Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 1 Indhold: Indledning Side 1 Startskærmen Side 2 Indtastning af udtryk Side 2 Tegning af grafer (plotning) Side 5 Løsning af ligninger og uligheder Side 7 Indsættelse af tekst Side 10 Udskrivning og afslutning af Derive Side 14 Opgave Side 15 Indledning. Disse noter kan benyttes i 1.g bruger-kurset og er beregnet til elever på matematisk linje. Aarhus Katedralskole har valgt at satse på matematik-programmet Derive 5 som skolens matematik-program og har erhvervet programmet på en institutionslicens. Skolens ansatte kan frit installere programmet på egen PC medens elever kan anskaffe programmet til privat brug for en rimelig licens-pris. Derive 5 kan installeres på PC'er med Windows 95, 98, ME, 2000 & XP og efter installationen placeres følgende ikon på skrivebordet : Når programmet startes vises følgende informationsboks: Det anbefales at starte Derive med factory default settings og disse noter er skrevet på den baggrund. Derive har egen hjemmeside på web-adressen: http://www.ti.com/calc/docs/derive5.htm Startskærmen.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 2 Startskærmen. Fra oven og nedefter består startskærmen af:? En titel-bjælke? En menu-bjælke? En værktøjs-bjælke med kommandogenveje? Et (tomt) arbejdsark (algebra-vindue)? En status-bjælke? En indtastnings-bjælke med indtastningsfelt? Et panel med græske bogstaver samt et panel med matematiske symboler Et typisk arbejdsforløb med Derive består i at man indtaster matematiske udtryk i indtastningsfeltet og udfører kommandoer fra værktøjs-bjælken på disse. Indtastning af udtryk. Indtastningsfeltet består af én enkelt linje (dette kender I fra de fleste lommeregnere) og det betyder at f.eks. følgende brøk: x? x 2? 2 4 indtastes som: (x+2)/(x^2+4) Klikkes med musen i indtastningsfeltet placeres den lodrette skrivemarkør i feltet (alternativt kan man klikke på knappen Author Expression i værktøjs-bjælken: ).
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 3 Eksempel 1. Indtast udtrykket 2/3?24 i indtastningsfeltet og tryk på <ENTER>-tasten (kvadratrodstegnet kan hentes fra panelet med matematiske symboler). Straks placeres indholdet af indtastningsfeltet som udtryk nr. 1: #1 i arbejdsarket skrevet i normal notation (bemærk at Derive selv har indsat det udeladte gangetegn umiddelbart før kvadratrodstegnet). I statusbjælken kan vi se at det er brugeren (user) der har indtastet dette udtryk. Udtryk #1 er markeret hvilket bl.a. betyder at kommando-knapperne i værktøjsbjælken virker på dette udtryk. I værktøjsbjælken findes flg. 2 knapper: Approximate. som betyder henholdsvis Simplify og Trykkes på Simplify -knappen i værktøjsbjælken fås resultatet i udtryk #2 vist her under. Derive har omskrevet?24 til 2??6 og har ganget dette tal på brøkens tæller. Trykkes herefter på Approximate -knappen fås en tilnærmet værdi som udtryk #3. I statuslinjen vises at der er tale om et resultat som følge af en approximation af #2 og samtidig vises den tid det har taget Derive at lave approximationen.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 4 Bemærk også at dine indtastninger vises i venstre side af skærmen medens Derive s svar vises midtpå. Redigering af tidligere indtastede udtryk: Klik med musen på udtrykket i arbejdsarket for at markere dette og tryk herefter på <ENTER>-tasten. Straks placeres det markerede udtryk fra arbejdsarket i indtastningsfeltet klar til redigering. Flytning af udtryk i arbejdsarket: Klik med musen på det udtryk i arbejdsarket du ønsker at flytte. Hold herefter venstre musetast nede og træk med musen. En vandret linje vises under trækningen og man slipper blot musen når den vandrette linje er på det sted hvor man ønsker udtrykket placeret i arbejdsarket. Sletning af udtryk: Markér udtrykket (klik f.eks. på det med musen) og tryk på <Delete>-tasten. Eksempel 2. Derive mestrer symbolmanipulation i modsætning til de fleste lommeregnere. Indtast x/3+x/4 i indtastningsfeltet. Man kan direkte fra indtastningsfeltet få et udtryk behandlet via de små knapper umiddelbart til venstre for feltet. 7? x Tryk her på Simplify -knappen (=-tegnet) og Derive leverer prompte svaret 12 oppe i arbejdsarket. Samtidig fortæller statusbjælken med Simp(User) at udtrykket er et resultat af at simplificere et udtryk som brugeren (du) har indtastet. Man kan få Derive til eksplicit at vise både det brugeren indtaster og eksempelvis Derive s efterføgende simplifikation blot ved at skrive et lighedstegn (=) efter udtrykket i Indtastningsfeltet og herefter trykke på <ENTER>-tasten (Se figuren her ovenover). Statusbjælken fortæller hvorledes de 2 udtryk på begge sider af lighedstegnet er fremkommet (User=Simp(User)) og her har Derive faktisk måttet bruge 1 millisekund på beregningerne! Eksempel 3. Derive kan arbejde med meget store tal (mange lommeregnere stopper ved tal af størrelsesordenen 10 99 ). Prøv at indtaste 1234 56 ved at skrive 1234^56 i indtastningsfeltet
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 5 (Potensopløftnings-operatoteren: ^ findes både på tastaturet og på Derive s panel med de matematiske symboler) og herefter trykke på = -knappen ( Simplify ). For at se størrelsesordenen af tallet kan du trykke på? -knappen ( Approximate ) og det viser sig at tallet 1234 ganget med sig selv 56 gange er af størrelsesordenen 10 173 (Uha-da-da). Tegning af grafer (plotning). Derive kan tegne i både 2 og 3 dimensioner. Vi vil her nøjes med at se på graftegning i 2- dimensioner. Trykker man på -knappen i værktøjs-bjælken erstattes arbejdsarket (algebra-vinduet) af et tomt graf-vindue og samtidig ændres udseendet af menu-bjælker, værktøjs-bjælker etc.. Trykkes atter på -knappen i det nye vindue tegnes grafen for det udtryk der var markeret i arbejdsarket. Eksempel 4. Indtast y=x^2-2 i indtastningsfeltet og tryk på = -knappen. Udtrykket befinder sig nu, markeret, i arbejdsarket. Tryk herefter på -knappen for at skifte til graf-vinduet. Tryk her atter på -knappen for at tegne grafen for y = x 2 2. Man kan zoome ud og ind, ændre inddeling på akserne etc.. og dette overlades trygt til læseren. Man kan gå tilbage til arbejdsarket (algebra-vinduet) ved at vælge Window i menuen og derefter punktet: 1 Algebra 1.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 6 Eksempel 5 (fortsættelse af eks. 4). Det kan bestemt være en fordel at kunne se både algebra-vinduet/arbejdsarket og grafvinduet og dette kan opnås ved at i menu-bjælken, f.eks., at vælge: Window Tile Vertically. Man kan herefter skifte mellem de 2 vinduer ved at klikke i dem. Vælg nu graf-vinduet. Vi vil placere en forklarende tekst ved grafen så derfor vælger vi fra menu-bjælken: Insert Annotation (F12). Herefter vises vinduet herunder og vi skriver den forklarende tekst (her er er fonten Verdana valgt). Trykkes OK placeres teksten i grafvinduet og med musen kan vi efterfølgende klikke i teksten og trække den på plads med musen. Det færdige resultat ses herover til højre. Eksempel 6. Indholdet af grafvinduet kan indsættes direkte i arbejdsarket (algebravinduet) ved i grafvinduet at udføre kommandoen: File Embed. Herved er der foretaget en frosset affotografering af graf-vinduet. Figuren her til højre viser resultatet. Det indefrosne grafvindue kan til enhver tid gøres interaktivt ved at dobbeltklikke i det.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 7 Man kan selvfølgelig også kopiere graf-vinduet over i Windows-klippebordet med kommandoen: Edit Copy. Herefter kan det frosne billede indsættes i en tekst i et tekstbehandlingsprogram etc. Via : Edit Paste (Rediger Sæt ind). Eksempel 7. Man kan sagtens plotte flere grafer i det samme graf-vindue. Start forfra med et tomt arbejdsark/algebra-vindue. Åbn graf-vinduet ved at klikke på:. Vis begge vinduer ved at vælge: Window Tile Vertically i menu-bjælken. Klik i arbejdsarket/algebra-vinduet og indtast flg. 2 udtryk: y=x 2-2 og y=2x+1. Markér de 2 udtryk efter tur og plot dem i graf-vinduet. Forsyn dem med forklarende tekst. Zoom ud (f.eks. via -knappen) så begge skæringspunkter ses. I graf-vinduet vælges nu: Options Trace plots (F3) og med pilop/pilned-tasterne vælges den rette linje. Herefter spadseres ud af denne med højrepil-tasten til skæringspunktet (3,7) nås. Resultatet kunne f.eks. se ud som herunder: Løsning af ligninger og uligheder. Vi viser her nogle eksempler på hvorledes Derive kan bruges til at løse ligninger og uligheder. Vi bruger i den forbindelse Derive s indbyggede SOLVE-funktion.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 8 Eksempel 8. Vi vil løse ligningen x + 3 = 2x 3(x-4) +5(x+1). Start med at indtaste ligningen i indtastningsfeltet og trykke <ENTER>. I værktøjsbjælken vælges Solve -knappen: og i løsningsvinduet vælges Solve. Herefter genererer Derive #2 og #3 vist i arbejdsvinduet herunder og 1.grads-ligningen er løst. Man kan direkte løse en ligning i indtastningsfeltet ved at skrive f.eks.: SOLVE(t+4=t+3(t-1),t) i indtastningsfeltet og trykke på = -knappen til venstre for feltet. (se figur herunder) Den generelle syntaks er som følger: SOLVE(<udtryk>,<løsningsvariabel>)
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 9 Eksempel 9. Ligningen x 2 = - 4 har som bekendt ingen løsninger med de reelle tal som grundmængde. Skriver vi imidlertid følgende i Derive: SOLVE(x^2=-4,x) får vi dette resultat: Der er her tale om 2 komplekse løsninger og da dette bestemt kan forvirre kan man udelukke denne mulighed ved specifikt at angive grundmænden til de relle tal, R. Dette gøres helt banalt ved at skrive: SOLVE(x^2=-4,x,real) og vi finder: Dvs.: Ingen løsninger L = Ø. Eksempel 10. Vi vil løse uligheden x+3<2(x-1)+3. Vi indtaster følgende i Derive s indtastningsfelt: SOLVE(x+3<2(x-1)+3,x) Hvorefter et tryk på = -tegnet til venstre for feltet giver os resultatet: x > 2 i arbejdsarket: Vi løser dobbeltuligheden x<2x+3<x+2 ved at skrive: SOLVE(x<2x+3<x+2,x) og finder at: 3 < x < -1. Dette sidste udtryk kan plottes og vi får flg. billede: (se næste side)
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 10 Det Derive her har plottet er i virkeligheden en punktmængde, M beskrevet ved: M = {(x,y) -3 < x < -1? y? R} Indsættelse af tekst. Man kan indsætte tekst i arbejdsarket/algebra-vinduet på hele 3 forskellige måder i Derive. 1. Skriv teksten i indtastningsfeltet omgivet af citationstegn: <tekst>. Efter tryk på <ENTER>-tasten placeres teksten som et nyt udtryk med eget #-tegn (se figur herunder).
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 11 2. Indsæt en tekst-rude via menu-bjælken: Insert Text object (F5) eller via værktøjsbjælken. Herefter indsættes en tekstbehandlings-rude hvori f.eks. en forklarende tekst kan skrives. Teksten kan formatteres ved at indsætte en ekstra tekstformatterings-værktøjslinje: Window View Toolbars Formatting Toolbar Derives arbejdsark/algebra-vindue ser nu ud som vist i figuren på næste side og enkel formattering af teksten er nu mulig.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 12 Den ekstra menu-bjælke er indsat her Når tekst-ruden forlades forsvinder hjælpe-rammen udenom og formatterings-bjælken bliver inaktiv. Redigering af tekst-rude: Sletning af tekst-rude: Klik et sted i teksten, hvorved hjælpe-rammen dukker op og formatterings-bjælken aktiveres. Vælg tekst-ruden ved at klikke et sted i teksten. Tryk på <ESC>-tasten og derefter <Delete>-tasten. 3. Derive understøtter en teknologi der akronymiseres OLE (Object Linking and Embedding). Hvis ens favorit-tekstbehandlingsprogram også understøtter denne teknologi har man adgang til avanceret tekst-indsættelse. I det følgende benyttes tekstbehandlingsprogrammet Word 97 (den udgave der følger med Office97-pakken). Start med at skrive et enkelt ord eller en enkelt linje i Word. Marker teksten og kopier den til Windows klippebord:rediger Kopier (Edit Copy) eller Ctrl+c Sørg nu for at Derive er det aktive program og indsæt teksten fra klippebordet med: Edit Paste eller Ctrl+v I Derives arbejdsark/algebra-vindue dukker der nu et OLE-objekt op, markeret med en rammme med 8 små firkanter til dimensionering af denne (se 1. figur på næste side). Objektet er indeholdt (object-embedding) i Derives algebra-vindue og ønsker man at redigere teksten dobbeltklikkes der i rammen hvorefter der linkes (object-linking) direkte til Word!! Den 2. figur på næste side illustrerer forholdene.
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 13 OLE-objektet, linket til Word, vises som en ramme med 8 små håndtag. Ved at dobbeltklikke i OLE-objektet startes Word og objektet kan redigeres ganske som et Word-dokument. Word-linkningen afbrydes efter endt redigering ved at trykke på <ESC>-tasten. OLE-objektet er nu atter omgivet af rammen med de 8 små håndtag og klikkes der udenfor denne ramme forsvinder den. Figuren på næste side viser resultatet hvor vi bl.a. har indføjet et billede i word-objektet. Med muligheden for at indsætte grafer (fra graf-vinduet) og OLE-objekter (fra ens favoritprogrammer) i arbejdsarket/algebra-vinduet har man med Derive 5 et perfekt værktøj til at producere flotte naturvidenskabelige artikler, eksempelvis matematik-afleveringsopgaver
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 14 Udskrivning og afslutning af Derive. Arbejdsarket/algebra-vinduet kan udskrives ved, f.eks., at vælge: File Print fra menubjælken. Det kan undertiden betale sig at tjekke Derives bud på hvorledes udskriften kommer til at se ud på papiret. Dette gøres ved at vælge: File Print Preview (se figuren herunder).
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 15 Derive afsluttes ved at vælge: File Exit. Vil man gemme sit arbejdsark vælges: File Save As.. hvorefter man angiver et fornuftigt filnavn og trykker på <GEM>-knappen. Derive-arbejdsark gemmes altid med filtypen: dfw. Ved genstart af Derive vælges: File Open kan hentes ind til videre bearbejdning. hvorefter det tidligere gemte arbejdsark Vi slutter denne introduktion til Derive med en lille opgave men før vi kaster os ud i denne skal her blot nævnes at Derive kan meget, meget mere end vi her har beskrevet. Vi nævner i flæng: Plotning af graf-familier 3D-plot med animationsmulighed Symbolsk differentiation Symbolsk integration Løsning af differentialligninger Definition af egne funktioner med := operatoren Derive kan således sagtens bruges gennem hele gymnasieforløbet og eventuelt videre ind i en efterfølgende højere uddannelse. Opgave. I denne lille opgave vil vi prøve at bestemme skæringspunkterne mellem 2 cirkler i planen ved hjælp af Derive (opgaven kan også løses analytisk uden brug af Derive). Den første cirkel har centrum i (1,1) og radius 4 medens den anden cirkel har radius 3 og centrum i (5,3). De 2 cirkler kan beskrives ved 2 ligninger: (x-1) 2 + (y-1) 2 = 4 2 og (x-5) 2 + (y-3) 2 = 3 2 Disse 2 ligninger benævner vi eq1 og eq2 i Derive under brug af definitions-operatoren :=. Indskriv følgende 2 udtryk i Derive: #1 eq1:= (x-1) 2 + (y-1) 2 = 4 2 #2 eq2:= (x-5) 2 + (y-3) 2 = 3 2 Ved at navngive de 2 cirkelligninger bliver det lettere at referere til dem senere hen. Åbn nu Derive s graf-vindue og sørg for at både arbejdsarket/algebra-vinduet og graf-vinduet er synligt. Tegn de 2 cirkler. (Hvis cirklerne ikke er helt runde vælges: Set Aspect Ratio i Graf-vinduet og der trykkes på <reset>-knappen). Klik nu med musen på de 2 skæringspunkter og noter disse foreløbige værdier. Skæringspunkterne opfylder begge ligninger og vi benytter nu Derive s SOLVE-funktion til at finde disse. Indskriv følgende udtryk i Derive: #3 SOLVE(eq1? eq2, [x,y]) Bemærk at der nu er 2 løsningsvariabler x og y og at disse skal angives kommasepareret omgivet af firkantede parenteser (en 2-dimensional DERIVE-vektor).
Introduktion til matematikprogrammet Derive 5 Side 16 Simplify og Approximate og sammenlign med de aflæste værdier. Et trick man kan benytte når man skal finde eventuelle skæringspunkter mellem 2 cirkler er at bestemme skæringslinjen (dvs. den rette linje som går gennem skæringspunkterne) ved at trække de 2 ligninger fra hinanden, idet man herved eliminerer de kvadratiske led: x 2 og y 2. Indskriv følgende i Derive: #6 eq3:=eq1-eq2 Simplify udtrykket og tegn grafen for den herved fremkomne skæringslinje i graf-vinduet. Bestem, via Derive, en ligning for skæringslinjen på formen: y = ax +b. Indsæt graf-vinduet i arbejdsarket og forsyn arket med tekst-kommentarer der dokumenterer tankegangen. Slut af med at gemme arbejdsarket og udskriv det på printer. ========================OPGAVE SLUT======================== Man kan flytte rundt med Derive s paneler ved at dobbeltklikke i de parallelle streger