Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse
Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås at populatiosadele er mellem 0.25 og 0.29. Begreber: De 0.27 er et pukt-estimat Itervallet 0.25 til 0.29 er et iterval-estimat. Dvs. populatiosadele falder (aslået) idefor pukt-estimat +/- fejl-margi. Fejl-margi er her 0.02
Pukt-estimat og -estimator E estimator er e geerel formel, der bruges til at estimere e parameter med, fx. y = y 1 + y + + Et estimat er e kokret udregig af e estimator, ved at idsætte data. 2 y Der ka være mage estimatore for de samme parameter. Hvis populatiosfordelige er symmetrisk er både stikprøve-media og -geemsit estimatore for populatios-middelværdie.
E god estimator E god estimator har typisk følgede egeskaber: De er Ubiased dvs. at estimatore i geemsit er lig parametere. De er Efficiet dvs. fejl-margi bliver midre jo mere data der er til rådighed. Stikprøve-mediae er e biased estimator for populatiosmiddelværdie, hvis fordelige ikke er symmetrisk.
Notatio e på hatte Stikprøve-geemsittet y er e estimator for populatiosmiddelværdie µ. Geerelt vil vi betege e estimator med e hat ^. ^ Fx. beteger µ e estimator for µ.
Kofidesiterval Motivatio: Ifølge udersøgelse: 54% er vilde med pålægschokolade! Spørgsmål: Hvor sikkert er dette estimat? Kofidesiterval Et kofidesiterval agiver et iterval, hvor vi tror parametere ligger. Sadsylighede for at kofidesitervallet ideholder parametere beteges kofidesiveauet. Kofidesiveauet er typisk 0.95 eller 0.99.
Kofidesiterval: Typisk opskrift I mage tilfælde er stikprøvefordelige for estimatore (tilærmelsesvis) ormalfordelt. Fx stikprøvegeemsittet. I disse tilfælde er kofidesitervallet givet ved pukt-estimat fejl-margi Spørgsmål: Hvorda fider vi fejl-margi?
Kofidesiterval for adele Notatio π : populatios-adel ^ π : stikprøve-adel Bemærk: π er e estimator for π. Atag y = 1 : succes / vild med pålægschokolade y = 0 : fiasko / ikke vild med pålægschokolade Vi har ^ P(1) = π og P(0) = 1-π. Middelværdi og stadard-afvigelse for y (populatioe) er hhv. µ = π og σ = π(1 π)
Adele er et geemsit Bemærk: πˆ = y y 1 + y2 + + y i i = Dvs. stikprøve-adele er et geemsit. For geemsit ved vi at stadard-fejle er så for stikprøve-adele er de σ = y σ σ ˆ π = π (1 π )
Kofidesiterval for π for stort ^ Da π er et geemsit siger CLT, at π ca. følger e ormalfordelig hvis bare er stor ok. ^ Med 95% sadsylighed vil π falde i itervallet π ±1.96 σ ˆ π Omvedt: Med 95% sadsylighed vil π ligge i itervallet ˆ π ± 1.96 σ ˆ π ^
Kofides-iterval: E figur Stikprøvefordelige for π^ 0.4 0.3 95% 0.2 0.1 2.5% 2.5% 0.0 ˆ π 1.96 π ( 1 π ) π ˆ π + 1.96 π x ( 1 π ) πˆ πˆ * πˆ πˆ πˆ πˆ πˆ πˆ πˆ *
Kofidesiterval I praksis keder vi ikke π, dvs. vi keder ikke stadard fejle: = π (1 π ) σ ˆ π I stedet for π bruger vi estimatet π : ^ Et 95% kofides-iterval for π er u givet ved πˆ ± 1. 96 se hvor se = ˆ π (1 ˆ π ) se = stadard error
Eksempel Af 1200 adspurgte i Florida svarer 396 ja til reduktio af abortrettigheder. Fid et 95% kofidesiterval for populatiosadele af ja-sigere. ^ π = se = 95% kofidesiterval:
Hvad med et 99% kof. iterval? Et 99% kofidesiterval: πˆ ± 2. 58 se 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 99% Et (1-α)100% kofidesiterval ˆ π ( 1 ˆ π ) ˆ π ± z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z=2.58-3 -2-1 0 1 2 3 α/2 (1 α)% Egeskaber ved kofidesitervaller: o o o -3-2 -1 0 1 2 3 Jo højere kofidesiveau, jo større z og jo lægere kofides-iterval Jo større stikprøve () jo kortere kofidesiterval Firdoblig af sikre halverig af kofidesiterval. z
Kofidesiterval for middelværdi Igredieser: µ : Populatios-middelværdi y : Stikprøve-geemsit y er et puktestimat for µ. For store stikprøver er y ormalfordelt. Stadardfejle er altid σ σ y = hvor σ er stadard-afvigelse for populatioe. De estimerede stadard-fejl er se = s
Eksempel Kofidesiterval for middelværdi er y ± z se, hvor se = s Eksempel: På et spørgsmål om atal seksuelle partere bladt = 231 kvider, var geemsittet y = 4.96 og stadard-afvigelse 6.81. Fid et 95% kofidesiterval for populatios-middelværdie µ.
Kofidesiterval for middelværdi små stikprøver Atag: populatioe er ormal-fordelt. Da er y ormalfordelt uaset stikprøve-størrelse. Hvis vi keder pop. stadard-afvigelse σ er et (eksakt) kofidesiterval givet ved y ± z Hvis σ er ukedt, erstatter vi med stikprøve stadardafvigelse s. Problem: For små stikprøver medfører dette e ekstra usikkerhed. Løsig: Erstat z med t! σ
t-fordelige t-fordelige er Klokkeformet og symmetrisk omkrig 0 Stadard-afvigelse er lidt større ed 1 Facoe afhæger af atal frihedsgrader (df). Har lidt tykkere haler ed stadard ormalfordelige. Liger e ormalfordelig for df 30. N(0,1) df = 6 df = 2-3 -2-1 0 1 2 3
Kofidesiterval for små stikprøver For e ormalfordelt populatio er et (1-a)100% kofidesiterval for µ s y ± tα / 2 se, hvor se = hvor df = -1. α/2 α/2 1 α -3-2 -1 0 1 2 3 Eksempel: Vi har observeret 29 vægtædriger, hvor y = 3.01 og s = 7.31. Fid et 95% kof. iterval for µ : Løsig: df = -1 = 28, α = 0.025, så t 0.025 = 2.048 t α/2 t α/2
t-tabelle a
I SPSS SPSS: Aalyze Compare Meas Oe-Sample T-Test
Valg af stikprøvestørrelse Hvorda vælger ma stikprøvestørrelse så vi opår e Give fejl-margi ved et Givet kofidesiveau Eksempel: Vi øsker at bestemme et kofidesiterval for π, så Fejl-margi : Max 0.04 Kofidesiveau : 95% Løsig:
Geerel løsig for adele For at populatiosadel π vælg Fejl-margi: M Sigifikasiveau: (1-α)100% Stikprøvestørrelse skal da være: z = π ( 1 π ) M 2 Hvis populatios-adele π er helt og aldeles ukedt bruges π = 0.5 i formle. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 (1 α)100% α/2 z z α/2-3 -2-1 0 1 2 3
Geerel løsig for middelværdi For middelværdie µ vælg Fejl-margi: M Sigifikasiveau: (1-α)100% Stikprøvestørrelse skal da være: 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 2 = σ z M (1 α)100% 2 Hvis populatiosstadardafvigelse σ er ma ød til at gætte sig frem til. Hellere lidt for stor ed for lille. α/2 z z α/2-3 -2-1 0 1 2 3
Eksempel Middel atal års uddaelse bladt idiaere Øsker: Fejl-margi: M = 1år Kofidesiveau: 99% Først skal vi gætte σ! Vi tror (æste) alle har mellem 5 og 20 års uddaelse Derfor er vores gæt σ = 2.5 år!