Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment...................... 2 2.3 Energibevarelse.......................... 2 2.3.1 Kuglen........................... 2 2.3.2 En kasse.......................... 4 2.4 Tankeeksperiment......................... 4 3 Usikkerhedsberegninger 5 3.1 Middelværdi og spredning.................... 5 3.2 Ophobningsformlen........................ 5 4 Forsøget 6 4.1 Kendte størrelser......................... 6 5 Resultater 7 5.1 Enkelt måleserie.......................... 7 5.2 Lineær regression......................... 8 6 Diskussion - optimering og fejl 9 7 Konklusion 10 1
1 Formål I denne øvelse træner vi forståelsen af bevægelser, der består af rotation og translation. Desuden øver vi os i at benytte systematisk usikkerhedsberegning til at optimere eksperimenter. Konkret vil vi lade en kugle trille ned af en skrå sliske og bestemme tyngdeaccelerationen g. 2 Teori Vi vil herunder udlede de formler vi skal bruge til at bestemme g 2.1 Rullebetingelsen Idet kuglen ruller ned af slisken uden af glide, og vi antager at slisken er en fast overflade, har vi følgende sammenhæng mellem kuglens fart ned langs slisken og kuglens vinkelhastighed: 2.2 Konstant kraftmoment v = ω r (1) Tyngdekraftens komposant langs slisken (mg sin φ) giver et konstant kraftmoment omkring den akse, der forbinder de to punkter, hvor kuglen rører slisken (komposanten vinkelret på slisken bidrager derimod ikke med noget). Idet der for kraftmomentet gælder at τ = Iα, fører det konstante kraftmoment til en konstant vinkelacceleration, idet inertimomentet jo er konstant. Idet kuglensbevægelse opfylder rulle betingelsen, finder vi at kuglen translatoriske acceleration også er konstant (dette får vi ved at differentiere (1)). Derfor kan vi benytte os af sammenhængen mellem accelerationen, hastigheden og den tilbagelagte strækning: a = v2 2s (2) 2.3 Energibevarelse 2.3.1 Kuglen Hvis vi ser på det idelle forsøg, vil den mekaniske energi være bevaret. Altså har vi: U 1 + K 1 = U 2 + K 2 2
Og idet hvores kugle starter fra hvile har vi at U = K 2 (3) Ændringen i den potentielle energi er givet ved U = mg h, men idet ved kan udtrykke ændringen i højden som h = s sinφ, hvor s er den tilbage lagte vejstrækning på slisken og φ er vinklen mellem slisken og vandret, får vi: U = mgs sin φ (4) Efter kuglen har bevæget sig strækningen s, langs slisken, vil den have omdannet sin potentielle energi til to former for kinetisk energi; translatorisk og rotationel. Dermed er den kinetiske energi givet ved: K 2 = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 (5) Vi benytter rullebetingelsen (1), og det kendte udtryk for inertimomentet for en homogen kugle, I kugle = 2 5 mr2, hvor R er kuglens radius, og får: K 2 = 1 2 mv2 + 1 2 I v2 = 1 2 mv2 + 1 2 r 2 2mR 2 5r 2 v 2 = 1 2R2 m(1 + 2 5r 2 )v2 (6), hvor r er den vinkelrette afstand fra rotationsaksen ud til det punkt hvor kuglen rører slisken. Idet vi benytter (3) får vi: mgs sin φ = 1 2R2 m(1 + 2 5r 2 )v2 Vi løser nu udtrykket med hensyn til g, idet vi undervejs benytter (2): mgs sin φ = 1 2R2 m(1 + 2 5r 2 )v2 2gs sin φ = (1 + 2R2 5r 2 )v2 g = (1 + 2R2 5r ) v 2 2 2s sin φ g = (1 + 2R2 5r ) a 2 sin φ (7) 3
2.3.2 En kasse En kasse der glider ned af en tilsvarende sliske, nu uden friktion, vil ikke opnå en rotationel kinetisk energi. Der er dog stadig energibevarelse så af (3) får vi: mgs sin φ = 1 2 mv2 Dette løser vi nu for g, idet vi benytter (2): 2.4 Tankeeksperiment v2 g = 2s sin φ g = a sin φ For kuglen der triller ned af slisken kunne vi finde tyngdeaccelerationen ved (7): g = (1 + 2R2 5r ) a 2 sin φ Vi kan også vende det om og se på et udtryk for accelerationen af kuglen, hvis vi kender g, får vi: a = g sin φ 1 + 2R2 5r 2 Vi vil nu se på hvad der sker, hvis vi ændrer afstanden mellem de to skinner. Ved brug af pythagoras sætning kan vi finde et udtryk for r (den afstand fra rotationsaksen til det punkt hvor kuglen rører slisken): r = R 2 d2 (8) 4 Vi ser nu at hvis d bliver større, så bliver r mindre, og hermed øges nævneren i udtrykket for accelerationen, og a bliver altså mindre. Hvis vi ser på den situation hvor d nærmer sig 2R, vil r gå imod 0. Hermed går brøken i nævneren i udtrykket for accelerationen imod uendelig, og det betyder at accelerationen vil gå imod 0. Dette giver god mening, hvis vi ser på udtrykket for kuglens vinkelhastighed: α = g sin φ r(1 + 2R2 5r 2 ) Vi ser tydeligt at når r bliver mindre, bliver vinkelaccelerationen større. Og speciel idet r går imod 0. Da vil vinkelaccelerationen gå imod uendelig (= ) 4
3 Usikkerhedsberegninger Som en del af øvelsen vil vi også se lidt på usikkerheden på målingerne. Derfor vil vi lige gennemgå hvilke udtryk vi vil bruge og hvordan. 3.1 Middelværdi og spredning På vores måleserie vil vi komme til at beregne middelværdi x og spredning σ. Disse er bestemt ved: n x = σ = 3.2 Ophobningsformlen i=1 n x i n ( x x i ) 2 i=1 n 1 (9) (10) For at bestemme usikkerheden på de størrelser som vi finder ved brug af målte tal, eksempelvis g, må vi bestemme usikkerheden ved brug af ophobningsloven. Hvis vores størrelse y er givet ved en funktion F der afhænger af nogle størrelser a, b, etc., er ophobningsformlen givet ved: S y = ( F a S a ) 2 ( F ) 2 + b S b + (11) Vi vil gerne bestemme usikkerheden på accelerationen ud fra det udtryk vi har i (2). Det giver os følgende udtryk for usikkerheden S a : S a = (v s S v ) 2 ( ) + v2 2 2s S 2 s (12) For usikkereheden på tygdeaccelerationen får vi et noget længere udtryk: S g = ( ) 2 ( ) 2 (( ) ) 4R2 a Ra 1 + 2R 2 2 ( ( ) ) 5r 3 sin φ S r + r 2 sin φ S 5r 1 + 2R 2 2 R + 2 sin φ S 5r a cos φ a + 2 sin 2 S φ φ (13) Disse to usikkerhedsberegninger (12) og (13) skal vi benytte på de målinger vi foretager ved forsøget. 5
4 Forsøget Forsøget går ud på at lade en kugle trille ned af en sliske og så måle hastigheden af kuglen efter den har bevæget sig en strækning s. Forsøgsopstilllingen består af en sliske, hvorpå der er monteret to fotoceller med 5 cm mellemrum. De måler tiden fra kuglen slippes til den når den første og den anden fotocelle, givet ved henholdsvis t 1 og t 2. Vi lader kuglen trille ned af slisken ti gange, og benytter LabView til at lave dataserier med t av = (t 1 + t 2 )/2 og v av = 5/(t 2 t 1 ) (hermed er hastigheden i dataserien cm/s). Disse kan vi så bearbejde, og bruge til at bestemme tyngdeaccelerationen g. Idet vi kender afstanden s kan vi med vores måledata bestemme acceleration af kuglen, og hermed finde en værdi for g. Vi kan også udføre lineær regression på vores måleserier for t av og v av, hvormed vi kan finde accelerationen, da der gælder v = at for en konstant accelereret bevægelse. På denne måde kan vi så igen bestemme en værdi for tyngedeaccelerationen g ud fra vores formel. Afstanden s En bemærkning omkring s er, at den ikke er hel let at bestemme. s må jo løbe fra startpunktet til et punkt indenfor de 5 cm der adskiller de to fotoceller. Det punkt vi vælger skal dog helst være dér hvor kuglens hastighed rent faktisk svarer til gennemsnitshastigheden mellem fotocellerne. Dette mener vi ligger 2 cm efter den første fotocelle ± 0.5 cm. 4.1 Kendte størrelser Vi kan regne tyngdeaccelerationen ud fra vore måledata, samt data om vores opstilling. Følgende størrelser er konstante gennem forsøget: D, R, d, r og φ (hvor r er udregnet ved (8)). Vi har målt dem og får følgende værdier for størrelserne: Størrelser Kuglens diameter D Kuglens radius R Afstand mellem sliskerne d Rotationsradius r Vinkel φ Værdi 1.95 ± 0.01 cm 0.795 ± 0.005 cm 0.59 ± 0.02 cm 0.738 ± 0.0295 cm 6 ± 0.5 grader 6
5 Resultater Vi vil nu se på vores resultater fra forsøget. Vi gør det på to forskellige måder; ved at regne på en enkelt måleserie, eller ved at udfører lineærregression på fire måleserier. 5.1 Enkelt måleserie Vi ser på den måleserie hvor vi har s = 52 ± 0.5cm VI bestemmer nu middelværdi og spredning af hastigheden: v = 0.815m/s σ v = 0.0043m/s Vi benytter nu (2) til at bestemme accelerationen af kuglen, og (12) til at bestemme usikkerheden på a: Nr. Værdi for a 1 0.629 ± 0.006 m/s 2 2 0.641 ± 0.006 m/s 2 3 0.639 ± 0.006 m/s 2 4 0.637 ± 0.006 m/s 2 5 0.632 ± 0.006 m/s 2 6 0.646 ± 0.006 m/s 2 7 0.640 ± 0.006 m/s 2 8 0.643 ± 0.006 m/s 2 9 0.627 ± 0.006 m/s 2 10 0.656 ± 0.006 m/s 2 Dette giver os ved brug af (7) følgende 10 værdier for g, samt usikkerheden på disse (fundet ved ((13)): 7
Nr. Værdi for g 1 8.82 ± 0.77 m/s 2 2 8.98 ± 0.79 m/s 2 3 8.92 ± 0.78 m/s 2 4 8.93 ± 0.78 m/s 2 5 8.85 ± 0.77 m/s 2 6 9.06 ± 0.79 m/s 2 7 8.97 ± 0.78 m/s 2 8 9.01 ± 0.79 m/s 2 9 8.82 ± 0.77 m/s 2 10 9.04 ± 0.79 m/s 2 Hermed finder vi en gennemsnitsværdi for tyngdeaccelerationen g på: ḡ = 8.94 ± 0.78 m/s 2 Dette afviger noget for den teoretiske værdi på 9.8 m/s 2, hvilket må skyldes en måle fejl. 5.2 Lineær regression Vi ville også prøve at finde accelerationen a af kuglen ved at udfører regressionen på de 4 datasæt vi har. Dette kunne være smart idet vi hermed fuldstændig undgår at tage stilling til den tilbagelagte strækning s, ved u- dregning af accelerationen. Dette kan vi nemlig gøre idet vi fra målingerne har v av og t av. Disse størrelser er nemlig forbundet når der er en konstant acceleration. Givet ved formlen v = a t + v 0. Her er det sidste led v 0 lidt interessant. Fordi dette led burde jo være nul i vores forsøg, da vi jo slipper kuglen fra hvile. Vi kan dog konstatere, at for at vores regression passer på punkterne, bliver vi nødt til at tage en s- tarthastighed med. Idet vi benytter sammenhængen v 1 (t) = a t finder vi ved lineær regression: a = 0.60 ± 0.0008 m/s 2 Idet vi benytter sammenhængen v 2 (t) = a t + v 0 finder vi ved lineær regression: a = 0.628 ± 0.007 m/s 2 v 0 = 0.0355 ± 0.01 m/s 8
Altså en værdi for accelerationen som ligger meget tættere på de værdier vi fandt for den enkelte måle serie end, den værdi vi finder hvis vi sætter v 0 = 0. Nedenstående graf af de to funktioner vidner også om at v 2 (t) passer bedre på punkterne end v 1 (t): 6 Diskussion - optimering og fejl Vores usikkerhed domineres tydeligt af usikkerheden på vinklen, derfor ville vi kunne gøre usikkerheden mindre, hvis vi gjorde vinklen større. Da ville usikkerheden nok stige lidt på de andre størrelser, det er svært at vide hvor meget. Men da vores usikkerhed domineres af vinklen ville det være et godt sted at starte optimeringen. Et andet aspekt af opstillingen er luftmodstanden, den har nok ikke en stor rolle, men man ville alligevel kunne formindske den ved at benytte en metalkugle istedet for en af plastik som vi gjorde. Hermed villle vi kunne benytte en mindre kugle, og stadig have samme masse. En mindre kugle ville dog så igen gøre hastigheden større, og da luftmodstanden også afhænger af hastigheden, er det igen svært at vide hvor meget det ville hjælpe. 9
Vi så fra vores regression at vi af en eller anden grund har en starthastighed på 0.004 m/s. For det første er det underligt vi får en starthastighed, da kuglen jo startede fra hvile. Endnu mere mærkeligt er det at starthastigheden er negativ. Den eneste forklaring er at der kan være noget galt med affyringsmekanikken, så kuglen måske får et lille stød op af slisken, så der kommer til at gå for lang tid inden den når sensorerne i forhold til teorien. Det er dog svært lige at finde på en metode, der kan måle tiden lige så præcist, og samtidig slippe kuglen korrekt. På baggrund af vores to tilgange til udregning af g, ved henholdsvis udregning ved en enkelt måleserie og lineær regression på fire måleserier, kan vi konstatere at resultatet, faktisk ikke afviger mere end 1.6%. Det betyder at diskussionen af, til hvilket punkt afstanden s skulle måles, ikke har haft den største betydning. Vi kan i hvert fald ikkee tilskrive den skylden for det forkerte resultat. 7 Konklusion En sidste ting man kunne diskutere er resultatet. Den værdi vi har fundet for g, ligger ca. 0.9 m/s 2 lavere end den teoretiske. Dette må skyldes en systematiske fejl ved enten vores udførelse af forsøget, eller selve måleudstyret. Vi har ingen gode ideer til hvor vi kunne have lavet en fejl, eller hvilken del af målingerne, der kan være ukorrekte. Hvis vi virkelig skulle måle tyngdeaccelerationen i NBI s kælder, måtte vi nok udfører forsøget igen, ved en anden opstilling, på en anden måde. Nu forholder det sig imidlertid sådan, at meningen med forsøget var at vi skulle prøve at arbejde med usikkerhedsberegninger, og optimering, og det synes vi er lykkes rigtig godt for os at arbejde med. At resultatet ikke er korrekt, demonstrerer bare for os at vi skal arbejde lidt mere med optimering af forsøget, inden vi udfører det. 10