Interferens optisk gitter eller vidste du, at coscos cos Børge Nielsen, Egedal Gymnasium HF, x x 1 x 305 cos x1? 05, Vi ønsker af en endnu ubegribelig grund at beregne summen A x cos0 cos coscos n1 Ay 0 n1 hvor φ er faseforskydningen fra et led til det næste i summerne. Dette vil vi gøre geometrisk, se figur 1. radius r = OC, se figur 1. Ved at dele trekant OCU i to retvinklede trekanter finder vi 1 1 r Vi deler nu tilsvarende trekanten OCT i to retvinklede trekanter. Vinklen OCT er n φ, derfor bliver 1 n A r hvor A er længden af vektoren A. Vi deler de to ligninger med hinanden, får n A 1 hvoraf n A Men hvordan finder vi så koordinaterne for vektoren A ikke bare længden af denne? Hertil skal vi finde vinklen mellem vektoren A x aksen, se figur 1. Figur 1 Geometrisk addition af us cousled. Vi vil beregne summerne ved hjælp af vektorer, således er Linjen OC danner vinklen φ/ med y aksen, vinklen COM har størrelsen 90 n φ/. Herved bliver vinklen mellem vektoren A x aksen 90 90n 1 n cos 0 a 1, 0 cos a, cos a 3,... cos n 1 a n n 1 Hver af disse vektorer har amplituden (længden) a = 1. Vi vil beregne vektorsummen A a a a a 1 3 n Det er herefter klart, at A x A y er hhv. x koordinaten y koordinaten for A. Vi begynder med at beregne radius i cirklen med centrum C Derfor bliver koordinaterne for vektoren A : Ax Acosn 1 Ay A n 1 Derved har vi vist formlerne cos 0 cos cos cos n 1 n cos n 1 (1) 6 LMFK-bladet /019
0 n 1 n n 1 Men kunne vi så finde summerne, hvis hvert cous /usled var yderligere faseforskudt med en fase, der er ens for alle leddene? Det kunne fx være fasen ω t, hvor ω er vinkelfrekvensen t er tiden, altså summerne A x cos tcostcos t cos t n1 A y t t t t n1 Også disse summer kan vi nemt klare, idet vi roterer figur 1 en vinkel ω t i positiv omløbsretning omkring begyndelsespunktet O. Vinklen med x aksen forøges herved med ω t, formlerne for R S ændres til costcostcost costn1 n cos t n 1 t t t t n1 n t n 1 Det er således klart, at amplituden for den resulterende svingning er n uanset om vi adderer de n cousled eller usled. Med andre betegnelser for de variable kan formlerne skrives () (3) (4) cosxcosx ycosxycos xn1y n y y cos x n 1 y x x yxy xn1y n y y x n 1 y Det bemærkes, at disse formler (naturligvis) så kan eftervises vha. den komplekse eksponentialfunktion e ix. Læseren opfordres til selv at lave denne lille øvelse, hvis du ikke allerede har gjort det! 3 eksempler, cosxcosx 1 cosx 305 cos x1 05,, 05, x x 1 x 305 x1 cos 0 cos x cos x cos 3x 4 x x cos x 3 Formlerne kan så bruges til at beregne interferensen mellem mange bølger med samme amplitude med konstant faseforskel, fx bølgerne bag et optisk gitter. Intensiteten af fx lysbølger, der interfererer, vil være proportional med kvadratet på den resulterende bølges amplitude, altså I I 0 n Her er I 0 intensiteten, hvis der kun er et led i formlen. Hvis vi indfører betegnelsen n x (5) (6) (7) 8 LMFK-bladet /019
vil x være et mål for, hvor langt vi er kommet rundt på cirklen på figur 1, således at hvis x = 1, vil de n vektorer netop danne en hel cirkel, idet jo x formlen ovenfor giver n φ = π, den resulterende amplitude vil være 0. Hvis x =, vil vi være nået gange rundt på cirklen, den resulterende amplitude vil igen være 0 osv. Formlen for intensiteten med x som variabel bliver Ix I 0 x x n På figur har vi valgt n = 500, så summen indeholder 500 cous eller usled med en faseforskydning mellem hvert led på x 500 Vi ser, at intensiteten (den lilla graf) falder hurtigt af ved voksende faseforskydning bliver 0 når x rammer et helt tal (destruktiv interferens). Maksima ud over det centrale nås omtrent midt mellem de hele tal. Her når summen af de 500 pile toppen af cirklen på figur 1. Den røde graf viser intensiteten ganget med en faktor 10. Det første maksimum efter den centrale top kan ses at være ca. 4,7 % af maksimalintensiteten, det næste maksimum omtrent 1,6 % af maksimalintensitet osv. Intensiteten af den centrale top kan nemt findes af formel (7) for små faseforskydninger φ: I I 0 n n I 0 I0 n Figur Intensiteten (kvadratet på amplituden) for summen af 500 cousled som funktion af faseforskellen. Dette er selvfølgelig ikke overraskende, da alle de n led i amplitudesummen er tæt på 1 så summen giver n. Intensiteten af den centrale top forstærkes derfor kraftigt med antallet af led i summen. Anvendelse: Det optiske gitter Her er forskellige anvendelser: Den enkelte spektrallinjes centraltop med sidelinjer som vist på figur Det optiske gitters forskellige ordener Spektral opløsningsevne for optisk gitter Den enkelte spektrallinje: Centraltop sidelinjer Vi ser på et optisk gitter, hvor laserstrålen rammer vinkelret ind på gitteret. Vi antager, at laserstrålen har bredden D (fx 0,5 mm), at den belyser n gitterstreger i gitteret. Vi ser på interferensen af alle n ringbølger i laserstrålens bredde i retningen givet ved vinklen θ, målt i forhold til normalen til gitteret, se figur 3. Bølgerne fra alle streger i gitteret vil interferere i lang afstand fra gitteret i pilenes retning. Vi har sammenhængen nd s For at omsætte afstanden s til en faseforskel mellem 1. bølge n. bølge, skal vi dele s med bølgelængden λ gange med π: LMFK-bladet /019 9
æ æ s n d n Faseforskellen mellem to nabostreger er d I 0. orden (se senere) finder vi, at når s = λ er n φ = π, vi er nået 1 gang rundt på cirklen på figur 1. Faserne for de n bølger varierer fra 0 for den første til 360 for den sidste. Bølgerne interfererer derfor destruktivt, vi når intensitetsnulpunktet med x = 1 på figur. Vinklen θ er bestemt af ligningen (8) eller n d n d D 1. intensitetsnulpunkt (9) Det andet intensitetsnulpunkt nås, når s = λ n φ = 4π. Ligningen for vinklen θ bliver så n d D. intensitetsnulpunkt (10) Figur 3 Interferens mellem n cirkelbølger i retning θ i forhold til normalen til gitteret. 30 LMFK-bladet /019
Eksempel Antag, at der er tale om en laserstråle med bredden 0,5 mm på det sted, hvor den rammer det optiske gitter, at det optiske gitter har 300 streger pr. mm. Der vil derfor være 150 belyste streger. Gitterkonstanten er 1/300 mm eller 3333 nm. Laserens bølgelængde antages at være 53 nm. Heraf finder vi: 53 nm 0, 00106 D 500000 nm som giver Gitterets forskellige ordener I formel (7) for intensiteten kan vi erstatte faseforskellen φ mellem de enkelte oscillatorer med φ + m π, hvor m er det såkaldte ordenstal (m = 0, 1,,...), uden at ændre på intensitetens værdi. Vi vil derfor få stærke toppe hver gang φ passerer m π, med svage sidelinjer præcis som på figur. Alle oscillatorerne er her i fase, idet den næste oscillator i rækken er m hele svingninger foran/bagefter den forrige. θ = 0,061 1. intensitetsnulpunkt For at finde de tilhørende vinkler, bruger vi formel (8) tilsvarende θ = 0,1. intensitetsnulpunkt Det skal bemærkes, at disse beregninger kun gælder i 0. orden. Hvis skærmen er 1 m fra det optiske gitter, vil afstanden til centralpletten være hhv. 1 mm mm. Afstanden mellem de to intensitetsnulpunkter nærmest centraltoppen vil være mm de næstnærmeste vil have afstanden 4 mm. Vælges et optisk gitter med større gitterkonstant, vil det ikke have nen indflydelse på disse vinkler, da n d = D der er bredden af laserstrålen. Vi vil altså se en centraltop i 0. orden med intensitetsnulpunkter toppe som på figur, hvor x er målt i mm. Hvis vi omvendt måler disse afstande, kan laserstrålens effektive bredde (i hvert fald i teorien) bestemmes. n d n hvoraf d faseforskel fra streg til streg Vi erstatter φ med m π ( ser således alene på retninger med konstruktiv interferens mellem alle ringbølgerne) d m deler med π på begge sider m d Figur 4 Intensiteten I(φ), hvor φ er faseforskellen mellem to nabostreger i gitteret. LMFK-bladet /019 31
ENDNU FLERE MULIGHEDER MED TRÅDLØSE SENSORER FRA PASCO Familien af trådløse sensorer fra PASCO når i starten af 019 op over 0 forskellige. Alle kan tilgås fra Mac, Windows, tablets, Chromebooks eller smartphones alle har mulighed for stand-alone lning. FIND DEM ALLE PÅ WWW.FREDERIKSEN.EU HER ER ET PAR EKSEMPLER: PS-30 Trådløs kraft- accelerationssensor med indbygget gyroskop Fantastisk velegnet til undersøgelse af centripetalkraft i cirkelbevægelse. PS-311 Trådløs spændingssensor PS-31 Trådløs strømsensor Ægte galvanisk adskillelse fra computeren. Glem alle problemer med brum støj fra computer-stel. Trådløs kraft- acc.-sensor 1.100,- Førpris 1.95,- Trådløs spændingscensor 555,- Førpris 650,- Trådløs strømsensor 775,- Førpris 895,- Frederiksen Scientific A/S. Viaduktvej 35. DK-6870 Ølgod. Tel. +45 754 4966. info@frederiksen.eu. www.frederiksen.eu Heraf finder vi endelig: m d Gitterligningen (11) Dette er den velkendte gitterligning, der knytter bestemte retninger/vinkler til konstruktiv interferens mellem alle ringbølger fra de belyste streger i gitteret. Således vil afstanden til to nabostreger i gitteret være m λ når den bedømmes fra et punkt langt fra gitteret i retningen bestemt af vinklen θ, jf. figur 3. I figur 4 er intensiteten (7) afbildet som funktion af faseforskellen φ mellem de enkelte streger i gitteret. Her er valgt n = 10, så der altså kun er 10 belyste streger i gitteret. Det fremgår, at vi har konstruktiv interferens mellem alle bølger hver gang φ passerer et helt antal ganget med π. For at besvare dette spørgsmål ser vi igen på figur. Hvis en spektrallinje af en given orden har sit maksimum i den centrale top, en anden spektrallinje med en bølgelængde tæt på den første (i samme orden) har centrale top placeret i det første intensitetsnulpunkt for den første, har vi defineret, hvad vi forstår ved usikkerheden på bølgelængden dermed hvor tæt de to spektrallinjer kan være på hinanden uden at de flyder sammen. Vi vil bruge teorien til at præcisere denne definition så kaldet Rayleigh kriteriet. Vi ser på figur, vi forestiller os, at en spektrallinje med bølgelængden λ har konstruktiv interferens i retningen givet ved vinklen θ i m. orden, sådan at gitterligningen er opfyldt: d m Vi ganger nu med det hele tal n på begge sider (antallet af belyste linjer i gitteret): konstruktiv interferens i retning θ, bølgelængde λ Hvilke bølgelængder kan vi se forskel på? Rayleigh kriterium Bredden af det centrale intensitetsmaksimum vist på figur gør, at to spektrallinjer kan ligge så tæt på hinanden, at vi ikke kan skelne dem fra hinanden. Men hvor tæt er det? nd nm Venstresiden genkendes som afstanden s på figur. Hvis vi forøger afstanden s med en bølgelængde ( derved ændrer vinklen θ til θ + θ), vil bølgerne fra alle belyste streger i gitteret give destruktiv interferens i den nye retning, som forklaret i forbindelse med figur. Vi får så: destruktiv interferens i retning θ + θ, bølgelængde λ nd nm (1) 3 LMFK-bladet /019
n D = d Kombinerer vi de sidste to ligninger, får vi d m D Opløsning i bølgelængden i m. orden (14) Ofte udtrykkes et gitters opløsningsevne ved bstavet R (resolution): R n m Opløsningsevne, Rayleighs kriterium (15) I 1. orden er gitterets opløsningsevne derfor lig med antallet af belyste streger i gitteret. Er der derfor fx 1000 belyste streger i gitteret, er opløsningen R = 1000 i 1. orden, / 1/ 1000 eller 0,1%. Lyset i spektralanalysen skal derfor (fx vha. linser) spredes over så mange linjer i gitteret som muligt ( samles igen bagefter vha. linser) for at opnå den bedste spektrale opløsning. Figur 5 Rayleighkriteriet maksimum møder minimum Vi forestiller os nu, at en anden spektrallinje med bølgelængden λ + λ ligeledes i m. orden har konstruktiv interferens i samme retning θ + θ. Denne vil opfylde konstruktiv interferens i retning θ+ θ, bølgelængde λ+ λ nd nm( ) (13) Højresiderne i de to ligninger (1) (13) må være ens, da jo venstresiderne er det. Derfor er nm nm Isoleres λ i ovenstående ligning, finder vi n m Den relative opløsning i bølgelængde bliver derfor Eksempel bredden af spektrallinje Vi antager, at laserstrålens bredde er D = 0,5 mm, at vi ser på 1. orden. Desuden antager vi, at bølgelængden er λ = 53 nm. Herved bliver 3333 nm 067, % 1500000 nm altså 53 nm 0, 0067 3, 5nm Hvis altså en anden spektrallinje ligger tættere end 3,5 nm på linjen med λ = 53 nm, vil det ikke være muligt at skelne de to linjer fra hinanden med denne bredde af det belyste område på gitteret. Det er jo ikke særlig relevant for en laser med kun en bølgelængde men fortæller alligevel om bredden af den pågældende linje. Eksempel Opløsning af de to gule D linjer i natriumspektret I natriumspektret er der to tætliggende spektrallinjer med bølgelængderne 588,9950 nm 589,594 nm, svarende til de to overgange 3p 3/ 3s 1/ 3p 1/ 3s 1/. Forskellen skyldes elektronens spin (op eller ned), den såkaldte spin banekobling. Vi beregner den nødvendige spektralopløsning i 1. orden: 1 n m Rayleighs kriterium Hvis vi udtrykker antallet af belyste streger ved laserstrålens bredde D, er D = n d, hvoraf 589, 937 nm R 986 n1 0, 5974 nm Her er 589,937 nm middelbølgelængden for de to spektrallinjer. Altså skal der være ca. 1000 belyste streger i gitteret, svarende til en opløsning på 0,1 % i bølgelængde, hvis de to spektrallinjer skal kunne separeres. LMFK-bladet /019 33
Men hvad med opløsningsevnen udtrykt ved vinklen θ? Vi tager udgangspunkt i ligningerne (1) (13) trækker dem fra hinanden: nd nm( ) nm Vi går nu ud fra, at θ er en lille vinkel, så vi kan rækkeudvikle us til 1. orden samtidig med, at højresiden reduceres: ndcos nm θ isoleres: m d cos Vi heri indfører, at får n m m m d cos dcos n m n d cos eller Eksempel Vi fortsætter eksemplet ovenfor. Vinklen θ beregnes af gitterligningen m 1 53 nm 0, 1596 d 3333 nm Formel (15) giver så: 53 nm 500000 nm cos 913, hvoraf θ = 9,18 3 10810, 0, 06 Dette stemmer (naturligvis) godt med beregningen i 0. orden tidligere. For små vinkler θ er θ = λ / D. Sammenlign denne med vinkelopløsningen for en cirkulær apertur, som fx et teleskop med åbningsdiameteren D: θ = 1, λ / D, efter et tilsvarende Rayleigh kriterium for separation af to punktkilder. Se evt. borgeleo.dk for andre interessante emner! D cos vinkelopløsningsevne (16) hvor D er bredden af det belyste område på det optiske gitter. Radiomodtager radiosender Klaus Nielsen, fysikmatematik.wordpress.com En elektrisk fluesmækker af typen med stænger i ketsjeren udsender radiobølger. Find en gammel radio, tænd for fluesmækkeren. Der høres meget støj i radioen over et stort radiobølgeområde. Køb en stor fjeder i en grovvarebutik. Forbind et sæt høretelefoner direkte til fjederen, tænd for fluesmækkeren lyt. Fjederen virker som en spole med induktans L samtidig så som en antenne. Der er en elektrisk modstand R i spolen i høretelefonerne, der opstår dermed en RL svingningskreds. Andre elektriske sensorer kan ses på siden om fysikforsøg elektriske sensorer m.m. på min hjemmeside. 34 LMFK-bladet /019