Abstrakt Formålet med dette projekt er at lette overgangen fra gymnasiet til universitetet, for studerende der skal læse matematik. Ved at tilpasse undervisningen, så den bliver mere rettet mod universitetet, vil det niveauspring eleverne skal igennem gøres nemmere. Derfor udarbejdes der et undervisningsforløb i lineær algebra til undervisning i valgfrit emne i højniveau matematik 3 g. Dette forløb er bygget på didaktiske teorier, der dækker begrundelsesproblemet, mulighedsproblemet og implementationsproblemet. Som begrundelse for forløbet benyttes teorien om de otte kompetencer, udarbejdet af en arbejdsgruppe under undervisningsministeret. Den formulerer nogle kompetencer, som kan opstilles som mål for undervisningen. Anna Sfard har lavet en opbygning for begrebsforståelse, som især sætter fokus på vigtigheden af elevernes gennemgang af forskellige faser fra operationel til strukturel forståelse. Denne teori arbejder således med de principielle læringsvanskeligheder ved at lære matematik. Den konkrete undervisning, dvs. implementation, er udarbejdet efter Brousseaus teori om didaktiske situationer. Endeligt er undervisningsforløbet sendt ud til 60 gymnasielærere der underviser i matematik, heraf svarede 3 lærere. Deres respons bekræfter, at det er gode muligheder for, at undervisningsforløbet kan lade sig gøre i praksis. Desuden underbygger denne rapport, at det er muligt at benytte didaktiske teorier til at udarbejde undervisningsforløb. Abstract The purpose of our project is to ease the transition from high school to university for students of mathematics. By adapting the teaching, so that it becomes more directed at the university, the jump from one level to another will be easier to perform for the students. Therefore a curriculum of linear algebra (a free choice in high-level mathematics in 3.g) is worked out. The curriculum is build on didactic theories that covers the problems of reason, possibility and implementation. The reason for the curriculum is founded in the theory of the eight competences, worked out by a group under the Ministry of Education. It formulates competences that can be seen as goals for teaching. Side af 8
Anna Sfard has made a theory of the understanding of definitions, which focuses on how important it is for the students to go through different phases from operational to structural understanding. This theory thus works with posibilities and principal difficulties in learning mathematics. The plan for factual teaching, i.e. implementation, is based on Brousseau s theories of didactic situations. Finally a proposal of a curriculum has been sent to 60 high school teachers of mathematics 3 answered. Their responses comfirm, that the possibilities for a practical use of the curriculum are good. In addition, this report consolidates, that it is an option to use didactic theories for working out curriculums. Side 3 af 8
. Indholdsfortegnelse. INDHOLDSFORTEGNELSE 4. INDLEDNING 6.. PROBLEMFORMULERING 7.. MOTIVATION 7.3. SEMESTERBINDING 8.4. MÅLGRUPPE 8.5. METODE 8.6. AFGRÆSNING 9 3. TEORI 0 3.. INTRODUKTION TIL DIDAKTIK 0 3.. GENERELT OM DE 8 KOMPETENCER 4 3... TANKEGANGSKOMPETENCE 6 3... PROBLEMBEHANDLINGSKOMPETENCE 6 3..3. MODELLERINGSKOMPETENCE 6 3..4. RÆSONNEMENTSKOMPETENCE 7 3..5. REPRÆSENTATIONSKOMPETENCE 7 3..6. SYMBOL OG FORMALISMEKOMPETENCE 7 3..7. KOMMUNIKATIONSKOMPETENCE 7 3..8. HJÆLPEMIDDELKOMPETENCE 8 3..9. OM KOMPETENCERNE 8 3..9.. Kompetencebeskrivelsen i samspil 8 3..9.. Det faglige stof og kompetencerne 9 3..9.3. Anvendelsen af kompetencebeskrivelserne 9 3.3. ANNA SFARD 0 3.3.. UDDYBELSE AF TINGSLIGGØRELSE 3.3.. DEN ONDE CIRKEL 3 3.3.3. HVORFOR ER DETTE RELEVANT I FORHOLD TIL LINEÆR ALGEBRA 3 3.4. DIDAKTISKE SITUATIONER 5 3.4.. PERSONLIG OG FÆLLES VIDEN 5 3.4.. DET DIDAKTISKE SPIL 6 3.4.3. FASER I DET DIDAKTISKE SPIL 6 3.4.3.. Devolution 6 3.4.3.. Handlingssituationer 7 3.4.3.3. Formuleringssituationer 7 3.4.3.4. Valideringssituationer 7 3.4.3.5. Institutionalisering 7 3.4.3.6. Lærer- og elev-rolle fordeling 7 3.4.3.7. Effekter af kontrakten: 8 4. UNDERVISNINGSFORLØB 30 4.. OVERORDNET PRÆSENTATION AF UNDERVISNINGSFORLØBET. 30 Side 4 af 8
4... BEGRUNDELSE AF FORLØBET 30 4.. UDDYBNING AF AFBILDNING 3 5. ANALYSE 37 5.. DE 8 KOMPETENCER 37 5... TANKEGANGSKOMPETENCEN 37 5... PROBLEMBEHANDLINGSKOMPETENCEN 38 5..3. MODELLERINGSKOMPETENCEN 39 5..4. RÆSONNEMENTSKOMPETENCEN 39 5..5. REPRÆSENTATIONSKOMPETENCEN 40 5..6. SYMBOL- OG FORMALISMEKOMPETENCEN 40 5..7. KOMMUNIKATIONSKOMPETENCEN 4 5..8. HJÆLPEMIDDELKOMPETENCEN 4 5..9. OPNÅELSE AF KOMPETENCERNE INDENFOR UNDERVISNINGSFORLØBET 4 5.. ANNA SFARD 43 5.3. GUY BROUSSEAU 46 5.4. RESPONS FRA LÆRERE 47 5.4.. PER MØRCH HANSEN; HAR UNDERVIST I 5 ÅR 47 5.4.. FRANK NASSER; HAR UNDERVIST I ÅR 47 5.4.3. EJNAR RITTERBAND; HAR UNDERVIST I 34 ÅR 48 5.4.4. SAMMENSKREVET 48 6. DISKUSSION 49 6.. VALG AF TEORI 49 6.. 8 KOMPETENCER 50 6.3. ANNA SFARD 5 6.4. BROUSSEAU 53 6.5. GRUNDPROBLEMERNE 54 6.6. BEGRUNDELSESPROBLEMET 54 6.7. MULIGHEDSPROBLEMET 55 6.8. IMPLEMENTATIONSPROBLEMET 57 6.9. RESPONS 57 7. SAMMENFATNING 59 8. PERSPEKTIVERING 59 9. LITTERATUR LISTE 6 9.. BØGER OG RAPPORTER 6 9.. INTERNETSIDER 6 0. APPENDIKS 63 0.. UNDERVISNINGSFORLØB 63 0.. RESPONS 78 Side 5 af 8
. Indledning Gennem det sidste årti, har der været en voksende tendens indenfor optagelse på naturvidenskabelige bachelor uddannelser, og derfor er antallet af fuldførte bachelor uddannelser også steget, dog er der visse fag der halter lidt efter på denne tendens. Matematik er et af de naturvidenskabelige fag som halter efter hvad angår gennemførelsesprocent, idet der er en meget lille stigning i gennemførslen i forhold til stigningen i optaget. Dette kan ses på figur : 300 50 Matematik bachelor Antal 00 50 00 50 0 99 99 993 994 995 996 997 998 Årstal 999 000 00 Tilgang 00 003 004 005 gennemførte Figur : Statistik over antal optagne og gennemførte studerende på matematisk bachelor. Der er i figuren ikke taget højde for gennemførselstiden. Det kan skyldes mange ting, men der må være nogle faktorer undervejs i bacheloren der skaber denne lave gennemførselsprocent. Under bachelor uddannelsen i matematik skal man gennem nogle kurser, som bygger på viden og kompetencer som de studerende har opnået i gymnasiet, f.eks. differential regning, integral regning, osv. På universitetet bliver de præsenteret for en ny form for geometrisk opfattelse, i form af lineær algebra. Det er et nyt matematik univers der åbnes op, med nye begreber og tænke måder som den studerende kun i mindre grad har stiftet bekendtskab med under sit uddannelsesforløb, det byder på begreber som f.eks. matricer, afbildninger og basisskifte. Det kan derfor være nemt for den studerende at blive forvirret over de nye www.statistikbanken.dk Side 6 af 8
begreber, og det kan evt. give anledning til at droppe ud af studiet. Der er intet i det nuværende matematik pensum der ligger op til at de studerende på landets gymnasier skal undervises forberedende til lineær algebra, eller på anden måde stifte kendskab til. Ved at introducere elever i gymnasiet for lineær algebra, kan det skabe en blødere overgang fra gymnasiet til universitetet og det kan derved fungere som studieforberedende til et matematikbaseret studie... Problemformulering Hvilke begrundelser kan der, på baggrund af didaktiske teorier, være for at undervise i lineær algebra i gymnasiet? Hvilke principielle læringsvanskeligheder kan der identificeres indenfor lineær algebra? Hvordan kan man, ud fra didaktiske teorier, tilrettelægge et undervisningsforløb i lineær algebra?.. Motivation Vores projekt tager udgangspunkt i egne erfaringer, hvor vi umiddelbart har haft oplevelsen af, at springet fra gymnasiet til universitet bød på et stort spring indholdsmæssigt i matematikken. Det kunne på denne baggrund være relevant at se på muligheden for at undervise i lineær algebra i gymnasiet på højniveau matematik. Det er på dette niveau at undervisningen i højere grad skal begynde at være studieforberedende til specifikke fag. Ved at introducere lineær algebra på dette tidspunkt, vil det således, efter vores opfattelse, kunne fungerende som en studieforberedelse til matematik på universitetet. It is quite clear that many students have the feeling of having landed on a new planet and are not able to find their way in this new world. (Dorier, 000, s.86) Citatet handler om hvordan studerende har det med at lære lineær algebra, og angiver netop den følelse som mange studerende har, når de kommer fra gymnasiet til universitet, og herefter bliver introduceret til et ganske specielt univers i lineær algebra. Ved at introducere dem for dette univers allerede i gymnasiet, vil det måske afhjælpe denne følelse. De vil således ikke blive introduceret til det hele i gymnasiet, men får kun en forsmag, det vil betyde at matricer mv. ikke lyder helt så fremmet når de kommer på universitetet. Side 7 af 8
.3. Semesterbinding Dette projekt opfylder semesterbindingen, fordi det arbejder med formidling og læring af lineær algebra ud fra didaktiske teorier. Lineær algebra er et matematisk univers i sig selv og derfor kan formidling af dette være repræsentativt for formidling af matematik generelt..4. Målgruppe Da projektet handler om formidling af lineær algebra i gymnasiet, henvender det sig til gymnasielærere, der underviser på højniveau i matematik. Karakteristik af målgruppen: Vi forventer, at de har en høj faglig matematisk viden, hvorimod det ikke kan forudsættes, at de har særlig høj teoretisk fagdidaktisk viden. Dette betyder, at vi vil benytte matematiske begreber uden videre forklaring, mens vi vil gøre mere ud af beskrivelse af begreber og overvejelser inden for didaktikken. Til gengæld må det forventes, at læseren af rapporten har en praktisk didaktisk erfaring, hvilket kan benyttes i forhold til det udarbejdede undervisningsforløbet..5. Metode Produktet af dette projekt er et forslag til et undervisningsforløb i lineær algebra til højniveau i gymnasiet. Projektet er bygget op over et teoretisk studie af matematikdidaktik. Denne opdeles i tre grundproblemer: Begrundelses-, muligheds- og implementationsproblemet (Niss, 993), hvor der arbejdes med teori der dækker alle områderne. Undervisningsforløbet og teoristudiet udarbejdes til dels sideløbende, men teorien vil blive benyttet til at underbygge undervisningsforløbet. De teoretiske afsnit benyttes til, at analysere og diskutere vores færdige undervisningsforløb. Undervisningsforløbet afprøves ikke i en gymnasieklasse, men udsendes til gymnasielærere, der får mulighed for at komme med respons. Denne respons vil blive inddraget i diskussionen. Side 8 af 8
.6. Afgræsning Der vil være en naturlig afgrænsning inden for emnet lineær algebra, da det ikke vil være muligt at undervise i alle del-områder inden for dette emne. Vi begrænser os derved til at kigge på den del af lineær algebra, som synes relevant at undervise i på gymnasieniveau. Vi udvælger nogle centrale dele af lineær algebra: matricer, afbildning og invers matrix. Derudfra forsøger vi at lave et forløb der ligger op til, at eleverne selv danner begreber indenfor det valgte stof. Der findes mange forskellige perspektiver inden for matematikdidaktik. Det vil ikke være muligt at inddrage alle disse forskellige perspektiver, og vi vælger derfor et par teorier ud. Vi afgrænser os desuden fra pædagogik og generel læring. Flere af de didaktiske teorier vi anvender (Sfard og Brousseau) bygger imidlertid på et konstruktivistisk læringssyn (Winsløw, 006). Vi har dermed også taget dette læringssyn som udgangspunkt. Undervisningsforløbet bliver ikke afprøvet på en gymnasieklasse. Målet med dette forløb er således at komme med forslag til lærerne, men ikke med et gennemafprøvet undervisningsforløb. Forløbet vil ikke blive revideret på baggrund af lærernes respons. Konstruktivisme: Mennesket konstruerer selv sin viden på baggrund af egne handlinger og erfaringer (Winsløw, 006). Side 9 af 8
3. Teori 3.. Introduktion til didaktik Didaktik betyder læren om at lære fra sig, og er en gren under pædagogik (Schnack, 004). Der har gennem tiden været mange forskellige fortolkninger af hvad didaktik er, og hvorvidt didaktikken skal komme med konkrete undervisningsforløb, eller om den skal levere nogle vejledninger til underviseren. Didaktik er opdelt i to elementer: almen didaktik og fagdidaktik. I almen didaktik arbejder man med formidlingen på et metadidaktisk niveau, hvor man ikke binder sig direkte til et fag, men forholder sig til generelle pædagogiske problemstillinger. Fagdidaktikken specialiserer sig i det enkelte fag (Schnack, 004). Matematikdidaktikken begyndte i 960 erne (Schnack, 004), at blive betragtet som en videnskabelig disciplin der arbejdes med på universiteter. Af det følger forsøg på at karakterisere denne disciplin mere detaljeret. Det har resulteret i flere forskellige overvejelser, men endnu er der ikke etableret en bestemt måde at forstå og beskrive matematikdidaktikdisciplinen på. Vi vælger at benytte Mogens Niss (993), der karakteriserer matematikdidaktik i to dimensioner: en objektdimension og en perspektivdimension. Disse opdeles i perspektiver og endeligt indføres begrebet grundproblemer: begrundelsesproblemet, mulighedsproblemet og implementationsproblemet (Niss, 993). De 3 grundproblemer kan specielt benyttes til, at placere de forskellige didaktiske teorier i forhold til hinanden, hvilket igen kan benyttes i diskussionen. Ved således at få placeret de forskellige teorier i forhold til grundproblemerne, åbner det op for en analyse i forhold til de forskellige niveauer og dermed en bredere gennemgang af undervisningsforløbet, hvor der kigges på flere niveau. Niss deler de to dimensioner op i genstandsfelter, se figur nr.. Den første dimension, objektdimensionen, opdeles i matematiktilegnelse og matematikundervisningens kompleks. Matematiktilegnelse handler om alt der vedrører en persons tilegnelse af viden om matematik, herunder også ting udenfor undervisningssituationer. Her er den lærende derfor objektet. Matematikundervisningens kompleks omhandler alt hvad der har med formidling af Side 0 af 8
matematik. Her er matematikundervisningen således objektet. Fokus i disse to felter er dermed forskelligt, dog er de indholdsmæssige perspektiver ens (Niss, 993). Matematiktilegnelse benyttes bl.a. i Anna Sfards teori om begrebsforståelse, mens Guy Brousseau arbejder med matematikundervisningens kompleks (jf. afsnit 3.3 og 3.4). Perspektivdimensionen deles op i deskriptiv/analytisk og normativ. Perspektivdimensionen handler grundlæggende om hvad der foregår i en undervisning. Den deskriptive søger, at afdække hvad der sker i undervisningen, samt at forklare hvorfor. Hvorimod den normative forsøger, at angive hvad der bør ske. Den senere gennemgang af teori, vil specielt fokusere på det normative, men f.eks. Brousseau kommer også ind på det deskriptive, hvor han til dels kan siges at sætte det deskriptive op overfor det normative (jf. afsnit 3.4). Begrundelsesproblemet handler om, den overordnede begrundelse for hvorfor netop disse grupper af studerende/elever skal lære dette eller hint matematik. Denne overvejelse kan føres på et deskriptivt, såvel som et normativt grundlag. Uanset hvad må begrundelsen bygge på overvejelser om matematikkens natur og rolle i samfundet (Niss, 993). Herefter ses på mulighedsproblemet, da det er relevant at se på, hvordan de virkelige rammer er. Herunder om det er muligt, eller i hvilken grad det er muligt, at lære netop disse elever om det bestemte stof. Det er nødvendigt at se på deres allerede erhvervede matematiske evner, og på forskellige sociale, psykologiske og kulturelle faktorer. Mulighedsproblemet er som udgangspunkt deskriptivt, fordi det netop beskæftiger sig med at beskrive muligheden for læringen (Niss, 993). Implementationsproblemet er det sidste grundproblem og ligger nært mulighedsproblemet. Det omhandler, hvordan man udfører undervisningen, bl.a. det konkrete indhold og hvordan det skal præsenteres. Herunder kommer også de konkrete rammer om undervisningen: økonomi, lærerressourcer, lærerplaner mm. Dette problem rummer således både deskriptive og normative problemstillinger (Niss, 993). Disse opdelinger skal ikke forstås som udtømmende eller entydige. For det første lapper de over hinanden, og for det andet arbejder mange didaktikere på tværs af alle tre grundproblemer. Men de kan være en hjælp til at danne sig et overblik over didaktikken som en videnskabelig disciplin, samt påpege fokus i teorierne. Side af 8
Objekt Perspektiv Deskriptivt/analytisk (hvad findes/foregår/gælder der faktisk, og af hvilke årsager?) normativt (hvad bør findes/foregår/- gælde, og med hvilke begrundelser?) Matematiktilegnelsellæring (fokus på den lærende) begrundelsesproblemet mulighedsproblem Matematikundervisningens kompleks (fokus på formidling af matematik) Implementationsproblemet Figur : Her ses de tre grundproblemer i forhold til de forskellige perspektiver (Niss, 993) Opdelingen i de 3 grundproblemet kan benyttes til at kategorisere og dermed strukturere didaktiske teorier. Hvert teoriafsnit vil blive indledt med en kort argumentation for hvorfor teorien passer ind i grundproblemerne. Under begrundelsesproblemet vil denne opgave primært tage udgangspunkt i KOMprojektets 8 opstillede kompetencer (Jensen et al., 00). Disse kompetencer kan benyttes som mål og begrundelse for undervisningen i matematik, det være sig både overordnede mål, men også mindre delmål og overvejelser i forhold til hvad der skal ske i undervisningen. Under mulighedsproblemet vil der specielt blive fokuseret på Anna Sfard, der arbejder med forståelse af matematiske begreber. Teorien ser deskriptivt på hvordan elever lærer, samt deres principielle læringsvanskeligheder. Desuden benyttes Carl Winsløws fortolkning af Brousseaus teori, der ligger mellem mulighedsproblemet og implementationsproblemet. Teorien beskriver didaktiske situationer og kommer med vejledninger til undervisningssituationer der gavner læringen. Side af 8
Der vil ikke blive præsenteret nogen teorier, der udelukkende fokusere på implementationsproblemet, da det er vurderet, at det var de andre niveau, der er mest relevante i denne opgave. Det skyldes, at undervisningsforløbet ikke er rettet mod afprøvning, men ment som en vejledning til lærerne. Der kan argumenteres for, at lærernes respons på undervisningsforløbet kan dække manglen på teorier inden for implementationsproblemet. Fordi de har en praktisk erfaring. Disse teorier er udelukkende repræsentanter for den enorme mængde af didaktiske teorier. Sfard og Brousseau deler begge det konstruktivistiske læringssyn. Dette læringssyn bygger på den opfattelse, at eleverne lærer ved en veksling mellem egne erfaringer og handlinger. De ligger derfor meget vægt på eleverne egne sanseerfaringer. Teorien bygger bl.a. på kognitive skemaer, hvilket afspejles i Sfards teori. Side 3 af 8
3.. Generelt om de 8 kompetencer Denne teori, er opbygget af en arbejdsgruppe(kom-projektet) under undervisningsministeriet, der arbejder med matematikdidaktik. Arbejdsgruppen var ledet af Tomas Højgaard Jensen og Mogens Niss, begge fra Roskilde Universitetscenter. Fra denne teori vil vi benytte deres opdeling af kompetencer, der kan benyttes i forhold til planlægning og evaluering af undervisning i matematik. Denne teori ligger mellem begrundelsesproblemet og mulighedsproblemet, fordi den arbejder med, hvordan der kan opstilles kriterier, der kan begrunde valg af bestemte fagområder. Samtidig arbejder teorien med hvilke muligheder, der vil være for, at elverne kan opnå kompetencerne mv.(jensen et al., 00). Teorien er primært deskriptiv, men kan også benyttes normativt. KOM-projektet arbejder ikke med matematiktilegnelse (jf. Niss, 993), men derimod med matematikundervisningens kompleks. Opdelingen af kompetencerne er ikke endegyldig, men kun ment som en vejledning og der kan argumenteres for, at de overlapper hinanden på flere punkter. Det kan være nyttigt at benytte dem f.eks. ved udarbejdelsen af lærerplan eller under tilrettelæggelse af læseplan 3. En kompetence defineres af KOM-projektet: En matematisk kompetence er indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordringer. (Jensen et al., 00) Indholdet i den enkelte kompetence vil blive uddybet senere i dette afsnit. Ved opnåelse af en kompetence menes, at kunne udøve bestemte typer af matematiske aktiviteter på baggrund af konkret viden og matematiske færdigheder indenfor kompetenceområdet (Jensen et al., 00). En kompetence kan aldrig blive opnået fuldt ud, men kun til en vis grad. Alle kompetencerne har både en undersøgende og en produktiv side. Den produktive side angår, at man er i stand til at gennemføre de matematiske processer, mens den undersøgende side handler om, man er i stand til at se kritisk og analyserende på de udførte processer (Jensen et al., 00). Overordnet kan de 8 kompetencer opdeles i de følgende to grupper (Jensen et al., 00): 3 Lærerplanen udarbejdes af undervisningsministeriet, og læseplanen udarbejdes af læreren ud fra lærerplanen. Side 4 af 8
At spørge og svar i, med, om matematik, indeholdende følgende kompetencer: - Tankegangskompetence - Problembehandlingskompetence - Modelleringskompetence - Ræsonnementskompetence At omgås sprog og redskaber i matematik, som indbefatter nedenstående kompetencer: - Repræsentationskompetence - Symbol- og formalismekompetence - Kommunikationskompetence - Hjælpemiddelkompetence Figur 3: Figuren viser opdelingen af kompetencerne. De overlapper hinanden på flere punkter. Side 5 af 8
3... Tankegangskompetence Tankegangskompetencen er vigtigt for eleverne at opnå, når de blive stillet overfor nyt matematisk stof. De skal kunne udøve matematisk tankegang, samt have en forståelse for de grundlæggende begrebers generalisering, rækkevidde og begrænsning. Længere fremme i undervisningen vil mangel på dette skabe læringsvanskeligheder af stoffet. Under denne kompetence skal eleverne dog ikke have forståelse for endelige løsninger, beregninger osv., det vigtige er, at de får en fornemmelse af relevante spørgsmål samt dertilhørende former for svar. Derudover består kompetencen i at kunne skelne mellem forskellige matematiske udsagn, såsom sætninger, beviser, påstande og lignende (Jensen et al., 00). 3... Problembehandlingskompetence Problembehandlingskompetencen består i at kunne formulere, afgrænse og præcisere matematiske problemer, samt at kunne løse sådanne problemer i færdigformuleret form. Matematiske problemer defineres ved benyttelsen af matematiske undersøgelser til besvarelsen, dvs. ikke ved at benytte en allerede kendt fremgangsmåde. Definitionen er relativ overfor den person, der skal løse opgaven, fordi det afhænger af personens forudsætninger. Kompetencen forudsætter, at eleven allerede har opnået kompetencer til at udføre en matematisk undersøgelse til besvarelse af problemstillingen (Jensen et al., 00). 3..3. Modelleringskompetence Kompetencen indeholder evnen til at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter. Arbejdet med modeller indbefatter at kunne analysere grundlaget for dem og egenskaberne ved dem. Herunder at vurdere deres rækkevidde og holdbarhed, samt bagefter at kunne afmatematisere disse modeller. Derudover at kunne stille sig kritisk overfor en model både i forhold til modellens egen brugbarhed samt ved sammenligning med eventuelle alternative modeller. Endeligt kan det summeres til at have overblik og kunne styre hele modelleringsprocessen (Jensen et al., 00). Side 6 af 8
3..4. Ræsonnementskompetence Denne kompetence består i at kunne ræsonnere matematisk, at vide og forstå hvad et matematisk bevis er og hvad der er karakteristisk for dette, samt at kunne afdække de bærende elementer i beviset og evt. forstå og kunne følge et modeksempel (Jensen et al., 00). 3..5. Repræsentationskompetence Repræsentationskompetencen indbefatter at kunne håndtere forskellige repræsentationer af matematiske udsagn og ligninger dvs. at kunne forstå og benytte sig af matematiske objekter, fænomener, problemer og situationer, samt at forstå de indbyrdes forhold mellem forskellige repræsentationsformer indenfor det samme emne, og have kendskab til deres styrker og svagheder (Jensen et al., 00). 3..6. Symbol og formalismekompetence Denne kompetence består i at kunne håndtere, læse og benytte sig af matematisk symbol- og formelsprog. I modsætning til repræsentationskompetencen indbefatter denne kompetence kun basale tegn, elementær regning og avancerede matematiske specialsymboler såvel som talsymboler. Der kan argumenteres for, at denne kompetence kan deles op i symbolsprog og formalisme. Formalismen omhandler formelle regneregler m.m. (Jensen et al., 00) 3..7. Kommunikationskompetence Indholdet i denne kompetence består i, at kunne kommunikere i, med og om matematik. Herved forstås at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematiske udsagn, både mundtligt og skriftligt. Samt at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk præcision. Dette gælder både skriftligt, mundtligt og visuelt overfor forskellige grupper af modtagere (Jensen et al., 00). Side 7 af 8
3..8. Hjælpemiddelkompetence Hjælpemiddelkompetencen består i, at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed (inkl. it). Samt at have kendskab til eksistensen af og egenskaberne ved forskellige former for redskaber til matematisk arbejde. Derunder at have indblik i disse redskabers muligheder og begrænsninger (Jensen et al., 00). 3..9. Om kompetencerne Der kan opstilles tre dimensioner, når man snakker om opnåelse/besiddelse af en kompetence: dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau (Jensen et al., 00). En persons dækningsgrad inden for en bestemt kompetence, drejer sig om hvor meget af kompetencen personen kan benytte. Kan personen f.eks. både forstå en afbildning, og selv udføre afbildningen. Her ses både på hvor mange aspekter af kompetencen personen besidder, og på selvstændighed inden for området. En kompetences aktionsradius hos den enkelte person, defineres ud fra i hvor mange forskellige sammenhænge, situationer og problemstillinger personen kan aktivere sin kompetence. Det tekniske niveau omhandler det rent matematiske indhold i kompetencen. Her kigges på hvor avanceret personen er på det begrebslige og tekniske niveau. Det er svært at sammenligne vigtigheden af disse tre grader af kompetence opnåelse. Men alle tre aspekter er nødvendige for opnåelse af en kompetence (Jensen et al., 00). 3..9..Kompetencebeskrivelsen i samspil Det er klart, at kompetencebeskrivelsen ikke må stå alene i forhold til arbejdet med et undervisningsforløb. Der kan opnås nogle bestemte kompetencer på mange forskellige måder, og hvilket stof der præcist skal benyttes for at opnå disse kompetencer kan derfor også vælges ud fra andre interesser, f.eks. hvis man ønsker at lave et tværfagligt samarbejde med nogle andre fag. Til gengæld er kompetencebeskrivelsen særdeles velegnet til at vurdere, om et givent stof kan benyttes til at opnå bestemte kompetencer (Jensen et al., 00). Side 8 af 8
3..9..Det faglige stof og kompetencerne Der er to forbindelser mellem det faglige stof og kompetencerne: - En kompetence kan udøves i forhold til et givent stof, dvs. komme i spil og til udtryk i omgangen med dette stof. - En kompetence kan udvikles, dvs. skabes eller konsolideres, ved omgang med et givent stof. (Jensen et al., 00) Der er naturligvis forskel på hvordan et stof udvikler en kompetence, men samtidig kan man forvente, at hver kompetence vil blive udviklet når der benyttes et spredt spekter af undervisningsstof. Dette hænger sammen med, at de fleste matematiske emner er med til, at udvikle den grundlæggende matematiske tankegang, samt tilgangen (metoder) til et matematisk problem(jensen et al., 00). 3..9.3.Anvendelsen af kompetencebeskrivelserne Kompetencebeskrivelsen kan bruges på to måder til fagbeskrivelse, både normativt og deskriptivt (Jensen et al., 00). Ved at benytte beskrivelsen normativt, kan man bruge den til at tage beslutninger om hvordan en fagbeskrivelse/pensum/læseplan skal planlægges. Der kan besluttes på et givent undervisningsplan om en kompetence, til en vis grad, skal deltage eller ikke deltage. Beskrivelsen kan også bruges deskriptivt, altså til at analysere og beskrive et eksisterende undervisningsforløb (Jensen et al., 00). Vi vil primært benytte kompetencerne deskriptivt, idet vi vil se på hvilke kompetencer eleverne opnår ud fra det planlagte undervisningsforløb. Samtidig vil vi, til en hvis grad, benytte kompetencerne normativt, ved at benytte dem til at begrunde valg af fagstof mv. i undervisningsforløbet. Det vil dog ikke ske ved at opskrive kompetencerne, og ud fra disse udarbejde undervisningsforløbet. Side 9 af 8
3.3. Anna Sfard Anna Sfard er professor i matematik, og arbejder med læring af matematik. Vi tager her udgangspunkt i en artikel 4, hvor hun arbejder med begrebsforståelsen, dvs. hvordan man til fulde forstår et matematisk begreb (Sfard, 99). Denne teori hører under mulighedsproblemet, fordi den netop arbejder med hvilke muligheder eleverne har for at forstå et givent begreb. Teorien arbejder dels med nogle faser som eleverne skal igennem, for at få den fulde forståelse af et begreb, og dels arbejder teorien med den onde cirkel. Den onde cirkel handler om, at det kan være svært, at afgøre hvad der skal komme først i undervisningen, fordi flere del-emner underbygger forståelsen af hinanden, mere om dette senere. Dette er klart et mulighedsproblem, fordi det arbejder med den overordnede planlægning af undervisningen, og ikke med den konkrete undervisningssituation. Samtidig ligger teorien op til det videre arbejde i implementationsproblemet, dels ved hjælp af faserne, og dels ved hjælp af den onde cirkel. Teorien kan til dels også benyttes ved begrundelsesproblemet, fordi den er med til at afgøre hvilke begreber der skal introduceres for at forstå andre begreber. Sfard (99) mener, at vanskelighederne ved at tilegne sig et matematisk begreb angår samspillet mellem strukturelle og operationelle perspektiver. Den operationelle opfattelse er dynamisk, detaljeret og omhandler processer. Opfattelsen er underbygget af verbale repræsentationer. (Sfard, 99). Den strukturelle opfattelse er statisk, eller tidløs, og handler om at være i stand til at snakke om et objekt som en reel ting, og have mulighed for at genkende det med et hurtigt blik, uden at skulle gå i detaljer. Denne opfattelse er mere abstrakt, men efter Sfards mening også den bedste for den menneskelige hjerne. Fordi den ikke bruger lige så mange processer som den operationelle, og derfor er den bedre egnet (Sfard, 99). De to perspektiver er præsenteret i skemaet nedenfor. 4 On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin, Sfard, 99. Side 0 af 8
Generel karakterisering Operationelt perspektiv En matematisk størrelse er forstået om et produkt af en proces, eller som processen i sig selv. Strukturelt perspektiv En matematisk størrelse er forstået som en statisk struktur som hvis det var et rigtigt objekt. Interne repræsentationer Placering i udviklingen af Begreber Er underbygget af verbale repræsentationer Udvikles i den første fase af begrebsdannelse Er underbygget af visuel forestilling, samt symboler Udvikles ud af den operationelle dannelse Figur 4: Skema fra Sfard (99), oversat. Den operationelle opfattelse er for de flestes vedkomne, og i de fleste tilfælde, første trin i at lære ny matematik. Processen fra den operationelle opfattelse til den strukturelle opfattelse kan opdeles i tre faser: Inderliggørelse (Interiorization), sammenfatning (condensation) og tingsliggørelse (reification). Den første fase, inderliggørelse, er den fase, hvor man bliver introduceret til begreber, regneregler m.m., som gør, at man kan forstå de grundlæggende byggeklodser inden for området. F.eks. at minusse, som så giver et indblik i negative tal. Den næste fase, sammenfatning, er den fase hvor eleven kan skabe sig et overblik over delområdet f.eks. en matematisk funktion, uden at have en træng til at gå i dybden med hvad der ligger bag. Et eksempel er arbejdet med differentialligningsfunktionen, hvor eleven godt ved hvorfor x differentieret giver x, og ikke behøver i fremtiden gennemregne det. Den sidste fase, tingsliggørelse, er der hvor eleven går over til at kunne opfatte begreber og processer som et objekt, der kan manipuleres. Sfard (99) påpeger, at det specielt er denne fase, som volder store vanskeligheder for mange elever, dette uddybes i afsnit 3.3.. De tre faser er kronologiske, og det er som udgangspunkt ikke muligt at opnå den sidste forståelse, før to foregående er på plads (Sfard, 99). I figur 5 er der illustreret to processer til begrebsforståelse. Hvor objekt A kunne være at tælle og objekt B kunne være naturlige tal. I første omgang lærer et barn at tælle, og forstår derved tal som en del af en række. Her er objektet derved en given række af tal, hvor barnet ikke vil bruge det sidste tal, som svar på et spørgsmål om antallet af en mængde. For barnet er tal altså processen at tælle, og tallet er Side af 8
ikke et objekt i sig selv. Senere vil barnet lære at betragte tal som objekter der kan benyttes. Når begrebet er fuldt udviklet vil barnet både kunne betragte tal som objekter, men også som en proces. Konkret objekt Objekt A Tingsliggørelse Sammenfatning Inderliggørelse Processer på objektet Objekt B Tingsliggørelse Sammenfatning Inderliggørelse Processer på objekt A Figur 5: Sfard, 99. Her ses processen fra at opfatte et konkret objekt som processer til at kunne opfatte det som et objekt. 3.3.. Uddybelse af Tingsliggørelse Tingsliggørelsesfasen er et ontologisk skifte 5, eller et kvalitativt spring, hvilket jf. Sfard (99) forklarer de mange vanskeligheder ved at opnå denne forståelse. Skiftet mellem at betragte noget som en proces til, at betragte det som et objekt, sammenligner Sfard (99) med det at skifte videnskabeligt paradigme 6. Det er naturligvis en meget vanskelig proces. For at eleven kan blive i stand til dette skifte, er det nødvendigt at arbejde med processen som et objekt, ellers virker det meningsløst for eleven. Et eksempel kan være, når eleven kan arbejde med ligninger hvor funktioner er de ubekendte, f.eks. differentialligninger, eller eleven helt generelt kan snakke om processer udført på funktionen. Dette er tegn på, at eleven kan opfatte funktionen som et objekt, og ikke kun en proces. Det kvantitative spring 5 Ontologisk skifte skal forstås som, at eleverne vil opleve en ændring i de grundlæggende matematiske elementer. 6 Et paragidme betyder, et sæt af regler og arbejdsmetoder, som bliver betragtet som grundlæggende inden for en videnskab. Når der sker et paradigmeskifte, skal forskere mv. således indstille sig på, at det de har lært om det mest grundlæggende ikke længere er gældende. (Kuhn, 995) Side af 8
der ses her er umiddelbart: Fra i mange år at arbejde med funktioner som en proces på variable, skal eleven opfatte en funktion som noget man kan lave en proces på, der er således helt tydeligt en grundlæggende ændring i opfattelsen af funktionen. Sfard pointere, at både elever og lærer ofte gør den fejl, at de forventer, at eleven umiddelbart kan opnå denne forståelse. Sfard mener ikke, at der kan forventes en umiddelbar belønning for elevens forsøg på at forstå noget. Tingsliggørelsesfasen er svær at komme igennem, og den kommer nogle gange når det er mindst ventet. Problemet med det er naturligvis, at det kan skabe store huller i elevens viden, og i værste tilfælde sætte eleven af i matematikundervisningen. Når nogle elever ikke opnår evnen til at forstå objektet, kan det være svært for læreren at få alle med i klassen. Samtidig gør det, det vanskeligt at planlægge undervisningen i forvejen. 3.3.. Den onde cirkel I begrebsforståelsen kan der opstå det problem, at et begreb først forstås som et objekt efter omgang med andre begreber. Denne type onde cirkler, gør det svært at sige, hvilke emner der er vigtigst, fordi de langt hen af vejen underbygger hinanden, og er med til at give en bedre forståelse over en bred karm. Endvidere mener Sfard (99), at den kan være med til at forklare, hvorfor mange mennesker kan have svært ved at lære matematik. Dette problem kan også ses i lineær algebra, hvad skal man f.eks. lære først, en matrix eller den afbildning den viser? Begge dele underbygger umiddelbart forståelse af den anden. Det kan også ses når der arbejdes med funktioner. Før eleven rigtigt opnår en forståelse af funktionen som et objekt, skal eleven oftest præsenteres for differentialligninger, fordi det først er ved at udfører processer på funktionen, at eleven oplever, at det kan give mening, at arbejde sådan med funktionen. Imidlertid kan det være svært, om ikke umuligt, for eleven at forstå differentialligninger, hvis ikke eleven allerede har forstået funktionen som et objekt. 3.3.3. Hvorfor er dette relevant i forhold til lineær algebra Det kan diskuteres om lineær algebra hører til under Sfards teori. Sfard kommer selv med et eksempel om geometri, hvor teorien ikke kan benyttes. Det er fordi en del af geometrien umiddelbart kan forstås strukturelt ved f.eks. at tegne en cirkel, hvilket er muligt uden at kende de matematiske egenskaber ved den. Derved oplever eleven den strukturelle forståelse Side 3 af 8
før den operationelle. Vi mener, at denne situation ikke er gældende indenfor lineær algebra. Det vil ikke være muligt, at opnå en umiddelbar strukturel forståelse af f.eks. en matrix eller en basis, på trods af forsøg på at tegne disse. I dette tilfælde vil det være nødvendigt at starte med den operationelle forståelse, og derefter gennemgå processen frem til den strukturelle forståelse. Dele af lineær algebra bygger på funktioner. Processen i at forstå f.eks. afbildningen strukturelt minder også om processen i at forstå en funktion strukturelt. Her opfatter eleven først afbildningen som en proces, hvor der er x input og y output. For at komme videre med lineær algebra, er det nødvendigt, at eleven begynder at kunne forstå afbildningen som et objekt, således vil det være muligt for eleven senere kan arbejde med basisskifte. Side 4 af 8
3.4. Didaktiske situationer Guy Brousseau har opstillet teorien om didaktiske situationer(tds). Der tages udgangspunkt i en fortolkning af Carl Winsløw (006). Teorien stammer fra Frankrig, hvor Brousseau har ledet et forskningscenter (COREM), siden 97, hvortil der hører en forsøgsskole i Talence. Forsøgsskolen benyttes til at afprøve og observere didaktiske situationer. Teorien hører under mulighedsproblemet og implementationsproblemet. Ved at opstille didaktiske situationer, arbejder den med den konkrete organisering af undervisningen. Samtidig arbejder teorien med hvilke muligheder og problemer, der kan hænge sammen med forskellige læringssituationer. TDS er hovedsaglig en guide for lærere. Teorien opstiller en slags retningslinier for, at opbygge situationer hvor der læres. Begreberne i TDS kan give underviserne nogle redskaber til at systematisere deres overvejelser om undervisningen, samt til at analysere undervisningsforløb (Winsløw, 006). 3.4.. Personlig og fælles viden Brousseau deler viden op i to former; den personlige og den fælles viden. Den personlige viden er en personlig opfattelse af ideer og begreber, f.eks. hvordan en person opfatter en matrix. Disse knytter sig til konkrete situationer. Opfattelserne vil ofte være uformelle og udviskede. Den fælles viden står f.eks. i lærebøger, den har en stor stabilitet og generalitet. Eleven har som mål, at gøre den fælles viden til en personlig viden. Dette sker i stor grad på samme måde som forskeren. Forskning bygger videre på den fælles viden ved hjælp af personlig viden, hypoteser og problemstillinger. De første hypoteser vil ofte vise sig at være forkerte, og ud fra den nye erkendte viden, kan forskeren opstille nye hypoteser. Det endelige produkt vil ofte udmunde i en videnskabelig rapport, en matematisk sætning el.lign. ud fra dette produkt, kan der blive dannet ny fælles viden. Eleven personliggører i denne situation den fælles viden (Winsløw, 006). Der er således to personer, som producerer og reproducerer viden: forskeren og eleven. Det didaktiske miljø er de rammer der bliver opstillet for elevernes selvstændige læring. Det indbefatter problemstillinger, hjælpemidler og opgaver. Det didaktiske miljø bliver ofte Side 5 af 8
fremstillet af læreren. Miljøet skal, så vidt muligt, tilrettelægges således at alle eleverne opnår størst udbytte. Det didaktiske miljø kan være mere eller mindre egnet for eleverne, og det har indflydelse på elevernes indlæring (Winsløw, 006). 3.4.. Det didaktiske spil Brousseau opstiller læringssituationen som et spil, hvor både elever og lærere indgår. I dette spil er der nogle regler, der skal følges, hvis spillet skal vindes, dvs. eleven lærer det ønskede. Disse regler er uskrevne og uformelle. Det kan opfattes som en kontrakt mellem eleven og læreren, hvor de begge må yde noget for at opfylde den. For at opfylde kontrakten må eleverne acceptere det didaktiske miljø, og engagere sig i problemstillingerne, vel vidende, at læreren kender svaret. I den traditionelle måde at undervise på, starter læreren med at præsentere den fælles viden for eleverne. På den måde vil trinet, hvor eleven personliggøre den fælles viden, blive sprunget over. Brousseau mener, at det bør være lærerens opgave at bygge det didaktiske miljø, så det bliver en situation hvor det bliver muligt for eleven at personliggøre den fælles viden, i form af eksperimenter eller opgaver. På sin vis er elevens og forskerens roller meget ens, idet de begge udforsker et område ved at opstille nogle hypoteser og afprøve dem, og den nyfundne viden derefter søges at blive gjort til fælles viden. Forskellen er, at læreren har fastlagt det område som eleven undersøger, samt at læreren hjælper til med at få gjort den nye vide til fælles viden (Winsløw, 006). 3.4.3. Faser i det didaktiske spil Brousseau har defineret følgende faser, det er ikke en nødvendighed at følge faserne kronologisk rækkefølge (Winsløw, 006). 3.4.3..Devolution Læreren formulerer det didaktiske miljø til eleverne, herunder f.eks. at præsentere dem for opgavens regler. Elevernes opgave består i at forstå problemstillingen. Det er en didaktisk situation. Side 6 af 8
3.4.3..Handlingssituationer Er hvor eleverne udforsker miljøet, og på den måde prøver at finde en løsning på opgaven, ofte i flere forsøg. Læreren trækker sig tilbage og observere eleverne. Er opgaven vanskelig, kan læreren tilpasse miljøet, på en måde så løsningen ikke fortælles, men eleverne hjælpes på vej. Der opstår en adidaktisk situation (se nedenfor), hvor eleven arbejder selvstændigt med det didaktiske miljø. 3.4.3.3.Formuleringssituationer Eleverne prøver, at formulere deres første hypoteser i problemstillingen. Læreren kan bede eleverne om at præcisere dem, da de ofte vil være noget upræcise, så de kan gøres fælles. Dette kan både være didaktiske og adidaktiske situationer. 3.4.3.4.Valideringssituationer Når der opstilles hypoteser for at belyse en problemstilling, er det nødvendigt at validere disse. I den forstand at bevise/godtgøre eller modbevise om de er gyldige. Her er det lærerens opgave at lave en systematisk afprøvning og diskussion. Læreren kan f.eks. pege på uoverensstemmelser, eller lave nye rammer for miljøet, så eleverne selv evaluerer deres hypoteser. Dette vil normalt være en didaktisk situation. 3.4.3.5.Institutionalisering Her fortæller læreren den fælles viden: beviser, love, forskrifter m.m. Der godtgøres dermed for de validerede hypoteser. I denne fase vil det være læreren der styre diskussionen, og sikre sig at pointerne kommer tydeligt frem. Dette vil være en didaktisk situation. 3.4.3.6.Lærer- og elev-rolle fordeling I undervisningen vil der I forskellige situationer, ændres på elevens og lærerens rolle. Brousseau har skematiseret disse roller: Side 7 af 8
Lærerens Elvernes rolle Miljø Situation rolle Devolution Igangsætte Modtage og Etableres Didaktisk afklare forstå opgaven Handling Observere Handle Problemfelt Adidaktisk reflektere reflektere udforskningsfelt Formulering Organisere spørge Formulere præcisere Åben diskussion Adidaktisk el. Didaktisk Validering Lytte evaluere Argumentere reflektere Styret diskussion Normalt didaktisk bedømmelse Institutionalisering Præsentere Lytte reflektere Institutionel Didaktisk forklare viden Figur 6: Winsløw, 006. Skema over elevernes og lærerens rolle i forskellige situationer. Det er især i de adidaktiske situationer, at eleven lærer, og gør den fælles viden personlig. Dermed stilles der store krav til eleven, da eleven skal være motiveret, samt have de fornødne ressourcer til at spille med i det didaktiske miljø. På den anden side kræves det, at det didaktiske miljø giver modspil, så eleven finder det inspirerende og udfordrende, dette kan være en udfordring for læreren. Fordi eleven selv skal udforske miljøet, er det vigtigt, at kontrakten mellem læreren og eleven træder i baggrunden (Winsløw, 006). 3.4.3.7.Effekter af kontrakten: Kontrakten skaber en række faldgrupper for lærerne, når de forsøger at opfylde den. Af mange mulige uheldige udslag, er her et par eksempler (Winsløw, 006): - Læreren overtager elevernes opgave, fordi de ikke selv kan finde svaret. Læreren forsøger altså at hjælpe eleverne, ved at lave deres opgave for dem. - Læreren siger, via eksempler eller forsøgsvejledninger, konkret hvad eleverne skal gøre i den pågældende opgave. Så eleverne kopier hvad læreren gør. Dette kan resultere i, at læreren tror at, eleverne selvstædigt har løst en problemstilling. Side 8 af 8
- Læreren gentager de samme diskussioner år efter år. Dette lyder umiddelbart uskyldigt, problemet er, at dette føre ofte til dårligere resultater. Dette skyldes lærerens erfaring indenfor undervisningsforløbet, og at en optimal didaktisk situation ikke kan reproduceres 00%. Det kan være svært for lærerne at undgå disse faldgrupper, men de kan være opmærksomme på dem, og derved begå mindre fejl. Side 9 af 8
4. Undervisningsforløb 4.. Overordnet præsentation af undervisningsforløbet. Undervisningsforløbet er beregnet til ca. 6 lektioner, af 45 min. varighed, men undervisningsforløbet er ikke delt op i lektioner, da gruppen ikke har kompetence til dette. Formålet med forløbet er, at eleverne får en grundlæggende forståelse af lineær algebra, herunder specielt matricer og afbildninger. Med inspiration fra matematikdidaktikere forsøges det opnået, at eleverne langt hen af vejen selv får forståelse af begreberne m.m. det ligger op til, at læreren især er en vejledende resurse. Forløbet starter med en grundlæggende introduktion, hvor der indgår en del repetition af vektorregning, som det forudsættes, at eleverne allerede har kendskab til. Dette udvides til at omfatte flere dimensioner end de kendte 3. Herefter arbejdes der med matricer, hvordan de er opbygget, deres funktioner, samt regneregler knyttet til dem. Dette ender ud i afbildninger i og 3 dimensioner. Afslutningsvis arbejdes der med den inverse matrix, herunder lineær afhængighed og uafhængighed. Ideen er, at eleverne skal arbejde i små grupper til udførelsen af øvelserne. Derved får eleverne mulighed for at formulere de matematiske problemer, samt at diskutere begreberne med henblik på at bidrage i en klassediskussion. 4... Begrundelse af forløbet Vi har ud fra egne oplevelser opstillet nogle mål for undervisningsforløbet. Vi synes, det er vigtigt at eleverne for et indgående kendskab til matricer. Desuden skal de lære om afbildninger. Begrundelsen for disse valg er, at dette dækker det grundlæggende i det første lineær algebra kursus på RUC, Mat b. Andre universiteter kan selvfølgelig prioritere anderledes, men vi har en forventning om, at alle steder vil dette være noget der fylder godt i de første år. For at eleverne for en strukturel opfattelse af matricer, så de kan arbejde med disse som objekter, er det nødvendigt at de oplever at det er muligt at lave processer på matricerne. Side 30 af 8
Dette sker ved at de arbejder med afbildninger, matrixmultiplikation og invers matrix. Samtidig styrker invers matrix elevernes forståelse af afbildningen. Undervisningsforløbet er opbygget på en struktur, hvor eleverne skal arbejde uafhængigt af læreren. Dette begrunder vi med Brousseaus teori om didaktiske situationer. Brousseau siger, at elever lærer bedst ved at arbejde selvstændigt med det didaktiske miljø, med periodevist validering og institutionalisering. Begge dele sker i de klassediskussioner der er lagt ind i undervisningsforløbet. Det er vigtigt, at vi gennem hele forløbet har for øje, at det er en didaktisk manual vi i realiteten laver, det vil sige, at vi skal lavet forløbet sådan, at det er et forløb som giver læreren nogle retningslinier, så læreren skal stadig have mulighed for at kører forløbet sådan, at det passer til hans elever. Side 3 af 8
4.. Uddybning af afbildning Et formål med undervisningsforløbet er, at eleverne gennem adidaktiske situationer, opnår en viden om afbildning. Vi mener, at dette afsnit er specielt vigtigt, idet eleverne oplever et andet perspektiv af matematikken, og herved er det ønsket at eleverne kan udvikle flere kompetencer. Derfor laves her en grundig gennemgang af dette afsnit i forløbet, hvorved teorierne kan blive konkretiseret i forhold til undervisningsforløbet. Vi vil i afsnittet argumentere med de forskellige didaktiske teorier, samt inddrage vores egne tanker. Dette markeres med kursiv skrift. De otte kompetencer vil løbende blive beskrevet, for at udpege hvornår kompetencerne udvikles. Vi vil benytte Sfards opstilling af tre faser, hvor det forventes, at eleverne går fra den operationelle mod den strukturelle opfattelse. Det forventes ikke, at eleverne kommer igennem alle tre faser. Endeligt vil vi benytte Brousseau til beskrives af de didaktiske og adidaktiske situationer, samt det didaktiske miljø. Lærerens oplæg: Ved at tegne den lineære funktion: y = ax, ser vi et koordinat system med en ret linie. Hældningskoefficienten a bestemmes ud fra liniens hældning. I denne situation har man ét input (x) og ét output (y). Funktioner på formen: y = ax + b repræsenterer ikke linearitet. Dette skyldes, at den rette linie ikke skærer i punktet (0,0). Den er dermed forskudt med b udad y-aksen. Vi kigger nu på en anden form for funktion. Denne består af vektorerne y og x. Derfor kan den lineære funktion skrives på formen: y = Ax. Hvis vi forestiller os, at vektorerne er todimensionelle, vil der i dette tilfælde være to input og to output. Side 3 af 8