Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Transkript

1 Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder og forvetes at have ået midst til og med øvelse 6. i løbet af de første to lektioer. 3. Fælles samlig: a. Afklarig af evetelle spørgsmål b. Præsetatio af Fiboacci tallee c. Præsetatio af idée i et idktiosbevis 4. Grppere arbejder videre og tager hrtigt fat på afsittet om Fiboacci tallee. Prodktkrav: Hver grppe afleverer e rapport. Rapporte skal ideholde: e præsetatio med ege ord af, hvad det glde sit er i kst, arkitektr mv., og hvad det har med matematik at gøre (se evt. etadresse i pkt 5). løsig af øvelsere om det glde sit til og med øvelse 7. e præsetatio med ege ord af, hvad Fiboacci tallee er, hvor de optræder i vores omverde, og hvad de har med det glde sit at gøre. (se evt. etadresse i pkt 5). løsig af øvelsere om Fiboacci tallee til og med øvelse 3. Hver grppe laver ete øvelse 7. eller fider e ade geometrisk opgave på ettet, som løses i stedet. Bemærk: De faglige fordsætiger for at elevere ka arbejde med materialet er følgede: Kedskab til ligedaethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskab til adegradsligige. Grdlæggede smbolmaiplatio, herder kvadratsætiger. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

2 Projekter: Kapitel Det glde sit Opsøg selv via leksika, fagbøger eller iteret iformatioer om det glde sit: D skal have sat dig id i det på e såda måde, at d med ege ord ka give e mdtlig og skriftlig fremstillig af det. De følgede matematiske del om det glde sit er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. Id imellem øvelsere er der givet defiitioer og aført forskellige bemærkiger. Defiitio Et rektagel ABCD kaldes et gldet rektagel, hvis det opflder følgede: Når vi skærer et kvadrat ABEF væk, så får vi et t rektagel ECDF, B E C A F D som er ligedaet med det store rektagel ABCD: B + C C D A + D E F Bemærk: Når rektaglere er ligedaede, gælder der, at:, dvs. forholdet mellem de lage og de korte side er es for de to rektagler. () De følgede matematiske del om Fiboacci tallee er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

3 Projekter: Kapitel Øvelse Beregig af det glde sit Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: Formel () omskrives til eller 0. Ligige omskrives videre til: 0. (a) Læg mærke til, at det ikke er eller, me derimod forholdet, der er det glde sit. Det er det, vi er iteresseret i at berege! er altså de kedte størrelse og fides som e løsig til adegradsligige z z 0. (b) Vis, at løsige er z 5. Heraf ka vi kokldere: Det glde sit er lig med 5,68... (3) Øvelse De ade løsig beteges af og til '. Med dee betegelse har vi altså, at 5 og ' 5 er løsigere til adegradsligige z z 0. Redegør for at der gælder, at ' og '. Øvelse 3 Hvis et gldet rektagel har side som de lage side og side som de korte side, så er de korte side de lage side (4) de lage side Idsæt i ' og vis, at ' de korte side. (5) Redegør også for at '. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

4 Projekter: Kapitel Øvelse 4 Tilærmet kostrktio af det glde sit Læg lijestkkere i forlægelse af hiade: B E C Vi øsker at fide d af, hvor stor e del dgør af hele lægde +. a) Vis, at svaret på dette er ' eller tilærmet 0,68 Dvs. dgør ca. 6 % af hele lijestkket. Vi skal således dmåle 6% af lijestkket og dér afsætte et mærke, år et lijestkke skal deles i et forhold som det glde sit. Vi ka atrligvis måle d fra hvert edepkt, så der bliver to glde sit på e lije. Øvelse 5 Hvorda skal ma dele et lijestkke på 0, således at de to stkker ka dgøre sidere i et gldet rektagel? Øvelse 6 Vi har givet et lijestkke på. Vi øsker at dette skal dgøre de korte side i et gldet rektagel. Hvor stor skal de lage side være? Bemærk, at dtrkket: de korte side de lage side der gælder for et gldet rektagel, ka omskrives til: de lage sidede korte side. Øvelse 7 Vi øsker at lave et gldet rektagel med areal 40. Hvor lage skal sidere være? Øvelse 8 Eksakt kostrktio af det glde sit Bemærk: Dette er de geometriske kostrktio svarede til beregigere i øvelse. Kostrér e retviklet trekat, hvor de lægste katete er (eheder), og de korte katete er (ehed) 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

5 Projekter: Kapitel se figre. B D A E C Med e passer kostreres e cirkel med cetrm i B og radis CB. Skærigspktet med AB kaldes D. Med passere teges e cirkel med cetrm i A og radis AD. Skærigspktet med AC kaldes E. Vis, at AC AE. 5 Vis at dette ka omskrives til 5, dvs. det er lig med tallet Φ. Koklsio: Kostrktioe med de to cirkelber deler AC i det glde sit. Øvelse 6. Geometrisk kostrktio af et gldet rektagel d fra et givet kvadrat Bemærk: Dette er de geometriske kostrktio svarede til beregige i øvelse ovefor (5.). Vi har givet et kvadrat med sidelægde B E A F og øsker at kostrere et rektagel ABCD, som er et gldet rektagel. Udfør følgede kostrktio (se tegige): BE halveres, og vi fider midtpktet M. Med M som cetrm og MF som radis teges e cirkel. Dee cirkel skærer forlægelse af BE i et pkt C. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

6 Projekter: Kapitel B M E C A F Påstad: Side BC er de lage side i et gldet rektagel, hvor side AB er de korte side, dvs. rektaglet ABCD er gldet, hvor D fides på forlægelse af AF. Bevis påstade, dvs. bevis følgede at BC BA 5. Øvelse 9 B Kostrer e ligebeet trekat med topvikel 36. Viklere ved grdlije er så 7. Halvér vikel A. 36 Skærigspktet med side BC kaldes D. Vis at ACD er esviklet med BAC Argmetér for at sidere AD og BD har samme lægde, som vi kalder. Lægde af DC kaldes. A D 7 C Vis, at. Omskriv til 0. Argmetér for at forholdet mellem sidere og i trekat ADC er lig med det glde sit. Formler dette som e sætig om dee tpe trekat. Bemærk: Trekater med disse vikler kaldes af og til for glde trekater. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

7 Projekter: Kapitel Øvelse 0 A Kostrer e reglær femkat ABCDE, dvs. e femkat, hvor sidere og viklere er lige store. v Kostrer også diagoalere AC, BE og BD. Argmetér for at viklere i e femkat, f.eks. hele vikel E, er 08. Gå på jagt efter ligebeede trekater ide i femkate, og argmeter for at viklere markeret med v faktisk er lige store. (Hjælp: Begd f.eks. med at se på trekat ABE og dreg, hvor stor v er). Argmetér for at viklere markeret er lige store, og at = v. (Hjælp: se først på vikle markeret w.) B v v C w Q P v D v E Argmetér for at viklere markeret er lige store, og at de derfor må være lig med. Vis at 3v = 08, og altså at v = 36. Heraf får vi: = = 7. Agiv midst 3 glde trekater ide i femkate. CQ CP Udt dette til at vise at. QP PA Koklsio: Diagoalere skærer hiade op i glde sit. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

8 Projekter: Kapitel Fiboacci tallee Forberedelse: Læs de egelske versio af Leoardo af Pisa s kai problem. Leoardo af Pisa kaldes ofte Fiboacci. Ha levede i Norditalie omkrig år 00 og var med at gøre de højtdviklede arabiske matematik kedt i Eropa. Ha dede bl.a. et stort bidrag til, at de arabiske tal blev kedt og efterhåde avedt i stedet for romertallee. Kaiproblemet gav aledig til at stdere de mærkelige talrække,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, som side er blevet kaldt Fiboacci tallee. Giv e kort præsetatio af kaiproblemet, hvor d bl.a. redegør for, hvad det har med Fiboacci tallee at gøre. De følgede matematiske del om Fiboacci tallee er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. Defiitio Fiboacci tallee er de talfølge,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, der opstår ved, at det æste elemet daes som smme af de to foregåede (dette kaldes i matematik e rekrsiv defiitio ). Med smboler ka dette dtrkkes således: Lad betege det te tal i talfølge (f.eks. =, 6 = 8, 8 =, osv.) Regle om det æste elemet ka så skrives således: Øvelse Opskriv de første 5 Fiboacci tal i et skema som dette: Øvelse Idtast Fiboacci tallee som e talfølge i dit CAS værktøj. Hertil skal d først omstille maskies program til talfølger (ædrig i mode ). Der er plads til flere talfølger, og d idtaster f.eks. i de første, som hedder. Det 4. tal og det te tal i følge hedder i maskies sprog (4) og (). Regle om det æste elemet, som er formleret i (6), idtastes så. Edelig skal d give begdelsesværdier, og dette er de første to tal i følge, der idskrives således: {,}. I Table ka d se følges tal. Hvad er Fiboacci tal r. 40? 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

9 Projekter: Kapitel Øvelse 3 Udreg forholdet mellem ét tal i Fiboacci talfølge og det foregåede tal, dvs.: 3 4 5,,,, Ka d se et møster et tal, som dee følge ærmer sig? Udreg tilsvarede: 3 4,,,, Hvilket tal ærmer dee følge sig tilseladede? Øvelse 4 Lad os kalde brøkere fra forrige øvelse a, a, a 3,..., dvs. a 3 a 4 a3 3,5 Lav e tallije med e stor ehed, f.eks. 8 eller 0 cm. Afsæt et så stort atal af tallee i talfølge a, a, a 3,..., at d ka svare på følgede: Beskriv med ord det møster, d ser. Defiitio: Græseværdi Atag, at vi har e talfølge a, a, a 3,... Hvis der fides et bestemt tal a 0, som talfølges elemeter ærmer sig mere og mere, jo lægere vi går frem i følge, så siger vi, at a 0 er græseværdie for talfølge, og vi skriver a 0 år. (Læses: a går mod a 0, år går mod edelig. ) Bemærk: Udtrkket ærmer sig mere og mere betder: Hvis vi øsker at komme tættere på a ed e give lille forskel på f.eks. 0,000, så ka vi fide et bestemt tri i talfølge, hvorfra alle følgede tal er så tæt på som øsket. Påstad Vi vil tage vores eksperimet med dregig og afsætig på tallije som et argmet for, at talfølge a, a, a 3,... af brøker lavet d fra Fiboacci tallee faktisk har e græseværdi (dee påstad vil vi bevise seere se tillæg). Det ser d, som om græseværdie er tallet. Ka vi bevise dette? Det er opgave i de æste øvelse. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

10 Projekter: Kapitel Øvelse 5 Når d er kommet igeem øvelse og har fdet d af, hvad er, ved så tilbage og se, hvor kom fra. Så får d et bedre overblik over, hvorfor vi foretager omskrivigere. Lad os begde med at kalde græseværdie for, dvs. a år. Af defiitioe på Fiboacci tal har vi: Vis, at dette ka omskrives til:. (7) Vi øsker at omskrive formel (7) til formel (8) edefor. Dertil har vi brg for følgede to tig:. a. a Vis det sidste ved at begde med a. Idsættes. og. i (7), får vi a a Når bliver meget stor vil både a og a ærme sig græseværdie. Ligige (8) gælder hele veje. Derfor må der også til sidst gælde, at Omskriv dette til eller 0 Argmeter for at = Φ ved simpelthe at løse ligige. Da var græseværdie for a følge, ved vi derfor, at a år. Formler dette resltat med ord. Bemærk: Det er lidt besværligt at drege Fiboacci tal lagt fremme i følge, fordi vi skal arbejde os frem tri for tri. CAS værktøjet er atrligvis e stor hjælp. Me ke ma fide e formel for dregig af et givet Fiboacci tal, var det eklere. Og der fides faktisk e gaske mærkelig formel, som giver os mlighed for direkte at drege f Fiboacci tal r. 37 eller r. 73. Formle blev fdet af e matematiker ved av Biet, og år ma ser de, tror ma, det er løg, at de formel altid giver et helt tal. Fiboacci tallee bliver hrtigt meget store, så formle har hovedsagelig teoretisk iteresse. Som e hjælp til at vise formle, skal vi først klare følgede: (6) (8) (9) (0) 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

11 Projekter: Kapitel Sætig Hvis tallet opflder, så gælder for ethvert atrligt tal, at, hvor ere er Fiboacci tallee. Bemærk: Tallet keder vi godt: Det er ete eller '. () Øvelse 6 Beviset for sætige Beviset laves trivist, dvs. vi idser, det gælder for =, = 3, = 4 osv. I hvert tri dtter vi det, vi ved om, emlig at formel (9) gælder:. tri: Vi ved, at, og det er det samme som (hvorfor?). 3. tri: Vi gager ligige (9) igeem med på begge sider og får. 3 Vis at dette ka omskrives til. 3 Me det er det samme som (hvorfor?) () tri: Vi gager ligige () igeem med på begge sider og får.. 4 Vis at dette ka omskrives til Me det er det samme som osv. 4 3 Lad os sige, at vi har vist formle id til tri r. 9, dvs. vi har vist formle tri: Vi gager prøv selv at geemføre dette tri, så d år frem til. 0 3 Vi ka således altid komme et skridt derligere fremad. Derfor siger vi, at sætige er bevist ved de tekik, der kaldes matematisk idktio. SÆTNING (Biets formel) Det te led i Fiboacci talfølge ka dreges således: 5 5 (3) 5 Bemærk: Prøv at drege ogle eksempler, som 5, 8 og 30, for at se, at formle giver det øskede. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

12 Projekter: Kapitel Øvelse 7 Beviset for Biets sætig De to tal 5 og ' 5 er løsiger til ligige, så derfor gælder ifølge sætige ovefor og øvelse 3 for ethvert atrligt tal : ' ' Vis, at d heraf ka få: ' ' Vis, at ' 5.. Idsættes dette, får vi ' 5. Vis edelig, at vi herfra får Biets formel. Der fides på ettet et væld af adresser vedrørede Fiboacci tallee. På adresse ka d fide e omfattede iformatio. Fid her: Fiboacci tal og det glde sit i atre Fid på hjemmeside midst to matematiske sammehæge, som ikke er omtalt i disse oter og gør rede for dem. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

13 Projekter: Kapitel Etra: Fiboacci tallees opførsel Dette tillæg hadler om, hvorfor talfølge af forhold mellem Fiboacci tallee opfører sig som de gør. Øvelse 8 Betragt de første Fiboacci tal: i i Øvelse 9 Læg mærke til: og og og 8 44 samt følgede: 4 3 og og og 7 69 Formler med ord de regler d ka se d af dette møster. Øvelse 0 Vi så i foregåede øvelse, at vi af og til har brg for at skele mellem lige tal (, 4, 6, ) og lige tal (, 3, 5, ). Når vi skal ræsoere matematisk om lige og lige tal, er vi ødt til at ke skele mellem tallee ved hjælp af matematisk smbolsprog. Det gør vi ved at skrive de lige tal som, eller, eller + osv., hvor er et tilfældigt atrligt tal. De lige tal skrives som +,, +3 osv. Et lige eller et lige tal ka skrives på flere måder, f.eks. 8 = 4 eller 8 = 3 + eller 8 = 5 eller og 9 = 4 + eller 9 = eller 9 = 5 eller Det afgørede er, at vi får dtrkt, om går op eller ikke går op i tallet. Når vi skriver lige tal og lige tal således, ka regle fra øvelse 9 formleres således: For efterfølgede lige mre i Fiboacci talfølge (som 6 og 8 ) gælder: (4) 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

14 Projekter: Kapitel For efterfølgede lige mre i Fiboacci talfølge (som 7 og 9 ) gælder: Dette vises trivist med samme tekik, som vi avedte i øvelse 6. Vi har set, at formlere (4) og (5) gælder for Fiboacci tallee op til 9. Vi ke blive ved et stkke tid ed; me i stedet spørger vi : Hvis formlere (4) og (5) gælder op til e bestemt værdi af, ka vi så vise, at de også gælder for de æste Fiboacci tal? Hvis vi ka det, så siger vi, at formlere er vist for alle tal ved hjælp af matematisk idktio. Vi øsker at vise de æste to formler. Overvej at disse skrives: (4') (5) 3 Vi viser (4') ved at drege vestre side og her bette, at det er Fiboacci tal. Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: hvilket var det øskede. Prøv selv med samme metode at vise (5'), dvs. vise, at (5') Bemærk: Fid tilbage til de første dregiger af forholdet mellem Fiboacci tallee og afsætig af disse på e tallije. Vi kaldte for emheds skld: a, a 3, a 4 3, For følge a, a, a 3,... så vi, at:. Forskelle mellem efterfølgede tal i a følge bliver midre og midre.. Tallee a, a4, a 6,... (de lige mre) bliver midre og midre Tallee a, a3, a 5,... (de lige mre) bliver større og større. 4. For hvert tri i a følge bliver tallet skiftevis større og midre ed det foregåede, dvs. a er større ed a, a 3 er midre ed a, a 4 er større ed a 3, Tilsamme giver dette, at følge af a tal sviger frem og tilbage og lagsomt ærmer sig e græseværdi (som, vi beviste ovefor, var lig med ). Vi beviser påstadee 4 ved hjælp af formlere (4) og (5) fra øvelse 0. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

15 Projekter: Kapitel Øvelse Formler påstadee, 3 og 4 ved hjælp af smbolere a, a, a og a. Øvelse Påstad r. : Forskelle mellem to efterfølgede tal dreges: a a Argmeter for at. Sammefatter vi, har vi derfor: a a Tallee og bliver større og større, hvorfor brøke bliver midre og midre. Koklsio: Forskelle mellem efterfølgede tal bliver midre og midre og ærmer sig 0, år går mod edelig. Påstad r. : Vi ser på tallee a, a4, a6,..., a og vil vise, at a a. Overvej at dette dtrkker, at tallee med lige mre bliver midre og midre. Af (4) får vi: Vi reger videre (gør øje rede for hvert skridt): a a der også ka skrives: a a Koklsio: Tallee med lige mre bliver midre og midre. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk

16 Projekter: Kapitel Påstad r. 3: Prøv selv at vise, at,altså at a a, med brg af formel (5). Koklsio: Tallee med lige mre bliver større og større. Påstad r. 4: Formel (4) giver som ævt:, hvilket ka omskrives til: a a der også ka skrives: a a Koklsio: Et tal med lige mmer er midre ed det foregåede med lige mmer Formel (5) giver tilsvarede:, hvilket ka omskrives til: a a der også ka skrives: a a Koklsio: Et tal med ige mmer er større ed det foregåede med lige mmer Prøv at askeliggøre de to resltater fra (6) og (7) med = 4, = 5 og = 6. Koklsioe bliver, at for hvert tri bliver a tallet skiftevis større og midre. (6) (7) Samlet har vi set, at a følges led sviger frem og tilbage, de lige mre bliver midre, de lige bliver større, mes forskelle mellem efterfølgede tal ærmer sig 0. Derfor må følge have e græseværdi. Vi argmeterede i forrige afsit for, at var der e græseværdi, så ville dee være det glde sit. Altså har vi alt i alt vist, at forholdet mellem efterfølgede Fiboaccital ærmer sig tallet det glde sit. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: ifo@lr.dk