Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark
Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet af Professionshøjskolen Metropol VIA University College Rambøll Management Consulting A/S
Indholdsfortegnelse 1. Elevark - modul 1... 2 1.1 Elevark... 2 1.2 Elevark... 5 1.3 Elevark... 7 1.4 Elevark... 12 1.5 Elevark - grøn... 13 1.6 Elevark - gul... 16 1.7 Elevark - rød... 18 2. Elevark - modul 2... 20 2.1 Elevark... 20 2.2 Elevark... 23 2.3 Elevark... 26 2.4 Elevark regn dig god... 27 3. Elevark - modul 3... 32 3.1 Elevark - tjek ind... 32 3.2 Elevark - intro... 33 3.3 Elevark... 34 3.4 Elevark... 35 3.5 Elevark... 36 3.6 Elevark... 37 3.7 Elevark regn dig god... 38 4. Elevark - modul 4... 41 4.1 Elevark - plusgåder... 41 4.2 Minusgåder... 42 4.3 Gangegåder... 43 4.4 Divideregåder... 44 4.5 Elevark - forlæns og baglæns... 45 4.6 Kopiark - stjerne og kvadrat... 46 4.7 Elevark - regn dig god... 50 5. Elevark - modul 5... 53 5.1 Elevark... 53 5.2 Elevark... 54 5.3 Elevark... 56 5.4 Elevark - regn dig god... 57 5.5 Elevark - regn dig god... 58 6. Elevark modul 6... 60 6.1 Elevark... 61 6.2 Elevark... 62 6.3 Elevark... 63 6.4 Elevark - regn dig god... 64
Elevark Modul 1 1
1. Elevark - modul 1 1.1 Elevark 2
3
4
1.2 Elevark 5
6
1.3 Elevark 7
8
9
10
11
1.4 Elevark Elevark 1.5 12
1.5 Elevark - grøn 13
14
15
1.6 Elevark - gul 16
Udfyld de tomme felter i skemaet 17
1.7 Elevark - rød 18
Elevark Modul 2 19
2. Elevark - modul 2 2.1 Elevark Er det sandt, falsk eller måske sandt? Skriv ud for hvert udsagn, om det er sandt, falsk eller måske sandt. Stjernen vejer det samme som trekanten Stjernen vejer mere end trekanten Stjernen vejer mindre end trekanten Stjernen vejer halvt så meget som trekanten Stjernen vejer 8 og trekanten vejer 4 20
Stjernen vejer 2 og trekanten vejer 4 21
Lav selv sande, falske og måske sande udsagn Lav sætninger (en sand, en falsk og en måske sand), som passer til uroen. Sandt Falsk Måske sandt Hvad kan appelsinerne og citronen veje? Skriv tal på frugterne, så der er ligevægt. 22
2.2 Elevark Hvilke tal kan stå i uroerne? Klip tallene til højre ud Gæt og prøv efter - læg tal på, så det passer OBS: Nogle af opgaverne kan ikke løses. Hvilke? Andre kan løses på flere måder. Hvilke? 23
Stadig ligevægt? Der er ligevægt i uroen. Men hvilke ændringer vil holde uroen i balance? Diskuter og afgør, om disse ændringer vil holde balance i uroen. 1.Tilføje et hjerte mere på hver side? 2. Fjerne et hjerte? 3. Tilføje en femkant mere på højre side? 4. Tilføje to stjerner mere på hver side? 5. Tilføje en femkant på venstre side og et hjerte på højre? 6. Tilføje en cirkel på hver side? 7. Tilføje en femkant på venstre side og to hjerter på højre side? Hold ligevægten Skriv tal i figurerne, så der er ligevægt. Hold ligevægt Lav selv andre løsninger. Skriv tal i figurerne, så der er ligevægt. 24
Hold ligevægt Skriv tal i figurerne, så der er ligevægt. 25
2.3 Elevark 26
2.4 Elevark regn dig god 27
28
Talligevægt Figur 1 viser et eksempel på en talligevægt. Cirklerne i talligevægten skal være fyldt med tal eller udtryk med ubekendte, sådan at summen i de gule cirkler er lig med summen i de orange cirkler. Desuden skal den samlede sum i de gule og de orange cirkler være lig med summen i de blå cirkler. I talligevægt 1 på svararket på næste side er kun nogle af cirklerne udfyldt. Udfyld de tomme cirkler i talligevægt 1 I talligevægt 2 på svararket er alle cirklerne udfyldt med tal og udtryk med den ubekendte m Beregn værdien af den ubekendte m I talligevægt 3 på svararket er nogle af cirklerne udfyldt med tal og udtryk med den ubekendte p Udfyld de tomme cirkler i talligevægt 3 I talligevægt 4 på svararket er alle cirklerne udfyldt med tal og udtryk med de ubekendte a og b Beregn værdierne af de ubekendte a og b 29
30
Elevark Modul 3 31
3. Elevark - modul 3 3.1 Elevark - tjek ind 2 Kg På billedet ses en hel og en halv mursten samt et 2 kg-lod i en ligevægt. Hvordan kan man skrive op, hvad der gælder? Kan du finde ud af, hvad en mursten vejer? 32
3.2 Elevark - intro Sproglig formidling 1 I klassen er pigerne (P) og drengene (D) tilsammen 23 2 Der er flere piger end drenge 3 Der er 3 piger mere, end der er drenge Symbolsk/ algebraisk udtryk P= Antal piger i klassen D= Antal drenge i klassen P+D=23 P=23-D P= Antal piger i klassen D= Antal drenge i klassen P > D P= Antal piger i klassen D= Antal drenge i klassen P= D+3 Illustration på tallinje P D 0 23 D P 0 P D 3? Tegning el. lign. 4 5 Himmelbjerget er 26 cm lavere end Ejer Bavnehøj 6 L= Antal lærere på skolen E= Antal elever på skolen E= 7,5 x L 33
3.3 Elevark Hvor mange elever er der i vores klasse i dag? Hvor mange piger (P) og hvor mange drenge (D)? Skriv nogle udsagn om eleverne i klassen, både af piger og drenge i klassen, og skriv de tilsvarende udsagn med symboler og illustrer på en tallinje. Du kan bruge variablene A, B, C, P og D eller selv lave nogle nye, fx om fritidsinteresser eller Find gode navne til variablene Kan du lave sproglige formuleringer, hvori der indgår sådan noget som halvdelen af eller 3 gange så mange som Sproglig formulering Symbolsk udtryk Illustration på tallinje I vores klasse er pigerne (P) og drengene (D) tilsammen P= Antal piger i klassen D= Antal drenge i klassen A= Antal elever i klassen, der er enebørn B= Antal elever i klassen med 1 søskende C= Antal elever i klassen med 2 eller flere søskende A + B + C = 34
3.4 Elevark Hvor mange piger og drenge er der i klassen? En undersøgelse Eksempel: Hvis der er 23 elever i klassen og der er 3 flere piger end drenge, hvor mange piger og drenge er der så i klassen? Der må være 13 piger og 10 drenge. De to oplysninger kan formuleres sådan i symbolsprog: P + D = 23 og P = D + 3 1. Hvad nu, hvis der er 29 i klassen, og 5 flere drenge end piger - hvor mange piger og drenge er der så? Forklar, hvordan du løser problemet - kan du bruge tallinjen? Skriv oplysningerne om med symbolsprog. 2. Hvad nu, hvis der er 29 i klassen, og 11 flere drenge end piger - hvor mange piger og drenge er der så? Hvad nu, hvis der er 29 i klassen, og 4 flere drenge end piger? 26 i klassen og 8 flere drenge end piger? 22 i klassen og 5 flere drenge end piger.? 3. Hvad nu, hvis der er 637 elever på skolen, og 31 flere piger end drenge.? 1.706 skolebørn i kommunen og 143 flere piger end drenge.? 4. Nogen gange kan man finde en løsning og andre gange ser det ikke ud til, at der er en løsning. Kan du finde en regel for, hvornår man kan finde en løsning.? 5. Hvad nu, hvis alle opgaverne handlede om farvet bånd, der skulle deles i to ruller, fx 29 m bånd skal deles i to ruller, så der er 11 m mere i den ene rulle end i den anden? 29 m bånd deles i to ruller med 4 m mere i den ene rulle end i den anden.? 6. Tre børn vil dele 44 stykker slik, så de to yngste får lige mange stykker, og det ældste barn får 5 stykker mere end hvert af de to andre. Hvor mange stykker slik får hvert af børnene - kan en deling efter dette mønster altid gå op? 35
3.5 Elevark Eksempel To personer er på burgerbar. Alice køber 1 burger, 1 cola og 2 portioner pommes frites. Brian køber 2 burgere og 1 cola. Med brug af bogstaver kan man kort skrive, hvor mange enheder, der købes af hver slags: Bogstavudregning: 1b + 1c + 2p + 2b + 1c = 3b + 2c + 2p Det sidste udtryk viser, at Alice og Brian tilsammen køber 3 burgere, 2 colaer og 2 portioner pommes frites. Det giver ikke mening at lægge burgere (b er) sammen med colaer (c er). Men udtrykket kan bruges til at beregne den samlede pris ved at indsætte værdierne (priserne) for variablerne b, c og p i bogstavregneudtrykket. Samlet pris for Alice og Brians køb: 3 35kr + 2 17kr + 2 21kr = 181 kr. Vi har brugt definitionerne: b = Prisen på en burger c = Prisen på en cola p = Prisen på en portion pommes frites. Hvor stort er energiindholdet i Alices køb? Og i deres samlede køb? Skriv op, hvordan du regnede det ud. Tre venner bestiller mad på burgerbaren: Niels vil have 3 burgere, 1 cola og 1 portion pommes frites Oda vil have 1 burger og 2 colaer Peter vil have 2 burgere, 3 colaer og 2 portioner pommes frites. Opskriv bogstavudregningen for deres køb og brug det til at beregne den samlede pris. 36
3.6 Elevark 1. Fem venner skal på burgerbar. De ringer og bestiller med, så det er klar, når de kommer. 2. A vil have 1 burger og 2 portioner pommes frites B vil have 1 portion pommes frites og 1 cola C vil have 1 cola og 3 burgere D vil have 2 burgere og 2 colaer E vil have 2 portioner pommes frites, 2 burgere og 1 cola. Opskriv bogstavudregningen, som beskriver deres samlede bestilling. 3. Tre venner er på burgerbar. Både A og B vil have 2 burgere og 1 cola og C vil have 1 burger og 2 colaer. Forklar, hvorfor regneudtrykket 2(2b+c)+1b+2c beskriver deres samlede bestilling og foretag bogstavudregningen. 4. 3(b+c) + 2(3c + p) Dette regneudtryk stammer fra 5 venners bestilling på burgerbaren. Hvordan kan dette udtryk være opstået? Hvad er den samlede pris for deres bestilling? 5. Regneudtryk: 2k +5(n-2) Hvilken værdi får regneudtrykket, hvis k = 3 og n = 7? Svar: 2*3 + 5*(7-2) = 6 + 25 = 31. Udfyld skemaet - hvis ikke du kan regne dig frem til et resultat, kan du prøve dig frem. k 3 201 1-3 8 4 n 7 62 2 6-1 7 2k + 5(n-2) 27 18 Se videoen om brug af regneark til burgeropgaver 6. Brug regnearket til at beregne priserne i opgave 1-3. Kan du bruge regnearket til at kontrollere resultaterne i opgave 4? 7. Lav jeres egne burgeropgaver - brug flere variable, for eksempel forskellige burgere, tilbehør osv. og prøv også at bruge parenteser. Byt jeres opgaver med et nabomakkerpar. 37
3.7 Elevark regn dig god Opgave 1 Beskrive algebraiske sammenhænge og oversætte mellem forskellige repræsentationer. Udfyld de manglende celler i skemaet og lav til sidst dine egne sammenhænge. Sprogligt formulering Symbolsk udtryk Illustration på tallinje I klassen er der tilsammen 23 piger(p) og drenge(d) P + D = 23 På vores skole er der 8 gange så mange elever(e) som lærere(l) Hvad kan du sige om højden af Karl(K) og Vera(V)? Hvad kan du sige om vægten af A og B? K > V A - 4 = B T er 5 år ældre end S Opgave 2 Hvilket af udtrykkene herunder passer til beskrivelsen: y er 5 større end x? Sæt et X: y = x 5 y = 5x y = x + 5x y = 5 x y = x + 5 Opgave 3 Beregn værdien af hvert udtryk, når s = 2 og t =6, og når s = -1 og t = 2 1) 5s - 4 + 0,5t 2) 10s - t 3) t 2 - s 38
Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 Opgave 7 39
Elevark Modul 4 40
4. Elevark - modul 4 4.1 Elevark - plusgåder Plus 5-gåden: Tænk på et tal, læg 5 til og noter resultatet. Hvis du kender resultatet, hvordan kan du så finde starttallet? Eller Jeg købte et stykke chokolade til 5 kr. og en is og betalte i alt 17 kr. Hvad kostede isen? Eksempler fra plus 5-gåden: Peters resultat var 17 - hvilket tal tænkte Peter på? Sørens resultat var 105 - Sørens tal? Minnas resultat var 5 - Minnas tal? Sofies resultat var 0 - Sofies tal? Lav dine egne plusgåder: Lav en nem: Lav en svær: Lav en smart: Repræsentationer af en plusgåde: Sproglig formulering Et tal plusses med 5. Hvis jeg kender resultatet, hvad er så tallet? Jeg finder starttallet ved at trække 5 fra resultatet Symbolsk formulering x + 5 = 17 eller 17 = x + 5 x = 17-5 = 12 Illustration på en tallinje Illustration som ligevægt 5 x 17 Jeg finder tallet ved at gå 5 tilbage fra 17 Der vil stadig være ligevægt, hvis jeg fjerner 5 fra hver snor, derfor vil x være i ligevægt med 12. 41
4.2 Minusgåder Minus 7-gåden Tænk på et tal, træk 7 fra og noter resultatet. Hvis du kender resultatet, hvordan kan du så finde starttallet? Eller (digt en historie) Eksempler med udregning af tallet fra minus 7-gåden: Lav dine egne minusgåder. Lav en nem: Lav en svær: Lav en smart: Repræsentationer af en minusgåde: Sproglig formulering Symbolsk formulering Illustration på en tallinje Illustration som ligevægt (kan være vanskelig) 42
4.3 Gangegåder Gange med 3-gåden. Tænk på et tal, gang med 3 og noter resultatet. Eller (digt en historie) Eksempler med udregning af tallet fra gange med 3-gåden. Lav dine egne gangegåder. Lav en nem: Lav en svær: Lav en smart: Repræsentationer af en gangegåde: Sproglig formulering Symbolsk formulering Illustration på en tallinje Illustration som ligevægt 43
4.4 Divideregåder Dividere med 2-gåden. Tænk på et tal, divider med 2 og noter resultatet. Eller (digt en historie) Eksempler med udregning af tallet. Lav dine egne divisionsgåder. Lav en nem: Lav en svær: Lav en smart: Repræsentationer af en divisionsgåde: Sproglig formulering Symbolsk formulering Illustration på en tallinje Illustration som ligevægt (kan være vanskelig) 44
4.5 Elevark - forlæns og baglæns Forlæns: Der gælder nedenstående sammenhæng mellem værdien af en stjerne og et kvadrat: 2 + 5 = Hvis jeg nu lægger 3 centicubes på stjernen, hvor mange skal der så ligge på kvadratet? 2 3 + 5 = 11. Hvis jeg nu lægger 1 centicube på stjernen, hvor mange skal der så ligge på kvadratet? Hvis nu stjernen har værdien 10, hvilken værdi får kvadratet så? Hvis nu stjernen har værdien -2? Udfyld skemaet - find gerne på nogle stjerneværdier selv og beregn de tilsvarende kvadratværdier. Stjerne -2 0 1 2 3 3,5 10 87 Kvadrat 11 Et regneark kan være en stor hjælp til at udfylde ovenstående tabel. Regneark demonstreres enten direkte eller ved at vise videoen Forskrift forlæns. Baglæns Hvad nu, hvis vi ved, at kvadratets værdi er 19, hvad er så stjernens værdi? Forklar, hvordan man kan nå frem til resultatet? Fx at omorganisere 19 centicubes Hvad nu, hvis kvadratets værdi er 13 eller 25..eller -1? Stjerne Kvadrat -5-1 13 19 25 28 Udfyld skemaet. Find selv på nogle kvadratværdier og beregn de tilsvarende stjerneværdier. Prøv at formulere en opskrift på, hvordan man beregner stjerneværdien ud fra kvadratværdien. Regneark demonstreres enten direkte eller ved at vise videoen Forskrift baglæns. 45
4.6 Kopiark - stjerne og kvadrat 46
4.6.1 Elevark I denne opgave gælder der nedenstående sammenhæng mellem værdien af en stjerne og et kvadrat: Forlæns 3 + 1 = Hvis værdien af en stjerne er 2, får kvadratet værdien 3 2 + 1 = 7, som er indført i tabellen nedenfor. Udfyld resten af tabellen. Stjerne -2 0 1 2 3 3,5 87 502 Kvadrat 7 Baglæns Man kan også regne baglæns og beregne værdien af stjernen ud fra værdien af kvadratet. Stjerne Kvadrat -2 1 7 16 19 28 112 1372 Prøv at formulere en opskrift på, hvordan man regner tilbage fra en kendt værdi af kvadratet til den tilhørende værdi for stjernen. Forlæns og baglæns I denne opgave er sammenhængen mellem A og B beskrevet ved ligningen 2A - 3 = B. Udfyld resten af tabellen. A 1 5 B 5 7 15 16 27 36 Prøv at give en opskrift på, hvordan man kan regne tilbage fra B til A. Regneark Udform et regneark, der kan beregne de tomme celler i 4.3.1 og 4.3.2 Se evt. videoerne Forskrift forlæns og Forskrift baglæns. 47
4.6.2 Elevark I makkerpar eller grupper på 3 I skal udforme en opgave som 4.3.1 med en tabel til forlæns udregning og en anden tabel til baglæns beregninger. I skal selv vælge navn til jeres to variable og bestemme, hvilken sammenhæng der skal være mellem dem. Krav: Der skal indgå 2 regningsarter og 1 parentes. Ekstra udfordringer: Sammenhængen - forskriften - skal indeholde 3 regningsarter og en parentes. Udarbejd et regneark, der kan udfylde de to tabeller. Forskrift: Forlæns tabel Baglæns tabel 48
4.6.3 Elevark Alle stykker, der er mærket med x, er lige lange. Hvor lang er x-stykket? Opskriv den illustrerede sammenhæng som en ligning. X X X X X 12 0 x 36 Alle stykker, der er mærket med x, er lige lange. Hvor lang er x-stykket? Opskriv den illustrerede sammenhæng som en ligning. 0 X X X X 2 6 Løs nedenstående ligninger, fx med brug af ovenstående teknik. 1. 2. 3. 24 x = 13 x = 2x 7 = x +3 x = 4x + 5 = -x + 25 x = 4. 2x + 1 = 5 3 x = 49
4.7 Elevark - regn dig god Opgave 1 Forskriften y = 2x - 0,5 beskriver sammenhængen mellem x og y i denne opgave. Udfyld tabellen x -2 0 1 7 y 1 2,5 10 100-10 Beskriv, hvordan man kan beregne x, når y er kendt. Opgave 2 Forskriften y = 0,5x -13 beskriver sammenhængen mellem x og y i denne opgave. x -2 0 10 30 y 1 5 10 100-10 Beskriv, hvordan man kan beregne x, når y er kendt. Opgave 3 Opgave 4 50
Opgave 5 Ea tænker på et hemmeligt tal, a. Først trækker hun 3 fra tallet a og får et resultat.? Til sidst ganger hun resultatet med sig selv. Hvilket udtryk beskriver Eas beregning? Sæt et X a - 3 x a - 3 a - 3 x (a - 3) (a 3) 2 a - 3 x 2 (a 3) x 2 Opgave 6 51
Elevark Modul 5 52
5. Elevark - modul 5 5.1 Elevark Omkreds: Areal: Omkreds: Areal: Omkreds: Areal: Omkreds: Areal: 53
5.2 Elevark Omkreds: Areal: På figuren er linjestykket AB = 6 Linjestykket CD er = Omkreds: Areal: 54
a = b = c = d = Omkreds: Areal: Hvis a = 5 og b = 2: Omkreds: Areal: Skriv med bogstaverne a og b Omkreds: Areal: 55
5.3 Elevark Design en opgave - polygoner og variable I grupper på 2 eller 3 I skal designe en opgave til jeres klassekammerater. Der er disse krav til opgaven: 1. Figuren skal bestå af mindst tre sammensatte polygoner 2. Mindst 2 af figurens sider skal angives med bogstaver, fx a og b 3. Man skal kunne beregne både omkreds og areal af figuren 4. Opgaven skal kunne være på en A4-side 5. Der skal være en illustration på siden 6. I skal selv udarbejde et løsningsforslag. [I kan eventuelt bruge GeoGebra til at tegne polygoner] 56
5.4 Elevark - regn dig god a = a = a = a = 57
5.5 Elevark - regn dig god Omkreds = Areal = Omkreds = Areal = Omkreds = Areal = Omkreds = Areal = 58
Elevark Modul 6 59
6. Elevark modul 6 Hent GeoGebrafilen: https://www.geogebra.org/m/hxm8mbnm Prøv at give bud på disse spørgsmål - både som gæt og ved brug af GeoGebra. Kan du finde på spørgsmål til dine klassekammerater? Eksempler på spørgsmål Gæt GeoGebra Mindste areal af rektanglet? Største areal af rektanglet? Længde af siderne i kvadratet? Kan arealet blive et ulige tal? Kan arealet blive lige tal? Rektanglet med den mindste omkreds? Rektanglet med den største omkreds? Findes et rektangel med samme omkreds og areal? 60
6.1 Elevark I skal hente denne GeoGebra-figur på: https://www.geogebra.org/m/x4cy9urn I kan variere siderne ved at trække i skyderne, som alle kan have hele værdier mellem 0 og 10. Ved hjælp af skyderne skal I undersøge, hvad arealet og omkredsen af figuren bliver med forskellige værdier af a og b og areal. Udfyld de tomme felter a b Areal Omkreds 5 1 28 24 5 27 28 2 55 9 48 Hvilket areal er det største, du kan lave? Hvilke værdier har a og b? Hvilken omkreds er den største, du kan lave? Hvilke værdier har a og b? 61
6.2 Elevark I skal hente GeoGebra-filen på: https://www.geogebra.org/m/dnq6zyer I kan variere siderne ved at trække i skyderne, som alle kan have værdier mellem 0 og 10. Ved hjælp af skyderne skal I undersøge, hvad arealet af figuren bliver med forskellige værdier af a, b, c og areal. Udfyld de manglende felter a b c Areal 7 5 2 31 7 5 3 27 Hvad er det mindste areal, du kan lave? Hvilke værdier har a, b og c? Hvad er det største areal, du kan lave? Hvilke værdier har a, b og c? 62
6.3 Elevark I skal i makkerpar designe 2 opgaver med figurer, som jeres klassekammerater skal kunne løse. Opgaven skal have udgangspunkt i en GeoGebra-fil, som er tegnet ved hjælp af skydere. Opgaven skal indeholde krav om at finde areal og omkreds af figurerne for forskellige værdier af a og b og eventuelt c. Herunder er et eksempel på en opgave. 63
6.4 Elevark - regn dig god 64