Faktorforsøg Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at X i N (ξ i, σ 2 ) for alle i I En faktor er en afbildning f : I F hvor F er en mængde af labels. En faktor deler observationerne ind i en række grupper, med én gruppe per label: {i I f(i) = j} for hvert j F.. p.1/52
Etsidet variansanalyse Fundamental antagelse: homogenitet indenfor grupperne. Præcise formulering af modellen: lad ξ = (ξ i ) i I. ξ L F hvor L F = {(x i ) i I hvis f(i) = f(i ) så er x i = x i } Sædvanlig fokus: er der homogenitet mellem grupperne? ξ L 1. p.2/52
Etsidet variansanalyse - resultater Dimension: dim L F = antallet af brugte labels Hvis faktoren er surjektiv, er dim L F = F Længde af projektion: P F X 2 = j F n F (j) 1 n F (j) i I : f(i)=j X i 2. p.3/52
Tosidet variansanalyse Betegner situationen hvor vi på en gang forholder os til to faktorer på en gang: b : I B t : I T Produktfaktor: Additiv model b t : I B T i (b(i), t(i)) R I L B T L B + L T L B L T L 1.. p.4/52
Vekselvirkning En etsidet variansanalyse ud fra B T kaldes en vekselvirkningsmodel: Opdeling efter Mouth Assesment 0 20 40 60 80 100 closed open pointy Eyes round Vekselvirkning: niveauforskel for de røde punkter, ikke for de sorte.. p.5/52
Ingen vekselvirkning Den additive model B + T kaldes en model uden vekselvirkning: Opdeling efter Mouth Assesment 0 20 40 60 80 100 closed open pointy Eyes round Ingen vekselvirkning: parallele forløb for de røde og de sorte punkter.. p.6/52
Vanskeligheder med den additive model Find dimensionen af L B + L T Find projektionen P B+T ned på L B + L T.. p.7/52
Designgraf Punkter: labels for B og labels for T. Kanter: for hver observation i I afsættes en kant b(i) t(i) 1 2 3 4 A B C D B T Sammenhængende design: kun én komponent. p.8/52
Simpelt dimensionsresultat Sætning Hvis B og T udgør et sammenhængende design, så er L B L T = L 1 Korollar Hvis B og T udgør et sammenhængende design, så er dim L B + L T = B + T 1. p.9/52
Geometrisk ortogonalitet V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Sæt L 0 = L 1 L 2. Definition: L 1 og L 2 er geometrisk ortogonale hvis L 1 L 0 L 2 L 0 Vi skriver i påkommende tilfælde L 1 G L 2. p.10/52
Geometrisk ortogonalitet L 1 g replacements V L 2 L 0 L0 L 1 L 0 L 2 Står de to røde linier vinkelret på hinanden?. p.11/52
Eksempler på geometrisk ortogonalitet Hvis L 1 L 2 så er L 1 G L 2 Hvis L 1 L 2 så er L 1 G L 2 Væggene i et hus er geometrisk ortogonale.. p.12/52
Kommuterende projektioner V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Sæt L 0 = L 1 L 2. Projektionerne er p 1, p 2 og p 0. Sætning: Følgende betingelser er ækvivalente: L 1 og L 2 er geometrisk ortogonale p 1 p 2 = p 2 p 1 (projektionerne kommuterer) p 1 p 2 = p 0. p.13/52
Sum af ortogonale rum V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Projektionerne er p 1 og p 2. Sætning: Hvis L 1 L 2, så er projektionen ned i L 1 + L 2 givet som p 1+2 (x) = p 1 (x) + p 2 (x) for alle x V og p 1+2 (x) 2 = p 1 (x) 2 + p 2 (x) 2. p.14/52
Sum af geometrisk ortogonale rum V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Sæt L 0 = L 1 L 2. Projektionerne er p 1, p 2 og p 0. Sætning: Hvis L 1 G L 2, så er projektionen ned i L 1 + L 2 givet som p 1+2 (x) = p 1 (x) + p 2 (x) p 0 (x) for alle x V og p 1+2 (x) 2 = p 1 (x) 2 + p 2 (x) 2 p 0 (x) 2. p.15/52
Geometrisk ortogonale faktorer To faktorer B og T på indeksmængden I er geometrisk ortogonale hvis L B G L T Sætning: Lad B og T udgøre et sammenhængende design. Da er faktorerne geometrisk ortogonale hvis og kun hvis n B T (j, k) = n B(j) n T (k) I for alle j B, k T (balanceligningen). p.16/52
Eksempel Hvis alle B T -celler indeholder det samme antal observationer, er designet balanceret. A B C 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 4 1 1 1 3 4 4 4 12 1 = 4 3 12, så B og T er geometrisk ortogonale.. p.17/52
Tosidet variansanalyse Sætning: Antag at B og T udgør et sammenhængende design, og at de to faktorer er geometrisk ortogonale. Da er dim L B+T = B + T 1 Endvidere er P B+T X = P B X + P T X P 1 X Specielt er P B+T X 2 = P B X 2 + P T X 2 P 1 X 2. p.18/52
Sammenligning af faktorer Definition: B er finere end T, eller T er grovere end B, skrevet T B hvis ethvert i s T -gruppe kan aflæses fra dets B-gruppe. Alternativ formulering: hvis enhver B-gruppe er indeholdt i en T -gruppe. Formelt: b(i) = b(i ) t(i) = t(i ). p.19/52
Sammenligningseksempel Tre målinger på hver af fem personer. I = {1,..., 15} Person 1 og 2 er mænd. Person 3, 4 og 5 er kvinder. To naturlige faktorer Person (med værdier 1, 2, 3, 4, 5) Køn (med værdier mand og kvinde ). p.20/52
Sammenligningseksempel Observationer: Person-grupper: Køn-grupper: Vi ser at Køn Person.. p.21/52
Sammenligning af faktorer Eksempler: B B T og T B T 1 F I Konvention: Hvis B T og T B, så identificeres B og T. Sætning: T B L T L B. p.22/52
Minimum Der findes en faktor B T (minimum af B og T ) så og B T B, B T T G B, G T G B T Eksempel: Hvis T B, så er B T = T. Sætning: L B L T = L B T. p.23/52
Konstruktion af minimum Sammenhængskomponenter i designgrafen for B og T : C 1,..., C r Symbolerne C 1,..., C r er labels for B T. En observation i I tilordnes et af disse labels, alt efter hvilken sammenhængskomponent befinder sig i. b(i) t(i). p.24/52
Konstruktion af minimum C1 C2 1 2 3 4 A B C D B T. p.25/52
Geometrisk ortogonale faktorer Sammenhængskomponenter i designgrafen for B og T : C 1,..., C r Sætning: B og T er geometrisk ortogonale hvis og kun hvis det for l = 1,..., r gælder at n B T (j, k) = n B(j) n T (k) n B T (l) for de j og k, der begge ligger i C l. (balanceligningen). p.26/52
Eksempel Hvis alle B T -celler indenfor en komponent indeholder lige mange observationer, er designet blok-balanceret. A B C D E D 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 4 1 1 1 3 5 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 15 1 = 2 3 6, så B og T er geometrisk ortogonale.. p.27/52
Tosidet variansanalyse Sætning: Antag at B og T er surjektive og geometrisk ortogonale. Da er dim L B+T = B + T B T Endvidere er P B+T X = P B X + P T X P B T X Specielt er P B+T X 2 = P B X 2 + P T X 2 P B T X 2. p.28/52
Additive hypoteser i flerfaktorforsøg Et design er et system af faktorer, G = {G 1,..., G m } Hertil hører et underrum af R I og en hypotese L G = m L Gi, H G : ξ L G i=1 Udfordring: Find dim L G Udregn projektionen ned i L G. p.29/52
Additive hypoteser i flerfaktorforsøg Hvis G 1 G 2 så er m L Gi = m L Gi i=1 i=2 Hvis vi sætter ser vi altså at G = {G 2,..., G m } H G = H G Komplikation: Flere designs kan specificere den samme hypotese.... p.30/52
Ortogonal dekomposition Lad G = {G 1,..., G m } være et system af faktorer. Sæt V G = L G G <G L G. Sætning Antag at G G G for alle G, G G G G for alle G, G ( -stabilitet) (geometrisk ortogonalitet) Da er V G V G for alle G, G L G = G G V G for alle G. p.31/52
Et allergieksperiment Forsøgspersoner: 2 mænd, 3 kvinder. Behandling: Tre allergifremkaldende stoffer - A, B og C - indsprøjtes i armen på hver forsøgsperson. Effekt: Tre allergiske responser fremtræder (røde pletter). Måling: Udbredelsen (diameteren) af hver allergisk respons. Substantive spørgsmål: Hvor allergologiske er de tre stoffer? Virker stofferne ens på mænd og kvinder?. p.32/52
Data Nummer Person Køn Behandl Obs 1 1 Mand A 21.9 2 1 Mand B 20.9 3 1 Mand C 22.9 4 2 Mand A 23.7 5 2 Mand B 22.5 6 2 Mand C 25.9 7 3 Kvinde A 20.6 8 3 Kvinde B 20.2 9 3 Kvinde C 20.1 10 4 Kvinde A 18.4 11 4 Kvinde B 17.6 12 4 Kvinde C 18.2 13 5 Kvinde A 22.2 14 5 Kvinde B 22.1 15 5 Kvinde C 22.5. p.33/52
Data Respons 18 20 22 24 26 A B C Behandling Mænd: Kvinder:. p.34/52
Formel beskrivelse Vi ser forsøget som et faktorforsøg. Vi har 15 målinger, (X i ) i I hvor I = {1,..., 15}. Målingerne er uafhængige, og X i N (ξ i, σ 2 ). Vi har tre faktorer, Patient : I {1,..., 5} Køn : I {Mand, Kvinde} Treatment : I {A, B, C}. p.35/52
Interessante hypoteser Grundlæggende model: P + K T. Patienterne har en individuel generel følsomhed. Mænd og kvinder reagerer forskelligt på de tre stoffer. Primær delhypotese: P + T. Patienterne har en individuel generel følsomhed. Mænd og kvinder reagerer ens på de tre stoffer.. p.36/52
Interessante hypoteser Alternativ delhypotese: K T. Patienterne er ens, bortset fra kønsforskel. Mænd og kvinder reagerer forskelligt på de tre stoffer. Potentiel sluthypotese: K + T. Patienterne er ens, bortset fra kønsforskel. Mænd og kvinder reagerer ens på de tre stoffer.. p.37/52
Standard faktorstrukturdiagram For en tresidet variansanalyse har man normalt følgende strukturdiagram: replacements P K P P K T P T K 1 K T T Eftersom K P gælder at: P K = P, P K T = P T, K T P T. p.38/52
Modificeret faktorstrukturdiagram Et faktorstrukturdiagram der tager hensyn til alle ordninger i dette tilfælde, er: P T K T T P K 1. p.39/52
Strategi Brugen af den store sætning forløber i følgende trin: Kontroller at designet er -stabilt og ortogonalt. Lav etsidede variansanalyser for hver faktor i G. Regn baglæns, og find V G og de tilhørende projektioner Q G. Dan additive hypoteser.. p.40/52
Er designet ortogonalt? P T K T T P K 1 Hvis G G, så er G G = G, og der gælder automatisk at G G. G Så det er kun nødvendigt at se på tre par af faktorer: (K, T ) (P, T ) (P, K T ). p.41/52
(K, T ) Vi opskriver (K, T )-antalstabellen: A B C Mænd 2 2 2 6 Kvinder 3 3 3 9 5 5 5 15 Alle celletal er 0 så K T = 1. Balanceligningen er opfyldt.. p.42/52
(P, T ) Vi opskriver (P, T )-antalstabellen: A B C 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 4 1 1 1 3 5 1 1 1 3 5 5 5 15 Alle celletal er 0 så P T = 1. Balanceligningen er opfyldt.. p.43/52
(P, K T ) Vi opskriver (P, K T )-antalstabellen: (M, A) (M, B) (M, C) (K, A) (K, B) (K, C) 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 4 1 1 1 3 5 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 15 To sammenhængskomponenter, P (K T ) = K. Balanceligningen er opfyldt.. p.44/52
Ensidet variansanalyse, opsummeret Vi gennemregner de etsidede variansanalyser, og tilføjer resultaterne til faktorstrukturdiagrammet: P T 15, 6883.1 K T 6, 6848.9 T 3, 6817.9 P 5, 6874.5 K 2, 6841.2 1 1, 6813.9. p.45/52
Dekomposition, 1 Vi starter nedefra. P T 15, 6883.1 K T 6, 6848.9 T 3, 6817.9 P 5, 6874.5 K 2, 6841.2 1 1, 6813.9 1, 6813.9 så L 1 = V 1, dim V 1 = dim L 1 = 1 og Q 1 X 2 = P 1 X 2 = 6813.9. p.46/52
Dekomposition, K P T 15, 6883.1 K T 6, 6848.9 T 3, 6817.9 P 5, 6874.5 K 2, 6841.2 1, 27.3 1 1, 6813.9 1, 6813.9 så L K = V K + V 1 dim L K = dim V K + dim V 1 2 = dim V K + 1. p.47/52
Dekomposition, T P T 15, 6883.1 K T 6, 6848.9 T 3, 6817.9 2, 4.0 P 5, 6874.5 K 2, 6841.2 1, 27.3 1 1, 6813.9 1, 6813.9 så L T = V T + V 1 dim L T = dim V T + dim V 1 3 = dim V T + 1. p.48/52
Dekomposition, P P T 15, 6883.1 K T 6, 6848.9 T 3, 6817.9 2, 4.0 P 5, 6874.5 3, 33.3 K 2, 6841.2 1, 27.3 1 1, 6813.9 1, 6813.9 så L P = V P + V K + V 1 dim L P = dim V P + dim V K + dim V 1 5 = dim V P + 1 + 1. p.49/52
Dekomposition, K T P T 15, 6883.1 K T 6, 6848.9 2, 3.7 T 3, 6817.9 2, 4.0 P 5, 6874.5 3, 33.3 K 2, 6841.2 1, 27.3 1 1, 6813.9 1, 6813.9 så L K T = V K T + V T + V K + V 1 dim L K T = dim V K T + dim V T + dim V K + dim V 1 6 = dim V + 2 + 1 + 1. p.50/52
Dekomposition, P T P T 15, 6883.1 6 K T 6, 6848.9 2, 3.7 T 3, 6817.9 2, 4.0 P 5, 6874.5 3, 33.3 K 2, 6841.2 1, 27.3 1 1, 6813.9 1, 6813.9 så L P T = V P T + V K T + V P + V T + V K + V 1 15 = dim V P T + 2 + 3 + 2 + 1 + 1. p.51/52
Additiv hypotese, P + K T L P + L K T = (V P + V K + V 1 ) + (V K T + V T + V K + V 1 ) = V P + V K T + V T + V K + V 1 så dim L P + L K T = dim V P + dim V K T + dim V T + dim V K + dim V 1 = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9. p.52/52