Théorie des Genres des Corps globaux

Théorie des Genres des Corps globaux Bruno Anglès et Jean-François Jaulent Abstract. We establish the fundamental results of genus theory for nite (non necessary Galois) extensions of global elds by using narrow S-class groups, when S is an arbitrary nite set of places. This exposition, which involves both the number elds and the functions elds cases, generalizes most classical results on this subject. Résumé. Nous établissons les résultats fondamentaux de la théorie des genres pour les extensions nies (quelconques) de corps globaux dans le cadre des groupes de S- classes d'idéaux signés pour un ensemble ni arbitraire de places ; la présentation donnée vaut indiéremment pour les corps de nombres et les corps de fonctions et contient ou généralise la plupart des résultats connus. Introduction a Théorie des Genres pour les corps de nombres remonte aux Disquisitiones Arithmeticae. Gauss étudiait les formes quadratiques alors que le point de vue actuel met l'accent sur l'arithmétique des extensions abéliennes. C'est seulement en 1951 que Hasse donna une interprétation du genre des corps quadratiques basée sur la Théorie du corps de classes, et en 1959 que Fröhlich donna une dénition générale du corps des genres attaché à un corps de nombres arbitraire. Dans cet article, nous étendons la Théorie des genres aux cas des corps de fonctions dans le cadre des groupes de S-classes d'idéaux signés que nous introduisons en parallèle avec celui des corps de nombres (voir paragraphe 2.1). Il existe en eet une forte analogie entre les corps de nombres et les corps de fonctions d'une variable sur les corps nis. Ainsi, si F q est un corps ni et T est une indéterminée sur F q, on peut voir F q [T ] comme l'analogue de Z, son corps de fractions F q (T ) comme l'analogue de Q, et 1 T comme l'analogue de la place à l'inni de Q donc F q (( 1 T )) comme l'analogue de R. C'est sous cette correspondance que nous nous plaçons dans cet article en abordant la Théorie des genres en toute caractéristique. Dans la première section, nous poursuivons les travaux de Rosen ([11]) en introduisant le corps de classes de Hilbert au sens restreint pour les corps de fonctions. Nous sommes alors armés pour dénir la notion de S-corps des genres d'un corps global en toute caractéristique (paragraphe 2.2). e théorème 2.3.1 généralise ainsi les formules des genres obtenues par Furuta ([5]) et Goldstein ([7]). Nous terminons par l'étude du corps des S-classes centrales d'une extension séparable nie de corps globaux. Manuscripta Math. 101 (2000), 513532. 1

es résultats obtenus dans cet article seront utilisés dans un travail en préparation où est étudiée la "parité" des groupe de classes d'idéaux des corps de fonctions cyclotomiques et de leurs sous-corps "totalement réels". Enn nous remercions tout particulièrement Georges Gras qui nous a signalé une inexactitude dans la version préliminaire de ce travail (cf. remarque 2.2.) Notations Soit F q un corps ni à q éléments et p sa caractéristique. Si T est une indéterminée sur F q, on pose Z = F q [T ] et Q = F q (T ). On désigne enn par Q une clôture algébrique de Q. Suivant l'usage on note Z l'anneau des nombres relatifs, Q son corps des fractions et Q le corps des nombres algébriques, c'est-à-dire la fermeture algébrique de Q dans C. Dans ce qui suit, toutes les extensions nies de Q sont réputées contenues dans Q et toutes les extensions nies de Q contenues dans Q. Soit maintenant un corps ; nous disons que est un corps global si c'est un corps de nombres, i.e. une extension nie de Q, ou si est une extension séparable nie de F q (T ) = Q. En particulier, dans ce qui suit, toute extension / de corps globaux sera toujours réputée séparable et de degré ni. Soit alors un corps global ; nous notons : P l l'ensemble des places à l'inni de si est un corps de nombres, l'ensemble des places de au-dessus de = 1/T si /Q est séparable nie ; P l 0 l'ensemble des places nies et P l = P l 0 P l ; v le complété de en la place v et, si v est nie, U v groupe des unités de l'anneau des entiers O v de v puis U v (1) = 1 + πo v son sous-groupe principal ; O l'anneau des entiers de, i.e. la fermeture intégrale de Z dans si est un corps de nombres, celle de Z = F q [T ] si est un corps de fonctions; I le groupe des idéaux fractionnaires non nuls de O ; P le sous-groupe des idéaux fractionnaires principaux non nuls de O ; Cl le groupe des classes d'idéaux de O, i.e. le quotient Cl = I /P ; E le groupe des éléments inversibles de O ; J le groupe des idèles de, i.e. le produit restreint des groupes multiplicatifs v des complétés v de en ses diverses places ; U = Π v P l v Π v P l U v le groupe des idèles unités ; 2

U + k = Π v P l + v Π v P l U v le sous-groupe totalement positif de U ; + le groupe des éléments totalement positifs dans ; Sg = / + le groupe des signatures de ; Is = I Sg le groupe des idéaux signés ; P s le sous-groupe des idéaux signés principaux ; Cs = Is /P s Cl res le groupe des classes d'idéaux signés ; S = S S un ensemble ni de places de ; U S le groupe des S-unités (réputées totalement positives en dehors de S) dans J ; E S = U S le groupe des S-unités globales (totalement positives en dehors de S) ; Is S = Is /Is (S) le groupe des S-idéaux signés ; P s S = P s Is (S)/Is (S) son groupe principal ; Cs S = IsS /P ss le groupe des S-classes d'idéaux signés. 1. Groupe de classes d'idéaux au sens restreint Dans cette section nous introduisons les groupe de classes d'idéaux au sens restreint et la notion corps de classes de Hilbert au sens restreint pour les corps de fonctions. 1.1. Fonctions "signe" sur les corps de fonctions Soit R = Q le groupe multiplicatif des nombres réels non nuls ; classiquement on a une fonction signe φ : Q Z = { 1, 1}, qui est dénie par φ (x) = 1 pour x > 0 et φ (x) = 1 pour x < 0. Il est clair que φ est un morphisme de groupes de noyau R +. Si maintenant E/R est une extension nie, avec E = R ou C, on pose φ E = φ N E/R. Alors φ E : E { 1, 1} est un morphisme de groupes de noyau erφ E = C si E = C, et erφ E = R + si E = R. Dans ce paragraphe nous allons introduire des fonctions analogues pour les extensions séparables nies de Q = F q (( 1 T )). Soit x Q ; on peut écrire de manière unique : x = ( 1 T )nx λ x ε x, 3

avec n x Z, λ x F q = Z et ε x U (1) Q. On dénit alors le "signe" de x par : φ (x) = λ x. Alors φ : Q F q est un morphisme de groupes surjectif de noyau < 1 T > U (1) Q. Notons que pour M Z non nul le "signe" φ (M) est le coecient dominant du polynôme M. 1.1.0. Dénition. Soit une extension séparable nie de Q = F q (( 1 T )). Nous appellons signe sur le morphisme φ = φ N /Q à valeurs dans F q. 1.1.1. Remarque. Si E/Q est une sous-extension de /Q, on a alors : (i) φ = φ E N /E ; (ii) N /E (erφ ) erφ E. 1.1.2. Théorème. Soient E/Q une extension séparable nie et E mod /Q sa sous-extension abélienne modérément ramiée maximale. Soient f le degré d'inertie et e l'indice de ramication de E mod /Q. Soit enn F E le sous-corps ni de E de degré [F E : F q ] = f. Alors : (i) Il existe ζ F E tel qu'on ait Emod = F E (( e ζ T )) et de plus : φ E (E ) =< (F q ) e, N FE /F q (ζ) >. (ii) Si l'on a en outre 1 T N E mod /Q (E mod ), il vient E mod = F q (( e 1 T φ E (E ) = (F q ) e. )) et Preuve. Observons tout d'abord que si E ab /Q est la sous-extension abélienne maximale de E/Q, nous avons N E/Q (E ) = N E ab /Q(E ab ) donc φ E (E ) = φ E ab(e ab ), de sorte que le théorème sera établi si nous le démontrons dans le cas abélien. Notons E nr = F E (( 1 T )) la sous-extension (abélienne) non ramiée maximale de E. 'extension E mod /E nr est alors totalement ramiée de degré e. Si ρ est une uniformisante de E mod, nous pouvons donc écrire ρ e = ζu/t avec ζ F E et u U (1) E mod ; et l'hypothèse p e nous assure que u est une puissance e-ième dans U (1) E mod, disons u = v e. Quitte à remplacer ρ par ρ/v, nous pouvons donc supposer Nous obtenons alors : ρ e = ζ/t, comme attendu. N E mod /Q (ρ) = N E nr /Q N E mod /N ) nr(ρ) = N E nr /Q (( 1) e ζ/t = ( 1) ef N FE /F q (ζ)/t f 4

d'où φ E mod(ρ) = ( 1) ef N FE /F q (ζ). Par ailleurs, nous avons immédiatement : ( ) ( ( ) e φ E mod(f E ) = φ E nr N E mod /E nr(f E ) = φ E nr (F E )e) = φ E nr(f E ) = (F q ) e En résumé il vient : φ E mod(e mod ) =< (F q ) e, ( 1) ef N FE /F q (ζ) >=< (F q ) e, N FE /F q (ζ) >. Et le point (i) du théorème résulte de ce que, l'extension E ab /E mod ayant pour degré une puissance de p, ce dernier groupe coïncide avec φ E ab(e ab ) = φ E (E ). Enn, l'hypothèse 1 T N E mod /Q (E mod ), qui entraîne f = 1 i.e. F E = F q, donne aussi ( 1) e = N E mod /Q ( 1) donc ζ N E mod /Q i.e. ζ (F q ) e, d'où le point (ii). 1.1.3. Corollaire 'extension abélienne de Q associée à erφ est le corps Q = Q [ q 1 1/T ] = F q (( q 1 1/T )); c'est la plus grande extension abélienne modérément ramiée de Q dans laquelle 1/T est norme. En particulier, si est une extension séparable de Q, l'extension abélienne de associée à erφ par la théorie locale du corps de classes est le compositum = Q = [ q 1 1/T ]. Preuve. a première assertion résulte immédiatement du théorème appliqué à l'extension abélienne E/Q associée à erφ par la théorie locale du corps de classes, laquelle vérie par construction l'identité normique : N E/Q (E ) = erφ = U Q ( 1 T )Z. a seconde assertion s'ensuit puisque erφ est la préimage de erφ par N /Q. 1.1.4. Proposition. Soit /Q une sous-extension d'une extension séparable nie /Q. On a alors ( erφ : N / (erφ ) ) = [ ab : ], où ab est la sous-extension maximale de qui est abélienne sur et le compositum Q = [ q 1 1/T ]. Preuve. Introduisons l'extension abélienne maximale ab de et notons celle de. Par le corollaire 1.1.3., la sous-extension abélienne de ab qui est xée par N / (erφ ) est l'intersection ab = ab qui n'est rien d'autre ab 5

que le compositum ab = ab. Cela étant, puisque erφ xe, il vient comme annoncé : (erφ : N / (erφ )) = [ ab : ] = [ ab : ab ]. Et l'ensemble de la discussion peut se résumer par le schéma de corps : ab ab ab ab ab = ab 1.1.5. Corollaire. Notons d (/) le degré [ ab : ] = [ ab : ]. (i) Puisque l'extension /k est modérément ramiée, d (/) est un multiple de la partie sauvage de l'indice de ramication e ab (/) de l'extension abélienne ab /, l'égalité ayant lieu si et seulement si la sous-extension maximale mod = mod de qui est abélienne et modérée sur est contenue dans. (ii) orsque 1 T est norme dans l'extension /Q (ce qui implique en particulier que /Q soit totalement ramiée) d (/) est la plus grande puissance de p qui divise e ab (/) si et seulement si on a l'égalité (où a b désigne le pgcd de a et de b ) : (q 1) [ : Q ] = ( (q 1) [ : ] ) ( (q 1) [ : Q ] ) Preuve. Soit π un premier de vériant N /Q (π ) = 1 T. Posons π = N / (π ). Alors π est un premier de de norme N /Q (π ) = 1 T. Il vient donc : = < π > F q U (1) et = < π > F q U (1). Posons m = [ : Q ] (q 1) et m = [ : Q ] (q 1). il vient : kerφ = < π > (F q ) q 1 m U (1), et erφ = < π > (F q ) q 1 m U (1). N / ((F q ) q 1 m ) = (F q ) q 1 m [:] = (F q ) q 1 m (m [:]) = (F q ) q 1 m ((q 1) [:]). Ainsi l'égalité attendue : erφ E N /E (erφ ) = U (1) E N /E (U (1) annoncée : m = m ((q 1) [ : ]). ) équivaut bien à la condition 6

1.2. Classes au sens restreint et corps de classes de Hilbert Soit un corps global. Rappelons que nous avons désigné par P l l'ensemble des places à l'inni de si est un corps de nombres, des places au-dessus de = 1/T si est un corps de fonctions. Pour v P l, se plonge dans v, et φ v (x) est bien déni pour x. On dénit le sous-groupe des élements totalement "positifs" de par : + = {x v P l, φ v (x) = 1}. 1.2.0. Dénition Nous appelons groupe des "signatures" d'un corps global le quotient ni : Sg = / +. Si R est un sous-groupe de, l'image de R dans Sg est notée sg (R). En particulier, on a donc Sg = sg ( ). 1.2.1. emme. On a : Sg = sg () v P l φ v ( v ). Preuve. C'est une conséquence directe du théorème d'approximation forte. On pose P + = {xo x + }. Alors le groupe de classes d'idéaux au sens restreint de O est : Cl res = I /P +. On pose de même : U = v U v, U + = v P l erφ v v P l U v. v P l v P l Alors U et U + sont des sous-groupes ouverts de J. 1.2.2. Proposition. es groupes de classes d'idéaux au sens ordinaire ou restreint sont donnés par les isomorphismes canoniques : (i) Cl J /U ; (ii) Cl res J /U +. Preuve. C'est une conséquence immédiate de l'isomorphisme I J /U k. 1.2.3. Corollaire. Classes au sens ordinaires et classes au sens restreint sont liées par la suite exacte : Preuve. On a immédiatement : 1 sg(e ) Sg Cl res Cl 1. U /U + sg(), U = E et U + = + E = E +. 7

Il sut alors d'appliquer la proposition 1.2.2. Soit H / l'extension abélienne de correspondant par la théorie du corps de classes à U. Alors H est appelé le corps de classes de Hilbert au sens ordinaire de O. C'est l'extension abélienne maximale de qui est non ramiée (aux places nies) dans laquelle toute place de P l se décompose totalement. Notons que l'application d'artin donne lieu à l'isomorphisme canonique : Cl Gal(H /). e lecteur pourra consulter [12] pour obtenir plus d'informations sur les corps de classes de Hilbert pour les corps de fonctions. Soit H res/ l'extension abélienne de correspondant à U +. Alors Hres est appelé le corps de classes de Hilbert au sens restreint de O. 'application d'artin donne lieu à l'isomorphisme : 1.2.4. Exemples. Cl res Gal(H res /). (i) On a sg(q) = sg(z ) = { 1, 1}. Il suit donc : H Q = HQ res = Q. (ii) On a sg(q) = sg(f q ) = F q. Ainsi H Q = HQ res = Q. (iii) Soit n 3 et soit = Q(e 2iπ n ) le n-ième corps cyclotomique. Alors, pour tout v P l, on a v = C. Et il suit H = H res. (iv) Soit M Z = F q [T ] un polynôme unitaire de degré supérieur ou égal à 1. Soit le M-ième corps de fonctions cyclotomique. Nous renvoyons le lecteur à [6] pour la dénition de. Alors, pour tout v P l, on a : Il suit donc erφ v v = F q (( q 1 1 T )). = v. Et il en résulte : H = H res. 1.2.5. Remarque. Soit / une extension séparable nie de corps globaux. On a alors H res Hres. Et si / est galoisienne, Hres / l'est aussi. 1.2.6. Proposition. Soient un corps global et = H res. Alors toute classe de Cl res a une image triviale dans Clres. Preuve. Ce n'est rien d'autre que la transposition au sens restreint du classique théorème d'artin-furtwängler pour les corps des nombres. 1.3. Idéaux signés et groupes de S-classes d'idéaux signés Pour dénir le groupe des classes d'idéaux au sens restreint par analogie avec le groupe des classes d'idéaux au sens ordinaire Cl = I /P, nous avons restreint, dans la section qui précède, le dénominateur au sous-groupe P + des idéaux principaux engendrés par les éléments totalement positifs. Mais il est souvent commode de travailler plutôt sur le numérateur. Dans [8] est ainsi introduite pour les corps de nombres la notions de "diviseur". Mais comme le 8

terme de diviseur a déjà un sens bien précis pour les corps de fonctions, nous préférons parler ici d'idéal signé : 1.3.0 Dénition. Nous appelons groupe des idéaux signés d'un corps global la somme directe Is = I Sg du groupe I des idéaux et du groupe Sg des signatures de. 'image P s dans Is du groupe multiplicatif est le sous-groupe des idéaux signés principaux. Si est un corps de nombres possédant exactement r places réelles, on a Sg = {±1} r et l'image d'un élément x de dans Is et le couple formé de l'idéal principal engendré par x et des r signes des plongements de x aux places réelles. Si est un corps de fonctions, on a un résultat analogue à cela près que {±1} r est remplacé par le produit v P l φ v ( v ). Soit, en eet, P une place de ; on lui associe une valuation v P comme suit : - si P est une place ultramétrique, alors P correspond à un idéal premier de O, et v P est alors la valuation P -adique usuelle sur ; - si P est réelle, se plonge dans P = R et v P est alors à valeurs dans F 2 = Z 2Z : on a v P (x) = 0 pour x > 0 et v P (x) = 1 pour x < 0 ; - si P est complexe, v P est la valuation triviale ; - si P divise 1 T enn, on pose v P = φ P. e groupe des idéaux signés de est alors le groupe abélien libre engendré par les valuations attachées aux places de, chaque élément D Is, s'écrivant de manière unique sous la forme : D = P n P v P, avec n P Z si P est une place nie, n P F 2 si P est réelle, et n P Imφ P si P divise 1 T. 'application de dans Is, est alors donnée par la formule : x v P (x)v P. 1.3.1. emme. le groupe Cs = Is /P s des classes d'idéaux signés s'identie canoniquement au groupe Cl res des classes d'idéaux au sens restreint. Preuve : C'est immédiat. Soit maintenant S = S un ensemble ni de places de. On note Is (S) le sous-groupe de Is engendré par les places de S : Si v est une place nie, elle correspond à un idéal premier non nul et le sous groupe engendré par v dans Is est le sous-groupe de I engendré par cet idéal ; 9

Si v est une place à l'inni, le sous-groupe qu'elle engendre est le facteur φ v ( v ) de Sg ; il est d'ordre 2 si est un corps de nombres et v réelle, trivial si v est complexe. 1.3.2. Dénition. e groupe S-classes d'idéaux signés d'un corps global est le quotient Cs S = Is /P s Is (S) Cs /Cs (S) du groupe des classes d'idéaux signés par le sous groupe engendré par les classes des idéaux signés construits sur les places de S. 1.3.3. Remarques. (i) Si S =, on a déjà vu que l'on a Cs S Clres. (ii) Si est un corps de nombres et S l'ensemble des places réelles de, alors Cs S Cl. Plus généralement, si S contient les places réelles de, notons S 0 l'ensemble des places nies contenues dans S et O S l'ensemble des éléments de réguliers en toute place nie en dehors de S 0. Alors Cs S s'identie au groupe de classes d'idéaux de O S. 1.3.4. Dénition (Corps des S-classes de Hilbert). Considérons le groupe d'idèles U S = erφ v v U v. v P l,v S v S v S P l S et notons H S l'extension abélienne de correspondant à U S. Il vient : Gal(H S /) J / U S Cs S ; et on dit que H S est le corps des S-classes de Hilbert (au sens restreint) de. 1.3.5. Dénition. e groupe des S-unités du corps est le sous-groupe E S = {x P S v P (x) = 0}. En d'autres termes, le groupe E S est caractérisé par la suite exacte : 1 E S Is Cls 1 1.3.6. Remarques. (i) Pour S =, E S est le groupe des unités "totalement positives". (ii) Si est un corps de nombres, et S l'ensemble des places réelles E S est le groupe des unités (au sens ordinaire) de l'anneau des entiers de. Plus généralement, si S contient toutes les places réelles de et si S désigne l'ensemble des places nies contenues dans S, le groupe E S est le groupe des unites de l'anneau O S des S -entiers de. 10

2. Corps des genres et corps des classes centrales 2.1 Groupe des genres relatifs à une extension de corps globaux Considérons une extension / de corps globaux (i.e. soit une extension quelconque de corps de nombres de degré ni sur Q, soit une extension quelconque de corps de fonctions séparables et de degré ni sur Q = F q (T )), et notons S un ensemble ni de places de puis S l'ensemble ni des places de au-dessus des places de S. Nous écrirons souvent S pour S ou S en l'absence de toute ambiguïté. Rappelons que nous avons désigné par H S (resp. HS ) le corps des S-classes de Hilbert de (resp.) i.e. l'extension abélienne de (resp.de ) qui est associéee par la théorie du corps de classes au groupe d'idèles U S (resp. U S ). 2.1.0 Dénition. e corps des S-genres H/ S de l'extension / est le plus grand sous-corps de H S qui provient, par composition avec, d'une extension abélienne de. En d'autres termes, H/ S est la plus grande sous-extension de H S qui est abélienne sur. e corps des S-genres H/ S contient toujours le corps des S-classes HS. 2.1.1. Exemples. (i) Pour S =, le corps des genres au sens restreint H/ res = Hφ / est le plus grand sous-corps de H res qui provient d'une extension abélienne de. (ii) Pour S = P l, le corps des genres au sens ordinaire H / est le plus grand sous-corps de H qui provient d'une extension abélienne de. 2.1.2. Remarque. Puisque H S / / est une sous-extension de HS /, l'isomorphisme Gal(H S ) CsS identie le quotient GS / = Gal(HS / /) à un quotient du groupe de S-classes Cs S. On dit que GS / est le quotient des genres de Cs S relativement à l'extension /. 2.1.3. Proposition. Soit / une extension quelconque de corps globaux. (i) e groupe d'idèles de qui correspond à la sous-extension abélienne H S / / de H S est l'image N /(U S ) du groupe U S associé à H S. (ii) e groupe d'idèles de qui correspond à l'extension abélienne H S / / est le saturé pour la norme N 1 / (N /(U S ) ) du groupe U S associé à H S. Preuve. classes. C'est une conséquence immédiate de la Théorie globale du corps de 2.1.4. Corollaire. orsque l'extension / est cyclique, de groupe de Galois Γ =< γ >, le quotient des S-genres G/ S s'identie au plus grand quotient Γ Cls S du groupe CsS des S-classes de sur lequel Γ opère trivialement : G S / Γ Cs S = Cs S /Cs S(γ 1). On retrouve ainsi, pour S = ou S = P l les caractérisations traditionnelles du quotient des genres dans le cas cyclique. Notons par ailleurs que, le groupe 11

Cs S étant ni, il en résulte que dans le cas cyclique le quotient des genres GS / a même ordre que le sous-groupe ambige (i.e. xé par Γ) de Cs S. Preuve. Notons, pour simplier, N la norme arithmétique N / et considérons un idèle x de J dont la norme tombe dans N(U S). Ecrivons donc N(x) = N(u)k, avec u U S et k. Nous obtenons k = N(x/u) NJ et, l'extension étant suposée cyclique, le principe de Hasse nous permet d'écrire k = N(l) pour un l. Il vient donc N(x/u) = 1, d'où, via le théorème 90 pour les idèles, x/lu = y γ 1 pour un y J, c'est-à-dire x J γ 1 U S ; et nalement : G/ S J /J γ 1 U S Cs S /CsS(γ 1) comme attendu. 2.2. Formule des S-genres et suite exacte des S-genres Soit / une extension quelconque de corps globaux; pour chaque place v de, notons v le complété correspondant de et ( w)w v la famille des complétés de aux places w au-dessus de v (considérés dans une même clôture algébrique de v ) ; désignons enn par ( ab w ) w v la famille des sous-extensions abéliennes maximales de v respectivement contenues dans les ( w ) w v. ab Soit alors ˆ v = Π w v ab w le compositum des ab w et Ľab v = w v ab w leur intersection, puis le sous-corps de xé par les sous-groupes d'inertie ab v G (ˆ ab v / ab places au-dessus de v. ˆ ab v w ) attachés aux extensions abéliennes ab ˆ v / ab w lorque w décrit les 2.2.1. Remarques. orsque les ab w coïncident, ce qui se produit en particulier dès que l'extension / est galoisienne, il n'y a pas lieu de distinguer ab entre ˆ v, Ľ ab ab v et v. Nous écrivons donc dans ce cas ab v sans plus de détail ; mais cette simplication n'est pas possible dans le cas général. D'après la Théorie locale du corps de classes, ab w est l'extension abélienne de v associée au groupe de normes N w/ v ( w), que nous écrirons de façon abrégée N( w) ; il coïncide naturellement avec le groupe N( ab w ) = N ab w /v(ab ab w ). e compositum ˆ v des ab w correspond donc à l'intersection w v N( w) et leur intersection Ľab v au sous-groupe Π w v N( w) de v engendré par les N( w). Enn, pour chaque place w 0 au-dessus de v le groupe de Galois Gal(ˆ ab v / ab w 0 ) s'identie au quotient N( w 0 )/Π w v N( w) et son sous-groupe d'inertie à l'image N(U w0 ) ( Π w v N( w) ) du sous-groupe U w0 des ab unités ( de w0. Et le groupe d'idèles associé au corps v est ainsi le produit Πw v N(U w ) )( wv N( w) ). Il vient donc : 2.2.2. Proposition et dénition. Avec les notations ci-dessus : (i) le quotient v /Π w v N w s'identie au groupe de Galois de l'extension abélienne locale Ľab v / v ; et nous disons que Dv ab (/) = Gal(Ľab v / v ) est le groupe de décomposition abélianisé de la place v dans l'extension / ; 12

(ii) le quotient U v /Π w v NU w s'identie au groupe d'inertie de l'extension abélienne locale v / v ; et nous disons que Iv ab (/) = G ( ab v / v ) est le groupe ab d'inertie abélianisé de la place v dans l'extension /. Venons-en maintenant au cas particulier des places à l'inni : (i) Si est un corps de nombres et v une place réelle, on a k v = R et w = R ou C pour chaque place w au-dessus de v. Dans ce cas les w sont donc abéliens sur v, leur compositum ˆ v est égal à C dès que l'un au moins des w est complexe et leur intersection Ľv est R si et seulement si l'un des w est réel. En particulier le groupe de Galois D v(/) = Gal(Ľv/ v ) v /Π w v N w/ v ( w) est d'ordre 1 ou 2, et trivial si et seulement si v admet un prolongement w réel. (ii) Si est un corps de fonctions, et v divise 1 T, rappelons que nous avons posé v = v [ q 1 1/T ] et w = w [ q 1 1/T ]. Dans la correspondance du corps de classes, nous savons par (1.1.6.) que erφ kv xe v et que son sous-groupe N w/ v (erφ w ) xe, lui, la sous-extension maximale ab w de w qui est abélienne sur v. D'après la théorie locale du corps de classes, le produit Π w v N w/ v (erφ w ) est donc associé à l'intersection v = w v ab w que le quotient v /Π w v N w/ v (erφ w ) s'identie au groupe de Galois En résumé, nous avons : D v(/) = Gal( v/ v)., de sorte 2.2.3. Proposition. Soit v une place à l'inni de et φ v la fonction signe associée. (i) Si est un corps de nombres, le quotient erφ kv /Π w v N w/ v (erφ w ) s'identie au groupe de Galois D v(/) = Gal(Ľv/ v ) d'ordre 1 ou 2. (ii) Si est un corps de fonctions, le quotient erφ kv /Π w v N w/ v (erφ w ) s'identie au groupe de Galois D v(/) = Gal( v/ v). Nous sommes maintenant en mesure d'établir la formule des genres : 2.2.4. Théorème (Formule des S-genres). Soient / une extension quelconque de corps globaux, S un ensemble ni de places de et S l'ensemble des places de au-dessus de celles de S. e nombre de S-genres relatif à l'extension / est alors donné par la formule : [H S / : ] = hs Π v P l \S d v(/) Π v P l 0 \S 0 eab v (/) Π v S d ab v (/) [ ab : ](E S : ES N S / ) Dans celle-ci, h S désigne le cardinal du groupe des S-classes CsS d'idéaux signés et d v(/) est le degré de l'extension abélienne locale v/ v ; d ab v (/) est l'ordre du groupe de décomposition abélianisé Dv ab (/) et e ab v (/) celui du groupe d'inertie abélianisé Iv ab (/) ; le corps ab est le plus grand souscorps de qui est abélien sur ; le groupe E S est le groupe des S-unités (au 13

sens restreint) de ; et N/ S = N / (U S ) est le groupe des S-normes locales attaché à l'extension /. 2.2.5. Remarque. orsque l'extension globale / est abélienne, on a évidemment ab = ainsi que les égalités entre groupes locaux Dv ab (/) = D v (/) et Iv ab (/) = I v (/). Si elle est cyclique, on a en outre N / = N / ( ) en vertu du principe de Hasse. Preuve. Rappelons que nous avons désigné par H S le corps des S-classes de Hilbert de et par H/ S le sous-exension maximale de HS qui est abélienne sur. Nous avons donc : [H/ S : ] = [HS / : ] [ H/ S : ] = [HS / : HS ][HS : ] [ ab, : ] puisque ab = H S / est bien la sous-extension maximale de qui est abélienne sur. Cela étant, d'après (1.3.4.) le groupe d'idèles associé à H S est U S et, d'après (2.1.3.), celui associé à H S / est N /(U S ). Il suit : [H/ S : HS ] = (U S : N / (U S ) (U S ) = : N /(U S)) ( U S : N / (U S)). Pour conclure, il sut alors de remarquer que la contribution des diérentes places au numérateur est donnée par (2.2.2.) et (2.2.3.) ; tandis qu'au dénominateur, on a U S = ES et N / (U S) = ES N / S. Notons que lorsque l'extension / est galoisienne, cette dernière intersection n'est autre que E S N / où N / = N / (J ) est le groupe des éléments de qui sont normes locales partout d ans l'extension /. 2.2.6. Corollaire. Soit / une extension quelconque de corps de nombres et ab / sa sous-extension abélienne maximale. (i) e nombre de genres relatif à l'extension / est donné par la formule : [H / : ] = où h est le nombre de classes de. h v eab v (/) [ ab : ] (E : E N / (U )), (ii) e nombre de genres au sens restreint est donné, lui, par la formule : [H/ res hres v S : ] = () dab v (/) v S () eab v (/) [ ab : ] (E + : E+ N, /(U )) où h res est le cardinal de Clres aux places réelles de. et E+ est le groupe des unités qui sont positives 14

2.2.7. Remarque. orsque / est galoisienne, la formule obtenue pour le corps des genres au sens ordinaire dans (i) nous donne la formule de Furuta ([5]). orsque / est abélienne, la formule obtenue pour le corps des genres au sens restreint dans (ii) nous donne la formule de Goldstein ([7], Théorème 2.1). 2.2.8. Corollaire. Soit / une extension quelconque de corps de fonctions et ab / sa sous-extension abélienne maximale. (i) Notons h le cardinal du groupe des classes Cl. Alors : [H / : ] = h v S () dab v (/) v S () eab v (/) [ ab. : ] (E : E N / (U )) (ii) On suppose que pour toute place w P l on a : 1 T N w/q ( w) et que [ w : Q ] divise (q 1)r w où r w est un entier premier à q 1. Notons h res le cardinal de Cl res ; le nombre de genres au sens restreint est alors : [H/ res hres v P l : ] = () pnv v P l () eab v (/) [ ab : ] (E + : E+ N, /(U )) où E + = E + est le groupe des unités totalement positives et p nv est la plus grande puissance de p qui divise e ab v (/) (p est la caractéristique de F q ). Revenons maintenant au cas général. soit donc, comme plus haut, / une extension quelconque de corps globaux, S un ensemble ni de places de et S l l'ensemble des places de au-dessus de celles de ; Rappelons que nous avons noté H/ S la plus grande sous-extension de H / qui est abélienne sur. Cela étant, avec les notations du théorème 2.2.4, nous avons : 2.2.9. Théorème (Suite exacte des S-genres). es symboles locaux de restes normiques donnent la suite exacte courte qui relie corps des S-genres et corps des S-classes de Hilbert, groupes de Galois locaux et groupe de Galois global : E S 1 E S N / S Ram S / Gal(H S / /HS ) 1, où le groupe médian Ram S / est la somme directe : Ram S / = ( v P l \S D v(/) ) ( v P l 0 \S 0 Iab v (/) ) ( v S D ab v (/) ). Preuve. C'est une conséquence immédiate de la démonstration du théorème 2.2.4. : le premier morphisme f : E S /ES N / Ram S / est induit par les symboles locaux de restes normiques (pris dans les extensions abéliennes locales correspondantes) ; et le second morphisme g : Ram S / Gal(H/ S /HS ) n'est autre que la formule du produit (σ v ) v σ v H S prise dans l'extension / abélienne H/ S /, chacun des σ v agissant trivialement sur le corps des S- classes de Hilbert H S. a théorie globale du corps de classes nous dit alors 15

que les S-unités globales (i.e. les éléments de E S ) ont une image triviale dans Gal(H/ S /), en d'autres termes que l'on a Imf erg ; et l'exactitude de la suite résulte de l'identité donnée par le théorème 2.2.4. Ram S / (E S : ES N / S ) = [HS / : ab ][ ab : ] [H S : ] = [H/ S : HS ], conformément au schéma de corps : H S H S / H S ab ab H S H S / H S H S Et, bien entendu, si l'extension / est abélienne, on a H S / = HS /. orsque le groupe des unités E est particulièrement simple, il est naturellement possible d'expliciter le terme normique dans la formule des genres ; ainsi : 2.2.10. Proposition. Soit /F q (T ) une extension séparable nie telle qu'il y ait une unique place de au dessus de. Si / est une extension galoisienne nie et v une place de, on pose : m v = (q deg v q deg v 1 1) eab v (/)) (q 1), où deg v est le degré de la place v et q est le cardinal du corps des constantes de. Et on note : m / = p.g.c.d. {m(v), v place de }. Alors : (i) (E : E N / ) = (E : E N / (U )) = q 1 m /, (ii) Et sous la condition q = q, il vient (E + : E+ N /(U + )) = [ : Q] (q 1) m / [ : Q] (q 1). Preuve. Notons F le corps des constantes de. Comme il y a une unique place de au dessus de, on a E = F. Il suit : E N / = v (F N ab/v(u v )). ab v 16

Or par [11], Proposition 2, le cardinal de F N ab/v(u v ) ab est égal à m v. v D'où la première assertion. Pour (ii), notons que E + est un sous-groupe de F q et que le cardinal de E + est [ : Q] (q 1). a Proposition suit. 2.2.11. Corollaire. Soit = F q (T ) et /F q (T ) une extension galoisienne nie : (i) e nombre de genres au sens ordinaire relatif à /Q est alors donné par la formule : [H /Q : ] = m(/q) dab (/Q) v eab v (/Q) (q 1)[ ab, : Q] (ii) Si pour toute place w P l, on a 1 T N w/q ( w) et [ w : Q ] divise (q 1)r w où r w est un entier premier à q 1, le nombre de genres au sens restreint est : [H/Q res pn v : ] = eab v (/Q) [ ab, : Q] où p n est la plus grande puissance de p divisant e ab (/Q) (p est la caractéristique de F q ). Preuve. C'est une conséquence directe du Théorème 2.2.6. et de la Proposition 2.2.10. 2.3. Corps des classes centrales Soient toujours / une extension quelconque de corps globaux, S un ensemble ni de places de et S l'ensemble des places de au-dessus des places dans S. Rappelons que nous avons posé : U S = erφ v U v. P l \S v S v v P l 0 \S0 Ecrivons N J le noyau de la norme N / : J J. 2.3.0. Dénition. e corps des S-classes centrales de l'extension / est l'extension abélienne C S / de correspondant par la théorie du corps de classes au sous-groupe N J U S de J. Remarquons qu'on a la double inclusion : H S / CS / HS. Cela dit, l'appellation de corps des S-classes centrales se comprend comme suit : 2.3.1. emme. orsque / est galoisienne, le corps des S-classes centrales est la plus grande extension galoisienne de contenue dans HS telle C S / que Gal(C S / /) soit contenu dans le centre de Gal(CS / /). 17

Preuve. Posons G = Gal(/) et observons que le quotient J /U s'identie au groupe des idéaux I du corps. Pour établir la proposition, il sut naturellement de prouver que si I G est l'idéal d'augmentation de Z[G] on a : NJ U = J I G U. Or les idéaux de de norme 1 sont précisement ceux contenus dans I I G. Il vient donc N J U J I G U N J U, puis N J U S = J I G U S ; d'où le résultat. 2.3.2 Exemples. (i) e corps des classes centrales de l'extension / est l'extension abélienne C / de correspondant au sous-groupe N J U de J. On a : H / C / H. (ii) e corps des classes centrales au sens restreint est l'extension abélienne C res / correspondant à N J U +. On a : H res / Cres / Hres. 2.3.3. Théorème. Soient / une extension galoisienne de corps globaux, S un ensemble ni de places de et S l'ensemble des places de au dessus des places de S. Alors corps des S-genres et corps des S-classes centrales sont liés par l'isomorphisme : Gal(C S / /HS / ) (N / /N / ( )) (E S N / /E S N / ( )). 2.3.4. Corollaire. Sous les hypothèses du théorème, on a : Gal(C / /H / ) (N / /N / ( )) (E N / /E N / ( )), Gal(C res / /Hres / ) (N / /N / ( )) (E + N //E + N /( )). Preuve. Posons et T 1 = {α J, N / (α) N / (U S )}, T 2 = {α J, N / (α) N / (U S ) }. Alors T 1 et T 2 sont des sous-groupe de J et on a T 1 T 2. De plus, C S / / correspond à T 1 et G S / / correspond à T 2. Cela entraîne Gal(C S / /HS / ) T 2 T 1. 18

Considérons l'application f : T 2 N / N / ( )(E S N / ) dénie comme suit : Pour α T 2, de norme N / (α) = N / (β)x avec β U S et x, notons f(α) la classe de x. Montrons que f est bien dénie. Supposons N / (α) = N / (β )x avec β U S et x. Nous obtenons x(x ) 1 = N / (β β 1 ). D'où x(x ) 1 E S N /, comme entendu. Notons que f est un morphisme de groupes. Soit maintenant x N /, disons x = N / (α) pour un certain α J. Nous avons alors α T 2. Ainsi f est une surjection. Il est clair que T 1 est contenu dans erf. Soit maintenant α erf. De l'égalité N / (α) = N / (β)n / (y)µ avec β U S, y et µ E S N /, nous tirons µ = N / (τ) avec τ U S. Ainsi α T 1. Nous avons donc obtenu : e Théorème suit. Gal(C S / /HS / ) (N / /N / ( )) (E S N / /E S N / ( )). Il est bien connu que le groupe des noeuds N / /N / ( ) qui intervient au numérateur est un invariant purement galoisien de l'extension / : 2.3.5. Théorème. Soient un corps global et / une extension galoisienne nie de groupe de Galois G. Pour toute place v de, choisissons une place w de au dessus de v et notons G v le groupe de décomposition de w dans /. Posons N / = N /k (J ). il vient : N (i) / N / ( ) Coker ( v Ĥ 3 (G v, Z) Ĥ 3 (G, Z) ). (ii) Supposons / abélienne ; alors l'application f : N / N / ( ) est isomorphe au conoyau de v 2 G v 2 G dénie par f(, σ v τ v, ) = σ v τ v. Preuve. 'assertion (i) est dans [13], page 198, et (ii) résulte de [10], Théorème 3. 2.3.6. Corollaire. Si / est cyclique, ou plus généralement s'il existe une place v de telle que G v = Gal(/), on a : C S / = HS /. Réunissant 2.2.4. et 2.3.3. nous obtenons la formule des S-classes centrales : 2.3.7. Théorème (Formule des S-classes centrales). Dans une extension galoisienne / de corps globaux, le nombre de S-classes centrales est donné par la formule : [C S / : ] = hs Π v P l \S d v(/) Π v P l 0 \S 0 eab v (/) Π v S d ab v (/) [ ab : ] ( E S : ES N /( ) ) κ / 19

Dans celle-ci, h S désigne le cardinal du groupe des S-classes CsS d'idéaux signés et d v(/) est le degré de l'extension abélienne locale v/ v ; d ab v (/) est l'ordre du groupe de décomposition abélianisé Dv ab (/) et e ab v (/) celui du groupe d'inertie abélianisé Iv ab (/) ; le corps ab est le plus grand souscorps de qui est abélien sur ; le groupe E S est le groupe des S-unités (au sens restreint) de ; et N/ S = N / (U S ) est le groupe des S-normes locales attaché à l'extension / ; enn κ / = ( N / : N / ( ) ) est le nombre de noeuds de l'extension /. Références [1] R. Clement, The Genus Field of an Algebraic Function Field, Journal of Number Theory 40 (1992), 359-375. [2] G. Cornell, Relative Genus Theory and the Class Group of l-extensions, Trans. of the Amer. Math. Soc. volume 277 number 1 (1983), 421-429. [3] A. Fröhlich ocal Fields, in J.-W.-S. Cassels & A. Fröhlich, Algebraic Number Theory, Academic Press, ondon (1967), 1-41. [4] A. Fröhlich Central Extensions, Galois Groups, and Ideal Class Groups of Number Fields, Contemporary Mathematics volume 24, Amer. Math. Soc. (1983). [5] Y. Furuta, The Genus Field and Genus Number in Algebraic Number Fields, Nagoya Math. J. 29 (1967), 281-285. [6] S. Galovich & M. Rosen, Units and Class Groups in Cyclotomic Function Fields, Journal of Number Theory 14 (1982), 156-184. [7]. J. Goldstein, On Prime Discriminants, Nagoya Math. J. 45 (1971), 119-127. [8] G. Gras, Pratique du corps de classes global. [9] J.-F. Jaulent, 'Arithmétique des l-extensions, Thèse d'etat, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Théor. Nombres 1984/1985 & 1985/1986 (1986). [10] M. Razar, Central and Genus Class Fields and the Hasse Norm Theorem, Compositio Math. vol. 35 (1977), 281-298. [11] M. Rosen, Ambiguous Divisor Classes in Function Fields, Journal of Number Theory 9 (1977), 160-174. [12] M. Rosen, The Hilbert Class Field in Function Fields, Expo. Math. 5 (1987), 365-378. [13] J. Tate, Global Class Field Theory, in J.-W.-S. Cassels & A. Fröhlich, Algebraic Number Theory, Academic Press, ondon (1967), 162-203. Bruno Anglès Jean-François Jaulent Université Paul Sabatier Université Bordeaux aboratoire Emile Picard Institut de Mathématiques U.F.R. M.I.G. 351, cours de la ibération 118 route de Narbonne F-33405 TAENCE Cedex F-31062 TOUOUSE Cedex 4 E-mail : angles@picard.ups-tlse.fr jaulent@math.u-bordeaux.fr 20