Betonkonstruktioner Lektion 11 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Facult of Engineering 1
Plader
Plade = Plant element belastet vinkelret på pladens plan. m m Bøjende momenter pr. længdeenhed m Vridende moment pr. længdeenhed v m m v v Forskdningskræfter pr. længdeenhed m v m t<< L, t << L. 3
m m m m Y X Z 4
h m A' s A' s m h m m A s A', s A s, A' s As armeringsareal armeringsareal As pr. længdeenhed i pr. længdeenhed i undersiden oversiden 5
Brudmomenter: A' s f m p m' p A s f A' s f m p m' p A s f Det Tekniske Fakultet
Brudmomenterne bestemmes ved sædvanlige bøjningsformler: z m A f z p s A s f En plade betegnes som isotropt armeret såfremt: m p m p m' p m' p Det Tekniske Fakultet
Understøtningssmboler: Fri rand Simpelt understøttet Punkt understøtning Indspænding 8
Pladens ligevægtsbetingelse: Opadrettet kraft Nedadrettet kraft Lodret ligevægt Σz=0: Moment ligevægt om parallelforskudt -akse ΣM=0: d m d m d Pdd Moment ligevægt om parallelforskudt -akse ΣM=0: v d v d m d m d d z 9
Pladens ligevægtsbetingelse: Lodret ligevægt Σz=0: Moment ligevægt om parallelforskudt -akse ΣM=0: Moment ligevægt om parallelforskudt -akse ΣM=0: Samlet: Udtrkkene indsættes den lodrette ligevægt!! 10
Pladens ligevægtsbetingelse: m m m p(, ) 11
1
Hvis pladen kun spænder i én retning og hvis p kun varierer i spænd-retningen, så vil pladen virke som en bred bjælke. p(), m m 0 p() m p( ) 13
Enkeltspændte plader Betragtes som bjælker med stor bredde Beregnes som bjælker både mht. bøjning og forskdning På grund af muligheden for spændingsomlejringer på tværs af spændretningen er forskdningspåvirkningerne som regel små. Regler for ikke-forskdningsarmerede bjælker benttes, se kapitel 5. 14
Konstruktive regler 15
Dobbeltspændte plader Dobbeltspændte plader er plader, hvori der er bøjning om flere akser. Brudberegning af sådanne plader foretages eksempelvis ved: 1) Strimmelmetoden (nedreværdimetode uden hensntagen til vridning). ) Brudlinieteorien (øvreværdimetode) 16
1. Strimmelmetoden (Udviklet af A. Hillerborg) 17
Strimmelmetoden er baseret på plasticitetsteoriens nedreværdisætning. Metoden anvendes til at bestemme snitkraftfordelinger i plader med henblik på bøjnings- og forskdningsdimensionering. I strimmelmetoden sætter man det vridende moment til nul, dvs., m = 0. Dette betder, at pladens ligevægtsligning ændres til: m m p 18
Indfører man nu betingelsen p + p = p, kan ligevægtsligningen opdeles i to dele, som svarer til ligevægtsligningen for bjælker: m p m p Løsning af pladens ligevægtsligning reduceres således til løsning af ligevægtsligningen for bjælker (en i -retning og en i -retning). 19
Plankeanalogien er en nem måde at forstå strimmelmetoden. Plade med konstant fladelast: A s a b A s a a b a 0
EKSEMPEL 1. Først antages, at pladen er enkeltspændt. Pladen har fldemomenterne m p = m p = m p = m p = m p = 40 knm/m. p 10 kn/m b = 8m a = 8m Ma. Bøjningsmoment i pladen findes til: 1 m,ma 10kN/m 8 80 knm/m m p 8m 40 knm/m Ej OK. Pladen kan ikke bære belastningen som enkeltspændt plade. Der indføres understøtninger langs de to øvrige sider. 1
EKSEMPEL 1. p 10 kn/m p 5 kn/m p 5 kn/m m m
EKSEMPEL 1. Ma. Bøjningsmomenter: m m 1 1 p b 5 8, ma 8 8 1 1 p a 5 8, ma 8 8 40 knm/m 40 knm/m m,ma m, ma m p p p 5 5 10kN/m p Dvs., belastningen kan iht. denne nedreværdiløsning netop bæres, når der indføres to ekstra understøtningslinier. 3
Nedbøjning Strimmelmetoden opflder de statiske betingelser men ikke de geometriske betingelser. Dvs., den anvendte momentfordeling giver ikke en nedbøjningsfigur, som opflder de geometriske randbetingelser. u u Enkeltspændte u u maks Kaptel 5 384 4 ql E I 4 ql E I Dobbeltspændte maks 3.4 Teknisk plader ( jævt plader ( jævt ståbi fordelt last) : fordelt last) : 4
Nedbøjning for dobbeltspændte plader u u Kaptel 3.4 Teknisk u maks 4 ql E I ståbi I I 5