støj, som hænger sammen med fluktuationerne i vacuumfeltet, uafhængigt af støj fra detektoren, som hovedsagelig er termisk støj. Af denne grund er det rimeligt at betegne haglstøj som kvantestøj Støjens spektralfordeling i klassisk lys Detektorstrømmen fremkommer, som omtalt ovenfor ved, at en kæde af uafhængige fotonabsorptioner løsriver elektroner i detektorens intrinsiske lag og for hver elektron skaber et positivt hul. Tidsmiddelværdien af effekten, som fotostrømmen afsætter i detektoren over en modstand på 1 Ω, er 1 T/ P = lim i (t)dt (4.3) T T T/ hvor T er integrationstiden. Detektorstrømmen i(t) findes ved den omvendt Fouriértransformerede af strømmen I(ω): F 1 {I(ω)} = i(t) = 1 π hvor I(ω) = F{i(t)} = 1 π I(ω)e iωt dω (4.4) i(t)e iωt dt (4.5) I praksis har vi ikke uendelig lang integrationstid til rådighed, og i(t) er ofte ikke kvadratisk integrabel. Når en foton detekteres, er i(t) imidlertid et δ-funktionslignende signal, og integralet giver ikke noget bidrag, når t < T/ og t > T/. Hvis T er stor i forhold til signalets varighed, har vi derfor 1 T/ I T (ω) = lim i T (t)e iωt dt (4.6) T π T/

51 4.1. KVANTESTØJ 51 med den omvendte i T (t) = 1 π I T (ω)e iωt dω (4.7) Da i T (t) er reel, er IT (ω) = I T ( ω). Ved indsættelse af (4.4) i (4.3) og efter ombytning af integraler får man den afsatte effekt: Funktionen S(ω) = lim T T 0 I T (ω)i T (ω)dω (4.8) S T (ω) = lim T T I T (ω) IT (ω)i T (ω) (4.9) er den spektrale tæthed eller effektens spektrale fordeling, dvs. S T (ω)dω måler den effekt ds(ω), der findes mellem frekvenserne ω og ω + dω ved integration over tiden T. I kapitel 5 benyttes den kvantemekaniske udgave af denne formel til beregning af støjens spektrale fordeling i det squeezede felt (jfr. 5.54). Vi søger nu at udregne den samlede afsatte effekt fra haglstøjen. Lad N være antallet af ankommende fotoner pr. sekund. Antag, at kilden er kvantestøjbegrænset, at den altså ikke indeholder anden støj end vacuumfluktuationer. Antallet N T = NT af ankommende fotoner i tiden T er da Poissonfordelt, dvs. fotonernes ankomsttider t k er spontant fordelt i intervallet [0, T ]. Strømmen til tiden t fra den k te ladningsbærer er i e (t t k ). Den samlede fotostrøm til tiden t er summen af strømpulserne fra de N T ladninger: N T i T (t) = i e (t t k ) (4.10) k=1 Fouriértransformation af detektorstrømmen giver: N T N T I T (ω) = F{i e (t t k )} = F{i e (t) δ(t t k )} = N T πi e (ω) k=1 k=1 k=1 e iωt k hvor * står for foldningen af funktionerne i e og δ. Idet N T antages at være et meget stort tal, får man f. eks. ved at benytte Parsevals ligning, at N T I T (ω) = π I e (ω) e iωt N T k = π I e (ω) e iωt k Fra (4.9) får man nu: k=1 = πn T I e (ω) (4.11) k=1 S T (ω) = 4πN I e (ω) (4.1)

52 5 KAPITEL 4. STØJKILDER Dette er et generelt udtryk, Carson s sætning, der gælder i situationer med et stort antal uafhængige begivenheder, der ankommer til tilfældige tider. Hvis gennemløbstiden t e gennem det intrinsiske lag antages at være ens for alle ladningsbærere, er strømpulsen, skabt af én ladning: i e (t) = e t e Fouriértransformen af strømpulsen bliver: I e (ω) = 1 π e e iωt dt = 1 e t e π t e te 0 e iωt dt (4.13) Hvis pulsbredden 1 t e er meget større end feltets frekvens ω (ωt e << 1), så er te Ligning (4.13) giver så: 0 e iωt dt t e I e (ω) = e π Fra (4.1) får man så kvantestøjens spektralfordeling: S T (ω) = eī (4.14) idet Ī = Ne er middeldetektorstrømmen. Spektralfordelingen (4.14) for kvantestøj, i dette tilfælde haglstøj, ses at være lig med en konstant. Effekten fordeler sig ligeligt over alle frekvenser ( hvid støj). Ved at integrere over detektorens båndbredde ω i henhold til (4.8) får man den samlede haglstøjseffekt, ofte skrevet som variansen af detektorstrømmen gennem en modstand på 1 Ω: ω i N,k = S T (ω)dω = eī ω (4.15) 0 Det ses af (4.15), at haglstøjen er proportional med middeldetektorstrømmen Ī, hvilket er analogt til, at standardfotonstøjen (4.) vokser med middelfeltets amplitude. Strømmen Ī er proportional med lysintensiteten. Hvis derfor detektoren er kvantestøjbegrænset, vil en fordoling af intensiteten øge støjen med det dobbelte, svarende til 3 db. Dette kan anvendes til at undersøge, om en vilkårlig detektor er kvantestøjbegrænset. 4. Termisk støj Termisk støj er beskrevet samme år (198) af J. B. Johnson og H. Nyquist i ref. [38] og [39] og kaldes derfor også for Johnsonstøj eller Nyquiststøj. Det er en type

53 4.. TERMISK STØJ 53 detektorstøj, som skyldes ladningsbærernes kollisioner indbyrdes, med krystalgitteret og med fononer. Dette giver lokale, fluktuerende ladningsgradienter og dermed en fluktuerende ac-spænding henover en given modstand R 1. Kilden til denne støj er i analogi med kvantestøj den tilfældige fordeling af kollisionernes ankomsttider, som giver en statistisk forbredning af strømpulsen fra en enkelt ladning. Den spektrale fordeling for denne støj er derfor givet ved (4.1), hvor N er antallet pr. sek. af begivenheder (kollisioner). Støjen afsættes som en effekt i en ydre modstand R. Den samlede afsatte effekt findes analogt med tilfældet haglstøj ved at integrere støjens spektrale tæthed over detektorens båndbredde. Vi betragter en modstand R 1 med tværsnitsareal A, længde l og med en A R 1 l R x Figur 4.1: Skitse til udledning af den termiske støj i en detektormodstand. x-akse langs modstanden (fig. 4.1). Dc-resistansen er givet ved [40] R 1 = 1 σ l A = ml N e e τ A (4.16) hvor σ er konduktiviteten, N e er antal ladningsbærere pr. m 3 i modstanden, og τ er middelværdien E(τ) af tiden τ mellem to kollisioner, også kaldet middelspredningstiden eller stødtiden. Strømmen fra en enkelt ladningsbærer er: i e (t) = e τ = e = ev x, 0 t τ (4.17) l/v x l Den afsattte effekt fra strømfluktuationen afhænger af andre parametre end frekvensen af fluktuationen alene, nemlig af de enkelte ladningers stødtider τ og af deres hastigheder v x. Strømmen i frekvensrummet, som derfor også afhænger af disse parametre, fås ved Fouriértransformation af (4.17): hvoraf I e (ω, τ, v x ) = 1 π τ 0 ev x e iωt dt = 1 ev x 1 ( ) 1 e iωτ l π l iω I e (ω, τ, v x ) = 1 e v ( x e iωτ e iωτ) (4.18) π l ω

54 54 KAPITEL 4. STØJKILDER For at kunne midle over stødtiderne og hastighederne opstilles den simultane sandsynlighedstæthed p(τ, v x ) = f 1 (τ)f (v x ) Her er antaget, at en ladnings stødtid og hastighed er uafhængige. Det antages endvidere, at stødene ankommer spontant, dvs., at antallet af stød over et givet tidsrum er Poissonfordelt. Det medfører, at ventetiden τ mellem to stød er eksponentialfordelt: så f 1 (τ) = λe λτ med middelværdi E(τ) = τ = 1 λ, f 1 (τ) = 1 τ e λτ/τ Midling af (4.18) over alle tider τ giver: I e (ω, v x ) = Midling over hastighederne giver: 0 f 1 (τ) I e (ω, τ, v x ) dτ = e v xτ πl (1 + ω τ ) (4.19) I e (ω) = e v xτ πl (1 + ω τ ) Middelkvadrathastigheden findes af ladningsbærernes middelkinetiske energi: E = 3 k BT = 1 m(v x + v y + v z) = 3 mv x v x = k BT m Indsættes dette i (4.0), fås: I e (ω) = e τ k B T mπl (1 + ω τ ) (4.0) (4.1) Da 1 τ kan tolkes som sandsynligheden pr. tid for en kollision, er middelantallet af kollisioner pr. tid lig med: N = N ela (4.) τ (4.1) og (4.) indsættes i (4.1). Støjens spektrale tæthed bliver da ( ) ml(1 + ω τ 1 ) S T (ω) = 4 k N e e B T = 4k BT (4.3) τ A R(ω) Ved sammenligning med (4.16) vil vi kalde R(ω) for modstandens ac-resistans. Integreres over detektorens båndbredde ω fås den samlede afsatte effekt fra den termiske støj: i N,t = ω 0 S T (ω)dω = k BT ω R(ω) (4.4)

55 STØJ 55 ν ν -støj Denne type støj er den mest studerede og mindst forståede. Mistanken retter sig mod fejl i lodninger (manglende ohm sk kontakt) og hvirvelstrømme i printpladen (krybestrømme). Støjen falder hurtigt af for frekvenser over 0. Et empirisk udtryk er fundet til at være: i i d ω N, 1 ν ω 1-støj er synlig på figurerne fig. 7.7 og 7.8 over de i afsnit 7.3 undersøgte detektorers ν frekvenskarakteristikker. 4.4 Laserstøj Siden laserens opfindelse i 1960 er mængden af forskningsfelter, indenfor hvilke den anvendes taget til og er idag den mest anvendte lyskilde inden for optisk og anden forskning. Dette skyldes hovedsagelig, at laseren har en båndbredde, der er mange størrelsesordener mindre end båndbredden for konventionelle lyskilder. En ligeså vigtig årsag er, at forstærkningen af kavitetsfeltet sker ved stimuleret emission, som giver et udkoblet lysfelt med en høj grad af kohærens. Ud over spontane henfald og kollisioner mellem lasermediets atomer er relaxationsoscillationer den største kilde til støj fra en laserkilde. Denne støj opstår pga. vekselvirkningen mellem pumpen, der leverer energien til populationsinversionen, og feltet i det forstærkende materiale. Når laseren tændes, begynder pumpen at excitere atomerne i lasermediet. Antallet N af exciterede atomer stiger, og på et tidspunkt er inversionen N N 1 større end tærskelinversionen, så raten af stimulerede henfald er større end tabsraten. Det får fotonfluxen til at bygge hurtigt op og raten af stimulerede henfald til at stige endnu mere. Når fotonfluxen er meget større end værdien for den stationære tilstand, udtømmes antallet af exciterede atomer, inversionen falder under tærskelinversionen, og den stimulerede henfaldsrate falder tilsvarende og kommer under tabsraten. Det får antallet af fotoner i kaviteten til at falde. Pumpen overtager igen opbygningen af populationsinversionen, og cyklusen fortsætter. Den klassiske analogi til dette system er den dæmpede, forcerede oscillator. I de fleste lasere kommer laseren til ro i en stationær tilstand, idet relaxationsoscillationer i de fleste lasere aftager exponentielt. I andre lasere, f. eks. faststoflasere som Nd:YAG, hvor det forstærkende medium er en krystal og pumpen en anden laserkilde, vil oscillationerne stå og svinge omkring en stationær tilstand. Dette kan skyldes mekaniske påvirkninger fra omgivelserne eller temperatursvingninger i laserkaviteten. En fuldstændig beskrivelse af spektralfordelingen for laserstøjen kræver en kvantemekanisk beskrivelse og vil ikke blive gjort. Udledningen kan gøres ved at

56 56 KAPITEL 4. STØJKILDER anvende Langevinformalismen, som den er beskrevet i kapitel 5, hvor den anvendes til at udlede den spektrale fordeling for squeezet (ikke-klassisk) lys. Den spektrale fordeling for laserstøjen findes i ref. [46]. På figur 4. vises en måling af laserstøjen fra en grøn laser, 53 nm, svarende til farven af det squeezede lys, som undersøges i dette eksperiment. Det ses, at spektret har en resonanstop omkring db MHz Figur 4.: Laserstøjens spektralfordeling. 0, 33 MHz. Denne støjtop ved de lave frekvenser betyder, at man ikke kan måle squeezing ved lave frekvenser. Hvor langt man skal ud, afhænger af lasereffekten, idet resonanstoppen flytter sig mod højere frekvens med voksende effekt. Opsummering: Den samlede støj i d er roden af summen af de enkelte støjbidrags varianser, altså: i d = i D + i N,k + i N,t + i N, 1 ν hvor i D er støjen fra mørkestrømmen.

57 Kapitel 5 Støjens spektralfordeling i ikke-klassisk lys Squeezing iagttages typisk ved at måle støjen i et signalfelt og se, hvor meget og ved hvilken frekvens dette kommer under kvantestøjgrænsen. Derfor har man brug for at kende den spektrale fordeling af støjen i feltet, dvs. hvor meget støj, der er ved forskellige frekvenser. Flere optisk ulineære effekter giver anledning til dannelse af ikke-klassiske tilstande af lysfelter, heriblandt frekvensfordobling, optisk parametrisk forstærkning og optisk firebølgeblanding. I det foreliggende eksperiment benyttes den ulineære proces frekvensfordobling til frembringelse af squeezet lys. Ved denne proces vekselvirker infrarødt lys fra en Nd:YAG-laser med den ulineære krystal LiNbO 3. Det infrarøde lys har bølgelængden 1064 nm og omskabes ved krystallens χ () -ulinearitet til grønt lys med bølgelængden 53 nm (jfr. afsnit 6.1 og bilag A). Ma-ximal frekvensfordobling opnås ved perfekt fasetilpasning mellem den infrarøde og den grønne bølge, hvilket der redegøres nærmere for i afsnit Først vil jeg i det følgende afsnit redegøre kort for det system, som vi betragter, og hvordan det vekselvirker med omgivelserne. Derefter opstilles den fulde Hamiltonoperator for system + omgivelser. 5.1 Det betragtede system Der er to vigtige teoretiske metoder til beskrivelse af den spektrale fordeling af det ikke-klassiske lys: Fokker-Planck- og Langevinformalismen. I dette projekt anvendes den sidste metode, da den er den teknisk set enkleste metode og giver tilstrækkeligt nøjagtige resultater. Begge metoder bygger på, at universet kan deles op i to dele: det betragtede system S og omgivelserne, kaldet varmebadet eller reservoir et R med termer lånt fra den klassiske, statistiske fysik (fig. 5.1). 57

58 58KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS Reservoir System ^ ^ ^ H H H R S SR Figur 5.1: Sammenhængen mellem et system S og det omgivende reservoir R. Ĥ S er Hamiltonoperatoren for systemet, Ĥ R er Hamiltonoperatoren for reservoir et, og ĤSR er Hamiltonoperatoren for vekselvirkningen mellem system og reservoir. I systemet betragtes en enkelt eller nogle få frihedsgrader. Vi forudsætter mao., at det er overskueligt. Omgivelserne forudsættes at have så mange frihedsgrader som muligt, helst uendeligt mange. Hvis systemet S består af en enkel frihedsgrad og reservoir et R af endeligt mange, kan man ved en simpel udregning vise ([4], p. 554), at S og R udvikler sig reversibelt, idet operatorerne, der repræsenterer hhv. system og reservoir, vil oscillere harmonisk i tiden således, at deres forventningsværdier hele tiden vil returnere til de værdier, de havde i udgangspunktet til tiden nul. I det irreversible tilfælde udveksler systemet energi med omgivelserne ved dissipation. Hvis systemet består af én harmonisk oscillator og reservoir et af uendeligt mange, som alle kobler til den ene i systemet, vil energi forsvinde meget hurtigt ud i reservoir et uden at vende tilbage. Da omgivelserne i princippet er resten af universet, vil tiden for en tilbagevenden af denne energi til systemet være uendeligt lang. Systemet har undergået et tab i energi, og oscillatoren kan beskrives som en dæmpet, harmonisk oscillator. Langevinformalismen opstiller et sæt stokastiske differentialligninger ud fra Heisenbergs bevægelsesligning, én ligning for hver del af det betragtede system. Reservoir et indgår i disse ligninger i form af et led, der repræsenter støjen fra omgivelserne, svarende til tabet af information ud af systemet. Heraf betegnelsen stokastisk differentialligning. Ud fra disse Langevinligninger udregnes fluktuationerne i kvadraturerne, idet feltet, hvis det er et lyst felt, kan approximeres som en superposition af et klassisk middelfelt plus fluktuationer fra vacuumfeltet. Et lyst felt er et felt, hvis amplitude er meget større end fluktuationerne i amplituden. I dette projekt måles kun squeezing på lyse felter. Ligningerne for kvadraturfluktuationerne Fouriértransformeres derefter fra tidsrummet til frekvensrummet, og resultatet af dette benyttes til beregning af den spektrale fordeling af det squeezede felt. Vi betragter et system (fig. 5.), bestående af en kavitet, i det følgende også

59 5.1. DET BETRAGTEDE SYSTEM 59 a^ 0 c^ 3 c^ 1 γ 0 γ 3 γ 1 a 1 a 3 ^a 1,ud ^a 3,ud S1 S Figur 5.: Skitse af kavitet uden den ulineære krystal. Det bemærkes, at det kun er en skitse, idet S i den virkelige kavitet både er ind- og udkoblingsspejl. Notation (med feltets kvadraturer angivet i parentes): â = det indkoblede fundamentale felt ( ˆX 1,ind, ˆX,ind ), â 1 = det fundamentale felt i kaviteten ( ˆX 1, ˆX ), â 3 = det. harmoniske felt i kaviteten (Ẑ1, Ẑ), ĉ 1 = støj fra reservoir et på det fundamentale felt (Ŷ1, Ŷ), ĉ 3 = vacuumstøj fra reservoir et på det. harmoniske felt (Ẑ1,ind, Ẑ,ind), γ = sprednings- og absorptionstab ved indkobling af det fundamentale felt, γ 1 = kavitetstab i det fundamentale felt, primært ved spredning og absorption i krystallen, γ 3 = sprednings- og absorptionstab ved indkobling af det. harmoniske felt. kaldet en ulineær kavitet, i hvilken der befinder sig den optisk ulineære LiNbO 3 - krystal og et felt, det fundamentale felt, med amplitudeoperator â 1 og frekvens ω. Dette felt antages at være enkeltfrekvent, så Hamiltonoperatoren er givet ved (3.7). Både indkoblingsspejlet S 1 og udkoblingsspejlet S er næsten 100 % reflekterende overfor det fundamentale felt. Ved høje intensiteter vekselvirker dette med χ () -ulineariteten i krystallen og danner det. harmoniske felt â 3 med frekvensen ω. S 1 er næsten 100 % reflekterende og S næsten 100 % transmitterende overfor det. harmoniske felt. Det fundamentale pumpefelt kobler ind af spejlet S 1. Dette angives ved operatoren â. Det. harmoniske felt kobler ud af spejlet S. Dette angives ved operatoren â 3,ud. Da S ikke er fuldstændig reflekterende, vil en lille del af det fundamentale felt undslippe kaviteten. Dette felt angives ved â 1,ud, mens udkoblinger gennem S 1 ignoreres. Feltet â 1,ud anvendes som en del af det fejlsignal, der i den optiske servoløkke (afsnit 6.4) skal låse den ulineære kavitet til pumpefrekvensen. Når fase og amplitude i en af systemets modes falder sammen med fase og amplitude i en af varmebadets modes, er de fuldt korrelerede eller kohærente. Der opstår interferens, og energi afgives til omgivelserne. Den tilsvarende støj ind i systemet fra reservoir et er repræsenteret ved operatorerne ĉ 1 og ĉ 3. Notation for felter og dæmpningskoefficienter på fig. 5. er i store træk som i ref. [17].

60 60KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS Hamiltonoperatoren for dette system er ([4], p. 607): Ĥ S = Ĥ1 + Ĥ3 + ĤI hvor (5.1) Ĥ 1 = ωâ 1â 1 (5.) Ĥ 3 = ωâ 3â 3 (5.3) Ĥ I = i κ (â 1 â 3 â 1â 3) (5.4) I (5.) og (5.3) er udtrykket (3.7) benyttet. Der er set bort fra 1 ω, idet man kan vælge det energimæssige nulpunkt vilkårligt. Leddet â 1â 3 i (5.4) er frekvensfordobling, hvor to fotoner med frekvens ω annihileres og en foton med frekvens ω skabes. Det første led â 1 â 3 er den omvendte proces og kaldes parametrisk nedkonvertering (parametric down conversion) eller parametrisk forstærkning. Samme Hamiltonoperator beskriver derfor også vekselvirkningen i en optisk parametrisk forstærker. (5.4) er Hamiltonoperatoren for vekselvirkningen mellem det fundamentale og. harmoniske felt via χ () -ulineariteten. κ er koblingsstyrken mellem det fundamentale felt og χ () -ulineariteten. Kaviteten er gennem S 1 og S forbundet til omgivelserne, der formelt betragtes som et reservoir med uendelig mange svingningstilstande (modes, harmoniske oscillatorer) i et volumen, der i princippet kan være hele universet. Derfor udgør svingningstilstandene et kontinuum, og Hamiltonoperatoren ĤR for reservoir et kan angives på integralform som Ĥ R = dω ωˆb (ω)ˆb(ω) (5.5) hvor ˆb (ω) og ˆb(ω) er operatorer for reservoir et. ˆb (ω)ˆb(ω) er antallet af modes med frekvensen ω, og der gælder kommutatorrelationen [ˆb(ω), ˆb (ω )] = δ(ω ω ) (5.6) Integralet over ± i (5.5) (5.7) er muligt, fordi ligningerne er skrevet i den roterende bølges approximation (RWA), hvor negative frekvenser kan forekomme. Hamiltonoperatoren for vekselvirkningen mellem system og varmebad er ([8], p. 376): Ĥ SR = i dωκ(ω){ˆb (ω)ĉ ĉ ˆb(ω)} (5.7) Her er ĉ enten lig med â 1 eller â 3, og κ(ω) er koblingsstyrken mellem kavitetsfelterne og reservoir et. Operatoren ˆb (ω)ĉ betyder, at der skabes en foton i reservoir et, og en foton i kaviteten annihileres. Den fulde Hamiltonoperator for system + varmebad er: Vi bemærker, at Ĥ = ĤS + ĤR + ĤSR (5.8) [ĤS, ĤR] = 0, men [ĤS, ĤSR] 0 [ĤR, ĤSR]

61 5.. UDLEDNING AF DEN SPEKTRALE FORDELING Udledning af den spektrale fordeling I dette afsnit betragtes den spektrale fordeling i squeezet lys. Først udledes kvadraturfluktuationerne for de interne felter i den ulineære kavitet (afsnit 5..1) og derefter for de eksterne felter (5..). I afsnit (5..3) udledes så den spektrale fordeling. Jeg støtter mig primært til referencerne [17], [8] og [43] Kvadraturfluktuationer i de interne felter Først udledes Langevinligningerne for det fundamentale og. harmoniske felt i kaviteten. Udledningen følger princippet i ref. [8], p Lad â være en vilkårlig systemoperator. Idet [â, ĤR] = 0, fås af Heisenbergs bevægelsesligning: â = i [â, Ĥ] = i = i [â, ĤS] + ( ) [â, ĤS] + [â, ĤSR] dωκ(ω){ˆb (ω)[â, ĉ] [â, ĉ ]ˆb(ω)} (5.9) Reservoiroperatoren ˆb(ω) findes ligeledes af Heisenbergs bevægelsesligning: ˆb(ω) = i [ˆb(ω), Ĥ] = i [ˆb(ω), ĤR + ĤSR] idet [ˆb(ω), ĤS] = 0. Ved at benytte kommutatorrelationen (5.6) finder jeg, at ˆb(ω) = iωˆb(ω) + k(ω)ĉ Løsningen til denne ligning er: ˆb(ω) = ˆb (ω)e iω(t t ) + t t dt κ(ω)ĉ(t )e iω(t t ) (5.10) (5.10) indsættes i (5.9), hvilket giver: â = i [â, ĤS] + dω[κ(ω)] t dωκ(ω){e iω(t t )ˆb (ω)[â, ĉ] e iω(t t )ˆb (ω)[â, ĉ ]} + t dt {e iω(t t )ĉ (t )[â, ĉ] e iω(t t )ĉ(t )[â, ĉ ] (5.11) Som nævnt er ĉ enten â 1 eller â 3. Ligningen viser, at ĉ = â, for at der kan være kobling mellem system og reservoir. I modsat fald er systemet lukket, og vi har det reversible tilfælde. Ligning (5.11) er eksakt. Vi indfører nu nogle approximationer, der forenkler løsningen af den betragteligt:

62 6KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS 1. I tråd med ref. [8] indføres den første Markovapproximation, givet ved: hvor γ er det totale tab i systemet. κ(ω) = γ/π (5.1). Da antallet af fotoner i kaviteten er meget stort og antallet af fotoner i reservoir et meget mindre end i kaviteten, så kan vi antage, at der er en svag kobling mellem system og reservoir. Dette indebærer, at den irreversible udvikling af systemet ved dissipation af energi til omgivelserne sker over en tidsskala τ d, der er meget større end den tidsskala τ res, hvormed energien forsvinder ud i reservoir et. Vi betragter derfor tidsrum t = t t, for hvilke τ res << t << τ d og sætter τ d og τ res 0 = t. Da kan vi anvende egenskaben ([4], p. 556) t t dt ĉ(t )δ(t t ) = 1 ĉ(t) (5.13) Den halve skyldes, at integralet over t er over en funktion, der går hurtigt mod nul i ±. Dvs. dt kan erstattes af 1 0 dt. Desuden defineres det fra omgivelserne indkoblede felt [8]: ˆbind (t) 1 π dωb (ω)e iω(t t ) (5.14) (5.1) og (5.14) indsættes i (5.11) og ved anvendelse af (5.13) får man den generelle Langevinligning for en arbitrær systemoperator â: â(t) = i [â, ĤS] + [â, ĉ]{ γˆb ind (t) + γĉ (t)} [â, ĉ ]{ γˆb ind (t) + γĉ(t)} (5.15) I ˆb ind (t) er inkluderet de indkoblede fluktuationer og de tilhørende tab γ (jfr. fig. 5.). Markovapproximationen omdanner mao. ligning (5.11) til en ligning med dæmpningsled, som kun afhænger af tiden t og ikke af en tidligere tid, dvs. der er ingen indbygget hukommelse i systemet. Når ligningen for â 1 skal opstilles, skal vi i (5.15) anvende: â â 1, ĉ â 1, og [â 1, ĤS] = ωâ 1 + i κâ 1â 3

63 5.. UDLEDNING AF DEN SPEKTRALE FORDELING 63 På fig. 5. aflæser vi, at ˆbind (t) â (t) + ĉ 1 (t) hvor de tilhørende tab er hhv. γ og γ 1. Det samlede tab på det fundamentale felt ĉ = â 1 i kaviteten er γ = γ 0 + γ 1 Langevinligningen for â 1 bliver da: â 1 (t) = (γ + iω)â 1 + κâ 1â 3 ( γ â + γ 1 ĉ 1 ) (5.16) Betingelserne ved opstillingen af ligningen for â 3 ud fra (5.11) er: â â 3, ĉ â 3 Langevinligningen for â 3 bliver: [â 3, ĤS] = ωâ 3 i κ â 1 og fra fig. 5.: ˆbind (t) ĉ 3 (t) â 3 (t) = (γ 3 + iω)â 3 1 κâ 1 γ 3 ĉ 3 (5.17) (5.16) og (5.17) er ulineære operatorligninger, som ikke har nogen generel løsning. Næste skridt henimod et udtryk for fluktuationerne i feltets kvadraturer, ˆX 1 og ˆX, er en såkaldt adiabatisk elimination af â 3, hvorefter ligningen for â 1, sammen med dens hermitesk adjungerede, lineariseres omkring et klassisk middelfelt. Først transformeres der til et referencesystem for â 1, der roterer med frekvensen ω, og et referencesystem for â 3, der roterer med frekvensen ω. Dette er muligt, fordi â 1 og â 3 ikke kommuterer. De to operatorer har derfor ikke fælles egenvektorer α 1 og α 3, men disse udspænder hver sit underrum. Transformeringen gøres ved at indføre de langsomt varierende amplitudeoperatorer: ā 1 = â 1 e iωt ā 3 = â 3 e iωt Ligningerne (5.16) og (5.17) forenkles da til: ā 1 (t) = γā 1 + κā 1ā 3 ( γ ā + γ 1 c 1 ) (5.18) ā 3 (t) = γ 3 ā 3 1 κā 1 γ 3 c 3 (5.19) I en enkeltresonant kavitet vokser det. harmoniske felt ā 3 hurtigt op mod en næsten stationær tilstand, en qvasistationær tilstand. Det fundamentale felt er

64 64KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS længere tid om at blive stationært. Dette skyldes, at på vej mod højre gennem krystallen afgiver feltet energi til det. harmoniske felt. Den anden vej bygges det op, da der ikke er fasetilpasning og derfor ingen. harmonisk generering. Spejlet S har næsten nul reflektans overfor det. harmoniske felt, som derfor næsten ikke oscillerer i kaviteten, men vokser til en qvasistationær tilstand. Denne situation anvendes ofte til såkaldt adiabatisk eliminering. I en stationær tilstand er ā 3 = 0, og vi får fra (5.19) den adiabatiske løsning: ā 3 = 1 κ ā 1 γ 3 Langevinligningen (5.18) omformes da til: γ 3 c 3 (5.0) ā 1 = γā 1 µā 1ā 1 µā 1 c 3 γ ā γ 1 c 1 (5.1) hvor der efter inspiration fra [17] og [43] er indsat tofotondæmpningskonstanten µ 1 κ (5.) γ 3 som er det tab i det fundamentale felts intensitet, som skyldes selve frekvensfordoblingsprocessen. Den hermitesk adjungerede af (5.1) er: ā 1 = γā 1 µā 1 ā 1 µ c 3ā 1 γ ā γ 1 c 1 (5.3) Da antallet af fotoner i kaviteten, som nævnt, er meget stort og, da et givet felts amplitude ā er proportional med fotontallet, er det rimeligt at antage, at modulus af fluktuationerne i amplituden er meget mindre end modulus af amplituden selv, altså: δā << α hvor α = ā. Dette gør det rimeligt at anvende den føromtalte middelfeltapproximation, hvor man udtrykker felterne ā 1 og ā 3 i kaviteten som klassiske, kohærente felter plus noget kvantestøj: ā 1 = α 1 + δā 1, (5.4) ā 3 = α 3 + δā 3, (5.5) c 1 = δ c 1 og c 3 = δ c 3 (5.6) Dette gør (5.1) og (5.3) lineære i fluktuationerne, hvilket præcis er, hvad vi skal bruge. Formen af (5.6) skyldes, at tidsmiddelværdien af vacuumstøj forsvinder, altså: c 1 = c 3 = 0. Fluktuationerne i det fundamentale felt findes ved at tage

65 5.. UDLEDNING AF DEN SPEKTRALE FORDELING 65 differentialet af (5.1) og (5.3), samt ved at anvende (5.4) - (5.6). Mht. til det ulineære led ā 1ā 1 i (5.1) gælder: 1 som efter indsættelse af (5.4) giver: δ(ā 1ā 1) = â (ā 1ā 1)δā 1 + â (ā 1ā 1)δā 1 = ā 1ā 1 δā 1 + ā 1δā 1 δ(ā 1ā 1) = α 1 δā 1 + α 1δā 1 (5.7) hvor højere ordens fluktuationer er udeladt. Fluktuationerne i ā 1 og ā 1 bliver: δ ā 1 = (γ + µ α 1 )δā 1 µα 1δā 1 γ 1 δ c 1 µα 1δ c 3 γ δā, (5.8) og δ ā 1 = (γ + µ α 1 )δā 1 µα 1 δā 1 γ 1 δ c 1 µα 1 δ c 3 γ δā (5.9) Kvadraturfluktuationer: I det flg. benyttes de betegnelser for de interne og eksterne felters kvadraturer, som er angivet i teksten til fig. 5.. Bevægelsesligningerne for fluktuationerne i det fundamentale felts kvadraturer, X1 og X, inde i kaviteten fås af (3.18): δ X1 = 1 (δ ā 1 + δ ā 1 ) (5.30) δ X = i 1 (δ ā 1 δ ā 1 ) (5.31) (5.8) og (5.9) indsættes i (5.30): δ X1 = {γ + µ α 1 + µ (α 1 + α 1)}δ X 1 γ δ X 1,ind γ 1 δȳ1 µ(α 1 + α 1 )δ Z 1,ind i µ(α 1 α 1 )δ Z,ind i µ (α 1 α 1)δ X (5.3) Derefter indsættes (5.8) og (5.9) i (5.31): 3 δ X = {γ + µ α 1 µ (α 1 + α 1)}δ X γ δ X,ind γ 1 δȳ µ(α 1 + α 1 )δ Z,ind + i µ(α 1 α 1 )δ Z 1,ind i µ (α 1 α 1)δ X 1 (5.33) 1 Der anvendes formlerne ā f(ā, ā ) = [ā, f(ā, ā )] og f(ā, ā ) = [ā, f(ā, ā )] ā Undervejs anvendes, at hvis z 1 og z er komplekse tal, så er z 1 z + z1z = 1 (z 1 + z 1 )(z + z ) 1 (z 1 z 1 )(z z ) 3 Her anvendes, at z 1 z z1z = 1 (z 1 + z 1 )(z z ) 1 (z 1 z 1 )(z + z )

66 66KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS Her repræsenterer α fotontallet, som nævnt i kommentarerne til ligning (3.43). For at finde den spektrale fordeling for det squeezede felt, behøver vi kvadraturfluktuationerne ni frekvensrummet. Ligningerne (5.3) og (5.33) Fouriértransformeres derfor efter formlerne: hvilket giver: med F{δ X(t)} = δ X(ω), og F{δ X(t)} = iωδ X(ω) γ + δ X 1 (ω) ηδ X (ω) = x 1 + z og (5.34) ηδ X 1 (ω) + γ δ X (ω) = x + z + (5.35) γ ± = γ + µ α 1 ± µ (α 1 + α 1) iω x 1 = γ δ X 1,ind γ 1 δỹ1 x = γ δ X,ind γ 1 δỹ z + = µ(α 1 + α 1 )δ Z,ind + i µ(α 1 α 1 )δ Z 1,ind z = µ(α 1 + α 1 )δ Z 1,ind i µ(α 1 α 1 )δ Z,ind η = i µ (α 1 α 1) (5.34) og (5.35) er et sæt af inhomogene, lineære ligninger. Løses de mht. δ X 1 og δ X, får man: δ X 1 (ω) = γ (x 1 + z ) + η(x + z + ) γ + γ η, og (5.36) δ X (ω) = γ +(x + z + ) + η(x 1 + z ) γ + γ η (5.37) Dette er fluktuationerne i det interne, fundamentale felts kvadraturer. For at finde fluktuationerne i de udkoblede felters kvadraturer må vi se mere eksplicit på systemets tab til omgivelserne. 5.. Kvadraturfluktuationer i de eksterne felter Det er via systemets vekselvirkning med omgivelserne, at vi, som er en del af omgivelserne, får adgang til den information, der er i kaviteten. En vilkårlig o- perator for varmebadet fandt vi i (5.10). Den gjaldt for fremadrettet tid t, og vi definerede et indkoblet felt (5.14). Det tilsvarende udkoblede felt kan defineres ved, som skitseret i [8], at tidsomvende (5.10) og definere: ˆbud (t) 1 π dωb 1 (ω)e iω(t t 1) (5.38)

67 5.. UDLEDNING AF DEN SPEKTRALE FORDELING 67 Vi sætter altså t t 1 > t og integrerer fra t 1 til t: ˆb(ω) = ˆb1 (ω)e iω(t t 1) γ/π t1 t dt ĉ(t )e iω(t t ) (5.39) (5.10) og (5.39) integreres mht. ω, og højresiderne sættes lig med hinanden: hvoraf fås ([8]) dωˆb(ω) = πˆb ind (t) + π γ/πĉ(t) = πˆb ud (t) π γ/πĉ(t) ˆbud (t) = ˆb ind (t) + γĉ(t) (5.40) Dette er grænsebetingelsen, som de udkoblede felter, â 1,ud og â 3,ud, skal opfylde. ĉ er felterne â 1 eller â 3 i kaviteten og ˆb ind de tilsvarende indkoblede felter. Fluktuationerne i de udkoblede felter kan derfor med henvisning til fig. 5. og efter indførelse af de langsomt varierende amplituder, ā 1 og ā 3, skrives: δā 1,ud = δā + γ δā 1 (5.41) δā 3,ud = δ c 3 + γ 3 δā 3 (5.4) Ved hjælp af (5.41) sammen med dens hermitesk adjungerede, samt (3.18), får man de Fouriértransformerede kvadraturfluktuationer i det udkoblede, fundamentale felt: δ X 1,ud = δ X 1,ind + γ δ X 1 (5.43) δ X,ud = δ X,ind + γ δ X (5.44) (5.4) omformes ved at tage differentialet af den adiabatiske løsning (5.0) og heri indsætte tofotondæmpningskonstanten (5.): δā 3 = κ µα 1δā 1 κ µδ c3 som indsættes i (5.4). Herved bliver fluktuationerne i det udkoblede,. harmoniske felt som følger: Ud fra (5.45) og dens hermitesk adjungerede fås: δā 3,ud = δ c 3 µα 1 δā 1 (5.45) δ Z1,ud (ω) = 1 (δ ā 3,ud + δ ā 3,ud ), (5.46) og δ Z,ud (ω) = i 1 (δ ā 3,ud δ ā 3,ud ) (5.47)

68 68KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS Ved analoge regninger, som førte til (5.36) og (5.37), opnås de Fouriértransformerede kvadraturfluktuationer i det udkoblede,. harmoniske felt: 4 δ Z 1,ud = δ Z 1,ind µ(α 1 + α 1 )δ X 1 + i µ(α 1 α 1 )δ X (5.48) δ Z,ud = δ Z,ind µ(α 1 + α 1 )δ X i µ(α 1 α 1 )δ X 1 (5.49) 5..3 Spektralfordelingen Alle udregninger i forrige afsnit er udført under den stiltiende antagelse, at detuningerne, 1 og 3, mellem kavitetsfrekvensen og den fundamentale og. harmoniske frekvens er nul. Da udkoblingsspejlet har transmittans T 1 overfor det. harmoniske felt, og da det derfor ikke oscillerer i kaviteten, giver det mening at sætte 3 = 0. Ved hjælp af et feedbacksystem (afsnit 6.4) låses det fundamentale felt til den ulineære kavitets resonansfrekvens. Derfor har jeg antaget, at 1 = 0. Dette betyder, at der forsvinder en faktor e i 1t og e i 3t ved integration af (5.18) og (5.19), hvorved amplituden α 1 bliver reel, dvs. α 1 = α 1 og η = 0. (5.36) og (5.37) reduceres da til: mens (5.48) og (5.49) reduceres til: hvor δ X 1 (ω) = x 1 + z 1 γ +, og (5.50) δ X (ω) = x + z γ (5.51) δ Z 1,ud = δ Z 1,ind µα 1 δ X 1 (5.5) δ Z,ud = δ Z,ind µα 1 δ X (5.53) γ + = γ + 3µα 1 iω γ = γ + µα 1 iω x 1 = γ δ X 1,ind γ 1 δỹ1 x = γ δ X,ind γ 1 δỹ z 1 = µα 1 δ Z 1,ind z = µα 1 δ Z,ind Den spektrale fordeling for støjen i amplitude- og fasekvadraturerne, X1 og X, i det fundamentale felt er iflg. (4.9) givet ved: S Xj (ω) = δ X j,ud (ω)δ X j,ud (ω) (5.54) 4 I forbifarten anvendes, at hvis z 1 og z er komplekse tal, så er z 1z +z 1 z = 1 (z 1 +z 1 )(z + z ) + 1 (z 1 z 1 )(z z ) og z 1z z 1 z = 1 (z 1 z 1 )(z + z ) + 1 (z 1 + z 1 )(z z )

69 5.. UDLEDNING AF DEN SPEKTRALE FORDELING 69 hvor j = 1,. (5.43) - (5.44) og (5.50) - (5.51) indsættes, og der benyttes, at felter med forskellige kilder, er ukorrelerede, hvilket betyder, at δ X i δỹj = δ X i δ Z j = δ X j,ind δ X j,ud = δ Z j,ind δ Z j,ud = 0 for i, j = 1, og δ X i δ X j = δ Z i δ Z j = 0 for i j. (5.55) Endvidere benyttes, at det indkoblede, fundamentale laserfelt ã tilnærmelsesvist er et kohærent felt. Fluktuationerne i dette felt er derfor approximativt lig med vaccumstøjen fra reservoir et, altså S Xj,ind = konstant 1. Alle andre indkoblede felter er vacuumfelter med hvidt støjspektrum, dvs. S Zj,ind = SỸj = 1, j = 1, (afsnit 4.1). Heraf fås spektralfordelingen for det fundamentale felts kvadraturer: S X1 (ω) = 1 + 4γ (γ µα1), (γ + 3µα1) + ω og (5.56) S X (ω) = 1 4γ (γ µα1) (γ + µα1) + ω (5.57) Spektralfordelingen i det. harmoniske felts amplitude- og fasekvadraturer, Z1 og Z, fås ved at indsætte (5.48) - (5.51) i udtrykket S Zj (ω) = δ Z j,ud (ω)δ Z j,ud (ω), j = 1, (5.58) samt ved at benytte de samme betingelser ovenfor som for det fundamentale felt. Heraf fås: S Z1 (ω) = 1 + 8µα 1(γ µα1), (γ + 3µα1) + ω og (5.59) S Z (ω) = 1 + 8µα 1(γ + µα1) (γ + µα1) + ω (5.60) På fig. 5.3 er spektralfordelingerne (5.56) - (5.57) og (5.59) - (5.60) indtegnet: 5..4 Analyse Først bemærkes, at der ikke er taget hensyn til laserstøj. Kurverne fig. 5.3 viser, at squeezingen i amplitudekvadraturerne X 1 og Z 1 har maximum for ω = 0, mens fasekvadraturerne ikke kommer under kvantestøjgrænsen. Imidlertid så vi i afsnit (4.4), at laserens relaxationsoscillationer har en resonanstop omkring ω = 0. Dette ødelægger squeezingen, så man skal et stykke væk fra nulpunktet, før den klassiske støj ikke forstyrrer det squeezede signal (jfr. fig. 7.7, side 95). Dernæst bemærkes, at store interne tab γ 1 reducerer squeezingen. Desuden bliver squeezingen i X1 og Z 1 nul ved meget høje frekvenser: S X1, S Z1 1 for ω ± (5.61)

70 70KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS A.U. 1.5 A.U e+09-1e e+09 e+09 s s -1 -e+09-1e e+09 e+09 a) b) Figur 5.3: Spektralfordelingerne for a) det fundamentale felt og b) det. harmoniske felt. Graferne er tegnet med µ = 0.09 s 1, γ = γ 1 = s 1. Fordelingerne for amplitudekvadraturerne X 1 og Z 1 er tegnet med fuldt optrukne linier, mens fordelingerne for fasekvadraturerne X og Z tegnet med stiplede. idet 1 er valgt som kvantestøjgrænse i forbindelse med kommentarerne til (5.54), side 69. Dette forklares ved, at kavitetens kvalitetsfaktor eller Q-værdi: Q = 1 ω (5.6) δω cav sætter en øvre og nedre grænse for, hvilke frekvenser, der kan transmitteres ud af udkoblingsspejlet. Her er δω cav = ω + ω kavitetens båndbredde. Q-værdien er et tal mellem 0 og 1. Den er et mål for kavitetsfeltets spektrale renhed og afhænger afgørende af kavitetsspejlenes reflektionskoefficienter r 1 og r, idet δω cav = 1 [ c ] L (1 r 1r ) Her er r 1 og r ligeledes tal mellem 0 og 1, L er længden af den tomme kavitet. Store reflektionskoefficienter betyder lave tab ved kavitetsspejlene, lille kavitetsbåndbredde og dermed stor Q-værdi. Når ω >> ω + eller ω << ω, er det kun vacuumfeltet, der transmitteres. Derfor vil spektralfordelingerne konvergere mod kvantestøjgrænsen ved store frekvenser.

71 5.3. MAXIMAL KONVERSIONSEFFEKTIVITET 71 I det følgende analyseres squeezinggraderne i punktet ω = 0. Koefficienten µα 1 repræsenterer tabet i effekt i forbindelse med konvertering af to fotoner med pumpefrekvensen ω 1 til én foton med den. harmoniske frekvens ω 1, og afhænger lineært af fotontallet α 1 i den fundamentale bølge. I afsnit 5.3 vises, at i grænsen med maximal konversionseffektivitet er µα 1 = γ. Indsættes dette, fås: S X1 = 1 γ 4γ, S Z1 = 1 (1 γ γ ), S X = 1 + γ γ, S Z = 3 + γ γ (5.63) Disse relationer udtrykker den optimale squeezing ved den pumpeeffekt, der giver maximal konversionseffektivitet. Det ses, at det fundamentale og. harmoniske felts amplitudekvadraturer, X 1 og Z 1, squeezes, mens fasekvadraturerne ikke kommer under kvantestøjgrænsen. En simpel analyse viser, at squeezingen i det. harmoniske felt er større end squeezingen i det fundamentale felt. Paschotta et al. bemærker i ref. [17], at ved successivt at øge pumpeeffekten P 1,ind, optimere frekvensfordoblingen ved hver pumpeeffekt indtil den optimale pumpeeffekt P opt 1,ind, hvor den maximale frekvensfordobling nås, måles samtidig ved hvert pumpeniveau optimal squeezing. Efter punktet med maximal konversionseffektivitet fandt de, at optimal konversion ikke forekommer samtidig med optimal squeezing. Dette bekræftes i den følgende analyse, der viser, at squeezingen i det. harmoniske felts amplitudekvadratur stiger med øget pumpeeffekt mod et maximum. Går man til grænsen µα1, får man: S Xj = 1, j = 1, og S Z1 = 1 9, S Z = 9 (5.64) Øges altså fotontallet α1 i kaviteten ved at lade pumpeeffekten stige, øges konversionstabet µα1 ved frekvensfordoblingsprocessen, og konversionseffektiviteten falder. Samtidig øges imidlertid squeezingen i det. harmoniske felt, mens den falder i det fundamentale felt. Den maximale squeezing forekommer i det. harmoniske felts amplitudekvadratur og er på 1, svarende til 9.54 db eller ca. 90 %, 9 som refereret i [17]. Fasekvadraturen antisqueezes. Den ulineære krystal i squeezekaviteten og detektorerne sætter imidlertid grænser for, hvor hårdt man kan pumpe. I krystallen opstår såkaldt termisk linsevirkning, og detektorerne mættes ved høje intensiteter. Generelt kan dog siges, at man skal pumpe med så høj en effekt som muligt uden, at de nævnte gener opstår. 5.3 Maximal konversionseffektivitet Som det fremgår af ovenstående, skal pumpeeffekten passere grænsen for den pumpeeffekt, hvor der opnås maximal. ordens ulinearitet, for at få maximal

72 7KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS squeezing i det. harmoniske felts amplitudekvadratur. Det vil sige, at optimal frekvensfordobling ikke er det samme som optimal squeezing. For at kunne angive størrelsesordenerne af den optimale pumpeeffekt ind i kaviteten og de tab, der er i systemet, vil vi betragte punktet for maximal konversionseffektivitet lidt mere i detalje. Da kavitetsfelterne er lyse felter, gøres dette lettest i den klassiske grænse, hvor ā 1 = α 1, ā 3 = α 3, c 1 = c 3 = 0 Forventningsværdien af venstre og højre side af (5.18) og (5.19) giver: α 1 = γα 1 + κα 1α 3 γ α (5.65) α 3 = γ 3 α 3 1 κα 1 (5.66) Her er αj antallet af fotoner i kaviteten og α er raten af fotoner ind i kaviteten. I en stationær tilstand er α 1 = α 3 = 0, så γ α 1 = α γ + µα1 (5.67) α 3 = µ κ α 1 med (5.68) µ = 1 κ γ 3 Det udkoblede. harmoniske felt er givet ved forventningsværdien af (5.40): α 3,ud = γ 3 α 3 = µα 1 (5.69) Her er α3,ud raten af udkoblede fotoner fra kaviteten. Effektiviteten af konverteringen af fundamentale fotoner til. harmoniske fotoner er η = P 3,ud P 1,ind = ω 1α 3,ud ω 1 α hvor α er fundet ved (5.67). Af dη dα 1 = 4γ µα 1 (γ + µα 1) (5.70) = 0 findes, at γ = µα 1 (5.71) Maximal konversionseffektivitet sker altså der, hvor antallet af dannede. harmoniske fotoner pr. sekund præcis opvejer raten for sprednings- og absorptionstab af fundamentale fotoner. Efter dette punkt falder konversionseffektiviteten selv om, der pumpes hårdere, idet de atomare dipoloscillatorer har sværere og sværere ved at følge med det elektriske felts oscillation (mætning). Indsættes (5.71) i (5.70) finder man, at η max = γ γ = γ γ + γ 1 (5.7) som er den maximale konversionsseffektivitet, der kan opnås med den forhåndenværende kavitet.

73 5.4. OPTIMAL PUMPEEFFEKT Optimal pumpeeffekt Den optimale pumpeeffekt P opt 1,ind, hvor der er maximal konversionseffektivitet, kan nu findes ved at benytte den optimale pumperate (α opt ), dvs. pumperaten ( ) γ + µα α = 1 γ α1 for hvilken γ = µα 1, som ved indsættelse giver: (α opt ) = Den optimale pumpeeffekt er så givet ved: ( ) γ α1 = γ α1 = γ3 (5.73) γ γ µγ P opt 1,ind = ω 1(α opt ) = ω 1 (γ + γ 1 ) 3 µγ (5.74) Ved udregning ses, at P opt 1,ind har et minimum for et givet koblingstab γ. Den mindste effekt P opt 1,ind, der giver maximal konversionseffektivitet, findes ved differentiation af P opt 1,ind mht. γ. Af som indsættes i (5.74): d dγ P opt 1,ind = 0 fås γ = 1 γ 1 P opt 1,ind = 7 γ 1 µ ω 1 (5.75) Da realistiske pumpeeffekter 5 ligger i området mw, kan størrelsen af dæmpningskonstanten µ skønnes ved at afbilde pumpeeffekten mod de interne kavitetstab γ 1. Dette er gjort på fig. 5.4 a). Figuren er tegnet med en dæmpningskonstant på µ = 0.07 s 1. Med de ovennævnte grænser for pumpeeffekten, aflæses, at kavitetstabene optimalt ligger i området s 1. De interne tab i det fundamentale felt, målt i antal tabte fotoner i % pr. rundtur, skønnes til at være q 1 = 0.4 %. De omfatter to gange reflektionstab ved krystal luft overgangen på i alt 0.10 %, transmissionstab på 0.05 %, absorptionstab på 0.1 % pr. cm over 0.7 cm plus en sikkerhedsmargin på 1 %. Tabet pr. tidsenhed af energi E 1 i den fundamentale mode ved en tur rundt i kaviteten er de 1 dt = q 1 τ E 1 = q 1 nl/c E 1 5 realistiske uden anvendelse af andre metoder til forstærkning af pumpeeffekten, som kunne være Q-switching eller seeding

74 74KAPITEL 5. STØJENS SPEKTRALFORDELING I IKKE-KLASSISK LYS 1e+08 s mw 8e e e e+07 0 e+07 4e+07 6e+07 8e+07 1e+08 0 s m a) b) Figur 5.4: a) Den optimale pumpeeffekt, afbildet som funktion af de interne kavitetstab. b) Den interne tabsrate, afbildet som funktion af kavitetslængden hvor τ er tiden for en tur rundt i kaviteten, n =.3 er brydningsindekset for LiNbO 3, og l = L er længden af krystallen, som jeg for nemheds skyld har sat lig med kavitetens længde L. Heraf aflæses, at den interne tabsrate er γ 1 = q 1c 1 n l (5.76) Det ses, at tabsraten er omvendt proportional med krystallængden. Det optimale længdeinterval, svarende til ovennævnte grænser for de interne kavitetstab, findes ved at afbilde γ 1 i (5.76) mod længden l. Dette er gjort i fig. 5.4 b). Heraf aflæses, at kavitetslængden optimalt skal ligge i området mm. Det endelige valg afgøres af overvejelser omkring fasetilpasning, modetilpasning og kavitetens båndbredde, som vil blive taget op i afsnit 6.1.

75 Kapitel 6 Den eksperimentelle opstilling Min forgænger, Ulrik Lund Andersen ([43], p.70) opstillede eksperimentet, vist på fig. 6.1, side 76, til frembringelse og måling af squeezet lys. De centrale dele er (1) den ulineære kavitet (frekvensfordoblerkaviteten), hvor sumfrekvensgenereringen sker, () pumpelaseren, som leverer pumpefrekvensen til frekvensfordoblingen, (3) servoløkkerne, som låser den ulineære kavitet til pumpefrekvensen, og (4) det balancerede detektionssystem. I de følgende afsnit beskrives hver komponent for sig. Beskrivelsen dækker opstillingen, som den var, da jeg overtog den. I næste kapitel beskrives så implementeringen af de ændringer af opstillingen, som vi foretog. Princippet i eksperimentet er dog det samme før og efter indførelsen af ændringerne. 6.1 Den ulineære kavitet I dette afsnit vil jeg redegøre for de overvejelser, der må gøres, når en kavitet til frekvensfordobling/sueezing skal opbygges. De centrale aspekter i disse overvejelser hedder fasetilpasning og modetilpasning. Dertil kommer kravet til kavitetsbåndbredden og størrelsen af. ordens susceptibiliteten χ () i det ulineære materiale. Det sidste er afgørende for valget af optisk ulineært materiale, og her udmærker LiNbO 3 sig ved stor susceptibilitet og lavt absorptionstab pr. længdeenhed (0, 1 %/cm ved 1064 nm). For at undgå selvfokusering ved høje intensiteter er krystallen doteret med 5 % MgO. I afsnit hhv redegøres for de krav, som fasetilpasning og modetilpasning af den fundamentale og. harmoniske bølge stiller til kaviteten. Først vil jeg omtale frekvensfordobling generelt.. harmonisk generering (SHG) blev realiseret i 1961 af P. A. Franken et al. (ref. [44]). Baggrunden for stoffers ulinearitet er, at ved store amplituder og dermed høje intensiteter er potentialet for de atomare elektronoscillatorer ikke længere 75

76 76 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING Figur 6.1: Den eksperimentelle opstilling til frembringelse af lyst squeezed lys. Forkortelser: L=linse, NPRO=Nd:YAG-krystal, H=halvbølgeplade, K=kvartbølgeplade, EOM=elektrooptisk modulator, PBS=polariserende beamsplitter, FI=Faradayisolator, FR=Faradayrotator, S=spejl, DS=dikroisk spejl, BS=beamsplitter, D=detektor, Skop=oscilloskop, ESA=elektronisk spektrumanalysator (kilde: [43], p. 70)

77 6.1. DEN ULINEÆRE KAVITET 77 det parabolske alene: V (x) = 1 mω x men kan derudover have led med forskydningen x i 3., 4. og højere potens: V (x) = V (0) + x dv dx + x d V x=0! dx + x3 d 3 V x=0 3! dx x=0 = 1 mω x + Ax 3 + Bx Disse giver da anledning til., 3. og højere harmonier. I praksis stopper man ved 3. harmonisk generering, da højere harmonier er så svage effekter, at de ingen praktisk relevans har. Selvfokusering er en 3. ordens ulineær effekt, der skyldes, at brydningsindekset bliver intensitetsafhængigt ved høje intensiteter.. harmonisk generering er en udartet form for sumfrekvensgenerering. På mikroskopisk plan absorberer atomet to fotoner med frekvenserne ω 1 og ω og danner ved henfald en foton med frekvensen ω 3 = ω 1 +ω. En klasssisk gennemgang af frekvensfordobling findes i bilag A Fasetilpasning I bilag A udledes flg. udtryk for intensiteten af den frekvensfordoblede bølge: I 3 (ω 3 ) = µ3 ω1c 3 d l I 4n 3 n 1(ω 1 ) sin kl/ (6.1) 1 ( kl/) hvor l er længden af krystallen. Effektiv frekvensfordobling, dvs. stor konversionseffektivitet η = I 3(ω 3 ) I 1 (ω 1 ) (6.) kræver altså høje pumpeeffekter og en lang krystal. I et ulineært materiale gælder imidlertid, at energistrømmene (Poyntingvektorerne) i den fundamentale og. harmoniske bølge løber i forskellige retninger, selv om bølgevektorerne k 1 og k 3 har samme retning. Dette kaldes walk off. Den vejlænde l c, kohærenslængden, hvor strålerne løber i samme retning, er defineret som l c = π k (6.3) Denne længde er af størrelsesordenen 10 µm. En krystallængde ret meget længere end dette kræver fasetilpasning, hvilket vil sige, at man søger at få pumpefeltets og det. harmoniske felts fasehastighed til at nærme sig hinanden. Hvis k 0, ses af (6.3), at l c. På fig. 6. er vist den normerede fordeling i intensitet,

78 78 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING x Figur 6.: Den normerede intensitetsfordeling I 3 /I 3,max, afbildet som funktion af kl/ x. I 3 /I 3,max, som funktion af kl/ x. Maximumintensiteten fås ved ideel fasetilpasning, som opnås, når k = 0 (fasetilpasningsbetingelsen). Det er dog netop en idealisering, da krystaller på 10 µm er vanskelige at arbejde med, hvorfor det aldrig er muligt at opnå 100 % fasetilpasning. Perfekt fasetilpasning betyder, at k = k 3 (k 1 + k ) = 0, dvs. k(ω 1 ) = k(ω 1 ), eller n(ω 1 ) = n(ω 1 ) (6.4) En måde at opnå (6.4) på er ved at anvende dobbeltbrydende krystaller med et ordinært brydningsindeks n og et ekstraordinært n e. Det ekstraordinære felt har et brydningsindeks n e (θ), der afhænger af vinklen θ mellem krystallens optiske akse og udbredelsesretningen gennem denne. Ved at lade den. harmoniske bølge være den ekstraordinære kan man finde den vinkel θ T, for hvilken (6.4) er opfyldt, dvs. n e (ω 1, θ T ) = n (ω 1 ) Dette kaldes vinkelfasetilpasning eller kritisk fasetilpasning. Den sidste betegnelse hentyder til den ulempe, at for hård fokusering kan ødelægge fasetilpasningen. LiNbO 3 har en maximal divergensvinkel på den fokuserede stråle på 47 mrad cm. Da det er svært at undgå overskridelse af denne grænse, anvendes i dette eksperiment ukritisk fasetilpasning, hvor fasetilpasningsvinklen θ T vælges til 90. I stedet opvarmes krystallen til en passende temperatur, idet brydningsindekset er temperaturafhængigt. Dette er beskrevet af Hobden og Warner i 1966 [45]. Ovnen til opvarmning af krystallen er beskrevet i afsnit 6.4.1, side 85.

79 6.1. DEN ULINEÆRE KAVITET Modetilpasning En kavitet med længden L er i resonans med et indkommende felt, hvis L er et helt antal halve bølgelængder. Det betyder, at det kun er visse, bestemte longitudinale modes, der kan svinge i kaviteten. Hvis afstanden mellem disse er tilstrækkelig stor, kan kaviteten dermed bruges som et optisk filter med en vis båndbredde (kavitetsbåndbredden), der kun tillader visse frekvenser at komme ind og ud. Derudover kan feltet have flere transversale modes, også kaldet rumlige modes. Lyset splitter op i flere stråler, som konkurrerer om den totale energi, der er i kaviteten. De største ulineære effekter og dermed den største squeezing i det. harmoniske felt opnås, når kun den laveste orden af de rumlige modes, TEM 00 - moden, står i kaviteten. Netop af denne grund er det vigtigt, at kavitetens akse falder sammen med den optiske akse. I modsat fald skal lyset løbe flere gange frem og tilbage for at få det til at passe med et helt antal halve bølgelængder. Herved opstår de uønskede, højere ordens transversale modes. Da pumpestrålens transversale intensitetsfordeling er gaussisk, er dens bredde defineret som strålens diameter på det sted, hvor intensiteten er faldet med en faktor e 1 af intensiteten i centrum. Desuden har strålen en mindste radius w, stråletaljen, i fokuspunktet. Strålens form under udbredelse er derfor en omdrejningshyperboloide med strålen divergerende i begge retninger (fig. 6.3). Afstanden z 0 = πw 0n λ (6.5) kaldes Rayleighlængden, og n =.3 er mediets brydningsindeks. Divergensen θ af strålen er ( ) λ θ = tan 1 (6.6) πw n Stråleparametrene w og z er vigtige. F. eks. ses af (6.6), at når strålen fokuseres hårdt, dvs. når w gøres meget lille, vil strålen divergere kraftigt. Hvis fokuspunktet placeres midt i krystallen, medfører det svagere intensitet ude i krystalenderne. Det betyder igen, at de ulineære effekter og dermed squeezingen r - z 0 w 0 θ z 0 z Figur 6.3: Skitse af gaussisk stråles udbredelse.

80 80 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING Krystal Koblingsspejl Fokuserende linse h l x Figur 6.4: Skitse af den ulineære kavitet. Dimensionerne er: l = 7 mm, x = 8.5 mm, h = 1.5 mm, R 1 = krumningen af venstre spejl, R = krumningen af højre spejl. Krystallen er antirefleksbelagt, og reflektansen er 99.9 %. Reflektansen af venstre spejl er 99.9 % for 1.06 µm og 0.01 % for 0.53 µm. Reflektansen for højre spejl, koblingsspejlet, er 99.5% for 0.53 µm og 99.9 % for 1.06 µm. her bliver mindre. En passende stråletalje er skønnet til at være 5 µm. Den bedste fordeling af intensiteten i krystallen har man netop, hvis fokuspunktet placeres midt i krystallen. Krystallens længde l kan nu vælges således, at der højst må være en Rayleighlængde til hver side af fokuspunktet, dvs. længden må iflg. (6.5) højst være z = 8.3 mm. Da laserstøjens indflydelse betyder, at det er frekvenssidebåndene i den modulerede pumpestråle, der indeholder den største squeezing (se fig. 6.9), kræves der en ret stor kavitetsbåndbredde og dermed en ret lille krystal. På den anden side kræver maximal konversionseffektivitet en ideelt set uendelig lang krystal. Derfor er der valgt en længde på 7 mm, der også ligger indenfor det teoretisk skønnede længdeinterval, der kan give maximal konversionseffektivitet inden for det realistisk mulige pumpeeffektinterval (afsnit 5.4). Denne længde giver en intern tabsrate på γ 1 = s 1. Den optimale pumpeeffekt, der giver maximal konversionseffektivitet, bestemmes til 53 mw ud fra (5.75). Da pumpeeffekten for maximal squeezing er større end den for maximal konversionseffektivitet, er effekten for optimal squeezing vurderet til ca. 70 mw. Samtidig øges de interne tab iflg. (5.75) til s 1. Ved hjælp af softwareprogrammet LasCad er størrelsen x af luftgabet fundet til at skulle ligge indenfor mm. Udenfor dette interval er resonatoren ustabil. Der er derfor valgt et gab på x = 8.5 mm mellem krystallen og koblingsspejlet. Dimensionerne på kaviteten er vist på fig Krystallens ene side danner det venstre spejl i kaviteten, mens højre spejl, koblingsspejlet, er fritstående med luft mellem dette og krystallens plane flade. En kavitet med denne konstruktion kaldes en hemilitisk kavitet til forskel fra pumpelaserens monilitiske design. Den mest støjsvage kavitet ville være en monolitisk kavitet, men en sådan er vanskelig at låse til pumpelaseren, da man mister en frihedsgrad, der netop skulle gøre, at man via piezoelementet kan ændre den optiske længden af kaviteten. Selv om man kan ændre den optiske vejlængde via temperaturen, ville dette samtidig u- delukke fasetilpasning vha. temperaturen. Omkring z = 0 er bølgefronten næsten plan, men bliver mere og mere krum,

81 6.. PUMPELASEREN 81 des længere fra nulpunktet den kommer. Krumningens radius R(z) i ethvert punkt z og z er nu den ideelle krumningsradius af spejlene i kaviteten for, at en oscillerende bølge kan reproducere sig selv ved en tur fra det højre spejl til det venstre og tilbage igen. Vi sætter R( z) R 1, og R(z) R Krumningsradierne bestemmes ved en ABCD-matrixanalyse, der her skal skitseres kort ([30]). En gaussisk bølge har formen ψ(r, z) = exp[ r /w (z) ikr /R(z)] hvor w(z) er strålens radius i punktet z. Sammenhængen mellem strålens radius og krumningsradius er givet ved den komplekse stråleradius q(z) på formen: 1 q(z) = 1 R(z) i λ πnw (z) Her er q(z) = Aq + B Cq + D, og q = i πnw λ A, B, C og D er matrixelementerne i den resulterende matrix for kaviteten. Resultatet er, at stråletaljen er givet ved: ( ) λ 1/4 (nx 1)(nx + R 1 1)(nR + R 1 nx 1)(nR 1 nx 1) w = (6.7) π n (R 1 + n(r x) l) Med en længde l = 7 mm, et luftgab x = 8.5 mm og en stråletalje w = 5 µm bestemmes krumningsradierne af kavitetsspejlene ved (6.7) til: R 1 = 8 mm, og R = 10 mm 6. Pumpelaseren Pumpelaseren er et system, bestående af en 810 nm halvlederlaser, som via et optisk kabel pumper en Nd:YAG-krystal, og et kollimerende linsesystem, som kollimerer og fokuserer diodelyset ind i krystallen (fig. 6.5). Linsesystemet er bygget op i en XYZ-holder med tre på hinanden vinkelrette stilleskruer, som gør det ud for et lokalt, treretvinklet koordinatsystem. XYZ-holderen var igen var sat op i en

82 8 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING Holder til NPRO XYZ-holder NPRO Linse Linse Diodelaser Figur 6.5: Skitse af pumpelaseren. anden holder, der kunne parallelforskyde og dreje XYZ-systemet. Det hele er opbygget på en cm mikrobænk. I krystallen starter Nd-atomerne i løbet af den første halve mm (i stråletaljen, hvor effekttætheden er størst) laservirkningen i krystallen. I en måleserie, udført af Ulrik Lund Andersen, er stråletaljen målt til 15 µm og tærskelpumpeeffekten til ca. 600 mw. Virkningsgraden (pumpeeffekt/diodeeffekt) er målt til 30 % Den diodepumpede ND:YAG-ringlaser Årsagen til valget af den diodepumpede Nd:YAG-ringlaser er, at i eksperimenter med squeezing kræves en ekstremt støjsvag laser, fri for klassisk støj. Kilderne til klassisk støj vil hovedsagelig være mekaniske vibrationer i eksterne kavitetsspejle og andre optiske komponenter, relaxationsoscillationer, samt termisk støj. I laseren, som anvendes her, er der derimod ingen eksterne spejle og komponenter. Den er en monolitisk ringlaser, dvs. Nd:YAG-krystallens endeflade er både indog udkoblingsspejl, som derved er bygget sammen med det forstærkende medium (fig. 6.6 til venstre). På grund af krystallens udskæring kaldes laseren også en NPRO-laser. 1 I en plan ringlaser løber strålen i samme plan. I en ikke-plan ringlaser løber strålen i flere planer, som skitseret på fig. 6.6 til højre (frit efter [47], p. 79). De første NPRO-lasere, som de blev beskrevet i [48] - [5], havde krumme endespejle for at opnå en stabil resonator. I dette eksperiment anvendes plane endeflader på krystallen, som foreslået i [53]. NPRO-krystallen er designet og skåret i forbindelse med et Ph. D.-projekt på DTU [47]. Geometrien er entydig fastlagt ved siderne AE og EC, samt vinklerne θ A og β. Data for disse er vist i tabel 6.1 herunder ([47], p. 78). Den samlede længde af kaviteten er 17 mm. Det monolitiske design giver desuden god mulighed for temperaturstyring af 1 Non-Planar Ring Oscillator

83 6.. PUMPELASEREN 83 B C D A C 1064 nm A θ A D E β B 810 nm Figur 6.6: Den ikke-plane ring oscillator (NPRO). Geometrien er entydigt fastlagt ved liniestykkerne AE og CE, samt vinklerne θ A og β. AE CE θ A β 6.5 mm.0 mm Tabel 6.1: Data for NPRO-krystallens geometri krystallen, hvilket sker med et 4.6 W termoelektrisk Peltiérelement. Dette er vigtigt, da der udvikles varme ved absorption af diodelyset. Peltiérelementet er bygget som en elektrisk varmepumpe, idet en elektrisk strøm skaber en temperaturforskel mellem to varmeledende lag på op til 7 C, hvorved overskudsvarme ledes væk. Der holdes en konstant temperatur i krystallen på 4. Overskudsvarmen ledes bort ved, at Nd:YAG-krystallen er anbragt i en kobberholder med 6 mm kobber mellem krystallen og Peltiérelementet (fig. 6.7). Dette er igen an- Kobber NPRO Peltierelement 51,55 Messing Kølevand Figur 6.7: Holderen til Nd:YAG-krystallen. bragt på en messingholder, som med to klemmer er fastgjort til mikrobænken. Fra bordet til midtpunktet af krystallen er der 51, 55 mm. Studserne til højre er til til- og fraløb af kølevand. Dermed er hele systemet sikret effektiv køling under drift.

84 84 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING Lasere er optiske lysforstærkere, hvor forstærkningen sker ved stimuleret e- mission. Ringlasere har til formål dels at ensrette feltet i kaviteten, dels at gøre det enkeltfrekvent. I sædvanlige resonatorer opstår såkaldt rumlig holeburning i laserens forstærkningskurve, dvs. forstærkningen målt som funktion af frekvensen. Den stående bølge i kaviteten består af en venstre- og en højregående bølge, som ved interferens skaber en rumlig modulation af forstærkningen. Det betyder, at forskellige områder i lasermediet forstærker forskelligt, og i områder med stor forstærkning kan andre modes nå over tærskelforstærkningen og begynde at oscillere i kaviteten. I en ringlaser løber lyset kun i én retning. Der er derfor ingen rumlig hole burning. En metode til at ensrette laserfeltet er ved at anvende Faradayeffekten. Visse krystaller, heriblandt Nd:YAG, har den egenskab, at de er magnetooptisk aktive. Krystallen påtrykkes et ydre B-felt, i dette tilfælde en permanent magnet på 1 Tesla, og et elektrisk felt E sendes gennem krystallen. Magnetfeltet roterer da E-feltets polarisationsretning, uafhængigt af gennemløbsretningen. Denne pointe er nærmere beskrevet i næste afsnit om Faradayisolatoren. NPRO-krystallens geometri gør, at lyset passerer denne ved total intern reflektion (TIR). Ved disse reflektioner drejes polarisationen i én retning ved fremløb og i modsat retning ved tilbagekobling. Faradayeffekten er derimod uafhængig af feltets retning gennem krystallen. Resultatet er, at tilbagekoblede felter har et større effekt-tab end fremadrettede felter, idet deres polarisationsretninger gør, at de delvist udslukker hinanden. I Nd:YAG er tabet i den tilbagekoblede stråle så stort (0.01 %), at kun den fremadrettede stråle når over tærskelforstærkningen, og da der ikke er nogen rumlig holeburning, er denne stråle også enkeltfrekvent. Desuden virker koblingsspejlet som polarisator, så lyset kommer ud næsten lineært polariseret. 6.3 Faradayisolatoren Tilbagereflekterede felter kommer fra linser og spejle længere fremme i opstillingen, men især fra den ulineære kavitet, når den ikke er i resonans med det indkoblede, fundamentale felt (afsnit 6.1). Dette felt forhindres i at passere ind i Nd:YAG-krystallen og derved gøre laserprocessen ustabil ved, at det passerer gennem en Faradayisolator. Denne består af tre dele: en polariserende beamsplitter med lodret transmissionsakse i forhold til optikbordets plan, en Faradayrotator, der består af en magnetooptisk aktiv krystal, som er påtrykt et homogent magnetfelt, samt endnu en polariserende beamsplitter med transmissionsaksen drejet 45 fra lodret. Princippet er følgende ([30]): indlæg en z-akse i strålens retning fra pumpelaseren, og lad det påtrykte magnetfelt pege i aksens positive retning. Iagttageren ser hen imod kilden i z-aksens negative retning. Den første beamsplitter polariserer lyset lodret. Faradayrotatoren roterer polarisationen vinklen +45, idet lyset passerer den optisk aktive krystal. En tilbagekoblet stråle mod laseren i

85 6.4. SERVOLØKKER 85 z-aksens negative retning får polarisationen drejet vinklen 45 omkring den nye retning, fordi det påtrykte magnetfelt nu peger i modsat retning i forhold lysets bevægelsesretning, og iagtageren ser nu i aksens positive retning mod strålen. Den tilbagereflekterede stråles polarisation drejes altså i alt 90. Lyset er dermed polariseret vinkelret på den første beamsplitters transmissionsakse og vil derfor reflekteres 100 % ud af Faradayisolatoren. De tilbagekoblede, fundamentale felter fra den ulineære kavitet anvendes som fejlsignal i en mixer, der via den optiske servoløkke låser kaviteten til det indkoblede felt (afsnit 6.4.). 6.4 Servoløkker Servoløkker er elektroniske feedbacksystemer, der skal korrigere for fluktuationer i en målbar størrelse, i dette tilfælde temperaturen af en krystal og længden af en kavitet. I opstillingen er der to termiske servoløkker: servoløkken, der låser temperaturen i pumpelaserens Nd:YAG-krystal, og den, der styrer temperaturen af LiNbO 3 -krystallen i den ulineære kavitet, og en optisk servoløkke. I de følgende afsnit beskrives den termiske servoløkke til den ulineære krystal og den optiske servoløkke Termisk servoløkke LiNbO 3 har en fasetilpasningstemperatur på omkring 110 C, og en afvigelse på blot 0. C får frekvensfordoblingen til at falde til det halve. Det er derfor nødvendigt med en effektiv feedbackløkke, der skærmer krystallen mod u- defra kommende temperaturudsving. Hovedelementet i den termiske servoløkke, hørende til den ulineære kavitet, er en ovn, som krystallen er placeret i (fig. 6.8). Den består af et mm kobberrør (1). Mellem kobberet og krystallen er anbragt noget Indiumfolie for at lette varmetransporten. I kobberrøret er anbragt et termoelement () til temperaturføling, som er forbundet med en PID-kontrolboks (3). Opvarmningen af krystallen sker med en 1.6 m lang kobbertråd, der er viklet omkring kobberrøret med flest viklinger ude i enderne, da den største afkøling sker her, mens den største opvarmning sker i midten af krystallen, når der er resonans i kaviteten. Kobberrøret er isoleret fra omgivelserne ved at være kapslet ind i en boks af teflon (4) Optisk servoløkke Princippet i den optiske servoløkke er beskrevet på fig. 6.1 og 8.1. Elementerne er en elektrooptisk fasemodulator, en detektor, en signalgenerator, en mixer og et elektronisk filter. Bag på koblingsspejlet sidder et piezoelement (fig. 6.8),

86 86 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING () (3) piezoelement (1) (4) Figur 6.8: Skitse af ovn til opvarmning af ulineær krystal for at opnå ukritisk fasetilpasning til pumpefeltet. som vha. fejlsignalet fra mixeren låser længden af kaviteten. Den elektrooptiske modulator fasemodulerer feltet fra pumpelaseren og skaber derved flere ukorrelerede frekvenssidebånd (fig. 6.9). Dette findes beskrevet i bilag B, side 106. Modulationsfrekvensen er 19.5 MHz, dvs. dette er afstanden mellem sidebåndene 19,5 MHz Fasemoduleret pumpebølge ω Fasemoduleret, reflekteret pumpebølge ω Figur 6.9: Til venstre: sidebånd, dannet ved fasemodulation af pumpefeltet. Til højre: pumpefelt, reflekteret fra koblingsspejlet. og midterfrekvensen. Når den ulineære kavitet ikke er i resonans med pumpefeltet, hvilket er ensbetydende med en detuning 1 = ω cav ω 1 mellem kavitet og pumpefelt, reflekteres disse sidebånd fra koblingsspejlet. Pga. faseskift ved reflektion får et af dem negativt fortegn. Hvilket sidebånd, der skifter fortegn, afgøres af fortegnet på detuningen 1. Det tilbagekoblede felt overføres via Faradayisolatoren til en detektor, som sender ac-signalet til mixeren, hvor det blandes med referencesignalet fra signalgeneratoren. Før det blandede signal sendes til kaviteten, filtreres det for uønskede modulationer. Ved positiv detuning sendes en positiv dc-spænding til piezoelementet og ved negativ detuning en negativ dc-spænding. Amplituden af sidebåndene, og dermed af dc-spændingen, er proportional med detuningen. Hvis detuningen er nul, får sidebåndene samme faseskift, og da de er ukorrelerede, er resultatet af blandingen i mixeren en spænding på 0 V til

87 6.5. DET BALANCEREDE DETEKTIONSSYSTEM 87 db 1/ ν støj Kvantestøjgulv (shot noise) Johnsonstøj (termisk støj) Afskæringsfrekvens ω Figur 6.10: Ideelt signal fra den balancerede homodyndetektor. piezoelementet. 6.5 Det balancerede detektionssystem Jens Rahr byggede to ens detektorer til den elektroniske del, og en elektronisk spektrumanalysator er blevet anskaffet. Fotodioden, som benyttedes, var S3399 fra Hamamatsu. Detektorerne blev forbundet med en sum/differensforstærker. Både den optiske del med 50/50-beamsplitteren og den elektroniske del skal afbalanceres. Effekten til de to detektorer skal være ens. Da beamsplittere aldrig deler lyset helt lige op, kræver dette indsættelse af en polarisator eller en polariserende beamsplitter, kombineret med en halvbølgeplade. Med denne grovjusteres effekten til den ene detektor, indtil den er identisk med effekten til den anden. Den elektroniske del balanceres derefter ved at sende et klassisk, kohærent lysfelt fra en grøn laser (53 nm) ind på detektorerne. Halvbølgepladen finindstilles og på spektrumanalysatoren iagttages, hvordan ac-signalerne ophæver hinanden i differensforstærkeren. Det ideelle signal skal så se ud som på fig Det virkelige signal ser dog mindre pænt ud, hvilket tilskrives forskellige perturbationer, incl. relaxationsoscillationer i laseren og krybestømme i detektoren. I praksis kan man se bort fra 1/ν-støj, da den befinder sig omkring nulpuktet. Måling af subpoissonlys sker mellem 10 MHz og afskæringsfrekvensen, som i de fleste tilfælde er omkring 50 MHZ Spektrumanalysatoren Spektrumanalysatoren (SA) er et instrument til måling af lysets spektrale støjegenskaber. Det måler i Fourierrummet, og kan derfor kun modtage ac-signaler.

88 88 KAPITEL 6. DEN EKSPERIMENTELLE OPSTILLING Spektrumanalysatoren laver en mellemfrekvens med et båndpasfilter, hvis bredde kaldes kaldes opløsningsbåndbredden (RBW). Den ideelle form for filteret er en δ-funktion, så der scannes én frekvens ad gangen. Det ville imidlertid ikke give noget signal, der kan måles. Derfor skal RBW have en vis bredde, så man kommer over spektrumanalysatorens egenstøj. Med dette filter scannes hen over indgangssignalet med vis tidsrate, som kaldes videobåndbredden VBW = 1 τ, hvor τ er integrationstiden. Store værdier af VBW udglatter fluktuationerne, da man lukker mere signal ind, som der kan midles over.

89 Kapitel 7 Implementering af ændringer i opstillingen 7.1 Pumpelaseren I den oprindelige opstilling var det udkoblede lys fra Nd:YAG-krystallen ikke enkeltfrekvent. Dette skyldtes, at diodelaseren pumpede over for stort et område i krystallen og derved skabte flere transversale modes. Dette gav en dårlig fordeling af energien i kaviteten og en dårlig fokusering, hvorved squeezinggraden blev forringet. Målet er lys, der kun er i TEM 00 -moden. Problemet løstes ved at skaffe en diodelaser med mindre stråleradius, og den fik det tekniske navn LD5. Et kabinet af messing blev fremstillet af smedeværkstedet efter Søren Hjorths tegninger. Det lykkedes at få Nd:YAG-krystallen til at give laservirkning, og der blev målt 48 mw ved 1, W pumpeeffekt. Dette var ikke overbevisende. Vi fandt ingen forklaring på den lave udgangseffekt. Desuden var Peltiérkontrollen ikke helt stabil, men fluktuerede i et temperaturinterval mellem 0 og. Dette, mente vi, skyldtes, at bortledningen af overskudsvarme fra dioden ikke var effektiv nok. Det blev derfor besluttet, at der skulle lægges en minimum mm kobberplade under Peltiérelementet. Kobberet, der blev anvendt, var såkaldt OFCH-kobber, som er en speciel type, stærkt varmeledende, kobber. Skitsen fig. 7.1 viser placeringen af de tre elementer: diodeholder af messing, kobberplade og Peltiérelement. Til venstre ses kabinettet i plant snit med den mm store udskæring til diode, kobberplade og Peltiérelement. Der blev indsat et nyt, mere effektivt Peltièrelement, der kunne trække en effekt på 13.1 W mellem den kolde og varme side. Den gamle kunne kun trække.8 W. Selve laserdioden sidder på den 1.55 mm høje messingklods, og det aktive lag i dioden har et tværsnitsareal på µm. Dette giver strålen en vertikal 89

90 90 KAPITEL 7. IMPLEMENTERING AF ÆNDRINGER I OPSTILLINGEN 8,3 diodeholder kobberplade Peltierelement 50 studser til kølevand 30 A 17 A Snit A-A divergens på Figur 7.1: Kabinet til laserdioden. Mål er i mm. ( ) ( ) λ θ = tan 1 = tan 1 9 = 78 b hvor b = 1 µm er aperturvinduets højde. Den horisontale divergens er kun 0.93, dvs. strålens tværsnit er stærkt elliptisk, når den kommer ud af diodens aktive område. For at kollimere strålen har Optopower placeret en mikrolinse foran diodens aperturvindue, som reducerer den vertikale divergens til omkring 30. Strålens elliptiske form spiller ingen rolle for diodens anvendelighed som pumpediode, da det er fokuseringen af strålen ind i Nd:YAG-krystallen, der er det afgørende. Da dioden var færdigmonteret i holderen, knækkede linsen ved et uheld af under rengøring af dioden. Da det derefter viste sig, at Optopower ikke kunne levere en diode magen til, betød dette, at vi måtte lede efter en ny leverandør. Under eftersøgningen afprøvede vi to russisk producerede ATC-dioder for at undersøge, om deres konstruktion gjorde dem anvendelige som pumpelasere. Der var tvivl om dette, da den endeflade på dioden, der kobler laserlyset ud, kun var antirefleksbelagt til en reflektans R på 0.5 % og en tilsvarende høj transmittans. Dioderne var bestilt til forsøg i andet øjemed, hvor feedbackeffekter netop indgik som en vigtig del. I nærværende forsøg var der ikke tilstrækkelig styr på de tilbagekoblede signaler fra linser og NPRO ind i laseren, som derfor mere forstyrrede laserprocessen end forstærkede den. Den manglende antirefleksbelægning gjorde, at ATC en var yderst følsom overfor tilbagereflekteret lys. Dette blev konstateret ved med en beamsplitter at lede noget af lyset fra ATC-dioden ind i en effektmåler, som igen blev forbundet med en skriver. Resten af lyset blev ledt ind i NPRO en. Sålænge man ikke justerede på opstillingen, var dioden stabil, men ændrede man på linsens placering, blev den straks ustabil. Det viste sig da

91 7.1. PUMPELASEREN 91 også, at det ikke var muligt at skabe tilstrækkelig populationsiversion i Nd:YAGkrystallen til at give laservirkning. En lånt diode diode viste sig at mangle en mikrolinse, så strålen divergerede de samme 78, svarende til dens aperturvindue på µm. Der blev anskaffet en speciel mikrolinse fra Limo GmbH, men efter montering viste dioden sig at give for lav udgangseffekt, 50 mw, hvor vi gerne skulle op på mindst en 1 W. Derefter vendte vi tilbage til de russiske ATC-dioder, denne gang med en kraftigere antirefleksbelægning (R = 4 %), og med en maximal udgangseffekt på 1 W ved 810 nm. Det lykkedes at få laservirkning i Nd:YAG-krystallen, og jeg målte en udgangseffekt på 55 mw ved 1 W pumpeeffekt, hvilket er rigeligt til at gå videre med. På fig. 7. er indtegnet en måleserie, der viser udgangseffekten fra Nd:YAG-laseren som funktion af pumpeeffekten fra dioden. Der er en klar lineær sammenhæng, idet korrelationskoefficienten er Fluktuationerne omkring den rette linie skyldes, at det var vanskeligt at ramme effektmålerens aktive område præcist. Tærskelpumpeeffekten ses at være ca. 00 mw, hvilket viser, at der er opnået en forbedret fokusering ind i Nd:YAG-krystallen, dvs. pumpestrålen har en mindre radius og pumper over et mindre område i krystallen. Virkningsgraden (udgangseffekt/indgangseffekt) er lig med hældningen af den rette linie, som er 37.3 %. Mao.: 37.3 % af feltet med bølgelængde 810 nm omsættes til et felt med bølgelængde 1064 nm. Dette er en forbedring på 7.3 % i forhold til opstillingen i afsnit 6.. Den frembragte laserstråle skulle nu undersøges mht. intensitetsfordeling, modefordeling og polarisation. Intensitetsfordelingen blev målt med en stråleanalysator fra Melles Griot (fig. 00 mw mw Figur 7.: Udgangseffekt fra Nd:YAG-krystallen som funktion af pumpeeffekt.

92 9 KAPITEL 7. IMPLEMENTERING AF ÆNDRINGER I OPSTILLINGEN 7.3, side 93). Den består af et 8, cm detektorhoved, i hvilket der sidder to roterende tromler, hver med et hul, formet som en kniv, idet dets ene kant er skåret på skrå. Når tromlerne roterer, hakkes lyset op i små portioner, og strålens tværsnit analyseres mht. intensitet og bredde. Dette sker i to retninger v og w, vinkelret på hinanden. Resultatet analyseres i et medfølgende computerprogram. Et intensitetsprofil, optaget ved ca. z = 10 cm fra Nd:YAG-krystallens centrum, ses på fig. 7.4, side 93. Strålens radius i denne afstand var r = 336 µm. Det giver en stråletalje i Nd:YAG-krystallens centrum på w = λz πrn = 55 µm dvs. en forbedret fokusering på 56 %. Modefordelingen er vigtig, idet det for at opnå maximal squeezing er essentielt, at lyset fra Nd:YAG-laseren er enkeltfrekvent (singlemode). Modefordelingen blev testet ved via en beamsplitter at lede halvdelen af strålen ind i et Fabry-Perot-interferometer (FP) og sende signalet til et oscilloskop (fig. 7.3). Et piezoelement, 1 over hvilket der er lagt en savtakhøjspænding, ændrer længden af kaviteten i FP-interferometeret, som derved scanner henover feltets frekvenser. På fig. 7.5 er vist et modeprofil. Den nederste kurve viser en udvalgt periode af højspændingen over piezoelementet. På den øverste kurve ses, at scanningen viser en enkelt resonanstop i hver periode. Én periode i savtakspændingen dækker et frekvensområde på 8 GHz. Den frie spektralbredde i Nd:YAG-laseren er: ν = c nl = 4.8 GHz hvor n = 1.8 er brydningsindekset for Nd:YAG, L = 17 mm er længden af kaviteteten i Nd:YAG-laseren, og c er lyshastigheden. Forstærkningsbåndbredden for Nd:YAG er 180 GHz. Der er derfor plads til 180 : 4.8 = 37 lasermodes i kaviteten. Da man kun ser én resonanstop, kan vi derfor slutte, at feltet er enkeltfrekvent. Polarisationen af feltet skal være lodret for at Faradayisolatoren skal virke efter sin hensigt (afsnit 6.3, side 84). Laserfeltet fra pumpelaseren er svagt elliptisk polariseret. Der indsættes derfor en kvartbølgeplade, der ændrer polarisationen fra elliptisk til lineær, og efter den en halvbølgeplade, der drejer polarisationen vinklen ψ, hvor ψ er vinklen mellem halvbølgepladens hurtige akse og den lodrette akse i forhold til bordets plan. Kvart- og halvbølgepladerne skal stilles således, at lyset, efter transmission gennem dem, er lodret polariseret. Dette gøres ved efter halvbølgepladen at indsætte en lodret polarisator (Glahnprisme). Derefter optimeres den transmitterede lasereffekt med en effektmåler ved iterativt at stille skiftevis på kvart- og halvbølgepladen, indtil der kommer maximal effekt ud af polarisatoren. 1 på det ene af spejlene i FP-kaviteten den vejlængde, strålen tilbagelægger gennem krystallen

93 7.. ÆNDRINGER I DE OPTISKE KOMPONENTER 93 Melles-Griot detektorhoved beamsplitter NPRO PC FP ATC-laser Højspændingskilde Osc.skop Figur 7.3: Opstilling til undersøgelse af, hvorvidt lyset fra Nd:YAG-laseren er enkeltfrekvent. Figur 7.4: Intensitetsfordelilngen af pumpestrålen fra Nd:YAG-laseren. Det ses, at ATC-laseren kun har én transversal mode, nemlig TEM Ændringer i de optiske komponenter Når vi får sat ATC-laseren op, vil det ikke være nødvendigt med det dobbelte linsesystem (fig. 6.4, side 80), da den har mindre stråleradius. Desuden sidder

94 94 KAPITEL 7. IMPLEMENTERING AF ÆNDRINGER I OPSTILLINGEN Figur 7.5: Modefordelingen af feltet fra Nd:YAG-laseren. Den øverste kurve med V pr. inddeling viser resonanstoppen. Den nederste kurve med 5 V pr. inddeling viser en periode i savtakspændingen. de to linser med en fast afstand, og det vil derfor ikke ændre på strålens forløb, at linserne bliver parallelforskudt med stilleskruerne på XYZ-holderen. Derfor ændredes opstillingen således, at den bageste linse blev fjernet, XYZ-holderen taget ned af den anden holder, den sad på, og sat direkte på mikrobænken (fig. 7.3, side 93). Efter Nd:YAG-krystallen er der indsat en lodret polarisator for at sikre, at lyset er lineært polariseret, når det indtræder i Faradayisolatoren. Efter denne er der indsat to ekstra achromatlinser (Kepler sk beam expander), begge med focallængde f = 40 mm, dels til fokusering af strålen før den går ind i den ulineære kavitet, dels til forskydning af stråletaljen. En måling efter achromatlinserne viste en effekt på 65 mw. Det store tab i effekt fra pumpelaseren hen til kaviteten skyldes specielt de to metalspejle, men derudover skyldes det spredning og absorption i de optiske komponenter. Efter achromatlinserne, lige før den ulineære kavitet, er der placeret yderligere en linse med focallængde f = 50 mm for at få strålen fokuseret det sidste stykke ned til en stråleradius på 5 µm. 7.3 Detektorerne Ulrik Andersen fik lavet to ens detektorer til den balancerede homodyn detektor. Det viste sig, uden nogen påviselig årsag, at den ene af disse, fremover benævnt jens1 og jens efter teknikeren, der fremstilte dem, havde en defekt, der fik for-

95 7.3. DETEKTORERNE 95 stærkeren til at gå i selvsving, når vi foretog en detektering af ca. 3 mw lasereffekt. Jens havde da to andre detektorer liggende, fremstillet af Hamamatsu og fremover kaldt hamamatsu1 og hamamatsu. De var fremstillet med en fotodiode fra Hamamatsu s S-serie (S ) og har en relativ stor NEP ( W/ Hz) og tilsvarende lille detektivitet. Detektorerne blev testet mht. deres frekvenskarakteristik, 3 først ved 3 mw effekt og derefter ved 15 0 mw. Den anvendte opstilling til denne test ses på fig Frekvenskarakteristikken ved 3 mw for hamamatsu1 ses på fig. 7.7, side 95. Den samme kurve for hamamatsu er har samme udseende, bortset fra fluktuationerne. Som det ses, forstærker 0 V Transformer Laser Det Spektrumanalysator Figur 7.6: Opstilling til test af detektorernes frekvenskarakteristikker. Laseren er en grøn diodelaser (53 nm) fra Torsana Systems A/S med en max. udgangseffekt på 15 0 mw. Lasereffekten blev målt med en digital effektmåler fra BBT Instrumenter ApS. Figur 7.7: Frekvenskarakteristik for Hamamatsu detektor 1. VBW og RBW er 100 khz, sweeptiden er 5 ms, og referenceniveauet er 40 dbm. hamamatsu1 og kun signalet over de første ca. 4 MHz ved lav effekt, mens detektoren ikke viser noget signal ved høje frekvenser. Ved 15 0 mw (ikke vist) forstærkede detektorerne over hele det spektrum, som de var bygget til ( dvs. en kurve, hvor detektorens mørkestrøm er fratrukket signalet fra det indkommende lys

96 96 KAPITEL 7. IMPLEMENTERING AF ÆNDRINGER I OPSTILLINGEN MHz). Det manglende signal ved høje frekvenser beror på, at detektoren har for lille en fotosensitivitet 4 ved høje frekvenser resp. korte bølgelængder. Den lille fotostrøm ved høje frekvenser gør, at signalet forsvinder i detektorens egenstøj, og der behøves derfor en stærkere bestråling af detektoren for at få et synligt signal. Den lave fotosensitivitet for hamamatsu 1 og ved høje frekvenser og det deraf følgende lille signalstøjforhold ved lave lasereffekter gjorde, at vi måtte prøve igen med detektorerne jens1 og jens. Jens Rahr fik udbedret jens1, og vi lavede en frekvenskarakteristik på hver af dem. Frekvenskarakteristikken for jens1 ses på fig Samme kurve for jens er helt identisk. Den anvendte opstilling er ligeledes Figur 7.8: Frekvenskarakteristik for detektor jens1. VBW og RBW er 1 MHz, sweeptid er 5 ms, og referenceniveauet er 10 dbm. den på fig Det ses, at jens1 og jens har temmelig megen egenstøj omkring 0 40 MHz. Da fordelingen af indkommende fotoner er Poissonfordelt (jfr. afsnit.3), vil spektret efter Fouriértransformation vise hvid støj, dvs. spektrumanalysatoren skal ideelt vise en vandret kurve. Ved målingerne af karakteristikkerne fig. 7.7 og 7.8 sås desuden, at toppen omkring 0 MHz var afhængig af lasereffekten. På grundlag af disse to væsentlige kritikpunkter må vi konkludere, at der må bygges to nye detektorer. Efter nogen tids overvejelser omkring, hvilken fotodiode vi skulle anvende, faldt valget på Hamamatsu s S307. Den er indbygget i et metalhus, der virker afskærmende mod udefra kommende støj. Dens eneste ulempe var prisen (155,- DM incl. moms). Et muligt alternativ kunne være S5573. Den har imidlertid en linse indbygget i huset. Dette ville give et bidrag til tabet i homodyn detektoren og dermed være med til at ødelægge squeezingen. Desuden er 4 defineret som fotostrømmen ved 1 Watt af indkommende stråling

97 7.3. DETEKTORERNE 97 huset af plastic, dvs. dioden er ikke ligeså godt afskærmet mod udefra kommende støj som S307. De ting, der taler for S5573 i forhold til S307, er en 10 gange mindre NEP, en 10 gange mindre mørkestrøm, samt prisen (14,- DM inkl. moms). Egenskaberne for de to dioder er vist i tabel 7.1. Diagram over detektoren S307 s S307 S5573 Spektralområde nm nm Max. fotosensitivitet S 0.6 A/W (ved 90 nm) 0.53 A/W (ved 900 nm) Sensitivitet S ved 53 nm 0.37 A/W 0.3 A/W Effektivt detektorareal (diameter) 3.0 mm 3.0 mm Mørkestrøm i D 0.3 na 0.05 na Afskæringsfrekvens f c 45 MHz 60 MHz NEP W/ Hz W/ Hz V R max. 50 V 0 V Tabel 7.1: Sammenligning af data for fotodioderne S307 og S5573. konstruktion er vist i Bilag C. Den er bygget således, at de fleste modstande og kapacitorer er såkaldte SMD-komponenter, 5 dvs. de er alle jordforbundet ved, at benene er ført gennem printkortet til bagsiden, som er jord. Dette giver lav induktans og dermed ringe mulighed for, at der kan opstå hvirvelstrømme i printkortet, som giver 1 -støj i detektoren. Detektorernes spektralkurve er vist ν på fig. 7.9 ved detektion af grønt laserlys (53 nm), først uden laseren (nederste kurve) og derefter med laserlyset tændt (øverst). Den nederste kurve viser støjen fra mørkestrømmen, dvs. støjen fra den ubestrålede detektor. Den øverste kurve er derfor sammensat af detektorens mørkestrøm, kvantestøj og klassisk støj fra laserfeltet. Det ses, at den klassiske støj ophører omkring 18 MHz. Hvis detektoren er kvantestøjbegrænset, så er støjniveauet efter ca. 18 MHz kvantestøjgulvet (standard shot noise). Fig viser den indstrålede effekts indflydelse på det målte støjsignal. Målepunkterne er optaget ved 0 MHz, vel uden for det frekvensområde, hvor der er mulighed for klassisk støj. Det ses, at detektoren mætter omkring 0.5 mw, hvilket skyldes, at strålen fokuserede for hårdt på detektoren. Endvidere ses det, at støjen øges med 3 db ved en fordobling af effekten, hvilket viser, at detektoren er kvantestøjbegrænset. 5 surface mount devices

98 98 KAPITEL 7. IMPLEMENTERING AF ÆNDRINGER I OPSTILLINGEN Klassisk støj Kvantestøj Figur 7.9: De nybyggede detektorers spektralkurve. Øverste kurve er med lys og nederste uden laserlyset tændt. Referenceniveauet er 4, 9 db, VBW er 300 khz, RBW er 100 khz. 6 db mw Figur 7.10: De nybyggede detektorers støjsignal som funktion af den indstrålede effekt.

99 Kapitel 8 Resultater De eksperimentelle undersøgelser resulterede i en ændret opstilling som vist på fig I forhold til den forrige opsilling fig. 6.1 er diodelaseren blevet skiftet ud med en ATC-laser, der har en mindre stråleradius og dermed bedre fokuseringsegenskaber. Stråletaljen er på 55 µm mod 15 µm i strålen fra den gamle diode. Tærskelpumpeeffekten er 00 mw, dvs. tre gange mindre end den gamle. Den nye diode har desuden en 7 % bedre virkningsgrad. Figurerne 7.4 og 7.5 viste, at der er én transversal mode og én longitudinal mode i pumpestrålen fra Nd:YAGlaseren. Kvaliteten og fokuseringen af strålen blev checket med stråleanalysatoren fra Melles Griot før og efter koblingsspejlet blev sat ind. Tværsnit af strålen efter koblingsspejlet i retningerne v og w, vinkelret på hinanden, ses på fig. 8.. Ud fra overvejelser omkring mode- og fasetilpasning blev en optimal pumpeeffekt for maximal squeezing vurderet til o. 70 mw. De interne tab blev skønnet til ca s 1. Modetilpasningen blev gjort ved at opsamle det gennem kaviteten transmitterede lys i et kamera og afbilde strålen på en TV-skærm. I indstillingen af kaviteten er der ni frihedsgrader at regulere på: linsen med f = 50 sidder på en XYZ-holder, koblingsspejlet sidder ligeledes på en XYZ-holder, og ovnen med krystallen sidder på en holder med tre frihedsgrader. Fig. 8.3 viser et billede af lyset fra den resonante kavitet, og det ses, at kaviteten er i resonans med en TEM 00 -mode. På fig. 7.7, side 95, så vi, at detektorerne muligvis er kvantestøjbegrænsede efter ca. 18 MHz. Måleserien fig viste, at de faktisk er kvantestøjbegrænsede. I forhold til kvantestøjgrænsen skal squeezingen måles. For at kunne afgøre definitivt, at der kun er ren kvantestøj efter 18 MHz, skulle vi have anvendt den balancerede homodyne detektor med sumfunktionen i sum/differensforstærkeren, men pga. de ovenfor omtalte forsinkelser var der ikke tid til dette. 1 Af samme grund nåede vi heller ikke det sidste trin, nemlig måling af squeezing i det. 1 Ulrik Andersen, som siden anvendte detektorerne til homodyn detektion, bekræftede, at de er kvantestøjbegrænsede. 99

100 100 KAPITEL 8. RESULTATER ATC NPRO L 1 λ λ 4 P F EOM D FI S S Tilbagekoblet lys fra kavitet L L L 3 DS 4 Kavitet Kamera Signalgenerator Mixer F Filter TV BS λ - D D 1 +/- ESA Sum/differensforstærker Figur 8.1: Den ændrede opstilling. Benævnelser: ATC = diodelaser, NPRO = Nd:YAG-krystal, L 1 = linse med f = 0 mm, L = achromatlinse med f = 40 mm, L 3 = achromatlinse med f = 40 mm, L 4 = linse med f = 50 mm, P = polarisator, EOM = elektrooptisk modulator, FI = Faradayisolator, S = spejl, DS = dichroisk spejl, BS = beamsplitter, D = detektor, ESA = elektronisk spektrumanalysator. harmoniske lys. Dette ville vise sig som en sænkning af kvantestøjgulvet på fig. 7.7, jfr. også spektralfordelingen (5.59).

101 101 Intensitet/A.U. Intensitet/A.U. 50 % 50 % 13.5 %.5 % %.5 % µm µm 100 Figur 8.: Tværsnit af strålen efter koblingsspejlet i to retninger vinkelret på hinanden. Figur 8.3: Billede af TEM 00 -mode fra det transmitterede, fundamentale felt i den ulineære kavitet.

102 Kapitel 9 Konklusion Denne afhandling har beskrevet videreførelsen og ændringen af en i forvejen eksisterende eksperimentel opstilling til frembringelse af ikke-klassisk (squeezet) lys. Hovedsigtet var en påvisning af en større grad af squeezing som resultat af den ændrede opstilling. Det er gjort ved at give en forholdsvis grundig indføring i den teoretiske baggrund, ved at beskrive eksperimentet, som det tog sig ud, da jeg kom ind i billedet, og ved at redegøre for de ændringer, som blev skønnet nødvendige for at opnå forbedret squeezing med den anvendte type kavitet. Denne tredeling af projektet gav følgende billede af den komplekse opgave, det er at frembringe squeezet lys: Det esentielle i måling af lysets kvantetilstande er en kvantedetektor. Derfor er der fra starten redegjort for funktionsmåden af en PIN-halvlederdetektor. Det viste sig værdifuldt at kunne tune spærremodstanden i detektoren, så signal/støjforholdet kunne gøres så stort som muligt uden, at detektoren mættede. Derefter blev der redegjort for fotonstatistikken i det klassiske, kohærente lysfelt, hvilket viste, at tilfældigt fordelte ankomsttider af fotonerne til en detektor giver anledning til en Poissonfordeling af antallet af detekterede fotoner i et fastlagt tidsrum. Fysisk betyder det, at støjen i et kohærent felt er hvid støj. Da squeezing er en ren kvantemekanisk effekt, og en forståelse af den squeezede tilstand af lyset kun kan opnås med baggrund i et kendskab til den nærklassiske tilstand, er der med begrundelse i den anvendte type detektor givet en beskrivelse af det kvantiserede elektromagnetiske felt. Det blev påvist, at dette felt generelt beskrives som bestående af uendelig mange harmoniske oscillatorer (modes). Desuden blev det vist, at feltet består af to kvadraturer med lige mange fotoner i hver, og bølgefunktionerne for disse kvadraturer blev udledt. I den klassiske grænse med mange fotoner i feltet blev det påvist, at amplituden for feltet er egenværdi for en nærklassisk tilstand, den kohærente tilstand. Desuden viste jeg, at denne tilstand har støjegenskaber fælles med vacuumfeltet, altså, at støjen i et fuldstændigt kohærent felt er kvantestøj. Med dette som udgangspunkt så vi, at det er muligt, ikke kun i vacuumfeltet, men også i lyse felter at komme 10

103 103 under kvantestøjgrænsen uden at komme på tværs af Heisenbergs ubestemthedsrelation. Forskellige kilder til støj blev beskrevet, og deres spektralfordelinger blev udledt, undtagen for laserstøj. Laserens relaxationoscillationer blev beskrevet og undersøgt eksperimentelt. Dette viste, at den klassiske laserstøj er ophørt omkring 18 MHz, hvorefter der kun er kvantestøj i feltet. Støjens spektralfordeling i det ikke-klassiske lys blev udledt som en teoretisk model for det billede, der gerne skulle tone frem på spektrumanalyseren efter homodyndetektoren. Dette viste, at det. harmoniske felt amplitudesqueezes med max. 90 % eller 9.54 db. Det blev vist, at pumpestrålen var enkeltfrekvent, både longitudinalt og transversalt. For at gøre opstillingen mere fleksibel med flere frihedsgrader blev der tilføjet en Kepler sk beam expander. Det lykkedes at få resonans i kaviteten og modetilpasset den til pumpefeltets rumlige mode. Det blev eftervist, at detektorerne til den homodyne detektor er kvantestøjbegrænsede. Da projektet blev forsinket midt i perioden, løb tiden ud, før vi kunne nå det sidste punkt: opstilling af den homodyne detektor og måling af squeezing. Ifølge det oprindelige oplæg skulle der derefter være foretaget yderligere forsøg med squeezing efter første forsøg med den hemilitiske kavitet. Disse kunne f. eks. have omhandlet forsøg med ringkaviteter koblede ringkaviteter bedre ulineære krystaller (f. eks. periodisk polet KTP) bedre pumpelaser (squeezet pumpelaser, feedback) Med ovennævnte forbedringer af opstillingen er det min opfattelse, at den observerede squeezing på 4 % (1. db) med den gamle opstilling ville være forøget.

104 Bilag A Anden harmonisk generering Den klassiske udledning af intensiteten for det. harmoniske felt tager sin begyndelse med Maxwells ligninger på formen: E = 0 (A.1) H = 0 (A.) E = t (µ H) (A.3) H = t (ε E + P ) (A.4) Polarisationen P splittes op i en lineær og en ulineær del, der tilsammen udgør en rækkeudvikling til. orden: P = ε χe + P NL (A.5) hvor P NL,i = d ijk E j E k, (i, j = x, y, z) (A.6) og d ijk = χ () ijk er materialets. ordens susceptibilitetstensor. Af ovenstående ligninger får man bølgeligningen E E εε µ t = µ PNL (A.7) t Der pumpes med to laserfelter i z-retningen med samme polarisationsretning (skalarfelter) og med frekvenserne ω 1 og ω. Der frembringes derved et. harmonisk felt med frekvensen ω 3. De tre felter skrives: E 1 (z, t) = 1 A 1e i(ω 1t k 1 z) + c.c. E (z, t) = 1 A e i(ω t k z) + c.c. E 3 (z, t) = 1 A 3e i(ω 3t k 3 z) + c.c. (A.8) (A.9) (A.10) 104

105 105 Da vi søger intensiteten i det. harmoniske felt, indsættes (A.10) i (A.7): E 3 z εε E 3 µ t = µ P NL,3 t hvor z-komposanterne af felterne er indsat. Polarisationen kan skrives: P NL,3 = de 1 E (A.11) (A.1) Ved. harmonisk generering gælder: ω 1 = ω, k 1 = k og A 1 = A Ligningerne (A.8) og (A.9) indsættes i højre side i (A.11), og (A.10) indsættes i venstre side. Ved desuden at anvende SVEA-approximationen 1 A 3 z << A 3 k 3 z << k 3A 3 når man til den 1. ordens differentialligning: A 3 z = iµ ω 1 cd n 3 A 1e i kz (A.13) hvor n 3 er brydningsindekset for den. harmoniske bølge, og k = k 3 (k 1 +k ). Hvis pumpefeltet er kraftigt, kan det anses for konstant hen gennem materialet. (A.13) kan så integreres direkte fra z = 0 til z = l, hvor l er krystallængden: A 3 (z) = µ ω 1 cd A e i kz 1 1 n 3 kl Intensiteten af det. harmoniske felt er givet ved: I 3 (ω 3 ) = 1 n 3 A 3 = 1 n 3 µ ω1c d A cµ cµ 4n 1 4 e i kz 1 3 kl = µ3 ω1c 3 d l I 4n 3 n 1(ω 1 ) sin kl/ 1 ( kl/) (A.14) (A.15) 1 Slowly Varying Envelope Approximation

106 Bilag B Den elektrooptiske effekt Den elektrooptiske modulator udnytter den. ordens elektrooptiske effekt, også kaldet Pockelseffekten, som altså er en. ordens ulineær effekt. Rækkeudviklingen af den i te komponent af polarisationen kan nemlig skrives 1 P i = ε (χ ij + 1 ε d ijk E k )E j ε χ ije j (B.1) hvor χ ij nu er en susceptibilitet, der afhænger lineært af et E-felt, som kan være et ydre påtrykt. Da χ ij afhænger af brydningsindekset, kan dette ændres ved at skrue på E-feltet. Af materialeligningen D = ε ε E hvor ε er den relative dielektricitetstensor, skrives E-feltet som E i = 1 ε η ij D j, (i, j = x, y, z) (B.) hvor η = ε 1 er impermeabilitetstensoren. I det koordinatsystem, hvor denne er diagonal, er indgangene lig med η i = ε 1 i = 1, hvor n n i er brydningsindekset, og i i er lysets polarisationsretning. Indeksellipsoiden skrives i dette koordinatsystem: η ij x i x j = x + y n x n y + z n z = 1 (B.3) Påtrykningen af det ydre E-felt ændrer den fysiske struktur i krystallen, som kommer til udtryk derved, at brydningsindekset og dermed indeksellipsoiden ændrer sig. Impermeabilitetstensoren bliver en funktion η = η( E) af E-feltet og er 1 summationskonventionen anvendes i det flg., dvs. her sum over j = x, y, z. 106

107 107 ikke længere diagonal i det gamle koordinatsystem. Den ændrede indeksellipsoide skrives: η ij ( E)x i x j = x n x + y n y + z n z = 1 (B.4) Ved rækkeudvikling af η( E) omkring E = 0 defineres de elektrooptiske koefficienter r ijk for stoffet: η ij ( E) = η ij (0) + η ij E k E k +... E=0 = η ij (0) + r ijk E k +..., (i, j, k = x, y, z) (B.5) r ijk -tensoren har 7 elementer, men da ε er symmetrisk, er η det også. i og j i r ijk kan derfor ombyttes, hvilket reducerer antallet af elementer til 18. Disse kan da skrives i den reducerede notation: r 11k = r 1k, r k = r k, r 33k = r 3k, r 3k = r 3k = r 4k, r 13k = r 31k = r 5k, r 1k = r 1k = r 6k, (1 = x, = x, 3 = z) Indsættes (B.5) i (B.4), og skrives det ud i koordinater, får (B.4) udseendet: 3 k=1 [( 1 ) + r n 1k E k x + ( 1 x n y + r k E k ) y + ( 1 n z yzr 4k E k + zxr 5k E k + xyr 6k E k ] = x n x + y n y + r 3k E k ) z + + z n z (B.6) Krystalsymmetrier sætter de fleste elektrooptiske koefficienter til nul. LiTaO 3, som anvendes i den foreliggende modulator har trigonal krystalstruktur og flytningsgruppen er 3m. Vælges 3-talsaksen som z-akse og spejlingsplanen m vinkelret på x-aksen, så er den elektrooptiske tensor for LiTaO 3 : 0 r r 13 0 r r r 33 0 r 51 0 r r 0 0 Model 4001 M fra New Focus Inc.

108 108 BILAG B. DEN ELEKTROOPTISKE EFFEKT Ved fasemodulation (fig. B.1) polariseres det indfaldende lys langs krystallens optiske akse, z-aksen, og lyset bevæger sig langs x-aksen. Det ydre E-felt påtrykkes langs z-aksen. l er længden af krystallen, og d er tykkelsen. Ændringen i brydningsindekset udregnes ved (B.6) til E z d l y x Figur B.1: Geometrien for den elektrooptiske fasemodulator. n = 1 n3 zr 33 E z som giver en faseændring i det transmitterede lys ud af krystallen på: φ = kl = π λ nl = πn3 zr 33 l λ E z = πn3 zr 33 λd V Modulationsspændingen V over krystallen er i dette tilfælde sinusformet med en modulationsfrekvens ν m = 19, 5 MHz: som giver en fasemodulation og dermed et transmitteret E-felt V = V sin ω m t φ = πn3 zr 33 λd V sin ω m t δ sin ω m t E t = E cos(ωt + δ sin ω m t) Ved rækkeudvikling i Besselfunktioner J n (δ) ses, at E-feltet består af en bærebølge med end uendelig række af frekvenssidebånd med aftagende amplitude. I de fleste tilfælde er det nok at gå til 1. orden i rækken og regne med de to første sidebånd. Det transmitterede felt kan så skrives E t = E [ J 1 (δ) cos(ω ω m )t + J (δ) cos ωt + J 1 (δ) cos(ω + ω m )t]

109 Bilag C Kredsløbsdiagram for detektorerne 109

110 Bilag D Billeder Ulineær kavitet Metalspejle Faradayisolator EOM Pol λ/ λ/4 Beam expander ATC-laser Figur D.1: Billede af den benyttede opstilling. 110

111 111 FI EOM Pol λ/ λ/4 NPRO Linse ATC-laser Figur D.: Billede af pumpelaseren. Ovn Koblingsspejl Dichroisk spejl Beamsplitter Figur D.3: Billede af den ulineære kavitet.

112 Litteratur [1] R. H. Brown, R. Q. Twiss: Nature 177, 7, [] R. J. Glauber: Coherent and Incoherent States of the Radiation Field, Physical Review 131, no. 6, 766, [3] H. J. Kimble, M. Dagenais og L. Mandel: Physical Review Letters 39, 691, [4] J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P. S. Pershan: Interaction between Light Waves in a Nonlinear Dielectric, Physical Review 17, no. 6, 1918, 196. [5] W. Pauli: Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, Handbuch der Physik, [6] D. F. Walls: Squeezed states of light, Nature 306, 141, [7] H. P. Yuen, V. W. S. Chan: Noise in homodyne and heterodyne detection, Optics Letters 8, no. 3, 177, [8] C. W. Gardiner, M. J. Collett: Input and output in damped quantum systems: Quantum stochastic differential equations and the master equation, Physical Review A 31, no. 6, juni [9] H. P. Yuen, J. H. Shapiro, Optical Letters 4, 334 (1979). [10] R. E. Slusher, L. W. Hollberg, B. Yurke, J. C. Mertz, J. F. Valley: Observation of Squeezed States Generated by Four-Wave Mixing in an Optical Cavity, Physical Review Letters 55, no., 409, [11] L. A. Wu, H. J. Kimble, J. L. Hall, H. Wu: Generation of Squeezed States by Parametric Down Conversion, Physical Review Letters 57, no. 0, 50, [1] L. Mandel: Opt. Comm. 4, 437,

113 LITTERATUR 113 [13] S. F. Pereira, M. Xiao, H. J. Kimble, J. L. Hall: Generation of squeezed light by intracavity frequency doubling, Physical Review A 38, no. 9, 4931, [14] Sizmann, Horowicz, Wagner, Leuchs: Opt. Comm. 80,, 138, [15] Kürz, Paschotta, Fiedler, Sizmann, Leuchs, Mlynek: Applied Physics B 55, 16, 199. [16] Kürz, Paschotta, Fiedler, Sizmann, Mlynek: Europhysics Letters 4, 6, 449, [17] R. Paschotta et al.: Bright Squeezed Light from a Singly Resonant Frequency Doubler, Physical Review Letters 7, no. 4, 3807 june [18] H. Tsuschida: Opt. Lett. 0, no. 1, 40, [19] R. E. Slusher, P. Grangier, LaPorta, Yurke: Phys. Rev. Lett. 59, 566, [0] P. Kumar, O. Aytür, J. Huang: Phys. Rev. Lett. 64, 1015, [1] Rosenbluh, R. M. Shelby: Phys. Rev. Lett. 66, 153, [] Squeezet Light Generation in Semiconductors: Phys. Rev. Lett. 74, no. 10, 178, [3] Spectroscopy with Squeezed Light: Phys. Rev. Lett. 68, no. 0, 300, 199. [4] P. Grangier et al.: Phys. Rev. Lett. 59, 153, [5] M. Xiao et al.: Opt. Lett. 13, 476, [6] H. J. Carmichael et al.: Phys. Rev. Lett. 58, 539, [7] J. Gea-Banacloche: Phys. Rev. Lett. 59, 543, [8] A. S. Parkins, C. W. Gardiner: Phys. Rev. A 40, 3796, [9] F. L. Pedrotti, L. S. Pedrotti: Introduction to Optics nd ed., Prentice-Hall, [30] Amnon Yariv: Optical Electronics in Modern Communications, 5. udgave, Oxford University Press, [31] L. Mandel, E. Wolf: Optical coherence and quantum optics, Cambridge University Press, [3] D. F. Walls, G. J. Millburn: Quantum Optics, Springer Verlag, [33] Marlan O. Scully og M. Suhail Zubairy: Quantum optics, Cambridge University Press, 1997.

114 114 LITTERATUR [34] Richard L. Liboff: Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 199. [35] Ulf Leonhardt: Measuring the quantum state of light, Cambridge University Press, [36] Preben Buchhave: Kursusnoter til Ph.D.-kursus ved efterårsskole i Nonlinear Optics, DTU, oktober 000. [37] R. H. Dicke:, Review of Scientific Instruments 17, 68, [38] J. B. Johnson: Thermal agitation of electricity in conductors, Physical Review Letters 3, 97, 198. [39] H. Nyquist: Thermal agitation of electricity in conductors, Physical Review Letters 3, 110, 198. [40] Charles Kittel: Introduction to solid state physics 7th. ed., Wiley, [41] S. Reynaud, A. Heidmann, E. Giacobino, c. Fabre: Quantum Fluctuations in Optical Systems, Progress in Optics XXX, Elsevier Science Publishers, 199. [4] H. J. Kimble: Quantum fluctuations in quantum optics - squeezing and related phenomena, Les Houches 1990, Session LIII: Fundamental systems in quantum optics, Elsevier Science Publishers, 199. [43] Ulrik Lund Andersen: Undersøgelser af lysets squeezede tilstand i et frekvensfordoblersystem, eksamensprojekt ved Institut for Fysik, Danmarks Tekniske Universitet, [44] P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, G. Weinreich: Generation of optical harmonics, Physical Review Letters 8, (1961) [45] M. V. Hobden, J. Warner: The temperature dependence of the refractive indices of pure Lithium Niobate, Physics Letters, no. 3, 43-44, august [46] T. C. Ralph, C. C. Harb, H. B. Bachor: Intensity noise and injektion-locked lasers: Quantum theory using a linearized input-output method, Physical Review A 54, no. 5, 4359, [47] Christian Pedersen: Development of Optical Parametric Oscillators, Ph.d.- tesis ved Institut for Fysik, Danmarks Tekniske Universitet, [48] T. J. Kane, R. L. Byer: Monolithic, unidirectional singlemode Nd:YAG ring laser, Optics Letters 10, no., 65-67, februar 1985.

115 LITTERATUR 115 [49] T. J. Kane et al.: Frequency stability and offset locking of a laser-diodepumped Nd:YAG monolithic nonplanar ring oscillator, Optics Letters 1, no. 3, , marts [50] W. R. Trutna et al.: Unidirectional diode-laser-pumped Nd:YAG ring laser with a small magnetic field, Optics Letters 1, no. 4, 48-50, april [51] T. J. Kane, E. A. P. Cheng: Fast frequency tuning and phase locking of diodepumped Nd:YAG ring lasers, Optics Letters 13, no. 11, , november [5] A. Arie et al.: Absolute frequency stabilization of diode-laser-pumped Nd:YAG lasers to hyperfine transitions in molecular iodine, Optics Letters 17, no. 17, , september 199. [53] E. A. cheng, T. J. Kane: High-power single-mode diode-pumped Nd:YAG laser using a monolithic nonplanar ring resonator, Optics Letters 16, no. 7, , april [54] Bent Elbek: Optik, Niels Bohr Instituttet, 1995.