Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail: bfi@dtu.dk Uafhægige oralfordelte variable ( oral(µ,σ N(µ,σ f(x,y e (x +y F R (r P( X +Y r e r (Rayleigh X N(λ,σ,Y N(µ,τ X +Y N(λ+µ,σ +τ For X i N(, er Y i X i χ -fordelt (gaa. Operatioer ed stokastiske variable f Z (zdz P(Z X +Y dz f(x,z xdx dz f Z (zdz P ( Z Y dz x f(x,zxdx dz X 9. forelæsig Siulta fordelig for kotiuerte variable P((X,Y B f(x,ydxdy B Margiale fordeliger f X (x f(x,ydy f Y (y f(x,ydx y x Hvis X og Y er uafhægige f(x,y f X (x f Y (y Uafhægige oralfordelte variable Tæthede for e stadardiseret oralfordelt variabel er f(x e x for to uafhægige oral(, variable X og Y får vi f(x,y e x e y Beærk rotatiossyetrie. e (x +y 9. forelæsig 3 9. forelæsig 4
Z De siultae tæthed for (X,Y Liearkobiatioer af to oralfordelte variable Lad X og Y være uafhægige oral(, -fordelte variable. Betragt Z ax +by.. Hvis a +b, da er Z også oral(,-fordelt. Det skyldes rotatiossyetrie, Z er de ye førstekoordiat i et drejet koordiatsyste.. Geerelt: Z ( a a +b a +b X + b a +b Y X Y... altså er Z oralfordelt ed iddel og varias a +b. Resultatet ka også vises aalytisk ved brug af afsit 5.4 Fordelige er rotatiosivariat 9. forelæsig 6 Liearkobiatio Suer af oralfordelte variable side 363 Hvis X og Y er uafhægige og oralfordelt ed heholdsvis N(λ,σ og N(µ,τ så er Z X +Y oral(λ+µ,σ +τ fordelt. For X i oral(µ i,σi fordelte og uafhægige er Z b+ i a ix i oral(b+ i a iµ i, i a iσi fordelt. (Dee står ikke direkte i Pita, e ka dog let udledes af resultatet side 364. Atag at R og R er to uafhægige stokastiske variable ed de sae tæthedsfuktio f(x xe x for x. Spørgsål Tæthede af Y i(r,r fides til f Y (y ye y f Y (y ( ye y ( ye y 3 f Y (y e y 4 f Y (y y e y 5 f Y (y y e y 9. forelæsig 7 9. forelæsig 8
Kostate / (X,Y har siulta tæthed f XY (x,y c e (x +y. (Beærk! Vi har hidtil taget c / for givet, e u udleder vi det! Størrelse af oralfordelt vektor side 358-36 Hvis talparret (X, Y er uafhægige stadardiserede oralfordelte (oral(, variable,så er R X +Y Rayleigh fordelt. P(r R r +dr P(r X +Y r +dr f R (r re r, F R (r e r c e r (π(r+dr πr c re r dr +o(dr... teg e skitse af X, Y og R for at checke dette. Vi får tæthede af R direkte: f R (r c r e r Middelværdi og varias er π E(R, Var(R E(R E(R π Efterso f R (r dr, å vi have c /. f R (r re r P(R r F R (r e r 9. forelæsig E skytte skyder od e skydeskive. Skuddees placerig på skive ka beskrives ved uafhægige stadardiserede oralfordelte variable, hvor skives cetru er koordiatsysteets ulpukt. Spørgsål Sadsylighede for, at et skud raer idefor e cirkel ed radius, er Φ ( ( Φ 4 3 4 e 8 5 ( Φ ( ( Φ Hvor Φ(x er fordeligsfuktioe for e stadardiseret oralfordelt variabel. 9. forelæsig Fordelige af S R X +Y Fra variabelskift: F S (s F R ( s e s... altså er S ekspoetialfordelt ed iddelværdi. Deraf fås i øvrigt E(X (! 9. forelæsig
E skytte skyder od e skydeskive. Skuddees placerig på skive ka beskrives ved uafhægige stadardiserede oralfordelte variable, hvor skives cetru er koordiatsysteets ulpukt. Spørgsål 3 Sadsylighede for, at et skud raer idefor e afstad fra koordiatsysteets ade-akse, er Φ( 4 3 Φ( 4 e 5 e 4 Hvor Φ(x er fordeligsfuktioe for e stadardiseret oralfordelt variabel. 9. forelæsig 3 Operatioer ed stokastiske variable 5.4 Vi har set ax og i af stokastiske variable, sat specielle forer for suer. For uafhægige diskrete variable har vi tidligere set P(Z X +Y z 9. forelæsig 4 x f X (xf Y (z x E foldig.for ikke egative uafhægige X og Y P(Z X +Y z For kotiuerte tætheder får vi f Z (z f(x,z xdx uaf z f X (xf Y (z x x f X (xf Y (z xdx Lad X være ligeligt fordelt på ehedsitervallet og X være ligeligt fordelt på itervallet (; og uafhægig af X. Spørgsål 4 Tæthede f Z (z for Z X +X fides til f Z (z for z f Z (z z 3 f Z (z z for z < for z < 3 z for z 3 4 f Z (z 3 for z 3 Lad X være ligeligt fordelt på ehedsitervallet og X være ligeligt fordelt på itervallet (; og uafhægig af X. Spørgsål 5 Sadsylighede P(X +X fides til 3 3 3 4 4 5 6 5 5 f Z (z z 3 9. forelæsig 5 9. forelæsig 6
Ete brug f Z (z De siultae tæthed af (X,X er x, x f(x,x ellers P(X +X x +x dx dx Eller vi ka bruge arealbetragtiger og få P(X +X 3 4 9. forelæsig 7 X N(,Y N(, uafhægige f X (z f Y (z φ(z e z V ax W by v g(x ax w h(y by Tilsvarede f V (v f X(x dg(x dx e x 9. forelæsig 8 a f W (w b e a e w b v a Z ax +by V +W (her ed a > og b > ude tab af geeralitet f Z (z abπ abπ f V (vf W (z vdv a e v a b e e v b +(z v a a b dv (z v b dv +b v zva +z a e (a a b dv Med a +b abπ e ( a z b e z e v zva +z a 4 z a 4 +z a a b dv ab (v za e a b dv 9. forelæsig 9 9. forelæsig
Su af ax og i af to ekspoetialfordelte variable Vi har tidligere set at for W i exp(λ, X i(w,w og Y ax(w,w er de siultae tæthed: f(x,y λ e λ(x+y, < x y. Fordelige af Z X +Y fides til Overraskede? f Z (z z λ e λ(x+(z x dx λ(λze λz 9. forelæsig Suer af uafhægige variable Med X bi(,p og Y bi(,p er Z X +Y bi(+,p Med X NB(,p og Y NB(,p er Z X +Y NB(+,p Med X P(λ og Y P(µ er Z X +Y P(λ+µ Med X Gaa(r,λ og Y Gaa(s,λ er Z X +Y Gaa(r +s,λ Suer af age har oralfordelige so græse Suer af oralfordelte variable side 363 Med X N(µ,σ og Y N(µ,σ er Z X +Y N(µ +µ,σ +σ Med X N(µ,σ og Y N(µ,σ er W ax +by N(aµ +bµ,a σ +b σ 9. forelæsig χ fordelige side 364-366, opgave 5.3.5 Suer af kvadrerede uafhægige stadard oralfordelte variable: X i oral(,, uafhægige. Da har Y i X i tæthed f Y (y / Γ(/ y(/ e y/... og siges at være χ fordelt ed frihedsgrader. (... det er også e Gaa-fordelig Γ(/, / Reproduktio: Hvis Y χ ( og Y χ (, så er Y +Y χ (+. Fordelig af forhold side 383 Hvis Z Y, hvor X og Y er uafhægige X f Z (z Se eksepel 5 side 383 x f X (xf Y (xzdx 9. forelæsig 3 9. forelæsig 4
Z Y X ed X > og Y >. F Z (z P(Z z zx f Z (z df(z dz d zx 9. forelæsig 5 f(x,ydydx d zx f(x, ydydx dz f(x,ydy dz x f(x, zxdx dx Opgave 5.4. Fid tæthede af Y V, hvor U og V er uafhægige U ligefordelte (, variable. Vi beytter f Y (y u f U(uf V (uydu. Itegratiosgræsere for u er fra til i f Y (y f Y (y y (, y udu, for y < udu y, F Y (y y, y. Så for < y, < y y 9. forelæsig 6 F-fordelige: Forholdet elle to uafhægige χ fordelte variable Lad Y χ ( og X χ ( og betragt Z Y X ( f Z (z xf X(xf Y xz dx f Z (z... efter e lægere række udregiger fider vi ( B ( z, ( + z+ hvor B(r,s Γ(rΓ(s Γ(r +s Dette kaldes e F(, fordelig - de optræder hyppigt so e fordelig for teststørrelser i statistikke. Udledige af F-fordelige Med Y χ ( og X χ (,vil vi udersøge fordelige af Z Y X f Z (z Y X xf X (xf Y (xzdx Af tæthede for Y f Y (y, fides tæthede f Y (y for Y Y til f Y ( y Ved idsættelse af f Z (z x Γ ( (x ( e x (xz Γ e xz dx 9. forelæsig 7 9. forelæsig 8
x Γ ( + (x ( e x (xz Γ e xz dx ( ( ( z Γ Γ Fuktioe uder itegralet er æste e Γ tæthed Γ ( + ( +z + +z + ( +z x + Γ ( + x + e +z x dx e +z x dx ( ( ( z Γ Γ Γ ( + ( +z + +z + ( +z x + ( Γ Γ ( + ( Γ e +z x dx ( z Itegralet er. Efter de sidste odifikatioer får vi Idet f Z (z ( B ( z, ( + z+ B(r,s Γ(rΓ(s Γ(r +s E F(, fordelig. 9. forelæsig 9 9. forelæsig 3 Lad Y, Y og Y 3 være tre pukter, der vælges tilfældigt og uafhægigt i itervallet (,. Lad X være puktet tættest på. Spørgsål 6 Fordeligsfuktioe for X er F(x ( x 3 F(x x 3 F(X Φ ( x 3 Farvede kugler trækkes tilfældigt ed tilbagelægig fra e æske. Idholdet af æske er givet ved Farve Rød blå grø gul Adel...3.4 4 F(x x 3 5 F(x x 3 Hvor Φ(x er fordeligsfuktioe for e stadardiseret oralfordelt variabel. 9. forelæsig 3 9. forelæsig 3
Spørgsål 7 Hvad er sadsylighede for at få præcis 5 gule kugler i trækiger Ige af de edeståede 5 (.4 5 (.6 5 3 Φ( 5...9 4 5. 5 Φ( 5...9 Spørgsål 8 Netop røde, 4 blå, 6 grøe og 8 gule i trækiger. 4 (. (. 4 (.3 6 (.4 8 8 6 4 (. (. 4 (.3 6 (.4 8 3.5 4! (5! 4 (. (. 4 (.3 6 (.4 8 5!!4!6!8! (. (. 4 (.3 6 (.4 8 9. forelæsig 33 9. forelæsig 34 Spørgsål 9 Netop 5 trækiger for at få 3 røde. 5 3 (. 3 (.9 ((.(.9 4 3 3 (. 3 (.9 4 4 (. 3 (.9 5 ((. 4 (.9 3 9. forelæsig 35 Afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Uafhægige oralfordelte variable ( oral(µ,σ N(µ,σ f(x,y e (x +y F R (r P( X +Y r e r (Rayleigh X N(λ,σ,Y N(µ,τ X +Y N(λ+µ,σ +τ For X i N(, er Y i X i χ -fordelt (gaa. Operatioer ed stokastiske variable f Z (zdz P(Z X +Y dz f(x,z xdx dz f Z (zdz P ( Z Y dz x f(x,zxdx dz X 9. forelæsig 36