(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2014 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 8 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres i det i CampusNet uploadede svarark, med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et eksempel er vist p side 2 af eksamenssættet hre. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. KUN følgende 6 svarmuligheder er gyldige: 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Hvis et spørgsmål efterlades blankt eller andet svar angives, tæller det i praksis som 6=ved ikke. Et 6-tal giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde og online-aflevere svararket via CampusNet. Skemaet her er KUN et nøds-alternativ til dette. Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 II.3 III.1 III.2 III.3 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave III.4 IV.1 IV.2 V.1 VI.2 V.3 V.4 V.5 VI.1 VI.2 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave V1.3 V1.4 VII.1 VII.2 VII.3 VIII.1 VIII.2 VIII.3 VIII.4 VIII.5 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at angive dit studienummer på din besvarelse. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Herunder er et eksempel på hvorledes svar-arket kunne se ud: Studienummer, s Spørgsmål (1),1 Spørgsmål (2),2 Spørgsmål (3),3 Spørgsmål (4), Spørgsmål (5),4 Spørgsmål (6),5 Spørgsmål (7),6 Spørgsmål (8), Spørgsmål (9),1 Spørgsmål (10),2 Spørgsmål (11),3 Spørgsmål (12),4 Spørgsmål (13),5 Spørgsmål (14),6 Spørgsmål (15),1 Spørgsmål (16),2 Spørgsmål (17),3 Spørgsmål (18),4 Spørgsmål (19),5 Spørgsmål (20),6 Spørgsmål (21), Spørgsmål (22), Spørgsmål (23), Spørgsmål (24), Spørgsmål (25),1 Spørgsmål (26),2 Spørgsmål (27),3 Spørgsmål (28),4 Spørgsmål (29),5 Spørgsmål (30),6 Fortsæt på side 3 2

3 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I For at sammenligne sværdhedsgraden af 2 forskellige kurser på et universitet har man registreret følgende karakterfordeling (givet som antal elever der opnåede karakteren) Kursus 1 Kursus 2 Total Karakteren Karakteren Karakteren Karakteren Karakteren Karakteren Karakteren Total Spørgsmål I.1 (1) Hvad er medianen for de 251 opnåede karakterer? Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål I.2 (2): Man ønsker at sammenligne beståelsesandelen for de to kurser, p 1 og p 2. Idet karakterene -3 og 0 betyder ikke bestået, får man følgende skema over antal elever: Kursus 1 Kursus 2 Total Bestået Ikke bestået Total Et 95% konfidensinterval for forskellen mellem de to beståelsesandele bliver: ± [ ; 0.141] (108/7 143/7) ± [ 18.60; 8.603] (108/7 143/7) ± t (250) 251 [ 20.45; 10.45] ± [ 13.57; 13.63] ± [ 10.48; 10.54] Spørgsmål I.3 (3) Et χ 2 -test for hypotesen H 0 : p 1 = p 2 mod et tosidet alternativ med signifikansniveau α = 0.01 har følgende kritiske værdi: (i R: 2*qchisq(0.99,1)) (i R: qnorm(0.95)) (i R: qnorm(0.99)) (i R: qchisq(0.99,1)) (i R: qchisq(0.95,1)) Fortsæt på side 5 4

5 Spørgsmål I.4 (4) Hvis en beståelsesandel for et kursus, der gives gentagne gange, antages gennemsnitligt at ligge på 0.80, og der er 250 elever, der går til eksamen hver gang, hvad er da middelværdi, µ og spredning, σ, for antallet af elever, der ikke består eksamen for et tilfældigt udvalgt kursus? 1 µ = 200 og σ = 40 2 µ = 50 og σ = µ = 125 og σ = µ = 50 og σ = 40 5 µ = 0.8 og σ = Opgave II I et studie af 3 forskellige dæktypers ( treatment ) effekt på brændstoføkonomien har man kørt 1000 km i 4 forskellige biler ( blocks ). Resultatet er angivet i nedenstående tabel (km/l). Bil 1 Bil 2 Bil 3 Bil 4 Middel Dæk Dæk Dæk Middel Spørgsmål hvilket? II.1 (5) Lad y ij være resultatet for dæk i og bil j. Netop et af følgende udsagn er sandt, 1 SST 3 4 i=1 j=1 (y ij ) 2 2 SS(Bl) 3 ( ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2) 3 SS(T r) 3 ( ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2) 4 SST SSE + SS(T r) + SS(Bl) 5 MSE SSE/6 Fortsæt på side 6 5

6 Spørgsmål II.2 (6) Hvis man kører følgende i R: y=c(20.5,23.3,23.9,22.4, 21.5,21.3,23.9,18.4, 22.2,21.9,21.7,17.9) bil=factor(rep(1:4,3)) daek=factor(rep(1:3,c(4,4,4))) mydata=data.frame(y,bil,daek) anova(lm(y~bil+daek,data=mydata)) får man følgende resultat: > anova(lm(y~bil+daek,data=mydata)) Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) bil daek Residuals Hvilken af følgende konklusioner er den mest rigtige?(hvis man anvender signifikansniveau α = 0.05) 1 Der er større forskel på dæktyperne end på bilerne 2 Der kan påvises forskel på dæktypernes effekt på brændstoføkonomien, men der kan ikke påvises forskel på bilernes brændstoføkonomi 3 Der kan påvises forskel på dæktypernes effekt på brændstoføkonomien, og der kan påvises forskel på bilernes brændstoføkonomi 4 Der kan ikke påvises forskel på dæktypernes effekt på brændstoføkonomien, men der kan påvises forskel på bilernes brændstoføkonomi 5 Der kan ikke påvises forskel på dæktypernes effekt på brændstoføkonomien, og iøvrigt heller ikke på bilernes brændstoføkonomi Spørgsmål II.3 (7) Betragt R-kode og -outputtet i ovenstående spørgsmål. Der er angivet to P- værdier - en ud for biler og en ud for dæk (daek). Skulle man udføre de to tilsvarende hypotesetest ved hjælp af kritisk-værdi-metoden, nu med signifikansniveau α = 0.01, hvad bliver da de to kritiske værdier: 1 For biler: For dæk: For biler: For dæk: For biler: For dæk: For biler: For dæk: For biler: For dæk: 5.07 Fortsæt på side 7 6

7 Opgave III 13 løbere fik målt deres puls ved slutningen af en træningstur og 1 minut efter igen, og man fik følgende pulsmålinger: Løber Puls slut Puls 1min Følgende kørtes i R: > Puls_slut=c(173,175,174,183,181,180,170,182,188,178,181,183,185) > Puls_1min=c(120,115,122,123,125,140,108,133,134,121,130,126,128) > mean(puls_slut) [1] > mean(puls_1min) [1] 125 > sd(puls_slut) [1] > sd(puls_1min) [1] > sd(puls_slut-puls_1min) [1] Spørgsmål III.1 (8) Hvad er et 99% konfidensinterval for middelpulsfaldet? (underforstået pulsfaldet på 1 minut fra træningsslut) ± [51.95; 56.97] ± ± /13 [46.80; 62.13] /13 [50.24; 58.68] ± [49.58; 59.35] ± [52.24; 56.68] Fortsæt på side 8 7

8 Spørgsmål III.2 (9) Betragt nu de 13 pulsslutmålinger (første række i tabellen). Angiv et 95% konfidensinterval for spredningen for disse: 1 σ ± < σ < < σ 2 < < σ < σ ± Spørgsmål III.3 (10) Et mål for løbegruppen var at opnå en gennemsnitlig form, svarende til et 1 minuts middelpulsfald på mere end 50. Er det med de givne data muligt for gruppen at påvise statistisk signifikant (på signifikansniveau α = 0.05) et sådan middelpulsfald, eller anderledes udtrykt kan man forkaste nulhypotesen H 0 : µ pulsfald = 50 (på signifikansniveau α = 0.05) mod alternativet H 1 : µ pulsfald > 50? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Ja, idet den relevante test-størrelse er 2.79, som er større end den kritiske værdi Ja, idet den relevante test-størrelse er 1.63, som er mindre end den kritiske værdi Nej, idet den relevante test-størrelse er 1.63, som er mindre end den kritiske værdi Nej, idet den relevante test-størrelse er 2.79, som er større end den kritiske værdi Ja, idet den relevante test-størrelse er 34.04, som er større end den kritiske værdi 2.18 Fortsæt på side 9 8

9 Spørgsmål III.4 (11) Et 95% konfidensinterval for middelpulsfaldet ønskedes UDEN brug af normalfordelingsantagelser. Derfor kørte man følgende i R: k = mysamples = replicate(k, sample(puls_slut-puls_1min, replace = TRUE)) mymeans = apply(mysamples, 2, mean) round(quantile(mymeans,c(0.001,0.005,0.01,0.025,0.050,0.95,0.975,0.99,0.995,0.999)),2) hvor round afrunder de angivne fraktiler til 2 decimaler. Man fik følgende fraktiler som resultat: 0.1% 0.5% 1% 2.5% 5% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.9% Hvad bliver 95% konfidensintervallet baseret på dette? 1 [50.15; 57.92] 2 [51.23; 57.23] 3 [49.00; 58.54] 4 [51.77; 56.85] 5 Ingen af ovenstående Fortsæt på side 10 9

10 Opgave IV Det såkaldte BMI (Body Mass Index) er et mål for forholdet mellem vægt og højde, og defineres som vægt (V ) i kg divideret med den kvadrerede højde (H) i meter: BMI = V H 2. Antag, at BMI-fordelingen i en population er en lognormal-fordeling med signifikansniveau α = 3.1 og β = 0.15 (altså at log(bmi) er normalfordelt med middelværdi 3.1 og spredning 0.15). Spørgsmål IV.1 (12) En definition af fedme er en BMI-værdi på mindst 30. Hvor stor en andel af populationen er i så fald fede? 1 3.1% % 3 > 99% 4 < 0.01% % Spørgsmål beregne: IV.2 (13): Hvis en person skal bestemme sin egen log(bm I)-værdi, skal personen således log(bmi) = log(v ) 2 log(h) Det antages i det følgende at standardafvigelsen på en måling af højden er σ H = 0.005m og standardafvigelsen på en måling af vægten er σ V = 1.5kg. Det oplyses desuden at de partielle afledede af log(bmi) er log(bmi) V = 1 V og log(bmi) H = 2 H. Hvis en person måler sin højde til 1.67m og sin vægt til 64.3 kg, og altså dermed sin log(bmi)-værdi til log(64.3) 2 log(1.67) = 3.14, hvad er da omtrent spredningen på denne log(bmi)-måling? 1 1.5/ /1.67 = = / / = (1.5/ /1.67) = log( 64.3) log( ) = 1.06 Fortsæt på side 11 10

11 Opgave V I et studie af spædbørns fødselsvægt for forskellige erhvervsgrupper registreredes denne for nogle førstegangsfødende frisører. Nedenstående tabel viser resultatet i gram (data er angivet i sorteret rækkefølge) for 20 fødsler i alt, 10 pigefødsler og 10 drengefødsler. Det kan antages at fødselsvægtene er normalfordelte. Piger (x) Drenge (y) Det oplyses endvidere at x = , ȳ = , s 1 = (for piger) og s 2 = (for drenge). Spørgsmål V.1 (14) Hvad er 20% og 80% fraktilerne for pigefødselsvægtene ved brug af bogens definition? (Husk at R som default bruger en anden definition end bogens) 1 20% fraktil: 2547 og 80% fraktil: % fraktil: og 80% fraktil: % fraktil: 2474 og 80% fraktil: % fraktil: 2830 og 80% fraktil: % fraktil: og 80% fraktil: Spørgsmål V.2 (15) Kan man baseret på disse data påvise statistisk signifikant, at drenges middelfødselsvægt er større end pigers? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Ja, idet en relevant teststørrelse er som er mindre end t (18) = Nej, idet en relevant teststørrelse er som er større end z = Nej, idet en relevant teststørrelse er som er større end t (9) = Ja, idet en relevant teststørrelse er som er mindre end t 0.05 (9) = Nej, idet en relevant teststørrelse er som ikke er mindre end t 0.05 (18) = Fortsæt på side 12 11

12 Spørgsmål V.3 (16) Resultatet for hypotesetestet på signifikansniveau α = 0.05 om ens varianser: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 mod et tosidet alternativ kan opsummeres som følger: korrekt) (Både konklusion og argument skal være 1 Varianserne kan påvises forskellige idet / F 0.05 (9, 9) 2 Varianserne kan ikke påvises forskellige idet / F (10, 10) 3 Spredningerne kan påvises ens idet / > F (9, 9) 4 Varianserne kan ikke påvises forskellige idet / F (9, 9) 5 Varianserne kan påvises forskellige idet / > F 0.05 (10, 10) Fortsæt på side 13 12

13 Spørgsmål V.4 (17) Man kender den generelle middelfødselsvægt for (førstefødte) piger (3450g) og (førstefødte) drenge (3600g). Man kigger derfor nu på de 20 (relevante) forskelle til disse midler, og kører følgende i R: (hvoraf ikke nødvendigvis alt giver lige god mening) difs=c(x-3450,y-3600) t.test(difs,mu=3525) t.test(difs) med følgende resultat: > t.test(difs,mu=3525) One Sample t-test data: difs t = , df = 19, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x > t.test(difs) One Sample t-test data: difs t = , df = 19, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Kan man med disse data påvise statistisk signifikant (på signifikansniveau α = 0.05) at frisørers førstefødte har en anden middelvægt end det generelle niveau? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Nej, idet den relevante P-værdi er som er større end Nej, idet den relevante P-værdi er ca. 0 som er mindre end Ja, idet den relevante P-værdi er som er større end Ja, idet den relevante P-værdi er ca. 0 som er mindre end Ja, idet konfidensintervallet indeholder tallet 0 Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål V.5 (18) I et kommende studie vil man gerne have et 90% konfidensinterval for middelpigefødselsvægten for frisører med en bredde på ca. 100g (dvs. ±50g). Hvor mange pigefødselsvægte skal registreres for at opnå dette? 1 Omtrent (1.96/ ) 2 dvs. mindst 89 2 Omtrent 0.25 (1.96/0.25) 2 dvs. mindst 16 3 Omtrent ( /50) 2 dvs. mindst Omtrent (qnorm(0.90) /50) 2 dvs. mindst Omtrent (qnorm(0.95) /50) 2 dvs. mindst 374 Fortsæt på side 15 14

15 Opgave VI For at undersøge effekten af to nyere danske vandmiljøplaner, har man i et bestemt vandløb målt koncentrationen af kvælstof (målt i g/m 3 ) lige før vandmiljøplanerne trådte i kraft (1998 og 2003) samt i Hver måling er gentaget 6 gange på en kort strækning af vandløbet. Resultatet er vist i nedenstående tabel: N 1998 N 2003 N Gennemsnit Det oplyses, at den totale variation i data er SST = Man fik følgende output fra R svarende til en envejs variansanalyse: (hvor det meste af informationen dog er erstattet af bogstaverne A-E samt U og V) > anova(lm(n~aar)) Analysis of Variance Table Response: N Df SumSq MeanSq Fvalue Pr(>F) Aar A B C U V Residuals D E Spørgsmål VI.1 (19) Hvilke tal har bogstaverne A-D erstattet: 1 A: 3, B: , C: , D: 17 2 A: 3, B: , C: , D: 15 3 A: 2, B: , C: , D: 15 4 A: 2, B: , C: , D: 17 5 A: 2, B: , C: , D: 22 Fortsæt på side 16 15

16 Spørgsmål VI.2 (20) Hvis man anvender signifikansniveau α = 0.05, hvilken kritisk værdi skal så bruges for det hypotesetest, der er udført i analysen (og i tabellen illustreret med tallene U og V)? 1 F (3, 15) = F 0.01 (3, 18) = χ (2) = F 0.05 (2, 15) = χ (1) = Spørgsmål VI.3 (21) Kan man med disse data påvise statistisk signifikant (på signifikansniveau α = 0.05) nogen form for forskelligheder i N-middelværdierne fra år til år? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Ja, idet tallet V er mindre end Nej, idet tallet V er større end Ja, idet tallet U er mindre end Nej, idet tallet U er større end Nej, idet tallet U/V er mindre end 0.05 Spørgsmål VI.4 (22) Et 90% konfidensinterval for middelforskellen mellem år 2011 og år 1998 bliver: ± / ± / ± / ± / ± /3 Fortsæt på side 17 16

17 Opgave VII I 2013 var der views på de DTU-statistik-videoer, der ligger tilgængeligt online. Antag først, at forekomsten af views igennem 2014 følger en poisson-process med et 2013-gennemsnit: λ 365dage = Spørgsmål VII.1 (23) Hvad er sandsynligheden for, at der inden for en tilfældig udvalgt halv time ikke forekommer nogen views? < / = /( ) = Spørgsmål VII.2 (24) Der har netop været et view, hvad er sandsynligheden for at man skal vente mere end et kvarter på næste view? < Spørgsmål VII.3 (25) I juni måned 2013 var der views. Hvilket af følgende svar, er det bedste på spørgsmålet: Er dette juni-tal i modstrid med en antagelse om at forekomsten af views fordeler sig helt jævnt hen over året? (Alle sandsynlighedsudsagn i svarmulighederne er korrekte, og X P o(λ) betyder at X følger en poisson-fordeling med intensitet λ) 1 Nej, idet P (X 17560) < 0.498, hvor X P o(λ), λ = Nej, idet P (X 9167) = 0.497, hvor X P o(λ), λ = Ja, idet P (X 9167) = 0.497, hvor X P o(λ), λ = Nej, idet P (X 17560) > , hvor X P o(λ), λ = Ja, idet P (X 17560) < , hvor X P o(λ), λ = 9167 Fortsæt på side 18 17

18 Opgave VIII Ved rensning af drikkevand kan man benytte såkaldt membranfiltrering. I et forsøg ønsker man at undersøge sammenhængen mellem trykfaldet over en membran og den såkaldte flux gennem membranen. Man observerer følgende 10 sammenhængende værdier af tryk (x) og flux (y): Tryk (x) Flux (y) Følgende kørtes i R: Tryk=c(1.02,2.08,2.89,4.01,5.32,5.83,7.26,7.96,9.11,9.99) Flux=c(1.15,0.85,1.56,1.72,4.32,5.07,5.00,5.31,6.17,7.04) mean(tryk) mean(flux) var(tryk) var(flux) sum((tryk-mean(tryk))*(flux-mean(flux))) summary(lm(flux~tryk)) med følgende resultater: > mean(tryk) [1] > mean(flux) [1] > var(tryk) [1] > var(flux) [1] > sum((tryk-mean(tryk))*(flux-mean(flux))) [1] > summary(lm(flux~tryk)) Call: lm(formula = Flux ~ Tryk) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Tryk e-06 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 8 DF, p-value: 7.177e-06 Fortsæt på side 19 18

19 Spørgsmål VIII.1 (26) Korrelationen mellem tryk og flux estimeres til og fortolkes som følger: (begge dele skal være korrekt) , så flux stiger med stigende tryk , så flux stiger med stigende tryk , så flux falder med stigende tryk , så flux stiger med stigende tryk , så flux stiger med stigende tryk. Spørgsmål VIII.2 (27) Et 90% konfidensinterval for hældningskoefficienten β i regressionsmodellen, der ligger til grund for den udførte analyse, bliver: ± ± ± ± ± Spørgsmål VIII.3 (28) Hvor stor en del af flux-variationen ( 10 i=1 (y i 3.819) 2 ) er ikke forklaret af trykforskelligheder? % % % % % Fortsæt på side 20 19

20 Spørgsmål VIII.4 (29) Kan man på signifikansniveau α = 0.05 afvise hypotesen om at regressionslinien passerer gennem (0, 0)? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Ja, idet antallet af observationer er mindre end 30 2 Ja, idet den relevante P-værdi er ca. 0, som er mindre end α 3 Nej, idet den relevante P-værdi er ca. 0, som er mindre end α 4 Nej, idet den relevante P-værdi er 0.681, som er større end α 5 Ja, idet den relevante P-værdi er 0.681, som er større end α Spørgsmål VIII.5 (30) Et konfidensinterval for linien ved tre forskellige trykværdier: x A 0 = 3.5, x B 0 = 5.0 og xc 0 = 9.5 vil se ud som følger: a + b x U 0 ± C U hvor U så er enten A, B eller C. Hvilket af følgende udsagn omkring størrelserne af C A, C B og C C er sandt? (Antag at det samme konfidensniveau er anvendt for alle tre intervaller) 1 C B = C A < C C 2 C B < C A < C C 3 C B > C A > C C 4 C B < C A = C C 5 C B = C A = C C SÆTTET ER SLUT. GOD SOMMER! 20