Funktioner - Fase 2 Anvende ikke-lineære funktioner til beskrivelse

Transkript

1 Navn: Klasse: Funktioner - Fase 2 nvende ikke-lineære funktioner til beskrivelse Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan løse problemer, der vedrører 2.gradsligninger. 2. Jeg kan løse problemer, der vedrører 2.gradsfunktioner. 3. Jeg kan løse problemer, der vedrører omvendt proportionalitet. 4. Jeg kan løse problemer der vedrører eksponentiel udvikling og kan opstille en formel, der trin for trin beskriver den udvikling. (fx hvordan et antal bakterier vokser eksponentielt fra dag til dag) 5. Jeg kan på baggrund af egne undersøgelser beskrive nr. n i en figurfølge (fx trekanttal nr. n) 6. Jeg kender til begreberne nederst. Begreber/noter: parabler, toppunkt, eksponentiel, proportional 15

2

3 ndengradsligningerogfunktioner 1

4 NDENGRDSFUNKTION En landmand vil indhegne en rektangulær eng til sine får. Han har 500 m trådhegn til rådighed, og vil have engens areal så stort som muligt. Findes der et største areal for engen, og hvis der gør, hvilken længde og bredde skal den så have? Et rektangel med omkredsen 500 m kan konstrueres på flere måder. Tabellen herunder viser sammenhængen mellem længde og bredde i et rektangel, hvor omkredsen er Udfyld resten af tabellen Længde Bredde real Tegn sammenhængen mellem længde og areal i koordinatsystemet herunder. eller i Geogebra 3 flæs på grafen om der findes et største areal for engen. 4 Hvilken længde og bredde skal engen have for at få det største areal? _ 5 Kan du ud fra grafen afgøre, om arealet er en funktion af længden? 6 Hvis længden af rektanglet benævnes l, så er bredden l. Forklar hvorfor. 7 Tegn en graf der viser sammenhængen mellem længde og areal: = l b real/m Længde/m MTEMTRIX 9 16 LINE GRFER

5 TOPPUNKT 1 Det grafiske billede af andengradsfunktionen f(x) = ax 2 + bx + c er en parabel. Hvis a>0 har parablen et minimumspunkt (dér hvor kurven vender). Hvis a<0 har parablen et maksimumspunkt (dér hvor kurven vender). Geogebra må bruges Begge punkter kaldes under et parablens toppunkt. I Hvis b = 0 og c = 0 er f(x) = ax 2 1 Tegn grafen for følgende andengradsfunk tioner i samme koordinatsystem og aflæs toppunktet. a f(x) = 3x 2 b g(x) = 3x c h(x)= x d i(x) = x 2 2 Hvor ligger toppunktet altid for funktioner af typen: f(x) = ax 2? II Hvis b = 0 og c 0 er f(x) = ax 2 + c 3 Tegn grafen for følgende andengradsfunktioner i samme koordinatsystem og aflæs toppunktet. a f(x) = 3x b g(x) = x c i(x) = x d i(x) = x Hvor ligger toppunktet altid for funktioner af typen: f(x) = ax 2 + c? MTEMTRIX 9 19 LINE GRFER

6 TOPPUNKT 2 1. koordinaten er b 2a D 4a Toppunkt III Hvis b 0 og c 0 er f(x) = ax 2 + bx + c Toppunktet (x,y) = b D ( 2a ; 4a ) For denne type funktioner er det nødvendigt at regne for at finde toppunktet. Du kan bruge følgende formel: 2. koordinaten er (hvor diskriminanten D = b 2 4ac) 5 Udregn toppunktet, og tegn grafen for følgende andengradsfunktioner. Geogebra må bruges a f(x) = x 2 + 2x + 1 _ b g(x) = x 2 + 2x + 4 _ c h(x) = x 2 + 4x 1 _ d i(x) = 2x 2 + 2x 1 _ e j(x) = 2x 2 + 4x + 2 _ f k(x) = 2x 2 6x 4 _ MTEMTRIX 9 20 LINE GRFER

7 (D%8$-5#()46)64#6-"3#$#(67(EF)$4,3$4( "# "#$%'()*+( $"#,-./%0/#1-%1+0)%2+1+2%+3 )-1(0%+(45#-6%78#5+29 %"#,-./%0/#1-%1+0)%2+1+2%+3 )-1(0%+(45#-6%:8#5+29 "# C D E F 7 G : H IJ II IC?%+5+0%+(10%18%'%@=B '"# ;%2+%+25$<0$5'5##%+%1'5/%##%+K IL8MI8NO/%22%'5#P54(%K ("#,-1#4%+5$01((%$<+4'1.+%N5((%'1#'5/%##%+.225$%+> CE U5$%+%(45# = " CE = " = " CE )"#,-50/#1-%(10%#6+20%+3)-1(1+0)%2+1+2%+%4-505'1(49 Q54%0%'('%0NO25$%+3(.8(-5%'1#%+4-505'1(41+0)%2+1+2K *"# R.2=.8-%+0'N.N.'1.+5#%9 +"# ;%2+%-'K.2(O%+25$30%N5((%'1#%+1+0)%2+1+2NOIF8 C K,"# S15+/%'5#%'1#/52% $"#,-.8%2%'(45#S15+/%'5#%.88O+%0%+3 )-1(#O+%'(45#/%'5#%('1#/52%NO%'O9 %"#,-.8%2%'(45#S15+/%'5#%.88O+%0%+3 )-1(#O+%'(45#/%'5#%('1#/52%NO'.O9 "# ;%2+.2<0$=#0%+'5/%#(.80%++%> "#$%'$"()%*+,-.../"-$01#%23"- 4)%5*5""5%*50"#*-"#$%1/$(65*$(5 T+'5#8O+%0%@B 7 IC I: CE DJ D7 T$052NK8O+%0@=B '"# ;%2+%+25$<0$5'5##%+%1'5/%##%+K IL8MC8O+%0%NOP54(%+KIL8MCJJ4KNO=P54(%+ ("# "N('1#%+$<+4'1.+0%N5((%'1#'5/%##%+.225$%+K )"# R.2=.8-%+0'N.N.'1.+5#%9 D3?$4#(='"3(3"8$($-(-5E$7--7()*( GC(% G( #3(=-$(EH-=@(( :-5E$7--7$-(='"3(8I4$(?4'"-#$#( 5*0$1*$07"$8'95"2)%57- (J4$'#"-7$3($33$4('8"54"#K@(( -6%/#*0%/<%K?<8O-..('%2+% 8%0#1+%5#$5 N<+4''1#N<+4'K *"#,-.#5+2'10'52%0%'5'/%'5#%#O+%''1#/52%3)-1(S15+/%'5#%GFJ4KNK8O+%09 Q54%01'(-5NO25$%+K

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

11

12

13 6 Sumpyramider Figuren til højre viser en udfyldt sumpyramide. I en sumpyramide skal tallet i hvert felt svare til summen af tallene i de to felter under tallet I Sumpyramide 1 på svararket er kun de tre nederste felter udfyldt med tal. 6.1 Udfyld resten af Sumpyramide 1 på svararket. I Sumpyramide 2 på svararket er kun det øverste felt udfyldt med tallet Udfyld resten af Sumpyramide 2 på svararket med naturlige tal, der alle er forskellige. I Sumpyramide 3 på svararket er nogle af felterne udfyldt med tal og den variable n. 6.3 Udfyld resten af Sumpyramide 3 på svararket. I Sumpyramide 4 på svararket er de nederste og det øverste felt udfyldt med tal og den variable p. 6.4 Du skal vise, at du kan finde værdien af p i Sumpyramide 4 på svararket ved at opstille og løse en ligning.

14 Opgave 6 Sumpyramide 1 Sumpyramide Sumpyramide 3 Sumpyramide 4 3+n 3 n p 4

15 5 Regneopskrifter En regneopskrift består af nogle linjer med en ordre i hver linje. Det tal, du får, når du følger en ordre i en linje, skal du regne videre med i den næste linje. Herunder er en regneopskrift. 1. Vælg et tal. 2. Læg 10 til. 3. Gang med Træk det tal, du valgte i linje 1, fra. 5. Divider med Træk 15 fra. Hvis du vælger tallet 3 i linje 1, får du 13 i linje 2 og 39 i linje Hvilket tal ender du med i linje 6 i regneopskriften, hvis du vælger tallet 3 i linje 1? Du kan også vælge andre tal end 3 i linje Undersøg, hvilken sammenhæng der er mellem det tal, du vælger i regneopskriftens linje 1, og det tal, du ender med i linje 6. Fire elever fra 9. bruger bogstavet n til at skrive hver sit regneudtryk, der skal vise beregningerne i regneopskriften øverst. nton: Miriam: Haider: (n +10) 3 n 2 n n (n +10) 3 n :2 15 Rune: ((n +10) 3 n) :2 15 To af elevernes regneudtryk passer ikke med regneopskriften. 5.3 Hvilke to elevers regneudtryk passer ikke med regneopskriften? Du skal begrunde dit svar. Eleverne vil finde på en regneopskrift, der altid ender med et tal, der er 10 større end det tal, de vælger i linje 1. De begynder med at skrive et regneudtryk, der skal vise beregningerne i regneopskriften. Regneudtrykket er m 6 m Du skal vise ved at omskrive, at værdien af regneudtrykket er 10 større end m. 5.5 Skriv en regneopskrift, der passer til regneudtrykket.