Deformationsanalyse med laserscanning

Transkript

1 Deformationsanalyse med laserscanning Landinspektøruddannelsen, Measurement Science 7. semester, Gruppe 1 Aalborg Universitet

2

3 0 Forord Aalborg Universitet Institut for Samfundsudvikling og Planlægning Landinspektøruddannelsens 7. semester Fibigerstræde Aalborg Ø Tema: Positionering Titel: Deformationsanalyse med laserscanning Synopsis: Med udgangspunkt i det overordnede tema for semesteret, Positionering, vælger projektgruppen at undersøge hvordan laserscanning benyttes i dag. På baggrund af denne analyse, finder projektgruppen frem til, at deformationsmåling med laserscanning tilsyneladende ikke er en udbredt metode. Derfor undersøges de eksisterende metoder. Med baggrund i denne analyse, forsøger projektgruppen at arbejde hen mod en metode, der kan bestemme, om der er sket deformation af et vilkårligt objekt. Først opstilles kriterierne for, hvornår det kan fastslås, at der er sket en deformation. Herefter forsøger projektgruppen at udvikle en metode, til at kunne sammenligne scans fra to epoker, og dermed bestemme om der er sket en deformation. Det lykkes at bestemme en deformation, men kun under bestemte forudsætninger. Den udviklede metode viser sig derfor ikke tilfredsstillende. Således er der stadig lang vej til at et vilkårligt objekt kan deformationsanalyseres med projektgruppens metode. Projektperiode: 1. september januar 2008 Projektgruppe: L7 - MS - 01 Anders Haugaard Thomsen Carsten Bundgaard Jacobsen Martin Steenberg Hansen Søren Johannessen Hovedvejleder: Bivejleder: Peter Cederholm Carsten Bech Sidetal: 88 Oplagstal: 7 Bilagsantal: 10 Afsluttet: 11. januar 2008 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne 3

4 0 Forord Aalborg University Department of Development and Planning 7 th semester of the chartered surveyor education Fibigerstræde Aalborg Ø Theme: Positioning Title: Deformationanalasys using laserscanning Abstract: Considering the main theme of the semester, Positioning, the project group chooses to investigate how 3D-laserscanning is used today. As a result of this analysis, the project group discovers that measuring deformations with 3D-laserscanning apparently is not a very widespread method. Therefore the existing methods are investigated. In the light of this analysis, the project group tries to develop a method, which is able to determine if an arbitrary object, has been deformed. At first, criteria of, when a deformation can be determined, are laid down. Afterwards the project group experiments with the development of a method for comparing two scans from two epochs, and thereby determining if a deformation has happened. Deformation was successfully determined, but only under certain conditions. Therefore the developed method is not satisfying. Thus there is still a long way to go for an arbitrary object, to be analysed for deformations by the method made by the project group. Period of project: September 1 st January 11 th, 2008 Group number: L7- MS - 01 Anders Haugaard Thomsen Carsten Bundgaard Jacobsen Martin Steenberg Hansen Søren Johannessen Supervisor: Secondary supervisor: Peter Cederholm Carsten Bech Number of pages: 88 Circulation: 7 Number of appended documents: 10 Date of completion: January 11 th, The content of this rapport is freely available, but publication (with copyright) is only allowed by agreement with the authors.

5 0 Forord Forord Dette projekt er udarbejdet af projektgruppe 1 på landinspektørstudiets 7. semester Measurement Science i perioden 1. september 11. Januar, ved Institut for Samfundsudvikling og Planlægning, Aalborg Universitet. Semesteret har temaet Positionering som hovedtema, og emnet kan vælges frit under hensyntagen til hovedtemaets afgrænsninger. Formålet med semesteret er, jf. studievejledningen: At give de studerende en indgående viden om teorier og metoder relateret til positionering. Projektet henvender sig til vejledere og censor, samt andre med interesse for laserscanning, dog især med fokus på deformationsmåling. Projektgruppen har valgt ikke at gennemgå al den teori der benyttes i projektet til bunds. Derfor forudsætter forståelsen af visse afsnit, et vist kendskab til landmålingens fejlteori, samt udjævning efter Mindste Kvadraters Princip. Igennem projektet udvikles flere MatLAB-scripts, der kan køres i MatLAB 7.0 og senere versioner, disse scripts kræver også statbox version 4.2, disse MatLAB-scripts er vedlagt i Bilag E. Desuden er programmet Cyclone 5.4 anvendt til at indsamle og sortere data. Kildehenvisninger sker efter Harvard-metoden, hvilket betyder at kilderne er opstillet således: [Forfatter, årstal, sidetal] og er der udgivet flere samme år, tilføjes et bogstav efter årstal. Hvis en kildehenvisning er placeret umiddelbart før punktum, henviser den til den pågældende sætning, mens en henvisning, der er placeret efter punktum, henviser til foranstående afsnit. De enkelte henvisninger er nærmere beskrevet i litteraturlisten, som findes bagerst i rapporten. Internetadresser henvises der til ved [Hoved-URL] og det fulde kildenavn kan ses i kildelisten. Kildelisten er opbygget alfabetisk efter forfatter(e), titel, årstal, udgivelsessted. Figurer, tabeller og billeder i rapporten er nummereret med fortløbende nummerering. Figur-, tabel- og billedtekster samt kilde er anført under de enkelte figurer/tabeller/billeder. Hvor kilde ikke er anført, er det projektgruppen, der har udarbejdet den pågældende figur/tabel/billede. Formler, der anvendes igennem rapporten, nummereres ligeledes fortløbende. Bilagene findes efter rapporten og er angivet med bogstaver, nogle af bilagene findes kun på den vedlagte CD, mens andre er vedlagt på papir, dette fremgår af bilagslisten bagerst i rapporten. Alle bilag samt rapporten vil dog være at finde på CD en. 5

6 0 Indhold Indhold 1 Indledning 8 2 Projektopbygning 9 3 Indledende tanker 12 4 Foranalyse Anvendelsesmuligheder i laserscanning Anvendelsesmuligheder i luftbåren laserscanning Anvendelsesmuligheder i terrestrisk laserscanning Opsamling 17 5 Problemanalyse Deformationsmåling Metoder for Deformationsmåling Totalstation Fotogrammetri GPS Laserscanning Opsamling 22 6 Diskussion af metode Inspiration - Holland Diskussion af metode - Overflademodeller Opsamling Problemformulering 31 7 Indledning til forsøg Gennemgang af underspørgsmål Hvor nøjagtigt måler laserscanneren enkeltpunkter? Hvor nøjagtigt kan en overflademodel dannes? Hvordan kan sammenligningen mellem enkeltpunkter og en overflademodel udføres? Metode til bevarelse af underspørgsmål Dataindsamling 35 8 Forsøg Forsøg Teori Fejlkilder Data til forsøg Resultater Opsamling 46 6

7 0 Indhold 8.2 Forsøg Teori Fejlkilder Data til forsøg Resultater Opsamling Forsøg Teori Fejlkilder Data til forsøg Resultater Opsamling Forsøg Resultater Opsamling Opsamling på forsøg Forsøg med sækkestol Teori Dataindsamling Fejlkilder Data til forsøg Resultater Opsamling 78 9 Konklusion Perspektivering Kildeliste Bilagsliste 88 7

8 1 Indledning 1 Indledning Hovedtemaet på dette semester er som nævnt i forordet positionering. Hovedtemaet er således meget bredt, og der er mange mulige emner at skrive projekt om. Derfor har projektgruppen valgt et emne at arbejde med, med udgangspunkt i den viden, der er opnået gennem forelæsninger og frie studieaktiviteter. På dette semester, er projektgruppen blevet introduceret for en ny opmålingsmetode, nemlig laserscanning. Dette var et nyt emne for projektgruppen, og ingen havde arbejdet med det, ud over den frie studieaktivitet. Projektgruppen har et ønske om, at bygge videre på den nye viden de har opnået gennem undervisningen, og dette har ligeledes været med til at præge valget af emne. Dette projekt tager derfor udgangspunkt i projektgruppens interesse i at arbejde med laserscanning. Projektgruppen er af den opfattelse, at laserscanning er en forholdsvis ny opmålingsmetode, hvilket betyder, at der stadig er mange uudforskede områder inden for emnet. Laserscanning kan hurtigt og let måle et objekt, og indsamle store mængder data om dette. Scanningen foregår vha. laserlys, og udføres som en automatiseret reflektorløs opmåling. En mere dybdegående beskrivelse af teknikken bag laserscanning kan ses i Bilag A. Projektgruppen har et ønske om, at finde løsninger på konkrete problemer, der kan findes inden for det valgte emne. Dette, sammenholdt med de mange uudforskede områder inden for laserscanning, gør laserscanning til et oplagt emne at arbejde med. Projektet handler derfor om laserscanning, med udgangspunkt i projektgruppens interesse heri. Ved at arbejde med laserscanning i projektet, opnås et indgående kendskab til netop laserscanning. Derudover får projektgruppen mulighed for, at bygge videre på den teori, der er præsenteret i undervisningen. 8

9 2 Projektopbygning 2 Projektopbygning Dette afsnit skal klarlægge projektrapportens opbygning, dette gøres for lettere at kunne holde styr på hvilke afsnit, der leder frem til hvad, og hvilken teori der bliver anvendt i de forskellige afsnit. Dette gøres ved en model, der skal illustrere projektforløbet fra start til slut. På 7. semester skal der arbejdes problemorienteret. Dermed kan projektet opdeles i fire grundelementer: problem, teori, empiri og konklusion. Disse fire grundelementer og deres sammenhæng er illustreret i Figur 1 nedenfor. Figuren viser de fire grundelementer i projektforløbet, mens pilene illustrerer, at der er konstant bevægelse mellem elementerne. Figur 1 illustrerer altså, at et projekt er en iterativ proces, hvor den viden der opnås fra teori og empiri medfører, at projektets problem kan ændre form, ligesom det selvfølgelig påvirker den konklusion, der findes. På samme måde vil problemets karakter, og de konklusioner der opnås, påvirke hvilken form for viden, der skal indhentes. Alt i alt påvirker de fire grundelementer hinanden, således at der skal tages hensyn til de andre, når der arbejdes inden for et af begreberne. Problem Teori Empiri Konklusion Figur 1: Projektarbejdets fire grundelementer [Andersen, 1990] I det følgende vil projektets opbygning blive beskrevet. Dette gøres ved hjælp af Figur 2, der viser hvilke afsnit, der udarbejdes i projektet. Figuren viser desuden hvilke teoretiske og empiriske input, der er anvendt til de forskellige afsnit. Desuden vil der til hvert afsnit efterfølgende være en kort beskrivelse, der forklarer hvad afsnittet omhandler. Dette gøres for at give læseren et overblik over projektets opbygning. 9

10 2 Projektopbygning Teori Projekt Projektopbygning Empiri Indledende tanker Studievejledningen Litteratur om laserscanning Litteratur om deformationsmåling Foranalyse Problemanalyse Diskussion af metode Gennemgang af underspørgsmål Dataindsamling Erfaringer fra fri studieaktivitet Litteratur fra faget Least Squares Adjustment Forsøg Konklusion Perspektivering Erfaringer gennem projektet Figur 2: Projektets opbygning Projektopbygning Nærværende afsnit beskriver den anvendte metode, og præsenterer strukturen i projektrapporten. Indledende tanker Dette afsnit beskriver gruppens indledende tanker, for at finde ud af hvor projektet skal føre hen. Dette fører til den undren, der er grundlaget for projektet. Foranalyse Dette afsnit indeholder en sammenfatning af indholdet i de indsamlede oplysninger, hvor hovedindholdet i sammenfatningen er lagt på netop de nuværende anvendelsesmuligheder. 10

11 2 Projektopbygning Problemanalyse For at kunne arbejde problemorienteret, er det nødvendigt med en yderligere analyse af den problemstilling, der er fremkommet i foranalysen. Dette afsnit vil munde ud i den problemformulering, der er grundlæggende for resten af projektet. Gennemgang af underspørgsmål I dette afsnit gennemgås først, hvorfor underspørgsmålene fra problemformuleringen er relevante, og derefter hvordan de kan besvares. Dataindsamling For at behandle de spørgsmål der fremkommer i problemformuleringen, vil projektgruppen udføre et forsøg med laserscanneren Leica Cyrax HDS Afsnittet Dataindsamling beskriver dette forsøg. Forsøg I dette afsnit vil projektgruppen besvare underspørgsmålene. Dette gøres på baggrund af dataindsamlingen, hvor de nødvendige data er indsamlet. Forsøgene konstrueres på baggrund af gennemgangen af underspørgsmålene, således at underspørgsmålene kan belyses. Konklusion I dette afsnit konkluderes på projektet. Konklusionen vil tage stilling til, om problemformuleringen er blevet besvaret. Perspektivering Dette afsnit skal samle op på løse ender i projektet, og beskrive hvordan analyser og forsøg kunne have været foretaget anderledes. 11

12 3 Indledende tanker 3 Indledende tanker Projektgruppen er, som tidligere beskrevet, blevet introduceret for laserscanning på dette semester, og har derfor valgt at arbejde med dette emne i dette projekt. Idet laserscanning er en forholdsvis ny opmålingsmetode, er der stadig mange uudforskede områder inden for emnet. Projektgruppens viden om laserscanning er ret begrænset, og for at kunne afdække hvilke områder, der endnu ikke er grundigt udforskede, er det nødvendigt med et dybere kendskab til emnet laserscanning. Derfor lyder projektgruppens undren således: Hvordan anvendes laserscanning? Projektgruppen ønsker i første omgang at undersøge, hvordan og til hvad laserscanning benyttes. Dette gøres for at skabe et overblik, over hvilke muligheder, der indtil nu er opdaget og taget i brug, og evt. for at kunne diskutere om der er andre muligheder, der måske kan være interessante at undersøge. Dette skal skabe forståelse for laserscanning, og dermed danne baggrund for projektet. Denne analyse vil ske ved at gennemgå artikler, projekter og lignende, der har beskæftiget sig med laserscanning. På baggrund af denne gennemgang, forventer projektgruppen at kunne fremhæve de områder inden for laserscanning, der er velbeskrevne og allerede en del af mange firmaers hverdag. Dermed forventer projektgruppen at have skabt en grundlæggende forståelse for mulighederne inden for laserscanning. Efter at have opnået denne viden forventer projektgruppen at have fået så mange input, at et nærmere afgrænset initierende problem kan bestemmes. 12

13 4 Foranalyse 4 Foranalyse For at kunne besvare gruppens undren, må der opbygges en viden om nuværende anvendelsesmuligheder for laserscanning. Derfor har gruppen søgt oplysninger i bøger, tidsskrifter og på Internettet. Dette afsnit indeholder en sammenfatning af indholdet i de indsamlede oplysninger, hvor hovedindholdet i sammenfatningen er lagt på netop de nuværende anvendelsesmuligheder. Afsnittet skal vise mulighederne inden for laserscanning, og give projektgruppen en ide om hvilke problemfelter det kunne være interessant at kigge på. Det følgende vil være en kort gennemgang af de anvendelser, der fremgår af det undersøgte materiale. 4.1 Anvendelsesmuligheder i laserscanning Dette afsnit behandler de forskellige anvendelsesmuligheder, der er i laserscanning. Dette skal give et overblik over hvordan laserscanning kan anvendes. Laserscanning kan grundlæggende deles op i luftbåren laserscanning og terrestrisk laserscanning, og der knytter sig forskellige anvendelsesmuligheder til disse. Da projektgruppen udelukkende har adgang til en terrestrisk laserscanner, er det denne form for laserscanning, der er mest interessant for projektgruppen, og hovedvægten vil derfor blive lagt her. Anvendelsesmuligheder inden for luftbåren laserscanning vil dog også kort blive præsenteret Anvendelsesmuligheder i luftbåren laserscanning Her præsenteres de konkrete anvendelsesmuligheder der er for luftbåren laserscanning. Luftbåren laserscanning og fotogrammetri overlapper hinanden i arbejdsopgaver, men ligesom fotogrammetri har nogle fordele frem for laserscanning, især i forbindelse med kortlægning, har laserscanning i andre situationer nogle fordele frem for fotogrammetri. Den luftbårne laserscanning knytter sig som sagt meget til de traditionelle fotogrammetriske opgaver, og anvendes især i forbindelse med udarbejdelse af terrænmodeller (DTM) og overflademodeller (DSM). En af fordelene ved dette er datatætheden og den høje nøjagtighed, der giver mulighed for en bred anvendelse. Det har vist sig, at når data er indsamlet, anvendes disse til andet end kun det planlagte, hvilket kan give konkrete besparelser. [Nielsen, 2006, s. 52] Laserscanning finder desuden anvendelse ved opmåling af DTM i skovområder. Årsagen til dette er, at den store punktmængde medfører, at nogle af punkterne vil ramme ved siden af bladene. Det vil sige at nogle af punkterne bliver målt på jordoverfladen i stedet for på trækronerne. Det er således muligt at udarbejde ikke kun en DSM for et skovområde, men ved at sortere i punktskyerne, kan også en DTM udarbejdes. [Flatman et al., 2000, s. 27] 13

14 4 Foranalyse Den høje punkttæthed og de mange indstillingsmuligheder, gør det muligt at indmåle luftbårne kabler [Flatman et al., 2000, s. 27]. Der opnås herved en hurtig opmåling af objekter, der vil være svære at kortlægge med traditionelle landmålingsmetoder. Opmåling vha. fotogrammetri kræver, at der er kontrast og struktur i landskabet for at opnå en tilfredsstillende nøjagtighed i opmålingen. Derfor er laserscanning et oplagt supplement til fotogrammetri, når der skal opmåles områder med lav kontrast og struktur, f.eks. marker eller snedækkede områder. [Flatman et al., 2000, s. 27] Det er med laserscanning muligt at opmåle lavvandede områder, da laserlys kan gennemtrænge vand. Laserlyset skulle kunne gennemtrænge vandet med op til 3 gange sigtbarheden, og der kan derfor være stor forskel på de opnåelige dybder. [Flatman et al., 2000, s. 27] Anvendelsesmuligheder i terrestrisk laserscanning Indenfor terrestrisk laserscanning er der et bredt anvendelsesspekter. Laserscanneren kan bruges til en del af de traditionelle opmålingsopgaver, men der er dog visse typer af opgaver, hvor der med fordel kan anvendes laserscanner frem for totalstation eller GPS, f.eks. pga. den større mængde data eller af sikkerhedsmæssige hensyn. Det drejer sig især om opmåling af: [Jacobs, 2004] Objekter/overflader med mange detaljer Utilgængelige/svært tilgængelige områder, f.eks. småt eller højt oppe Steder/pladser der er i konstant brug Skrøbelige overflader Ulykkesområder Områder der er usikre at færdes på Ovenstående liste giver ikke forslag til konkrete opgaver, men den fremhæver situationer, hvor det er fordelagtigt, eller måske ligefrem nødvendigt, at anvende laserscanning. Når der opmåles objekter eller overflader med mange detaljer, kan det være hensigtsmæssigt at anvende laserscanner, da dette er væsentlig hurtigere, end at skulle anvende et prisme, der så skal flyttes mange gange. Det samme gør sig gældende ved opmåling af utilgængelige områder, hvor det ikke er muligt at få placeret prismet. Det kan f.eks. være høje steder, hvor det ikke er muligt at komme op med et prisme, eller steder der er så små, at et prisme ikke kan være der. I disse tilfælde kan der selvfølgelig anvendes reflektorløs totalstation, men her kommer det igen an på, hvad der skal måles, da det vil tage lang tid at opmåle mange punkter med totalstationen. Selvom nogle totalstationer kan programmeres til at opmåle punkter i et grid, foregår det ikke med samme hastighed som med en laserscanner, fordi denne form for opmåling ikke er totalstationens hovedformål. 14

15 4 Foranalyse Steder eller pladser der er i konstant brug, kan opmåles med laserscanner. Det undgås herved at der gås i vejen for mennesker og maskiner. På denne måde kan der indsamles et komplet datasæt for et helt område, hvilket kan nedsætte behovet for at skulle tilbage og måle igen. Data skal selvfølgelig renses for fejlregistreringer (mennesker, maskiner og lignende). Foretages denne sortering med omhu, så der med sikkerhed kun fjernes fejlregistreringer, burde laserscanningen stadig indeholde så mange registreringer, at der er data nok, til at løse opgaven. Der kan dog forekomme situationer, hvor der ikke kan skelnes mellem fejlregistreringer og rigtige registreringer, eller hvor der er så mange fejlregistreringer, at det ikke er muligt at foretage en fornuftig modellering. I disse tilfælde må en anden opmålingsmetode anvendes. Skal der opmåles skrøbelige overflader, eller ulykkesområder, kommer laserscanning til sin ret ved, at et helt område kan måles op, uden at det er nødvendigt at berøre overflader eller objekter. På denne måde kan efterforskere få præcise oplysninger, om hvordan området så ud umiddelbart efter en ulykke, og samtidig få en 3D-visualisering, der kan gøre data nemmere at overskue [Jacobs, 2005 B]. Opmålingsmetoder hvor laserscanning anvendes til deformationsmåling, er blevet udviklet i visse universitetsprojekter. En universitetsrapport fra Teknisk Universitetet i Delft, Holland, omhandler deformationen af en sluseport i Amsterdam havn. I rapporten præsenteres forskellige sammenligningsmetoder for deformerede objekter til forskellige epoker. [Lindenbergh et al, 2005] En anden universitetsrapport behandler anvendelsen af laserscanning til deformationsmåling af en tunnel. Ved hjælp af modellering af en cylinder, kunne en sammenligning af to epoker finde sted. [Van Gosliga et al, 2006] Det har dog ikke været muligt at finde kilder hvori der beskrives hvordan disse metoder bliver anvendt udenfor forskningsøjemed. Laserscanning kan bruges til at kontrollere hvor store mængder materialer, der bliver kørt ud af f.eks. en grusgrav eller et stenbrud. Ved at laserscanne, fås der i mange tilfælde, et hurtigere og mere nøjagtigt resultat, end med traditionelle metoder. [Mortensen et al., 2005] I forbindelse med store anlægsprojekter, eller renoveringsopgaver, kan laserscanning ligeledes anvendes. På et område der skal bebygges, eller bygninger der skal renoveres, kan der udarbejdes detaljerede modeller, inden arbejdet går i gang. Disse kan bruges til planlægning af projektet. Der kan udarbejdes både kort og 3D-modeller, der kan være med til at præsentere projektet, og de store mængder data kan mindske eller helt fjerne behovet for yderligere opmåling. [Jacobs, 2006 A] Scannes der løbende gennem projektets udførelse, kan data anvendes til at finde løsninger på problemer der opstår undervejs i byggeriet. [Jacobs, 2006 B] 15

16 4 Foranalyse Laserscanning kan også bruges til bygningsopmåling. Der kan være mange grunde til at opmåle bygninger, men de primære vil f.eks. være i forbindelse med renovering, kvalitetskontrol efter opførelse, opmåling til 3D-bymodeller, eller opmåling af bevaringsværdige bygninger. I alle disse tilfælde kan laserscanning bruges til at indsamle data, og opbygge en 3D-model, men især i forbindelse med bevaringsværdige bygninger anvendes laserscanning, sammen med terrestrisk fotogrammetri, til at sikre at vigtige kulturminder er registreret og kan genskabes. I forbindelse med opmåling af kulturminder er det desuden en fordel, at objektet kan opmåles uden at objektet berøres. [Jacobs, 2005 A] Data fra laserscanning anvendes ofte til at skabe 3D-modeller. Objekter kan modelleres i det software, der anvendes til at bearbejde de indsamlede data. Nogle objekter kan skabes ved at lade programmet udregne den bedst passende overflade til en kendt form, ud fra punktskyen. For eksempel kan programmet udregne den bedst passende cylinder ud fra en punktmængde målt på et rør. Datasættet fra et scan er dermed godt til at konstruere flader, men er det et enkelt punkt på et objekt der ønskes positioneret er laserscanning ikke nødvendigvis den bedste løsning. Et bestemt punkt på et objekt vil i teorien ikke blive målt, idet der måles i et forudbestemt grid. Laserscanning og 3D-modellering har også fundet anvendelse i industrien, især med opmåling af komplekse rørsystemer, f.eks. på boreplatforme. Her kan de komplekse systemer opmåles uden at produktionen behøver at ligge stille. Data bruges til at lave en 3D-model der giver et overblik over rør og forhindringer på en måde, som ikke er mulig med traditionelle kort og planer, se Figur 3. 16

17 4 Foranalyse Figur 3: Delvis 3D-modellering af boreplatform [ Laserscanning anvendes desuden som et vigtigt instrument, til at dokumentere hvordan fabrikker og anlæg faktisk ser ud efter konstruktion, da de ikke altid er udført som vist på de oprindelige tegninger. [Christoffersen, 2005, s. 13] 4.2 Opsamling Efter denne foranalyse står det klart, at laserscanning har et utal af anvendelsesmuligheder, og dette uanset om der er tale om luftbåren eller terrestrisk laserscanning. Det står desuden klart, at der er nogle særlige fordele ved laserscanning. Det drejer sig f.eks. om det sikkerhedsmæssige aspekt, i at kunne måle et objekt ind med mange punkter, uden at skulle have en eller flere personer i usikre områder, f.eks. steder med nedstyrtningsfare. En anden fordel ved laserscanning er den store mængde data og mange punkter på de opmålte objekter. Da projektgruppen har adgang til en terrestrisk laserscanner, har især dette område projektgruppens opmærksomhed. I den forbindelse har projektgruppen i foranalysen lagt mærke til, at terrestrisk laserscanning tilsyneladende kun i meget lille omfang, hvis overhovedet, bliver anvendt til deformationsmåling. Derfor ønsker projektgruppen at undersøge om terrestrisk laserscanning kan anvendes til deformationsmåling. Projektgruppen får derfor følgende initierende problem: Hvordan kan laserscanning anvendes til deformationsmåling? 17

18 5 Problemanalyse 5 Problemanalyse For at kunne arbejde problemorienteret, er det nødvendigt med en yderligere analyse af den problemstilling, der er fremkommet i foranalysen. Dette afsnit vil munde ud i den problemformulering, der er grundlæggende for resten af projektet. Dette gøres ved at gå mere i dybden med emnet deformationsmåling. Det er i denne forbindelse vigtigt at pointere, at når der i dette afsnit snakkes om deformationsmåling, tænkes der på deformationer, der forekommer i industrien eller i byggeriet, altså deformationer der traditionelt måles af landinspektører. Formålet med afsnittet er, at fastslå hvilke metoder der tidligere har været anvendt, og om projektgruppen kan lære af erfaringer fra disse metoder, eller om det er nødvendigt at udvikle en ny metode, når der skal måles deformationsmåling med en terrestrisk laserscanner. 5.1 Deformationsmåling Når der anlægges store bygningsværker, eller når der fremstilles produkter i industrien, vil producenten gerne vide, hvordan materialet opfører sig efter produktionen. Ofte vil der ske en ændring i materialet som genstanden er lavet af eller støtter på. Denne ændring kaldes deformation og kan i byggesektoren og industrien, i visse tilfælde forudberegnes ud fra kendskabet til materialer og former. Når der bygges broer, bliver fundamentet for bropillerne undersøgt og et normalområde for den forventede deformation udregnes. Normalområdet er en funktion af tiden, hvor der fastlægges en øvre og nedre grænse for hvor stor deformationen af broen må være til bestemte tidspunkter. Løbende vil der blive foretaget målinger af broen, som sammenlignes med normalområdet. Når de løbende opmålinger ligger indenfor normalområdet antages det, at broens konstruktion er i orden. Bevæger målingerne sig mod udkanten eller helt ud af normalområdet, kan bygningsværket blive sat under yderligere overvågning for at lokalisere fejlen og finde ud af, om deformationen er truende for bygningsværket. Traditionelt set bliver deformationsmåling foretaget på en diskret punktmængde, altså en lille og i forvejen nøje defineret og dermed kendt punktmængde, idet der bliver anvendt målemærker. Den diskrete punktmængde bevirker, at der kun kan påvises deformationer i de punkter der er målemærker. Der kan altså forekomme deformationer, som ikke opdages, på et objekt der deformationsmåles med traditionelle metoder, når deformationen ikke forekommer på målemærkerne. Dette kan have bekymrende konsekvenser, idet deformationen uden for målemærkerne ikke vil kunne ses ud fra deformationsmålingen, og der vil ikke blive taget de forbehold der er nødvendige. 18

19 5 Problemanalyse Der findes forskellige former for deformation. Nogle objekter flytter sig i forhold til sine omgivelser, mens andre ændrer form. De objekter der flytter sig i forhold til omgivelserne, som f.eks. en bropille der sætter sig, kan oftest deformationsmåles ved hjælp af målemærker, der dermed flytter sig med objektet. Opmåling af målemærkerne giver et direkte billede af, hvordan deformationen har spillet ind på objektet. De deformationer der forekommer på objekter, der ændrer form, vil ikke nødvendigvis blive afsløret ved deformationsmåling med målemærker. Sker der f.eks. en udposning af en art på en bropille, uden at den flytter sig, vil det ikke vise sig i en deformationsmåling med målemærker. Så sker deformationen ikke, i netop de punkter som er målemærker, vil det se ud som om, der intet er sket. Når der måles deformationsmåling, er det nødvendigt at kunne skelne mellem en egentlig deformation og måleunøjagtigheder. Valg af instrument til deformationsmålingen afhænger derfor af hvor små deformationer der forventes. De mindste deformationer der kan afsløres må forventes at være større end grovfejlsgrænsen, idet en deformation der er mindre end grovfejlsgrænsen, blot vil tilskrives tilfældige fejl. 5.2 Metoder for Deformationsmåling Dette afsnit vil forklare lidt om de forskellige metoder, der er for at fastlægge en deformation. Der vil kort blive forklaret lidt om nøjagtigheden af de forskellige metoder. Der vil dog ikke blive gået i dybden med hvert enkelt emne, da dette afsnit skal ses som en oversigt over de forskellige metoder for deformationsmåling Totalstation Ved hjælp at en totalstation kan det lade sig gøre at måle ét punkt til to epoker, hvorefter disse to koordinater efterfølgende kan sammenlignes for at fastslå en evt. deformation. Denne metode kan gøres fuldautomatisk vha. servostyrede totalstationer med prismegenkendelser, eller som Trimble kalder dem: Servo-Autolock-Robotic Total Station, her kan f.eks. nævnes Trimble S6 og S8. [ Ved fuldautomatisk deformationsmåling, måler totalstationen selv til et antal prismer, som totalstationen kender koordinaten til, for derefter at beregne om prismet har flyttet sig. Der bliver blandt andet brugt totalstation til deformationsmåling i Freeport open pit mine i Indonesien. Hvor der på en jernstolpe er fastmonteret en totalstation, se Figur 4. [ A] 19

20 5 Problemanalyse Figur 4: Deformationsmåling med totalstation i Freeport open pit mine i Indonesien. [ A] Det kan selvfølgelig også lade sig gøre at bruge en totalstation til manuel deformationsmåling, denne metode kan dog være meget tidskrævende. Til gengæld kan opmålingen, alt efter udstyr, erfaring og målemetode, gøres med en nøjagtighed på under en millimeter Fotogrammetri Fotogrammetri bruges hvor det er nødvendigt at indsamle koordinater til en stor mængde punkter på samme tid. Dette kan f.eks. være deformationer i en fod, for derved at kunne bestemme graden af platfodethed hos patienter. [Christensen et al., 2007] Metoden er også blevet brugt på AAU til deformationsmåling på en limtræsbjælke. Ulemperne ved denne metode er at det er nødvendigt med et stort efterarbejde, hvor billederne først skal orienteres relativt, og derefter absolut. Siden skal punkterne indmåles på computeren i et 3D koordinatsystem. Det vil heller ikke være muligt at få oplysninger omkring deformationer i materialet mellem målepunkterne. Nøjagtigheden afhænger her af mange faktorer, her kan f.eks. nævnes kameraets opløsning, kamerakonstanten, basis og afstand fra kamera til objekt. 20

21 5 Problemanalyse GPS GPS bruges typisk til deformationsmåling, hvis der er tale om store områder eller bygningsværker, der kræver konstant overvågning, idet denne metode kan gøres fuldautomatisk. Metoden bliver blandet andet brugt ved Kinas længste hængebro; Jiangying Bridge, se Figur 5. [ B] Figur 5: Deformationsmåling med GPS ved Jiangying Bridge i Kina. [ B] Selv om GPS ved enkeltpunktsmåling ikke kan hamle op med Totalstationen og Fotogrammetri med hensyn til nøjagtighed, vil der ved automatisk måling måske blive taget en ny måling én gang i sekundet hele døgnet, og punktet vil derfor blive mange gange overbestemt. Det er dog ikke kun antallet af overbestemmelser, der har indflydelse på nøjagtigheden ved GPS måling, her er det i høj grad hardwaren, der har indflydelse på nøjagtigheden. Derudover har satellitkonstellationen og atmosfæriske forhold, en stor betydning Laserscanning Projektgruppen har en forventning om at laserscanning, ligesom totalstation, fotogrammetri og GPS, kan bruges til deformationsmåling. Det har dog ikke været muligt at finde konkrete eksempler, der beskriver at laserscanning har været anvendt. I stedet har projektgruppen fundet en del rapporter fra forskellige universiteter. Disse bliver ikke nævnt her, men bliver i stedet anvendt som kilder og inspiration i det øvrige af dette projekt. 21

22 5 Problemanalyse 5.3 Opsamling Der er i afsnittet Metoder for Deformationsmåling kort blevet beskrevet tre forskellige metoder til deformationsmåling. Der er præsenteret deformationsmåling med totalstation, fotogrammetri og GPS. Det kan konstateres, at der med GPS ikke kan opnås samme nøjagtighed som med totalstation og fotogrammetri, samt at deformationsmåling med totalstation, kan være meget tidskrævende, hvis der skal måles mange punkter. I dette tilfælde kan det bedre betale sig at anvende fotogrammetri, der dog også kræver en del efterbehandling på kontoret. Der er desuden nævnt muligheden for at udføre deformationsmåling ved hjælp af laserscanner, dog uden at det er klargjort, om dette rent faktisk kan lade sig gøre. Alt i alt må det siges, at skal der måles deformationsmåling, må metoden vælges ud fra overvejelser omkring nøjagtighed, tidsforbrug og opmålingsemne. 22

23 6 Diskussion af metode 6 Diskussion af metode Efter at have set på hvordan der normalt måles deformationsmåling, ligger det fast, at reglen er, at der måles på bestemte punkter, der tidligere er bestemt koordinater til. På denne måde kan disse punkters bevægelse hele tiden følges, blot ved at måle disse i en repeterende cyklus, og herved fås et billede af punkternes bevægelse. Men hvad nu hvis, som tidligere omtalt, deformationen sker uden for de bestemte målepunkters rækkevidde? Der ville i måleresultaterne ikke være nogen indikation på, at der var sket en deformation, selvom denne deformation var betydelig. Dette er selvfølgelig en meget søgt situation, da der i de fleste tilfælde vil foreligge en forventning om, hvordan et menneskeskabt objekt deformerer sig, og målemærkerne derfor kan placeres hensigtsmæssigt. Projektgruppen mener dog, at der kan være situationer, hvor der anvendes nye ukendte materialer, eller situationer, hvor det er usikkert, om målemærkerne er korrekt placeret. I disse situationer vil det være en fordel, at kunne bestemme deformationer uden at være begrænset af, at deformationerne skal ske, så de kan detekteres med målemærker. Det er derfor interessant at se på laserscanning i forbindelse med deformationsmåling. Laserscanneren kan bruges på samme måde som en totalstation, med bestemte targets, der bliver målt ind i et referencesystem og herefter sammenlignes med tidligere koordinater til de samme punkter. Dette er dog kun interessant, hvis laserscanneren kan tilbyde en højere nøjagtighed end totalstationen, hvilket ikke er tilfældet da måleunøjagtighederne er større ved laserscanning end ved opmåling med totalstation, jf. Bilag A. Det interessante kommer i stedet i form af muligheden for at scanne et helt objekt, altså lave en 3D-model af det der ønskes overvåget, og så siden hen sammenligne koordinater for hele objektet, for derved at afsløre deformationer på hele objektet, uden at være begrænset af bestemte målepunkter. Men hvordan lader dette sig gøre? Projektgruppen mener at det letteste, umiddelbart ville være at forsøge at måle deformationen af en plan flade. Dette vil med god nøjagtighed kunne gøres vha. laserscanning, da fladen kan modelleres i Cyclone. Hvis fladen scannes og orienteres i et koordinatsystem vha. targets, kan den altid scannes igen senere og sammenlignes med den første scanning. På denne måde vil både flytninger og vipninger af fladen kunne afsløres. 23

24 6 Diskussion af metode Det er på dette tidspunkt vigtigt at få slået fast, hvad der menes, når projektgruppen skriver modellérbare flader. Med modellérbare flader menes i dette projekt, flader der umiddelbart efter måling kan modelleres i Cyclone. Det vil sige, at programmet kan genkende formen på det opmålte objekt, og generere en model af dette. Cyclone kan umiddelbart genkende og modellere følgende objekter og former: - Plan flade - Cylinder - Sfære - Hjørne - Kasse - Liniestykke - Kegle - Rør-albue - T-deling på rør Disse objekter og former er således modellérbare flader, men i første omgang fokuseres på den plane flade i forbindelse med deformationsmåling. Det er således interessant at finde ud af hvordan den plane flade kan anvendes i deformationsmåling. 6.1 Inspiration - Holland Projektgruppen har fundet en rapport, omhandlende deformationsmåling af en sluse i Amsterdam Havn. I det følgende vil nogle af de principper, der er beskrevet i rapporten blive gennemgået, dels for at fastslå hvordan deformationsmåling af en flade kan gennemføres, og dels for at få ideer til hvordan deformation af et vilkårligt objekt evt. kan udføres. Rapporten tager udgangspunkt i to målinger af slusen inden for kort tid, uden at scanneren flyttes imellem målingerne. På baggrund af de indsamlede data, ses der på hvordan fladerne har bevæget sig mellem de to scans, hvor der til epoke 2 er større tryk på slusen, idet der er lukket vand ind, der presser på slusen. Allerede inden forsøget blev udført, havde de implicerede personer en forventning om, at størrelsen af deformationen der evt. ville fremkomme, ville være så lille, at den ville være i størrelsesordnen af de tilfældige fejl. [Lindenbergh et al, 2005, s.1] Efter disse indledende tanker gennemgår rapporten forskellige muligheder for at sammenligne de to scans. Den mest simple måde er at sammenligne punkterne fra de to scans direkte. I rapporten gøres dette ved at omsætte hver måling til polære koordinater, og derefter finde differencen på afstanden mellem hvert indmålt punkt fra hver epoke. Denne form for sammenligning kan kun ske, idet scanneren ikke er blevet flyttet mellem de to epoker. Projektgruppen mener dog at denne metode er tvivlsom, idet den mindste påvirkning af scanneren medfører at nye punkter vil blive indmålt i anden epoke. Desuden vil denne form for sammenligning, ikke kunne ske, hvis der ønskes foretaget deformationsmåling over længere perioder. [Lindenbergh et al, 2005, s.3] 24

25 6 Diskussion af metode En anden metode der beskrives, er at benytte normalvektorer. For at dette kan lade sig gøre, laves der først et plan af scan 1, og for samtlige punkter findes normalvektoren i forhold til planet. Herefter skal punkterne fra scan 2 bruges. For hvert punkt i scan 2, findes det punkt i scan 1 der ligger nærmest, og der dannes en vektor mellem disse. Ved at projicere denne vektor ind på normalvektoren mellem planet og det benyttede punkt i scan 1, fås en ny vektor. Hvis der ikke er sket en deformation mellem de to epoker, vil disse vektorer være normalfordelte, hvorimod en deformation kan opdages hvis disse vektorer i et område har samme størrelse og retning, se Figur 6. På figuren illustreres punkter fra scan 1 med rødt, og punkter fra scan 2 med grønt. Normalvektorerne fra punkterne i scan 1 er ligeledes vist med rødt. Vektoren mellem et punkt scan 1 og 2 er vist med blåt, mens projektionen af denne på normalvektoren er vist med rosa. Endelig er vektoren, der illustrerer om der er sket en deformation, vist med sort. Figur 6: Til venstre ses metoden anvendt inden deformationen og til højre efter. Det kan ses, på Figur 6, at vektorerne ligger tilfældigt til venstre, mens de til højre er ensrettede og af samme størrelse. Denne form for sammenligning kræver, at de to scans ligger i det samme koordinatsystem, og det er altså ikke nødvendigt, at scanneren står i den samme position i hver epoke, idet der kan benyttes en transformation til at få forskellige scans lagt i det samme koordinatsystem. Projektgruppen finder denne metode interessant, der er dog det problem, at det er nødvendigt med en modellérbar overflade, for at kunne danne normalvektorerne. [Lindenbergh et al, 2005, s.3] Den resterende del af rapporten omhandler sammenligning af flader. I rapporten er de dannede flader lavet så store som muligt, der er derfor tale om flader større end 1 m 2. I første eksempel beregnes residualernes størrelse efter mindste kvadraters princip. Denne størrelse viser sig at være bedre, end hvad specifikationerne foreskriver, men alligevel sandsynliggøres det, at residualerne ikke er normalfordelte. Det viser sig nemlig, at illustreres residualerne i forhold til fladen, ses det, at residualerne er negative i den ene side af fladen og 25

26 6 Diskussion af metode positive i den anden. Dette medfører at fladen opdeles i mindre flader, og for hver af disse beregnes residualerne igen. Det giver igen et bedre resultat. [Lindenbergh et al, 2005, s.4] I andet eksempel ønskes det undersøgt, om der er sket en deformation fra epoke 1 til epoke 2. Dette undersøges ved hjælp af fladesammenligning, hvor det benyttes, at inddele i mindre flader, også kaldet celler. Cellernes sidelængde fastsættes til 5 cm, og for hver af disse bestemmes det bedste plan, samt en værdi for kvaliteten af planet. Dette gøres for begge epoker, og sammenligningen sker ved, at cellerne fra hver epoke, sammenlignes parvist. Dette sker også ved mindste kvadraters princip, og igen bestemmes der en værdi for kvaliteten af det nye plan. Endelig opsamles der på de opnåede værdier, og det viser sig, at ¾ af cellerne har været stabile, mens resten kan kategoriseres som deformerede. [Lindenbergh et al, 2005, s.4] 6.2 Diskussion af metode - Overflademodeller Der er i det foregående blevet gennemgået hvorledes deformationsmåling kan foretages på et objekt med en kendt, og modellérbar overflade, og med den beskrevne metode fås også en størrelse for deformationen. Der er dog stadig et problem i forhold til at udføre deformationsmåling på et vilkårligt objekt, så hvad skal der til, for at det bliver muligt at udføre dette? Da projektgruppen ikke ønsker at være begrænset af målemærker (targets i forbindelse med laserscanning), men derimod ønsker at bestemme deformationer på et helt objekt, kan det overvejes at danne en overflademodel af alle de opmålte punkter, og ved hjælp af denne søge at måle deformationer. Det er muligt, at deformationer kan afsløres, ved hjælp af overflademodeller. Det må være muligt enten at sammenligne en overflademodel med en overflademodel, eller at sammenligne en overflademodel med enkeltpunkter. Projektgruppen finder derfor brugen af en overflademodel interessant i forhold til at kunne opdage deformationer. Der er dog flere problematikker, der skal overvejes, inden dette vil kunne anvendes på et vilkårligt objekt. For det første er det vigtigt at finde ud af, hvordan opmålinger til to epoker skal sammenlignes. En løsning kan være at danne overflademodellen af målingen til den første epoke, og så sammenligne denne med de enkelte punkter fra opmålingen til den anden epoke. En anden løsning er at danne en overflademodel af begge opmålinger, og sammenligne disse. For at kunne gøre dette, må der laves et grid af punkter, og projicere disse punkter vinkelret ned gennem begge overflademodeller. 26

27 6 Diskussion af metode Figur 7: Sammenlignig af to overflademodeller i regulært grid Bruges denne metode kan det være sværere at sikre, at det er de rigtige flader, der bliver sammenlignet med hinanden, da det er grid-punkterne, der bestemmer hvor der sammenlignes. Desuden opnås kun en sammenligning i én retning, hvor det, der er projektgruppens ønske er, at kunne måle deformationer i tre retninger. For det andet er der nogle begrænsninger for, hvilke objekter der kan scannes, af hensyn til dannelsen af overflademodellen. Hvis der er alt for mange små krumspring på objektet, kan det i nogle tilfælde blive svært at danne en overflademodel, da punkterne der anvendes hertil, ligger forskudt mellem hinanden pga. tilfældige fejl. Overflademodellen bliver dermed forkert, og det er derfor meningsløst at forsøge at sammenligne dette med andre opmålinger. Det er derfor vigtigt at sikre sig, at de objekter der måles på, ikke er for komplekse. Det må i den forbindelse overvejes, om det kan give nogle rand-problemer, at anvende overflademodeller. Hvis den valgte model ikke kan afgrænse fladerne på et objekt, altså bestemme kanter på en hensigtsmæssig måde, giver dette problemer i sammenligningen. En type overflademodel der kan dannes, er et TIN (Triangulated Irregular Network). En måde at danne et TIN på, er ved en såkaldt Delaunay triangulation. Delaunay triangulation er kendetegnet ved, at den omskrevne cirkel gennem tre af de indsamlede punkter, kun indeholder netop de tre punkter. Af disse tre punkter dannes en trekant, og dette udføres på alle indsamlede punkter. På denne måde dannes et helt net af trekanter, der til sidst udgør en overflade- 27

28 6 Diskussion af metode model. For at der kan dannes et TIN, skal punkterne være entydigt definerede i et koordinatsystem. Højden i et TIN angives altid parallelt med én af akserne, f.eks. z-aksen. X- og y-aksen angiver så punktets placering på overfladen. Derudover må der til hvert x- og y-koordinat, kun være et punkt, for at dette punkt kan beskrives entydigt i z-koordinatet, altså højden. TIN siges også at være i 2½D. TIN kan dog stadig anvendes til deformationsmåling. Idéen med at benytte de indmålte punkter til at lave et TIN er nævnt i en rapport fra Slovakiet. I rapporten måles på en plan flade, og for hver epoke laves et regulært grid mht. x- og z-aksen, og derefter kan deformationen af fladen findes ved at finde forskellen mellem y-værdierne. Se Figur 8 [Schäfer et al., 2004]. Figur 8: Rå punktskyer i et irregulært og uens mønster (venstre) og det interpolerede net (højre) hvor punktskyerne er sammenlignelige. Forskellen i y-retningen betegner deformationen En anden type overflademodel der kan dannes, er et såkaldt Mesh. Projektgruppen antager, at Mesh dannes stort set ligesom et TIN, med den undtagelse at et Mesh er i 3D. Det vil sige at i stedet for omskrevne cirkler, laves omskrevne kugler. Dette betyder at der kan være flere punkter til samme x- og y-koordinater, men med forskellige z-koordinater. Herved dannes en 3D -overflademodel. Et Mesh kan dannes automatisk i Cyclone. Udover de to nævnte overflademodeller har projektgruppen overvejet, at det kan være muligt at danne en art tilpasset overflademodel på baggrund af en udjævning af et udsnit af de indsamlede punkter. På denne måde kan et lille område tilpasses, og ved at sammenligne dette lille tilpassede område med et punkt fra en anden scanning, kan et objekt kontrolleres for deformationer. Projektgruppen kalder herefter denne metode for et MaSH. Med et MaSH, kan et lille område af punkter udjævnes og en flade kan tilpasses disse. Projektgruppen er af den overbevisning, at de fleste deformationer, på et eller andet plan, vil være cirkel- eller kugleformede. Af denne årsag vil det give god mening at forsøge at tilpasse en kugle til de udjævnede 28

29 6 Diskussion af metode punkter. Det kan diskuteres, om metoden MaSH kan kaldes en overflademodel, da der ikke som i de tidligere nævnte overflademodeller, produceres et egentligt visuelt produkt. Projektgruppen er derudover klar over, at sammenligningsmetoden er væsentlig anderledes, end den ville være med de andre overflademodeller. Under betragtning af, at metoden tilpasser overflader til scanninger, vælger projektgruppen dog fortsat at lade MaSH indgå i overvejelserne om metoder til deformationsmåling, på lige fod med de øvrige overflademodeller. Metoden MaSH uddybes senere i projektet, afsnittet 8.2.1Teori 6.3 Opsamling Igennem det foregående afsnit har projektgruppen gennemgået tidligere forsøg med at benytte laserscanning til deformationsmåling. Fælles for disse forsøg er dog, at de udføres på en modellérbar flade, hvilket gør processen lettere, end hvis det udføres på et vilkårligt objekt. Projektgruppen har derfor arbejdet videre med de idéer, der er fremvist i rapporterne, og fundet frem til, at inddragelse af en overflademodel kan være en løsning. Dette bekræftes til en hvis grad, af rapporterne fra Holland, hvor deformationsmålingen sker ved fladesammenligning, samt af rapporten fra Slovakiet, hvor deformationsmålingen sker vha. TIN. I den hollandske rapport deles det opmålte op i mindre celler, der er nemmere at sammenligne, og i den slovakiske rapport laves TIN, der interpoleres for at kunne bestemme deformationer direkte på koordinaterne. Dette styrker projektgruppens formodning om, at det kan være hensigtsmæssigt at anvende en overflademodel, til at bestemme deformationer når der måles med laserscanner. I de nævnte eksempler er der målt på plane flader, der dermed er modellérbare. Projektgruppen ønsker at kunne udføre deformationsmåling på et vilkårligt objekt, altså et objekt der ikke umiddelbart kan modelleres. Som tidligere nævnt må objektet dog ikke være for komplekst, altså med små udspring og lign. Det ligger desuden fast, at det er hele flader der måles og sammenlignes, og ikke målemærker. Årsagen til dette er, som tidligere omtalt, at projektgruppen ønsker at udvikle en metode, der sikrer at deformationer, der sker uden for målemærker, kan opdages. Derudover har projektgruppen valgt, at de data der skal bruges, skal indsamles fra samme opstilling. På denne måde bør data være direkte sammenlignelige, og hele den problematik der ligger gemt i korrekt og hensigtsmæssig placering af transformationspunkter (targets) undgås. Ud fra det foregående afsnit vurderer projektgruppen, at den løsning der virker bedst, er at sammenligne to epoker ved at lave en overflademodel af de indmålte punkter fra første epoke og sammenligne med de indmålte punkter fra anden epoke. Denne metode bør være mere nøjagtig, end metoden med at sammenligne to overflade modeller. Dette skyldes at sammenligningen af to flader, som tidligere beskrevet, sandsynligvis vil afhænge af et fast grid. Dette kan være med til at gøre det nemmere at sammenligne overfladerne, men vil samtidigt gøre 29

30 6 Diskussion af metode det svært at sikre, at det er de rigtige flader, der sammenlignes med hinanden, og dermed bliver størrelsen for deformationen meget usikker. Projektgruppen vurderer dog, at TIN i forbindelse med deformationsmåling på et vilkårligt objekt ikke er anvendelig. Dette skyldes at et TIN, som beskrevet, ikke kan indeholde punkter med samme x- og y-koordinater, men med forskellig z-koordinat. Af denne grund vil det være svært at konstruere et vilkårligt objekt, og TIN fravælges derfor i det videre forløb. Det er derfor overflademodellerne Mesh og MaSH, der arbejdes videre med i projektet. Derudover vælger projektgruppen, at der i dette projekt, ikke skal tages hensyn til randproblemer. Det betyder, at der i dataindsamlingen kun arbejdes med bløde flader, og i fald der er skarpe kanter på et indmålt objekt, frasorteres disse. Det må desuden overvejes at hvis deformationsanalysen skal ske ved at sammenligne enkeltpunkter med en overflademodel, er det nødvendigt at kende nøjagtigheden af de to datasæt, for at kunne sige noget om hvornår der er tale om en deformation og ikke blot de tilfældige fejls indflydelse. Den samlede nøjagtighed af metoden afhænger af de to datasæts nøjagtighed, og er jf. fejlforplantningsloven således: 2 2 σ sammenligning = σ enkeltpunkter +σ overflademodel [Formel 1] I denne forbindelse er det vigtigt at fastlægge, hvilke nøjagtigheder der kan opnås for hhv. enkeltpunkter og overflademodellen, og dermed fastslå den samlede nøjagtighed, σ sammenligning. Den samlede nøjagtighed kan bruges som beskrivelse, af hvornår det kan fastslås, at der er sket en deformation, og at det ikke kun er de tilfældige fejl, der spiller ind. I landmålingen benyttes værdien 3*σ ofte som grænsen for, hvornår der er tale om grove fejl. Det skyldes, at når der er tale om normalfordelte data, vil 99,7 % af disse ligge inden for intervallet 3*σ se Figur 9. 30

31 6 Diskussion af metode Figur 9: Normalfordelingskurve med en spredning på 15 og middelværdi 100, her angivet med 1, 2 og 3 gange spredningen. [ Ved at finde den samlede nøjagtighed for de to datasæt, kan projektgruppen dermed fastslå hvilket interval data bør ligge inden for, når der måles med laserscanner, hvis der ikke er sket en deformation. Derimod vil en deformation kunne karakteriseres ved at forskellene mellem to datasæt til to epoker, kan kategoriseres som grove fejl. Dette vil blive nærmere beskrevet, når projektgruppen når til at udføre deformationsmåling. Det er desuden nødvendigt at finde ud af, hvordan data kan behandles, for at opnå de ønskede resultater. Dette leder projektgruppen frem til følgende problemformulering. 6.4 Problemformulering Hvordan kan en 3D-sammenligning mellem en punktsky og en overflademodel dannet af en anden punktsky foretages, og kan dette anvendes til at bestemme deformationer på et vilkårligt objekt? For at kunne svare på dette, er det nødvendigt at vide: - Hvor nøjagtigt måler laserscanneren enkeltpunkter? - Hvor nøjagtigt kan en overflademodel dannes? - Hvordan kan sammenligningen mellem enkeltpunkter og overflademodellen udføres? 31

32 7 Indledning til forsøg 7 Indledning til forsøg Overordnet ønsker projektgruppen altså at undersøge, hvordan to scans kan sammenlignes ved at danne en overflademodel af det ene scan, og sammenligne denne med punktskyen fra det andet scan. For at kunne gøre dette, har projektgruppen opstillet tre underspørgsmål, der skal undersøges for at kunne besvare problemformuleringen. Det vil blive gennemgået, hvorfor disse underspørgsmål er relevante, og hvordan de kan besvares. Efter gennemgangen af underspørgsmålene, kommer dataindsamlingen hvor de nødvendige data indsamles. Endelig bearbejdes data. 7.1 Gennemgang af underspørgsmål I dette afsnit forklares først, hvorfor underspørgsmålene er relevante, og derefter hvordan de kan besvares. De tre underspørgsmål gennemgås enkeltvis. De to første forsøg skal bestemme nøjagtigheden af henholdsvis enkeltpunkter og overflademodel. Disse nøjagtigheder skal anvendes til at beregne en samlet nøjagtighed for en endelig sammenligningsmodel, der udvikles i det tredje forsøg Hvor nøjagtigt måler laserscanneren enkeltpunkter? I afsnit 6.3 Opsamling fandt projektgruppen ud af, at for at kunne benytte to scan til deformationsmåling ved at sammenligne det første scans punkter med en overflademodel dannet af det andet scan, er det nødvendigt at kende nøjagtigheden af henholdsvis punkterne og overflademodellen. Derfor ønsker projektgruppen at bestemme om specifikationerne fra producenten overholdes, eller eventuelt er bedre, hvilket projektgruppen igennem studiet har opdaget ofte er tilfældet. For at kunne bestemme nøjagtigheden af de punkter laserscanneren indsamler, ønskes det at indmåle punkter på en modellérbar overflade, og lade Cyclone beregne parametre for overfladen. Derefter kan de indmålte punkter udtrækkes i en fil og afvigelser, fra hvert enkelt indmålt punkt til den modellerede overflade, beregnes. Dette skal ske i et dertil udarbejdet MatLABscript. Herefter kan spredningen på de indmålte punkter beregnes. I forbindelse med dette spørgsmål er det desuden interessant at vide, hvor pålidelige de modellerede resultaterne fra Cyclone er. Projektgruppen formoder, at Cyclone benytter Mindste Kvadraters Princip (MKP), hvilket projektgruppen derfor selv vil forsøge at anvende på scanningsdata. Dette gøres dels for at forstå, hvordan programmet bearbejder data, og dels for at opnå sikkerhed for, at de forudsætninger der opstilles for de senere forsøg, er opfyldt. Dette forsøg kan udføres ved at indmåle en modellérbar overflade, og derefter få Cyclone til at bereg- 32

33 7 Indledning til forsøg ne parametrene for overfladen. Herefter kan data udtrækkes, og ved at gennemføre udjævning efter mindste kvadraters princip, i et af projektgruppen udarbejdet MatLAB-script, kan resultaterne sammenlignes. Denne kontrol af Cyclones modellering anvendes også til besvarelsen af det næste underspørgsmål, hvor modellering i Cyclone også anvendes. Når forsøget er udført, forventer projektgruppen at have fundet punktspredningen på de enkelte punkter i et scan Hvor nøjagtigt kan en overflademodel dannes? Ligesom ovenfor tager dette spørgsmål udgangspunkt i nødvendigheden i at kende nøjagtigheden af de datasæt, der benyttes til deformationsanalysen. Derfor ønsker projektgruppen at bestemme nøjagtigheden af den overflademodel, der vurderes bedst egnet til deformationsanalyse. Hvilken overflademodel der vurderes bedst diskuteres i forbindelse med besvarelsen af spørgsmålet, men som tidligere nævnt har projektgruppen valgt at koncentrere sig om Mesh og MaSH. For at kunne bestemme nøjagtigheden af en overflademodel, vil projektgruppen indmåle punkter på et modellérbart objekt og danne en overflademodel af det indmålte objekt. Denne overflademodel vil projektgruppen herefter sammenligne med punkter, hvortil overfladekoordinaterne er beregnet ud fra objektets matematiske ligning. Disse beregnede punkter antages hermed at være fejlfri, og kan dermed benyttes til at finde afstande fra et sandt koordinatsæt til den modellerede overflade. Disse afstande kan herefter benyttes til at beregne nøjagtigheden på overflademodellen, ved at beregne spredningen på afstandene. Når forsøget er udført, forventer projektgruppen at have fundet ud af hvilken nøjagtighed, hvormed der kan modelleres ud fra punkterne i et scan. Herefter kan der ud fra resultaterne i de to første forsøg, beregnes en samlet spredning for projektgruppens metode til deformationsmåling, jf. [Formel 1] Hvordan kan sammenligningen mellem enkeltpunkter og en overflademodel udføres? På dette tidspunkt forventer projektgruppen på baggrund af de foregående forsøg at have en størrelse, der beskriver hvor stor en deformation, der skal være sket, for at det kan opdages. Der mangler dog stadig en metode til, hvordan sammenligningen af punkter og overflademodel kan ske. 33

34 7 Indledning til forsøg I dette forsøg indmåles en modellérbar overflade to gange. Herefter dannes der en overflademodel af den ene punktsky, som herefter kan sammenlignes med punktskyen fra den anden måling. Dette kan ske stort set som i det foregående forsøg, den eneste forskel er, at der i dette forsøg skal benyttes to indmålte datasæt. Sammenligningen af dataene sker ligeledes i et udarbejdet script, og da data stammer fra den samme overflade, forventes det ikke, at der er store afvigelser. Forsøget skal blot medvirke til, at projektgruppen kan opnå forståelse for, hvordan sammenligningen kan foretages. Samtidig kan forsøget være med til at kontrollere nøjagtigheden af den valgte metode, idet denne gerne skal passe med resultaterne fra de tidligere forsøg, beregnet jf. [Formel 1] Metode til bevarelse af underspørgsmål Igennem den ovenstående gennemgang af de forsøg projektgruppen vurderer nødvendige for at kunne svare på problemformuleringen, ses det, at fælles for alle forsøg er, at en modellérbar overflade skal indmåles. Det betyder at projektgruppen kan udføre ét forsøg og derved få data nok til at gennemføre alle beregninger, der ønskes udført, og dermed besvare underspørgsmålene. På den baggrund forventer projektgruppen, at have opnået den viden der skal til, for at kunne svare på problemformuleringen. Som nævnt vil projektgruppen indmåle en modellérbar overflade. For at dette kan lade sig gøre, må det først undersøges hvilke overflader Cyclone er i stand til at modellere, og dermed beregne parametre til. Et overblik over mulighederne i Cyclone kan ses i afsnit Anvendelsesmuligheder i terrestrisk laserscanning. Umiddelbart virker det lettest at vælge at indmåle en flade, idet den vil være lettest at beskrive matematisk. Projektgruppen vælger dog at benytte en kugle. Det skyldes at indmålingen af en kugle vil medføre flere mindre nøjagtige punkter, da footprintet bredes over et større areal, end tilfældet vil være for eksempel ved en flade, jf. Bilag A. Denne forskel i nøjagtighed skyldes, at de fejl der opstår, har en anden indflydelse på en kugle, idet der vil blive opmålt nogle punkter, der ikke står ortogonal på skanningsretningen. Det betyder, at de afstandsafhængige og de vinkelafhængige fejl får forskellig indflydelse på resultatet. Det vurderer projektgruppen er fornuftigt, da ønsket om at kunne indmåle et vilkårligt objekt, ofte vil medføre samme situation. Det er blevet fravalgt at afprøve forskellige farver og materialer på objektet, selvom der disse kan have indflydelse på resultatet. Fravalget bunder i at dette ikke er en del af projektets problemområde, men emnet kan udforskes i et andet projekt. Projektgruppen vil altså indmåle en kugle, dog kun fra én opstilling, hvilket medfører at der maksimalt kan blive tale om at indmåle en halvkugle. Dette vil dog også være tilstrækkeligt til at kunne modellere hele kuglen i Cyclone, og dermed få de ønskede parametre beregnet. 34

35 7 Indledning til forsøg 7.2 Dataindsamling For at behandle de spørgsmål der fremkom i Problemformuleringen, har projektgruppen udført et forsøg med laserscanneren Leica Cyrax HDS Forsøget blev foretaget inden døre i universitetsbygningen Fibigerstræde 11. Forsøget foregik ved at lade laserscanneren opmåle et sfæretarget. Laserscanner og sfæretarget blev opstillet på hvert sit instrumentstativ med en afstand på ca. 6 m, se Billede 1. Billede 1: Opstilling med afstand 6 m, i baggrunden ses laserscanneren Sfæren blev scannet med to forskellige punkttætheder, først med 1 mm mellem punkterne og derefter med 1 cm mellem punkterne, se Billede 2 og Billede 3. Projektgruppen havde inden forsøget nogle overvejelser omkring punkttæthed, hvori der blev diskuteret hvilke punkttætheder, der ville være fornuftige til forsøget. Der skulle blandt andet være en vis punktmængde, for at det er muligt at udføre en udjævning. Derfor valgtes det at benytte 1 cm som den største punktafstand. Som mindste punktafstand valgtes det at benytte 1 mm, da dette var den mindst mulige. Forsøget blev udført ti gange med hver punkttæthed. 35

36 7 Indledning til forsøg Billede 2: Punkttæthed på 1 mm Billede 3: Punkttæthed på 1 cm Der blev ligeledes foretaget scans hvor afstanden mellem scanneren og sfæren var ca. 25 m. Forsøget blev foretaget på forskellige afstande for at undersøge om afstanden har effekt på resultatet, men de eksakte afstande var ikke forudbestemt, derimod blev projektgruppen enige om at de to opstillinger ville give et godt billede af hvordan afstanden påvirker målingerne, idet der i anden forsøgsopstilling blev foretaget en firedobling af målelængden i forhold til den første. Resultatet af scanningerne kan ses i Bilag C. Navnene på koordinatfilerne fås ved at se i målebogen Bilag B. Eksempelvis er filnavnet Kg1sw7_mm.xyz navnet på filen fra Kugle 1, scanworld 7 og punktætthed på 1 mm. Et eksempel på en indmålt punktsky kan ses på Figur 10. Det ses, at rammen der holder kuglen også er indmålt. De uønskede punker kan fjernes i Cyclone, et eksempel på en sorteret punktsky kan ses på Figur 11. Figur 10: Indmålt punktsky fra filen kg1sw15_mm.xyz 36 Figur 11: Punktsky sorteret for fejlregistreringer fra filen Kg1sw15_mm.xyz

37 8 Forsøg 8 Forsøg I dette afsnit vil projektgruppen besvare underspørgsmålene. Dette gøres på baggrund af de indsamlede data. Forsøgene konstrueres på baggrund af gennemgangen af underspørgsmålene, således at de ønskede resultater kan opnås. I afsnittet besvares underspørgsmålene i den opstillede rækkefølge, og i hvert forsøg gennemgås følgende trin: Formål Teori Fejlkilder Data til forsøg Databehandling Resultater Opsamling Figur 12: Opbygning af forsøg Når forsøgene er udført, forventer projektgruppen at have en metode til at benytte laserscanning til deformationsmåling, samt en værdi for hvornår en ændring kan fastslås som en deformation, og ikke blot de tilfældige fejls indflydelse. 8.1 Forsøg 1 I dette forsøg ønsker projektgruppen at undersøge nøjagtigheden, af de punkter der indmåles af laserscanneren. Det gøres for at undersøge, om den fra fabrikanten specificerede nøjagtighed stemmer, hvilket er nødvendigt, for at kunne bestemme med hvilken nøjagtighed, en deformation kan bestemmes. Ifølge specifikationerne, se Bilag I, kan enkeltpunkter indmåles med en nøjagtighed på 6 mm. 37

38 8 Forsøg Teori Metoden projektgruppen vil benytte, er at bestemme hver enkelt afstand fra de indmålte punkter til centrum af kuglen, og herefter findes residualerne ved at finde differencen mellem den beregnede afstand, og trække den kendte radius fra, se Figur 13. Herved fås både de positive og negative størrelser. Radius er opgivet til m, og dette er undersøgt vha. skydelære og verificeret i Bilag F. Figur 13: 2D gengivelse af indmålte punkter Forsøget har følgende forløb: Opstil ligning for kugle Beregn afstande fra centrum af kugle til punkter Beregn residualer Beregn spredningen på residualerne Figur 14: Trin der gennemgås for at beregne spredningen på indmålte punkter Opstil ligning for kugle I Bilag F, er det blevet sandsynliggjort, at Cyclone beregner centrumskoordinaterne til en kugle ud fra mindste kvadraters princip. Derfor vurderer projektgruppen at de centrumskoordinater Cyclone præsenterer, er gode bud på de rigtige koordinater. Det vil blive benyttet, da det er 38

39 8 Forsøg nødvendigt med kendte centrumskoordinater, samt en kendt radius, hvilken som tidligere nævnt også er bestemt i Bilag F. Når radius og centrumskoordinater er kendt, kan ligningen for en kugle opstilles: r = ( x x) + ( y y) + ( z z) [Formel 2] Hvor r = radius x, y, z = centrumskoordinater x, y z 0 0, 0 = punkt på kuglens overflade Beregn afstande fra centrum af kugle til punkter Herefter kan afstanden fra hvert indmålt punkt til centrum af kuglen beregnes, det gøres ved følgende formel: afs = ( x xi ) + ( y yi ) + ( z zi ) [Formel 3] Hvor, afs = afstanden x, y, z = centrumskoordinater x, y, z = koordinater til observerede punkter i i i Beregn residualer Residualerne beregnes ved at trække kuglens sande radius fra den afstand, der blev beregnet ved hjælp af [Formel 3]. Beregn spredningen på de indmålte punkter Endelig kan nøjagtigheden af de indmålte punkter findes, ved at beregne spredningen på residualerne. Dette gøres normalt ved at benytte formlen: ( x i x) = m 1 2 σ [Formel 4] 39

40 8 Forsøg Hvor, σ = spredningen xi = målinger x = målingernes gennemsnit m = antal elementer I denne formel subtraheres hver måling med gennemsnittet, for at finde en afvigelse, og i nævneren bestemmes antallet af overbestemmelser, ved at subtrahere 1 fra antallet af elementer. I projektets eksempel svarer residualerne, til de afvigelser der udregnes i [Formel 4], derfor kan de udregnede residualer benyttes direkte. Da der ikke er tale om overbestemmelser af den samme værdi, benyttes antallet af elementer i nævneren uden at subtrahere 1. Derfor kan følgende formel benyttes: = ( r i ) m 2 σ [Formel 5] Hvor, σ = spredningen ri = residualer m = antal målinger Projektgruppen forventer, at residualerne bliver normalfordelt omkring 0, hvilket medfører at de to metoder vil give det samme resultat, med små afvigelser, nævneren taget i betragtning. Derimod vil de to metoder give forskellig resultat, hvis gennemsnittet er forskelligt fra 0, og [Formel 4] vil formentlig give den mindste spredning, idet tælleren oftere vil blive nær 0. Det kan diskuteres, hvilken metode der er den rigtige at benytte, hvis residualerne ikke er normalfordelt omkring 0, derfor vælger projektgruppen at gennemføre beregningerne med begge formler. Desuden kan MatLAB benyttes til at finde gennemsnittet af residualerne samt det største residual, hvilket projektgruppen også ønsker at vurdere. 40

41 8 Forsøg Fejlkilder De indmålte punkter skal sorteres for fejlregistreringer, idet der også er indmålt punkter, der ikke tilhører kuglen, i dette tilfælde den ramme som kuglen er fæstnet til. Dette gøres manuelt i Cyclone, hvor de punkter der ønskes fjernet, markeres og fjernes. Dermed risikeres det at fjerne enten for få eller for mange punkter. Mulig måling Laserscanner Mulig måling Figur 15: Konfidensellipser ved måling på en kugle En anden fejlkilde stammer fra afstandsmålingen, der medfører, at der vil opstå størst fejl på de punkter, der måles vinkelret i forhold til laserscanneren, se Figur 15. Idet der er større fejl på afstandsmåleenheden i forhold til vinkelmåleren, vil punkternes konfidensellipser ligge på langs med laserstrålen. Rammer denne laserstråle direkte ind på kuglen, ligger konfidensellipsen på tværs af overfladen. Bliver der målt et punkt på kanten af kuglen, kommer konfidensellipsen til at ligge på langs med overfladen, dermed tyder beregningerne på at punkterne er bedre bestemt på kanten af kuglen frem for dem, hvor laserstrålen rammer direkte ind på kuglen Data til forsøg Efter data er blevet udtyndet, kan der udtrækkes koordinatfiler indeholdende de resterende punkter. Disse filer kan ses i Bilag D. De udtyndede filer er som tidligere nævnt navngivet på baggrund af målebogen. Først ses der på, hvilken kugle der er målt på, derefter hvilket scanworld, og endeligt punkttætheden. 41

42 8 Forsøg Resultater Resultaterne, der fås ved at køre MatLAB-scriptet Forsog1.m, er opsamlet i Tabel 1. Det er valgt at vise fire scan fra hver opstilling og med samme punkttæthed. For hver beregning er der angivet følgende oplysninger: filnavn: Kan ses i målebog i Bilag B ant pkt: Det antal punkter der er benyttet til beregningerne spr res 1: Den beregnede spredning på residualerne i mm v. [Formel 4] spr res 2: Den beregnede spredning på residualerne i mm v. [Formel 5] gns res: Gennemsnit af residualerne i mm max res: Det største residual, bemærk at der er tale om den største numeriske værdi i mm 6 m 25 m Pkt.tæthed 1 mm Pkt.tæthed 1 cm Pkt.tæthed 1 mm Pkt.tæthed 1 cm Filnavn Kg1sw7_mm Kg1sw2_cm Kg2sw20_mm Kg2sw3_cm ant pkt spr res 1 1,8 1,8 2,3 1,9 spr res 2 2,1 2,2 2,5 1,9 Gns res 1,0 1,2-0,7-0,1 max res 9,0 6,7-9,5 5,3 Filnavn Kg1sw8_mm Kg1sw3_cm Kg2sw21_mm Kg2sw4_cm ant pkt spr res 1 1,8 1,6 2,3 2,0 spr res 2 1,8 1,7 2,4 2,0 Gns res -0,2 0,4 0,4-0,2 max res -8,6 6,2-8,6-9,3 Filnavn Kg1sw9_mm Kg1sw4_cm Kg2sw22_mm Kg2sw5_cm ant pkt spr res 1 1,8 1,8 2,4 2,1 spr res 2 1,9 1,9 2,4 2,1 Gns res 0,5 0,3-0,6-0,1 max res 8,9 5,8-9,2-5,5 Filnavn Kg1sw10_mm Kg1sw5_cm Kg2sw23_mm Kg2sw6_cm ant pkt spr res 1 1,7 1,8 2,0 2,2 spr res 2 1,8 2,2 2,1 2,2 Gns res 0,5 1,2-0,5 0,0 max res 8,4 7,1-8,8 5,1 Tabel 1: resultater forsøg 1 42

43 8 Forsøg I det følgende vil de vigtigste resultater blive gennemgået, dette vil ske ved at gennemgå de tre resultater, gennemsnit, spredning og maksimalt residual hver for sig. På baggrund af histogrammer samt plot af residualerne i et normalfordelingskoordinatsystem (normplot), se Figur 16 og Figur 17, antages det at residualerne er normalfordelte. Begge metoder benyttes til at vurdere, om data er normalfordelte. Histogrammer og normplot for samtlige gennemgåede målinger kan ses i Bilag G. For histogrammerne ses det, at residualerne ligger normalfordelt omkring 0, og ellers generelt følger normalfordelingskurven. Det er også illustreret ved hjælp af normplot, hvor det kan ses, at residualerne med god tilnærmelse følger en ret linie, dog er der lidt udfald i udkanten af grafen, hvilket kan skyldes, at der skal færre data til at bestemme grafen der. Hvis data er usikre, kan fejlen opstå. Figur 16: Histogram og normalfordelingskurve for residualer fra Kg1sw9_mm Figur 17: Normplot residualer fra Kg1sw9_mm 43

44 8 Forsøg Spredning Det ses, at der ikke er stor forskel på hvilken formel der benyttes, dog er spredningerne beregnet med [Formel 5], som tidligere beskrevet, generelt er en smule større. For målingerne foretaget fra 6 m fås spredninger omkring 2 mm, oftest under, varierende fra 1.6 mm til 2,2 mm, mens de for målingerne fra 25 m varierer fra 1.9 mm til 2.5 mm. Det ser altså ud til at spredningen bliver større desto større afstand målingerne foretages over. Ud fra disse resultater, og antagelsen om at residualerne er normalfordelt omkring 0, kan spredningen for enkeltpunkter fastsættes til 2,0 mm. Dette er beregnet som et gennemsnit af de alle de beregnede spredninger fra Tabel 1. Denne værdi er gældende, så længe der måles i en afstand op til 25 m. Projektgruppen ønsker at vurdere, hvor pålidelig spredningen er rent statistisk set, dette gøres kun for værdier beregnet med [Formel 4]. Dette gøres ved at benytte den fundne værdi som testparameter, og se hvilket interval denne værdi ligger inden for med 95% konfidens. Det betyder med andre ord at det undersøges hvilket interval værdien med 95% sandsynlighed ligger inden for. Først opstilles 95%-konfidensintervallet: d d s *, s * 2 [Formel 6] 2 χ ( d) 1 α / 2 χ ( d) α / 2 Hvor, s = bestemt spredning d = antal overbestemmelser χ 2 ( d) = λ -fraktilen i 2 λ χ -fordelingen med d overbestemmelser [Eriksen et al., 2004, s.22] I Tabel 2, ses hvilke resultater der opnås når m-filen Statistik.m, køres for forskellige datasæt. Fil Testværdi (mm) Interval (mm) Kg1sw10_mm 1,7 [1,7;1,8] Kg1sw5_cm 1,9 [1,7;2,1] Kg2sw23_mm 2,0 [2,0;2,0] Kg2sw6_cm 2,2 [2,0;2,5] Tabel 2: 95 % konfidensintervaller for spredningen på residualerne Der er gennemgået et lille udsnit af de tilgængelige datasæt, og det kan ses, at der er stor forskel på, hvor store intervaller der udregnes. For datasættene med 1 mm punkttæthed er intervallet forholdsvis smalt på grund af den store overbestemmelse. I disse situationer er spredningen altså bestemt med høj nøjagtighed. Med 95 % sikkerhed ligger den beregnede 44

45 8 Forsøg spredning i det smalle interval. For datasættene med punkttæthed på 1 cm, ses det at der er væsentligt større intervaller, hvilket skyldes de meget færre overbestemmelser. På baggrund af ovenstående resultater konkluderer projektgruppen derfor at antagelsen om at benytte værdien 2,0 mm som spredningen i det følgende, er yderligere begrundet. Gennemsnit Det er som tidligere beskrevet forventet, at residualerne er normalfordelte omkring 0, idet det forventes, at det kun er de tilfældige fejl, der har indflydelse på resultatet, hvilket betyder at forventningen til gennemsnittet er, at denne værdi er 0. Resultaterne viser dog at for målingerne foretaget fra 6 m er gennemsnittet overvejende positivt, og varierer fra ca. 0 mm og op til godt 1 mm. Resultaterne fra målingerne foretaget fra 25 m viser det modsatte resultat, nemlig fra ca. 0 mm og ned til knap -1 mm. Projektgruppen ønsker igen at vurdere om gennemsnittet virker pålideligt rent statistisk set. Dette gøres ligeledes ved at benytte den fundne værdi som testparameter, og se hvilket interval denne værdi med 95 % sikkerhed ligger inden for. Dette kan gøres på 2 forskellige metoder, hvor spredningen antages at være kendt, og hvor spredningen ikke er kendt. I tilfældet hvor spredningen er ukendt resulterer dette i et større konfidensinterval. Projektgruppen vælger på baggrund af tidligere resultater, at antage at spredningen er kendt, og har værdien 2 mm. Derfor opstilles det interval, som testparameteren bør ligge inden for: [ u σ n x u n] x 1 α / 2 0, + 1 α / 2σ 0 [Formel 7] Hvor, x = gennemsnit residualer u1 α / 2 = (1 α / 2) -fraktilen i normalfordelingen σ 0 = kendt spredning n = antal målinger [Eriksen et al., 2004, s.19] I Tabel 3, ses hvilke resultater der opnås når m-filen Statistik.m, køres for forskellige datasæt. Fil Testværdi (mm) Interval (mm) Kg1sw10_mm 0,5 [0,5;0,6] Kg1sw5_cm 1,2 [0,9;1,5] Kg2sw23_mm -0,5 [-0,5;-0,4] Kg2sw6_cm 0,0 [-0,3;0,3] Tabel 3: 95 % konfidensintervaller for middelværdien på residualerne 45

46 8 Forsøg Der er igen gennemgået et lille udsnit af de tilgængelige resultater, og igen viser det sig at der er væsentligt smallere intervaller, når der benyttes datasæt med en punkttæthed på 1 mm. Der er dog stadig tale om meget små intervaller, under 1 mm, og derfor kan projektgruppen konkludere, at middelværdierne som forventet er omkring 0. Maksimalt residual De største residualer varierer fra 5.1 mm til 9.5 mm og der er dermed residualer, der falder uden for grovfejlsgrænsen, idet denne sættes til 3 gange spredningen. Ved at se på histogrammerne, Bilag G, kan det ses at det er meget få målinger der er fejlbehæftede. Der vil dog også rent statistisk set være målinger der er grove fejl når der arbejdes med så mange data som er tilfældet. Der er igen forskel på, hvilket fortegn det største residual oftest har, når der ses på målingerne foretaget fra henholdsvis 6 m og 25 m. Dette er dog forventeligt, idet det tidligere er blevet gennemgået, at gennemsnittet af residualerne afhænger af målingernes længde. Ved målingerne fra 6 m lå gennemsnittet af residualerne op til 1 mm, og for målingerne fra denne afstand ses det også, at det største residual oftest er positivt. Ligeledes ses det samme for målingerne foretaget fra 25 m, blot igen med omvendt fortegn Opsamling Det har vist sig, at der kan opnås en spredning bedre end de i specifikationen angivne størrelser, dog skal resultatet tages med visse forbehold. Det kan diskuteres om det indmålte objekt skulle have været et andet, eller af en anden størrelse, materiale eller farve, hvilket som beskrevet i Bilag A formentligt ville have medført andre resultater. Det er derfor vigtigt, at være opmærksom på at de opnåede resultater er opnået på baggrund af de valg, projektgruppen har foretaget, og derfor formentlig kunne være blevet anderledes, hvis der var taget andre valg. Desuden har projektgruppen haft indflydelse på resultatet, ved manuelt at skulle fravælge punkter, der ikke hørte til kuglen, dermed vil der være en menneskelig indflydelse, der formentlig har bevirket, at punkter der burde være med i beregningen, er blevet fravalgt. Det har ligeledes vist sig at målingerne foretaget fra 6 m, generelt ser ud til at give for korte afstande, mens målingerne fra 25 m giver for lange afstande. Om dette skyldes en fejl på afstandsmåleenheden kan projektgruppen ikke udlede ud fra det foreliggende materiale, men det kunne være interessant at undersøge nærmere. Desuden viser forsøget, at antallet af indmålte punkter ikke ser ud til at have indflydelse, når der indmåles en kendt overflade, idet der opnås stort set de samme resultater, uanset om der måles med en punkttæthed på 1 mm 46

47 8 Forsøg eller 1 cm. Umiddelbart kan det derfor virke fornuftigt at undlade at måle med en punkttæthed på 1 mm, med mindre dette er nødvendigt for den givne opgave. I det videre forløb vælger projektgruppen at antage, at laserscanneren kan indmåle enkeltpunkter med en 3D-nøjagtighed på 2.0 mm. 8.2 Forsøg 2 I dette forsøg ønsker projektgruppen at undersøge nøjagtigheden af en overflade, som er genereret ud fra de punkter, der indmåles af laserscanneren. Forsøget udføres ved først at beregne et punkt på en matematisk bestemt kugle. Denne kugle har samme parametre som den indmålte kugle. Derefter genereres en kugle ud fra et antal af de indmålte punkter, og afstanden mellem punktet og denne kugles overflade findes. Dette gøres et antal gange for at have et statistisk grundlag for de videre beregninger. Det er valgt, at der i dette forsøg bliver benyttet data fra opstillingen fra 25 m Teori Projektgruppen vælger at arbejde videre med overflademodellen MaSH, idet det ikke har været muligt at udtrække overflademodellen Mesh fra programmet Cyclone, eller lave Mesh i Mat- LAB. Dette bevirker, at de forsøg, som projektgruppen ønsker at foretage med Mesh, ikke kan udføres og dermed kan nøjagtigheden af et Mesh ikke findes så der kan arbejdes videre med det i projektet. Det, og det at projektgruppen har en teori om, at det er bedre at udjævne på mange punkter frem for at lave et trekantsnet af ikke udjævnede punkter, gør at projektgruppen, vælger at anvende MaSH i stedet for Mesh. Metoden MaSH går, som tidligere nævnt, ud på, at tage en lille del af de indmålte punkter, og tilpasse en kugle til disse punkter. Herefter kan et punkt fra en anden epoke sammenlignes med overfladen på den nye genererede kugle, og der kan findes et residual. Metoden går ud på, at sammenligne to koordinatfiler. Den første koordinatfil kaldes Epoke1.xyz, og dannes på baggrund af beregnede koordinater til en sand kugle. Den anden koordinatfil kaldes Epoke2.xyz og indeholder koordinaterne til den indmålte kugle. Disse koordinater kan eksporteres direkte fra Cyclone, efter de er blevet renset for fejlregistreringer og andet data, der ikke hører til det det indmålte objekt. Herefter udtages én koordinat fra filen Epoke1.xyz, markeret med rødt i Figur 18. Denne koordinat sammenlignes med punktskyen fra filen Epoke2.xyz, og der findes et antal punkter, der ligger tættest på punktet fra Epoke1.xyz, illustreret ved punkterne inden i rektangel i nedenstående figur. Antallet af punkter kan ændres, alt efter hvor mange punkter der vurderes nødvendige for at opnå et tilfredsstil- 47

48 8 Forsøg lende resultat. På baggrund af de udvalgte punkter fra filen Epoke2.xyz, genereres en kugleoverflade. Denne kugleoverflade bliver sammenlignet med punktet fra Epoke1.xyz, og der fremkommer et residual, se Figur 18. Denne procedure bliver gentaget for hvert af punkterne i Epoke1.xyz. Slutteligt kan der laves et residualplot, hvori det kan ses hvor på kuglen de største residualer fremkommer. Figur 18: Sammenligningen mellem punktet fra epoke 1 og MaSH et af epoke 2 For at kunne tilpasse en kugle til en lille del af punkterne, er det nødvendigt at vide, hvor mange punkter det ønskes at foretage tilpasningen på. I disse overvejelser indgår, at det mindste antal punkter der skal til for at danne en kugle, er fire. Der vil dog være store usikkerheder forbundet med kun at anvende fire punkter, så derfor vælger projektgruppen, at det mindste antal punkter, der skal anvendes til at tilpasse en kugle skal være fem. For at kunne sige hvor mange punkter der skal til, for at opnå et tilfredsstillende resultat, udføres forsøget med flere antal punkter, i et interval fra fem op til det antal punkter der svarer til et areal på 10 gange 10 cm. Dette resulterer i følgende værdier. - 1-cm grid: 5, 6, 8, 10, 15, 25, 50, mm grid: 5, 6, 8, 10, 15, 25, 50, 100, 500, 1000, Projektgruppen har en forventning om, at der i dette forsøg vil kunne opnås en større nøjagtighed end i forsøg 1. Dette skyldes at der i dette forsøg udjævnes inden der findes residualer. Forsøget vil være delt op i to faser. I den første fase vil alle koordinaterne til den matematisk definerede kugle blive beregnet og skrevet ud til en fil, som er nødvendig for de videre beregninger i anden fase. I forsøgets anden fase vil den egentlige sammenligning blive foretaget efter ovenstående forklaring. 48

49 8 Forsøg Fase 1 For at kunne sammenligne de indmålte punkter er det nødvendigt med en model for, hvordan den rigtige kugle ser ud, derfor er det nødvendigt at regne sig frem til nogle koordinater, der ligger på en matematisk defineret kugle. Centrumskoordinater og radius til denne kugle stammer fra Forsøg 1, hvor disse fire faktorer blev regnet ud vha. mindste kvadraters princip. Fremgangsmåden for fase 1 af Forsøg 2 ser derfor således ud: Koordinater til centrum og radius på kuglen fastsættes Seks punkter som ligger på en halv storcirkel der går gennem vertikalaksen beregnes Storcirklen drejes 60 grader omkring z-aksen Dette gøres indtil storcirklen er drejet en hel omgang Polkoordinaterne frasorteres Punkterne længst væk fra laserscanneren frasorteres Koordinaterne udskrives i MatLAB og overføres til fil Figur 19: Opbygningen af fase 1 i Forsøg 2 I det følgende vil der komme en uddybende beskrivelse til hvert af punkterne i diagrammet ovenfor. Beregningerne er foretaget i MatLAB-scriptet Forsog2_Punkter.m, se Bilag E. Koordinater til centrum og radius på kuglen fastsættes En kugles ligning er som tidligere nævnt: r = ( x x) + ( y y) + ( z z) [Formel 2] Kuglens radius og centrumskoordinater er tidligere blevet bestemt, se Bilag F. Derfor anvendes centrumskoordinaterne herfra, under den antagelse at disse er fejlfrie. Radius er givet fra Leica, og kontrolleret af projektgruppen. Denne antages derfor ligeledes at være fejlfri. 49

50 8 Forsøg Seks punkter som ligger på en halv storcirkel der går gennem vertikalaksen beregnes Her bliver et antal punkter på kuglens storcirkel udregnet efter formlerne: x = x y = y z = z r cos( θ ) sin( φ) + r sin( θ ) sin( φ) + r cos( φ) [Formel 8] Hvor, θ = vinklen mellem x-aksen og en linie gennem origo og punktet φ = vinklen mellem z-aksen og en linie gennem origo og punktet Der er lavet en løkke, der kører seks gange. Løkken deler den halve storcirkle op i seks lige store stykker, således at punkterne bliver jævnt fordelt. Storcirklen drejes 60 grader omkring z-aksen Når alle punkter på den første storcirkel er udregnet, drejes storcirklen omkring z-aksen, denne drejning er lige så stor som vinklen fra forrige skridt. Herefter springer løkken tilbage til forrige afsnit. Dette gøres et antal gange, således at de punkter der bliver regnet ud, ligger jævnt fordelt på hele kuglen. 50 Figur 20: Viser fordelingen af punkter, her vist med 20 punkter på hver halve storcirkel

51 8 Forsøg Polkoordinaterne frasorteres Idet denne metode bliver brugt til at regne punkter ud på en kugle, vil koordinaten til kuglens nordpol og sydpol blive regnet ud lige så mange gange som der er storcirkler. Idet disse punkter har de samme koordinater, er det kun nødvendigt, at have et enkelt punkt i hver ende af kuglen. Derfor er det nødvendigt at frasortere de overflødige punkter. Dette gøres ved først at sortere punkterne efter deres x-koordinat, hvis deres z-koordinat herefter er den samme, bliver disse frasorteret og ikke brugt i de videre beregninger. Punkterne længst væk fra laserscanneren frasorteres Idet laserscanneren kun kan scanne den ene halvdel af kuglen, giver det ingen mening at sammenligne de punkter, der ligger på bagsiden af den matematiske kugle, derfor bliver kun den del af punkter, der ligger tættest på laserscanneren medtaget i den endelige matrix. Koordinaterne udskrives i MatLAB og overføres til fil Til sidst udskrives koordinaterne i en matrix i MatLAB, og overføres til en fil med navnet Epoke1.xyz. Dette afslutter første fase i Forsøg 2. Projektgruppen har nu en fil med koordinater på en matematisk beregnet kugleoverflade, der kan anvendes til sammenligning, med de kugler der genereres ud fra de indmålte punkter. Dette foretages i Fase 2. Fase 2 I fase 2 skal den egentlige sammenligning foretages. Nogle af principperne der anvendes i denne fase, er blevet brugt i Bilag F, og derfor vil disse ikke blive gennemgået på samme niveau en gang til, men blot henvises til bilag. I denne fase er der to input-filer. Den ene stammer fra forsøgets 1. fase, mens den anden indeholder de indmålte punkter fra dataindsamlingen. 51

52 8 Forsøg Epoke1.xyz loades (beregnet kugle) Epoke2.xyz loades De nærmeste punkter i Epoke2 til et punkt i Epoke1 udregnes Der udregnes en kugle tilnærmet de nærmeste punkter Dette udføres for alle koordinater i filen Epoke1.xyz Residualet udregnes som afstanden mellem det enkelte punkt og den tilhørende kugle Skæringspunktet mellem kugle og linie udregnes Dette udføres for alle koordinater i filen Epoke1.xyz Der laves et residualplot på baggrund af de to punkter Figur 21: Opbygningen af fase 2 i Forsøg 2 Der vil i det følgende være en forklaring for hvert punkt i det ovenstående diagram. Beregningerne er fortaget i MatLAB-scriptet Forsog2_MaSH.m, se Bilag E. Epoke1.xyz loades (sand kugle) I filen Epoke1.xyz ligger der koordinater til alle de beregnede koordinater til den sande kugle fra forsøgets første fase. Epoke2.xyz loades Filen Epoke2.xyz indeholder koordinater til de scannede punkter på sfæren. De nærmeste punkter i Epoke2 til et punkt i Epoke1 udregnes Et punkt tages ud fra filen Epoke1.xyz, dertil findes et antal punkter, der ligger nærmest i filen Epoke2.xyz. Dette gøres ved at først at udregne afstanden fra hvert enkelt punkt i Epoke2.xyz til punktet fra Epoke1.xyz. Dernæst sorteres matricen, hvori afstandene er påhæftet det enkelte punkt, efter afstanden. De punkter med den mindste afstand til punktet fra Epoke1.xyz samles i en matrix. 52

53 8 Forsøg Der udregnes en kugle tilnærmet de nærmeste punkter jf. Her udregnes den kugle, der er den bedst tilnærmede ud fra de punkter, der blev fundet i det forrige afsnit. Dette gøres ved at følge samme fremgangsmåde som i Bilag F Residualet udregnes som afstanden mellem det enkelte punkt og den tilhørende kugle Residualet udregnes som forskellen mellem afstanden fra centrum af den enkelte kugle til det tilhørende punkt i filen Epoke1.xyz. Skæringspunktet mellem kugle og linie udregnes For at kunne lave et residualplot, er det nødvendigt at finde skæringspunktet mellem kuglen og den linie, der går fra centrum af kuglen, til det tilhørende punkt. Skæringspunktet findes ved at benytte MatLAB-scriptet IntersectLineSphere.m. Afstanden mellem dette punkt og punktet fra Epoke1.xyz udregnes som en kontrol. Denne afstand skal være den numeriske værdi af residualet fra forrige afsnit. Først loades de indmålte punkter, hvorefter centrumskoordinaterne og radius opstilles. Med disse data kan projektgruppen kalde scriptet IntersectLineSphere.m, se Bilag E, der skal bruge følgende data for at beregne skæringspunkter mellem en kugle og en linie: LINE: [ x y z dx dy dz l l l ] SPHERE: [ y z r x0 0 0 ] Hvor x, y, z = punkt på linien l l l dx dy dz = liniens retningsvektor x 0 y0 z0 = kuglens centrumskoordinater r = kuglens radius 53

54 8 Forsøg Udover at opstille kuglens ligning, se [formel 2], skal der opstilles en parameterfremstillnig for en linie i rummet: x xl y = yl z zl dx + t dy dz Hvor x, y, z = målt punkt på linien x, y, z = punkt på linien l l l dx, dy, dz = retningsvektor t = parameter En forudsætning for forsøget er, at linien skærer centrum, hvilket medfører at xl, yl, zl = x y z. Det medfører at de eneste ubekendte i hver ligning er retningsvektoren, 0, 0, 0 der beregnes som differencen mellem centrum og det indmålte punkt. Normalt løses skæring mellem en kugle og en linie ved at sætte værdier for liniens ligning ind i ligningen for kuglen, hvilket medfører, at der skal løses en 2. gradsligning, fra hvilken løsningen kan indsættes på t s plads i parameterfremstillingen for linien. For at kunne løse en 2. gradsligning udregnes udtrykket, og rødderne kan bestemmes ud fra værdierne a, b og c, der skal benyttes til at bestemme determinanten. Dette benyttes også i scriptet, dog udregnes det endelige 2. gradsudtryk ikke, i stedet bestemmes værdierne for hhv. a, b og c hver for sig. Dette vil kort blive gennemgået i det følgende. Det viser sig dog, at idet det vides at linien går igennem centrum, bliver det betydeligt lettere at overskue, hvilket kan ses når værdierne for linien indsættes i kuglens ligning: 2 2 ( x ( x + tdx) ) + ( y ( y + tdy) ) + ( z ( z )) 2 r = tdz ( tdx) 2 + ( tdy) 2 ( tdz ) 2 r + = [Formel 9] Hermed kan a bestemmes ved at tage summen af kvadratet af hvert led af retningsvektoren. Det kan også ses at b bliver 0, idet der ikke er noget tal uden en variabel. Det betyder også, at c kan bestemmes som ( r 2 ), igen pga. der ikke er noget tal uden en variabel. Dermed kan løsningerne til 2. gradsligningen bestemmes, og indsættes i parameterfremstillingen for linien, og dermed fremkommer de to skæringspunkter. Scriptet IntersektLineSphere.m er lavet af David Legland, med licens fra GNU, Free Software Foundation. 54

55 8 Forsøg Der laves et residualplot på baggrund af de to punkter Der laves et plot af residualerne ved hjælp af MatLAB funktionen, plot3. Her kan det ses hvor på objektet de største residualer er, Det vil her også være muligt at se, om det er et negativt residual, eller om det er positivt. Med denne funktion vil det i de senere forsøg være muligt at se, om deformationen går udad eller ind. Dette afslutter anden fase i Forsøg 2. Resultaterne herfra behandles senere i dette kapitel Fejlkilder Der kan opstå fejl i udtyndingen af punkter, her kan projektgruppen enten have udtyndet for meget i punktskyen, eller der kan være benyttet punkter, som egentlig ikke hører til på kuglens overflade. Derudover kan der være fejl i overflademodellen. Det vil sige, at det ikke nødvendigvis giver den reelle overflade, at tilnærme overfladen med mange kugler, da disse kugler kan have forkert størrelse. Ligesom i Forsøg 1 vil fejlen på afstandsmålingen betyde, at punkterne der indmåles på kanten af sfæren vil give mindre residualer Data til forsøg Efter at rådata er blevet udtyndet i Cyclone, er det muligt at eksportere koordinaterne til punkterne i en ascii-fil denne omdøbes til Epoke2.xyz, så den kan indlæses i scriptet Resultater For at kunne finde en tendens, bliver forsøget udført med fire forskellige datasæt, for begge gridstørrelser. Dette bliver gjort for at finde ud af, om der er en væsentlig forskel på gridstørrelsen 1 cm og 1 mm. Resultaterne vil være stillet op i skemaer, hvoraf gennemsnitsresidualet, spredningen og maxresidualet fremgår. Ydermere vil en faktor i beregningerne være antallet af punkter, der indgår i udjævningen til fremstillingen af den enkelte kugle, der indgår i den samlede MaSH. Resultater ved 1 cm grid I skemaet nedenfor er resultaterne fra beregningerne på målepunkterne med 1 cm grid. Der er foretaget beregninger for flere forskellige antal punkter, som tidligere beskrevet. Derudover fremgår: gns rad: spr rad: Den gennemsnitlige radius på alle de udjævnede kugler i MaSH Spredningen på radius på alle de udjævnede kugler i MaSH 55

56 8 Forsøg Grid størrelse: 1 cm ant pkt kg2sw3 kg2sw4 kg2sw5 kg2sw6 5 gns res -1,8-0,9-0,2-0,8 spr res 3,9 4,4 4,1 4,2 max res 9,1 9,6 11,1 7,9 gns rad 1385,4 86,8 79,2 103,3 spr rad 5648,1 188,9 102,9 210,0 6 gns res -1,1-1,2-0,7-1,9 spr res 3,5 3,6 4,1 5,0 max res 9,0-8,4 8,3 11,2 gns rad 227,5 77,6 94,5 166,2 spr rad 77,7 154,0 220,2 558,6 8 gns res -0,8-1,5-1,2-1,2 spr res 3,1 2,1 3,2 4,0 max res -7,0-6,6-7,6 8,6 gns rad 42,2 43,1 45,8 38,7 spr rad 18,6 19,8 21,8 18,7 10 gns res -1,2-1,2-1,2-1,3 spr res 3,2 2,7 2,8 3,7 max res -11,0-6,6-9,1-9,6 gns rad 50,6 47,4 51,9 45,7 spr rad 19,8 19,1 19,4 18,5 15 gns res -1,6-1,3-1,3-1,3 spr res 3,8 1,9 3,1 3,3 max res -13,9-6,0-10,4-8,5 gns rad 55,7 55,4 55,0 48,4 spr rad 20,0 16,6 16,8 17,0 25 gns res -0,8-0,8-0,5-0,6 spr res 1,5 1,6 2,2 2,3 max res -3,2-5,6-6,1-4,8 gns rad 63,4 64,5 63,7 59,4 spr rad 12,2 12,3 13,2 11,8 50 gns res -0,3 0,0 0,2 0,4 spr res 0,8 1,3 1,4 1,6 max res -1,8-2,6 3,3 3,1 gns rad 71,8 70,4 70,6 69,9 spr rad 3,8 5,0 4,5 3,1 100 gns res 0,2 0,7 0,8 0,9 spr res 0,5 0,9 1,3 1,4 max res 1,0 2,2 2,5 2,6 gns rad 74,7 73,6 73,4 73,0 spr rad 0,5 0,9 0,9 0,8 Tabel 4: Resultater fra forsøg 2, 1 cm grid 56

57 8 Forsøg Spredning Som det kan ses i skemaet, opnås den mindste spredning, når der anvendes 100 punkter. Dette var forventeligt, da spredningen bør blive mindre, jo flere punkter der anvendes til at tilpasse kugleoverfladen. Det er dog ikke en stor forbedring. Med fem punkter ligger spredningen omkring 4 mm, og med 100 punkter er spredningen nede på ca. 1 mm. Der er altså sket en forbedring med en faktor 4, mens antallet af punkter er blevet øget med en faktor 20. Max res Max residualet, skal helst ikke overskride grovfejlsgrænsen, som er 3 gange spredningen. Grovfejlsgrænsen overskrides i nogle tilfælde, men det kan dog ses, ud fra et udpluk af histogrammerne i Bilag H, at det er en meget lille del af residualerne, der overskrider denne grænse. Gennemsnitlig radius I skemaet kan desuden ses, at der er stor forskel på den gennemsnitlige radius. Da radius af den kugle der er indmålt, er på 76,2 mm, bør den gennemsnitlige radius ligge meget tæt på dette tal. Med fem og seks punkter, er radius i de fleste tilfælde for stor. Herefter er radius for lille, indtil der anvendes 50 og 100 punkter, hvor den gennemsnitlige radius er stabil, og tæt på det rigtige tal. Den tidligere antagelse om, at antallet af punkter ikke behøvede at være ret stor, viser sig altså at være forkert. Dette må skyldes, at med få punkter kan en kugle nemt tilpasses og give forholdsvis små residualer, også selvom der er fejl på de opmålte punkter. Det giver altså et bedre resultat, jo flere punkter der bruges, hvilket må skyldes at punkterne dermed dækker en større overflade, og dermed repræsenterer kuglen bedre. 57

58 8 Forsøg Resultater ved 1 mm grid I skemaet nedenfor er resultaterne fra beregningerne på målepunkterne med 1 mm grid. Som med 1 cm grid, er der også her foretaget beregninger for flere forskellige antal. Grid størrelse: 1 mm ant pkt kg2sw20 kg2sw21 kg2sw22 kg2sw23 5 gns res -0,4-0,6 0,7 0,8 spr res 6,1 6,9 7,7 7,9 max res -21,2-23,3 22,5 16,9 gns rad 6,0 12,0 6,0 7,0 spr rad 8,2 34,8 6,7 12,2 6 gns res -0,9-0,5-0,9 2,4 spr res 6,0 6,5 8,8 7,2 max res -214,0 20,4 22,5 18,7 gns rad 6,4 5,6 6,7 4,5 spr rad 8,2 6,8 7,8 3,2 8 gns res -0,9-0,7-0,4 1,7 spr res 3,0 6,8 3,9 6,2 max res -7,3-19,9 11,3 16,9 gns rad 7,3 5,6 4,8 6,8 spr rad 8,6 6,8 4,1 7,3 10 gns res -0,7-0,9 0,5 0,4 spr res 3,7 7,5 5,0 4,7 max res -7,3-22,9 11,7 13,9 gns rad 6,2 6,6 4,7 7,4 spr rad 5,7 9,1 3,6 8,1 15 gns res -0,4 0,8-0,3 0,7 spr res 2,9 4,7 5,2 3,7 max res 6,6 12,5 1,3 6,4 gns rad 5,8 5,7 5,8 7,2 spr rad 3,8 3,9 4,5 7,7 25 gns res -1,2-1,4-0,4-0,8 spr res 2,4 2,6 4,0 2,6 max res 4,1 4,9 8,2 5,0 gns rad 5,8 8,3 7,0 8,0 spr rad 3,8 6,6 4,6 6,7 50 gns res -1,9-1,5-0,9-1,6 spr res 2,6 3,5 4,4 2,7 max res -5,1 6,5 11,1-4,9 gns rad 7,7 10,2 9,2 11,0 spr rad 5,7 7,0 5,6 9,1 58

59 8 Forsøg 100 gns res -2,3-2,7-2,5-2,4 spr res 3,8 3,2 3,4 2,9 max res -7,1-6,0-6,2-5,6 gns rad 14,0 15,4 15,5 17,0 spr rad 9,6 11,1 11,2 12,6 500 gns res -3,3-3,5 3,4-3,0 spr res 3,8 3,9 4,1 3,7 max res -8,8-9,0-9,3-8,6 gns rad 34,2 34,8 34,1 37,6 spr rad 20,7 21,3 20,5 22, gns res -2,4-2,8-2,6-1,9 spr res 3,5 3,7 3,7 2,9 max res -9,1-9,2-9,1-7,5 gns rad 44,3 44,5 44,1 47,9 spr rad 20,2 20,5 20,3 20, gns res 0,0-0,2-0,1 0,0 spr res 0,7 0,9 0,8 0,7 max res -1,2-1,9-1,6 1,1 gns rad 69,7 69,6 69,6 70,9 spr rad 3,6 3,8 3,7 3, gns res 0,7 0,5 0,7 0,6 spr res 0,4 0,6 0,6 0,4 max res 1,3 1,2 1,6 1,2 gns rad 74,1 73,9 74,1 74,4 spr rad 0,3 0,3 0,3 0,2 Tabel 5: Resultater fra forsøg 2, 1 mm grid Spredning Som forventet giver beregningerne med de færrest inddragede punkter ikke ret gode resultater, når der udføres et MaSH. Igen viser det sig, at den beregning hvori der indgår flest punkter er den bedste. Ligeledes, som tidligere, er den forbedring der er sket ikke ret stor i forhold til mængden af ekstra punkter, der er inddraget. Spredningen er forbedret med en faktor 16, mens antallet af punkter der anvendes, er øget med en faktor Max res Det kan ses i Tabel 5, at der er langt færre residualer, der overskrider grovfejlsgrænsen. Dette gælder dog kun ved de beregninger, der inddrager mere end 15 punkter til beregningen af den enkelte kugle. 59

60 8 Forsøg Gennemsnitlig radius Ligesom i beregningerne med 1 cm grid, viser det sig også her, at der er stor forskel på den gennemsnitlige radius. Igen viser det sig, at grunden til de små spredninger, når der ikke anvendes ret mange punkter er, at radius af de kugler der bliver tilpasset punkterne, er langt fra den sande radius. I stedet for kugler med en radius på 76,2 mm, tilpasses punkterne til kugler med en radius helt ned til 4,7 mm. For at få et fornuftigt resultat, skal der anvendes så mange som 5000 eller punkter. Årsagen til dette må være, at de 5000 til punkter dækker en større overflade, og kuglen dermed bliver bedre tilpasset Opsamling Det har vist sig at, ved begge grid-størrelser kan der opnås en nøjagtighed på ca. 1 mm på overflademodellen. Forskellen er, at ved 1 cm grid, skal der kun anvendes 100 punkter, mens der ved 1 mm grid skal anvendes Disse antal punkter dækker samme overflade på kuglen, nemlig et område på 10 gange 10 cm. På baggrund af dette må projektgruppen konkludere, at det ikke er antallet af punkter, der er afgørende for den opnåede nøjagtighed, men derimod det areal de anvendte punkter dækker. Dette stemmer godt overens med projektgruppens forventninger omkring hvordan punkternes geometri påvirker resultatet. Derudover er der for hhv. 1 cm grid og 1 mm grid, ikke den store forbedring fra 50 til 100 punkter, og fra 5000 til punkter. Dette leder til den konklusion, at der er en sammenhæng mellem den overflade punkterne dækker, og den radius der ønskes bestemt. Tilsyneladende kan denne sammenhæng udtrykkes som, at punkterne skal dække en overflade med et areal, der svarer til radius 2, på den kugle der ønskes bestemt. Det betyder at i det aktuelle tilfælde, hvor kuglen har en radius på 76,2 mm, skal der anvendes punkter, der dækker mindst 76 mm gange 76 mm, hvilket giver 5776 mm 2. Dermed skal der anvendes ca punkter ved mm-grid og 58 punkter ved cm-grid. Denne konklusion bør efterprøves. Dette kan ske ved at foretage samme forsøg, som lige udført, med to kugler med forskellig radius. Er antagelsen korrekt, bør den bedste kugle være tilpasset, når der anvendes det antal punkter, der dækker en overflade, svarende til de to nye kuglers radius 2. Det må desuden overvejes, at hvis denne antagelse er korrekt, vil deformationer der har en lille krumning, dermed have en stor radius. Det vil medføre, at det antal punkter der skal til for at bestemme deformationen, skal dække et stort areal, og dermed risikeres det, at punkterne der skal anvendes, dækker et område der er større end selve deformationen. 60

61 8 Forsøg 8.3 Forsøg 2.2 I dette forsøg kontrolleres konklusionen fra forsøg 2, nemlig at der er en sammenhæng mellem den radius der ønskes bestemt, og det areal punkterne, der anvendes til at bestemme denne radius, dækker. Dette gøres ved at udføre en opmåling af to nye kugler, hvor radius er kendt, og udføre samme beregninger, som i forsøg Teori Teorien bag beregningerne i dette forsøg er den samme, som i forsøg 2, og derfor henvises til denne. Teorien bag den konklusion der efterprøves er, at hvis der indmåles to nye kugler af forskellig størrelse fra den oprindeligt indmålte, bør konklusionen kunne påvises. Det er valgt, at de to nye kugler skal være hhv. mindre og større end den oprindeligt indmålte, for at have et konkret sammenligningsgrund, samt for at se, om der er forskel på at måle på små og store kugler. Den lille kugle er i dette tilfælde en golfkugle med en radius på 2,15 cm, mens den store kugle er en fodbold med en radius på 10,75 cm. Dette betyder at den bedste løsning for hhv. 1 mm grid og 1 cm grid, burde opnås ved hhv. 462 og 5 punkter på golfkuglen og hhv og 116 punkter på fodbolden. Det kan diskuteres om disse kugler er gode kontrolemner, idet golfkuglen har en masse små kratere, og fodbolden nok næppe kan siges at være 100 % kugleformet. Det er dog projektgruppens overbevisning, at disse kugler er tilstrækkelige til at be- eller afkræfte projektgruppens tidligere konklusion Fejlkilder Der er i dette forsøg samme fejlkilder som beskrevet i de tidligere forsøg. Derudover kan overfladerne på de nye kugler spille ind på resultater. Begge kugler er hvide, med forskellige former for tekst på. De hvide overfalder børe reflektere laserstrålen godt, men i de tilfælde hvor strålen rammer tekst, vil den sandsynligvis ikke blive reflekteret lige så godt. Derudover vil der være nogle fejl, der knytter sig til overfladernes struktur. Som tidligere nævnt, er golfkuglen dækket af små kratere, og fodbolden er syet sammen af sekskantede flader, og sandsynligvis ikke 100 % kugleformet. Disse forhold vil med stor sandsynlighed spille ind på resultatet Data til forsøg Som i forsøg 2 udtyndes data i Cyclone, og koordinaterne til punkterne eksporteres til en asciifil. Denne omdøbes til Epoke2.xyz, så den kan indlæses i scriptet. Filerne kan ses i Bilag D 61

62 8 Forsøg Resultater På grund af golfkuglens meget lille størrelse, er denne ikke beregnet for et 1 cm grid, men udelukkende med et 1 millimeter grid. I nedenstående skema præsenteres samtlige resultater. Alle resultater er vist i millimeter. Bold1_mm Bold1_cm Golf1_mm ant pkt ant pkt ant pkt 5 gns res 0,2 5 gns res 1,6 5 gns res 4,6 spr res 6,9 spr res 11,9 spr res 16,2 max res 17,7 max res 47,9 max res 21,0 gns rad 52,1 gns rad 88,1 gns rad 12,4 spr rad 191,3 spr rad 64,8 spr rad 10,9 100 gns res -3,4 10 gns res -3,0 100 gns res 18,8 spr res 2,9 spr res 4,0 spr res 3,0 max res -9,2 max res 3,0 max res 22,3 gns rad 24,3 gns rad 60,9 gns rad 9,6 spr rad 25,9 spr rad 33,5 spr rad 3,0 500 gns res -4,0 50 gns res -1,1 400 gns res 21,2 spr res 4,3 spr res 1,7 spr res 1,6 max res -11,2 max res -6,0 max res 23,0 gns rad 52,1 gns rad 94,7 gns rad 15,1 spr rad 35,5 spr rad 17,1 spr rad 2, gns res -3,2 100 gns res -0,3 gns res 21,5 spr res 4,3 spr res 0,8 spr res 1,5 max res -12,1 max res -2,4 max res 23,2 gns rad 64,9 gns rad 102,5 gns rad 15,7 spr rad 34,3 spr rad 5,2 spr rad 1, gns res -0,5 gns res -0,2 500 gns res 21,6 116 spr res 1,4 spr res 0,7 spr res 1,4 max res -3,9 max res 1,7 max res 23,3 gns rad 95,9 gns rad 103,4 gns rad 16,1 spr rad 12,9 spr rad 3,4 spr rad 1,7 gns res 0,2 150 gns res -0, gns res 23,0 spr res 0,6 spr res 0,6 spr res 0,8 max res -1,1 max res -1,3 max res 24,2 gns rad 104,4 gns rad 104,7 gns rad 19,0 spr rad 2,6 spr rad 2,2 spr rad 0, gns res 0,5 spr res 0,5 max res -0,5 gns rad 105,7 spr rad 1,0 Tabel 6: Resultater fra forsøg

63 8 Forsøg Af resultaterne i ovenstående tabel, er det især resultaterne for hhv , 116 og 462 punkter der er interessante, idet det er disse der gerne skulle bekræfte projektgruppens tidligere konklusion. For et grid på 1 mm på bolden, fås for punkter et fornuftigt resultat. Det er ikke den rigtige gennemsnitlige radius, men det er kun tre millimeter fra, og der sker ikke en stor forbedring når der anvendes punkter. For et 1 cm grid på bolden, er det igen fra de forventede 116 punkter, der opnås et fornuftigt resultat. Den gennemsnitlige radius er fem millimeter fra den korrekte, og spredningen er under en millimeter. Resultaterne for 1 mm grid på golfkuglen viser at den gennemsnitlige radius er fem millimeter fra den korrekte, hvilket er samme afvigelse som opnået med 1 cm grid på bolden. Der er dog store spredninger på residualerne og store max residualer. Det kunne tyde på at golfkuglen ikke er ret godt bestemt Opsamling På baggrund af ovenstående resultater, konkluderer projektgruppen, at den tidligere antagelse var korrekt, og der er således en sammenhæng mellem radius til den kugle, der ønskes bestemt, og det areal, de punkter der anvendes til at bestemme den, dækker. Denne sammenhæng er, at punkterne skal dække et område, der svarer til kuglens radius 2. Det er klart at der opnås et bedre resultat med flere punkter, men der lægges vægt på, at det ikke er en stor forbedring der sker, ved at bruge flere punkter end hvad der forventes giver det bedste resultat, samtidig vil det være ønskeligt at begrænse de punkter, der udjævnes på baggrund af, da en vilkårlig overflade ikke nødvendigvis har samme krumning på hele overfladen. Projektgruppen må ligeledes på baggrund af ovenstående resultater konkludere, at der er en nedre grænse for, hvor små deformationer der kan opdages. Denne grænse ligger tilsyneladende over størrelsen på en golfkugle. Det må desuden konkluderes at den anvendte metode har en væsentlig begrænsning, idet det er nødvendigt at kende radius på den kugle, der ønskes bestemt. Det er altså nødvendigt at kende størrelsen på den deformation, der ønskes bestemt, hvilket ikke vil være tilfældet når der måles deformationer på et vilkårligt objekt. 63

64 8 Forsøg 8.4 Forsøg 3 I dette forsøg sammenlignes to indmålte datasæt. Jf. de tre underspørgsmål fra problemformuleringen skulle Forsøg 3 omhandle udviklingen af en metode til at sammenligne to datasæt, men da dette er sket i Forsøg 2, kommer dette forsøg primært til at omhandle nøjagtigheden af den fremstillede metode. Der vil i dette forsøg indgå to datasæt. Det ene datasæt forestiller den første opmåling, mens det andet datasæt forestiller opmåling, efter at der er sket en deformation. Idet der ikke sker en deformation, er det muligt at bestemme nøjagtigheden af metoden. Metoden for at kunne finde forskellen mellem de to indmålte datasæt er magen til den fra Forsøg 2, altså den projektgruppen kalder MaSH. Denne metode er gennemgået i Forsøg 2, og vil derfor ikke blive beskrevet yderligere her. I dette forsøg benyttes det samme script som i forrige forsøg. Der vil dog ikke blive beregnet punkter til en matematik defineret kugle, da det er to datasæt, der skal sammenlignes. Denne gang vil filen Epoke1.xyz dog indeholde koordinater til indmålte punkter. Dermed udtages der ét koordinat på en indmålt kugle fra denne fil, hvorefter der bliver lavet en tilnærmet kugle af det antal indmålte punkter, som forventes at give det bedste resultat, fra filen Epoke2.xyz. Epokerne kan dermed sammenlignes, og der kan findes residualer. Dette gøres for hvert af koordinaterne fra filen Epoke1.xyz. I Forsøg 2 fandt projektgruppen ud af at det ikke er antallet af punkter eller gridstørrelsen, der spiller ind når en kugle skal tilnærmes en indmålt overflade. På baggrund af kuglens størrelse, har projektgruppen derfor valgt kun at udføre beregningerne ud fra koordinaterne i 1 cm grid Resultater I skemaet nedenfor ses resultaterne fra beregningerne. Beregningerne er alle lavet på baggrund af koordinatfilen kg2sw3.xyz, denne fil bliver omdøbt til Epoke1.xyz hvorefter den kan sammenlignes med de tre andre filer (kg2sw4.xyz, kg2sw5.xyz og kg2sw6.xyz), som en af gangen bliver omdøbt til Epoke2.xyz. Beregningerne bliver udført med 25, 50 og 100 punkter, hvilket svarer ca. til hhv. 25, 50 og 100 cm 2. På grund af den tidligere antagelse, at nøjagtigheden afhænger af det areal punkterne dækker, forventes det, at den bedst tilnærmede overflade er den, der genereres af 50 punkter, da arealet der dækkes af radius opløftet 2 er ca. 58 cm 2. 64

65 8 Forsøg Gennemsnit residual ant pkt kg2sw4 kg2sw5 kg2sw6 25 gns res -2-2,2-2,5 spr res 2,8 2,7 2,6 max res -9,8-9,4-9,4 50 gns res -1-1,1-1,1 spr res 2,2 2,2 2,3 max res -6,6-7,3-7,2 100 gns res -0,1-0,4-0,4 spr res 2 2 2,1 max res -5,2-6,2-5,9 Tabel 7: viser resultaterne fra forsøg 3 Gennemsnittet af residualerne må formodes at være lig, eller meget tæt på nul, hvis residualerne skal være normalfordelte omkring nul. I beregningerne er der en tendens til, at disse ligger til den negative side. Det bliver dog bedre jo større et område, der bliver inddraget til udregning af de enkelte kugler. Spredning på residual Spredningen på residualerne ligger stabilt i dette forsøg, dog forekommer der mindre udsving. Ses der på gennemsnittet ved de forskellige antal af punkter er disse fordelt således: 25 2,7 mm 50 2,2 mm 100 2,0 mm Dermed vil det umiddelbart være anvendelsen af de 100 punkter, der giver det bedste resultat ud af de tre forsøg. Dette vil dog kun gælde på en fuldstændig regulær kugle, da denne har en konstant krumning. Idet projektgruppen ønsker at kunne anvende et MaSH på et vilkårligt objekt, er det nødvendigt at begrænse overfladen, hvorpå der måles mest muligt, da denne ikke har konstant krumning. Projektgruppen mener derfor at anvendelsen af det antal punkter, der dækker det areal, der svarer til kuglens radius 2, er tilstrækkeligt til at danne et MaSH. Denne antagelse bygger på, at der ikke er en væsentlig forbedring i spredningen på residualerne fra 50 til 100 punkter. 65

66 8 Forsøg Max residual Max residualet må ikke overskride grovfejlsgrænsen, som er 3 gange spredningen, denne grænse overskrides kun i enkelte tilfælde, og denne overskridelse er ikke bemærkelsesværdig, da der statistisk set vil være overskridelser i få tilfælde. Dette er illustreret i nedenstående figur, hvor der er lavet et histogram over residualerne på MaSH et. Histogrammet viser, at der er en overvægt af negative residualer, og nogle residualer tæt på grovfejlsgrænsen. Derudover er der lavet et residualplot der viser hvordan residualerne er fordelt rundt på kuglen. Her ses det, at det er på siderne af kuglen, der er de mindste residualer. Kuglen er set lige forfra og farverne angiver den numeriske størrelse på residualet. Beregningerne er fortaget i MatLABscriptet Forsog3_ResPlot.m. Figur 22: 2D-Residualplot og histogram af sammenligningen mellem kg2sw3_cm og kg2sw6_cm, ved 50 punkter Opsamling Dermed er det muligt at få et tilfredsstillende resultat ved at anvende et antal punkter svarende til arealet af kuglens radius 2. Det ses dog, at der fremkommer en bedre spredning på residualerne ved at anvende dobbelt så mange punkter,. Spredningen på residualerne ved 50 punkter lå på 2,2 mm mens den var 2,0 mm ved brug af 100 punkter. Dette mener projektgruppen ikke er en væsentlig forbedring, i forhold til at det areal, punkterne udspændes over bliver væsentlig større og det konkluderes dermed at konklusionerne fra Forsøg 2 og Forsøg 2.2 ligeledes er gældende her. 66

67 8 Forsøg 8.5 Opsamling på forsøg I dette afsnit vil projektgruppen samle op på de erfaringer, der er opnået igennem de tre forsøg der er opstillet for at kunne svare på problemformuleringen. Dermed ønskes det på baggrund af afsnittet, at kunne opstille de krav der er nødvendige, for at kunne udføre deformationsmåling ved at sammenligne punkter fra et scan, med en overflademodel dannet af punkter fra et andet scan. I afsnittet vil de konklusioner, som projektgruppen har udledt af forsøgene blive beskrevet, og gennemgået i rækkefølgen forsøg 1 til 3. De to første forsøgs relevans stammer fra problemanalysen, hvor projektgruppen fandt ud af, at for at kunne opdage en deformation, og ikke blot tilfældige fejls indflydelse, er det nødvendigt at kende nøjagtigheden, af de datasæt der benyttes. Derfor opstillede projektgruppen formlen for den samlede spredning for de to datasæt således: 2 2 σ sammenligning = σ enkeltpunkter +σ overflademodel [Formel 1] Projektgruppen ønskede derfor i første omgang at kende spredningen på enkeltpunkterne, der indmåles af laserscanneren. Det blev besluttet at måle på en kugle, idet det blev vurderet at en flade var for reel en overflade, idet projektgruppens mål er at kunne måle et vilkårligt objekt. Derimod blev det vurderet, at en kugle var bedre at benytte, idet både de afstands- og vinkelafhængige fejl her vil spille ind, samtidig med at kuglens overflade ændrer form, alt efter hvor der måles på den, hvilket også kan være tilfældet ved et vilkårligt objekt. Ved at gennemføre beregninger af to forskellige datasæt, der stammede fra to forskellige opstillinger, og med to forskellige punkttætheder fra hver opstilling, kunne projektgruppen konkludere, at i en afstand op til 25 m har laserscanneren en nøjagtighed på 2.0 mm. Projektgruppen har også konkluderet at det opnåede resultat ikke kan benyttes i enhver sammenhæng, idet resultatet med stor sandsynlighed ville have været anderledes, hvis der var benyttet et objekt med en anden facon, størrelse, farve eller materiale. Det har dog ikke været projektets problemstilling at besvare dette, men blot opnå en fornuftig størrelse der kunne benyttes i den senere besvarelse af problemformuleringen. Desuden viste forsøget, at de residualer der fremkom, var normalfordelte, hvilket medførte at projektgruppen valgte at udføre yderligere statistiske forsøg på resultaterne, der skulle efterprøve om de opnåede resultater virkede sandsynlige. Det viste sig på baggrund af statistikken, at det kunne fastslås, at de beregnede spredninger med høj sandsynlighed var bestemt korrekt, samt at residualerne var normalfordelt omkring 0. I forbindelse med Forsøg 1, ønskede projektgruppen også at efterprøve, hvordan Cyclone beregner centrumskoordinater og radius til en kugle. Det viste sig at, ved at benytte Mindste Kvadraters Princip kunne stort set de samme resultater som Cyclone bestemmer opnås. På baggrund af disse resultater har projektgruppen sandsynliggjort, at programmet benytter mindste kvadraters princip, og dermed laver en udjævning af et ulineært problem. Det lykkedes projektgrup- 67

68 8 Forsøg pen at opnå centrumskoordinater meget tæt på de størrelser programmet beregnede, mens radius, formentlig på grund af fejl i projektgruppens script, ikke kunne bestemmes med positivt fortegn. På grund af at projektgruppen benyttede et sfæretarget med kendt radius, var dette dog ikke noget problem i forhold til gennemførelsen af Forsøg 1. Dermed valgte projektgruppen at konkludere at spredningen på indmålte punkter kan fastsættes til 2.0 mm, og dermed var første led i formlen for den samlede spredning bestemt. I det andet forsøg ville projektgruppen bestemme størrelsen af det andet led i formlen for den samlede spredning. Efter at forskellige metoder til at lave en overflademodel var diskuteret, blev det besluttet, at projektgruppen selv ville udvikle en overflademodel, idet de eksisterende metoder ikke kunne opfylde de krav der var opstillet. Derfor udviklede projektgruppen overflademodellen MaSH, der som tidligere nævnt ikke giver en visuel overflademodel, men derimod er mange kugleoverflader, der til sammen beskriver den overflade der er indmålt. For at kunne bestemme spredningen på det udviklede MaSH, ønskede projektgruppen igen at finde residualer, der kunne fortælle, hvor nøjagtig overflademodellen kunne dannes. Dette blev gjort ved at danne en matematisk model af det indmålte objekt, der er fejlfri, hvis det antages at centrumskoordinaterne er korrekte. Derefter fandt projektgruppen afstande mellem overflademodellen og konstruerede punkter på den matematiske model. Dermed kunne projektgruppen også vurdere, at der formentlig ville kunne opnås en større nøjagtighed af dette datasæt end det fra Forsøg 1, idet de data der skulle regnes på, bestod af flere indmålte punkter, der blev udjævnet til en kugle. Efter disse beslutninger var foretaget kunne beregningerne foretages. Det viste sig at der opstod problemer med at bestemme korrekte kugler, når der blev benyttet få punkter der lå tæt på hinanden. Det blev projektgruppen opmærksom på, da radius på de kugler der fremkom, var på få millimeter, mens de burde ligge tæt på værdien for den kendte radius der var 76.2 mm. Dermed kunne projektgruppen i første omgang konkludere at det var nødvendigt med et større antal punkter, for at de korrekte kugler kunne dannes. Det viste sig gennem beregningerne at der skulle et højt antal punkter til at bestemme de korrekte kugler, og dermed de korrekte værdier for nøjagtigheden. Det viste sig, at overbestemmelsen der er i at have 100 gange så mange punkter, ikke så ud til at have nogen indflydelse på, hvornår de korrekte kugler blev dannet. Derimod viste det sig, at det der var vigtigt for hvornår de korrekte kugler blev dannet, var det areal de indmålte punkter dækkede. Denne mistanke blev vækket ud fra de oprindelige datasæt, samt projektgruppens forestilling om hvad der skal opfyldes for at opnå god geometri. For at undersøge det nærmere valgte projektgruppen at udføre et ekstra forsøg. I forbindelse med dette ekstra forsøg viste det sig, at projektgruppens formodning var korrekt. Det viste sig, at for at kunne danne de korrekte kugler, var det nødvendigt at kende den omtrentlige radius på den kugle der skulle dannes, så der kunne anvendes det korrekte antal punkter. 68

69 8 Forsøg Umiddelbart var dette noget af et tilbageskridt, idet det dermed er en nødvendighed at kende størrelsen af den deformation, der måles på, hvilket ikke er tilfældet hvis der ønskes at kunne måle på et vilkårligt objekt, hvor deformationens størrelse og placering ikke er kendt. På grund af tidsmangel var projektgruppen ikke i stand til at udvikle en løsning på dette problem. Dermed kunne projektgruppen fortsætte forsøget med den kendte kugle, og det viste sig derefter, at for at kunne danne de korrekte kugler, var det der krævedes et antal punkter, der svarer til arealet af kuglens radius 2. Nøjagtigheden kunne derfor bestemmes ud fra de oprindelige datasæt, og det viste sig, at når overflademodellen blev bestemt af de korrekte kugler kunne der opnås en nøjagtighed på 1,0 mm. Dermed viste det sig at projektgruppens antagelser, om at der kunne opnås en større nøjagtighed holdt stik. Forsøg 2 endte med, at så længe deformationens størrelse er kendt og ensformig, kan der benyttes det samme antal punkter til at bestemme alle kugler i MaSH. Dermed kan projektgruppen benytte den udviklede metode til at bestemme en deformation. Det er naturligvis ikke optimalt at skulle kende størrelsen af deformationen når målet er at kunne opdage en deformation. Projektgruppen valgte dog at fortsætte med de opnåede resultater og forudsætninger, idet de tidligere opstillede løsningsmuligheder formentlig vil kunne medvirke til at opnå målet, hvilket dog ikke har været muligt tidsmæssigt. Dermed valgte projektgruppen at konkludere, at spredningen på den dannede overflademodel kan fastsættes til 1.0 mm, og dermed var det andet led i formlen for den samlede spredning bestemt. På baggrund af de to første forsøg forventede projektgruppen at være i stand til at sætte en størrelse på hvornår en deformation kan opdages, idet de to størrelser til bestemmelse af den samlede spredning er bestemt. Ved at benytte de beregnede spredninger i [Formel 1], fås følgende værdi for den samlede spredning: sammenligning ( ) ( ) ( ) σ = 2,0 mm + 1,0 mm = 5,0 mm = 2,2 mm Dette betyder at projektgruppen forventer at kunne opdage deformationer der er større end ± 3 2.2mm 6. 6mm. Der skal dog for at denne værdi kan benyttes, tages hensyn til de begrænsninger der er opstillet igennem forsøgene. Projektgruppen ønsker dog stadig at kunne måle på et objekt, og ved at skabe en deformation med en form således at der kan dannes et MaSH af kugler med den samme radius, mener projektgruppen stadig at dette kan lade sig gøre. 69

70 8 Forsøg Dermed kunne projektgruppen konkludere at den samlede spredning kan fastsættes til 2,2 mm. I Forsøg 3 ønskede projektgruppen at undersøge hvordan sammenligningen af en punktsky og et MaSH dannet af en anden punktsky kunne foregå. Til dette benyttedes data fra den indmålte kugle fra to epoker. Metoden til dette blev udviklet i Forsøg 2. Inden beregningerne blev foretaget havde projektgruppen en forventning til hvilken spredning der kunne opnås, idet spredningen gerne skulle være tæt på den, der er beregnet på baggrund af resultaterne i Forsøg 1 og 2. Projektgruppen forventede dermed en værdi for spredningen på ca. 2,2 mm. Forsøget opfyldte også de krav der blev opstillet tidligere, idet de kugler der dannes til MaSH et alle har den samme radius. Det viste sig også da de to datasæt blev sammenlignet, at der kunne opnås en spredning på ca. 2,2 mm. Dermed er de tre underspørgsmål i forbindelse med problemformuleringen besvaret, og projektgruppen vurderer, at besvarelserne kan medvirke til at udføre deformationsmåling af et objekt. I dette projekt er det nødvendigt at lave en tilpasset deformation, idet de udviklede scripts som tidligere gennemgået kun kan arbejde med en sådan. Derfor ønsker projektgruppen at udføre et forsøg, hvor et objekt udsættes for en deformation, der er lavet med kontrolleret størrelse, og med en facon så alle kuglerne der dannes af MaSH, har samme størrelse. Ved at udføre et sådan forsøg, forventer projektgruppen at kunne besvare problemformuleringen. 8.6 Forsøg med sækkestol På grund af tidsmangel kommer projektgruppen ikke videre med udviklingen af MaSH og har dermed ikke en endeligt udviklet metode. Med dette forsøg ønsker projektgruppen blot at anvende metoden på et vilkårligt objekt, for at se om den virker i praksis, og evt. finde fejl, som ikke er blevet klarlagt i de tidligere forsøg. Dermed skal dette forsøg ikke ses som det en test af metoden, men blot en produktudvikling af en prototype med børnesygdomme. I dette forsøg vil projektgruppen undersøge, om deformationer kan påvises på et vilkårligt objekt, når dette er scannet i to forskellige epoker, hvor der bevidst er udført en deformation. I forsøget vil de enkelte punkter fra første epoke blive sammenlignet med en overflademodel dannet ud fra punkterne i den anden fase. 70

71 8 Forsøg Teori Som tidligere vist kan scans af et objekt fra to epoker sammenlignes ved hjælp af MaSH. Dette vil projektgruppen anvende til at lave en sammenligning af to epoker, hvor der imellem epokerne er udført en deformation. De tidligere forsøg viser, at projektgruppens metode kan afsløre en deformation større end 6,6 mm. Ved sammenligningen fremkommer residualer der repræsenterer afstanden mellem de to scans. Sker der en deformation større end 6,6 mm kan de beregnede residualer kategoriseres som deformationer. En analyse af residualerne vil derfor kunne give svaret på, hvor på et objekt der er sket en deformation. Fejlene i en opmåling af et objekt antages at være normalfordelte, med den spredning der skyldes de tilfældige fejl. Det samme må gælde for en sammenligning mellem to uafhængige opmålinger af det samme objekt, uden der i mellemtiden er sket en deformation. Er der derimod sket en deformation mellem de to epoker, vil en sammenligning mellem to epoker vise, at forskellene mellem dem ikke længere er normalfordelt, idet forskellene ikke længere afhænger af de tilfældige fejl. Derfor vil en sammenligning mellem et scan af et objekt, før det deformeres og et scan efter, ikke følge denne normalfordeling og der vil optræde langt flere resultater der ligger over 3 σ. Sammenligningen vil dog ikke finde størrelsen af deformationen, idet det enkelte punkt på objektet ikke sammenlignes direkte i de to scans Dataindsamling Dette forsøg blev foretaget inden døre i Aalborg Universitets bygning Fibigerstræde 11. Til forsøget blev en sort sækkestol anvendt, idet det var nødvendigt at objektet skulle være let at deformere. Der kan dog rejses tvivl om hvorvidt sækkestolen er et godt objekt til at udføre laserscanning på, idet laserlys ikke reflekteres godt på sorte overflader som omtalt i Bilag A. Dette vil der dog ikke blive taget højde for i dette projekt, idet spørgsmål vedrørende forskellige materialers refleksion ligger uden for projektgruppens problemområde. Laserscanneren blev opstillet i en afstand af ca. 6 m, og sækkestolen placeret i den ønskede udgangsposition. Herefter blev sækkestolen indmålt. Som tidligere beskrevet kræver projektgruppens metode, at deformationens størrelse er kendt og ensformig, hvorfor projektgruppen valgte at lave en deformation med en kugleformet genstand. Til dette benyttedes en fodbold med radius på ca. 10 cm. Herefter var sækkestolen deformeret. De tre tilstande kan ses på Billede 4. Herefter kunne sækkestolen indmåles på ny, og data fra to epoker var indsamlet. Til begge epoker blev der scannet med en punkttæthed på 1 cm, hvilket med baggrund i at der skal benyttes data fra et areal på ca. 100 cm2 virker fornuftigt. Det betyder at der skal bruges 100 punkter til at danne kugler i forbindelse med MaSH. Som en ekstra kontrol blev sækkestolen indmålt en ekstra gang før den blev deformeret. 71

72 8 Forsøg Billede 4: Sækkestolen før, under og efter deformationen På Figur 23 ses en illustration af hvordan sækkestolen bliver deformeret, samt hvordan der dannes én kugle af MaSH. På figuren ses det, hvordan det indmålte punkt i ligger på sækkestolens overflade til epoke 1, samt at de nærmeste 100 punkter til epoke 2 er fundet i den nedsænkning, der er sket i sækkestolen. På figuren er MaSH er illustreret ved cirklen, residualet ved r, første epoke ved den sorte linie, og deformationen ved anden epoke er illustreret med rødt. Figur 23: Sammenligningsmetoden finder residualet for MASH og punktsky, på linien der går gennem kuglens centrum og det enkelte punkt Fejlkilder Teoretisk set vil bolden have medført at alle MaSH-kugler, der dannes hvor bolden har rørt sækkestolen, har den samme radius. Der skal dog tages forbehold for tilfældige fejl, samt at sækkestolens bløde materiale formentlig har medført, at boldens kugleform ikke blev bevaret perfekt, efter bolden blev fjernet. Denne fejl vil formentlig blive mere udbredt desto længere op ad siderne, der skal dannes MaSH. Dertil kommer at, der, hvor bolden ikke har rørt sækkestolen, stadig vil være sket en deformation, idet områderne omkring også vil være blevet presset 72

73 8 Forsøg nedad. Det vil altså sige at disse steder kendes deformationens størrelse ikke, og derfor vil de kugler der dannes, formentlig ikke blive dannet på baggrund af det rette antal punkter. Dette kan også ses på Figur 24. Dermed må der forventes fejl i dette randområde, idet projektgruppen tidligere har fundet ud af, at forskellige størrelser deformationer kræver forskelligt antal punkter. På baggrund af dette forventer projektgruppen at opnå de mest nøjagtige resultater i bunden af deformationen. Figur 24: Den store cirkel viser at der kan dannes en dårlig tilpasning til et område når der anvendes for mange punkter til at danne MaSH, mens den lille cirkel tilpasser overfladen godt Desuden vil det valgte objekt medføre, at der vil ske deformationer andre steder, end blot der hvor bolden presses ned, og i randområdet. Det skyldes, at når materialet presses ned et sted, vil overfladearealet blive større her, hvilket medfører at det bliver mindre andre steder Data til forsøg Data fra de to epoker kan ses i Bilag D. Punkter fra gulv og væg er frasorteret Resultater Til at beregne MaSH blev der udvalgt 100 punkter, fordi antallet af punkter som før nævnt skal passe med arealet der fremkommet når deformationens radius kvadreres, jf. Forsøg 2. Da deformationens radius teoretisk set er 10 cm og punkttætheden er 1 cm, skal der anvendes 100 punkter til at beregne MaSH et, idet 100 punkter således dækker et areal der svarer til radius opløftet 2. Igennem rapporten har projektgruppen vist at deformationer kan afsløres ved at se på et histogram hvor residualernes størrelse illustreres. I Figur 25 kan det dog ses at residualerne ikke som forventet ligger normalfordelt omkring 0, med en spredning på ca. 2,2 mm når der 73

74 8 Forsøg ses på målingerne fra epoke 1 og kontrolscannet. Derimod fås residualer der er normalfordelte omkring -0,9 cm, mens spredningen fås til 7,4 mm. Når der måles på en sækkestol, er det tilsyneladende ikke muligt, at opnå de samme resultater som i Forsøg 1 og 2. Som tidligere beskrevet i rapporten afhænger nøjagtigheden af målingerne af bl.a. objektets farve og materiale. Netop den sorte farve giver det dårligste resultat, hvilket dermed kan være medvirkende til, at der opnås de mindre nøjagtige resultater, når der sammenlignes med kontrolscannet. Da spredningen er beregnet til 7,4 mm, medfører dette, at residualerne skal overstige 3 7,4 mm = 22,2 mm, for at kunne kategoriseres som deformationer. Et andet bidrag til den mindre nøjagtighed skyldes at de kugler der dannes af MaSH, burde være dannet af forskelligt antal punkter, hvilket er vist tidligere i rapporten. Derfor ved projektgruppen, at der er dannet mindre nøjagtige kugler til beregningen af spredningen. Figur 25: Plot histogram af residualer mellem epoke 1 og kontrolscan Hermed kan data efter omdøbning til Epoke1.xyz og Epoke2.xyz, benyttes i de tidligere udviklede scripts. Herved fås et residual for samtlige indmålte punkter fra epoke 1. Figur 26 viser tydeligt, at deformationen er opdaget, idet der som forventet viser sig en samling af store residualer, hvor bolden har lavet deformationen. Et bedre overblik af residualplottet kan ses i Bilag J, hvor det er muligt at manøvrere rundt i residualplottet. Der viser sig dog også nogle fejl, når der ses nærmere på residualplottet, dette beskrives senere. 74

75 8 Forsøg Figur 26: Residualplot af sammenligningen mellem de to epoker Ved at se på residualhistogrammet, Figur 27, kan det ses, at der er mange residualer, der overstiger 22.2 mm, især til den negative side, hvilket betyder, at deformationen viser sig på residualhistogrammet. Da deformationen er sket til den samme side, burde der dog ikke være residualer, der overstiger værdien 22.2 mm til den positive side. Som før nævnt viste residualplottet også denne fejl, grunden til dette vil blive nærmere undersøgt. Figur 27: Figuren viser at flere residualer ligger over grovfejlsgrænsen 75

76 8 Forsøg Projektgruppen har ved dette forsøg fundet et problem med den udviklede sammenligningsmetode. Når punkterne fra den første epoke, skal sammenlignes med MaSH et dannet af punkterne fra anden epoke, kan det uheldige ske at punktet på objektet ligger tættere på den del af MaSH ets overflade, som ligger væk fra de punkter, som det er dannet over. Det kan ske da metoden benytter skæring mellem linie og kugle, og der dermed altid bestemmes to skæringspunkter. Metoden benytter altid det skæringspunkt med kortest afstand til punktet fra epoke 1, og dermed kan der dannes residualer, der peger den modsatte vej, hvilket også kan ses i residualplottet Bilag G. En illustration af dette kan ses i Figur 28. På figuren er MaSH illustreret ved cirklen, residualet ved r, første epoke ved den sorte linie, og deformationen ved anden epoke er illustreret med rødt. Dette vil stadig give negative residualer. Figur 28: Fejlen der opstår, når centrum af MASH et ligger indenfor overfladen af objektet i første epoke De positive residualer, der er nævnt tidligere i afsnittet, stammer fra det område af deformationen, hvor de enkelte kugler i MaSH et, kommer til at ligge på indersiden af overfladen frem for på ydersiden, og hvor det enkelte punkt ligger udenfor kuglen. Dette er illustreret i Figur

77 8 Forsøg Figur 29: Figuren viser hvordan de positive residualer opstår. Figur 30 viser en anden fejl i metoden, idet metoden forudsætter, at den linie der dannes går gennem centrum af kuglen dannet af MaSH. Dermed risikeres det, at residualet bliver tvunget i en anden retning, end det faktisk burde. På figuren er MaSH er illustreret ved cirklen, residualet ved r, første epoke ved den sorte linie, og deformationen ved anden epoke er illustreret med rødt. Figur 30: Residualet tvinges i en forkert retning Den fejl der medfører, at residualerne peger i modsat retning af hvad de burde, har i dette forsøg vist sig at fremkomme en del gange, dog ikke mere end at det let kan ses, at deformationen er sket i den samme retning, som bolden blev presset. Derimod er det sværere at vurdere, om residualerne peger de rigtige retninger, når der ses nærmere på Bilag G. Det kan dog konkluderes at metoden har opdaget deformationen. Ved at se på størrelsen af residualerne ses det at de har størrelser på op mod 10 cm. Det er vigtigt at bemærke, at det ikke er en sikker vurdering af, hvor stor en deformation der er sket, men blot størrelsen på de residualer der fremkommer, når MaSH-metoden benyttes. Det kan dog ses, at residualerne i de fleste tilfælde peger nedad, og dermed i den rigtige retning, hvorfor størrelserne også kan benyttes som et fingerpeg om, hvor dybt bolden blev presset ned i sækkestolen. 77

78 8 Forsøg Opsamling Forsøget viste at det med MaSH-metoden er muligt at påvise deformationer på et vilkårligt objekt. I forsøget blev der udført en forholdsvis stor deformation, set i lyset af at det før i projektet er påvist, at MaSH-metoden kunne påvise deformationer helt ned til 6,6 mm, det viste sig dog også, at denne nøjagtighed ikke kunne opnås, grundet de materialer sækkestolen er lavet af. Forsøget blev dog ikke udført, for at finde den mindste deformation der kan påvises med metoden, men for at finde ud af om metoden overhovedet kan anvendes på et vilkårligt objekt. Forsøget viste at metoden kan benyttes, men samtidig har projektgruppen fundet flere mangler der gør at MaSH-metoden stadig kun kan beskrives som på forsøgsbasis. Bl.a. har MaSHmetoden, den mangel at deformationens størrelse skal være kendt, hvilket projektgruppen har valgt at løse ved at benytte et kendt og ensformigt objekt til at lave deformationen, hvilket dog viste sig ikke at være tilstrækkeligt, idet der vil opstå andre deformationer end der hvor objektet benyttes. Som tidligere nævnt er de residualer der fremkommer ikke udtryk for en direkte størrelse, som et punkt har flyttet sig fra én epoke til en anden. Det skyldes at der ikke måles på de samme punkter i begge epoker, samt at MaSH-metoden ikke med sikkerhed finder de rigtige retninger og størrelser til samtlige sammenligninger. Projektgruppen mener dog, at residualplottet viser et godt billede af dette, samt at residualhistogrammet tydeligt afslører at der er sket en deformation. På trods af disse problemer er projektgruppen dog godt tilfreds med, at den udviklede metode har vist sig, at kunne vise, om der er sket en deformationen, på trods af de forbehold der er blevet stillet op. Dermed er projektgruppen også klar over, at for at denne metode skal kunne bruges til at opdage ukendte deformationer, er der et stort stykke arbejde, der mangler at blive udført. Alt i alt, er projektgruppen dog tilfreds med at have benyttet metoden til at udføre deformationsmåling. 78

79 9 Konklusion 9 Konklusion I dette kapitel konkluderes på projektet. Konklusionen vil tage stilling til, om problemformuleringen er blevet besvaret. Problemformuleringen lød således: Hvordan kan en punktsky sammenlignes med en overflademodel dannet af en anden punktsky, og kan dette anvendes til at bestemme deformationer på et vilkårligt objekt? For at kunne svare på dette, er det nødvendigt at vide: - Hvor nøjagtigt måler laserscanneren enkeltpunkter? - Hvor nøjagtigt kan en overflademodel dannes? - Hvordan kan sammenligningen mellem enkeltpunkter og overflademodellen udføres? Projektgruppen har søgt at svare på underspørgsmålene. Der blev udført et forsøg, hvor centrumskoordinater og radius til de opmålte halvkugler, blev fastlagt ved hjælp af mindste kvadraters princip. I dette forsøg kunne opnås samme koordinater som programmet Cyclone, og projektgruppen havde dermed sandsynliggjort, at Cyclone beregner centrumskoordinaterne ved hjælp af mindste kvadraters princip. På denne baggrund har projektgruppen antaget, at centrumskoordinaterne kunne betragtes som fejlfri. Herefter blev det undersøgt, med hvilken nøjagtighed, laserscanneren kunne måle enkeltpunkter. Dette blev gjort ved at indmåle en kugle med en kendt størrelse, og så bestemme residualer fra de opmålte punkter ind til den kendte kugleoverflade. Projektgruppen valgte at bruge en kugle som objekt, under den antagelse, at på en kugle vil både fejl på afstandsmåleenheden samt fejl på vinkelmåleenheden, komme til udtryk. Dette skyldes netop kuglens form, idet der blev målt ortogonalt og skråt ind på kuglen. Herved opstod desuden situationer, hvor footprintet dækkede forskelligt areal. Dermed var der taget højde for de fleste af de systematiske fejl. I analysen af resultaterne blev det klart, at der var forskel på hvilken afstand der blev målt fra. En afstand på ca. seks meter gav for korte afstande, mens en afstand på ca. 25 meter, gav for lange afstande. Projektgruppen har ikke haft tid til at undersøge dette nærmere, men har i stedet valgt at generalisere de opnåede resultater. Resultatet af forsøget er derfor, at projektgruppen antager, at laserscanneren kan indmåle enkeltpunkter, med en 3d-nøjagtighed på 2,0 mm. Projektgruppens næste forsøg skulle fastslå, hvilken nøjagtighed en overflade kunne genereres med. Igen blev data fra den indmålte kugle anvendt. Forsøget blev udført ved at sammenligne en overflade dannet af de indmålte punkter, med et beregnet punkt, på en matematisk 79

80 9 Konklusion kugle med samme parametre som den indmålte. Resultatet af forsøget er, at projektgruppen kan antage, at en overflade kan genereres med en nøjagtighed på 1 mm. Et yderligere resultat var, at der tilsyneladende var en sammenhæng mellem det areal punkterne, der blev anvendt til at bestemme den genererede kugleoverflade, dækker, og den nøjagtighed den genererede kugleoverfalde havde. Denne sammenhæng kunne tilsyneladende beskrives som: Punkterne skal dække et areal, der svarer til radius 2, hvor radius er af den kugle der søges bestemt. Dette betyder, at der er et minimumsareal der skal dækkes for at opnå et tilfredsstillende resultat, men også at det reelt set er nødvendigt at kende størrelsen, af den deformation der ønskes bestemt. For at kontrollere om denne konklusion var rigtig, blev det besluttet at udføre et tillægsforsøg, for at afdække dette spørgsmål. Tillægsforsøget blev udført, ved at gennemføre samme beregninger som i det foregående forsøg, men denne gang anvendtes data fra en scanning af hhv. en golfbold og en fodbold. Resultatet af forsøget er, at der er en sammenhæng mellem den radius der ønskes bestemt, og det areal, de punkter der anvendes til at bestemme den, dækker. Projektgruppens foreløbige konklusion var således rigtig. Det blev dog samtidig klart, at der også var en nedre grænse for, hvor små deformationer der kan måles. Dette konkluderes på baggrund af, at golfkuglen ikke var ret godt bestemt. Dette kan enten skyldes, at den udviklede metode MaSH, ikke kan bestemme deformationer på så små objekter, eller det kan skyldes, at golfkuglen ikke repræsenterede en god kugleoverflade, idet den var overstrøet med små kratere. Dette har givetvis også haft indflydelse på resultatet. Sidste forsøg der blev udført, for at kunne svare på problemformuleringen, skulle fastslå hvordan sammenligningen af enkeltpunkter og overflademodel kunne udføres. Dette blev gjort, ved at anvende den udviklede metode MaSH, på to datasæt, der begge stammede fra indmålingen af den samme kugle. Det første scan skulle forestille at være objektet inden deformation, mens anden scanning skulle forestille at være objektet efter en deformation. I og med at der ikke var sket en deformation, kunne nøjagtigheden af metoden bestemmes. Projektgruppen fandt, at resultaterne stemte overens, med det der var forventet på baggrund af de tidligere forsøg, nemlig at sammenligningen havde en nøjagtighed på ca. 2,2 mm. Projektgruppen var herefter overbevist om, at metoden kunne anvendes til at bestemme deformationer. Dog med den begrænsning, at det skulle være en kontrolleret deformation, med en størrelse der var delvis kendt. Derfor blev der udført et sidste forsøg, hvor et objekt blev målt, deformeret og herefter målt igen. Deformationen blev udført, så projektgruppen havde en ca. størrelse på denne, og dermed kunne udnytte den opnåede viden. Resultatet af forsøget var, at deformationen kunne afsløres, og der kunne udtegnes et residualplot. Dette residualplot viste dog, at der var flere punkter, der lå forkert i forhold til deformationen. Dette er et af de problemer der skal løses, hvis metoden skal anvendes praktisk. Derudover var det ikke muligt at få en egentlig størrelse for deformationen. 80

81 9 Konklusion På baggrund af de udførte forsøg, og de opnåede erfaringer mener projektgruppen at kunne svare på problemformuleringen. Projektgruppen må svare, at metoden MaSH kan anvendes til at sammenligne en punktsky, med en overflademodel dannet af en anden punktsky. Dog er der visse problemer med denne sammenligning, idet størrelsen på rundingerne på objektet, samt størrelsen på en deformation skal være kendte. Dette leder projektgruppen til svaret på anden halvdel af problemformuleringen, nemlig om metoden kan anvendes til at bestemme deformationer på et vilkårligt objekt. På nuværende tidspunkt må projektgruppen svare nej. På grund af de tidligere nævnte problemer, er det ikke muligt at måle på et vilkårligt objekt, idet dettes form i sagens natur er ukendt, og som tidligere nævnt kan have en størrelse der gør, at objektet er for lille til at blive indmålt korrekt. Projektgruppen er dog stadig af den overbevisning, at den udviklede metode, kan anvendes til deformationsmåling på vilkårlige objekter. Dette kræver dog en hel del videreudvikling, samt sammenbygning med flere andre metoder, som f.eks. målemærker på objektet. 81

82 10 Perspektivering 10 Perspektivering Dette afsnit skal samle op på løse ender i projektet, og beskrive hvordan analyser og forsøg kunne have været foretaget anderledes. Der er i projektet antaget at deformationer sker som kugleformede bevægelser, men hvad nu hvis dette ikke er tilfældet? I så fald er en del af de andre antagelser, som MaSH et er bygget op omkring også forkerte. For eksempel anvendes kugleformen til MaSH på baggrund af denne teori, og dette vil i det tilfælde at deformationer ikke er kugleformede, ikke nødvendigvis være den bedste tilpasning af den deformerede overflade. Det kan dog diskuteres, om ikke kugletilpasningen kan anvendes alligevel, når der udføres deformationsanalyse på overflader, der ikke består af plane flader, idet kuglens størrelse tilpasser sig krumningen på overfladen. I denne sammenhæng kunne der udvikles en metode, der automatisk udvælger det antal punkter der passer til krumningen på objektet i det område, der bliver modelleret af MaSH et. Det vil sige, at når overfladens krumning har en lille radius, bliver der udvalgt få punkter, og når overfladens krumning har en stor radius, bliver der udvalgt mange punkter. Dermed bliver arealet, som MaSH et bliver beregnet på baggrund af, småt, ved en lille krumningsradius. På denne måde sikres det, at selv små detaljer kan modelleres, og ikke bliver en del af en større kugle, og derved overses. I forbindelse med forsøget med sækkestolen, viste der sig en række problemer med den udviklede deformationsanalysemetode. Selvom MaSH et kan anvendes til at konstatere om der er forekommet en deformation, er det ikke bevist at residualernes retning og størrelser er overensstemmende med deformationens retning og størrelse. I forsøget med sækkestolen var problemet som beskrevet i Afsnit Resultater, at de kugler der blev dannet ikke var optimale til opgaven, og at ideen med at lade en linie gå gennem centrum af MaSH kuglen, heller ikke var ideel. For at udvikle MaSH et skal der i stedet for kuglen anvendes en anden figur som kun kan skære en linie i et punkt, så der kun findes ét entydigt resultat. Til dette er et oplagt alternativ at beregne et plan ud fra et valgt antal punkter. Ved denne metode opstår dog et problem, idet der kan findes flere forskellige måder at finde afstanden mellem punktet og planet. En mulighed er at finde den vinkelrette og derved korteste afstand, men det er ved denne metode ikke sikkert at residualvektoren har den rigtige retning. En anden mulighed er, at tage de punkter som planen beregnes fra og udjævne de punkter til et nyt punkt. Sammenligningslinien kan herved gå gennem det første punkt og det nye punkt. Residualet kommer herved til at ligge mellem punktet fra første epoke og skæringspunktet mellem planen og sammenligningslinien. En lettere forenklet udgave af denne metode, er at tage det udjævnede punkt og punktet fra første epoke, og beregne residualet som afstanden mellem disse to punkter. Ved disse metoder er det sikkert, at residualet til en vis grad får den rigtige retning, men 82

83 10 Perspektivering størrelsen er stadig usikker. Metoderne rejser endnu et problem, idet der ikke kan skelnes mellem positive og negative residualer. Alle residualer vil med disse metoder blive positive og vil dermed ikke blive normalfordelt med middelværdien nul. Residualerne vil derimod, ved en sammenligning mellem to epoker, hvorimellem der ikke er sket en deformation, fordeles således at der er mange residualer med en længde tæt på eller lig med nul. I teorien vil residualerne fordele sigt som vis i Figur 31. Figur 31: Residualerne vil fordele sig som vist i denne figur Da MaSH kun kan modellere bløde overflader, kan der for at videreudvikle MaSH, indarbejdes en metode til at genkende skarpe kanter. Metoden skal forhindre at der dannes MaSH af de punkter, der ligger tæt på en skarp kant. Der vil ved disse punkter udregnes forkerte resultater, hvis der dannes en kugle af punkter, der ligger på to eller flere overflader. En anden mulighed ved skarpe kanter er, at der indopereres en funktion, der finder kanterne og sørger for, at MaSH et kun dannes fra punkter på én overflade. Andre sammenligningsmetoder kunne også være blevet anvendt, men problemet med de metoder projektgruppen kunne finde frem til var at de kun kunne sammenligne i en retning, f.eks. z-retningen som med sammenligningen mellem TIN. Gruppen fandt dog et sammenlignings værktøj i pc-programmet Cyclone men det var for projektgruppen ikke åbenlyst, hvordan sammenligningen blev foretaget, og der kunne heller ikke trækkes resultater ud af programmet, så projektgruppen valgte ikke at se denne metode, som værende anvendelig til formålet. 83

84 10 Perspektivering Deformationsanalyse med MaSH kan kombineres med andre metoder. F.eks. kan metoden anvendes med metoder hvor der anvendes målemærker. Målemærkerne vil her afsløre, hvordan objektet deformeres generelt, mens MaSH viser hvad der sker mellem målemærkerne. På den måde vil hoveddeformationen beskrives gennem målemærkerne, mens der samtidigt gives en ide om, hvordan deformationerne mellem målemærkerne er. Der kan ved denne sammenkobling af metoder, gives en generel retning på residualerne der opstår ved MaSHmetoden, ved at se på den generelle deformation fra målemærkerne. 84

85 11 Kildeliste 11 Kildeliste [Andersen, 1990] Andersen, Ib, Valg af organisations sociologiske metoder, 1990, Forlaget Frederiksberg [Cederholm, 2000] Cederholm, Peter, Udjævning, 2000, Aalborg Universitet [Christoffersen, 2005] Christoffersen, Morten Thoft, 3d scanning technology for offshore purposes, April 2005, Offshore Center Denmark Newsletter ON/OFF 5 [Christensen et al., 2007] Christensen, Kenneth S. et al., FodEx Et program til bestemmelse af det naviculare drop og calcaneusvinklen ved hjælp af nærfotogrammetri, 2007, Aalborg Universitet [Eriksen et al., 2004] Eriksen, Poul S. og Lauritzen, Steffen L., Teknisk Måling - Statestik, 2004, Aalborg Universitet [Flatman et al., 2000] Flatman, Andrew C. et al., Laserscanning En kvalitetsvurdering, 2000, Aalborg Universitet [Jacobs, 2004] Jacobs, Geoff, What kinds of projects benefit most?, August 2004, Professional Surveyor Magazine [Jacobs, 2005 A] Jacobs, Geoff, Uses in building and architectural surveys, Juni 2005, Professional Surveyor Magazine [Jacobs, 2005 B] Jacobs, Geoff, Forensic and damage assessment surveys, November 2005, Professional Surveyor Magazine [Jacobs, 2006 A] Jacobs, Geoff, Profitable uses for marketing proposals, Januar 2006, Professional Surveyor Magazine [Jacobs, 2006 B] Jacobs, Geoff, Uses of scanning in construction and fabrication, Februar 2006, Professional Surveyor Magazine [Kaspar et al., 2004] Kaspar, Milan et al., Laser Scanning - In civil engineering and landsurveying, 2004, Forlaget VEGA 85

86 11 Kildeliste [Lindenbergh et al., 2005] Lindenbergh, Roderik et al., A statistical deformation analysis of two epochs of terrestrial laser data of a lock, 2005, Delft University og Technology [Luhmann et al., 2006] Luhmann, Thomas et al., Close Range Photogrammetry, 2006, Forlaget Whittles 2006 [Mortensen et al., 2005] Mortensen, Anker H. et al., Volumenberegning af sand i laddet af lastbil vha. laserscanning, 2005, Aalborg Universitet [Nielsen, 2006] Nielsen, Gregers, Anvendelsesmuligheder i laserscanningsdata, 2006, Stads- og havneingeniøren nr [Schäfer et al., 2004] Schäfer, Thomas et al., Deformation Measurement Using Terrestrial Laser Scanning at the Hydropower Station of Gabč íkovo, 2004, INGEO 2004 [Song et al., 2002] Song, Jeong-Heon et al., Assessing the possibility of land-cover classification using LiDAR intensity data, 2002, Seoul National University [Van Gosliga et al., 2006] Van Gosliga, Rinske et al., Deformation Analysis of a bored tunnel by means of terrestrial laser scanning, 2006, [ 05/ [ A] htm, 07/ [ B] spec.pdf, 07/ [ A] Station.JPG, 28/ [ B] 28/

87 11 Kildeliste [ 07/ [ 05/

88 12 Bilagsliste 12 Bilagsliste Bilag A - Teknik (Udskrevet) Bilag B - Målebog...(Udskrevet) Bilag C - Rå data Bilag D - Data til forsøg Bilag E - MatLAB scripts...(udskrevet) Bilag F - Test af Cyclone...(Udskrevet) Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1. (Udskrevet) Bilag H - Histogrammer til Forsøg 2... (Udskrevet) Bilag I - HDS 3000 Tech spec Bilag J - Residualplot af deformeret sækkestol 88

89 Bilag A Teknik

90 Bilag A - Teknik Bilag A - Teknik Teknik Dette bilag skal beskrive teknikken bag laserscanning. Teknikken bliver beskrevet bredt idet der behandles emner omkring scanneres indre opbygning og enheder, emner om targets, der anvendes til sammenknytning af scans, samt sammenknytning. Endelig behandles emnerne fejl og modellering. Laserscanneren kan beskrives som en automatiseret totalstation, der indsamler koordinater til en række punkter på objekter i en afstand mellem m fra instrumentet. [Luhmann et al., 2006, s. 178] Til hvert punkt måles afstanden fra laserscanneren ved hjælp af laser, der reflekteres på objektet. Det reflekterede laserlys opfanges af scannerens modtagerenhed og opmålingen er foretaget. Til hver afstandsmåling registreres horisontalvinkel og vertikalvinkel, således at koordinaterne til punktet kan udregnes. Punkterne fastlægges af scanneren i et koordinatsystem som defineres med (0,0,0) i scannerens centrum og 0-retning sammenfaldende med scannerens sigte i opstillingstidspunktet. Udover afstand kan nogle laserscannere måle intensiteten på det lys der reflekteres fra objektet. Dette kan anvendes til at bestemme hvorvidt et objekt består af forskellige materialer. Dette kan gøres da, f.eks. gule og røde mursten ikke reflekterer laserlyset på samme måde. Dette kan anvendes til at frasortere data, der er uønsket i et datasæt. F.eks. hvis der er foretaget en scanning af en murstensvæg, og kun stenene ønskes registreret, kan fugerne frasorteres på baggrund af den intensitetsgrad der er registreret. Der kan altså skelnes mellem forskellige materialer, men det er nødvendigt at vide, hvilken intensitetsgrad det materiale der ønskes frasorteret, bliver reflekteret med. Der kan ikke opstilles absolutte størrelser for dette, da refleksionen ændrer sig, alt efter afstand, vejr, lysforhold og materialets tilstand. [Song et al., 2002, s. 1] Laser Laserscanneren anvender som navnet antyder laser til at indsamle koordinaterne til de punkter, der scannes. Ordet laser er en forkortelse af begrebet Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, hvilket betyder "Lys-forstærkning ved stimuleret udsendelse af stråling". Laserlyset fremkommer ved at udsætte et medie, i form af et rør, for stråling, som får atomerne i mediet til at udsende lys. Dette lys ensrettes ved at lade det ramme spejle i enden af røret. I den ene ende kan lyset undslippe i en stråle. Denne stråle består af lysbølger med samme bølgelængde og næsten samme retning. Selvom laserlyset er blevet ensrettet i røret vil de ikke alle sammen have helt den samme udbredelsesvinkel, lysstrålen vil i virkeligheden være en meget spids kegle. Denne kegleform bevirker at laserstrålen får en større diameter, 1

91 Bilag A - Teknik når den observeres længere væk fra kilden. Når laserstrålen rammer et objekt på lang afstand vil der fremkomme et større footprint end når den rammer et objekt på kort afstand. Footprintet er den lysplet laseren afkaster på objektet. Scannertyper Der er to forskellige typer af laserscannere: - Kamerascannere - Panoramascannere Figur 1: Laserstrålen er let kegleformet Kamerascanneren stilles op og scanner det område den sigter imod. Kamerascannere scanner typisk 40 x 40. Panoramascanneren kan rotere 360 omkring vertikalaksen og et sted mellem 80 og 270 omkring vertikalaksen. Panoramascanneren kan således scanne så godt som et helt rum, så det ikke er nødvendigt at sammenstykke en opmåling af flere scans. Opmålingsområdet kan være forskelligt fra fabrikant til fabrikant og fra model til model. Figur 2: De to skannertyper. Kamerascanner til venstre og panoramascanner til venstre [Kaspar et al., 2004 s. 15] Afstandsmåleenheder Der findes to afstandsmålemetoder når der tales om laserscanning. Den ene måler tidsforskellen fra laseren udsender strålen og til modtageren opfanger refleksionen. Denne metode kaldes time of flight. Princippet udnytter at laserlys udbreder sig med lysets hastighed. Laser- 2

92 Bilag A - Teknik scanneren måler tiden fra laserstrålen forlader instrumentet, til refleksionen opfanges af modtageren igen. Derved kan afstanden beregnes. Metoden kræver høj præcision af det ur der måler tiden, en lille fejlmåling kan give store afvigelser i afstanden, eksempelvis tager det blot 0,1 μs at tilbagelægge ca. 300 m. Den anden metode til afstandsmåling er fasesammenligning, hvor laserscanneren tæller antallet af bølger, der udsendes inden refleksionen modtages. Når bølgelængden kendes, kan afstanden til objektet findes, ved at multiplicere bølgelænden med antallet af bølger. Den sidste bølge der er i gang med at blive udsendt, bliver sammenlignet med den indkommende bølge, så der nøjagtigt kan registreres, hvor på den sidste bølge modtageren har registreret den indkommende bølge. Denne metode kræver, at alle bølger der udsendes, også bliver modtaget, idet hver bølge repræsenterer en afstand. Forsvinder en bølge under opmålingen, vil afstanden til objektet således blive målt for kort. Figur 3: Den indgående og den udgående bølge sammenlignes Spejle Laserscanneren udsender laserstrålen mod et sæt roterende spejle, som bevæger sig i horisontalretning og vertikalretning. Spejlene reflekterer strålen, så den kastes på objektet. Strålen reflekteres i et net af punkter, hvor brugeren bestemmer punkttætheden. Spejlene kan kun rotere i en begrænset vinkel, så når der anvendes en panoramascanner, vil hele scannerhovedet rotere omkring vertikalaksen, når et objekt er større end den vinkel. 3

93 Bilag A - Teknik Figur 4: Det roterende spejl reflekterer strålen [Kaspar et al., 2004, s. 8]. Der findes andre metoder til udbrede laserstrålen. Én er at lade strålen ramme et spejlprisme som roterer i en retning omkring en akse. [Kaspar et al., 2004, s. 8-10] Spejlenes rotationsmønster er afgørende for punktmønsteret der vil afspejles på objektet. Der findes forskellige punktmønstre, nogle er kvadratiske, mens andre er rombeformede. Targets Når et scan skal orienteres i et koordinatsystem, eller når flere scans skal knyttes sammen, anvendes targets. Targets er ofte skiver af retrorefleksivt materiale, som reflekterer laserstrålen godt. Targets har standarddimensioner, som laserscanneren kan genkende, således at disse bliver opmålt med høj nøjagtighed, og koordinaten til centrum af et target, kan udregnes med meget høj nøjagtighed. De targets projektgruppen har arbejdet med er Leicas. Leicas targets har standardmål, hvor sidelængden er 3 for kvadratiske targets, og diameteren er 6 for cirkulære targets, disse to størrelser har forskellige fordele i forhold til placering, afstand, punkttæthed mv. [ 4

94 Bilag A - Teknik Figur 5: Leica HDS targets 3 kvadratisk target til venstre og 6 cirkulært target til højre [ geosystems.com] Ud over de refleksive skiver anvender Leica også sfæretargets. Sfæretarget er halvkugleformede, og har en diameter på 6. Laserscannerens brugerflade Cyclone kan ud fra et finscan af sfæretargetet, og oplysningen at diameter på target er 6, beregne centrumskoordinaten hertil meget nøjagtigt. Koordinatsættet til sfærens centrum kan nu anvendes til at orientere scannet. Sammenknytning Når et eller flere scans skal knyttes sammen, anvendes ofte targets. De scans der ønskes sammenknyttede, kan transformeres sammen, såfremt der er indmålt nogle fælles targets. Targets kan ligeledes anvendes til at knytte scans til et geografisk koordinatsystem. Hvis targets er målt ind i det ønskede koordinatsystem, kan scannet transformeres ind i dette. Forskellige scans kan også sammenknyttes ved hjælp af geometrien i de forskellige scans. En jernbjælke kan f.eks. knyttes sammen af flere scans, ved at bruge indmålte bolte og nitter som sammenknytningspunkter. Uanset hvilken sammenknytningsmetode der anvendes, er det vigtigt at geometrien i sammenknytningspunkterne er god. Det vil sige at sammenknytningen ikke kan lade sig gøre, hvis f.eks. alle sammenknytningspunkterne ligger på en lige linie. Fejl Ligesom når der opmåles med totalstation, forekommer der fejl, når en opmåling foretages med en scanner. Disse fejl opstår i forskellige dele af opmålingsprocessen. De fejl der forekommer i afstandsmåleenheden er blandt andre: 5

95 Bilag A - Teknik - En laserstråle kan reflekteres på et objekt således, at den fortsætter videre til et andet objekt, som reflekter laserstrålen tilbage til det første objekt, og derfra tilbage til scanneren. Den målte afstand vil herved blive længere end den sande afstand, og punktet vil fremstå længere væk fra scanneren. Denne fejl kaldes multipath, og den er illustreret ved Figur 6 Figur 6: Multipath, den grønne prik repræsenterer det registrerede punkt - Når der opmåles hjørner og kanter vil laserstrålens størrelse spille ind på måleresultatet. Hvis strålens footprint rammer hjørnet, vil afstanden blive en mellemting mellem afstandene der er mellem scanneren og det areal der dækkes af footprintet. Afstanden kan herved måles for kort eller for lang i forhold til virkeligheden, se Figur 7. Denne fejl kan reduceres, ved at fabrikanten minimerer laserstrålens diameter. Figur 7: Afstanden til objektet måles forket ved hjørneopmåling, de grønne prikker repræsenterer de registrerede punkter 6

96 Bilag A - Teknik - Der kan også forekomme fejl ved måling af forskellige materialer. Dette problem opstår, fordi forskellige materialer ikke reflekterer laserlyset ens. En blød overflade vil således absorbere en del af en laserstråle, og kun en del af signalet vil derfor reflekteres til modtageren. - En anden fejl der knytter sig til refleksion og absorbering, afhænger af objektets farve, idet en sort overlade vil absorbere en del af laserlyset, og det returnerede signal vil være forringet, i forhold til hvis der blev målt på en hvid overflade. I Tabel 1 kan refleksionen fra forskellige materialer med forskellige farver ses. Materiale Refleksion/ % Hvidt papir op til 100 % Bearbejdet træ (fyr, rent, tørt) 94 % Sne % Hvidt Murværk 85 % Kalksten, ler op til 75 % Avispapir med tryk 69 % Løvtræer typisk 60 % Nåletræer typisk 30 % Strandsand, nøgne arealer i ørken typisk 50 % Beton, glat 24 % Asfalt med småsten 17 % Lava 8 % Sort neopren 5 % Tabel 1: Refleksionen fra forskellige materialer [Kaspar et al., 2004, s.17] Mængden af reflekteret laserlys har indvirkning på hvor nøjagtigt en afstand bliver målt. Hvis modtagerenheden modtager 100 % af det udsendte laserlys, bliver afstanden målt med højere nøjagtighed, end hvis der kun modtages 5 %, fordi der er mere materiale at beregne afstanden fra. Modellering Er der foretaget et scan af en figur, der er defineret af en matematisk formel, kan objektet modelleres så den figur, der passer bedst til punktskyen, udregnes. Bliver der f.eks. scannet en flade, kan et program beregne fladen ud fra de målte punkter. Programmet der anvendes til at modellere data i dette projekt, hedder Cyclone, og er tilpasset Leicas laserscannere. Programmet kan blandt andet modellere overflader, der er beskrevet ved en matematisk ligning, som f.eks. kugler, planer, cylindre og kegler. Programmet kan også generere overflader direkte fra punkterne. Dette sker ved, at der bliver udregnet et TIN (Triangulated irregular network). Cyclone er ligeledes Leica laserscannerens brugerflade. Det er her igennem, scanneren styres i scanneforløbet. 7

97 Bilag A - Teknik Opsamling Gennem dette afsnit er nogle af hovedbegreberne vedrørende laserscanning blevet gennemgået. Der er blevet kastet nogle begreber op i luften, og for at konkretisere nogle af de begreber vil det følgende tabel, Tabel 2, præsentere en række teknisk data for nogle forskellige laserscannere. Projektgruppen har i projektperioden haft adgang til Leica CYRAX HDS Specifikationer til denne findes ligeledes i tabellen. Zoller & Fröhlich Riegl LMS Leica CYRAX Leica CYRAX HDS Imager 5003 Z360i Instrumenttype Panoramascanner Panoramascanner Kamerascanner Panoramascanner Afstandsmåle enhed Fasesammenligning Time-of-flight Time-of-flight Time-of-flight Laser Bølgelængde 780 nm Nær Infrarød 532 nm 532 nm Effekt 23 mw (klasse 3R) klasse 1 1 mw (klasse 3R) klasse 3R Strålediameter 3-4 mm ved 10 m 7mm (0,25 mrad) 6 mm ved 50 m 6 mm ved 50 m Opløsning 3,5 mm ved 10 m 0,4 mm ved 10 m 0,1 mm ved 10 m Område Afstand 0,4 til 25,2 m 2 til 200 m 1,5 til 100 m 1 til 100 m Horisontalt Vertikalt Punkter per sekund Nøjagtighed Afstand ±3 mm + 2 mm/m ±5 mm ±4 mm ±4 mm Vinkel ±0,01 ±0,01 ±0,003 ±0,003 Koordinat ±5 mm/25m ±6 mm/50m ±6 mm/1 til 50 m Vægt 13 kg + 3 kg (holder) 13 kg 20,5 kg 16 kg + 12 kg batteri Ekstra egenskaber registrerer intensitetsværdier registrerer intensitetsværdier, registrerer intensitetsværdier, Integreret hø- integreret videokamerjopløsningskamera registrerer intensitetsværdier, integreret videokamera Tabel 2: Viser specifikationer for fire laserscannere [Luhmann et al., 2006, s. 178],[Bilag H] 8

98 Bilag B Målebog

99 Målebog Dato: Scanner: Cyrus 3000 Software: Cyclone 5.5 Projekt: Afstand til target: Kugle m ScanWorld Opløsning Target ID Note Udtrukne filer SW 1 1x1 mm 41 SW 2 1x1 cm 42 kg1sw2_cm.xyz SW 3 1x1 cm 43 kg1sw3_cm.xyz SW 4 1x1 cm 44 kg1sw4_cm.xyz SW 5 1x1 cm 45 kg1sw5_cm.xyz SW 6 1x1 cm 46 kg1sw6.xyz SW 7 1x1 mm 47 kg1sw7_mm.xyz SW 8 1x1 mm 48 på 50 meter (prøve) kg1sw8_mm.xyz SW 9 1x1 mm 49 kg1sw9_mm.xyz SW 10 1x1 mm 50 kg1sw10_mm.xyz SW 11 1x1 mm 51 SW 12 1x1 mm 52 SW 13 1x1 mm 53 SW 14 1x1 mm 54 SW 15 1x1 mm 55 SW 16 1x1 mm 56 SW 17 1x1 cm 57 SW 18 1x1 cm 58 SW 19 1x1 cm 59 SW 20 1x1 cm 60 SW 21 1x1 cm 61 SW 22 48x44 mm 62 prøve SW 23 2x2 cm 63 SW 24 33x33 mm 64

100 Projekt: Kugle 2 Afstand til target: 28 m ScanWorld Opløsning Target ID Note Udtrukne filer SW 1 1x1 cm Flere scans SW 2 1x1 cm Flere scans SW 3 1x1 cm 100 kg2sw3_cm.xyz SW 4 1x1 cm 101 kg2sw4_cm.xyz SW 5 1x1 cm 102 kg2sw5_cm.xyz SW 6 1x1 cm 103 kg2sw6_cm.xyz SW 7 1x1 cm 104 SW 8 1x1 cm 105 SW 9 1x1 cm 106 SW 10 1x1 cm 107 kg2sw10.xyz SW 11 1x1 cm 108 Mangler i data SW 12 1x1 cm 109 SW 20 1x1 mm 110 kg2sw20_mm.xyz SW 21 1x1 mm 111 kg2sw21_mm.xyz SW 22 1x1 mm 112 kg2sw22_mm.xyz SW 23 1x1 mm 113 kg2sw23_mm.xyz SW 24 1x1 mm 114 SW 25 1x1 mm 115 SW 26 1x1 mm 116 SW 27 1x1 mm 117 SW 28 1x1 mm 118 SW 29 1x1 mm 119

101 Projekt: Kugle 3 Afstand fra target: ca. 25 m ScanWorld Opløsning Target ID Note Udtrukne filer SW 1 1x1 mm obj. Flyttet + scanner slukket Projekt: Afstand fra target: sækken ca. 6 m ScanWorld Opløsning Target ID Note Udtrukne filer SW 1 10x10 cm sæk1.xyz og sæk1red.xyz SW 2 1x1 cm sæk2.xyz SW 3 1x1 cm sæk3def.xyz SW 4 1x1 cm sæk4def.xyz SW 5 1x1 cm sæk5defmeget.xyz SW 6 1x1 cm sæk6defmeget.xyz Projekt: Afstand fra target: Forsøg 2 - Test ca. 6 m ScanWorld Opløsning Target ID Note Udtrukne filer SW 1 Ingen data SW 2 1x1 mm Golfbold1_mm.xyz SW 2-1 1x1 cm Golfbold1_cm.xyz SW 3 1x1 mm Fodbold1_mm.xyz SW 3-1 1x1 cm Fodbold1_cm.xyz SW 4 1x1 mm SW 4-1 1x1 cm SW 5 1x1 mm SW 5-1 1x1 cm

102 Bilag E MatLAB scripts

103 :50 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Cyclone_test.m 1 of 3 %Dette script forsøger at beregne centrum til en kugle og residualer mellem %de opmålte punkter og overfladen af den kugle hvis centrum der er blevet %beregnet. Observationerne er foretaget af et laser-target og opmålt med %laserscanner. Nævnte target er en halvkugle med kendt radius på 7.62 cm. %Scriptet tager udgangspunkt i en samtale med Jens Juhl hvor denne teori %blev diskuteret. %Centrumskoordinterne til halvkuglen, beregnet af cyclone. %x0 = ; %y0 = ; %z0 = ; %Kuglens radius er fra leica opgivet til: %r = ; clear all clc %Koordinaterne til kuglens centrum kaldes x0, y0 og z0. Foreløbige koordinater %til disse sættes, til et punkt, væk fra det rigtige: x0 = 30; y0 = 15; z0 = -3; %Samme gøres med r: r = 1.00; %Koordinaterne til det i'te opmålte punkt kaldes x_i, y_i og z_i, og kommer %fra observationsfilen. Der arbejdes i første omgang med fire forskellige %observationsfiler, som kan ses nedenfor. Yderligere filer kan køres efter %behov, blot nedenstående sætninger, der går igen for de enkelte filer, %ligeledes skrives for nye observationsfiler. %Først loades en af observationsfilerne: load 'kg2sw10.xyz' % load 'kg2sw20_mm.xyz' % load 'kg1sw4_cm.xyz' % load 'kg1sw10_mm.xyz' %Herefter sættes antallet af rækker (m) og søjler (n), og observationerne %sættes i vektorer, hhv. x, y og z: [m,n]=size(kg2sw10); x=kg2sw10(:,1); y=kg2sw10(:,2); z=kg2sw10(:,3); % [m,n]=size(kg2sw20_mm); % x=kg2sw20_mm(:,1); % y=kg2sw20_mm(:,2); % z=kg2sw20_mm(:,3); % [m,n]=size(kg1sw4_cm);

104 :50 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Cyclone_test.m 2 of 3 % x=kg1sw4_cm(:,1); % y=kg1sw4_cm(:,2); % z=kg1sw4_cm(:,3); % [m,n]=size(kg1sw10_mm); % x=kg1sw10_mm(:,1); % y=kg1sw10_mm(:,2); % z=kg1sw10_mm(:,3); %Udjævningen tager udgangspunkt i kuglens ligning, og er en omskrivning af %denne. Det er hensigten, at når denne er omskrevet, og der udføres en %udjævning efter mindste kvadraters princip, skal resultatet være %centrumskoordinaterne og radius, til den opmålte kugle. %Ligning for kuglen: %r^2 = (x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 %Hvilket laves om til: %Nul = (x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 - r^2 %Hvis det hele ganges ud, fås: %Nul1 = (x0^2-2*x(i)*x0+x(i)^2)+(y0^2-2*y(i)*y0+y(i)^2)+(z0^2-2*z(i)*z0+z(i)^2)-r^2 %Hvor: %r = radius %x0, y0 og z0 er centrumskoordinaterne til halvkuglen (ukendte) %og x, y, og z er koordinater til de opmålte punkter (kendte). %Da A matricens søjler består af differentialkvotienterne af r, x0, y0 og %z0 i nævnte rækkefølge, bliver disse udregnet: %Nul1 partielt differentieret i forhold til r: %dr = -2*r; %dx0 = 2*x0-2*x; %dy0 = 2*y0-2*y; %dy0 = 2*y0-2*z; %Disse beregnes for alle obervationer vha. en løkke. I samme løkke %opstilles A, der indeholder elementerne dr, dx0, dy0 og dz0, for hver i'te %observation. I samme løkke laves desuden observationsmatricen b_obs: for t = 1:20 A = zeros(m,4); b_obs = zeros(m,1); for i = 1:m; d_x0 = [2*x0 - (2*x(i))]; d_y0 = [2*y0 - (2*y(i))]; d_z0 = [2*z0 - (2*z(i))]; d_r = [-2*r];

105 :50 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Cyclone_test.m 3 of 3 A(i,:) = [d_r d_x0 d_y0 d_z0]; %Nedenstående programlinier er med som test. Anvendes ikke. %[afled,f0] = numafl('(x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 - r^2','r',r,'x0', x0,'y0',y0,'z0',z0,'x',x(i),'y',y(i),'z',z(i),0.001); %afled(1:4) %f0 end b_obs(i) = (x0-x(i))^2+(y0-y(i))^2+(z0-z(i))^2 - r^2; %Da A og observationsmatricen b_obs nu er opstillet, fortsættes med %udjævningen. %Normalligningerne opstilles: N = A'*A; %Løsningen er konvergeret når x1 og A'Cb (G) er meget små. %Når en løkke er kørt igennem, skal de foreløbige elementer opdateres med %det beregnede. I dette tilfælde: x0, y0, z0 og r. Beregningen foretages igen, %indtil løsningen er konvergeret. %Koordinattilvæksterne. Når disse er små, er løsningen konvergeret: x1 = (A'*A)^-1*A'*b_obs; %residualerne res = A*x1-b_obs; %G skal ligesom x1 være lille. G = A'*b_obs; %Her opdateres de forløbige koordinater: r = r - x1(1); x0 = x0 - x1(2); y0 = y0 - x1(3); z0 = z0 - x1(4); S1 = [r x0 y0 z0]; end S1 %Som en ekstra kontrol af det beregnede, anvendes scriptet kuglefit.m %udviklet af Peter Cederholm. Kuglefit.m beregner, ved hjælp af udjævning, %radius og centrumskoordinater til en kugle, på baggrund af observationer %på kugleoverfladen. [xc,yc,zc,r,kov,res] = kuglefit([x;y;z],eye(3*m))

106 :50 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\7 sem...\forsog1.m 1 of 2 % Dette script beregner med hvilken nøjagtighed laserscanneren indmåler % enkeltpunkter. Spredningen på de indmålte punkter beregnes. % Dette gøres ved at finde afstanden fra hvert indmålt punkt til centrum af kuglen, % og derefter finde residualer som differencen mellem den beregnede afstand og den kendte radius. % Herefter kan spredningen på de indmålte punkter beregnes clc clear all % Først hentes de indmålte koordinaterne fra Cyclone ind som en matrix, med % x,y,z-koordinater i hhv og 3. søjle: load 'kg2sw6_cm.xyz' [m,n]=size(kg2sw6_cm) x=kg2sw6_cm(:,1); y=kg2sw6_cm(:,2); z=kg2sw6_cm(:,3); % Herunder er centrumskoordinaterne ved hhv. opstilling 1 og 2 opstillet, kun % den ene skal derfor benyttes. % Centrumskoordinater til kuglen v. afs=6m % a=1.620; % b=6.102; % c=-0.079; % Centrumskoordinater til kuglen v. afs=25m x0=25.762; y0=11.249; z0=-0.774; % Radius (m) radius=0.0762; % Hermed kan residualerne bestemmes sum=0; i=0; while i<m i=i+1; residual=sqrt((x0-x(i))^2+(y0-y(i))^2+(z0-z(i))^2)-(radius); test(i)=residual; end u=max(test) y=min(test) % Endelig kan spredningen på enkeltpunkterne beregnes: Gns=mean(test) spr=std(test) % I vores tilfælde benytter vi også en lidt anden metode til at finde % spredningen, jf. rapporten. sum=0; for i=1:m sum=sum+test(i)^2; end

107 :50 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\7 sem...\forsog1.m 2 of 2 spredning=sqrt(sum/m) % For at illustrere fordelingen kan der laves histogram og normplot histfit(test,20) figure normplot(test) %************************************************************************* %Programlinier vedr. OUTPUT res=fopen('test_out.txt', 'w' ); %Output-fil åbnes/overskrives %residualerne skrives i en output-fil fprintf(res, '%4.4f\r\n',test); fprintf(res, '\r\n'); fclose(res); %Output-filen lukkes

108 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Forsog2_MaSH.m 1 of 6 % Dette script udregner forskellen mellem to punktskyer, efter metoden % MaSH, som projektgruppen 07ms01 ved AAU har udviklet på efterårssemestret % % Det er for at køre dette script nødvendigt at have funktionen % intersectlinesphere.m % Scriptet benytter to indputfiler: % Epoke1.xyz % Epoke2.xyz % Epoke1.xyz indeholder koordinater til en laserscanning til første epoke, % mens Epoke2.xyz indehlder koordinater til en laserscanning af det samme % opjekt i samme koordinatsystem til epoke2. % punkter kan ændres, alt efter hvor mange punkter der vurderes nødvendige % for at opnås et tilfredsstillende resultat. På baggrund af de udvalgte % fremkommer et residual. Denne procedure bliver gentaget for hvert af % det kan ses hvor på kuglen de største residualer fremkommer. close all clear all clc %antal punkter til udjævningen ant = 50; %Her hentes de to filer der skal bruges som input, filerne skal hedde %Epoke1.xyz og Epoke2.xyz. load 'epoke1.xyz' [o,p] = size(epoke1); s = epoke1; load 'epoke2.xyz' [m,n]=size(epoke2); d = epoke2; % Der opstilles en række tomme matricer, der skal bruges i det det senere % forløb S = []; ils = []; res2 = []; res4 = []; j = 0; % For at kunne Lave et MaSH er det nøvendigt at tage eet punkt ud af filen

109 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Forsog2_MaSH.m 2 of 6 % epoke1.xyz hvorefter det nærmeste antal punkter fra filen epoke2.xyz, % dette antal er tidligere specifiseret som variablen "ant". % Dette gøret ved først at udtage det første punkt fra filen epoke1.xyz, % herefter finde afstande til alle andere punkter i filen epoke2.xyz, ved % pythagoras: % afs^2 = (x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2 % Disse indsættes i matricen fra filen epoke2.xyz, hvorefter denne bliver % sorteret efter størrelsen på afstanden. Det tidligere antal bliver % herefter udtaget som de første punkter i denne matrice. % Herefter bliver der udregnet en kugle på baggrund af disse, til dette er % anvendt et tidligere benyttet script, som er beskrevet senere. Ud af % denne del kommer parametrene til kuglen. % Dette bliver udført lige så mange gange som der er punkter i filen % epoke1.xyz, dermed fremkommer der en kugle for hvert punkt i filen % epoke1.xyz. Parametrene til disse kugler bliver opsamlet i en % matrice, der kaldes S. while j < o; j = j+1; afs = []; i = 0; while i < m; i = i+1; end % Afstanden^2 mellem de to punkter beregnes afs_ny = ((s(j,1)-d(i,1))^2+(s(j,2)-d(i,2))^2+(s(j,3)-d(i,3))^2); % Afstanden sættes ind i en matrix sammen med koordinatet til det % enkelte punkt afs = [afs; afs_ny d(i,1) d(i,2) d(i,3)]; % Afs sorteres efter størrelsen på afstanden sorteret = sortrows(afs, 1); % Et antal punkter, der ligger tættest på puktet fra epoke1.xyz punktet, % sættes sammen til en matrix dem = sorteret(1:ant, 2:4); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Bedste kugle%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Denne del af scriptet er næsten mangen til den fra Bilag A dog er % indputdataene nogle andre. Scriptet forsøger at beregne centrum til % en kugle og residualer mellem de opmålte punkter og overfladen af den % kugle hvis centrum der er blevet beregnet. % Delen tager udgangspunkt i en samtale med Jens Juhl hvor denne teori % blev diskuteret. % Koordinaterne til kuglens centrum kaldes x0, y0 og z0. Foreløbige

110 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Forsog2_MaSH.m 3 of 6 % koordinater til disse sættes, til et punkt, væk fra det rigtige: x0 = 30; y0 = 15; z0 = -3; % Samme gøres med r: r = 1.00; % Koordinaterne til det i'te opmålte punkt kaldes x_i, y_i og z_i, og % kommer fra observationsmatricen dem. % Her sættes antallet af rækker (m) og søjler (n), og observationerne % sættes i vektorer, hhv. x, y og z: [k,l]=size(dem); x=dem(:,1); y=dem(:,2); z=dem(:,3); % Udjævningen tager udgangspunkt i kuglens ligning, og er en % omskrivning af denne. Det er hensigten, at når denne er omskrevet, og % der udføres en udjævning efter mindste kvadraters princip, skal % resultatet være centrumskoordinaterne og radius, til den opmålte % kugle. % Ligning for kuglen: % r^2 = (x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 % Hvilket laves om til: % Nul = (x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 - r^2 % Hvis det hele ganges ud, fås: % Nul1 = (x0^2-2*x(i)*x0+x(i)^2)+(y0^2-2*y(i)*y0+y(i)^2)+ % (z0^2-2*z(i)*z0+z(i)^2)-r^2 % Hvor: % r = radius % x0, y0 og z0 er centrumskoordinaterne til halvkuglen (ukendte) % og x, y, og z er koordinater til de opmålte punkter (kendte). % Da A matricens søjler består af differentialkvotienterne af r, x0, y0 % og z0 i nævnte rækkefølge, bliver disse udregnet: % Nul1 partielt differentieret i forhold til r: % dr = -2*r; % dx0 = 2*x0-2*x; % dy0 = 2*y0-2*y; % dz0 = 2*z0-2*z; % Disse beregnes for alle obervationer vha. en løkke. I samme løkke % opstilles A, der indeholder elementerne dr, dx0, dy0 og dz0, for hver % i'te observation. I samme løkke laves desuden observationsmatricen % b_obs:

111 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Forsog2_MaSH.m 4 of 6 for t = 1:20 A = zeros(k,4); b_obs = zeros(k,1); for i = 1:k; d_x0 = [2*x0 - (2*x(i))]; d_y0 = [2*y0 - (2*y(i))]; d_z0 = [2*z0 - (2*z(i))]; d_r = [-2*r]; end A(i,:) = [d_r d_x0 d_y0 d_z0]; % Nedenstående programlinier er med som test. Anvendes ikke. % [afled,f0] = numafl('(x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 - r^2', % 'r',r,'x0',x0,'y0',y0,'z0',z0,'x',x(i),'y',y(i), % 'z',z(i),0.001); % afled(1:4) % f0 b_obs(i) = (x0-x(i))^2+(y0-y(i))^2+(z0-z(i))^2 - r^2; % Da A og observationsmatricen b_obs nu er opstillet, fortsættes med % udjævningen. % Normalligningerne opstilles: N = A'*A; % Løsningen er konvergeret når x1 og A'Cb (G) er meget små. % Når en løkke er kørt igennem, skal de foreløbige elementer opdateres % med det beregnede. I dette tilfælde: x0, y0, z0 og r. Beregningen % foretages igen, indtil løsningen er konvergeret. % Koordinattilvæksterne. Når disse er små, er løsningen konvergeret: x1 = (A'*A)^-1*A'*b_obs; % residualerne res = A*x1-b_obs; % G skal ligesom x1 være lille. G = A'*b_obs; % Her opdateres de forløbige koordinater: r = r - x1(1); x0 = x0 - x1(2); y0 = y0 - x1(3); z0 = z0 - x1(4); S1 = [r x0 y0 z0]; end %%%%%%%%%%%%%%% her slutter scriptet for udjævningen af en kugle %%%%%%%%%%

112 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Forsog2_MaSH.m 5 of 6 end S = [S; S1]; %Alle centrumskoordinater og radier samles i een matrix % Residualet til det enkelte punkt udregnes som forskellen mellem % kugleoverfladen og punktet. Dette regnes som forskellen mellem afstanten % mellem punktet og kuglenscentrum og kuglens radius. % Dette gøres ved en løkke, der udregner et residual for hvert punkt i % filen epoke1.xyz. % Derudover bliverskærringspunktet mellem linien mellem punktet og kuglens % centrum og kugleoverfleden. Dette gøres ved funktionen IntersectLine % Sphere, der skal have følgende parametre som indput: % LINE: [xl yl zl dx dy dz] % SPHERE: [x0 y0 z0 r] % hvor, xl, yl og zl er et punkt på linien % dx, dy og dz er liniens retningsvektor % x0 y0 z0 er kuglens centrum % r er kuglens ratius % Funktionen intersectlinesphere kaldes på følgende måde: % point = intersectlinesphere(line, sphere) % Hvorefter outputet er koordinatat til skærringspunktet. % Slutteligt regnes regnes der residualer på baggrund af koordinatet til % punkterne og koordinater til skærringspunktet mellem kugle og linie. % Dette skulle gerne have den numeriske værdi af det før regnede residual. % Hvis ikke er der fejl i scriptet. j = 0; while j < o j = j+1; % Residualerne regnes ud som en forskel mellem den beregende afstand % mellem punktet og centrum og radius på kuglen. res1 = sqrt((s(j,2)-s(j,1))^2+(s(j,3)-s(j,2))^2+(s(j,4)-s(j,3))^2)+s(j,1); res2 = [res2; res1]; % Skærringspunktet mellem linien mellem punktet og kuglens centrum og % kuglens overflade udregnes. ils1 = intersectlinesphere([s(j,2) S(j,3) S(j,4) S(j,2)-s(j,1) S(j,3)-s(j,2) S(j,4) -s(j,3)], [S(j,2) S(j,3) S(j,4) -S(j,1)]); ils = [ils; ils1(1,:)]; end % Residualerne regnes ud som afstanden mellem punktet fra epoke1.xyz og % det førnævnet skærringspunkt. res3 = sqrt((ils(j,1)-s(j,1))^2+(ils(j,2)-s(j,2))^2+(ils(j,3)-s(j,3))^2); res4 = [res4; res3]; % Alle data samles i een matrice, denne matrix indeholder:

113 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\...\Forsog2_MaSH.m 6 of 6 % res2, res4, koordinaterne fra epoke1, koordinaterne fra skæærinspunktet % mellem linie og kugle. alt = [res2 res4 s ils]; % Residualernes middelværdi findes mean_res = mean(alt(:,1)) % Spredningen på residualerne findes spr_res = std(alt(:,1)) % Min og max værdier findes for residualerne min_res = min(alt(:,1)) max_res = max(alt(:,1)) % For at kunne finde ud af om MaSH danner de rigtige kugler udskrives % ligeledes middelværdien til kuglerne samt spredningen på kuglernes radier mean_rad = mean(-s(:,1)) spr_rad = std(s(:,1)) % For at få et overblik over residualerne laves der et residualplot ud fra % de to koordinatsæt fra matricen alt. Herpå kan det se hvordan % residualerne fordeler sig i et 3D koordinatsystem. x = [alt(:,3) alt(:,6)]'; y = [alt(:,4) alt(:,7)]'; z = [alt(:,5) alt(:,8)]'; plot3(x,y,z,'r' ) axis equal % Der frestilles et histogram for spredningerne hvori der er tegnet % normalfordelingkurven for residualerne. figure histfit(res2)

114 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog2_Punkter.m 1 of 3 clear all clc % Man kan forhodsvis nemt overbevise sig om at en kugle med radius 1 og % centrum i origo har parameterfremstillingen: % x(j) = cos(rho)*sin(phi) % y(j) = sin(rho)*sin(phi) % z(j) = cos(phi) % Hvis P er et punkt på kuglefladen, betegner phi her vinklen mellem z-aksen % og en linie gennem origo og P, og theta er vinklen mellem x-aksen og en linie % gennem origo og Pxy, hvor Pxy er p's projektion på xy-planen. % Hvis vi ganger venstreside med det positive tal r, får vi en cirkel med % centrum i origo og radius r og hvis vi lægger stedvektoren til punktet C % til får vi bestkrevet en cirkel med radius r og centrum i C. % C = [x0 y0 z0]' % x(j) = x0+r*cos(theta)*sin(phi); % y(j) = y0+r*sin(theta)*sin(phi); % z(j) = z0+r*cos(phi); % Dette er parametrene for den kugle hvorpå punkterne skal ligge. x0 = ; y0 = ; z0 = ; r = ; % Antal punkter på en halv omgang, og antal omgange ant=6; % En kugle med centrumskoordinater x0, y0, z0 og radius r. De indmålte % punkter har koordinaterne x, y, z liggende på kuglens overflade, % ligningen for kuglen er: % (x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2 = r^2 %Der oprettes en tom matrix koor = []; % Der skal køres to lykker een for at udregne alle punkter i en storcirkel, % dernæst derjes denne storcirkel (2*pi)/ant omkring polaksen for så at % udregne den næste storcirkel. theta = 0; i = 0; while i < ant i = i+1; j = 0; % det bestemmes hvor stor vinklen skal være mellem storcirklerne dette % udregnes på baggrund af det tidligere nævnte antal (ant).

115 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog2_Punkter.m 2 of 3 end theta = theta+((2*pi)/ant); phi = 0; while j < ant j = j+1; end % Det bestemmes hvor stor vinklen skal være mellem de enkelte % punkter på storcirklen, dette beregnes på baggrund af det % tidligere nævnte antal (ant). phi = phi+(((2*pi)/ant)/2); % X-, y- og z-koordinater udregnes til det enkelte punkt, dette % gøres på baggrund af de tidliger udregnede theta og phi værdier, % således at punkterne bliver jævnt fordelt over hele % kugleoverfladen. x(j) = x0+r*cos(theta)*sin(phi); y(j) = y0+r*sin(theta)*sin(phi); z(j) = z0+r*cos(phi); % Koordinaterne samles i en matrice ved navn koor. koo = [[x]' [y]' [z]']; koor = [koor; koo]; % For at kunne få de bedste resultater, er det nødvendigt at frasortere de % punkter der ligger længst væk fra laserscanneren, da det i praksis ikke % er muligt at måle disse med lasescanneren. % Dette gøres ved at udregne afstanden mellem laserscanneren og alle de før % udregnede punkter, hvorefter de sorteres efter denne afstand, senere vil % kun den halvdel af punkterne, der ligger tættest på laserscanneren blive % udskrevet. % Selve udregningen foretages vha pyhtagoras. % Laserscannerens koordinater fastsættes til [0, 0, 0] s = [0 0 0]; % Der opstilles en tom matrix, der skal bruges i det videre forløb. afs = []; % Der laves en løkke der skal udregne afstanden fra laserscanneren til hv [m,n]=size(koor); i = 0; while i < m; i = i+1; end % afstanden mellem de to punkter beregnes afs_ny = sqrt((s(1,1)-koor(i,1))^2+(s(1,2)-koor(i,2))^2+(s(1,3)-koor(i,3))^2); % afstanden sættes ind i en matrix sammen med koordinatet til det % enkelte punkt afs = [afs_ny koor(i,1) koor(i,2) koor(i,3); afs];

116 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog2_Punkter.m 3 of 3 % afs sorteres efter størrelsen på afstanden sort = sortrows(afs, 1); % polkoordinaterne vil fremkomme lige så menge gang som der er storcirkler, % det er ikke ønskværdigt at have dobbelregistreringer, derfor skal disse % frasorteres. Dette gøres ved at tage den sorterede matrix her vil punkter % med samme x koordinat ligge ovenfor hinanden, hvis disse samtidig har % samme z koordinat er det ern dobbeltregistrering, og diss vil ikke blive % medtaget i den endelige matrix, den. % Der oprettes en tom matrix. den = []; i = 0; j = 1; while i < m-1; i = i+1; j = i+1; if sort(i,4) == sort(j,4) end else den = [sort(i,:); den]; end % Her vil kun den halvdel af punkterne, der ligger tættest på % laserscanneren skrives til matricen pkt. den =sortrows(den); pkt = den(1:ant^2/2, 2:4); %Programlinier vedr. OUTPUT %Output-fil åbnes/overskrives res=fopen('epoke1.xyz', 'w'); %residualerne skrives i en output-fil for ww = 1:ant^2/2 fprintf(res, '%4.4f %4.4f %4.4f\n',pkt(ww,1),pkt(ww,2),pkt(ww,3)); end %Output-filen lukkes fclose(res);

117 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog3_ResPlot.m 1 of 4 % Dette script er udarbejdet af Peter Cederholm, % Det bruges til at se hvor på en et objekt har de største residualer, Der % er for at køre dette script nødvendigt at have startet laserscanneren med % udgangssigte direkte mod objektet. Dermed kan det kun bruges i ganske få % tilfælde, hvis der skal fremkomme et brugbart resultat. outputtet er tre % plots, det første er et 3D residualplot af objektet, figure 2 viser et 2D % plot af objektet set i x-aksens retning hvor farver beskriver størrelsen % på residualerne. Figure 3 viser det samme som figure 2 blot vist som et % overfladeplot. close all clear all clc alt = [

118 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog3_ResPlot.m 2 of

119 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog3_ResPlot.m 3 of ]; x = [alt(:,3) alt(:,6)]'; y = [alt(:,4) alt(:,7)]'; z = [alt(:,5) alt(:,8)]';

120 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokument...\Forsog3_ResPlot.m 4 of 4 plot3(x,y,z,'r' ) axis equal % y,z koordinater samt residualer % Residualer plottes som funktion af y,z. Det er ikke helt godt; % residualerne står jo ikke vinkelret på yz planet y = alt(:,4); z = alt(:,5); res = alt(:,2); % Laver y,z koordinater med 5mm mellemrum [Y,Z] = meshgrid(min(y)-0.01:0.005:max(y)+0.01,min(z)-0.01:0.005:max(z)+0.01); % Interpolerer residualer svarende til de genererede yz koordinater RES = griddata(y,z,res,y,z); % 2D plot, hvor farver angiver størrelse på residualer figure pcolor(y,z,res) colorbar axis equal % Overflade plot figure surf(y,z,res) axis equal

121 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Doku...\IntersectLineSphere.m 1 of 1 function point = intersectlinesphere(line, sphere) %INTERSECTLINESPHERE return intersection between a line and a sphere % % GC = intersectlinesphere(line, SPHERE) return the two points which are % the intersection of the given line and sphere. % LINE : [x0 y0 z0 dx dy dz] % SPHERE : [xc yc zc R] % GC : [x1 y1 z1 ; x2 y2 z2] % % % % % % author : David Legland % INRA - TPV URPOI - BIA IMASTE % created the 18/02/2005. % % HISTORY % difference between centers dc = line(1:3)-sphere(1:3); a = sum(line(:, 4:6).*line(:, 4:6), 2); b = 2*sum(dc.*line(4:6), 2); c = sum(dc.*dc, 2) - sphere(:,4).*sphere(:,4); delta = b.*b -4*a.*c; if delta>1e-14 % find two roots of second order equation u1 = (-b -sqrt(delta))/2/a; u2 = (-b +sqrt(delta))/2/a; % convert into 3D coordinate point = [line(1:3)+u1*line(4:6) ; line(1:3)+u2*line(4:6)]; elseif abs(delta) > 1e-14 % find unique root, and convert to 3D coord. u = -b/2./a; point = line(1:3) + u*line(4:6); else point = zeros(0, 3); return; end

122 :49 C:\Documents and Settings\Carsten\Dokumenter\7 s...\statistik.m 1 of 1 % I dette script beregnes 95%-konfidensintervaller for de beregnede % middelværdier og spredninger. clc clear all format long g load 'test_out.txt' [m,n]=size(test_out) x=test_out; % middelværdien for residualerne beregnes g=mean(x) % spredningen (a posteriori) for residualerne beregnes ved den første % metode, jf. forsøg 1 s=std(x) % Projektgruppen har fundet ud af at den kendte (a priori) spredning kan % fastsættes til 2 mm: sigma=0.002 % For at beregne konfidensintervaller, benyttes teori fra statistik-kurset: % 95 %konfidensinterval for middelværdien på residualerne med kendt varians Konf_95_m1=[g-normq(0.975)*sigma/sqrt(m),g+normq(0.975)*sigma/sqrt(m)] % 95 %konfidensinterval for middelværdien på residualerne med ukendt varians Konf_95_m2=[g-tq(0.975,m-1)*s/sqrt(m),g+tq(0.975,m-1)*s/sqrt(m)] % 95 %konfidensinterval for spredningen på residualerne Konf_95_s1=[s*sqrt((m-1)/chisqq(0.975,m-1)),s*sqrt((m-1)/chisqq(0.025,m-1))]

123 Bilag F Test af Cyclone

124 Bilag F - Test af beregninger i Cyclone Bilag F - Test af beregninger i Cyclone I dette bilag ønsker projektgruppen at undersøge hvordan programmet Cyclone beregner centrum, til det HDS-target, der er brugt i opmålingen til forsøget. Dette gøres for at kunne sige hvor nøjagtige de centrumskoordinater der fås fra cyclone er. Forsøget er udført vha. de indsamlede data og MatLAB, hvor det undersøges om mindste kvadraters princip giver de samme resultater som cyclone. Teori Projektgruppen har en teori om, at cyclone beregner centrumskoordinaterne til halvkuglen (target), vha. mindste kvadraters princip. Dette efterprøves ved at foretage en udjævning af de indsamlede koordinater. Der udjævnes efter mindste kvadraters princip i programmet Mat- LAB. Udjævningen foretages efter principperne i bogen Udjævning af Peter Cederholm. Da udjævningen sker på et ulineært problem, udføres en iterativ løsning, der har følgende forløb: [Cederholm, 2000, side 35] Vælg foreløbige elementer Opstil C Opstil A og b Bestem x_hat Opdater foreløbige elementer Udjævning afsluttet Nej Er stopkriterium opfyldt? Ja Figur 1: Iterativ løsning af udjævningsproblem 1

125 Bilag F - Test af beregninger i Cyclone I det følgende beskrives ovenstående trin og hvordan projektgruppen har beregnet udjævningen. Til brug ved udjævningen er der udarbejdet et MatLAB script, Cylone_test.m, der kan ses i Bilag C. Vælg foreløbige elementer Her vælges de koordinater og radius, der skal opdateres efter udjævning. Der vælges koordinater, der ligger tæt på de koordinater, der kommer fra cyclone, og for radius vælges en værdi der ligger tæt på den radius, Leica angiver HDS-targets har. Centrumskoordinaterne angives ved a, b og c, og radius angives med r. Opstil C Her opstilles vægtmatricen, så forskellige observationer kan vægtes forskelligt. Da alle observationer er foretaget med samme instrument, og samme metode, skal alle observationer vægtes ens, og C kan derfor eventuelt udelades. Der laves dog en vægtmatrice, der udelukkende består af 1-taller i diagonalen. Opstil A og b For at kunne opstille A, opstilles ligningen for kuglen, da de elementer der ønskes bestemt indgår i denne. Ligningen for kuglen: r = 2 2 ( a xi ) + ( b yi ) + ( c zi Hvilket laves om til: ) = ( a xi ) + ( b yi ) + ( c zi ) r Hvor: a, b og c er de foreløbige koordinater til halvkuglens centrum r er den foreløbige værdi for kuglens radius x i, y i og z i er koordinaterne til det i te opmålte punkt Herefter beregnes differentialkvotienterne af denne, da disse er elementerne i A: 2

126 Bilag F - Test af beregninger i Cyclone 0 = 2r r 0 = 2x 2a x 0 = 2y 2b y 0 = 2z 2c z Når A opstilles endeligt, indsættes koordinater til det i te opmålte punkt, på x, y og z s plads. A bliver dermed en matrice, der indeholder fire søjler, og lige så mange rækker, som der er observationer. b indeholder observationerne, og opstilles derfor vha. den modificerede kugle-ligning: = ( a xi ) + ( b yi ) + ( c zi ) r Igen indsættes koordinaterne til det i te opmålte punkt, på x, y og z s plads, og vi får en matrice med en søjle, og lige så mange rækker, som der er observationer. Bestem x_hat For at kunne bestemme x_hat, opstilles først vægtmatricen, der i dette tilfælde udelukkende består af 1-taller på diagonalen, da alle observationer skal vægtes ens. Herefter opstilles normalligningerne efter [Cederholm, 2000, s. 22]: N = A T CA Disse anvendes når x_hat bestemmes, igen efter [Cederholm, 2000, s. 22]: x _ hat = N 1 A T Cb Opdater foreløbige elementer Når x_hat er bestemt, kan de foreløbige elementer opdateres. I dette tilfælde lægges første række i x_hat til radius, og anden, tredje og fjerde række lægges til hhv. a, b og c. Er stopkriterium opfyldt? Når ovenstående er udført ses der på om stopkriteriet er opfyldt. Stopkriteriet er opfyldt når løsningen er konvergeret, hvilket vil sige når x_hat og A T Cb er meget små. Er løsningen ikke konvergeret, gennemløbes proceduren igen, hvor der nu anvendes de opdaterede foreløbige elementer. Er løsningen konvergeret er udjævningen afsluttet. Residualerne kan til sidst beregnes efter [Cederholm, 2000, s. 23]: 3

127 Bilag F - Test af beregninger i Cyclone r _ hat = Ax _ hat b Udover overstående beregningsmetode, anvendes scriptet kuglefit.m udviklet af Peter Cederholm. Dette script bestemmer ligeledes centrum og radius til en kugle vha. udjævning på baggrund af observerede koordinater på kuglens overflade. Da teorien bag scriptet endnu ligger uden for projektgruppens vidensområde, præsenteres denne ikke, og scriptet anvendes derfor udelukkende som kontrol. Fejlkilder Inden beregningen foretages, er det vigtigt at sikre at in-put filen er renset for fejlobservationer. Det vil sige punkter, der er registreret forkert, eller punkter der er registreret på andre objekter end kuglen, f.eks. stativet der holder kuglen. Er disse ikke fjernet vil de påvirke det endelige resultat. Projektgruppen er desuden klar over at den anvendte teori ikke er helt korrekt. Når beregningsmetoden fra [Cederholm, 2000] benyttes, kan der kun være én observation pr. observationsligning, hvor der i dette tilfælde er tre observationer pr. observationsligning. Beregningen er dog gennemført alligevel, for at have et grundlag for at sige, om Cyclone anvender mindste kvadraters princip. I denne forbindelse skal det siges, at når Cyclone beregner centrum, er radius fast, da programmet ved hvilke targets der er anvendt, og dermed kender den nøjagtige radius. Rå data Alle indsamlede observationer kan ses i Bilag D. Databehandling Alle data er som beskrevet i afsnittet Teori, behandlet i MatLAB scriptet Cyclone_test.m. I dette script kan observationerne læses ind, i form af txt-filer, og herefter foretages beregningerne som beskrevet i Teori. Alle observationer er som tidligere beskrevet tilpasset, så tydelige fejlmålinger er taget fra. 4

128 Bilag F - Test af beregninger i Cyclone Resultater Af de indsamlede observationer er fire datasæt blevet behandlet i det omtalte script Cyclone_test.m. Der er to for hver afstand, med hver deres punkttæthed. Resultaterne er vist i nedenstående tabel, og gennemgås efterfølgende: Observationsfil Afstand Punkttæthed Antal punkter kg1sw4_cm.xyz 6 m 1 cm 146 Beregningsmetode Radius a b c Cyclone 0,0762 1,620 6,101-0,079 Radius_kugle.m - 1,620 6,099-0,079 0,0747 Kuglefit.m 0,0743 1,620 6,099-0,079 Observationsfil Afstand Punkttæthed Antal punkter kg1sw10_mm.xyz 6 m 1 mm Beregningsmetode Radius a b C Cyclone 0,0762 1,620 6,099-0,079 Radius_kugle.m - 1,619 6,100-0,079 0,0749 Kuglefit.m N/A N/A N/A N/A Observationsfil Afstand Punkttæthed Antal punkter kg2sw10.xyz 25 m 1 cm 148 Beregningsmetode Radius a b c Cyclone 0, ,762 11,24-0,774 9 Radius_kugle.m - 25,763 11,24-0,775 0, Kuglefit.m 0, ,762 11,24-0,775 9 Observationsfil Afstand Punkttæthed Antal punkter kg2sw20_mm.xyz 25 m 1 mm Beregningsmetode Radius a b C Cyclone 0, ,762 11,24-0,774 9 Radius_kugle.m - 25,761 11,24-0,774 0, Kuglefit.m N/A N/A N/A N/A Tabel 1: Resultater fra forsøg 1 5

129 Bilag F - Test af beregninger i Cyclone Det var ikke muligt at få radius og centrumskoordinater fra scriptet kuglefit.m når der blev regnet på punkttætheder på en mm, idet MatLAB kom med fejlmeddelelsen Out of memory. Radius Den opmålte kugle var et Leica sfæretarget. Derfor er radius ikke blevet beregnet i Cyclone, da programmet genkender sfæren, og dermed giver den, den kendte størrelse. Efter specifikationerne har en sfæren en radius på 0,762 m, hvilket også er blevet efterprøvet med en skydelære med en nøjagtighed på 1/100 mm med samme resultat. Derfor er værdien konstant ud for Cyclone i resultattabellen. Efter udjævningen viser det sig at de beregnede radier maksimalt afviger 2 mm, de fleste dog noget mindre. Det viser sig dog at de radier, der beregnes af Radius_kugle.m, alle er med negativt fortegn. Da radius kun kan angives med positivt fortegn er dette naturligvis en fejl, der tilskrives fejl i scriptet projektgruppen har udviklet. Idet radius er kendt og eftertestet med en skydelære, er dette dog ikke noget problem, blot ærgrer det projektgruppen at det ikke kan lade sig gøre at få de rigtige resultater. Centrumskoordinater Når centrumskoordinaterne sammenlignes er det tydeligt at der her er opnået et godt resultat. Alle koordinater afviger 1, maksimalt 2 mm fra hinanden. På denne baggrund er projektgruppen overbevist om, at de centrumskoordinater der kommer fra Cyclone, er beregnet ved hjælp af udjævning, og har en god nøjagtighed. Opsamling Det kan altså konstateres at det ikke har været muligt at bestemme radius med korrekt fortegn. Det er dog ikke radius projektgruppen er interesseret i, idet denne størrelse er kendt. I stedet er det vigtigt at kende til centrumskoordinaternes nøjagtighed. Disse er til gengæld godt bestemt, og der er ikke forskel på hvilken afstand der scannes fra. Det antages derfor i det videre projekt, at centrumskoordinaterne er korrekte, og kan anvendes direkte fra Cyclone. 6

130 Bilag G Histogrammer og normplot til Forsøg 1

131 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Kg1sw2 Kg1sw3 1

132 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Kg1sw4 Kg1sw5 2 Kg1sw7

133 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Kg1sw8 Kg1sw9 Kg1sw10 3

134 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Kg2sw3 Kg2sw4 4 Kg2sw5

135 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Kg2sw6 Kg2sw20 Kg2sw21 5

136 Bilag G - Histogrammer og normplot til Forsøg 1 Kg2sw22 Kg2sw23 6

137 Bilag H Histogrammer til Forsøg 2

138 Bilag H - Histogrammer til Forsøg 2 Bilag H - Histogrammer til Forsøg 2 Kg2sw3 ved brug af 10 punkter Kg2sw3 ved brug af 15 punkter Kg2sw4 ved brug af 8 punkter Kg2sw4 ved brug af 15 punkter 1

139 Bilag H - Histogrammer til Forsøg 2 Kg2sw5 ved brug af 10 punkter Kg2sw5 ved brug af 15 punkter 2