Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden

Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med konstruktiv interferens. Linjerne er hyperbel-kurver der opfylder betingelsen for konstruktiv interferens PB PA = m λ. Værdierne for det hele tal m er skrevet på de røde linjer. Grøn: destruktiv interferens. 1

Konstruktiv interferens Hvordan omformer vi betingelsen for konstruktiv interferens (1) PB PA = m λ til ligninger af typen ( x a ) ( y b ) = 1 for de hyperbler, i hvis retning bølgerne med konstruktiv interferens udbreder sig? Svaret er, idet centrum for hyperblerne er (0,0) mi mellem de to kilder og punktet P har koordinaterne (x, y): () ( x m 1 λ) y ( n m 1 λ) = 1 hvor n = AB, og m = 1,,, n 1 Hyperbelligninger λ Tallet n er altså afstanden mellem de to kilder, målt i bølgelængdeenheder. Tilfældet m = 0 er en udartet hyperbel: nemlig en ret linje mi mellem de to kilder. Den beskrives ikke af ligning (). Der er i alt n 1 hyperbler for konstruktiv interferens. Hyperblerne har asymptoterne (3) y = ± b x = ± n m x med m = 1,,, n 1 a Men hvordan kommer vi til urykket ()? m Det kræver li matematisk argumentation. Så hvis du hellere selv vil klare udfordringen, så stop læsningen her! Begrundelse for (): Vi tager udgangspunkt i betingelsen for konstruktiv interferens (1): (4) PB PA = m λ m er et helt tal De to kilder placeres i punkterne A( c, 0) og B(c, 0). Afstanden mellem de to kilder er derfor AB = c

Punktet P har koordinaterne P(x, y). Indføres koordinaterne i betingelsen (4), finder vi: (5) (x c) + y (x + c) + y = m λ Vi kvadrerer på begge sider: ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) (x c) + y (x + c) + y = m λ Herefter isoleres kvadratrødderne på højre side: Vi kvadrerer så igen: ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) m λ = (x c) + y (x + c) + y ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) + m 4 λ 4 + ((x c) + y ) ((x + c) + y ) m λ ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) = 4 ((x c) + y ) ((x + c) + y ) Vi subtraherer højresiden på begge sider mv: ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) ((x c) + y ) ((x + c) + y ) = m 4 λ 4 + m λ ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) Venstresiden genkendes som kvadratet på en toleddet størrelse: (((x c) + y ) ((x + c) + y )) = m 4 λ 4 + m λ ((x c) + y ) + ((x + c) + y ) Venstresiden og højresiden reduceres: Eller Som omformes til 16x c = m 4 λ 4 + m λ (x + c + y ) 16x c = m 4 λ 4 + 4m λ (x + c + y ) 16x c 4m λ x 4m λ y = 4m λ c m 4 λ 4 3

Eller (16c 4m λ ) x 4m λ y = 4m λ c m 4 λ 4 Højresiden omformes: (16c 4m λ ) x 4m λ y = 1 4 m λ (16c 4m λ ) Heri indfører vi definitionen og får n = AB λ = c λ hvoraf 16c = 4n λ (4n λ 4m λ ) x 4m λ y = 1 4 m λ (4n λ 4m λ ) Vi deler med 4λ på begge sider: (n m ) x m y = 1 4 m λ (n m ) Og så deler vi med (n m ) på begge sider: x m (n m ) y = 1 4 m λ Vi deler nu med 1 4 m λ = ( 1 m λ) på begge sider: Eller alternativt x 1 y 4 m λ ( x m 1 λ) (n m ) 1 4 λ = 1 y ( n m 1 λ) = 1 som påstået i formel (). 4

Hvis vi måler koordinaterne x og y i enheder af bølgelængden, så bliver ligningen for hyperblerne X Y 1 m 4 (n m ) 1 4 = 1 hvor X = x/λ og Y = y/λ. Parameterfremstillinger Hvis vi hellere vil bruge en parameterfremstilling for hyperblerne, kan vi bruge hvor igen n = AB λ x(p) = ±m 1 λ cosh(p) og y(p) = n m 1 λ sinh(p) og m = 0,1,,, n 1 Parameteren p er et reelt tal, men i praksis er det selvfølgelig tilstrækkeligt at begrænse p til et interval [0; p max ], hvor y max = 1 λ sinh(p max) hvor y max er den største y-værdi på figuren. Destruktiv interferens Hvis vi vil tegne hyperbler med destruktiv interferens, er betingelsen (6) PB PA = (m + 1 ) λ hvor m et helt tal, og n m n 1s Denne ligning beskriver naturligvis også hyperbler, som kan beskrives ved ligningerne x (7) ( (m+ 1 ) 1λ) ( y ) n (m+ 1 ) 1 λ = 1 hvor det hele tal m opfylder n m n 1, i alt n hyperbler 5

Bølgefart i retningerne med konstruktiv interferens Hvilken fart bevæger bølgetoppene sig med i retningerne med konstruktiv interferens? Vi tager udgangspunkt i ligningerne PB = m λ + v t og PA = v t, således at PB PA = m λ. Her er v lydens fart, og t er tiden. De to ligninger beskriver ringbølger, hvor radius øges med lydens fart v. Med koordinater som ovenfor får vi (x c) + y = m λ + v t og (x + c) + y = v t Vi differentierer de to ligninger mht. tiden t: og 1 (x c) +y 1 (x+c) +y ((x c) dx ((x + c) dx + y dy ) = v + y dy ) = v Vi omformer de to ligninger til: og (x c) dx dy + y = PB v (x + c) dx dy + y = PA v Og vi subtraherer de to ligninger: c dx = ( PB PA ) v 6

Så indfører vi betingelsen PB PA = m λ i denne ligning: Herved bliver c dx = m λ v dx = m λ v c Indfører vi definitionen AB = c = n λ, har vi så (8) dx = m n v Så - overraskende nok - er x-hastigheden konstant! Men hvordan finder vi så dy? Vi tager udgangspunkt i hyperbelligningen x 1 y 4 m λ (n m ) 1 4 λ = 1 Eller - med a = 1 4 m λ og b = (n m ) 1 4 λ : x a y b = 1 Vi differentierer denne ligning mht. tiden t: hvoraf: x dx a y dy = 0 b x dx a = y dy b 7

og dermed dy = dx x a y b a b Allerede her ser vi - da dx dy er konstant - at divergerer, når y nærmer sig 0 (linjen mellem de to bølgegivere). Vi er nu i stand til at finde bølgefarten v kon langs kurverne med konstruktiv interferens: Vi bruger så hyperbelligningen x v kon = ( dx v kon = ( dx ) + ( dy ) v kon = ( dx ) (1 + ( x y a b ) (1 + 1+ y b y b = 1 og får b a ) a ) b ( y b ) Indfører vi heri, at dx = m n v, og a = 1 4 m λ og b = (n m ) 1 4 λ : a ) v kon = v ( m n ) (1 + 1+ y (n m ) 1 4 λ y (n m ) 1 4 λ n m m ) Eller reduceret: 1+ (9) v kon = v ( m + n y (n m ) 1 4 λ y (n m ) 1 4 λ (1 m n )) 8

For små værdier af y λ vil v kon divergere, og for store værdier af y λ vil brøken 1+ y (n m ) 1 4 λ y (n m ) 1 4 λ nærme sig 1, og derved vil v ( m m + 1 (1 )) = v n n v kon Altså vil bølgefarten v kon nærme sig lydens fart v på stor afstand af bølgegiverne. Som et eksempel ser vi på tilfældet n = 5 og m = 4, Y = y λ. Se figuren side 1. Formel (9) ovenfor giver så: v kon = v ( 4 5 + 1 + Y (5 4 ) 1 4 Y (5 4 ) 1 4 (1 4 5 )) På grafen til venstre ses v kon som funktion af Y. På grafen er v = 1. Figur 1: bølgefart v-kon som funktion af afstanden Y Det fremgår, at bølgetoppenes fart i hyperbelretningen med konstruktiv interferens tæt på bølgegiverne kan være langt større end lydhastigheden. Det fremgår, at det er 0. ordens bølgen der har den største fart. Forestiller man sig, at du surfer på bølgen og skal hurtigt ud, er det altså centerbølgen, du skal surfe på. 9