Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Gaslovene Erik Vestergaard
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, april 018. Billedliste Forside: istock.com/cofotoisme (Varmluftsballoner) Side 3: [Public domain], via Wikimedia Commons (Gay-Lussac) Side 5: istock.com/traveler1116 (Robert Boyle) Side 8: istock.com/lcs813 (trykflaske) Side 10: istock.com/mirexon (Varmluftsballon)
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning Tryk er som bekendt defineret som kraft pr. areal: (1) p F A Det giver også fin mening i en gas. Når temperaturen er over det absolutte nulpunkt, vil gasmolekylerne bevæge sig, og jo hurtigere de bevæger sig, jo større kraft vil de udøve mod beholderens vægge. Eftersom molekylerne bevæger sig hurtigere jo højere temperaturen er, er det heller ikke underligt, at trykket vokser med temperaturen. Andre størrelser, der også har betydning for trykket er stofmængden og rumfanget. I det følgende skal vi arbejde med følgende fysiske størrelser: Fysisk størrelse Betegnelse SI-enhed Temperatur T K (Kelvin) Rumfang V m 3 Stofmængde n mol Tryk p Pa (Pascal). Gay-Lussacs 1. lov Efter at have gennemført en række eksperimenter formulerede den franske fysiker og kemiker Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) i 180 den sammenhæng, som i dag betegnes Gay-Lussacs 1. lov. Den siger, at trykket p i en gas vokser proportionalt med den absolutte temperatur T, underforstået for fastholdt rumfang V og stofmængde n. Vi kan udtrykke loven således: p () konstant T eller hvis man har to forskellige tilstande for systemet, hvor V og n er fastholdt: (3) p p T T 1 1 Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850)
4 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Figuren ovenfor til venstre viser et muligt forsøg til eftervisning af loven: En gas er indespærret i en kolbe, som er omgivet af vand. Dermed er rumfanget og stofmængden fast. Et varmelegeme varmer vandet og dermed gassen op. Trykket måles med en trykmåler. Grafen til højre viser den proportionale sammenhæng mellem T og p. 3. Boyle-Mariottes lov Den irsk-engelske filosof, kemiker og fysiker Robert Boyle (166-1691) publicerede i år 166 en lov om gasser: I en idealgas er trykket omvendt proportional med det rumfang gassen udfylder, såfremt temperaturen og stofmængden er uændrede i et lukket system. I moderne notation kan vi skrive (4) pkonstantv pv konstant for T og n fastholdt. Eller alternativt for to forskellige tilstande af gassen: (5) p1v1 p V I 1676 publicerede franskmanden Edme Mariotte (160-1684) den samme lov uafhængigt af Robert Boyle. Derfor kaldes loven nogle steder for Boyle-Mariottes lov. Andre steder omtales den bare som Boyles lov.
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 5 Venstre del af figuren nederst på forrige side viser et muligt eksperiment. En sprøjte har et tætsluttende stempel. Volumenet for den indesluttede gas kan reduceres ved at skubbe stemplet ind, hvorved trykmåleren tilsluttet i enden af sprøjten vil vise et højere tryk. Stofmængden er klart fast. Skulle temperaturen midlertidigt stige, når stemplet trykkes ind, kan man bare vente lidt med at måle trykket, indtil gassens temperatur er udlignet i forhold til omgivelsernes temperatur. Derfor kan også T antages fast. Den omvendte proportionale sammenhæng mellem p og V er vist på figurens højre del. Robert Boyle (167-1691) 4. Tilstandsligningen for en idealgas Vi skal se, hvorledes vi med nogle snedige argumenter og de to gaslove fra afsnit og 3 kan slutte os frem til en mere generel sammenhæng mellem tryk, temperatur, rumfang og stofmængde. Udgangspunktet er, at Gay-Lussacs 1. lov gælder for alle fastholdte værdier af V og n samt at Boyle-Mariottes lov gælder for alle fastholdte værdier af T og n. Vi antager i første omgang, at vi har et system, hvor n er fast. Vi vil bringe dette system
6 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk (under fastholdt stofmængde) fra tilstanden ( T1, V1, p 1) til tilstanden ( T, V, p ). Først ændrer vi volumenet fra V 1til V under fastholdt temperatur til en mellemtilstand, vi kan kalde ( T1, V, p 0). ( T 1, V, p ) ( T,, p ) 1 1 V Fast T Fast n ( T 1, V, p 0 ) Fast V Ifølge Boyle-Mariottes lov har vi derfor: (6) p1v1 p0 V Dernæst ændrer vi temperaturen fra T 1 til T ved under fastholdt volumen til sluttilstan- ( T, p, V ). Ifølge Gay-Lussacs lov giver det os følgende: den (7) p p p T T p T 0 1 0 1 T Det sidste omskrevne udtryk for p 0 i (7) indsættes i (6) og man får: (8) p T p V p V p V V 1 1 1 1 1 T T1 T Vi har dermed påvist, at under fastholdt stofmængde gælder: pv (9) konstant T Det er imidlertid ret klart, at for et givet tryk og en given temperatur vil volumenet være proportional med stofmængden. Man kunne for eksempel forestille sig to ens kasser med den samme gasmængde ved samme temperatur og tryk. Når lågen imellem dem fjernes, vil temperatur og tryk efter blanding være uændret, mens stofmængden og volumenet vil være fordoblet.
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 7 Vi har dermed argumenteret for: pv (10) konstant n T Den italienske kemiker Amedeo Avogadro (1776-1856) fandt ud af, at der i lige store rumfang af forskellige gasser ved samme temperatur og tryk var lige mange molekyler. Konstanten i (10) er med andre ord uafhængig af hvilken gas, der er tale om! Denne konstant kaldes gaskonstanten: R8,3145 J (mol K). Vi har dermed endeligt argumenteret for tilstandsligningen for en idealgas. Idealgasligningen For en såkaldt idealgas gælder følgende sammenhæng: (11) pv nr T hvor p er trykket, V er volumenet, n er stofmængden, R8,3145J (mol K) er gaskonstanten og T er temperaturen i Kelvin. Det er interessant at bemærke, at idealgasligningen udtaler sig om makroskopiske størrelser, såsom temperatur og tryk. Som anført har tryk og temperatur noget at gøre med forhold på det mikroskopiske plan, nemlig de enkelte molekylers hastigheder. Når temperaturen er over det absolutte nulpunkt ved vi, at molekylerne i et fast stof vibrerer omkring en ligevægtsposition. Er det en gas, er molekylerne mere frie, og de kan godt bevæge sig omkring. Jo hørere temperatur, jo hurtigere bevæger molekylerne sig. Det betyder at molekylerne rammer mod beholderens vægge og påvirker disse med en kraft. Vi ved at tryk er kraft pr. areal, så jo større hastighed, jo større kraft og dermed større tryk. Det er dog vigtigt at bemærke, at alle molekyler ikke har samme hastighed. Nogle har større fart end andre man siger, at der er en hastighedsfordeling. Det er derfor ikke overraskende, at vi er ovre i den statistiske fysik. Man kan ikke forudsige noget om det enkelte molekyles opførsel, men fordi der er rigtig mange partikler tilstede, kommer de store tals lov i spil, og man kan alligevel forudsige noget om hvad der sker på det makroskopiske plan. Temperaturen og trykket er netop eksempler på makroskopiske størrelser. Det er på ingen måde en selvfølge, at sammenhængen mellem temperatur, volumen, tryk og stofmængde er præcist som den, der er postuleret i idealgasligningen. Faktisk er det en idealiseret model, som navnet også antyder. Den har vist sig at virke godt i mange konkrete situationer. Loven fungerer bedst ved lave tryk og høje temperaturer, hvor gasmolekylerne er langt fra hinanden og i hurtig bevægelse. Loven er også rimelig nøjagtig ved moderate tryk og når temperaturen er et godt stykke over den temperatur, hvor gassen fortætter, altså går over i væskefasen. Hvis gassen er atmosfærisk luft kan loven ofte benyttes, men ikke hvis der er vanddamp tilstede. Og sammenhængen gælder da heller ikke for alle gasser, kun for de såkaldt ideale gasser. Typisk vil sammenhængen ikke gælde, hvis der er en meget stor stoftæthed eller trykket er for højt.
8 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Eksempel 1 (Charles' lov) Den franske opfinder, videnskabsmand, matematiker og ballonskipper Jacques Alexandre César Charles (1746-183) har leveret navn til en gaslov, som udtaler sig om, hvordan en gas udvider sig ved temperaturstigning, for fastholdt tryk og stofmængde: (1) V konstant T eller V V T T 1 1 Charles' lov fås som et specialtilfælde af idealgasligningen: V ( nr p) T. Den kan for eksempel finde anvendelse, hvis man har en gasmængde indespærret i en sprøjte med et letløbende stempel og man opvarmer gassen i sprøjten (overvej). Eksempel (Trykflaske) En 0 liters trykflaske indeholder komprimeret oxygen. Ved almindelig stuetemperatur på 0 C er trykket i flasken 00 atm. Trykflasken er konstrueret til at kunne klare et tryk på 310 atm. Hvor meget må gasflasken maksimalt opvarmes til, for at holde sig på den sikre side? Løsning: Da trykflasken er lukket, er stofmængden konstant. Volumen er også konstant. Derfor kan vi bruge Gay-Lussacs lov: hvoraf vi får: T T1 p1 p p 1 p T T T 1 T1 p1 p 310atm 93K = 454K 00 atm hvilket svarer til en temperatur på 181 C, som er den temperatur gasflasken med indhold maksimalt må opnå. Eksempel 3 (Varmluftsballoner) Når medlemmer af Dansk Ballon Union flyver med varmluftsballoner, er der ofte tale om balloner med et volumen på 00 m 3. En dag er en ballonskipper og hans kone på en ballonfærd. Antag at brænderen kan opvarme luften i ballonen til gennemsnitligt 90 C, og at temperaturen udenfor i øvrigt er 10 C. Bestem hvor stor ballonens løfteevne er. Løsning: Ifølge Archimedes lov er opdriften på ballonen lig med tyngden af den fortrængte kolde luft. Det der "tynger nedad" er tyngden af den varme luft, ballonen samt lasten. Vi får brug for at udregne antallet af mol atmosfærisk luft i ballonen, både når temperaturen er 90 C, og når den er 10 C. Vi kalder stofmængderne for henholdsvis n v og n k (v for varm og k for kold). Til at bestemme disse stofmængder benytter vi idealgasligningen. Det er klart, at trykket er 1 atm. eller 10135 Pa. Vi får:
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 9 n n v k pv 10135Pa00m RT 8,3145J(molK) (7390)K v pv 10135Pa00m RT 8,3145J(molK) (7310)K k 3 3 73858 mol 94736 mol Molarmassen for atmosfærisk luft får ved at udregne et vægtet gennemsnit af molarmasserne for stofferne nitrogen, ilt og argon: M 0,7880,13 0,0140 g mol 8,96g mol luft hvorefter masserne af den varme og kolde luft fås til følgende: m M n 0,0896 kg mol 73858 mol 139 kg v luft v m M n 0,0896 kg mol94736 mol 744 kg k luft k hvilket giver en masseforskel på 605 kg. Tyngdekraften på den varme luft er: F t,varm m g 139kg9,8m s 1004N v Opdriften på ballonen er tyngden af den fortrængte kolde luft: F F m g 744kg9,8m s 694N op t,kold k Tyngdekraften på ballonen samt lasten må altså ikke overstige Ft,max 694N1004N 5938 N hvis ballonen skal holde sig i luften. Det svarer naturligvis til at sige, at massen af ballonen og lasten tilsammen højst må være 605 kg.
10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Eksempel 4 (Luftbobler i havet) En luftboble med volumen 7,5 cm 3 skabes på bunden af havet. Luftboblen stiger opad og øger under opstigningen sit volumen på grund af de ændrede tryk og temperaturforhold i de højereliggende vandlag. Vanddybden på stedet er 8 m. Vandtemperaturen ved bunden er 10 C, mens den er 17 C i nærheden af overfladen. Hvor stor vil rumfanget af luftboblen være lige før boblen når overfladen? Løsning: Vi kan antage at luften i boblen er en idealgas. Da stofmængden er fast under opstigningen, giver idealgasligningen eller (9), at: pv p V p V konstant T T T 1 1 1 Vi vedtager, at tilstand 1 er ved bunden og tilstand er lige før overfladen. For det første kan vi antage, at trykket ved havoverfladen er 1 atm. For at bestemme trykket på havbunden benytter vi formlen for trykket fra en væskesøjle og lægger lufttrykket til: 3 p1 ghp0 1015kg m 9,8m s 8m10135Pa 380409Pa idet vi har anvendt værdien 1015 kg/cm 3 for densiteten af saltvandet. En omskrivning af formlen længere oppe samt indsættelse af de angivne værdier giver: V p T 380409Pa (7317)K V 7,5cm 8,9cm 10135Pa (7310)K 1 1 p T1 Luftboblens rumfang er altså vokset til 8,9 cm 3. 3 3