Titalssystemet 0 0 0,

Transkript

1 VUCFYN Odense maj 2010

2 Titalssystemet Vi har 10 cifre at gøre brug af, nemlig 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 Pladsen et ciffer står på i et tal viser os hvilken værdi cifret har! , = Dette system gør det nemt at gange og dele med 10, 100, 1000 osv., fordi vi så bare kan flytte kommaets placering.(hvis man ikke kan se kommaet, står det altid bag tallet) f.eks = ,25 10=562,5 880 : 10= = , = : 100 = 2, = , = : 1000 =15 35,25 : 10 =3,525 40,5 : 1000 =0, : 1000 =0,352 Hele tal Tal uden komma Decimaltal (kommatal) Tal med komma 15,25 890,356 Tal der står efter kommaet, kaldes decimaler Læsepunktum Positiv tal Negative tal For eksempel +2 skrives normalt blot 2 For eksempel - 8, her skal man altid huske at skrive minusset 2

3 Omsætning mellem enheder Gang med 10 Del med 10 Som det fremgår af skemaet er systemet bygget op præcis som vores 10 talsystem. Hver gang man hopper en plads til venstre bliver værdien 10 gange mindre. Hver gang man hopper en plads til højre bliver værdien 10 gange større. Derfor er det godt at huske, hvordan man ganger og deler med 10 Ud over enhederne i skemaet er det vigtigt at kende måleenheden ton : Måleenheden ton bruges til registrering af tunge enheder, blandt andet ved transport af gods på lastbiler, skibe etc. Trænger du nu til en pause, så nyd sangen 16 tons, som Tennessee Ernie Ford skrev tilbage i 1955 Adressen er: 3

4 Brøker Brøker angiver en andel af noget for eksempel en halvdel (½). Det øverste tal i brøken kaldes tælleren og det nederste kaldes nævneren. Tæller Nævner Brøkstregen betyder division, så her står altså også 1 divideret med 4 Derfor kan alle brøker omregnes til decimaltal (kommatal), For eksempel er 1 : 4 = 0,25 Procent Procent er også brøkregning. Procent er et fremmedord for det danske ord: hundrede-dele 1 % betyder altså pr. hundrede Udregning af procent 1 procent kan skrive som brøk eller decimaltal 0,01, når det bruges i regnestykker. For eksempel er: = 0,50 = 0,10 =0,75 = 1,00 Udregning af procent (Der er flere måder, man kan regne procent på.) Den letteste er at dele procenttallet med 100 (i hovedet ) og så gange tallet du ønsker procent af, med procenttallet. F.eks: 50 % af 500 kroner: 500 kr x 0,5 = 250 kr 20 % af 260 kr: 260kr x 0,20 = 52 kr Skal man lægge en procentdel til et tal, skal man blot huske at lægge de 100 % (det hele) til først. F.eks: Læg 25 % til 800 kr: 100 % + 25 % = 125 % 800kr x1,25 = 1000 kr Dette har man tit brug for, fordi momsen i Danmark er 25 % Skal man trække en procentdel fra et tal, skal man blot trække procentdelen fra 100 % (det hele) først. F.eks: Træk 15 % fra 400 kr: 100 % - 15 % = 85% 400kr x 0,85 = 340 kr 4

5 De fire regnearter Man taler om de fire regningsarter: plus, minus, gange og division Der er mange måder at regne på i hånden, her ser du et eksempel på hver regneart: Plus Du skal betale to regninger. De lyder på 85,17 kroner og 19,25 kroner Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen: Minus Du har 425,50 kroner i din pung. Du køber benzin for 256,80 kroner. Du finder, hvad du har tilbage i pungen ved at trække tallene fra hinanden: Gange Du køber 14 vinduer. Et vindue koster kroner. Du finder den samlede regning ved at gange tallene med hinanden: Division Du køber 8 vinterdæk. Regningen lyder på kroner. Du finder prisen på et dæk, ved at dele regningen med 8.: Har du en lommeregner ved hånden klare den let opgaverne. Der findes et utal af lommeregnere, så dette er kun et eksempel. tænd sluk kvadratrod division gange minus plus komma 5

6 Regn nu nogle af disse opgaver Tal på tallinjer Sæt følgende tal i ind på tallinien ,5 3 2,5 2 3,5 4 4,5 5,5 0,5 5 Skriv under pilen, hvilket tal den peger på. Sæt følgende tal i rækkefølge med det mindste tal først: 0,5 2 1,0 2,5 0,3 4 0,25-1,0-0,

7 7

8 Gang med 10 Man ganger med 10 ved at flytte kommaet én plads til højre. Gang med 100 Man ganger med 100 ved at flytte kommaet to pladser til højre. Gang med 1000 Man ganger med 1000 ved at flytte kommaet tre pladser til højre = 2. 6, = = 4. 0, = , = = 7. 45, = 8. 0, = = 10. 0, = = , = 13. 0, =

9 Del med 10 Del med 100 Man dividerer med 10 ved at flytte kommaet én plads til venstre. Man dividerer med 100 ved at flytte kommaet to pladser til venstre : 10 = 2. 6,22 : 10 = 3. 0,56 : 10 = ,1 : 10 = : 10 = 6. 45,3 : 10 = 7. 0,08 : 10 = 8. 4 : 10= 9. 0,03 : 10 = :10= ,6 : 10 = 12. 0,023 : 10 = : 10 = 1. 2 : 100 = 2. 6,22 : 100 = 3. 0,56 : 100 = ,1 : 100 = : 100 = 6. 45,3 : 100 = 7. 0,08 : 100 = 8. 4 : 100= 9. 0,03 : 100 = :100= ,6 : 100 = 12. 0,023 : 100 = : 100 = Del med 1000 Man dividerer med 1000 ved at flytte kommaet tre pladser til venstre : 1000 = 2. 6,22 : 1000 = : 1000 = 4. 0,56 : 1000 = ,1 : 1000 = : 1000 = 7. 45,3 : 1000 = 8. 0,08 : 1000 = 9. 4 : 1000 = 10. 0,003 : 1000 = :1000 = ,6 : = 13. 0,023 : 1000 =

10 Øv omsætning 2000 m = km 500 m = km 26 m = km 1250 km = m 0,750 km = m 5500 m = km 4520 m = km 0,050 km = m km = m m km 0,250 km m km = m 94 m = km 1,5 km = m 1,34 km = km m 10km80m = km 7800 m = km m 200 cm = m 45 m = cm 26 m = cm 12,50 cm = m 0,750 m = cm 3300 cm = m 25 m = cm 0,050 m = cm m = cm = cm m 0,550 m cm cm = m 94 m = cm 1,5 m = cm 1,34 m = m cm 10km80m = m 7800 m = m cm 3000 kg = ton 600 ton = kg 208 kg = ton 5250 kg = ton 0,350 ton = kg 4500 kg = ton 505 kg = ton 0,050 ton = kg ton = kg kg ton 0,750 kg ton ton = kg 94 kg = ton 3,5 ton = kg 8,65 ton = ton kg 70 ton 300 kg = kg kg = ton kg A Bilen vejer: kg Bilen må laste: kg B Bilen vejer: 3,5 ton Bilen må laste: 2,5 ton a. Hvor mange ton vejer bil A? b. Hvor mange kilo vejer bil B? c. Hvor mange ton må bil A laste? d. Hvor mange kg må bil B laste? 10

11 2. Skriv den samme vægt på tre måder: Opgave ton 15 ton 775 kg 15,775 ton 4 ton 300 kg 2,65 ton ton 2,5 ton 3 ton 50 kg 4,005 ton 385 ton 50 ton Regn med procent a) Find 10 % af 900 kr. = b) Find1 % af 8000 kr. = c) Find 20 % af 1000kr.= d) Find 25 % af 204 ton = e) Find 5 % af 500 kg = f) Find 100 % af 450 kr. = g) Find 50 % af 600 kr. = h) Find 75 % af 200 kr. = Opgave 2 Peters timeløn er 135 kr. a) Hvad bliver timelønnen, hvis den stiger med 25 %? b) Hvad bliver timelønnen, hvis den stiger med 50 %? c) Hvad bliver timelønnen, hvis den stiger med 75 %? Opgave 3 Et par bukser koster 460 kr. a) Hvad bliver prisen, hvis du får 25 % i rabat? b) Hvad bliver prisen, hvis du får 50 % i rabat? c) Hvad bliver prisen, hvis du får 75 % i rabat? Opgave 4 Et sæt arbejdstøj koster uden moms 455 kr. Beregn prisen med moms. Opgave 5 Et byggemarked giver under udsalg 20 % på værktøj. Hvad bliver prisen for en boremaskine, hvis normalpris er 739,00 kr? 11

12 De fire regnearter plus a b c minus d e f gange g h i j k l Division (dele) m n o : : : 7 p q r : : : 6 12

13 1. Du køber 12 kubikmeter beton. Det koster 750 kr. pr. m 3 Hvad koster de 12 kubikmeter? 2. Du køber følgende: 3 liter maling á 253 kr. 2 pensler til 59,00 kr. pr. stk. Hvad skal du betale? Kan man taste det således på lommeregneren? Benzintanken i din bil rummer i alt 50 liter benzin. Benzin koster 11,05 kr. pr. liter. Hvad koster den benzin, du kan have i tanken? 4. Du har følgende indkomster: Udbetalt månedsløn: kr. Børnefamilie-ydelse: kr. fire gange om året Find din samlede årlige indkomst. 5. Et bræt skal deles i mindre stykker. Brættet er 385 cm langt Hvert stykke skal være 55 cm. Hvor mange stykker kan du lave? 6. Du har købt en kasse øl. I er seks der skal dele. I kassen er der 30 stykker. Hvor mange øl kan I få hver? 7. Til en gryderet skal der bruges 135 g kylling pr. person. Du har fundet en pakke med 800 g kylling i din fryser. I bliver 6 personer til middag. Har du kylling nok? 8. Du modtager boligsikring. Du har regnet ud, at du i alt er berettiget til at få kr. om året. Du har modtaget kr. Hvor meget skal du betale tilbage? 13

14 Målestoksforhold Man bruger målestok, når man skal beskrive virkelighedens verden i formindsket udgave. Det kan være, når man vil lave en grundplan af et hus, et landkort, en konstruktionstegning eller lignende (formindskelser af virkeligheden) Et målestoksforhold skrives som f.eks. 1:100 Det betyder, at hvis du afsætter 1 cm på papiret, så svarer det til 100 cm i virkeligheden Der er 3 opgavetyper, når der regnes med målestok: 1. Man kan finde virkelighedens mål, når man kender målene på tegningen og tegningens målestoksforhold 2. Man kan finde tegningens mål, når man kender målene i virkeligheden og tegningens målestoksforhold 3. Man kan finde målestoksforholdet for en tegning, når man kender målene på kortet og i virkeligheden Sammenhængen mellem tegning, virkelighed og målestoksforhold kan opstilles i en formeltrekant: Kortets mål Virkelighedens mål Målestoksforholdet Trekanten bruges ved, at man lægger fingeren over den størrelse, man ønsker at finde så fremgår det direkte, hvad man skal gøre, idet den lodret linje betyder gange, den vandret linje betyder division. Eksempel 1 På et kort tegnet i målestoksforhold 1 : måles afstanden mellem Århus og Vejle til 32 cm. Find den virkelig afstand! Løsning? Altså er virkelige afstand = 32 x = cm =80 km

15 Eksempel 2 Et rør, som måler 4 meter, skal tegnes i målestoksforhold 1 : 100 Hvor langt skal røret være på tegningen? Løsning 400 Altså skal målet på tegningen være= 400 : 100 = 4 cm? 100 Eksempel 3 En skorsten er 12,5 m høj. På en skitse er skorstenen 25 cm I hvilket målestok er skitsen lavet? Løsning 1250 Altså er målestoksforholdet= 1250 : 25 = 50 1 : 50 25? Opgave 1 Find de manglende værdier i skemaet Målestoksforhold 1:10 1:500 1:200 1:25 1:100 1:250 1:100 Mål på tegning Mål i virkeligheden 0,3 m 0,06 m 34,00 m 0,22 m 220 m 13,75 m 30 cm 30 cm 14,2 cm 46,25 m 25 cm 1250 cm 12,34 cm 15

16 Opgave 2 På en arkitekttegning, der er udført i målestoksforholdet 1 : 100, er et hus tegnet med længden 12,5 cm. Hvor langt skal huset være i virkeligheden? Opgave 3 Afstanden mellem byerne Slagelse og København er 96 km. Hvor langt vil der være mellem byerne på et kort i målestok 1: ? Opgave 4 På en tegning over et hus i 1:125 er stuen 4,2 cm lang. Hvor lang er stuen i virkeligheden? Opgave 5 Du skal lave en tegning af en bygning som er 35 meter høj. Tegningen skal være i målestoksforhold 1 : 200. Hvor høj skal bygningen være på din tegning? Opgave 6 I et katalog er en cirkelformet swimmingpool afbildet i målestoksforhold 1 : 30 med en diameter på tegningen på 22 cm. Hvad er swimmingpoolens virkelige diameter? Opgave 7 Tegn et rektangel med længden 6 cm og bredden 5 cm. Denne tegning forestiller en mark, der er tegnet i målestoksforhold 1 : Hvor mange meter er markens længde og bredde i virkeligheden? Opgave 8 Hvilket målestoksforhold er anvendt på tegningen af lastbilen? 16

17 Vinkler En vinkel er åbningen mellem to rette linjer, der har samme endepunkt. De to rette linjer AB og AC kaldes for vinklens ben, og deres fælles endepunkt kaldes vinklens toppunkt. En vinkel kan betegnes < A eller < CAB. I sidste tilfælde skal bogstavet ved toppunktet stå i midten. Måling af vinkler Vinkler måles med en vinkelmåler. Den består af en halvcirkelformet skive, som langs kanten er inddelt i 180. Spids vinkel En vinkel, der er mindre end en ret vinkel, kaldes en spids vinkel. Ret vinkel En ret vinkel er 90. Stump vinkel En vinkel, der er større end en ret vinkel, men mindre end 180, kaldes en stumpvinkel. 17

18 Opgaver Vinklen er ⁰ og kaldes en vinkel Vinklen er ⁰ og kaldes en vinkel Vinklen er ⁰ og kaldes en vinkel Vinklen er ⁰ og kaldes en vinkel Vinklen er ⁰ og kaldes en vinkel Vinklen er ⁰ og kaldes en vinkel Tegn en ret vinkel Tegn en vinkel på 30 ⁰ Tegn en vinkel på 60 ⁰ Tegn en vinkel på 45 ⁰ Tegn en vinkel på 120 ⁰ Tegn en vinkel på 90 ⁰ Vinkelret på Når to linjer mødes, eller skærer hinanden så der opstår rette vinkler, siger man, at linjerne står vinkelret på hinanden. Type 2 cykelstativ Dobbelt vinkelret på søjle Opgaver 18

19 Tegn to linjer som står vinkelret på hinanden Tegn en linje fra punktet, som står vinkelret på linjen p Tegn en linje fra punktet, som står vinkelret på linjen t p t Tegn en linje der står vinkelret på linjen s i det viste punkt Tegn en linje der står vinkelret på linjen m i det viste punkt m s Tegn de vinkelrette linjer, som går fra punktet M til vinkel B s ben Tegn de vinkelrette linjer, som går fra punktet Q til vinkel A s ben 19

20 Trekanter En trekant er en figur, som begrænses af tre rette linjer, der kaldes sider, og hvis skæringspunkter kaldes vinkelspidser. Trekanten benævnes ABC, når vinkelspidserne er A, B og C. Siden overfor vinkel A kaldes a, siden overfor vinkel B kaldes b og siden overfor vinkel C kaldes c. Bemærk der er forskel på store og små bogstaver. Store bogstaver er punkter og små er linjer. Vinkelsummen i en trekant er altid 180 Der findes mange forskellige slags trekanter: Opgave Hvilke af disse trekanter er ligesidet, og hvilke er ligebenet 20

21 Spredningsvinkel - hældningsvinkel Anhugning er den proces, hvor man fastsætter eller fjerner løftegrejet på en byrde, som skal løftes. I den forbindelse taler man om spredningsvinkel og hældningsvinkel Spredningsvinklen er vinklen mellem stropperne Hældningsvinklen er vinklen mellem den enkelte strop og lodret Hældningsvinklen er altid halvdelen af spredningsvinklen Der findes følgende retningslinjer for spredningsvinkler: Anhugningshøjde = afstand fra krog til midt mellem anhugningspunkterne Anhugningsbredde = afstanden mellem anhugningspunkterne på byrden Spredningsvinkel 30⁰ Spredningsvinkel 60⁰ Spredningsvinkel 90⁰ Spredningsvinkel 120⁰ Stroplængden er dobbelt så stor som anhugningsbredden Stroplængden er den samme som anhugningsbredden Anhugningshøjden er halvdelen af anhugningsbredden Anhugningshøjden er halvdelen af stroplængden 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 6 m 1,5 m (ligebenet trekant) Opgaver 3 m (ligesidet trekant) 6 m 1. Hvis spredningsvinklen er 60 ⁰ og anhugningsbredden er 7 m, hvad er så stroplængden? 2. Hvis spredningsvinklen er 120 ⁰ og anhugningshøjden er 4 m, hvad er så stroplængden 3. Hvis spredningsvinklen er 30 ⁰ og anhugningsbredden er 1,5 m, hvad er så stroplængden? 4. Hvis spredningsvinklen er 90 ⁰ og anhugningsbredden er 3,50 m, hvad er så stroplængden? 5. Hvis spredningsvinklen er 120 ⁰ og stroplængden er 12 m, hvad er så anhugningshøjden? 6. Hvis spredningsvinklen er 30 ⁰ og stroplængden er 8 m, hvad er så anhugningsbredden? 7. Hvis spredningsvinklen er 60 ⁰ og anhugningsbredden er 7 m, hvad er så stroplængden? 8. Hvis spredningsvinklen er 90 ⁰ og anhugningshøjden er 4,5 m, hvad er så anhugningsbredden? 21

22 For at sikre at anhugningsgrejet ikke overbelastes beregner man sikker arbejdsbelastning kaldes WLL (Work Load Limit) Spredningsvinkel over 120 WLL (Hver strop skal kunne bære) Halvdelen af byrdens vægt altså Tre fjerdedele af byrdens vægt altså Hele byrdens vægt Byrden må veje æ 1 2 æ æ MÅ IKKE BRUGES Opgaver 1. Spredningsvinklen er 80⁰. Hvad er hældningsvinklen? 2. Hældningsvinklen er 45⁰. Hvad er spredningsvinklen? 3. Spredningsvinklen er 120⁰. Hvad er hældningsvinklen? 4. Hældningsvinklen er 75⁰. Hvad er spredningsvinklen? 5. Beregn WLL, når en byrde vejer 3000 kg, og spredningsvinklen er 15 grader? 6. Beregn WLL, når en byrde vejer 6 ton, og spredningsvinklen er 60 grader? 7. Beregn WLL, når en byrde vejer 2500 kg, og spredningsvinklen er 110 grader? 8. Beregn hvor stor en byrde, der kan løftes, når spredningsvinklen er 40 grader og WLL er 5 ton? 9. Beregn WLL, når en byrde vejer kg, og hældningsvinklen er 25 grader? 10. Beregn hvor stor en byrde, der kan løftes, når hældningsvinklen er 10 grader og WLL er kg? 22

23 Nogle gange er det nødvendigt at kunne bestemme den helt præcise belastning for en strop. Så anvender man denne formel: Faktisk stropbelastning = æ æ ø Eksempel En byrde vejer 3500 kg. Stroplængden måles til 5 meter og anhugningshøjden måles til 4 meter. Opgaver Faktisk stropbelastning = = 2.187,5 kg 1. En byrde vejer 800 kg. Stroplængden måles til 8 meter og anhugningshøjden måles til 4 meter. Beregn den faktiske stropbelastning 2. En byrde vejer 10 ton. Stroplængden måles til 12 meter og anhugningshøjden måles til 7 meter. Beregn den faktiske stropbelastning 3. En byrde vejer 7,5 ton. Stroplængden måles til 4,75 meter og anhugningshøjden måles til 3,25 meter. Beregn den faktiske stropbelastning Kan man ikke måle stroplængde eller anhugningshøjde kan de beregnes ved hjælp af Pythagoras lærersætning om retvinklede trekanter. Hvis siden c skal findes c = a b Hvis siden a skal findes a = c b a c Hvis siden b skal finde Eksempel b = c a b 2 m c = 2 5 = 29 = 5,39 meter 5m 1,5 m 6m a = 6 1,5 = 33,75 = 5,81 meter 23

24 Opgaver 1. Beregn ved hjælp af Pythagoras anhugningshøjden i dette tilfælde. 6 m 5m 2. Beregn ved hjælp af Pythagoras stroplængden i dette tilfælde. 9 m 8m Formler til beregning af areal og rumfang Bemærk! Længder måles i mm, cm, dm, m eller km Arealer måles i mm 2, cm 2, dm 2, m 2 eller km 2 (kvadrat..) Rumfang måles i mm 3, cm 3, dm 3, m 3 eller km 3 (kubik..) 24

25 1: Arealenheder Når man omregner mellem arealenhederne(mm 2, cm 2, dm 2 og m 2 ), skal man gange eller dividere med 100, når man rykker en plads til venstre eller højre i systemet. Udfyld de tomme pladser i skemaet herunder - dog ikke de farvede felter Gang med 100 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm Del med 100 2: Rumfangsenheder Når man omregner mellem rumfangsenheder (mm 3, cm 3, dm 3 og m 3 ), skal man gange eller dividere med 1000, når man rykker en plads til venstre eller højre i systemet. Udfyld de tomme pladser i skemaet herunder - dog ikke de farvede felter Gang med 1000 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm Del med 1000 Du skal også vide at 1dm 3 = 1 liter OPMÅLING AF FIRKANTER De mål man er interesseret i ved opmåling af firkanter, afhænger af hvilken af følgende typer firkant, der er tale om. 25

26 Areal og omkreds af kvadrater, rektangler, parallelogrammer og trapezer. Opgaver Du skal først afgøre hvilken slags firkant de forskellige figurer tilhører. Dernæst skal du beregne arealet af hver firkant. Til slut skal du beregne omkredsen af de firkanter, som du har bestemt som værende kvadrater og rektangler I forbindelse med kranarbejde er det kvadrater, der bruges oftest - nemlig i forbindelse med beregning af støttebenstryk, når man opstiller kranen. 26

27 Kvadratrod betyder kvadratroden af. At finde kvadratroden af et tal betyder, at man skal finde det tal, der gange sig selv giver tallet! Eksempel 4 = 2 fordi 2 2 = = 10 fordi = 100 Skal man finde sidelængden i et kvadrat, har man brug for at tage kvadratroden. Eksempel 1 Kvadratets areal er side gange side eller 3 m x 3 m = 9 m 2 Kender man ikke sidelængden, men arealet, tager man kvadratroden af arealet Altså kvadratroden af 9 m 2 er: 9 = 3meter Eksempel 2 Sidelængden i dette kvadrat er: 20,25 = 4,5 meter Eksempel 3 Sidelængden i dette kvadrat er: 10 3,16 meter Opgaver 1. Et kvadrat har et areal på 36 m 2. Hvad er sidelængden? 2. Et kvadrat har en sidelængde på 120 m. Hvad er arealet? 3. Et kvadrat har et areal på 12,25 m 2. Hvad er sidelængden? 4. Et kvadrat har en sidelængde på 9 m. Hvad er arealet? 5. Et kvadrat har et areal på 60,84 m 2. Hvad er sidelængden? 27

28 Støttebenstryk For at udregne hvor stort trykket bliver pr. kvadratcentimeter, når man skal løfte en given byrde, anvendes følgende formel: Støttebenstryk = æ æ Eksempel 1 Bilens totalvægt er kg Byrdens vægt er kg. Støttebenstryk =.. = kg 1. Kender man understøtningspladens størrelse, kan man udregne hvor stort trykket bliver pr. kvadratcentimeter. Har man for eksempel en trykplade med størrelse 50 x50 centimeter, er dens areal cm 2 Trykket pr. kvadratcentimeter er da:.. = 4 kg/ cm2 a) Kender man ikke understøtningspladens størrelse, kan man udregne den, når man kender det tilladte tryk Hvis for eksempel det tilladte tryk er 5 kg/ cm 2 får vi i ovenstående eksempel, hvor støttebenstrykket var kg et understøtningsareal på:. / = cm2 Trykpladens sidelængde skal så være: = 44,72 cm 44,72 44,72 Der findes vejledende tabeller for, hvor stor underlagets bærerevne er. 28

29 Opgaver 1. Find trykket pr. kvadratcentimeter når Bilens totalvægt er kg Byrdens vægt er kg. Trykpladens størrelse er 60 x Find trykpladens sidelængde, når Bilens totalvægt er kg Byrdens vægt er 3.900kg. Tilladt tryk er 5 kg/cm 2 3. Find trykket pr. kvadratcentimeter når Bilens totalvægt er kg Byrdens vægt er kg. Trykpladens størrelse er 45 x Find trykpladens sidelængde, når Bilens totalvægt er 18 ton Byrdens vægt er kg. Tilladt tryk er 3 kg/cm 2 5. Find trykpladens sidelængde, når Bilens totalvægt er kg Byrdens vægt er kg. Tilladt tryk er 6 kg/cm 2 29

30 Firkanter, trekanter og cirkler Det er vigtigt, at alle mål er målt med samme måleenhed! Trekanter En trekants areal beregnes ved hjælp af denne formel: (der skal deles med 2, fordi det er en halv firkant) 1. Mål højde og grundlinje i denne trekant og beregn arealet 2. Du vil lave en blomsterkasse, hvis bund skal være trekantet. Hvad bliver arealet af bunden, når målene er som vist på tegningen 0,8 m 1,5 m 3. En trekantet plade har en grundlinje på 32 cm og en tilhørende højde på 21 cm. Find pladens areal. 4. Beregn arealet af det sorte låg på kassen, når grundlinjen er 0,75 m og den tilsvarende højde er 0,85 m. 5. En refleks har en grundlinjen på 30 cm og en højden 25 cm. a) Hvad er refleksens areal? b) Hvad er refleksens omkreds, når det oplyses at den er ligesidet? Cirkler Både ved beregning af cirklers omkreds og deres areal anvendes målet for cirklens tværsnit (diameter) eller halve tværsnit (radius). Hvis man måler omkredsen og diameteren af en cirkel og deler omkredsen med diameteren får man altid samme tal, nemlig cirka 3,14. Denne værdi, skrives med det græske bogstav π, der udtales pi. Hvis du ikke har tegnet på din lommeregner, bruger du bare 3,14. En cirkels areal og omkreds beregnes ved hjælp af disse formler: 30

31 Eksempel: Find omkredsen og arealet af en cirkel, som har en diameter på 6 cm. Løsning: Omkreds =6 cm π = 18,85 cm Areal = 3 2 π cm 2 = 28,27 cm 2 Opgave 1 Mål cirklernes diameter og beregn dernæst deres omkreds og areal. Opgave 2 En betonpille, der er rund og har en radius på 50 cm, skal omvikles med en bastmåtte. Hvor lang skal bastmåtten være for at nå rundt om pillen? Opgave 3 Vores jordklode har en diameter på cirka km. Hvad er jordens omkreds? Opgave 4 En olietønde er fremstillet af en metalplade, der bukkes rundt. Hvad var pladens længde og højde, før den blev bukket? Opgave 5 Torvet i en by er cirkelformet. Diameteren er 175 meter. Man regner med at der kan stå en person pr. m 2. Hvor mange mennesker er der plads til på torvet? Kvadrater og rektangler (se formler side 20) I et kvadrat er sidelængden den samme, arealet er side x side I et rektangel er længde og bredde forskellige, arealet er længde x bredde Opgave 1 Hvor mange kvadratmeter er en kvadratisk byggegrund, hvis side er 30 meter? Opgave 2 Et kvadrat har en omkreds på 24 cm. Beregn arealet! Opgave 3 En rektangulær byggegrund har målene 28 meter gange 36 meter. Hvad er grundens areal? Opgave 4 En sportsplads er 1210 m lang og 95 m bred. 2 % af arealet inddrages til klubhus. a) Hvad er sportspladsens areal? b) Hvad bliver klubhusets areal? 31

32 Rumfangsberegninger Det er vigtigt, at alle mål er målt med samme måleenhed! Når man skal beregne en byrdes vægt, har man i første omgang brug for at kunne beregne rumfanget (volumen) af byrden. Er byrden kasseformet bruges formlen Længde x bredde x højde Opgave 1 En mursten måler. Længde 22,8 cm, bredde 10,8 cm og højde 5,35 cm Beregn murstenens rumfang Opgave 2 Find rumfanget af den viste kasse. Opgave 3 Udgravningen til et kasseformet svømmebassin har en længde, bredde og højde på: 26 m, 16 m og 3 m. Hvor mange kubikmeter jord skal der fjernes? Er byrden formet som en trekantet kasse (i matematik kaldes det et prisme) finder man rumfanget ved at gange grundfladens areal med længden, og da grundfladen er en trekant bliver formlen: x h g l Opgave 1 En tildannet sten er udformet, som vist på tegningen. Højden i grundfladen er 25 cm. Hvad er rumfanget? Opgave 2 En kørerampe støbt i beton har de på skitsen viste mål. Beregn den mængde beton som rampen indeholder. 32

33 Er byrden kugleformet bruges formlen: V = π r3 Opgave 1 En globe fremstillet i massiv stål har en radius på 25 cm. Hvor mange kubikcentimeter stål indeholder globen? Opgave 2 Denne skulptur af Ole Schwalbe står i Holstebro Rådhushal. Kuglen er ca. 2 meter høj. Hvad er dens rumfang. (Vi ser bort fra indskæringerne) Opgave 3 En kugleformet hornmine fra 2. Verdenskrig har en radius på 0,35 m. Hvor mange kubikcentimeter kan minen rumme? Er byrden cylinderformet bruges formlen: V = h π r 2 Opgave 1 En beholder formet som en cylinder er 3,2 meter høj og har en radius på 2,4 m. Hvor mange kubikmeter kan beholderen rumme? Opgave 2 En cylindrisk tromle har en diameter på 65 cm og en højde på 1,20 m. Hvad er tromlens rumfang? Opgave 3 Jensen har en cylindrisk olietank. Hvor meget kan tanken rumme? 60 cm 33 2,2 m

34 Er byrden formet som et cylinderrør bruges formlen: V = h π ( R 2 - r 2 ) MEN man kan også bare udregne rumfanget af det store rør og af det lille rør og så trække de to rumfang fra hinanden. Opgave 1 Beregn rumfanget af et plastikrør, når D = 20 cm, d = 18 cm og l = 320 cm Opgave 2 Et nedløbsrør har følgende mål: udvendig radius 40 mm, indvendig radius 38 mm og længde 1 meter. Beregn materialeforbruget i cm 3 Opgave 3 En cylindrisk beholder uden låg har en højde på 120 cm og en udvendig diameter på 80 cm. Beholderen er fremstillet af 4 mm stålplade. Hvor mange cm 3 kan beholderen rumme? Opgave 4 En betonfabrik støber 500 cylinderformede kloakrør. Hvert rør er 4 meter langt. Det ydre tværmål er 1,2 m og rørvæggene er 10 cm tykke. Hvor mange m3 beton skal der bruges til støbning af rørene? Massefylde Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. Det er vigtigt at bemærke sig, hvilke enheder der hører sammen: altså g/cm 3 eller kg/dm 3 eller ton/m 3 34

35 For at beregne en genstands vægt er det nødvendigt at vide, hvilket stof genstanden er lavet af, og hvad dette stof vejer. Dette kaldes for materialets massefylde eller vægtfylde. Stoffers vægtfylde kan findes i tabeller som den her viste: Sammenhængen mellem vægt, rumfang og vægtfylde kan opstilles i en formeltrekant: vægtfylde vægt rumfang Trekanten bruges ved, at man lægger fingeren over den størrelse, man ønsker at finde så fremgår det direkte hvad man skal gøre, idet den lodret linje betyder gange, den vandret linje betyder division. 35

36 Eksempel 1: En stålkugle har en massefylde på 7,8 g/cm 3 og et rumfang på 25 cm 3 Find vægten. Løsning: Altså er vægten = 7,8 x 25 =195 g? 7,8 25 Eksempel 2: En kasse af beton har en massefylde på 2,35 ton/m 3 og vejer 6 ton. Find rumfanget Løsning: Altså er rumfanget = 6 : 2,35 =2,55 m 3 6 2,35? Opgave 1 Hvad er rumfanget af en 25 kg tung guldkugle? Opgave 2 En træplanke har et rumfang på cm 3 Beregn vægten af planken i kg Opgave 3 En metalstang har et rumfang på 456 cm 3 og vejer 3124 g. Beregn metalstangens vægtfylde. Opgave 4 En guldbarre fylder 1000 cm 3. Beregn hvor mange kilo guldbarren vejer. Opgave 5 Hvor meget fylder 1224 kg olie? Opgave 6 Et byggemateriale har et rumfang på 0,625 m 3 og vægten er 1062 kg. Beregn materialets vægtfylde. Opgave 7 Rumfang Vægtfylde Vægt Materiale træ sten Stål 36

37 Beton Opgave 7 En terning har en sidekant på 1,3 dm og en vægt på 9,5 kg. Find terningens massefylde Opgave 8 En palle træ har følgende dimensioner: Længde 4,00 meter, bredde 95 cm, højde 850 mm Beregn træets vægt i kg og i tons Opgave 9 En jernoverligger har dimensionerne 125 x 225 x 4500 mm a) Beregn vægten. b) Beregn vægten, hvis overliggeren i stedet er lavet af træ. Opgave 10 Et rør af kobber har længden 3600 mm udvendig diameter 2 cm indvendig diameter 1,8 cm Beregn rørets vægt. Vægtstangsreglen Mennesker har altid brugt redskaber og (senere)maskiner som hjælpemidler, når noget skulle løftes eller flyttes. Allerede i stenalderen viste man, at man med en vægtstang skal bruge mindre energi på at løfte en stor byrde. Den græske naturfilosof Archimedes, der levede ca før Kristi, formulerede den naturlov, som vi kalder vægtstangsreglen: En stang hænges op i en tråd i sit midtpunkt. Til hver side af stangen ophænger man et lod. Vægtstangsreglen siger da, at lodderne holder hinanden i ligevægt, hvis vægten af Inden loddet for til kranbranchen højre for ophængningspunktet siger man at: gange med afstanden til punktet er lig med massen af loddet til venstre for ophængningspunktet gange med dets afstand til punktet. Altså: Momentet =Kraft (vægt) gange Arm (afstand) Moment angives i tonsmeter (tm) Vægt angives i ton (t) Afstand angives i meter (m) 37

38 Vægt Momentl Afstand Sammenhængen mellem moment, vægt og afstand kan opstilles i en formeltrekant: Trekanten bruges ved, at man lægger fingeren over den størrelse, man ønsker at finde så fremgår det direkte, hvad man skal gøre, idet den lodret linje betyder gange, den vandret linje betyder division Vægtstangsreglen siger altså, at der er ligevægt når momentet er lige stort på begge sider af et omdrejningspunkt 2 m 3m 4,5 t 3 t 9 tm 9 tm 4,5 t 2 m 3 t 3 m Eksempel 1 Find momentet, når kraften er 1,5 t og armen er 5 meter? Løsning 1,5 Altså momentet = 1,5 x 5 = 7,5 tm Eksempel 2 Find kraften, når momentet er 18tm og armen er 10 meter Løsning? 18? 10 5 Altså skal kraften være= 18 : 10 = 1,8 t Kranføreren får en flot udsigt fra sin plads 100 meter oppe i verdens største og stærkeste tårnkran, der er udviklet af firmaet Krøll Giant Cranes. Kranen kan maksimalt løfte 400 tons.100 meter over jorden sidder også den op til 100 meter lange kranbom. Med et så stort udlæg løfter kranen 200 tons. Med 65 meter udlæg løfter kranen 385 tons, og maksimum på 400 tons klarer den ved et udlæg på 57 meter. ( Ingeniøren sep. 1989) Klip 38

39 Eksempel 3 Find armen, når momentet er 25 tm og kraften er 4 ton Løsning 25 Altså er armen= 25 : 4 = 6,25 m 4? Opgave 1 Beregn de manglende værdier i skemaet Moment Kraft Arm 9 t 1,8 m 12 tm 5 t 14 tm 2,5 m 8,75 t 4m Opgave 2 En kran skal med et maximalt udlæg på 10 meter løfte en byrde på 5 ton. Hvad bliver momentet? Opgave 3 En 25 tm kran skal løfte en byrde på 1,5 ton. Hvor langt kan udlægget være? Opgave 4 En 15 tm kran har et maximalt udlæg på 12 m. Hvor tung en byrde kan løftes? Opgave 5 Se på nedenstående belastningsdiagram for en 10 tm kran a) Hvor stor en byrde kan kranen løfte, hvis udlægget er 5 meter? b) Hvor stor kan udlægget være, hvis byrden er 6.500kg? 39

40 EKSTRAOPGAVER Opgave 1 På figuren er vist et cirkulært tæppe. a) Udregn tæppets areal b) Hvor stort er det samlede areal af de røde dele af tæppet Opgave2 Opgave 3 På figuren ses et vandingstrug. Længden af truget er 2,4 m. Trugets endeflader er retvinklede, ligebenede trekanter med en sidelængde på 60 cm. Alle mål er indvendige. Beregn hvor mange liter truet kan rumme. Opgave 4 En varmtvandsbeholder er sat sammen af en cylindrisk del og to dele af form som en halvkugle. Målene er som vist på figuren. Hvor meget vand kan beholderen rumme 40

41 Opgave 5 I en metalkugle er der et kugleformet hulrum. Kugleskallen har overalt en tykkelse på 1 cm Kuglens ydre diameter er 14 cm. Hvor mange kilo vejer den hule kugle, når den er fremstillet af et metal, der har en vægtfylde på 7,5 g/cm 3 Opgave 6 På figuren er vist en skitse af en glascylinder. 1 cm 3 glas vejer 2,6 g. a) Hvor stort er glascylinderens rumfang? b) Hvor meget vejer cylinderen? Opgave 7 En kornsilo kan rumme 600 m 3 hvede. Hvedes vægtfylde er 0,72. Hvor mange kilo hvede kan der være i siloen? Opgave 8 På figuren til højre er tegnet en klods. Indskæringen har form som en halv cylinder med radius 1,5 cm. Beregn klodsens rumfang. Opgave 9 Figuren til højre er en tegning af en koteletgrund der er tegnet i målestoksforholdet 1 : a) Hvor mange m 2 er grunden i virkeligheden? Det er kun 20 % af grundens areal som må bebygges. b) Hvor mange m 2 må det bebyggede areal være? Opgave 10 Beregn hvor meget det højeste punkt på stigen er over gulvet. 41

42 Opgave 11 Vægtfylden for jord kan sættes til 1,7 g/cm 3 Ved opgravning udvider jorden sig med ca. 19 % Hvad er den opgravede jords vægtfylde? Opgave 12 1) En terning har siderne 1,43 m. a) Hvor meget er rumfanget af terningen? b) Hvor meget vejer den, hvis det er vand? c) Hvor meget vejer den, hvis den er lavet af beton? Opgave 13 2) Der skal udstøbes en jernbeton bjælke, der skal være 3,60 m lang, 0,47 m høj samt 0,62 m bred. Hvor meget vejer den færdige bjælke? Opgave 14 I en ligebenet trekant er de to ens vinkler 40 ⁰. Hvor stor er den tredje vinkel? Opgave 15 I en trekant ABC er vinkel B =121 grader. Hvilken type trekant er det? Opgave 16 Opgave 17 Hvad er omkredsen af en ligebenet trekant, hvor grundlinjen er 20 cm og højden på grundlinjen er 5 cm? 42