Bjørn Felsager Seks guidede ture med DataMeter

Transkript

1 Bjørn Felsager Seks guidede ture med DataMeter DataMeter 1_0 September 2005

2

3 Seks guidede ture med DataMeter Indholdsfortegnelse Forord Eksempel 1: Kasseproblemet side 1 1. Problembeskrivelsen side 1 2. Tabelværktøjet side 1 3. Grafværktøjet side 6 4. Parameterværktøjet side Afsluttende bemærkning om inspektørerne side Datasættet side 16 Eksempel 2: Some like it hot Tilfældige rektangler side 17 HOT: Higher Order Thinking side 17 Introduktionen til projektet: Tilfældige rektangler side 17 Tilfældige rektangler som en DataMeter-øvelse side 18 Mellemspil: Datasættet som et udstillingsvindue side 20 Graferne hørende til de tilfældige rektangler side 22 Slutspil: Sandsynlighedsfordelinger for omkreds og areal side 29 Eksempel 3: Tusind kugler side 37 Introduktion til bogen: Tusind kugler side 37 Simpel simulering af et kuglespil side 37 Mellemspil: Hvor ofte gennembrydes loftet? side 41 Avanceret simulering af kuglespil side 44 Udfordring: Hvad sker der når spillereglerne ændres? side 49 Afsluttende bemærkning om binomialfordeling side 49 Eksempel 4: Hvem er den hurtigste? side 51 Måling af reaktionstiden side 51 Sagen Janus versus Vincent side 55 Retten er sat: Omrøring af reaktionstider side 58 Traditionel hypotesetest side 61 Avanceret mellemspil: Mann-Whitney testen side 64 Reaktionstider for en hel årgang Eksempel 5: Challenger ulykken side 73 Introduktion til Challenger ulykken side 73 Challenger ulykkken som en DataMeter-øvelse side 75 Hypotesetesten udført eksperimentelt side 79 Traditionel hypotesetest side 82 Eksempel 6: Buffons nåleproblem side 83 Indledning side 83 Simulering side 83 Buffons nåleproblem som en DataMeter-øvelse side 84 Buffons generelle nåleproblem side 89 Avanceret slutspil: Fordelingen for t = sin(v) side 93

4 Seks guidede ture med DataMeter Forord: Dette hæfte tjener som en introduktion til databehandlingsprogrammet Data- Meter. Det er skrevet for lærere som dels ønsker at sætte sig ind i programmets virkemåde, dels ønsker at orientere sig i nogle af de muligheder programmet tilbyder for en eksperimentel tilgang til undervisningen i matematik. Selvom eksemplerne er primært hentet fra matematiske emner: Variabelsammenhænge, modellering, sandsynlighedsregning og statistik, betyder det dog ikke at programmet kun bør anvendes i matematik. Ethvert fag, der betjener sig af databehandling som værktøj, kan med fordel udnytte DataMeters muligheder; det gælder ikke mindst de naturvidenskabelige fag og samfundsfag. Det har blot ikke været muligt at vise hele programmets spændvidde i disse få udvalgte eksempler. Man kan orientere sig på programmets hjemmeside www. DataMeter.dk for eksempler på andre anvendelser af programmet. Ideen med hæftet er altså at læreren sætter sig ved en computer med Data- Meter åbent og arbejder eksemplerne igennem trin for trin. Samtidigt vises typiske eksempler på projekter i matematikundervisningen, der lægger op til en eksperimentel tilgang. I den daglige undervisning er disse projekter naturligvis tænkt åbne og kan udvikle sig af mange forskellige veje i samspil med klassen. Men i praksis har jeg været nødt til at vise én mulig vej gennem projektet for at kunne give konkrete illustrationer af hvordan programmets værktøjer kan anvendes. Det er derfor vigtigt at understrege at disse tekster netop er oplæg til lærerne, der dels viser noget om programmets muligheder, dels viser noget om hvor projektet kan føre hen. Men de kan ikke bruges som undervisningsmateriale til eleverne. Teksterne giver alt for mange pointer væk pointer som nok vil være trivielle for lærerne, men som ikke er det for klassen. Det vil være ødelæggende for projekterne at fratage klassen muligheden for selv at gå på opdagelse i projekterne og selv nå frem til centrale pointer af deres egne kringlede veje. Det vil også låse en eventuel afrapportering fra eleverne helt urimeligt, hvis de får udleveret disse tekster. I overensstemmelse med reformens intentioner er der benyttet realistiske navne på de variable der indgår. Men projekterne kan selvfølgelig sagtens gennemføres med traditionelle betegnelser som x og y for den uafhængige og afhængige variable. Tilsvarende er der af hensyn til samarbejdet med de naturvidenskabelige fag konsekvent udnyttet mulighederne for at arbejde med enheder. Der er ellers ikke rigtig tradition for at benytte enheder i matematiske opgaver; og de kan da også fjernes fra projekterne uden at der går væsentlige pointer tabt. Men en sådan strategi ville netop ødelægge reformens mulighed for at styrke elevernes udvikling gennem fagenes synergi: Enheder er så væsentligt et naturvidenskabeligt værktøj at det vil være en stor fordel for eleverne, hvis også matematik 'leger med'. Eksemplernes rækkefølge er tilrettelagt, så de simpleste projekter, der kan udnyttes lige fra starten af 1g, kommer først. Samtidigt bliver værktøjerne introduceret i stor detalje de første gange, mens brugen af værktøjerne i de senere eksempler kun bliver skitseret nødtørftigt. For en nybegynder vil det derfor klart være en fordel at gennemarbejde eksemplerne i rækkefølge. Bjørn Felsager Haslev Gymnasium & HF September 2005

5 Eksempel 1: Kasseproblemet Eksempel 1: Kasseproblemet Vi begynder med et meget simpelt og velkendt problem der egner sig fortrinligt til den første øvelse i DataMeter med en 1g klasse: Kasseproblemet. Vi får da samtidigt chancen for at stifte bekendtskab med de tre vigtigste grundlæggende værktøjer: Tabelværktøjet, grafværktøjet og parameterværktøjet! 1. Problembeskrivelsen Vi skal altså forestille os at vi skal skære fire hjørner ud af et rektangulært papir og folde papiret til en kasse eller endnu bedre: Vi starter med at lade klassen folde kasser med forskellige højder, så vi rent fysisk producerer kassen og kan begynde at gætte på hvilken form kassen skal have for at få det største rumfang. Dertil er det også godt at prøve at udregne rumfanget for kassen! P 20 cm 30 cm Hvis papiret har bredden 20 cm og dybden 30 cm finder vi nu hurtigt ud af at der er en simpel sammenhæng mellem det afskårne stykke og dybden, bredden og højden for boksen. Det afskårne stykke bliver netop højden, mens boksens bredde bliver 20 cm minus to af de afskårne stykker og dybden bliver 30 cm minus to af de afskårne stykker. 2. Tabelværktøjet Det er da på tide at åbne DataMeter og trække en tabel ned fra værktøjsbjælken: Der dukker da et meget rudimentært regneark op på skærmen, hvor vi skal have udfyldt et skema for de forskellige variable, der indgår i kasseproblemet: Højde, Bredde, Dybde og Rumfang 1

6 Eksempel 1: Kasseproblemet Vi starter derfor med at indskrive den mest fundamentale variabel, højden, som netop er givet ved længde af det afskårne hjørne. Vi kan da fx sætte højden til at vokse med 1 cm ad gangen, dvs. tildele højden værdierne 0 cm, 1 cm, 2 cm,, 10 cm. Vi taster derfor variabelnavnet Højde ind i feltet <ny>: Der sker da uden videre tre ting: Vi får tildelt et datasæt Datasæt 1, som vi vil omdøbe om et øjeblik. Det skal indeholde de relevante data for de individuelle kasser. Vi får tildelt et felt lige neden under titelfeltet Højde til at begynde at indskrive værdierne for variablen Højde. Vi får tildelt et nyt felt <ny> som vi kan tildele en ny variabel. Vi indskriver derfor værdierne for højden, og ligeså snart vi har indskrevet den første værdi med enhed, dvs. skrevet 0 cm, sker der igen noget pr automatik: Der tilføjes en række for enheder lige neden under titelrækken for de variable! DataMeter har genkendt enheden cm og skriver selv navnet ud i enhedsfeltet. Hvis det fylder lidt for meget, kan vi trække i titelfeltets højre kant og på den måde justere bredden af søjlen til vi kan se hele navnet for den anvendte enhed (eller endnu bedre: dobbeltklikke på den højre kant, hvorved bredden justeres automatisk til at vise hele indholdet af søjlen). 2

7 Eksempel 1: Kasseproblemet Herefter kan vi indskrive resten af værdierne og denne gang behøver vi ikke huske enhederne, der tilføjes automatisk. Vi kan også klikke på titlen for datasættet, dvs. Datasæt 1 (læg mærke til at markøren skifter til en hånd, når vi placerer den på titlen for datasættet, og at det er ligegyldigt om vi klikker på titlen for tabellen eller på titlen for skattekisten), og omdøbe titlen til Kasseproblemet: Vi er nu klar til at lade de to næste variable, bredden og dybden for kassen, komme i spil. Vi kunne selvfølgelig blot indtaste deres værdier, men denne gang er der ikke tale om uafhængige variable. Deres værdier er givet direkte ud fra det afskårne stykke, dvs. ud fra variablen Højde. Vi skal derfor selvfølgelig udregne dem ved hjælp af en formel. De relevante formler ser således ud: Bredde = 30 cm 2 Højde Dybde = 20 cm 2 Højde Læg mærke til enhederne i formlen: Glemmer vi dem, får vi en fejlmeddelelse (inkompatible enheder). Når vi først er begyndt med enheder hænger vi på dem, hvilket kan være ret så sundt! Vi indfører derfor to nye variable: Bredde og Dybde. Derefter kan vi fx få lov til at indskrive formlerne ved at vælge en variabel og højreklikke. Men det er nok endnu nemmere at tilføje en formellinje ved først at vælge tabellen og dernæst vælge menupunktet Vis formler i Tabel-menuen: 3

8 Eksempel 1: Kasseproblemet 4

9 Eksempel 1: Kasseproblemet Der dukker da netop en formellinje op under titellinjen og enhedslinjen: Ved at klikke i formelcellen får vi adgang til formeleditoren og kan nu indskrive formlerne. Det er da bekvemt at hente variabelnavnene direkte fra formeleditoren som vist: Efter at have justeret bredderne for søjlerne passende og tilføjet endnu en variabel for rumfanget, der styres af formlen: ser vores datatabel endelig således ud: Rumfang = Højde Bredde Dybde 5

10 Eksempel 1: Kasseproblemet Vi kan da som vist fx aflæse at det maksimale rumfang blandt de kasser, der ligger i datasættet, er givet ved 1056 cm 3. Det opnås ved at afskære et hjørne med længden 4 cm. Dermed har vi opnået en første tilnærmelse til en løsning af problemet om at finde den største kasse. Vi kunne nu forfine tabellen og derved få en mere præcis løsning, men det vil vi ikke: Det er tid til at introducere grafværktøjet! 3. Grafværktøjet Vi trækker altså denne gang et grafværktøj ned fra værktøjsbjælken: 6

11 Eksempel 1: Kasseproblemet Det åbner som et tomt grafvindue. Vi kunne nu klikke i menuen Graf oppe i højre hjørne og skifte til Funktionsgraf. Derved ville vi få en grafregner stillet til rådighed. Men det er datasættet vi vil have afbildet, så det gør vi ikke. I stedet skal vi have fat i den uafhængige variabel: Højde. Den går vi ind og griber i tabellen i titelfeltet og trækker den derefter ned til førsteaksen i grafvinduet: Den derved fremkomne graf er selvfølgelig ikke specielt ophidsende: Men det er fordi vi mangler den afhængige variabel, dvs. rumfanget. Vi går derfor igen ind i tabellen og griber den afhængige variabel Rumfang og trækker den ind på andenaksen: 7

12 Eksempel 1: Kasseproblemet Derved dukker netop grafen for den forventede sammenhæng op: Klikker vi nu på datapunktet for det højeste rumfang dukker netop den tilsvarende række op i tabellen. Klikker vi i stedet på en række i datatabellen fremhæves tilsvarende det tilhørende datapunkt på grafen. Grafen er altså knyttet dynamisk til tabellen: 8

13 Eksempel 1: Kasseproblemet Men vi ville nu gerne kunne styre problemet lidt mere præcist på grafen. Vi indskriver derfor den fundne sammenhæng for rumfanget som en funktion af højden direkte i grafrummet. Først skal vi lige have bygget funktionsudtrykket op så den afhængige variabel Rumfang alene udtrykkes ved den uafhængige variabel Højde: Rumfang = Højde Bredde Dybde = Højde (20cm 2Højde) (30cm 2Højde) Igen er det afgørende at vi husker at behandle enhederne med respekt! Dernæst højreklikker vi i grafrummet for at få adgang til at plotte en funktion (nederste punkt på menuen): Vi indskriver rumfangsfunktionen og klikker OK (eller Enter). Straks dukker den nydeligste graf op: 9

14 Eksempel 1: Kasseproblemet Heraf kan vi nu se mønstret fra dataplottet så meget tydeligere og specielt kan vi bevæge markøren hen til grafen, klikke på grafen og følge den (spore den). Der dukker da et rødt grafpunkt op ligesom vi får oplyst koordinaterne for dette grafpunkt. Derved kan vi aflæse toppunktet lidt mere præcist: Toppunktet ligger altså i (3.9 cm; 1056,3 cm) idet x-værdien ikke er særligt præcist fastlagt, eftersom grafen er meget flad! Men vi kan også zoome ind på grafen. Det kan da betale sig først at oprette en dublet af grafrummet og dernæst zoome ind på dubletten, der tjener som dokumentation af toppunktet. Det sker ved at højreklikke på grafrummet eller benytte tastaturgenvejen SKIFT CTRL D. Dernæst zoomer vi ind. Det sker ved at holde CTRL-tasten nede, hvorved markøren forvandles til et. (Tilsvarende kan vi zoome ud igen ved at holde SHIFT-CTRL-tasterne ned). Læg mærke til at vi både kan zoome ind på et punkt i grafrummet såvel som et punkt på en af akserne. Det sidste er bekvemt, når vi kun ønsker at ændre en af akserne. Herved kan vi undgå at grafen blot bliver mere og mere flad i takt med at vi zoomer ind på toppunktet. Derved kan vi hurtigt få frembragt et mere præcist billede af toppunktets lokalisering: 10

15 Eksempel 1: Kasseproblemet Vi ser da, at det største rumfang fås ved at afskær på cm. Men det tilhørende rumfang oplyses ikke meget mere præcist, selv om vi tydeligt kan aflæse det fra grafvinduet til den følgende værdi cm 3. Men så mange decimaler kan vi selvfølgelig heller ikke rigtigt bruge til noget i praksis. Dermed har vi løst kasseproblemet i stor detalje. 4. Parameterværktøjet Vi slutter med at lege lidt med det sidste simple værktøj: Parameterværktøjet. Vi trækker altså et Parameterværktøj ned fra værktøjshylden: Den fungerer som en dynamisk global parameter vi kan lege med overalt i DataMeter! Her vil vi benytte den til at styre x-koordinaten i grafvinduet. Vi dobbeltklikker derfor på navnet og ændrer det til xpos. Tilsvarende dobbeltklikker vi på værdien og ændrer den til cm. Læg mærke til enheden! Uden enhed får vi ikke adgang til grafrummet, da det jo netop er forsynet med enheder! I første omgang ser det ikke så præcist ud som forventet, men det er fordi vi stadigvæk arbejder med et stort definitionsinterval. Vi dobbeltklikker derfor i skyderen og får adgang til den såkaldte inspektør, hvor vi kan sætte værdierne for det mindste og største tal på skyderen: Vi henter disse værdier fra grafrummet og straks indstiller skyderen sig til den større præcision: 11

16 Eksempel 1: Kasseproblemet Det er så på tide at vi sætter skyderen på arbejde. Vi højreklikker derfor i grafrummet og vælger det næstsidste menupunkt Plot Værdi. Formeleditoren åbnes da og vi vælger da som vist at plotte værdien xpos: Straks dukker der en lodret linje op i grafrummet svarende til værdien xpos. Vi kan så benytte skyderen til at lokalisere og aflæse toppunktets x-koordinat med større præcision. Efter at have zoomet ind adskillige flere gange fås fx: Tilsvarende kan vi selvfølgelig indføre en skyder ypos til aflæsning af y-koordinaten. Men her kan det nu være fristende at gå skridtet videre og låse y- parameteren til x-parameteren via rumfangsfunktionen. Som før trækker vi altså et parameterværktøj ned fra værktøjshylden og navngiver den ypos. Derefter højreklikker vi i skyderen og indskriver formlen for ypos udtrykt ved xpos: 12

17 Eksempel 1: Kasseproblemet Vi taster OK (eller Enter) og vi har nu frembragt en y-parameter, der er låst til x-parameteren og hele tiden viser det tilsvarende rumfang: Det ser godt nok ikke ud som y-parameteren rykker på sig, når vi trækker x- skyderen. Men det er fordi vi har valgt et alt for stort område på y-skalaen. Vi dobbeltklikker derfor i skyderen og åbner derved for inspektøren og sætter grænserne ind fra grafrummet: og : Straks justerer skyderen sig ind efter de indtastede grænser og nu kan sammenhængen ses tydeligt: 13

18 Eksempel 1: Kasseproblemet Trækker vi i x-parameteren følger y-parameteren lige så nydeligt med og vender når vi passerer toppunktet. Og vi kan kun trække i x-parameteren fordi y- parameteren er en afhængig parameter! Vi mangler så kun at få tegnet den vandrette linje svarende til ypos. Men det er jo grafen for en konstant funktion, så vi højreklikker i grafrummet og vælger det sidste menupunkt Plot funktion: Derved dukker der det nydeligste kryds op i grafrummet, hvor krydset er låst til grafen. Trækker vi i x-parameteren kan vi da lokalisere toppunktet med ekstremt stor præcision: 14

19 Eksempel 1: Kasseproblemet Dermed har vi demonstreret nogle få af de mangfoldige anvendelser af parametre. Selvfølgelig behøvede vi ikke at zoome så kraftigt ind for at løse kasseproblemet, men det demonstrerede at DataMeter godt kan arbejde med stor præcision, når det måtte være påkrævet. 5. Afsluttende bemærkning om inspektørerne: Ligesom parameterværktøjet har også grafværktøjet sin egen inspektør, som man får adgang til ved at dobbeltklikke i grafvinduet: Det giver mulighed for at sætte vinduesgrænserne xnedre, xøvre, ynedre og yøvre manuelt. Tilsvarende giver det mulighed for at vende akserne, hvilket kan være bekvemt i visse situationer. Endelig kan man sætte punktstørrelsen for punkterne i dataplottet, så størrelsen kan afstemmes passende efter fx antallet af datapunkter. 15

20 Eksempel 1: Kasseproblemet 6. Datasættet Selv om vi ikke har brugt det til noget særligt, så dukkede der et datasæt op i samme øjeblik vi indskrev tabellen: Det rummer dataene for de 11 kasser med højder fra 0 cm til 10 cm. Man kan åbne datasættet ved at trække i hjørnet: Som standard vises de enkelte data som guldkugler med undertitlen data. Men man kan skræddersy ikonerne og titlen efter behov. Det kan være tricket at indføre 3-dimensionale ikoner, så vi holder os til de indbyggede ikoner. Dobbeltklikker vi i vinduet for datasættet åbnes inspektøren, hvor vi vælger fanebladet Udseende og indskriver de følgende formler: Derved får vi netop frembragt en frise med de 11 kasser stillet op i rækkefølge med en størrelse, der afspejler rumfanget: 16

21 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Eksempel 2: Some like it hot Tilfældige rektangler I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher Order Thinking. HOTprogrammet blev oprindeligt udviklet i England under akronymet CASE (Cognitiv Acceleration through Science Education) af Adey og Schayer. Omkring år 2000 blev HOT-programmet introduceret i Danmark af Jens Holbech og Poul V. Thomsen fra Center for Naturfagenes Didaktik ved Århus Universitet: I begyndelsen koncentrerede man sig om faget fysik i 1g, men senere blev matematik i 1g (og også naturfag) inddraget i HOT-programmet. Centralt i HOTprogrammet står bl.a. variabelbegrebet og hvordan man kan lære at håndtere sammenhænge mellem mange variable på en gang. Eleverne introduceres fra starten til variabelbegrebet og lærer at klassificere variable på forskellig vis: Kvantitative og kvalitative variable Uafhængige og afhængige variable Sammensatte variable Dernæst lærer de at håndtere simple sammenhænge mellem variable, først kvalitativt (stigende, faldende), dernæst kvantitativt (ligefrem proportionalitet, omvendt proportionalitet, lineær sammenhæng). Endelig lærer de variabelkontrol, dvs. hvordan man på systematisk vis afgør, hvilke variable, der har indflydelse på en given variabel. Her vil vi kigge på en typisk øvelse fra matematikdelen af HOT-programmet, den første der blev stillet i min egen forsøgsklasse. Introduktionen til projektet: Tilfældige rektangler: Vi tegnede et rektangel på tavlen og snakkede om hvilke variable, der kunne karakterisere rektanglet. Eleverne kom med mange forslag som vi noterede på tavlen, herunder også nogle som vi ikke kunne bruge, fx vinkel (der jo netop ikke varierer i et rektangel) og rumfang. Til slut håndplukkede vi så de fire følgende variable: grundlinje, højde, omkreds og areal Af hensyn til øvelsen valgte jeg ikke at bruge navnene længde og bredde, men grundlinje og højde. Dels viser det med det samme at grundlinjen er den linje, der tegnes vandret, og højden den linje der tegnes lodret. Dels er det ligegyldigt, hvem der er længst, mens nogle elever kan finde på at insistere på at længden skal være længere end bredden! 17

22 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Efterfølgende skulle eleverne skrive en rapport over forsøget. Her fik eleverne de følgende holdepunkter: Rapporten om tilfældige rektangler bør indeholde de følgende punkter: En beskrivelse af forsøget herunder hvordan man frembringer de fire lister ved dels at udnytte tilfældighedsgeneratorer for grundlinjen og højden, dels at udnytte formlerne for omkredsen og arealet af et rektangel. En beskrivelse af de fire variable, en diskussion af deres værdier og en klassifikation af hvem der er uafhængige og hvem der er afhængige. Det vil også være godt med en diskussion af hvilke kombinationer, der er relevante. En beskrivelse af de fire figurer, der fremkommer, herunder en diskussion af deres form og ligningerne for de afgrænsende figurer. Det vil også være godt med en diskussion af hvordan disse ligninger er fremkommet. Ok, vi er nu klar til at udføre øvelsen i DataMeter. Vi åbner derfor for DataMeter og trækker en tabel ned i dokumentet. Vi slår med det samme Vis formler samt Vis enheder til i Tabel-menuen, og er nu klar til at indskrive de variable: Læg mærke til at ligeså snart vi har indført en variabel dukker der et datasæt op på skærmen (en tom skattekiste). Den kan vi passende navngive 'Tilfældige rektangler'. Så skal vi have konstrueret de tilfældige rektangler. Vi højreklikker derfor på datatabellen og tilføjer 1000 nye observationer (Tilføj nye data). Der dukker straks kugler op i skattekisten og observationerne nummereres i den yderste søjle. Man kalder observationens nummer for dens indeks, når man skal referere til den i formler mm. 18

23 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Grundlinjen og højden er uafhængige variable så de indskrives med formlen tilfældig() cm for et tilfældigt tal mellem 0 og 1. Læg mærke til at vi har tilføjet en enhed. Det er ikke strengt nødvendigt for øvelsen, men det er godt at øve sig på at bruge enheder fra starten. Hvis man ikke kan huske kommandoen kan man som vist slå den op i formeleditoren og få en forklaring på brugen samtidigt: Derved dukker der 1000 data op i de to første søjler: 19

24 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Det er lidt mere tricket at få beregnet omkredsen og arealet, da de er afhængige variable. Her skal vi altså bruge sammenhængene: Omkreds = 2 Grundlinje + 2 Højde Areal = Grundlinje Højde Dem skriver vi derfor også ind i formeleditoren og bemærker at DataMeter selv holder styr på enhederne: Omkredsen kommer ud som en længde i cm, mens arealet kommer ud i kvadratcentimeter, som det sig hør og bør: Læg mærke til at tallene for Grundlinje og Højde bliver genberegnet af tilfældighedsgeneratoren når vi piller ved tabellen (som her ved at tilføje formler for de to resterende variable). I denne øvelse arbejder vi altså med stokastiske variable, hvis værdier hele tiden fluktuerer tilfældigt. Læg også mærke til at variabelnavnene er tilgængelige i formeleditoren, så vi ikke behøver stave os igennem dem efter hukommelsen: 20

25 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Mellemspil: Hvis vi åbner skattekisten (ved at trække i et hjørne) kan vi se at den nu indeholder guldkugler svarende til de enkelte rektangler: Men det ville jo være sjovere, hvis skattekisten i stedet viste rektanglerne selv. Det kan vi imidlertid godt få den til på følgende måde. Dobbeltklik i skattekisten for at åbne datainspektøren og skift til fanebladet Udseende: 21

26 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Vi får da adgang til selv at vælge billedet (Billede) ved at indskrive en formel, der bl.a. kan referere til et ikon. Her vælger vi som vist sortkvadratikon. Det vil selvfølgelig vise et lille sort kvadrat, men vi kan lave det om til et rektangel med den rigtige form ved at sætte bredden og højden for ikonet til en passende skalering af de rigtige mål. Endelig kan vi sætte teksten (Titel) til at gengive datanummeret (Indeks), der skrives direkte eller hentes under Specielle funktioner nederst i formeleditorens funktionsliste. Resultatet ser således ud: 22 Slut på mellemspil! Vi har nu styr på de variable og kan begynde at lege med dem. Først og fremmest vil vi kigge på de grafiske sammenhænge. Med fire variable giver det umiddelbart anledning til 16 kombinationer, men de fleste er trivielle eller gentagelser af tidligere kombinationer. Da ydermere grundlinjen og højden er ækvivalente variable er der i realiteten kun fire kombinationer, der er væsensforskellige: Grundlinje Højde, Grundlinje Omkreds, Grundlinje Areal, Omkreds Areal. Her har vi listet dem med den uafhængige variabel først. Vi trækker derfor fire grafværktøjer ned i dokumentet og trækker de viste variabelkombinationer ind på akserne (se næste side). Det giver anledning til fire forskellige områder, der udfyldes med datapunkter. Den første graf er den simpleste: Når vi afsætter højden mod grundlinjen svarer datapunktet netop til det øverste højre hjørne i rektanglet afsat ud fra (0,0) som det nederste venstre hjørne. De 1000 rektangler fylder derfor enhedskvadratet rimeligt jævnt ud:

27 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Grundlinje (centimeter) Dobbeltklikker vi på et datapunkt lyser det op i alle grafer, markeres i selve datasættet ligesom grafinspektøren automatisk bladrer hen til dets generalieblad. Vi kan også markere et område fx ved at trække et rektangel med markøren. Her har vi fx udpeget den nederste kvadrant til venstre: Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Grundlinje (centimeter) Flytter vi markøren op til datasættet vil vi da kunne aflæse antallet af markerede rektangler på statuslinjen: 23

28 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Det passer meget godt med de forventede 250 ud af Her ses nu de fire grafer samlet: De fire fundamentale sammenhænge mellem variablene for de tilfældige rektangler! De tre øvrige områder er mere komplicerede: Et trapez, en trekant og en underlig form, der er afgrænset af en kurve, som måske kunne være en parabel. Det er ikke svært at gætte sig frem til ligningerne for de afgrænsende linjer og derefter benytte Plot Funktion til at få dem tegnet og checket visuelt om vi gættede rigtigt (se figuren næste side). I alle tilfældene er det nemt at aflæse to pæne punkter på linjen og derved fastlægge såvel hældningen som skæringen. Det er langt sværere at begrunde de således fundne sammenhænge og oven i købet få strikket et pænt argument samme i ord, der kan sættes ned på et papir, så andre kan læse og forstå det! 24

29 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Eksempel: Figur 2 med omkredsen som funktion af grundlinjen. For en given grundlinje må omkredsen mindst være 2 Grundlinje svarende til en minimal højde på 0 cm, dvs. der må gælde: Omkreds 2 Grundlinje. Tilsvarende kan omkredsen højst være 2 Grundlinje + 2 cm, svarende til en maksimal højde på 1 cm, dvs. der må gælde: Omkreds 2 Grundlinje + 2 cm. Det giver derfor netop de fundne ligninger for de to linjer, der afgrænser trapezet for neden og foroven i grafen, der viser omkredsens afhængighed af grundlinjen: Minimal omkreds for given grundlinje: Omkreds = 2 Grundlinje Maksimal omkreds for given grundlinje: Omkreds = 2 Grundlinje + 2 cm 25

30 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Den sidste krumlinjede figur bygger på langt mere komplicerede sammenhænge. Hvis vi gætter på en parabel (og det er ikke alle eleverne i 1g, der ved hvad en parabel er, men der vil altid være nogle der kender lidt til parabler i forvejen), så kan vi som udgangspunkt benytte ligningen for en parabel i hovedstillingen: y = A x 2 Spørgsmålet er så blot hvordan vi finder værdien for A. Der er flere muligheder, men det er instruktivt at introducere en parameter A ved at trække et parameterværktøj ind i dokumentet. Derefter kan vi plotte funktionen med forskriften Areal = A Omkreds 2. Ved at trække i parameteren kan vi nu se om vi kan få parablen til at følge randen (undervejs kan man med fordel zoome ind på parameteraksen ved at holde Ctrl-tasten nede imens man klikker på aksen): Det ser jo meget lovende ud! Spørgsmålet er så blot bare hvilken værdi for parameteren A der er den 'rigtige'? Hvis vi gætter på at parablen skal gå gennem punktet (4;0) (den øverste spids på figuren) må vi nødvendigvis sætte A til 1/16 = Dermed har vi eksperimentelt fundet frem til parablens ligning. Men igen kommer så det langt sværere problem: Hvordan begrunder vi den fundne ligning? Her kan det hjælpe, at vi netop kan udpege interessante datapunkter på en af graferne og se hvor de tilsvarende punkter dukker op i de andre grafer henholdsvis datasættet. Fx kan vi prøve at udpege datapunkter på randen af parablen og se at de netop svarer til næsten kvadratiske rektangler. Det kan da betale sig at oprette en dublet af grafen som vi kan zoome ind på for tydeligere at kunne udvælge et randpunkt for figuren. (Her har vi også sat punktstørrelsen op på datapunkterne for at vi nemmere kan se, hvilket randpunkt vi har valgt!): 26

31 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Grafinspektøren viser at der er tale om rektangel 133 (hvad der gør det meget nemmere at finde i datasættes udstillingsvindue!) samt at grundlinjen næsten er den samme som højden: Det kan lede til en frugtbar diskussion af hvilket rektangel, der har det største areal, når omkredsen holdes fast, og lige så vigtigt: Hvilket rektangel, der har det mindste areal, når omkredsen holdes fast. Her vil man med fordel kunne inddrage GeoMeter i diskussionen, men det er et helt projekt i sig selv, så vi nøjes med konklusionen: Rektanglet med det største areal for en given omkreds er et kvadrat. Rektanglet med det mindste areal for en given omkreds har højden 0 cm, hvis omkredsen er mindre end 2 cm, idet omkredsen da fordeles ligeligt på de to vandrette sider (dvs. grundlinjen). Rektanglet med det mindste areal for en given omkreds har grundlinjen 1 cm, hvis omkredsen er større end 2 cm, idet den resterende omkreds da fordeles ligeligt på de to lodrette sider (dvs. højden). En anden mere avanceret mulighed for at undersøge sammenhængen består i at udpege områder ved hjælp af filtre. Hvis vi fx vil forstå randen af det parabellignende område kan vi tilføje filtret 2 Omkreds 2 Areal > cm 4 dvs. vi medtager kun de rektangler, hvor arealet højst afviger cm 2 fra det maksimale areal. Vi får da som vist netop udskilt randen af den parabellignende figur. 27

32 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Det samme filter anvendt på Grundlinje-Højde-grafen udvælger en stribe omkring diagonalen. Men det er jo netop langs diagonalen, hvor grundlinjen er den samme som højden, at vi finder kvadraterne: På tilsvarende måde kan vi opstille et filter svarende til den nederste rand, som viser at enten er grundlinjen 1 cm eller også er højden 1 cm: Bemærkning: Man tilføjer et filter til et objekt (tabel, graf, datasæt osv. ) ved at højreklikke på objektet og vælge menupunktet Tilføj filter eller ved at udpege objektet og dernæst bruge tastaturgenvejen Ctrl F. Når man først har oprettet filtret for det ene grafrum kan man kopiere formlen over i det andet grafrum ved at højreklikke på formlen og vælge menupunktet Kopier filter. Herefter kan man tilføje et filter til det andet grafrum ved at vælge menupunktet Indsæt filter eller ved hjælp af standardgenvejen Ctrl V i formeleditoren. 28

33 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Slutspil Dermed er vi igennem de vigtigste forhold omkring HOT-øvelsen med de tilfældige rektangler. Men som med så mange af den slags øvelser kan vi give den en lille drejning og vende tilbage til den senere i gymnasieforløbet, når vi er i gang med mere avancerede emner. Her vil vi se på et eksempel fra B- og A-niveauerne, hvor vi leger med sandsynlighedsfordelinger. Da Grundlinje (og Højde) bygger på tilfældige tal mellem 0 og 1 kan vi opfatte dem som eksempler på stokastiske variable, der er ligefordelte over enhedsintervallet [0;1]. Vi kan få denne ligefordeling at se ved at trække dem ind i et grafrum. I første omgang fremstilles de da som prikdiagrammer: Tilfældige rektangler Prikdiagram Tilfældige rektangler Prikdiagram Grundlinje (centimeter) Højde (centimeter) Men strukturen vil blive tydeligere ved at skifte graftype og se på de tilhørende histogrammer. Vi har ydermere valg at skalere histogrammet efter tæthed (hvilket man vælger under menupunktet Skalering på Graf-menuen): Tilfældige rektangler 1.4 Histogram Tilfældige rektangler 1.4 Histogram Grundlinje (centimeter) Tæthed for Grundlinje = Højde (centimeter) Tæthed for Højde = 1 De empiriske fordelinger svinger selvfølgelig lidt op og ned omkring den forventede teoretisk konstante tæthed på 1, men der synes ikke at være systematiske afvigelser om end grundlinjen har nogle forholdsvis store dyk (fx lige efter 0.8). Om det bør give anledning til en reel bekymring kan kun afgøres ved en større statistisk undersøgelse ved at gentage fordelingen mange gange og se på fordelingen af det største dyk. 29

34 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Ser vi derimod på de stokastiske variable Omkreds og Areal, så giver det anledning til nogle helt andre fordelinger: Tilfældige rektangler Histogram Tilfældige rektangler Histogram Omkreds (centimeter) Areal (cm^2) De er tydeligvis ikke ligefordelte! Omkredsen kunne godt ligne en symmetrisk savtakfordeling med toppunkt i (2;½). Vi kan lægge grafen for savtakfordelingen ind over tæthedsfordelingen og checke om det ser rimeligt ud: Tilfældige rektangler Histogram Omkreds (centimeter) Omkreds 4cm Tæthed for Omkreds = hvis ( Omkreds < 2cm) Omkreds 1 4cm Det ser jo ikke så tosset ud. Vi kan også godt begrunde hvorfor det må være en savtakfordeling. Omkredsen er en afhængig sammensat variabel opbygget ud fra de to uafhængige variable Grundlinje og Højde: Omkreds = 2 Grundlinje + 2 Højde Omkredsen er altså i det væsentlige en sum af to stokastiske variable. 30

35 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Kigger vi nu på den simultane fordeling af Grundlinjen og Højden så er den jo ligefordelt over enhedskvadratet, dvs. sandsynligheden for at trække et datapunkt indenfor et bestemt område, fx et kvadrat eller en cirkel, er proportional med arealet af området: Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Grundlinje (centimeter) 0.25cm = 0.25 cm 0.75cm = 0.75 cm Højde = 0.25cm Højde = 0.75cm ( 0.25cm < Grundlinje ) og ( Grundlinje < 0.75cm) og Grundlinje (centimeter) Højde = 0.5cm + Højde = 0.5cm 2 ( 0.25cm) 2 ( 0.25cm) ( Grundlinje 0.5cm) 2 ( Grundlinje 0.5 cm) 2 ( Grundlinje 0.5cm) 2 + ( Højde 0.5cm) 2 ( 0.25cm) 2 Kvadratet med centrum i (0.5 cm; 0.5 cm) og sidelængden 0.5 cm har fx arealet 0.25 cm 2, hvilket udgør en fjerdedel af enhedskvadratet, hvorfor vi forventer ca. 250 observationer. Vi observerer 248, så det passer fint. Cirklen med centrum i (0.5 cm; 0.5 cm) og radius 0.25 cm har arealet π (0.25cm) 2 = cm 2, hvorfor vi forventer ca. 196 observationer indenfor cirklen. Vi observerer 199, så det er også fint. Ingen data Slip en variabel her R1 = π ( 0.25cm) cm^2 Trækker vi nu Omkreds med ind i selve grafrummet for den simultane fordeling kan vi få frembragt en graf, der viser hvordan Omkreds afhænger af Grundlinje og Højde. Dette er DataMeters måde at håndtere sammenhængen mellem tre forskellige variable på en gang. Det kunne da godt se ud som om Omkredsen varierer jævnt langs hoveddiagonalen fra det nederste venstre hjørne til det øverste højre hjørne, eller med andre ord at niveaukurverne for Omkredsen er parallelle med den anden diagonal. Det bekræftes af sammenhængen mellem histogrammet for Omkredsen og den simultane fordeling for Grundlinje og Højde: 31

36 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Grundlinje (centimeter) Omkreds (centimeter) Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Tilfældige rektangler Histogram Omkreds (centimeter) Omkreds 4cm Tæthed for Omkreds = hvis ( Omkreds < 2cm) Omkreds 1 4cm Grundlinje (centimeter) Omkreds (centimeter) Dermed har vi givet en god begrundelse for den observerede savtakfordeling. Hvis vi vil udlede den på mere systematisk maner kan vi fx først udlede formlen for den kumulerede fordeling og dernæst differentiere denne for at finde tæthedsfordelingen. I dette tilfælde er problemet så simpelt at vi kan håndregne os igennem det. Vi kan illustrere udregningen grafisk ved at indføre en dynamisk parameter k, som løber mellem 0 og 4: 32

37 Eksempel 2: Tilfældige rektangler k = Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Tilfældige rektangler Histogram Omkreds (centimeter) Omkreds 4cm Tæthed for Omkreds = hvis ( Omkreds < 2cm) Omkreds 1 4cm k = 1 cm Grundlinje (centimeter) Højde = k Omkreds 2 Omkreds k Vi har samtidigt indført den lodrette linje Omkreds = k på histogrammet ved hjælp af kommandoen Plot værdi (hvor vi fx finder k under globale værdier i formeleditoren, men vi kan selvfølgelig også bare taste den ind i hånden!) Tilsvarende har vi tilføjet filtret Omkreds k på den simultane fordeling for Grundlinje og Højde samt grafen for randen af det filtrerede område: Højde = k/2 Omkreds Ved at trække i parameteren k kan vi nu visualisere sammenhængen mellem histogrammet for tæthedsfordelingen og den simultane fordeling. For at bestemme den kumulerede sandsynlighed P(Omkreds k) skal vi fastlægge arealet for det filtrerede område. Men det er jo simpelthen arealet for en ligebenet retvinklet trekant med siderne k/2 og k/2, dvs. arealet er k 2 /8 (så længe k holder sig under 2!). Der gælder altså: P ( Omkreds k) = 8 Differentieres med hensyn til k fås tæthedsfunktionen: 2 k k f ( Omkreds = k) = 4 (alt sammen så længe k holder sig under 2!). Vi har dermed genfundet den tidligere formel for tæthedsfunktionen for Omkredsen idet den anden gren fx følger af symmetrien! 33

38 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Men hvad så med arealfordelingen? Arealet er en afhængig sammensat variabel opbygget ud fra de to uafhængige variable Grundlinje og Højde: Areal = Grundlinje Højde Omkredsen er altså i det væsentlige en sum af to stokastiske variable. Vi går nu frem på samme måde som før. Først frembringer vi grafen for hvordan den sammensatte variabel Areal afhænger af Grundlinje og Højde: Tilfældige rektangler 1.0 XY-plot Grundlinje (centimeter) Areal (cm^2) Det kunne da godt se ud som om også Arealet varierer systematisk langs hoveddiagonalen fra det nederste venstre hjørne til det øverste højre hjørne. Men kigger vi nærmere på sammenhængen mellem histogrammet for Omkredsen og den simultane fordeling for Grundlinje og Højde ser vi at niveaukurverne for Arealet denne gang er hyperbelkurver: Tilfældige rektangler Histogram Areal (cm^2) Tilfældige rektangler XY-plot Grundlinje (centimeter) 34

39 Eksempel 2: Tilfældige rektangler Vi vil nu forsøge at udlede formlen for Arealets tæthedsfordeling ved først at udlede formlen for den summerede fordeling og dernæst differentiere for at finde tæthedsfordelingen. Vi illustrerer igen udregningen grafisk ved at benytte den indførte dynamiske parameter k, som denne gang løber mellem 0 og 1: k = cm^ Tilfældige rektangler Histogram Areal (cm^2) k = 0.25 cm^2 Tilfældige rektangler XY-plot Grundlinje (centimeter) k Højde = Grundlinje Areal k Vi har indført den lodrette linje Areal = k på histogrammet ved hjælp af kommandoen Plot værdi (hvor vi fx finder k under globale værdier i formeleditoren, men vi kan selvfølgelig også bare taste bogstavet k ind i hånden!) Tilsvarende har vi tilføjet filtret Areal k på den simultane fordeling for Grundlinje og Højde samt grafen for randen af det filtrerede område: Højde = k/grundlinje. Ved at trække i skyderen for k kan vi nu visualisere sammenhængen mellem histogrammet for tæthedsfordelingen og den simultane fordeling. For at bestemme den kumulerede sandsynlighed P (Areal k) skal vi nu fastlægge arealet for det filtrerede område. Denne gang er det mere kompliceret fordi det filtrerede område afgrænses af en hyperbelgren, der starter i Grundlinje = k. Vi er derfor nødt til at finde arealet ved hjælp af et symbolsk integral, hvilket selvfølgelig ligger helt uden for DataMeters domæne. Her illustrerer vi udregningen i TI-Interactive men et hvilket som helst CAS-program kan selvfølgelig bruges: k 1 Grundlinje + 0 k 1 k Grundlinje Grundlinje k > 0 = k - k ln k Der gælder altså: P ( Areal k) = k k ln( k). Differentieres med hensyn til k fås tæthedsfunktionen: f ( Areal = k) = ln( k). 35

40 Eksempel 2: Tilfældige rektangler En grafisk illustration af tæthedsfunktionen bekræfter det ovenstående: Tilfældige rektangler Histogram Areal (cm^2) Areal Tæthed for Areal = ln ( ) cm 2 Vi kan så finde sandsynligheden for at arealet lander i et bestemt område, fx intervallet mellem 0.25 cm^2 og 0.75 cm^2, som arealet under grafen for tæthedsfunktionen. Det giver et forventet antal på 369, hvor vi observerer 370: Tilfældige rektangler Areal (cm^2) Areal Tæthed for Areal = ln ( cm 2 ) 0.25cm 2 = 0.25 cm^2 0.75cm 2 = 0.75 cm^2 Histogram ln Areal Areal =

41 Eksempel 3: Tusind kugler Eksempel 3: Tusind kugler I en nyligt udkommen ungdomsroman om en ung svensk gymnasiepiges fortrædeligheder bruges et kuglespil ('galtonbræt') som en metafor for tilværelsens tilfældige forudsigelighed. Den matematisk begavede hovedperson Åsa er dybt fascineret af de naturvidenskabelige forklaringsmodeller med deraf følgende spændinger for hende i forholdet til hendes mandlige lærer i samfundsfag. I et appendiks beskriver forfatteren nu nærmere virkningen af et sådant kuglespil med 50 opsamlingsbåse, hvor de 1000 kugler skiftevis triller til højre og venstre i 49 trin når de rammer piggene i kuglespillet. Bogen giver en meget fin beskrivelse af det random walk mønster (diskret normalfordeling), som hovedpersonen Åsa er så fascineret af, og som hun bruger megen tid på at studere; først konkret med et galtonbræt hun har fået forærende som barn, siden elektronisk efter at hun som fjortenårig har fået en computer at lege med. Men har forfatteren selv leget med bogens kuglespil? Er fx beskrivelsen af variationen i antallet af kugler der havner i de enkelte bokse realistisk? Hvordan kan man nu undersøge det? Det er ikke særligt nemt at konstruere et præcist kuglespil, men vi kan nemt simulere kuglespillet i DataMeter. Ved at udnytte tilfældighedsgeneratoren tilfældigtheltal(0;1), der veksler tilfældigt mellem tallene 0 og 1, kan vi simulere udfaldet af en enkelt kugle ved at lægge 49 af disse stokastiske funktioner sammen fx i grupper af 7. Det gør nok indskrivningen af formlen lidt nemmere at bruge kopiér og indsæt flittigt undervejs! Vi trækker altså en tabel ind i dokumentet, opretter en variabel Båsnr, tænder for Vis formler i Tabel-menuen og indskriver formlen (hvor det er vigtigt at huske at benytte semikolon som skilletegn); eller endnu nemmere, vi ignorerer argumenterne, da de under alle omstændigheder har standardværdierne 0 og 1. Endelig giver vi tabellen (og dermed datasættet) titlen Tusind kugler: 37

42 Eksempel 3: Tusind kugler Bemærkning: Jo, der findes mere elegante måder at udføre eksperimentet på, men dette er nok den nemmeste i første omgang! Vi vil senere se på mere avancerede varianter. Derefter oprettes 1000 nye data (ved at højreklikke og vælge Tilføj data) og vi har fået opbygget udfaldene for de 1000 kugler. Tusind kugler Båsnr < = tilfældigtheltal ( )

43 Eksempel 3: Tusind kugler Vi er nu klar til at oprette et histogram for fordelingen ved først at trække et grafvindue ind i dokumentet og dernæst trække variablen Båsnr ind i grafrummet på førsteaksen. Vi kan således efter få minutter ved selvsyn se hvordan et realistisk forløb af kuglespillet ser ud. Faktisk kan vi ved at strække et prikdiagram få en rimelig realistisk fornemmelse af kuglebanens udseende. Tusind kugler Prikdiagram Båsnr Men tilbage til histogrammet (hvor intervalbredden sættet til 1): Tusind kugler Histogram Båsnr Hyppighed for Båsnr =

44 I teksten står nu følgende påstand: Eksempel 3: Tusind kugler I hver af de to midterste båse havnede mellem 110 og 115 kugler, nogle gange lidt flere, nogle gange lidt færre, men aldrig mere end 120, hvilket spillets konstruktør må have været klar over, idet båsene ikke kan rumme mere end 120 kugler. Nogle gange var der en eller to kugler mere i den højre bås, nogle gange i den venstre. For det meste var der lige mange og aldrig færre end 104. Først er der påstanden om at der aldrig falder mere end 120 kugler i de to midterste båse og at det derfor ikke er nødvendig at lade opsamlingsbåsene rumme mere end 120 kugler. Det kan vi som vist checke ved at højreklikke og vælge Plot Funktion og dernæst indskrive den konstante funktion 120 i formeleditoren. Allerede i det første forsøg kan vi altså se at vi har ramt loftet idet opsamlingsbåsen nr. 24 rummer 126 kugler som det også fremgår af statusbjælken, når man fører musen hen til opsamlingsbåsen og marker den: Tusind kugler 140 Histogram Båsnr Hyppighed for Båsnr = 120 Vi kan bruge kommandoen Gentag simulering til at gentage kuglespillet og så udføre en hurtig optælling af hvor hyppigt vi bryder loftet. Kommandoen udføres enten med tastaturgenvejen Ctrl-U (simulering) eller den kan findes i øverste højre hjørne af et udfoldet datasæt. I mit dokument ser jeg for eksempel at 5 ud af de første 10 kuglespil gennembryder loftet. Vi gennembryder altså loftet ca. halvdelen af gangene. Forfatteren (eller måske oversætteren?) har altså ikke selv prøvet at lege med et kuglespil for så ville han have haft en meget klarere fornemmelse af variationen i spillene. 40

45 Eksempel 3: Tusind kugler Mellemspil: Vi kan udbygge eksperimentet med en måling til at finde fordelingen for hvor ofte loftet gennembrydes. Vi må da ført konstruere en hyppighedstabel for kuglespillet, så vi kan finde den maksimale hyppighed. Det sker ved at trække beregningsværktøjet ned i dokumentet og derefter trække variablen Båsnr ind i tabellen, men husk at holde SKIFT-tasten nede, for tricket består i at håndtere Båsnr som en kategoriseret variabel (altså samme teknik som i grafrummet): Tusind kugler Båsnr Søjle total R1 = tæl ( ) Celler fra Tusind kugler oversigtstabel Båsnr R1 <ny> I dette tilfælde var det altså bås nr. 24 der fik det største antal kugler, nemlig 138 (og dermed stødte mod loftet). Men resultatet af en sådan hyppighedstabel kan som vist samles i et selvstændigt afledet datasæt ved at højreklikke og vælge menupunktet Overfør celler til nyt datasæt. Og når vi først har fået overført hyppighederne til et afledet datasæt kan vi udføre en måling på dette afledte datasæt Celler fra Tusind kugler oversigtstabel. Dermed kan vi trække den maksimale hyppighed ud som en måling. Da målingerne ligger gemt i selve datasættet dobbeltklikker vi på dette og åbner dets inspektør, hvorefter vi skifter til fanebladet Måling: 41

46 Eksempel 3: Tusind kugler Så snart vi har oprettet målingen MaksHyp kan vi udføre gentagne målinger fra Datasæt-menuen eller ved at højreklikke på datasættet Celler fra Tusind kugler oversigtstabel. Vi vælger da at gentage målingen 1000 gange (det kræver lidt tålmodighed, da vi i så fald skal kaste de 1000 kugler 1000 gange): Først udføres målingen automatisk fem gange med animationen slået til. Ved at dobbeltklikke på datasættet for målingerne kan vi efterfølgende som vist slå animationen fra og udføre 1000 nye målinger, der erstatter de første. Vi trækker derefter den gentagne måling af MaksHyp ind i et grafrum og markere samtidigt målingerne fra 121 og frem. Som det ses overskrider en betydelig del af de tusinde målinger den kritiske værdi 120. I modsætning til tekstens påstand er det altså et højst normalt fænomen at kuglerne løber ud over den øvre grænse. Ved at markere området til højre for den kritiske grænse kan vi hurtigt tælle hvor mange gange ud af 1000, idet resultatet aflæses på statusbjælken når vi fører markøren op til datasættet for de gentagne målinger: 42

47 Eksempel 3: Tusind kugler Målinger fra Celler fra Tusind kugler oversigtstabel 70 Histogram MaksHyp I 46% af tilfældene overskrider vi altså den kritiske grænse i en af opsamlingsbåsene. Derimod kommer vi kun meget sjældent under 104, præcis som bogen påstår. Målinger fra Celler fra Tusind kugler R1 = tæl ( MaksHyp > 120) R2 = tæl ( MaksHyp < 104) Ved hjælp af sådanne simple eksperimenter kan vi også hurtigt checke nogle af de andre påstande, fx påstanden om hvor meget antallet af kugler i de to centrale båse ligner hinanden: Nogle gange var der en eller to kugler mere i den højre bås, nogle gange i den venstre. For det meste var der lige mange. Påstanden kan give anledning til at formode at der typisk er næsten lige mange kugler i de centrale båse med numrene 24 og 25. For at undersøge dette indføres målingen Forskel i det oprindelige datasæt: Som før gentager vi målingen 1000 gange, hvilket igen kræver en del tålmodighed, da vi jo igen skal kaste de 1000 kugler i alt 1000 gange. Trækker vi derefter den gentagne måling Forskel ind på førsteaksen i et grafrum og opretter histogram og Boksplot fås følgende: 43