Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk
Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne... 5. Dobbeltpunkter, triplepunkter, (multiple punkter)... 5 3. Den afledede funktion... 6 4. Differentialkvotienten i en parameterværdi... 6 5. Tangentvektorer... 6 6. Vandrette tangenter (i planen)... 7 7. Lodrette tangenter (i planen)... 7 8. Vinkler mellem tangenter... 8 9. Parameterfremstillinger for tangenter... 8 10. Areal af punktmængde... 8 HASTIGHED OG ACCELERATION... 9 Linjer med ikke-jævn bevægelse:... 14 CIRKLER... 15 Jævn cirkelbevægelse:... 15 Ikke-jævn cirkelbevægelse:... 16 EPICYKLER... 17 Snurretoppen... 19 ELLIPSER... PARABLER... 3 CYKLOIDER... 7 1
VEKTORFUNKTIONER Vektorfunktioner anvendes i nogle sammenhænge synonymt med parameterfremstillinger. Egentlig er det dog et bredere begreb, der blot har parameterfremstillinger som specialtilfælde. Vi kender allerede til parameterfremstillinger fra emnet Vektorgeometri, og vi skal i dette hæfte også hovedsagelig beskæftige os med disse, så den teoretiske gennemgang af det generelle begreb vektorfunktioner bliver ganske kort. Definition 1: En vektorfunktion er en funktion f : U V, der afbilder fra en mængde U til en mængde af vektorer V. Vektorfunktioner returnerer altså vektorer (det er pointen). Vi skal kun se på vektorfunktioner, der returnerer vektorer med eller 3 koordinater, da vi kun arbejder i planen eller rummet. 3 Hvis U, U, U,..., kalder vi ofte vektorfunktioner for parameterfremstillinger og kalder skalarerne (tallene) for parametrene. Graferne for parameterfremstillinger kaldes parameterkurver. x t 4 + 3t 4 3 Eksempel 1: Vektorfunktionen f : V givet ved f ( t) = y t = 1 5 t = 1 + t 5 ; t z t 7 + t 7 1 kan også betegnes som parameterfremstillingen for en ret linje i rummet, der går gennem punktet (4,1,-7), 3 og hvor r = 5 er en retningsvektor for linjen. Selve linjen er parameterkurven. 1 Bemærk de forskellige skrivemåder. Der er ikke forskel på, om man skriver: f t 4 3 = 1 + t 5 7 1 eller x 4+ 3t y = 1 5t z 7 + t eller x t 4 3 y t = 1 + t 5. z t 7 1 Pointen er, at hver koordinat til linjens punkter er en funktion af parameteren t.
Eksempel : Vektorfunktionen : afbilde vektorer ( st, ) over i vektorer (, ) g U V givet ved g ( s, t) x( s, t) 3 s t+ 7 = = kan siges at y( s, t) log( t) + 5 s + t xyi planen, eller man kan sige, at man har parametrene s og t. Hvis man vælger det første og betragter ( st, ) som punkter i planen (dvs. som stedvektorer), har man et vektorfelt. Tilsvarende kan gøres i rummet og anvendes f.eks. inden for fysik, hvis man skal beskrive et elektrisk felt, hvor man har brug for at angive både størrelse og retning af feltstyrken overalt i rummet. Betegnelse: Funktionerne, der beskriver hvordan de enkelte koordinater afhænger af parametrene, dvs. 4 3, y( t) 1 5t, 7, x( s t) o (, ) x t = + t = z t = + t, = 3s t+ 7 g y s t = log( t) + 5s + t fra eksemplerne 1 og, kaldes for koordinatfunktioner. I forskellige sammenhænge kan det være en fordel af dele vektorfunktionen op i de enkelte koordinatfunktioner og arbejde med hver af disse for sig (se f.eks. Eksempel 3). Hvis vi arbejder med vektorfunktioner, hvor U, kan vi definere følgende: Definition : Hvis vektorfunktionen f : ( t) V har differentiable koordinatfunktioner, er den afledede x' funktion f '( t) = y ' t bestemt som vektorfunktionen, der fremkommer ved, at hver koordinatfunktion differentieres for sig (uanset antallet af koordinatfunktioner). For alle værdier t 0, hvor koordinatfunktionerne er differentiable, kan man desuden bestemme differentialkvotienten i 0 t ved ' ( t0 ) x' f t0 = y ' t0. Den afledede funktion er en vektorfunktion. Differentialkvotienten i t 0 er en vektor. Hvis differentialkvotienten i 0 tangentvektor til grafen for f i f ( t 0 ). t er en egentlig vektor (dvs. hvis den ikke er nulvektoren), kaldes ' En ret linje, der går gennem f ( t 0 ), og hvor en tangentvektor til grafen for f i f ( t0 ) for linjen, kaldes for en tangent til grafen for f i f ( t 0 ). En parameterfremstilling for en tangent til grafen for f i f ( t0 ) er: x s x t0 x ' t0 y s = y t0 + s y ' t0 ; s f t en er en retningsvektor 0 3
Eksempel 3: Vi ser på vektorfunktionen 3 t t 4t =, t 5,7 f t t t 6 3 Den har koordinatfunktionerne x( t) = t t 4t og Man kan tegne parameterkurven i Maple på nedenstående måde. y t = t t 6 Man kan som altid finde funktionsværdier (i dette tilfælde vektorer) ved at indsætte i funktionsforskriften: 3 4 48 f ( ) = = 6 4 Tilsvarende findes flere funktionsværdier, der angives på parameterkurven: 55 0 73 1 0 f ( 5 ) =, f ( 4 ) =, f ( 3 ) =, f ( ) =, f ( 1 ) =, f ( 0 ) =,... 4 14 6 0 4 6 4
Vi skal nu se på følgende: 1. Skæringer med koordinatakserne. Dobbeltpunkter (triplepunkter, ) 3. Den afledede funktion 4. Differentialkvotienten i en parameterværdi 5. Tangentvektorer 6. Vandrette tangenter 7. Lodrette tangenter 8. Vinkel mellem tangenter 9. Parameterfremstillinger for tangenter 10. Areal af punktmængde 1. Skæringer med koordinatakserne Når man skal bestemme skæringer med koordinatakserne, deler man vektorfunktionen op i koordinatfunktioner. Skæring med x-aksen: x-aksen består som bekendt af alle de punkter, hvor y-koordinaten er 0, så man finder de værdier for parameteren, hvor y-koordinaten er 0: y( t) = 0 t t 6 = 0 ( t 3) ( t + ) = 0 t = t = 3 De tilsvarende x-værdier findes ved at indsætte parameterværdierne i x-koordinatfunktionen: ( 3 ) 3 x = 4 = 8 8 + 48 = 3 x 3 = 3 3 4 3 = 7 18 7 = 63 Dvs. parameterkurven skærer førsteaksen i punkterne ( 3,0) og ( 63,0) (jf. grafen) Skæring med y-aksen: Man finder de parameterværdier, hvor x-koordinaten er 0 og indsætter i y- koordinatfunktionen: y y 3 x t = 0 t t 4t = 0 t = 4 t = 0 t = 6 ( ) = = 4 = 4 4 6 = 16 + 4 6 = 14 0 0 0 6 6 y 6 = 6 6 6 = 36 1 = 4 Dvs. parameterkurven skærer andenaksen i punkterne ( 0, 6), ( 0,14) og ( 0,4 ). Dobbeltpunkter, triplepunkter, (multiple punkter) Hvis to forskellige værdier for parameteren t giver samme funktionsværdi, kaldes punktet svarende til denne funktionsværdi for et dobbeltpunkt (og tilsvarende et triplepunkt, hvis det er tre forskellige t- værdier, der giver samme funktionsværdi). Vores parameterkurve har et dobbeltpunkt markeret med blåt. Man skal altså finde to forskellige parameterværdier t 1 t, hvor f ( t1) = f ( t), dvs.: x( t1) = x( t) y ( t ) = y ( t ) 1 Dette ligningssystem løses i Maple med evalf(solve([ (to mulige indtastninger vises): 5
Dobbeltpunktet svarer altså til parameterværdierne t = 4,55 t = 5,55. Ved at indsætte i funktionsforskriften finder man koordinatsættet til dobbeltpunktet: 5 f ( 4,54937811) = f ( 5,54937811) = 19 3. Den afledede funktion Den afledede funktion bestemmes ved at differentiere koordinatvis: f ' ( t) 3 ( t t 6' ) t t 4 t ' 3t 4t 4 = = t 1 4. Differentialkvotienten i en parameterværdi Ved indsættelse i forskriften for den afledede funktion finder man differentialkvotienter til konkrete parameterværdier. Her ses tre eksempler herunder dobbeltpunktet: 3 ( 3) 4 ( 3) 4 7 + 1 415 f ' 3 = = = ( 3) 1 6 1 7 55,55 f '( 4,54937811) = 10, 050 45, 475 f '( 5,54937811) = 10, 050 Det bemærkes, at differentialkvotienterne i dobbeltpunktet er forskellige, hvilket er det normale. 5. Tangentvektorer Da de udregnede differentialkvotienter ovenfor er egentlige vektorer, og da vi kender funktionsværdierne for de pågældende parameterværdier, kan vi sige: 15 7 er tangentvektoren til grafen for f i 7 6 55,55 5 er en tangentvektor til grafen for f i 10, 050 19 45, 475 5 er en (anden) tangentvektor til grafen for f i 10, 050 19 6
6. Vandrette tangenter (i planen) Vandrette tangenter i planen findes der, hvor tangentvektorens andenkoordinat er nul (i rummet skal tredjekoordinaten være nul). Da tangentvektoren pr. definition er en egentlig vektor, kan førstekoordinaten ikke også være nul dette sted. Dette skal man dog altid tjekke i udregninger, da man ellers kan komme til at forveksle vandret tangent med ingen tangent. Da den afledede funktion er f '( t) Løsningen til ligningen er 3t 4t 4 =, skal vi løse ligningen: t 1 t 1 = 0 1 t =, og vi udregner differentialkvotienten her: 1 1 1 3 4 4 5, 5 0 f ' = = 0 0 0 1 Der er altså vandret tangent i t =. 7. Lodrette tangenter (i planen) Lodrette tangenter i planen findes der, hvor tangentvektorens førstekoordinat er nul (i rummet skal både første- og andenkoordinaten være 0). I vores tilfælde skal vi altså løse ligningen 3t 4t 4 = 0 Differentialkvotienterne disse steder er: 0 0 f '(, 396596) = 5, 4790 0 0 f '( 3,5759996) = 6,1450 Der er altså lodrette tangenter i t =,39og t = 3,573. De fundne tangenter indtegnet på parameterkurven: 7
8. Vinkler mellem tangenter Tangentvektorerne i dobbeltpunktet danner en vinkel, der er en af vinklerne mellem tangenterne i dette punkt (den anden er supplementvinklen). Fra vektorgeometrien ved vi, at vinklen v mellem vektorerne a b aog bbestemmes med cos( v) =. Da vi tidligere har fundet tangentvektorerne i dobbeltpunktet, fås: a b 55,55 45, 475 10, 050 10, 050 cos( v) = v =, 71 55,55 45, 475 10, 05010, 050 (bemærk, at skalaerne på grafernes akser ikke er ens, så man kan ikke bedømme vinklen på grafen) 9. Parameterfremstillinger for tangenter De fundne tangentvektorer bruges til at angive en række parameterfremstillinger for tangenter: 7 x( s) t = 3: Tangenten for grafen for f i Dobbeltpunktet: x s 5 45,48 = s, s y s + 19 10, 05 715 har parameterfremstillingen = s, s 6 y( s + ) 6 7 og x s 5 55,5 = s, s y s + 19 10, 05 10. Areal af punktmængde Når man skal bestemme arealet af punktmængder i forbindelse med vektorfunktioner, skal man kombinere integralregning og vektorgeometri. Følgende formel kan benyttes til at bestemme arealet af nogle punktmængder, herunder punktmængder afgrænset via et dobbeltpunkt som i vores eksempel: t 1 A = r '( t) r ( t) dt t 1 (Argumentation for formlen og yderligere beskrivelse af anvendelsesmuligheder følger senere) De to parameterværdier er i dette tilfælde de to værdier svarende til dobbeltpunktet, så vi skal udregne: ( t t 6) 1 5,55 3t 4t 4 A = dt 4,55 t 1 3 t t 4 t Dette kan gøres på følgende måde i Maple med Gym-pakken: Dvs. punktmængden har arealet 1708,65 Opgaverne 600* 8
HASTIGHED OG ACCELERATION Hvis vi betragter vores vektorfunktion som en stedfunktion, kan vi definere følgende størrelser: Definition 3: Hvis parameteren t i vektorfunktionen s: V kan betragtes som tiden, og hvis s( t) er en stedfunktion, der angiver et objekts placering til tiden t, og hvis s har koordinatfunktioner, der er to gange differentiable, kan man indføre følgende størrelser: ' v t = s t kaldes hastighedsfunktionen. ' v t = s t kaldes hastigheden til tiden t 0. 0 0 s '( t ) v t = kaldes farten til tiden t 0. 0 0 ' '' a t = v t = s t kaldes accelerationsfunktionen. ' '' a t = v t = s t kaldes accelerationen til tiden t 0. 0 0 0 Eksempel 4: Vi ser på stedfunktionen 57 7t s( t) = 1 + 56 t, t 4 33t 7 Den afledede funktion er hastighedsfunktionen: v( t) = s '( t) = 56 33 Da hastighedsfunktionen ikke afhænger af t, har vi en bevægelse med konstant hastighed, dvs. hastigheden til ethvert tidspunkt er ( 7,56, 33). Farten til ethvert tidspunkt er så: Accelerationsfunktionen er: a( t) v ( t) s ( t) vt == 7 + 56 + 33 = 97 0 = ' = '' = 0. 0 Det er ikke overraskende, da en bevægelse med konstant hastighed netop er kendetegnet ved en acceleration, der er nulvektoren. 9
Eksempel 5: Vi ser på stedfunktionen 3 cos + 1 s( t) = 3 ; t 0, sin + Parameterkurven tegnes i Maple, og der tilføjes nogle vigtige punkter (nedenfor til venstre): ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) 3 sin cos Hastighedsfunktionen er v( t) = s '( t) = 3cos sin Hastigheden til nogle forskellige tider bestemmes og indtegnes (ovenfor til højre): v ( 0) 3 sin 0 cos 0 3 0 1 0 = = = 3 cos 0 sin 0 310 0 0 v = 0 0 v( ) = 0 3 0 v = 0 1 1 3 3 3 sin cos 4 4 0,97 3 0,50 v = = = v( 0.1) = v 4 1 1 3 0,030 + 0.3 = 0,809 3cos sin 3 4 4 Hastigheden er altså nulvektoren i alle de fire røde punkter, og der er derfor ingen tangenter her. Accelerationsfunktionen er: 3 3 3cos t cos t + 3sin t sin t cos t 6 sin t cos t 3cos t a( t) = s ''( t) = = 3sin t sin t + 3cos t cos t sin t 6 cos t sin t 3sin t Accelerationen til nogle forskellige tider udregnes og nogle af dem indtegnes (se næste side): a ( 0) 3 3 3 6 sin 0 cos 0 3 cos 0 6 0 1 3 1 3 0 0 0 0 3 3 = = = = 6 cos 0 sin 0 3sin 0 6 1 0 3 0 1,061 0 3 1,061 a = a 4 1,061 = a 3 = 4 1,061 3 5 1,0613 0 7 1,061 a ( ) = a a = a 0 = 4 1,061 = 3 4 1,061 10
Størrelsen af accelerationen som funktion af tiden er: Accelerationen er altså størst de fire steder, hvor farten er 0 (i spidserne). Arealet af figuren bliver: 3 3sin t cos t sin t 0 0 3 3cos t sin t cos t + 1 1 1 3 A = v t s t dt dt = = 8 Opgaverne 601* 11
Vi skal nu se på, hvordan arealformlen fremkommer. Vi tager udgangspunkt i parameterkurven fra Eksempel 3, bortset fra at partiklen nu bevæger sig den modsatte vej (undervejs ser også på situationen, hvor partiklen bevæger sig som i Eksempel 3, da det forklarer numerisktegnet i formlen): Vi ønsker at finde arealet af punktmængden afgrænset af parameterkurven i forbindelse med dobbeltpunktet. I første omgang ser vi på tidspunktet t 0 og det lille tidsinterval t. I dette lille tidsinterval bevæger partiklen sig (tilnærmelsesvis) et stykke langs tangenten med længden r '( t ) t, da ' hastigheden til tiden t 0. 0 r t er Vi får dermed dannet trekanten angivet med stiplede lilla linjer ovenfor, hvor den ene sidelængde altså er det lille stykke langs tangenten. Desuden er en anden sidelængde længden af stedvektoren og dermed også dennes tværvektor. Hvis vinklen mellem stedvektoren og hastighedsvektoren betegnes v, er vinklen mellem de to kendte sider i trekanten 180 v. Dvs. arealet af trekanten er: 1 1 1 T = r ' t t r t sin 180 v = r ' t r t sin v t = r ' t r t cos 90 v t 0 0 0 0 0 0 Da ( 90 v) er vinklen mellem hastighedsvektoren og tværvektoren til stedvektoren, kan vi genkende definitionen på prikproduktet, dvs. vi har: 1 T = r '( t0) r ( t0) t Når vi lægger alle trekantbidragene sammen og ser på grænseovergangen t 0, får vi: t 1 A = r '( t0) r ( t0) dt t 1 Hvis bevægelsen havde haft retning som i Eksempel 3, ville vores vinkel v være stump. Vinklen i trekanten ville stadig være 180 v, men vinklen mellem hastighedsvektoren og tværvektoren til stedvektoren ville blive ( 70 v), hvilket giver den omvendte cosinusværdi i forhold til ( 90 v) 0. Derfor skulle der korrigeres for dette med et fortegn i arealformlen, og der er til slut taget højde for begge situationer ved hjælp af numerisktegnet. 1
Men disse fortegn hjælper os faktisk til at gøre formlen mere generel end vores tilfælde. I vores eksempel var vi nemlig så heldige, at alle vores trekanter skulle regnes med, når vi skulle finde det samlede areal. Men formlen gælder faktisk også, hvis punktmængden ikke indeholder origo (se figuren nedenfor). På figuren antages det, at vi bevæger os mod uret: Vi ønsker at bestemme arealet af cirklen, men denne gang bemærker vi, at den dannede trekant med de blå linjer kommer til at indeholde et område uden for cirklen, der ikke skal regnes med. Dette bliver dog modregnet, når vi kommer videre til det grønne område, fordi vores hastighedsvektor og tværvektor til retningsvektoren danner en stump vinkel, hvorfor vi får et negativt bidrag til det samlede areal. 13
Linjer med ikke-jævn bevægelse: Vi har i forbindelse med Vektorgeometri set en hel del rette linjer angivet ved parameterfremstillinger, der kunne fortolkes som en bevægelse med konstant hastighed (jævn, retlinet bevægelse). Vi ser nu på en retlinet bevægelse, der ikke er jævn. x 4 3 6 Eksempel 6: l : = + t ; t y 7 Vi ser først på et plot i Maple: Grafen er en ret linje, og vi kan altså ikke skelne den fra vores andre parameterfremstillinger, når vi alene kigger på grafen. Man kunne også se dette, hvis man omformede parameterfremstillingen til en ligning: 3 3 x 4 3 x 4 x 4 1 5 x = 4 + 6 t t = Indsættes: y = 7 t = 7 = 7 + y = x + 6 6 3 3 3 3 Vi har som forventet fået ligningen for en ret linje. Men lad os nu se på hastighed og acceleration: x' t 63t 18t v( t) = s '( t) = = = y' t 3t 6t x'' t 36t a ( t) = s ''( t) = = y'' t 1t Både hastigheden og accelerationen afhænger af tiden, dvs. vi har ikke en bevægelse med konstant hastighed. 14
CIRKLER Jævn cirkelbevægelse: Vi ser på parameterfremstillingen for en jævn cirkelbevægelse: OP = OC + CP ( t) ( t) x a cos = + r y bsin Hvis vi kun ønsker at bevæge os én omgang rundt på cirklen, lader vi parameteren t løbe fra 0 til. Men vi kan også bare lade t og dermed regne med uendeligt mange omløb. Eksempel 7: Vi kan tegne en cirkel med centrum i (,-3) og radius 4 i Maple ved: Dette er den mest simple form at angive en cirkel på. Hvis man også gerne vil kunne regulere hastighed og begyndelsessted, skal man udnytte vores resultater fra trigonometriske funktioner, hvor vi husker: sin f t = A t +. er vinkelhastigheden, der er forbundet med farten v ved v = r, hvor r er radius i cirklen. er fasen, der forskyder startstedet. A er amplituden, når man arbejder med trigonometriske funktioner. Vi er kun interesserede i hastighedsvektoren og farten, og derfor arbejder vi i det følgende kun med tilføjelse af vinkelhastigheden (fasen er irrelevant): s t ( t) ( t) ( sin ( t) ) cos( t) x t a cos = = + r y t b sin ( sin ) ( cos) ( ) x ' t r sin t v( t) = s '( t) = = = r y ' t r cos t v t = r t + t = r Vi regner her vinkelhastigheden og radius som positive størrelser. Egentlig kan man godt lade vinkelhastigheden være negativ, hvis man have bevægelsen til at løbe med uret, men det ser vi ikke på her. Vi har altså "genfundet" vores kendte resultat, at v = r. 15
Accelerationsfunktionen bliver så: ( t) ( t) ( t) ( cos( t) ) sin ( ) x'' r a ( t) = s ''( t) = = y'' t r( t ) cos a ( t) = r = r sin Vi har altså fundet farten og størrelsen af accelerationen. Begge er konstante. Vi kan finde retningerne af hastighedsvektoren og accelerationsvektoren i forhold til CP (bemærk: det er altså IKKE i forhold til stedfunktionen, da centrum for cirklen ikke er i origo) ved at kigge på vektordelene i udtrykkene, hvor det ses, at: sin t cos t cos t sin t = og = cos t sin t sin t cos t Dvs. v er fremkommet ud fra CP ved at dreje denne 90 mod uret og gange med en faktor. Og a fremkommer så ud fra v ved at dreje denne 90 mod uret og gange med en faktor. Hastigheden bliver altså en tangentvektor til cirklen i P, og accelerationsvektoren peger fra P mod centrum. Ikke-jævn cirkelbevægelse: Vi kan lige som ved den retlinede bevægelse gøre bevægelsen ikke-jævn ved at ændre parameteren t, hvorved farten og accelerationens størrelse ikke længere vil være konstante. 16
EPICYKLER Under forløbet om Verdensbilleder stødte I på de såkaldte epicykler, der er cirkelbevægelser omkring et centrum, der selv bevæger sig i en cirkelbevægelse omkring et andet centrum. Den slags bevægelse kan beskrives ved parameterkurver: Vores objekts position beskrives ved punktet P. Det bevæger sig jævnt rundt i den lille røde cirkel med centrum C ( ) med vinkelhastigheden. Radius i den lille, røde cirkel kaldes r. Centrum C bevæger sig selv jævnt rundt i den store, sorte cirkel med vinkelhastigheden 1. Radius i den store cirkel kaldes r 1. Vi lader t være vores parameter (tiden) og antager, at der ikke er nogen faser. Vi får så: OC 1 C C a = b 1 1 ( 1 t) ( 1 t) ( t) ( t) a cos = = r b sin x cos C P = = r sin y Og dermed har vi parameterfremstillingen: x a cos( 1 t) cos( t) = + r1 + r y bsin ( 1 t) sin ( t) 17
Eksempel 8: Vi ser på et konkret eksempel på en epicykelbevægelse og plotter den i Maple: ( t) ( t) ( t) ( t) x cos 0.1 cos 1.3 = + 10 + 3 ; t y 3sin 0.1 sin 1.3 Man kan bl.a. bemærke sløjfebevægelse (retrograd bevægelse). Eksempel 9: Hvis vi gør farten i den lille cirkelbevægelse mindre end i den store, forsvinder sløjfebevægelsen: ( t) ( t) ( t) ( t) x cos 0.1 cos 0.3 = + 10 + 3 ; t y 3 sin 0.1 sin 0.3 Opgaverne 60* 18
Snurretoppen Tivolis nu forsvundne - forlystelse Snurretoppen er et eksempel på en epicykelbevægelse, men den afviger fra ovenstående eksempler ved at have forskellige omløbsretninger. Bevægelsen i den store cirkel er mod uret (positiv omløbsretning), mens den er med uret i den lille (negativ omløbsretning). På øjemål vurderes radius i den store cirkelbevægelse at være r = 5m, mens radius vurderes til rl = m i den lille cirkelbevægelse. Omløbstiden i den store cirkelbevægelse måles til T = 6,6s og i den lille cirkelbevægelse er T = 4,0s. Da vi kender omløbstiden, kan vi beregne vinkelhastighederne (vi regner videre uden enheder): s = = = 0,95 l = = = 1,57 6,6 4,0 T s Vi placerer centrum i den store cirkelbevægelse i O ( 0,0), og får så stedfunktionen (bemærk at vi får vendt omløbsretningen i den lille cirkel ved at skifte fortegn på vinkelhastigheden): s x t cos 0.95 t cos 1.57 t s( t) = = 5 + ; t 0,10 y t sin 0.95 t sin 1.57 t min.) s T l (Turens varighed sættes til l Ovenstående to grafer viser altså banerne for bevægelsen, men hvis man skal forstå oplevelsen af forlystelsen, er det mere hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen, man skal kigge på: x ' t sin 0.95t sin 1.57 t v( t) = s '( t) = = 4, 75 + 3,14 y ' t cos 0.95t cos 1.57 t x '' t cos 0.95t cos 1.57 t a( t) = s ''( t) = = 4,515 4,998 y '' t sin 0.95 t sin 1.57 t 19
Hastighedsfunktionen Accelerationsfunktionen Disse grafer giver os sted, hastighed og acceleration som vektorer, dvs. vi kan både se størrelse og retning. Det får vi brug for lige om lidt, men lad os først se på farten og størrelsen af accelerationen: Først farten: Farten ligger altså på hele turen mellem ca. og 8 m/s. Vi ønsker nu at finde de steder, hvor farten er henholdsvis størst og mindst, og vi kigger kun på intervallet [0s,3s], da funktionen er periodisk. Vi har her undersøgt, hvor den afledede funktion har nulpunkter, og da vi har en graf, vi kan sammenligne med, kan vi konkludere, at farten er størst, når t = 1,47 s og mindst når t =,493s. 0
Så accelerationen: Accelerationens størrelse ligger altså mellem en værdi tæt på tyngdeaccelerationen og nul. Vi vil nu se på, hvor accelerationens størrelse er størst og mindst, og igen kan vi nøjes med at kigge på intervallet [0s,3s]. Sammenholdt med grafen ser vi altså, at accelerationen er mindst efter 1,47s og størst efter,493s. Efter 1,47s gælder altså: Farten er størst, men accelerationen er mindst. Efter,493s gælder altså: Farten er mindst, men accelerationen er størst. Vi skal nu se, hvor vi er henne i bevægelsen til disse to tidspunkter: Det er altså, når man bevæger sig ind over midten, at farten er størst og accelerationen mindst, dvs. på dette tidspunkt skulle man næsten ikke mærke et tryk i ryggen. Når man er ude i siden, er farten mindst, men accelerationen størst, dvs. det er ude i siderne, man kan mærke det største pres i ryggen fra stolen. 1
ELLIPSER Udvidelsen fra cirkler til ellipser er forholdsvis simpel. Man skal blot anvende forskellige "radier" for de to koordinatfunktioner: x x a cos t 0 = + y y0 b sin t Den største af koefficienterne a og b (normalt vælger man at lade a være størst) angiver så den halve storakse, mens den mindste angiver den halve lilleakse. Eksempel 10: I forbindelse med vores arbejde med isometrier, har vi set på rotation af en graf. Vi skal nu se, hvordan vi kan anvende matrix-regning til dette. Metoden er sådan set præcis den samme, dvs. vores bevis holder stadigvæk, det er bare hurtigere at udføre med matrixregning: Man skal i dette tilfælde benytte følgende regneregel: a11 a1 b1 a11 b1 + a1 b a a b = a b + a b 1 1 1 Eksempel: 7 3 57 5 38 59 4 8 = = 5 + 4 8 Man roterer med vinklen v omkring origo O( 0,0) ved at gange med matricen cos sin ( v) sin ( v) ( v) cos ( v).
I Eksempel 10 er g( t) fremkommet ved udregningen: cos sin cos 5 cos sin sin 6 6 t t 5 cos( t) 6 6 = sin ( t) sin cos sin 5 cos( t) + cos sin ( t) 6 6 6 6 Efter dette mangler man bare at flytte centrum til ( 3,3) Man kan lade Maple foretage denne udregning ved at benytte prikken kendt fra prikproduktet. PARABLER Vi ved, at parabler er grafer for funktioner med forskrifter af typen f ( x) = ax + bx + c Det er meget nemt at overføre dette til en parameterfremstilling, da man bare kan lade vores parameter t være identisk med variablen x og derefter angive y-koordinaten som funktion af t. 1 f x = x + 3x + 7. Eksempel 11: Vi ser på parablen, der er graf for funktionen t x En parameterfremstilling er så: = 1 y t + 3 t + 7 3
Dette eksempel er ikke særlig interessant, da parameterfremstillingen i dette tilfælde er mere kompliceret end funktionsforskriften. Men lige som i alle andre tilfælde, kan man i parameterfremstillingen beskrive en bevægelse ved at lade parameteren t fungere som tiden. Man kan forskyde parablen op eller ned ad y-aksen ved bare at lægge et tal til den anden koordinatfunktion. Hvis man vil forskyde langs x-aksen, et det den første koordinatfunktion, man skal lægge et (positivt eller negativt) tal til. Hvis man i stedet multiplicerer med et tal ændrer parablen form: Eksempel 1: Vi ser på en parabel, der først forskydes lodret, derefter vandret og endelig ændres til en ny parabel: t = t + 3t 5 f t t = t + 3t 5 7 f t t + 5 = t + 3t 5 f t 3t = t + 3t 5 f t 4
Vi kan spejle grafen omkring y-aksen ved at ændre fortegn på den første koordinatfunktion, og vi kan spejle grafen omkring x-aksen ved at ændre fortegn på den anden koordinatfunktion. Vi skal nu se på et eksempel fra fysik. Eksempel 13: Vi ser på en bevægelse i tyngdefeltet uden luftmodstand. Den vandrette bevægelse er en bevægelse med konstant hastighed, mens den lodrette bevægelse er en bevægelse med konstant acceleration (tyngdeaccelerationen). Vi ser på et spydkast sluppet i højden m og en kastevinkel på 4. Farten er fra start 0 m/s. Dette giver os følgende parameterfremstilling: vx,0 t + x0 0 cos(4 ) t + 0 x 0 cos(4 ) t = 1 = 1 = y g t + v,0 0 9.8 0 sin ( 4 ) 4.91 t 0 sin ( 4 ) t y t + y t + t + + + Ved at kigge på koordinatfunktionerne kan man efterfølgende regne sig frem til, hvornår spyddet er højest oppe og hvornår det rammer jorden. Eksempel 14: Vi kan også ret nemt vende parablen ved at bytte rundt på koordinatfunktionerne: 1 x t + 3 t + 7 = y t 5
Eksempel 15: Endelig kan man rotere en parabel omkring origo (her med 50 ): t =. t Vores parabel har forskriften: f ( x) = x, dvs. vores parameterfremstilling bliver: g( t) Nu roterer vi: ( ) ( ) cos 50 sin 50 t cos 50t sin 50t sin 50 cos 50 t = sin 50 t+ cos 50t Opgaverne 603* 6
CYKLOIDER Cykloider er banekurver frembragt af et punkt på en cirkel, når cirklen triller hen ad en ret linje. På følgende figur er parameteren t vinklen målt i radianer, dvs. at det fine, røde stykke på cirklen er t r, da cirklens radius er r: Som det fremgår af figuren, er parameterfremstillingen for en cykloide: ( sin ) 1 cos ( t) x r t t t sin t = = r y r( t ) 1 cos Eksempel 16: Vi ser på et eksempel med radius 3: Opgaverne 604* 7
8